# Суммирование кратных функциональных рядов и аналитическое продолжение В работе обобщается интегральное представление для суммы степенного ряда, используемое для аналитического продолжения его суммы и для разложения голоморфных функций в ряды полиномов (монография Боаса Р.П. и Бака Р.К). Приводится общая теорема, которая позволяет строить новые полиномы, удобные для разложения в ряды по ним функций, голоморфных в односвязных областях. Результаты распространяются на функции многих переменных. | Поле | Значение | |---|---| | Автор | Гуляев Георгий Михайлович | | Организация | Институт математики СО АН СССР | | Раздел | Дипломные работы | | Опубликовано | 29.07.2026 | | Идентификатор | AX-135044 | | Лицензия | CC BY 4.0 | | Ключевые слова | теорема Адамара, аналитическое продолжение, разложения по полиномам | Полный текст (PDF): https://arxivorg.ru/upload/iblock/df4/2n5ffvzlvsgpjy3ws2k5wc63ffjocd75/%D0%94%D0%B8%D1%81%D1%81%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F.pdf Источник (HTML): https://arxivorg.ru/diplomnye-raboty/summirovanie-kratnykh-funktsionalnykh-ryadov-i-analiticheskoe-prodolzhenie/ Архив: арХиворг.ру — открытый архив научных препринтов на русском языке. ## Полный текст АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ На правах рукописи Гуляев Георгий Михайлович УДК 517.5 СУММИРОВАНИЕ КРАТНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ И АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 01.01.01 - математический анализ диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор А.И. Янушаускас Новосибирск 1987 1 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 §0.1.История вопроса и краткий обзор литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 §0.2.Изложение основных результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 Глава 1. Аналитическое продолжение степенных рядов . . . . . . . . . . .21 §1.1.Вспомогательные утверждения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 §1.2.Интегральное представление для суммы степенного ряда . . . . . .27 §1.3.Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 §1.4. n- звездные области вC n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 §1.5.Аналитическое продолжение кратных степенных рядов . . . . . . .45 Глава 2. Кратные ряды многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 §2.1.Общий класс многочленов многих комплексных переменных . . .51 §2.2.Разложение функций голоморфных в начале координат в ряды полиномов. Одномерный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 §2.3.Разложение функций голоморфных в начале координат в ряды полиномов. Многомерный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66 §2.4.Представление целых функций многих комплексных переменных рядами полиномов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72 §2.5.Суммирование полиномиальных разложений . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 2 ВВЕДЕНИЕ Вопросы изучения представления аналитических функцийf(z)функци- ональными рядами и связи между коэффициентами таких рядов и самой функциейf(z)относятся к фундаментальным проблемам классического анализа. Среди функциональных рядов наиболее простыми и удобными для при- ложений являются ряды по полиномам. В случае одной комплексной переменной имеется много интересных ре- зультатов о представлении аналитических функций полиномиальными рядами, которые можно найти в монографиях Сеге Г. [21], Боаса Р.П. и Бака Р.К. [35], Суетина П.К. [23]. Иначе дело обстоит с кратными рядами по многочленам. В литерату- ре мы довольно часто встречаем различные многочлены, зависящие от многих переменных, однако лишь эпизодически изучаются вопросы схо- димости, а тем более суммируемости, рядов по ним, а также вопросы представления голоморфных функций такими рядами. Отсутствует набор достаточно простых многочленов многих перемен- ных, по которым могли бы быть разложены функции, голоморфные в определенных областях пространстваC n . 3 § 0.1. История вопроса и краткий обзор литературы Одной из наиболее важных теорем в теории аналитического продолже- ния рядов Тейлора является хорошо известная классическая теорема Адамара об умножении особенностей [42]. Согласно этой теореме, композиция по Адамару a∗b(z) = ∞ X n=0 anbnz n , сходящихся в окрестности начала координат рядов a(z) = ∞ X n=0 anz n иb(z) = ∞ X n=0 bnz n , голоморфно продолжается в областьA⊙B= (A ′ ·B ′ ) ′ , называемую Бибе- рахом [8] звездой-произведением. ЗдесьAобозначает звезду Миттаг- Леффлера функцииa(z), аB— звезду Миттаг-Леффлера функцииb(z), A ′ =C\A, B ′ =C\B, A ′ ·B ′ ={z·ω:z∈A ′ , ω∈B ′ }. Осуществляется это голоморфное продолжение при помощи деформации контураΓв интегральном представлении a∗b(z) = 1 2πi Z Γ a(ζ)b  ̑ z ζ  ̏ dζ ζ , (0.1) гдеΓ, соответствующим образом выбранная, замкнутая, спрямляемая, жорданова кривая. Заметим, чтоA⊙B, вообще говоря, меньше звезды Миттаг-Леффлера функцииa∗b(z). В монографии Бибераха [8] приводятся соответствую- щие примеры. Весьма плодотворной для приложений оказалась следующая модифика- ция интегрального представления (0.1), используемая в книге Боаса и Бака [35]. Приводя этот результат, мы, в целях удобства, объединим две теоремы 13.3 и 13.5 монографии [35] и сделаем замену переменныхζ=ω −1 . 4 Теорема Б (Боас, Бак). Допустим, что голоморфная в начале координат функция Ψ(t) = ∞ X n=0 Ψnt n удовлетворяет двум условиям: α)функцияΨ(t)голоморфно продолжается в областьΛ =C\[1,+∞); β)все коэффициенты ее ряда ТейлораΨn, n= 0,1, . . .отличны от нуля и разрешима проблема моментов Хаусдорфа 1 Ψn = 1Z 0 u n dµ(u),Var 1 0µ(u)<∞. Пусть далее f(z) = ∞ X n=0 fnz n любая, голоморфная в начале координат, функция иMf- ее звезда Миттаг-Леффлера. Тогда для любого компактаK⊂Mfнайдется за- мкнутая, спрямляемая, жорданова криваяΓ⊂Mf\K, разделяющая компактKи точку∞, такая, что для всехz∈Kимеет место инте- гральное представление f(z) = 1 2πi Z Γ g(ζ)·Ψ  ̑ z ζ  ̏ dζ ζ , (0.2) где функцияg(ζ)определяется своим разложением в ряд g(ζ) = ∞ X n=0 fn Ψn ζ n . Таким образом, формула (0.2) позволяет продолжить голоморфно функ- циюf(z)в ее звезду Миттаг-Леффлера. В 1958 году вышло в свет первое издание монографии [35], в которой был продемонстрирован общий подход к разложению в ряды полиномов целых, а также голоморфных в начале координат, функций одной ком- плексной переменной. Следует заметить. что до 1958 года, несмотря на обилие полиномов и 5 имевшейся о них информации, лишь в отдельных случаях существовали не связанные между собой приемы получения разложений голоморфных функций в ряды по ним. Большинство полиномов, введенных тем или иным способом в литера- туру, обладают простыми производящими соотношениями. Именно благодаря использованию производящих соотношений, а также интегрального представления (0.2), Боасом и Баком была создана доста- точно общая теория разложения голоморфных в нуле функций в ряды полиномов ([35], глава 3). Эта теория наряду с ее достоинствами имеет следующие недостатки. Во-первых, она не применима для тех полиномов, естественная область сходимости разложений по которым, не звездная (для полиномов Фабе- ра, например). Во-вторых, даже при условии звездности областей сходимости, некото- рые важные полиномы остались за пределами действия этой теории. Так случилось, например, с полиномами Якоби. И хотя в § 17 монографии [35] Боас и Бак применяют свою теорию к полиномам Якоби и даже получают правильный результат, в их рассуж- дениях имеется ошибка (см. § 2.2 настоящей диссертации). Отметим, что оба названных недостатка связаны с несовершенностью теоремы Б. Боас и Бак наряду со сходящимися рассматривают также и суммируемые некоторыми методами полиномиальные ряды. Суммирование и аналитическое продолжение полиномиальных рядов в одномерном случае исследовали также Коулинг и Кинг [37], Якимовски [44, 45], Яцун В.А. [33], Гариботти и Гринстейн [40], Бойчев [36]. Общий обзор методов суммирования и работ относящихся к суммирова- нию числовых, а также одномерных и кратных функциональных рядов до 1970 года содержится в книге Целлера и Бикмана [49]. 6 Суммированию кратных тригонометрических и ортогональных рядов посвящена обзорная статья Жижиашвили Л.В. [11]. В последнее время в работах Хаустса и Кларнера [43], Одони [47], Дья- ковича [38], Янушаускаса А.И. [30], Лейнартаса Е.К. [15, 16], Айзенбер- га Л.А. и Лейнартаса Е.К. [1] и др. появились различные многомерные обобщения теоремы Адамара об умножении особенностей, в связи с чем возник вопрос об аналогах интегрального представления (0.2) и всей тео- рии разложения по полиномам для пространстваC n . Заметим, что некоторые результаты монографии [35] для целых функций уже обобщались на двумерный случай в работе Деревянченко Г.Д. и Какичева В.А. [11]. Области сходимости некоторых двойных полиномиальных рядов изуча- лись в работах Янушаускаса А.И. [32] и Беляева В.А. [7]. В работах Цвиль М.М. [25, 26] рассматривалось обобщение полиномов Фабера на случай двух переменных, изучались вопросы сходимости ря- дов по ним и представления голоморфных функций такими рядами. В этом же направлении проводятся исследования и в настоящей диссер- тации. В диссертации рассматриваются следующие вопросы: 1. Интегральное представление (0.2) (теорема Б) усиливается и обобща- ется на случай произвольных ядер Ψ(t) = ∞ X n=0 Ψnt n ,Ψn̸= 0, n= 0,1, . . . ,lim n→∞ n p |Ψn|= 1. и на случай многих переменных. 2. Для одной и многих переменных изучается аналитическое продолже- ние степенного ряда при помощи интегрального представления для его суммы, в зависимости от выбора ядраΨ(t). 7 3. Теория разложений голоморфных функций по полиномам монографии [35] усиливается и распространяется на кратные полиномиальные ряды. 4. В качестве примера рассматриваются многомерные аналоги полино- мов Чебышева, Гегенбауэра, Якоби и др. Изучаются области сходимости разложений голоморфных функций по названным полиномам. 5. Определяется одно из возможных обобщений классического метода суммирования Миттаг-Леффлера на кратные ряды. Описываются области суммируемости, введенным методом, разложений голоморфных функций по многомерным полиномам, являющимся обоб- щением полиномов Чебышева второго рода. Для получения результатов диссертации используются методы теории функций одного и многих комплексных переменных. Диссертация состоит из введения и двух глав основного текста, содер- жащих в совокупности 12 параграфов и списка литературы из 53 наиме- нований. Объем работы - 90 страниц. Внутри каждой главы соблюдается единая двузначная нумерация параграфов, формул, теорем, лемм и следствий. § 0.2. Изложение основных результатов Приводя результаты диссертации, мы сохраняем нумерацию теорем, лемм, следствий и формул основного текста. Первая глава диссертации посвящена обобщениям интегральной форму- лы (0.2) и изучению аналитического продолжения степенных рядов при помощи полученных формул. 8 В параграфе 1.1 определяется семейство областейU(Λ)и доказывается ряд вспомогательных утверждений, касающихся этого семейства. ПустьAиBнекоторые подмножества расширенной комплексной плос- костиC. Обозначим z·A={z·ω:ω∈A}, A·B={z·ω:z∈A, ω∈B}, A −1 ={z −1 :z∈A}, A ′ =C\A, A ∗ = (A ′ ) −1 . При этом считаем, что∞ ·a=∞приa̸= 0,0 −1 =∞,∞ −1 = 0,0· ∞- неопределено. Далее пустьIr={z∈C:|z|< r}круг радиусаr >0с центром в начале координат, в частностиI1=I, I∞=C. ЕслиI⊂Λ⊂C, то черезU(Λ)обозначим семейство всех возможных областейΩ⊂C, удовлетворяющих условиюΩ·Λ ∗ ⊂Ω. Подмножество семействаU(Λ), состоящее из всех его односвязных обла- стей, обозначимU0(Λ). Лемма 1.3. Справедливы утверждения: 1)U(I) =U0(I) ={Ir,0< r≤ ∞}; 2) еслиΛ1⊂Λ2, тоU(Λ1)⊂ U(Λ2); 3) пусть(Λ ′ ) k = Λ ′ ·Λ ′ · · ·Λ ′ |{z} k ,Λ1= ˘ ∞S k=1 (Λ ′ ) k – ′ , тогдаU(Λ) =U(Λ1); 4) пустьΛ1= S Ω∈U(Λ) Ω·Ω ∗ , тогдаU(Λ) =U(Λ1). Из утверждений 1 и 2 леммы 1.3 следует, что семействаU(Λ)иU0(Λ) непустые. Определение. МножествоΛ, удовлетворяющее условиюI⊂Λ⊂C, назовем минимальным, если для любого множестваΛ1из соотношений I⊂Λ1⊂C,U(Λ) =U(Λ1)следует включениеΛ⊂Λ1. 9 Лемма 1.4. ПустьI⊂Λ⊂C, тогда 1) существует единственное минимальное множествоΛ1такое, чтоI⊂ Λ1⊂ΛиU(Λ) =U(Λ1), 2) для того чтобы само множествоΛбыло минимальным необходимо и достаточно, чтобыΛ∈ U(Λ)и1∈Λ ′ . В параграфе 1.2 доказывается теорема являющаяся усилением и обоб- щением теоремы Б. ПустьΓзамкнутая, жорданова кривая, разделяющая точки0и∞иD та из двух ограничиваемых ею областей, которая содержит точку0. Для данногоΛ⊂C, рассмотрим всевозможные областиS∈ U(Λ)такие, чтоS⊂Dи обозначим SΓ(Λ) = [ S⊂D S∈U(Λ) S. Очевидно, еслиD∈ U(Λ), тоSΓ(Λ) =D. Далее, пусть функцияΨ(t)задана своим степенным рядом Ψ(t) = ∞ X n=0 Ψnt n . (1.4) При выполнении условия Ψn̸= 0, n= 0,1, . . . (1.7) можно определить еще одну функцию Ψ−1(t) = ∞ X n=0 (Ψn) −1 t n , (1.8) если ряд (1.8) сходится в окрестности точки нуль. ПустьI⊂Λ⊂C,Λ- область. ЧерезG(Λ)обозначим множество всех тех функций (1.4), удовлетворя- ющих условию (1.7), которые вместе с соответствующей им функцией (1.8) голоморфно и однозначно продолжаются в областьΛ. 10 Теперь на множестве функций, голоморфных в начале координат, вве- дем следующее преобразование. Каждой функцииf(z), заданной своим разложением f(z) = ∞ X n=0 fnz n , (1.10) поставим в соответствие функцию g(ω) = ∞ X n=0 fn Ψn ω n , (1.11) гдеΨn, n= 0,1,2, . . .— коэффициенты некоторой фиксированной функ- ции (1.4), удовлетворяющие условиям (1.7) и lim n→∞ n p |Ψn|= 1. Теорема 1.2. ПустьI⊂Λ⊂C,Λ— область и функцияΨ(t)∈G(Λ). Да- лее пустьΩ∈ U0(Λ),Γ⊂Ωспрямляемая, замкнутая, жорданова кривая, разделяющая точки0и∞. Тогда для любой функцииf(z), заданной рядом (1.10) и голоморфной в областиΩ, имеет место интегральное представление f(z) = 1 2πi Z Γ g(ω)·Ψ “ z ω ” dω ω , (1.12) справедливое для всехz∈SΓ(Λ). Функцияg(ω)в формуле (1.12) опре- деляется своим разложением в ряд (1.11). Следствие 1.2. Интегральное представление (1.12) дает аналитическое продолжение суммы ряда (1.10) в любую область семействаU0(Λ), не пересекающуюся с множеством особых точек этой суммы. Доказательство теоремы 1.2 проводится при помощи следующей теоре- мы, дополняющей теорему Адамара об умножении особенностей. 11 Теорема 1.1. ПустьI⊂Λ⊂C,Λ— область, в которую голоморфно и однозначно продолжается суммаΨ(t)степенного ряда Ψ(t) = ∞ X n=0 Ψnt n . (1.4) Тогда, если областьΩ∈ U0(Λ)и функцияa(z), определенная рядом a(z) = ∞ X n=0 anz n , (1.5) голоморфно продолжается в областьΩ, то и композиция по Адамару рядов (1.4) и (1.5) a∗Ψ(z) = ∞ X n=0 anΨnz n также голоморфно продолжается в областьΩ. В параграфе 1.3 рассматриваются различные примеры, иллюстрирую- щие теорему 1.2. В зависимости от выбора ядраΨ(t)в интегральном представлении (1.12) функцияf(z)голоморфно продолжается при помощи формулы (1.12) в те или иные области плоскостиC. В параграфе 1.4 вводятсяn-звездные области в пространствеC n , изуча- ются их свойства, а также определяется метод суммирования кратных степенных рядов, являющийся обобщением классического метода сум- мирования Миттаг-Леффлера. Пустьz= (z1, . . . , zn),ω= (ω1, . . . , ωn)точки пространстваC n ; положим z·ω= (z1ω1, . . . , znωn),z −1 = (z −1 1, . . . , z −1 n). ЕслиA⊂C n ,B⊂C n , то обозначим z·A={z·ω:ω∈A}, A·B={z·ω:z∈A, ω∈B}, A −1 ={z −1 :z∈A}; 12 пусть далееF= [0,1]отрезок действительной оси. ОбластьΩ⊂C n назовемn-звездной, если для нее выполняется соотношениеΩ·F n ⊂Ω. Очевидно, что любаяn-звездная область является звездной с центром в нуле, но не наоборот. Поликруговую областьD=D1× · · · ×Dn, являю- щуюсяn-звездной, назовем полизвездой. Полизвезду назовем максимальной полизвездой, содержащейся вn-звездной областиΩ, если любая строго большая ее полизвезда уже не содержится вΩ. Лемма 1.7. ЕслиΩ—n-звездная область вC n , то каждая ее точкаζ входит вΩвместе с некоторой максимальной полизвездойDζ, содержа- щейся вΩ. Из леммы 1.7 следует, что любаяn-звездная областьΩможет быть пред- ставлена в виде Ω = [ l∈L Dl, гдеLнекоторое множество индексов и всеDl,l∈L— максимальные полизвезды изΩ. Вообще, еслиF={Dl, l∈L}некоторая система произвольных областей вC n , то будем говорить, что областьΩ⊂C n порождается системойF, если Ω = [ l∈M⊂L Dl. Множество всевозможных областейΩ, порождаемых системойF, обо- значим черезPF. Рассмотрим кратный степенной ряд f(z) = X ∥α∥≥0 fαz α , (1.16) 13 сходящийся в некоторой окрестности начала координат. ЧерезMfобо- значим звезду Миттаг-Леффлера функцииf(z). Определим область Nf=int(C n \∆f· 1 F n ), где∆fмножество всех особых точек суммы ряда (1.16). ОбластьNfприn= 2встречалась в работах Гурьяновой К.Н. [10] и Мураева Э.Б. [18]. Лемма 1.8. ОбластьNfявляется максимальнойn- звездной областью вC n , в которой голоморфна функцияf(z). ОбластьNfестественно называтьn-звездной звездой Миттаг-Леффлера функцииf(z). Следующая теорема показывает, чтоn-звездная звезда Миттаг-Леффлера является областью суммирования ряда (1.16), если сумму этого ряда определять по формуле S(z) = lim λ→0 X ∥α∥≥0 fαz α Γ(α1λ+ 1). . .Γ(αnλ+ 1) (1.18) Теорема 1.3. Равенство lim λ→0 X ∥α∥≥0 fαz α Γ(α1λ+ 1). . .Γ(αnλ+ 1) =f(z) справедливо для всехz∈Nf. При этом на компактных подмножествах областиNfпредел достигается равномерно поz. В параграфе 1.5 теоремы 1.1 и 1.2 обобщаются на случай многих пере- менных. Пустьz= (z1, . . . , zn)∈C n ,A⊂C n ,|z|= (|z1|, . . . ,|zn|),|A|={|z|:z∈ A},R n +={x= (x1, . . . , xn)∈R n :xj>0, j= 1, . . . , n},|A|+=|A| ∩R n +. 14 Еслиr∈R n +, то черезI n rобозначим поликругIr1× · · · ×Irn, в частности, I n - единичный поликруг⊂C n . Пусть теперьΛ = Λ1× · · · ×Λnнекоторое множество удовлетворяющее условиюI n ⊂Λ⊂C n . ЧерезU(Λ)обозначим, как и приn= 1, семейство областейΩ⊂C n для которыхΩ·Λ ∗ ⊂Ω, а черезU0(Λ)обозначим подмножествоU(Λ), состоящее из поликруговых областейΩ = Ω1×· · ·×Ωnтаких, что каждая из плоских областейΩj, j= 1, . . . , n- односвязна. Аналогично одномерному случаю определим функции Ψ(t) = X ||α||≥0 Ψαt α ,Ψα̸= 0 и Ψ−1(t) = X ||α||≥0 (Ψα) −1 t α и каждой, голоморфной в нуле функции (1.16), поставим в соответствие ряд g(ω) = X ||α||≥0 fα Ψα ω α . В том случае, когдаΛ- поликруговая область иI n ⊂Λ⊂C n соотно- шениеΨ(t)∈G(Λ), также как и в одномерном случае, будет означать, что обе функцииΨ(t)иΨ−1(t)голоморфно и однозначно продолжаются в областьΛ. Теорема 1.4. Пусть областьΩ∈ U0(Λ),Λ- поликруговая область, I n ⊂Λ⊂C n иΨ(t)∈G(Λ). Тогда, для любой функцииf(z), задан- ной рядом (1.16) и голоморфной в областиΩ, имеет место интегральное представление 15 f(z) = 1 (2πi) n Z · · · Z Γ1×···×Γn g(ω)Ψ θ z1 ω1 , . . . , zn ωn ι dω1∧ · · · ∧dωn ω1. . . ωn ,(1.19) справедливое для всехz∈SΓ(Λ) def =SΓ1(Λ1)× · · · ×SΓn(Λn). Здесь каждая криваяΓjциклаΓ = Γ1× · · · ×Γn⊂Ωудовлетворяет тем же условиям, что и в плоском случае. Во второй главе диссертации результаты первой главы применяются для получения утверждений о разложении голоморфных функций по поли- номам, заданным довольно общим производящим соотношением. В параграфе 2.1 определяются полиномы многих комплексных перемен- ных и изучаются области сходимости рядов по ним. Обобщая семейство полиномов из монографии [35] на случай многих пе- ременных, приходим к следующему производящему соотношению a(ω)·Ψ(z·b(ω)) = X ||α||≥0 pα(z)ω α , (2.2) где a(ω) = X ||α||≥0 aαω α , a 0. . .0 |{z} n ̸= 0, z·b(ω) = (z1·b1(ω), . . . , zn·bn(ω)), bj(ω) = X ||α||≥0 bα,jω α , b 0. . .0 |{z} n ,j = 0, b 0. . .01 |{z} j 0...0,j ̸= 0, j= 1,2, . . . , n, Ψ(t) = X ∥α∥≥0 Ψα·t α ,Ψα̸= 0для всехα. Подобное обобщение многочленов монографии [35] рассматривалось в работах Какичева В.А., Деревянченко Г.Д. [14] и Сторчевой Г.Д. [22]. 16 Мы предполагаем, что в некоторой полной области РейнхартаRс цен- тром в нуле отображениеζ=b(ω)биголоморфно, а функцияa(ω)голо- морфна иa(ω)̸= 0для всехω∈ R. ПустьΛ⊂C n область, в которую голоморфно и однозначно продолжа- ется функцияΨ(t). ЧерезDrобозначим образ поликругаI n r⋐R, при отображенииζ=b(ω) и рассмотрим областьΩr={z∈C n :z·Dr⊂Λ}. В параграфе 2.2 интегральное представление (1.12) применяется к про- изводящему соотношению (2.2) приn= 1. Теорема 2.3. ПустьI⊂Λ⊂C,Λобласть иΨ(t)∈G(Λ). Если для данногоr∈(0, ρ)существуетε∈(0, ρ−r)такое, чтоDτ∈ U(Λ) для всехτ∈[r, r+ε), то любая функцияf(z), голоморфная в областиΩr разлагается в ряд полиномов, заданных соотношением (2.2) приn= 1 f(z) = ∞ X n=0 cnpn(z). (2.10) При этом ряд (2.10) сходится к функцииf(z)в каждой точкеz∈Ωrи равномерно сходится на компактных подмножествах областиΩr. Отметим, что в [35] рассматривался лишь частный случайΛ =C\[1,+∞) этой теоремы, причем при более сильных предположениях относительно функцииΨ(t). Условия применения теоремы 2.3 к полиномам (2.2) приn= 1состоят из сопряженных требований, предъявляемых к функцииΨ(t)и отобра- жениюζ=b(ω). Пользуясь этой теоремой, можно конструировать новые полиномы удоб- ные для разложения по ним функций, голоморфных в односвязных об- ластях. 17 В параграфе 2.3 теорема 2.3 обобщается на многомерный случай. Теорема 2.5. ПустьΛполикруговая область,I n ⊂Λ⊂C n ,Ψ(t)∈G(Λ). ЕслиDr∈ U0(Λ)для всехrиз некоторого множестваM⊂ |R|+, явля- ющегося областью в пространствеR n иΩ∈ PF, гдеF={Ωr:r∈M}, то любая, голоморфная в областиΩ, функцияf(z)разлагается в ряд по полиномам (2.2) f(z) = X |α|≥0 cαpα(z), (2.17) сходящийся кf(z)в каждой точкеz∈Ωи равномерно сходящийся на компактных подмножествах областиΩ. Полиэллипсом с фокусамиa, b(a≤0, b≥0) назовем декартово произ- ведениеnэллипсов с фокусами в точкахaиb, а области, порождаемые семейством всех возможных полиэллипсов с фокусамиa, bмы называем n-эллиптическими областями с фокусамиa, b. Для иллюстрации теоремы 2.5 определяются многомерные аналоги мно- гочленов Гегенбауэра, Якоби и др. При этом, в соответствующих частных случаях, теорема 2.5 гласит: если функцияf(z)голоморфна в некоторойn-эллиптической области с фо- кусами−1,1, то она разлагается в ряд, сходящийся в этой области, по многомерным полиномам, являющимися аналогами многочленов Геген- бауэра или Якоби. В параграфе 2.4 определяется функция сравнения многих переменных Ψ(t)и семейство целых функций конечногоΨ-типа. При Ψ(t) = exp( n X k=1 tk) это семейство совпадает с классом целых функций экспоненциального типа [20]. 18 Устанавливается условие в виде ограничения наΨ- тип целой функ- ции, при котором она может быть представлена всюду сходящимся в пространствеC n рядом по полиномам (2.2). В параграфе 2.5 рассматривается обобщение многочленов Чебышева вто- рого рода на случай многих переменных и изучается вопрос о суммирова- нии разложений голоморфных функций по этим многочленам методом, введенным в § 1.4 для степенных рядов. Зададим многочленыpα(z)с помощью производящей функции A(ω) n Y j=1 (1−2ωjzj+ω 2 j) −1 = X |α|≥0 pα(z)ω α , (2.32) где функцияA(ω)голоморфна в поликругеI n иA(ω)̸= 0для всехω∈ I n . Приn= 1иA(ω)≡1они превращаются в многочлены Чебышева второго рода. Гиперболическим лучом на плоскостиCназовем любую часть гиперболы с фокусами -1, 1, лежащую в одной четверти плоскости, а также четыре луча: {x+iy∈C:x= 0, y≥0},{x+iy∈C:x= 0, y≤0}, {x+iy∈C:x≥1, y= 0},{x+iy∈C:x≤ −1, y= 0}. Пустьω1∈C; черезT(ω1)обозначим кусок гиперболического луча, со- единяющего точкиω1и∞. Дляω= (ω1, ..., ωn)∈C n обозначимT(ω) =T(ω1)×...×T(ωn). Пусть∆fмножество особых точек функцииf(z), которую предположим голоморфной в некоторойn- эллиптической области с фокусами -1, 1. Область Hf=int(C n \ [ ω∈∆f T(ω)) 19 назовем гиперболической звездой Миттаг-Леффлера функцииf(z). В качестве суммы Миттаг-Леффлера ряда (2.17) возьмем выражение S(z) = lim λ→0 X ∥α∥≥0 cαpα(z) Γ(α1λ+ 1). . .Γ(αnλ+ 1) (2.34) Теорема 2.8. Пусть функцияf(z)голоморфна в некоторойn-эллиптической области с фокусами−1,1, тогда она разлагается в ряд (2.17) по много- членам (2.32), суммируемый методом (2.34) в гиперболической звезде Миттаг-ЛеффлераHf, иначе говоря, для всехz∈Hfимеет место равен- ство lim λ→0 X ∥α∥≥0 cαpα(z) Γ(α1λ+ 1). . .Γ(αnλ+ 1) =f(z) (2 .35) Результаты диссертации докладывались на IX Донецком коллоквиуме по квазиконформным отображениям и обсуждались на семинаре по теории аналитических функций в Московском государственном университете, на семинаре по дифференциальным уравнениям с частными производ- ными в математическом институте АН СССР им. В.А. Стеклова, на се- минаре отдела теории функций в институте математики СО АН СССР, а также на семинаре по методам математической физики и обобщенным функциям в Уральском государственном университете. По теме диссертации автором опубликовано 3 статьи [51-53] 20 ГЛАВА 1 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ § 1.1. Вспомогательные утверждения Пусть A и B некоторые подмножества расширенной комплексной плос- костиC. Обозначим z·A={z·w:w∈A}, A·B={z·w:z∈A, w∈B}, A −1 = 1 A ={z −1 :z∈A}, A ′ =C\A, A ∗ = (A ′ ) −1 . При этом, естественно, предполагаем, что∞·a=∞приa̸= 0,0 −1 =∞, ∞ −1 = 0,0· ∞- неопределено и в дальнейшем не появляется. Далее пусть Ir={z∈C:|z|< r}круг радиусаr >0с центром в начале координат, в частности полагаемI1=I,I∞=C. ЧерезAбудем обозначать замыкание в пространствеCмножестваA⊂ C. ЕслиD⊂Cобласть, то через∂Dобозначается ее граница; условиеA⊂ DзаписываетсяA⋐D, если множество A ограничено. Лемма 1.1. Имеют место равенства: 1)A ∗ = (A −1 ) ′ для любого множестваA⊂C; 2)A·B=A·Bдля множествA⋐CиB⋐C; 21 3)(A ′ ·B ′ ) ′ ={z∈C:z·A ∗ ⊂B}, еслиA⊂C,B⊂C,0∈A∩B. Доказательство. 1. Легко видеть, что A −1 ∪(A ′ ) −1 = (A∪A ′ ) −1 = (C) −1 =C, A −1 ∩(A ′ ) −1 =∅. Поэтому (A −1 ) ′ =C\A −1 = (A ′ ) −1 =A ∗ . 2. Заметим, что множествоA·Bзамкнуто в пространствеC. Действи- тельно, если, например,z0∈Cего предельная точка, то найдется по- следовательность точек этого множестваzn=wn·tn,wn∈A,tn∈B, n= 1,2, . . ., сходящаяся кz0. Последовательностиwnиtnограничены, т.к. ограничены сами множе- стваAиB, поэтому, переходя к подпоследовательностям, считаем их сходящимися к некоторым точкамw0∈Aиt0∈Bсоответственно. Отсюдаz0=w0·t0∈A·B. Таким образом, множествоA·Bзамкнуто и содержит множествоA·B, следовательно,A·B⊂A·B. Обратно, еслиz0∈A·B, тоz0=w0·t0,w0∈A,t0∈B. Тогда су- ществуют последовательностиwn∈Aиtn∈B, сходящиеся кw0иt0 соответственно. Полагаяzn=wn·tn,n= 1,2, . . ., находимzn∈A·Bиlim n→∞ zn=z0, т.е. z0∈A·B. Это означает, чтоA·B⊂A·B. 3. Это утверждение встречается в работах [41, 46]. Имеем (A ′ ·B ′ ) ′ ={z∈C:z /∈A ′ ·B ′ }={z∈C:z·A ∗ ∩B ′ =∅}={z∈C:z·A ∗ ⊂B}. Лемма 1.1 доказана. 22 Рассмотрим теперь некоторое множествоΛ⊂C, содержащее единичный кругI. ЧерезU(Λ)обозначим семейство всех возможных областейΩ⊂ C, удовлетворяющих условию Ω·Λ ∗ ⊂Ω. (1.1) Из этого определения следует, что всякая областьΩсемействаU(Λ)со- держит точку нуль. Заметим также, что если множествоΛне содержит точкуz= 1, т.е. 1∈Λ ′ , то условие (1.1) равносильно равенствуΩ·Λ ∗ = Ω. Подмножество семействаU(Λ), состоящее из всех его односвязных обла- стей, обозначимU0(Λ). Лемма 1.2. Условие (1.1) эквивалентно каждому из двух следующих соотношений: 1) Ω ′ ·Λ ′ ⊂Ω ′ , (1.2) 2) Ω·Ω ∗ ⊂Λ. (1.3) Доказательство. Применяя утверждение 3 леммы 1.1, находим: Ω·Λ ∗ ⊂Ω⇐⇒Ω⊂ {z∈C:z·Λ ∗ ⊂Ω}={z∈C:z·Ω ∗ ⊂Λ}= (Ω ′ ·Λ ′ ) ′ . Отсюда следует равносильность всех трех включений (1.1), (1.2) и (1.3). Лемма 1.2 доказана. Теперь докажем лемму, в которой приводятся некоторые свойства семей- стваU(Λ). Лемма 1.3. Справедливы утверждения: 1)U(I) =U0(I) ={Ir,0< r≤ ∞}; 23 2) еслиΛ1⊂Λ2, тоU(Λ1)⊂ U(Λ2); 3) пусть(Λ ′ ) k = Λ ′ ·Λ ′ . . .Λ ′ |{z} k ,Λ1= [ ∞S k=1 (Λ ′ ) k ] ′ , тогдаU(Λ) =U(Λ1); 4) пустьΛ1= S Ω∈U(Λ) Ω·Ω ∗ , тогдаU(Λ) =U(Λ1). Доказательство. 1. В данном случаеΛ =I,Λ ∗ =I, поэтому условие (1.1) имеет вид Ω·I⊂Ω. Таким образом, областьΩтогда и только тогда принадлежит семейству U(Λ), когда она обладает свойством:z∈Ω⇒z·I=I|z|⊂Ω. ОтсюдаΩ =Irдля некоторогоr, удовлетворяющего неравенству0< r≤ ∞. 2. По условиюΛ ′ 2⊂Λ ′ 1, следовательно,Λ ∗ 2⊂Λ ∗ 1, откудаΩ·Λ ∗ 2⊂Ω·Λ ∗ 1 для любой областиΩ. Сопоставляя это с условием (1.1), находим:Ω∈ U(Λ1)⇒Ω∈ U(Λ2), что означаетU(Λ1)⊂ U(Λ2). 3. Прежде всего, очевидно,Λ1⊂Λ. Отсюда, по уже доказанному, U(Λ1)⊂ U(Λ). Покажем обратное. ПустьΩ∈ U(Λ), тогда, по лемме 1.2,Ω ′ ·Λ ′ ⊂Ω ′ . Теперь для любого натуральногоk≥2имеем:Ω ′ ·(Λ ′ ) k = Ω ′ ·Λ ′ (Λ ′ ) k−1 ⊂ Ω ′ (Λ ′ ) k−1 ⊂ · · · ⊂Ω ′ , откудаΩ ′ ·Λ ′ 1⊂Ω ′ . По лемме 1.2 это означает, чтоΩ∈ U(Λ1), т.е.U(Λ)⊂ U(Λ1). 4. Применяя лемму 1.2, имеемΛ1⊂Λ, поэтомуU(Λ1)⊂ U(Λ). Обратное, из определения множестваΛ1, замечаем, чтоΩ∈ U(Λ)⇒ Ω·Ω ∗ ⊂Λ1. В соответствии с леммой 1.2 последнее означает, чтоΩ∈ U(Λ1), следо- вательно,U(Λ)⊂ U(Λ1). 24 Лемма 1.3 доказана. Из утверждений 1 и 2 леммы 1.3 следует, что семействаU(Λ)иU0(Λ) непустые. Например, они содержат все кругиJr,0< r≤ ∞. Положим теперьΛ =C\ {2}в утверждении 3 леммы 1.3, тогда Λ ′ ={2,∞},(Λ ′ ) 2 ={4,∞}, . . . ,(Λ ′ ) k ={2 k ,∞}, . . . . Поэтому Λ1= " ∞ [ k=1 (Λ ′ ) k # ′ =C\ {2, . . . ,2 k , . . .}, т.е.Λ1⊂Λ,Λ1̸= Λи, в то же время, по лемме 1.3,U(Λ) =U(Λ1). Этот пример оправдывает следующее определение. Определение. МножествоΛ, удовлетворяющее условиюI⊂Λ⊂C, назовем минимальным, если для любого множестваΛ1из соотношений I⊂Λ1⊂C,U(Λ) =U(Λ1)следует включениеΛ⊂Λ1. Лемма 1.4. ПустьI⊂Λ⊂C, тогда 1) существует единственное минимальное множествоΛ1такое, чтоI⊂ Λ1⊂ΛиU(Λ) =U(Λ1), 2) для того чтобы само множествоΛбыло минимальным необходимо и достаточно, чтобыΛ∈ U(Λ)и1∈Λ ′ . Доказательство. 1. Для доказательства существования мы используем утверждение 4 лем- мы 1.3, а именно покажем, что определенное в нем множествоΛ1явля- ется искомым минимальным множеством. Действительно, взяв в качествеΩнекоторый кругIr,0< r <∞, убеж- даемся, чтоI⊂Λ1. Далее, применяя лемму 1.2, находим, чтоΛ1⊂Λ. Любое же множествоΛ2такое, чтоI⊂Λ2⊂CиU(Λ2) =U(Λ1) =U(Λ) содержит все множестваΩ·Ω ∗ ,Ω∈ U(Λ), т.е. содержитΛ1. 25 Поэтому множествоΛ1минимально. Его единственность следует из са- мого определения минимального множества. 2. Необходимость. ПустьΛминимально, тогда, по уже доказанному, Λ = Λ1= [ Ω∈U(Λ) Ω·Ω ∗ . Теперь, если1∈Λ, то найдется областьΩ∈ U(Λ)такая, что1∈Ω·Ω ∗ , т.е.1 =z·ω −1 при некоторыхz∈Ωиω∈Ω ′ . Противоречие. Итак1∈Λ ′ . Далее, пустьΩ̸=C, тогдаΩ·Ω ∗ = S t∈Ω ∗ \{0} Ω·t, откуда следует, чтоΩ·Ω ∗ область, еслиΩ̸=C. Но тогда и само множествоΛявляется областью. Наконец, Λ·Λ ∗ = ( [ Ω∈U(Λ) Ω·Ω ∗ )Λ ∗ = [ Ω∈U(Λ) Ω·(Ω ∗ Λ ∗ ) = [ Ω∈U(Λ) Ω·Ω ∗ = Λ, таким образом,Λ∈ U(Λ). Достаточность. Пусть1∈Λ ′ иΛ∈ U(Λ), тогда, по уже доказанному утверждению 1 настоящей леммы, существует минимальное множество Λ1= [ Ω∈U(Λ) Ω·Ω ∗ ⊂Λ, для которогоU(Λ) =U(Λ1). Так какΛ∈ U(Λ), то приΩ = ΛнаходимΛ = Λ·Λ ∗ ⊂Λ1. ОтсюдаΛ1= Λ. Лемма 1.4 доказана. Сделаем теперь некоторые замечания. 1. Из леммы 1.4 следует, что минимальными множествами могут быть только области. 26 2. УсловиеΛ∈ U(Λ)равносильно следующим:I⊂Λ⊂C,Λ- область иΛ ′ ·Λ ′ ⊂Λ ′ . Если же1∈Λ ′ , то последнее включение превращается в равенствоΛ ′ ·Λ ′ = Λ ′ . 3. Приведенный выше примерΛ =C\ {2}показывает, что множество Λ1, определенное в утверждении 3 леммы 1.3, вообще говоря, не является минимальным. Однако нетрудно доказать, что оно будет минимальным в том случае, ко- гда1∈Λ ′ и, в силу единственности минимального множества, совпадает с множествомΛ1из утверждения 4 леммы 1.3. 4. Заметим, что конструкции видаΩ·Ω ∗ использовались в работе [3] для описания областей эффективной суммируемости степенных рядов. Лемма 1.5. ПустьΛ∈ U(Λ),Λ̸=CиD⊂Cнекоторая область, содер- жащая точку нуль. Тогда множествоS=D·Λ ∗ также является областью, причемS∈ U(Λ). Доказательство. Тот факт, чтоS- область доказывается так же, как это было сделано в лемме 1.4 для множестваΩ·Ω ∗ . ДалееS·Λ ∗ =DΛ ∗ ·Λ ∗ ⊂D·Λ ∗ =S. ЗначитS∈ U(Λ). Лемма 1.5 доказана. § 1.2. Интегральное представление для суммы степен- ного ряда Прежде всего докажем следующую теорему, которая описывает голо- морфное продолжение композиции по Адамару двух степенных рядов. 27 Теорема 1.1. Пусть I⊂Λ⊂C, Λ- область, в которую голоморфно и однозначно продолжается сумма Ψ(t)степенного ряда Ψ(t) = ∞ X n=0 Ψnt n (1.4) Тогда, если областьΩ∈ U0(Λ)и функцияa(z), определенная рядом a(z) = ∞ X n=0 anz n (1.5) голоморфно продолжается в областьΩ, то и композиция по Адамару рядов (1.4) и (1.5) a∗Ψ(z) = ∞ X n=0 anΨnz n также голоморфно продолжается в областьΩ. Доказательство. Мы действуем аналогично доказательству теоремы Адамара об умноже- нии особенностей [8]. Сначала заметим, что вследствие утверждения 1 леммы 1.4 областьΛ можно считать минимальным множеством. Пустьωпроизвольная точка областиΩ. Возьмем ограниченную область B⋐Ω, содержащую точки0иω. По лемме 1.5 множествоS=B·Λ ∗ является областью иS∈ U(Λ). Кроме того1∈Λ ′ (условие минимальностиΛ), поэтомуB⊂Sиω∈S. Используя утверждение 2 леммы 1.1, находим S=B·Λ ∗ =B·Λ ∗ ⊂Ω·Λ ∗ = Ω, следовательноS⋐Ω. В силу односвязности областиΩ, найдется такая односвязная областьDс жордановой спрямляемой (даже кусочно- 28 гладкой) границейΓ, чтоS⋐D⋐Ω(см. [28], стр. 127). Мы докажем справедливость интегрального представления a∗Ψ(z) = 1 2πi Z Γ a(ζ)Ψ  ̑ z ζ  ̏ dζ ζ (1.6) для любой точкиzиз областиS. Когдаz∈Sиζ∈Γимеемζ∈Ωиz·ζ −1 ∈S·S ∗ ⊂Λ(по лемме 1.2). Поэтому функцияb(z), определенная интегралом (1.6) b(z) = 1 2πi Z Γ a(ζ)Ψ  ̑ z ζ  ̏ dζ ζ , голоморфна и однозначна в областиS. Так как0∈S, то найдетсяρ >0такое, что кругIρ⊂S. Очевидно, ряд (1.5) сходится вIρ. Пусть теперьz∈Iρ. Выберемr >0так, что|z|< r < ρ. ОбластьΩодносвязна, поэтому криваяΓгомотопна в этой области окруж- ности∂Ir={z∈C:|z|=r}. Еслиζ∈∂Ir, тоζ∈Iρиz·ζ −1 ∈Iпри выбранномz. По интегральной теореме Коши, имеем b(z) = 1 2πi Z ∂Ir a(ζ)Ψ  ̑ z ζ  ̏ dζ ζ = 1 2πi Z ∂Ir ∞ X m,n=0 anΨmz m ζ n−m−1 dζ= = ∞ X n=0 anΨnz n =a∗Ψ(z), z∈Iρ, Почленное интегрирование законно, т.к. ряды для функцийa(ζ)иΨ( z ζ ) сходятся равномерно поζ∈∂Ir. По теореме единственности, теперьb(z) =a∗Ψ(z)в областиS. Формула (1.6) доказана. Учитывая, чтоωпроизвольная точка областиΩ, мы тем 29 самым доказали возможность аналитического продолжения композиции по Адамару рядов (1.4) и (1.5) в областьΩ. По теореме о монодромии, определенная таким образом функцияa∗Ψ(z), однозначна вΩ. Теорема 1.1 доказана. Вопрос об аналитическом продолжении композиции по Адамару иссле- дован очень мало [8]. Теорема 1.1 дает определенную информацию по этому вопросу при до- полнительных ограничениях на один из рядов и, таким образом, допол- няет теорему Адамара об умножении особенностей. Отметим еще работу [17], в которой затрагивается эта проблема. Пусть теперьΓлюбая замкнутая жорданова кривая, разделяющая точки 0и∞иDта из двух ограничиваемых ей областей, которая содержит точку0. Для данного множестваΛ,I⊂Λ⊂Cрассмотрим всевозможные области S∈ U(Λ)такие, чтоS⊂D. Наибольшую из всех этих областей, равную их объединению, мы обозна- чим черезSΓ(Λ). ЕслиD∈ U(Λ), то, очевидно,SΓ(Λ) =D. Следствие 1.1. В условиях теоремы 1.1 интегральное представление (1.6) при фиксированной замкнутой, спрямляемой, жордановой кривой Γсправедливо для всехz∈SΓ(Λ). Доказательство. Пусть криваяΓфиксирована иω- любая точка областиSΓ(Λ). По определению областиSΓ(Λ)найдется такая областьS1∈ U(Λ), что ω∈S1⊂ D. Возьмем ограниченную областьB⋐S1, содержащую точки0иω, и сконструируем областьS=B·Λ ∗ . ТогдаS⋐S1,S∈ U(Λ),ω∈S. 30 Рассуждая далее как в доказательстве теоремы 1.1, доказываем инте- гральное представление (1.6) для всехz∈S, а следовательно и для любой точкиω∈Sn(Λ). Следствие 1.1 доказано. В качестве ядра будущего интегрального представления для суммы сте- пенного ряда рассмотрим функциюΨ(t), заданную сходящимся рядом (1.4). Предположим, что Ψn̸= 0, n= 0,1,2, . . . (1.7) и вместе с рядом (1.4) в окрестности начала координат сходится ряд Ψ−1(t) = ∞ X n=0 (Ψn) −1 t n . (1.8) ПустьI⊂Λ⊂C,Λ- некоторая область. ЧерезG(Λ)обозначим множество всех тех функций (1.4), удовлетворяю- щих условию (I.7), которые вместе с соответствующей им функцией (1.8) голоморфно и однозначно продолжаются в областьΛ. Из теоремы 1.1 следует, что в случаеΛ∈ U0(Λ)множествоG(Λ)относи- тельно операции * является коммутативной группой с единицей(1−t) −1 . Для того, чтобы функция (1.4) принадлежала множествуG(I)достаточ- но выполнения двух условий: (1.7) и lim n→∞ n p |Ψn|= 1. (1.9) Если жеΛ =C\[1,+∞), то важным представителем множестваG(Λ) является гипергеометрическая функция 2F1(a, b, c;t) = ∞ X n=0 (a)n(b)n (c)nn! t n , 31 где параметрыa,bиcне равны нулю или целому отрицательному числу, (a)n=a(a+ 1)...(a+n−1),(a)0= 1. Действительно, известно [4], что гипергеометрическая функция2F1го- ломорфно продолжается в областьΛ =C\[1,+∞). Поэтому функции Ψ(t) = ∞ X n=0 (a)n (c)n t n иΨ−1(t) = ∞ X n=0 (c)n (a)n t n также голоморфно продолжаются в областьΛ, как частные случаи ги- пергеометрической функции. Таким образом,Ψ(t)∈G(Λ). По той же причине группеG(Λ)принадле- жит и функция φ(t) = ∞ X n=0 (b)n n! t n . Но тогда, по теореме 1.1 (или по теореме Адамара об умножении особен- ностей), и сама функция2F1(a, b, c;t)принадлежит группеG(Λ). Отметим, что вопросы аналитического продолжения функции (1.8) при действительных коэффициентахΨnи условии (1.9) рассматривал Сул [48, 49], а в общем случае комплексных коэффициентовΨn, при до- полнительном предположении, что функция (1.4) голоморфна в области Λ =C\[1,+∞)- Эгмон [34]. Теперь на множестве функций, голоморфных в начале координат, вве- дем следующее преобразование. Каждой функцииf(z), заданной своим разложением в ряд f(z) = ∞ X n=0 fnz n , (1.10) поставим в соответствие функцию g(w) = ∞ X n=0 fn Ψn z n , (1.11) 32 гдеΨn, n= 0,1, . . .коэффициенты некоторой фиксированной функции (1.4), удовлетворяющие условиям (1.7) и (1.9). Теорема 1.2. ПустьI⊂Λ⊂C,Λ- область и функцияΨ(t)∈G(Λ). Да- лее пустьΩ∈ U0(Λ),Γ⊂Ωспрямляемая, замкнутая, жорданова кривая, разделяющая точки0и∞. Тогда для любой функцииf(z), заданной рядом (1.10) и голоморфной в областиΩ, имеет место интегральное представление f(z) = 1 2πi Z Γ g(ω)Ψ “ z ω ” dω ω , (1.12) справедливое для всехz∈SΓ(Λ). Функцияg(ω)в формуле (1.12) опре- деляется своим разложением в ряд (1.11). Доказательство. Так какg(ω) =f∗Ψ−1(ω)то, по теореме 1.1, функцияg(ω)голоморфно продолжается в областьΩ. Кроме того,f(z) =g∗Ψ(z), поэтому, по следствию 1.1, для функцииf(z) мы имеем интегральное представление (1.12). Теорема 1.2 доказана. Следствие 1.2. Интегральное представление (1.12) дает аналитическое продолжение суммы ряда (1.10) в любую область семействаU0(Λ), не пересекающуюся с множеством особых точек этой суммы. Для функцииg(ω)мы также можем указать интегральное представление g(ω) = 1 2πi Z C f(ζ)Ψ−1  ̑ ω ζ  ̏ dζ ζ , (1.13) 33 которое продолжает ее голоморфно в областьΩ. Здесь криваяC⊂Ωобладает теми же свойствами, что иΓв формуле (1.12),ω∈SC(Λ). Пустьz∈SΓ(Λ),Γвместе со своей внутренностьюDсодержится в обла- стиSC(Λ), тогда, подставляя найденное выражение дляg(ω)в формулу (1.12), получаем f(z) =− 1 4π 2 ZZ ΓC f(ζ)Ψ “ z ω ” ·Ψ−1  ̑ ω ζ  ̏ dζ ζ · dω ω . (1.14) Заметим, что формула (1.14) сводится к интегральной формуле Коши. В этом можно убедиться меняя порядок интегрирования (что при ука- занных условиях допустимо) и используя равенство 1 2πi Z Γ Ψ “ z ω ” ·Ψ−1  ̑ ω ζ  ̏ dω ω = 1 1− z ζ . (1.15) Формула (1.15) может быть доказана тем же методом каким была дока- зана формула (1.6) в теореме 1.1. Мы можем рассматривать формулу (1.13) как интегральное преобразо- вание функцииf(z). Тогда формула (1.12) является его формулой обращения. Ее доказательство можно было бы получить рассуждая в обратном по- рядке: установить равенство (1.15), подставить его в интегральную фор- мулу Коши и, изменив порядок интегрирования, прийти к формуле (1.14), наконец воспользоваться преобразованием (1.13). 34 § 1.3. Примеры В этом параграфе мы приведем некоторые примеры, иллюстрирующие материал предыдущих параграфов. Пример 1. ПустьΛ =I. Поскольку1∈Λ ′ иΛ ′ ·Λ ′ = Λ ′ , то, по лемме 1.4,Λ- минимальное множество. В качестве ядра интегрального представления (1.12) здесь, очевидно, можно брать любую сумму ряда (1.4), коэффициенты которого удовле- творяют условиям (1.7) и (1.9). Однако, согласно утверждению 1 леммы 1.3, семейство областейU(Λ) состоит в этом случае из одних круговIr, следовательно никакого про- должения ряда (1.10) за пределы его круга сходимости формула (1.12) не дает. Пример 2. Возьмем теперь областьΛ, для которой Λ ′ ={z∈C:|arg(z−1)| ≤α < π 2 } есть множество точек расположенных внутри и на границах угла вели- чины2αс вершиной в точке 1 и биссектрисой Imz= 0. В данном случае семействоU(Λ)состоит из областейΩ, удовлетворяю- щих условиюΩ ′ ·Λ ′ = Ω ′ , которое, очевидно, равносильно следующему: ω·Λ ′ ⊂Ω ′ для всехω∈∂Ω. Таким образом, семействоU(Λ)здесь состоит из областейΩ, содержащих точку нуль и непересекающихся со всеми угламиωΛ ′ ,ω∈∂Ω. Заметим, однако, чтоΛне является минимальным множеством. Лемма 1.4 гарантирует нам существование минимального множестваΛα⊂Λ такого, чтоU(Λα) =U(Λ). Так как1∈Λ ′ , то это множество можно сконструировать в виде Λα= " ∞ [ k=1 (Λ ′ ) k #′ (см. замечание 3 после леммы 1.4). 35 Построив соответствующий чертеж, нетрудно убедиться, что Λ ′ = ȷ z=ρ(φ)e iφ :ρ(φ)≥ sinα sin(α− |φ|) ,|φ| ≤α ff . Далее находим (Λ ′ ) 2 = ȷ z=ρ(φ)·e iφ :ρ(φ)≥min φ1+φ2=φ ˘ sin 2 α sin(α− |φ1|) sin(α− |φ2|) – ,|φ1| ≤α,|φ2| ≤α ff = = ( z=ρ(φ)·e iφ :ρ(φ)≥ sin 2 α sin 2 (α− |φ| 2 ) ,|φ| ≤2α ) . Действуя аналогично, определяем(Λ ′ ) k приk >2 (Λ ′ ) k = ( z=ρ(φ)·e iφ :ρ(φ)≥ sin k α sin k (α− |φ| k ) ,|φ| ≤min[kα, π] ) . В пределе приk→ ∞получаем Λ ′ α= ˘ z=ρ(φ)·e iφ :ρ(φ)≥e |φ|ctgα ,|φ| ≤π . Заметим, чтоρ(φ) =e φctgα — уравнение в полярных координатах лога- рифмическойα-спирали, пересекающей под угломαлюбой луч, прове- денный из начала координат. ПоэтомуΛαпредставляет собой симметричную относительно осиOX область, ограничиваемую частями двух логарифмических спиралей ρ(φ) =e φctgα ,0≤φ≤πиρ(φ) =e −φctgα ,−π≤φ≤0. 36 Рис. 1. Теперь мы сможем точнее описать процесс аналитического продолжения ряда (1.10), осуществляемого формулой (1.12) в случае, когда функция Ψ(t)∈G(Λα). Построим спиральные углыω·Λ ′ αс вершиной в каждой особой точкеω суммы ряда (1.10), возьмем объединение S ω ωΛ ′ αпо всем особым точкам функцииf(z)и рассмотрим дополнение ˘ S ω ωΛ ′ α – ′ . Открытое ядро этого дополнения Ωα=int " [ ω ωΛ ′ α # ′ и будет той областью, в которую формула (1.12) голоморфно продолжает сумму ряда (1.10). Можно проверить, чтоΩα∈ U(Λα). В частном случае приα= 0мы получаем голоморфное продолжение в звезду Миттаг-Леффлера функции f(z). 37 Пример 3. ПустьΛесть плоскостьCс разрезом вдоль логарифмическойα-спирали ρ(φ) =e φ ctg(α) от 1 до∞(т.e.φ≥0,0< α < π 2 , т.e. Λ ={z∈C:z̸=e φ(i+ctg(α)) , φ∈[0.+∞]}. Легко убедиться, чтоΛминимальное множество. СемействоU(Λ)здесь состоит из спиральных звезд, т.е. областей содер- жащих вместе с любой своей точкойω, дугу логарифмической спирали ωΛ ∗ , соединяющую точкуωс началом координат (см. также [3]). Таким образом, при условииΨ(t)∈G(Λ)формула (1.12) дает анали- тическое продолжение суммы ряда (1.10) в максимальную спиральную звезду, не содержащую особых точек этой суммы, так сказать, в спираль- ную звезду Миттаг-Леффлера. Пример 4. ВозьмемΛ =C\N, гдеN- множество натуральных чисел. Тогда, Λ ′ =N∪ {∞},Λ ′ ·Λ ′ = Λ ′ , следовательно,Λ- минимально. Здесь области семействаU(Λ)) это областиΩ, удовлетворяющие условию Ω· 1 n ⊂Ω,для всехn∈N∪ {∞}. Аналитическое продолжение, осуществляемое формулой (1.12) можно описать так: пусть∆f- множество особых точек суммы ряда (1.10), то- гда, при условии, чтоΨ(t)∈G(Λ)формула (1.12) аналитически продол- жает функциюf(z)в любую односвязную областьΩтакую, что 0∈ΩиΩ⊂C\(∆f·N). Пример 5. Обозначим через E множество корней степени n из единицы, т.е. E={exp( 2kπ n i), k= 0,1, ..., n−1} 38 и пустьΛ =C\E. ТогдаΛ ′ =E∪ {∞}и легко видеть, чтоΛ- мини- мальное множество. Условие (1.1) в данном случае означает, что областьΩпереходит в себя при поворотах на угол 2π n . Таким образом, здесь формула (1.12) дает голоморфное продолжение ряда (1.10) в любую односвязную областьΩ, инвариантную относительно поворота на угол 2π n , при условииΨ(t)∈G(Λ). В частности, приn= 1получаем аналитическое продолжение суммы ряда (1.10) в любую односвязную область, содержащую точку нуль и не пересекающуюся с множеством особых точек этой суммы. § 1.4.n- звездные области вC n Пустьz= (z1, . . . , zn),ω= (ω1, . . . , ωn)точки пространстваC n ; положим zω= (z1ω1, . . . , znωn),z −1 = (z −1 1, . . . , z −1 n). При этом считаем действующими соглашения принятые в начале пара- графа 1.1. ЕслиA⊂C n ,B⊂C n , то обозначим zA={zω:ω∈A}, A·B={zω:z∈A, ω∈B}, A −1 ={z −1 :z∈A}. Также как и в одномерном случае используем обозначениеAдля за- мыкания вC n множестваA⊂C n ,∂Dдля границы областиD⊂C n , записываемA⋐Dв том случае когдаA⊂DиAограничено. Без труда на случай многих переменных переносится утверждение 2 лем- мы 1.1. Лемма 1.6. ПустьA⋐C n ,B⋐C n , тогдаA·B=A·B. Доказательство практически дословно совпадает с уже разобранным слу- чаемn= 1. 39 Пусть далееF= [0,1]отрезок действительной оси иE⊂F n . ОбластьΩ⊂C n назовемE-звездной, если для нее выполняется соотно- шениеΩ·E⊂Ω. Например, если E=Ed={z∈F n :z1=z2=· · ·=zn} - диагональ кубаF n , тоE-звездная областьΩесть просто звездная об- ласть вC n с центром в нуле в обычном общепринятом смысле. В случаеE=F n будем называтьE-звездные областиn-звездными. Очевидно, что любаяn-звездная область является звездной с центром в нуле, но не наоборот. Например, областьC n \E −1 d является звездной с центром в начале коор- динат, но неn-звездной, ибо(C n \E −1 d )F n =C n . Ясно также, что областьΩ⊂C n тогда и только тогдаn-звездна, когда она вместе с каждой своей точкойz= (z1, . . . , zn)содержит декартово произведение отрезков z·F n =z1F× · · · ×znF. Поликруговую областьD=D1× · · · ×Dn, являющуюсяn-звездной, на- зовем полизвездой. В этом случаеDk⊂C, k= 1, . . . , nплоские, звездные с центром в нуле, области. ПолизвездуDназовем максимальной полизвездой содержащейся вn- звездной областиΩ, еслиD⊂Ωи не существует полизвездыD1̸=D такой, чтоD⊂D1⊂Ω. Лемма 1.7. ЕслиΩ-n-звездная область вC n , то каждая ее точкаζ входит вΩвместе с некоторой максимальной полизвездойDζ, содержа- щейся вΩ. 40 Доказательство. Пустьζ= (ζ1, ..., ζn)∈Ω. Рассмотрим2 n точекω= (ω1, ..., ωn), гдеωk∈ {0, ζk}, k= 1, ..., n; некоторые из них могут совпадать. Все эти точки лежат в областиΩи, следовательно, их достаточно малые поликруговые окрестности Vω=Vω1×...×Vωn={|zk−ωk|< εω, k= 1, ..., n} также лежат вΩ. Пустьεнаименьшее из всехεω. Рассмотрим теперь два поликруга Vζ=Vζ1×...×Vζn, Vζk ={|zk−ζk|< ε}иV0=V1×...×Vn, Vk={|zk|< ε}, k= 1, ..., n. Легко проверить, что полизвездаBζ= (Vζ·F n )∪V0лежит вΩи содержит точкуζ. Осталось доказать, что существует максимальная вΩполизвезда Dζ⊃Bζ. Рассмотрим множествоXвсевозможных полизвездDтаких, что Bζ⊂D⊂Ω. ТогдаXчастично упорядочено по включению, а любое линейно упоря- доченное подмножествоYизXимеет вXверхнюю грань (такой гранью будет, например, объединение всех элементовY). По лемме Цорна существует максимальный элементDζвX, который и является искомой полизвездой, максимальной вΩи содержащейBζ. Лемма 1.7 доказана. Из леммы 1.7 следует, что любаяn-звездная областьΩ⊂C n может быть представлена в виде Ω = [ ℓ∈L Dℓ, гдеL- некоторое множество индексов и всеDl, l∈L- максимальные полизвезды изΩ. Такое представление, вообще говоря, не единственно. 41 Пусть вообщеF={Dℓ, ℓ∈L}некоторая система произвольных обла- стей вC n . Будем говорить, что областьΩ⊂C n порождается системойF, если Ω = [ ℓ∈M⊂L Dℓ. Множество всех возможных областейΩ, порождаемых системойF, обо- значим черезPF. Например, еслиFсистема всевозможных поликругов вC n с центром в нуле, тоPFмножество полных областей Рейнхардта илиn-круговых областей. Пустьaиbдействительные числа, причемa≤0, аb≥0. Полиэллипсом с фокусамиa, bназовем декартово произведениеnэллип- сов с фокусами в точкахaиb. n-звездные области, которые порождает система всех возможных поли- эллипсов с фокусамиa, bбудем называтьn-эллиптическими областями с фокусамиa, b. Пусть далее,α= (α1, . . . , αn)мультииндекс, αj≥0, j= 1, . . . , n,∥α∥=α1+· · ·+αn, z α =z α1 1. . . z αn n. Рассмотрим степенной ряд f(z) = X ∥α∥≥0 fαz α , (1.16) сходящийся в некоторой окрестности начала координат. ЧерезMfобозначим звезду Миттаг-Леффлера функцииf(z), т.е. мак- симальную, звездную с центром в нуле, область пространстваC n , в ко- торую голоморфно продолжается сумма ряда (1.17). Тогда всюду вMfимеет место равенство (см. [31]) 42 f(z) = lim λ→0 X |α|≥0 fαz α Γ(||α||λ+ 1) , (1.17) гдеλ >0, аΓ(t)- гамма-функция Эйлера. Выберем теперь в качестве суммы Миттаг-Леффлера ряда (1.16) другое выражение S(z) = lim λ→0 X |α|≥0 fαz α Γ(α1λ+ 1). . .Γ(αnλ+ 1) (1.18) и определим его область суммируемости этим методом. Пусть∆fмножество всех особых точек суммы ряда (1.16); черезNf обозначим внутренность дополнения вC n до множества∆f· 1 F n, т.е. Nf= int θ C n \∆f· 1 F n ι . ОбластьNfприn= 2встречалась в работах Гурьяновой К.Н. [10] и Мураева Э.Б. [18]. Она сконструирована аналогично, введенной Ивановым В.К. [13], звезде Бореля - области суммируемости методом Бореля двойного степенного ряда. Может показаться, что областьNfсовпадает с звездой Миттаг-Леффлера Mfфункцииf(z), однако это не так. Докажем, чтоNf⊂Mfи, вообще говоря,Nf̸=Mf. Лемма 1.8. ОбластьNfявляется максимальнойn- звездной областью вC n , в которой голоморфна функцияf(z). Доказательство. Из определения областиNfлегко следует, что (C n \Nf) −1 =∆ −1 f ·F n . Обозначим∆ −1 f =Af, тогда, применяя лемму 1.6, находим 43 Nf=C n \( ¯ Af·F n ) −1 . Теперь, еслиz∈Nf, тоz /∈( ¯ Af·F n ) −1 , откудаz·F n ∩( ¯ Af·F n ) −1 =∅, ибо иначеz∈( ¯ Af·F n ) −1 ·(F n ) −1 = ( ¯ Af·F n ·F n ) −1 =C n \Nf. Таким образом,z·F n ⊂C n \( ¯ Af·F n ) −1 =Nf. Последнее соотношение выполняется для любой точкиz∈Nf, следова- тельно,Nf·F n ⊂Nf. Мы показали, что областьNfявляетсяn-звездной. Чтобы доказать, что она максимальная из всехn-звездных областей, в которые голоморфно продолжается функцияf(z), предположим против- ное, т.е., что существует такаяn-звездная областьD, в которой функция f(z)голоморфна иD\Nf̸=∅. Пустьω∈D\Nf, тогдаω∈( ¯ Af·F n ) −1 , откудаωF n ∩( ¯ Af) −1 ̸=∅. Посколькуω·F n ⊂D, тоD∩( ¯ Af) −1 ̸=∅. Теперь нетрудно убедиться, чтоD∩(Af) −1 =∅, ибоDобласть. Но(Af) −1 = ∆f, следовательно,D∩∆f̸=∅. Противоречие. Лемма 1.8 доказана. Теперь мы видим, чтоNfестественно называтьn-звездной звездой Миттаг- Леффлера функцииf(z). Следующая теорема показывает, чтоn-звездная звезда Миттаг-Леффлера Nfявляется областью суммирования ряда (1.16) при выбранном нами способе суммирования (1.18). Теорема 1.3. Равенство lim λ→∞ X |α|≥0 fαz α Γ(α1λ+ 1). . .Γ(αnλ+ 1) =f(z) справедливо для всехz∈Nf. При этом на компактных подмножествах 44 областиNfпредел достигается равномерно поz. Доказательство. ЕслиNfполизвезда, то доказательство проводится с использованием ин- тегральной формулы Коши вC n аналогично одномерному случаю в [24]. В общем случае, по лемме 1.7,Nfпредставляет собой объединение по- лизвезд, поэтому доказательство здесь сводится к рассмотренному част- ному случаю. Теорема 1.3 доказана. § 1.5. Аналитическое продолжение кратных степен- ных рядов В этом параграфе речь пойдет об обобщении интегрального представле- ния (1.12). Прежде всего оно легко обобщается на случай многих переменных в духе интегральной формулы Коши вC n . Пустьz= (z1, . . . , zn),ω= (ω1, . . . , ωn),t= (t1, . . . , tn)точки простран- стваC n ,A⊂C n ,B⊂C,λ∈C. К обозначениям параграфа 1.4 добавим следующие: zλ= (z1λ, . . . , znλ),|z|= (|z1|, . . . ,|zn|),A·λ={zλ:z∈A}, A·B={zλ:z∈A, λ∈B},|A|={|z|:z∈A},R n +={x∈R n :xj>0, j= 1, . . . , n},|A|+=|A| ∩R n +. Еслиr∈R n +, то черезI n rобозначим поликругIr1× · · · ×Irn, в частности I n =I× · · · ×I |{z} n — единичный поликруг вC n . Для любого множества видаA=A1× · · · ×An,Aj⊂C, j= 1, . . . , n, полагаем A ′ = (C\A1)× · · · ×(C\An)иA ∗ = (A ′ ) −1 . 45 Возьмем теперь некоторое множествоΛ = Λ1×· · ·×Λn, удовлетворяющее условиюI n ⊂Λ⊂C n . ЧерезU(Λ)обозначим, как и приn= 1, семейство областейΩ⊂C n , для которыхΩ·Λ ∗ ⊂Ω. В том случае когдаΩ = Ω1× · · · ×Ωnполикруговая область,Ω∈ U(Λ)и каждая из плоских областейΩj,j= 1, . . . , nодносвязна будем обозначать Ω∈ U0(Λ).Если жеI⊂Λ⊂C, то множество областейΩ⊂C n , для которыхΩ·Λ ∗ ⊂Ω, обозначимU n (Λ). Например, семействоU n (I)состоит из всех возможных полных круговых областей с центром в начале координат. Возьмем некоторую точкуz∈C n отличную от начала координат и для любой областиΩ⊂C n , содержащей точку нуль, обозначим Ωz={λ∈C:zλ∈Ω}. Ясно, чтоΩzявляется областью на плоскостиCи, еслиΩ∈ U n (Λ), то Ωz∈ U(Λ). Отметим, чтоz·Ωz- множество точек лежащих в пересечении области Ωс комплексной прямойω=λz. Тот факт, чтоΩ∈ U n (Λ)и для всехz̸= 0областьΩzодносвязна, будем обозначатьΩ∈ U n 0(Λ). Аналогично одномерному случаю определим функции Ψ(t) = X |α|≥0 Ψαt α ,Ψα̸= 0иΨ−1(t) = X |α|≥0 (Ψα) −1 t α и каждой голоморфной в нуле функции (1.16) поставим в соответствие функцию g(ω) = X |α|≥0 fα Ψα ω α . В том случае, когдаΛполикруговая область иI n ⊂Λ⊂C n соотношение Ψ(t)∈G(Λ), также как и в одномерном 46 случае, будет означать, что обе функцииΨ(t)иΨ1(t)голоморфно и од- нозначно продолжаются в областьΛ. Теорема 1.4. Пусть областьΩ∈ U0(Λ),Λ- поликруговая область, I n ⊂Λ⊂C n иΨ(t)∈G(Λ). Тогда для любой функцииf(z), задан- ной рядом (1.16) и голоморфной в областиΩ, имеет место интегральное представление f(z) = 1 (2πi) n Z · · · Z Γ1×···×Γn g(ω)Ψ  ̑ z1 ω1 , . . . , zn ωn  ̏ dω1∧ · · · ∧dωn ω1. . . ωn ,(1.19) справедливое для всехz∈SΓ(Λ) def =SΓ1(Λ1)× · · · ×SΓn(Λn). Здесь каждая криваяΓjциклаΓ = Γ1× · · · ×Γn⊂Ωудовлетворяет тем же условиям, что и в плоском случае. Доказательство теоремы 1.4 проводится в точности так же, как и в слу- чае одной переменной. Формула (1.19) при Ψ(t) = 1 (1−t1). . .(1−tn) совпадает с интегральной формулой Коши вC n . В общем случае, при условииΨ(t)∈G(Λ)она осуществляет аналитиче- ское продолжение ряда (1.16) в любую областьΩ∈ PF, гдеF=U0(Λ). В частности приΛ = [C\[1,+∞)] n получаем голоморфное и однозначное продолжение функцииf(z)вn-звездную звезду Миттаг-ЛеффлераNf. Сформулируем еще многомерный аналог теоремы 1.1. Теорема 1.5. ПустьΛ- поликруговая область вC n ,I n ⊂Λ⊂C n и областьΩ∈ PF, гдеF=U0(Λ). Тогда, если степенные ряды 47 Ψ(t) = X ||α||≥0 Ψαt α иa(z) = X ||α||≥0 aαz α голоморфно продолжаются в областиΛиΩ, соответственно, то их ком- позиция по Адамару a∗Ψ(z) = X ||α||≥0 aαΨαz α голоморфно продолжается в областьΩ. В том случае, когдаΛ∈ U0(Λ), множествоG(Λ)вновь является комму- тативной группой относительно операции∗. В качестве примера покажем теперь, что гипергеометрическая функция Лауричелла [39] F (n) D (a;b1, ..., bn;c;t1, ..., tn) = X ||α||≥0 (a)||α||(b1)α1...(bn)αn (c)||α||α1!...αn! t α , где параметрыa, c, bk, k= 1, ..., nне равны нулю или целому отрицатель- ному числу, принадлежит группеG(Λ),Λ = [C\[1,+∞)] n . Очевидно, что функция P(t) = X ||α||≥0 (b1)α1...(bn)αn α1!...αn! t α принадлежитG(Λ). Осталось показать, что функция Qn(t) = X ||α||≥0 (a)||α|| (c)||α|| t α также принадлежит группеG(Λ), ибо тогда по теореме 1.5 то же утвер- ждение будет иметь место и для функцииF (n) D . 48 Заметим также, что вместоQn∈G(Λ)достаточно доказать лишь, что Qn(t)голоморфна вΛ. Применим метод математической индукции поn. Случайn= 1разобран в параграфе 1.2. Далее имеем легко проверяемое тождество:Qn(t1, . . . , tn) =Qn−1(t1, . . . , tn−1) +        tn Qn−1(t1, . . . , tn−1)−Qn−1(t1, . . . , tn−2, tn) tn−1−tn приtn−1̸=tn tn ∂Qn−1(t1, . . . , tn−1) ∂tn−1 приtn−1=tn по предположению индукцииQn−1голоморфна в области[C\[1,+∞)] n−1 . Из тождества видим, что функцияQn(t1, . . . , tn)голоморфна вC\[1,+∞) по каждому переменному при фиксированных остальных лежащих так- же вC\[1,+∞). По теореме Гартогса функцияQn(t1, . . . , tn)голоморфна в областиΛ, что и требовалось доказать. Применяя формулу (1.12) мы можем получить аналитическое продол- жение ряда (1.16) в области существенно более общего вида, если вос- пользуемся основным принципом аналитического продолжения кратных степенных рядов [31]. Пусть теперьΛплоское множество,I⊂Λ⊂Cи Bρ={z∈C n :|z1| 2 +· · ·+|zn| 2 < ρ 2 } некоторый шар радиусаρ >0. Предположим, что сумма ряда (1.16) голоморфна в областиΩ∈ U n 0(Λ). Зафиксируем точкуz∈∂Bρи рассмотрим сужениеfz(λ) =f(z·λ) функцииf(z)на комплексную прямуюω=λz,λ∈C. Известно [27, стр. 214], что функцияfz(λ)голоморфна в областиΩzи имеет в окрестностиλ= 0разложение в ряд Тейлора 49 fz(λ) = ∞ X k=0 pk(z)λ k , pk(z) = X ||α||=k fαz α . (1.20) Применяя формулу (1.12) к степенному ряду (1.20), приходим к инте- гральному представлению f(zλ) = 1 2πi Z Γz g(zσ)Ψ θ λ σ ι dσ σ , (1.21) гдеΨ(t)∈G(Λ)- задана рядом (1.4),Γz⊂Ωzплоская кривая, удовлетво- ряющая тем же условиям, что и криваяΓв формуле (1.12),λ∈SΓz(Λ)и, наконец, функцияg(ω),ω∈C n определяется своим разложением в ряд g(ω) = X ∥α∥≥0 fα Ψ∥α∥ ω α . Для любогоz∈∂Bρформула (1.21) голоморфно продолжает функцию fz(λ) =f(zλ)в областьΩz. Отсюда, согласно основному принципу аналитического продолжения крат- ных степенных рядов [31], формула (1.21) продолжает голоморфно сум- му ряда (1.16) в область [ z∈∂Bρ z·Ωz= Ω. Так какΩпроизвольная область семействаU n 0(Λ), то тем самым показа- но, что формула (1.21) позволяет осуществить голоморфное и однознач- ное продолжение суммы ряда (1.16) в любую область семействаU n 0(Λ), не содержащую особых точек этой суммы. В частности, приΛ =C\[1,+∞)получаем аналитическое продолжение функцииf(z)в ее звезду Миттаг-ЛеффлераMf. 50 ГЛАВА 2 КРАТНЫЕ РЯДЫ МНОГОЧЛЕНОВ § 2.1. Общий класс многочленов многих комплексных переменных Боас и Бак в своей монографии [35] вводят общее семейство многочленов Pn(z)одной комплексной переменной при помощи следующего формаль- ного производящего соотношения a(ω)·Ψ(z·b(ω)) = ∞ X n=0 pn(z)ω n ,(2.1) где a(ω) = ∞ X n=0 anω n , a0̸= 0, Ψ(t) = ∞ X n=0 Ψnt n ,Ψn̸= 0, n= 0,1, . . . b(ω) = ∞ X n=1 bnω n , b1̸= 0. Оно оказалось очень удобным для построения теории разложения голо- морфных функций по многочленамPn(z). С другой стороны, оно оказалось настолько широким, что охватило по- чти все известные многочлены, введенные тем или иным способом в ли- тературу. Отметим, например, такие частные случаи: 51 1.a(ω) = (1−ω) 1−λ ,Ψ(t) =e t , b(ω) = ω ω−1 , pn(z) =L (λ) n(z)- полиномы Лагерра. 2.a(ω) =e − ω 2 4,Ψ(t) =e t ,b(ω) =ω,pn(z) = Hn(z) 2 n n! , гдеHn(z)- полиномы Эрмита. 3.a(ω) = (1 +ω 2 ) −λ ,Ψ(t) = (1−t) −λ ,b(ω) = 2ω 1+ω 2,pn(z) =C λ n(z)- поли- номы Гегенбауэра, в частности приλ= 1 2 это многочлены Лежандра, а приλ= 1многочлены Чебышева второго рода. 4.a(ω) = (1−ω) −1−α−β ,Ψ(t) =2F1 ` 1+α+β 2 , 2+α+β 2 ,1 +α;t ´ b(ω) = −4ω (1−ω) 2, pn(z) = (α+β+1)n (α+1)n p (α,β) n(1−2z), гдеp (α,β) n(z)- полиномы Якоби. Большое количество других частных случаев, а также общие свойства многочленовpn(z), определенных соотношением (2.1), можно найти в [35]. Обобщая производящее соотношение (2.1) на случай многих переменных, приходим к следующему семейству полиномовpα(z) =pα1,...,αn(z1, . . . , zn) a(ω)·ψ(z·b(ω)) = X ||α||≥0 pα(z)ω α , (2.2) где a(ω) = X ||α||≥0 aαω α , a 0. . .0 |{z} n ̸= 0, z·b(ω) = (z1·b1(ω), . . . , zn·bn(ω)), bj(ω) = X ||α||≥0 bα,jω α , b 0. . .0 |{z} n ,j = 0, b 0. . .01 |{z} j 0...0,j ̸= 0, j= 1,2, . . . , n, 52 Ψ(t) = X ∥α∥≥0 Ψα·t α ,Ψα̸= 0для всехα. Подобное обобщение многочленов (2.1) рассматривалось в работах Ка- кичева В.А., Деревянченко Г.Д. [14] и Сторчевой Г.Д. [22]. Из формулы (2.2) легко следует, чтоpα(z)действительно полином степе- ни∥α∥, причем содержит членcαz α с отличным от нуля коэффициентом cα. Более того, аналогично одномерному случаю [35] можно определить об- щий вид многочленов (2.2). Теорема 2.1. Полиномы, заданные соотношением (2.2), имеют следую- щий явный вид: pα(z) = X ∥β∥≤∥α∥ Ψβz β X γ0+···+γ ∥β∥=α aγ0·bγ1,1. . . bγβ 1 ,1· ·bγβ 1 +1,2. . . bγβ 1 +β 2 ,2·bγβ 1 +β 2 +1,3. . . bγ ∥α∥,n (2.3) Здесьγ0, . . . , γ∥β∥- мультииндексы и внутренняя сумма распространяется на всевозможные решения системы линейных уравнений: γ0+γ1+· · ·+γ∥β∥=α. Доказательство. Положим K(z, ω) =a(ω)·Ψ(z·b(ω)), pα(z) = X ∥β∥≤∥α∥ pα,βz β , 53 тогда равенство (2.2) с учетом этого примет вид K(z, ω) = X ||α||≥0 ω α X ||β||≤||α|| pα,βz β = X ||β||≥0 z β X ||α||≥||β|| pα,βω α , откуда ∂ ||β|| K ∂z β z=0 =β! X ||α||≥||β|| pα,βω α , (2.4) где обозначено ∂ ||β|| K ∂z β = ∂ β1+...+βn ∂z β1 1...∂z βn n , β! =β1!... βn!. Подставив вместоK(z, ω)его выражение в производную ∂ ||β|| K ∂z β, найдем ∂ ||β|| K ∂z β =a(ω) ∂ ||β|| Ψ ∂t β t=z·b(ω) .[b(ω)] β Следовательно (2.4) перепишется так a(ω) ∂ ||β|| Ψ ∂t β t=0 [b(ω)] β =β! X ||α||≥||β|| pα,βω α , или X ||α||≥||β|| pα,βω α =a(ω)Ψβ[b(ω)] β (2.5) Разложив теперь правую часть (2.5) в ряд (перемножив||β||+ 1рядов стоящих в правой части (2.5)) и, приравнивая коэффициенты приω α , 54 мы находим дляPα,βследующее выражение Pα,β= Ψβ· X γ0+...+γ ||β||=α aγ0·bγ1,1... bγβ 1 ,1·bγβ 1 +1,2... bγ ||β||,n, что и доказывает формулу (2.3). Теорема 2.1 доказана. Если взятьb(ω) =ω, т.е.bj(ω) =ωj, j= 1, ..., n, то формула (2.3) прини- мает особенно простой вид: Pα(z) = X ||β||≤||α|| Ψβ·aα−βz β . (2.6) Во всех дальнейших рассуждениях мы не ограничиваемся формальным соотношением (2.2), а предполагаем, что участвующие в нем функции a(ω)иΨ(t)голоморфны, а отображениеζ=b(ω)биголоморфно, в неко- торой окрестности начала координат. Предположим более конкретно, что в некоторой полной области Рейн- хартаRс центром в нуле отображениеζ=b(ω)) биголоморфно, а функ- цияa(ω)голоморфна иa(ω)̸= 0для всехω∈ R. ПустьΛ⊂C n область, в которую голоморфно и однозначно продолжа- ется функцияΨ(t). ЧерезDrобозначим образ поликругаI n r∈ Rпри отображенииζ=b(ω) и рассмотрим область Ωr={z∈C n :zDr⊂Λ} При каждом фиксированном значенииz∈C n ряд (2.2) является степен- ным относительноω∈C n . В тех случаях, когда область его сходимости непуста, он является рядом Тейлора для функции a(ω)·Ψ(z·b(ω)). Отсюда следует, что ряд (2.2) абсолютно сходится при(z, ω)∈Ωr×I n r. Это замечание позволяет исследовать область сходимости ряда по поли- номам (2.2) 55 X ∥α∥⩾0 cαpα(z), cα∈C, (2.7) при некоторых ограничениях на коэффициентыcα. Теорема 2.2. ПустьW⊂C n область сходимости ряда X ∥α∥⩾0 cαz α , (2.8) причемV=R ∩(∂W) −1 ̸=∅. Тогда ряд (2.7) абсолютно сходится в области Ω = [ r∈|V|+ Ωr. Доказательство. Пустьρ∈ |V|+. Выберемz∈ |R|+так, чтобыρ∈ |Ir|+. ТогдаI n ρ⋐I n r⊂ R. Из определения областиVследует, что(I n r) ′ ⊂W −1 . Последнее означает, что I n r − 1= 1 (I n r) ′ ⊂WилиI n r −1⋐W. Отсюда имеем неравенство lim ∥α∥→∞ ∥α∥ s |cα| · ⊆ 1 r ⊇ α <1, из которого при достаточно больших значениях∥α∥и некоторомε >0 находим|cα|<(1−ε) ∥α∥ ·r α = [(1−ε)r] α . Теперь, применяя это неравенство, получаем X ∥α∥⩾0 cαpα(z) ⩽ X ∥α∥⩾0 |cα| · |pα(z)|< X ∥α∥⩾0 |pα(z)|[(1−ε)r] α . (2.9) Так как(1−ε)r= ((1−ε)r1, . . . ,(1−ε)rn)∈I n r, то ряд в правой части неравенства (2.9) сходится для всехz∈Ωr. Из определения областиΩrочевидно следует, чтоΩr⊂Ωρ. Поскольку областямиΩr, r∈ |Iρ|+можно исчерпать всю областьΩρ, то тем самым доказано, что ряд (2.7) абсолютно сходится для всехz∈Ωρ. Теорема 2.2 доказана. 56 Следствие 2.1. В обозначениях теоремы 2.2 положим V1={z∈V:z·I n ∩V=∅}. Тогда область сходимости ряда (2.7) можно определить так: Ω = [ r∈|V1|+ Ωz. Доказательство. Мы уже видели, что еслиρ∈ |I n r|+, тоΩr⊂Ωρ. По определениюV1для любогоr∈ |V|+существуетρ∈ |V1|+такое, чтоI n ρ⊂I n r. Поэтому [ r∈|V|+ Ωr= [ z∈|V1|+ Ωr. . Следствие 2.1. доказано. Допустим, чтоr= (r1, ..., rn)сопряженные радиусы сходимости сте- пенного ряда (2.8) иQ(r)- поверхность сопряженных радиусов, тогда [Q(r)] −1 =|V1|+и область сходимости ряда (2.8), при условии, чтоQ(r)∩ R̸=∅может быть описана следующим образом Ω = [ r −1 ∈Q(r) Ωr. § 2.2. Разложение функций, голоморфных в начале координат, в ряды полиномов. Одномерный случай Для полиномов (2.1) обозначения, используемые в предыдущем парагра- фе, претерпевают несущественные изменения. Предполагаем, чтоR=Iρ, ρ >0и функцияa(ω)голоморфна,b(ω)од- нолистна в кругеIρ, функцияΨ(t)голоморфна и однозначна в области Λ, содержащей начало координат. Если0< r < ρ, тоDr=b(Ir)иΩr={z∈C:z·Dr⊂Λ}. В следующей лемме приведены некоторые утверждения, касающиеся об- ластейΩr. 57 Лемма 2.1. ПустьI⊂Λ⊂C,1∈Λ ′ иDr∈ U(Λ), тогда Ωr= (Dr) ∗ ,Ωr=D ∗ rиΩr∈ U(Λ). Доказательство. ПустьDr∈ U(Λ). По определению это означает, чтоDr·Λ ∗ ⊂Dr. Применяя утверждение 2 леммы 1.1, находим, чтоDr·Λ ∗ =Dr·Λ ∗ ⊂Dr, т.е.Dr∈ U(Λ). Согласно лемме 1.2, тогдаD ∗ r∈ U(Λ), т.е.[(D ∗ r) ′ ·Λ ′ ] ′ = (Dr) ∗ . По лемме 1.1 (утверждение 3), находим (Dr) ∗ ={z∈C:z·Dr⊂Λ}= Ωr. Для доказательства второго равенства достаточно заметить, что при го- меоморфном преобразованииω=z −1 граница∂Drпереходит в границу ∂Ωr. Наконец, уже доказанное соотношениеDr·Λ ∗ ⊂Drперепишем в виде (Dr) −1 ·Λ ′ ⊂(Dr) −1 , что с учетом утверждения 1 леммы 1.1 примет вид Ω ′ r·Λ ′ ⊂Ω ′ r. По лемме 1.2 это означает, чтоΩr∈ U(Λ). Лемма 2.1 доказана. Теорема 2.3. ПустьI⊂Λ⊂C,Λ- область иΨ(t)∈G(Λ). Если для данногоr∈(0, ρ)существует такоеε∈(0, ρ−r), чтоDτ∈ U(Λ)для всехτ∈[r, r+ε), то любая функцияf(z), голоморфная в областиΩr, разлагается в ряд полиномов, заданных соотношением (2.1) f(z) = ∞ X n=0 cnpn(z). (2.10) При этом ряд (2.10) сходится к функцииf(z)в каждой точкеz∈Ωrи равномерно сходится на компактных подмножествах областиΩr. 58 Доказательство. Обозначим черезω=b −1 (ξ)обратное отображение дляξ=b(ω). По- ложимζ −1 =b(ω),ω=b −1 (ζ −1 ). Тогда соотношение (2.I) запишется в виде Ψ  ̑ z ζ  ̏ = ∞ X n=0 pn(z)· [b −1 (ζ −1 )] n a[b −1 (ζ −1 )] (2.11) Мы будем считать областьΛминимальным множеством (лемма 1.4), поэтому1∈Λ ′ . Так как, по лемме 2.1,Ωτ∈ U(Λ)приτ∈[r, r+ε), тоΩτ·Λ ∗ = Ωτ, для указанных,τ, откудаΩτ·Λ ∗ =Ωτ. По лемме 1.2 это равносильно равенствуΩ ′ τ·Λ ′ =Ω ′ τ. Теперь, используя лемму 1.1, имеем Ωτ= (Ω ′ τ·Λ ′ ) ′ ={z∈C:z·(Ωτ) ∗ ⊂Λ}={z∈C:z·Dτ⊂Λ}, т.к.Ωτ=D ∗ τ(лемма 2.1) и, следовательно,Ω ′ τ= (Dτ) −1 (лемма 1.1). Итак пустьτ∈(r, r+ε). Рассматривая ряд (2.1) как степенной ряд относительноω, заключаем, что он сходится при(z, ω)∈ {z∈C:zDτ⊂ Λ} ×Iτ=Ωτ×Iτ. Тогда ряд (2.11) сходится при(z, ζ)∈Ωτ×D −1 τ=Ωτ×Ω ′ τ. Пусть теперьr < τ1< τ, тогдаΩτ⋐Ωτ1⋐Ωr. По теореме 1.2 мы имеем интегральное представление (1.12), сΓ =∂Ωτ1, для всякой функцииf(z)голоморфной вΩτи для всехz∈Ωτ. Но ряд (2.11) сходится равномерно при(z, ζ)∈Ωτ×∂Ωτ1, поэтому, под- ставляя его в формулу (1.12) и почленно интегрируя, приходим к разло- жению (2.10) с коэффициентами cn= 1 2πi Z ∂Ωτ 1 g(ζ) [b −1 (ζ −1 )] n a[b −1 (ζ −1 )] · dζ ζ 59 Мы доказали, что ряд (2.10) сходится равномерно кf(z)в любом ком- пактеΩτ⊂Ωr. Осталось заметить, что компактамиΩτможно исчерпать всю областьΩr. Теорема 2.3 доказана. В монографии [35] рассматривался частный случайΛ =C\[1,+∞)тео- ремы 2.3. При этом предполагалось, что функцияΨ(t), вместо нашего условияΨ(t)∈G(Λ)удовлетворяет двум следующим: α) Ψ(t)голоморфно продолжается в областьΛ =C\[1,+∞), β)разрешима проблема моментов Хаусдорфа 1 Ψn = 1Z 0 u n dµ(u), n= 0,1, . . . , гдеµ(u)функция, имеющая ограниченную вариацию на отрезке[0,1]. Требованияαиβсильнее нашего. Действительно, если имеет местоβ, то Ψ−1(t) = ∞ X n=0 1 Ψn t n = ∞ X n=0 t n 1Z 0 u n dµ(u) = 1Z 0 dµ(u) 1−tu , откуда следует, что функцияΨ−1(t)голоморфна и однозначна в области Λ =C\[1,+∞). А это вместе с условиемαвлечет соотношениеΨ(t)∈ G(Λ). С другой стороны рассмотрим простой контрпример Ψ(t) = 1 t ln 1 1−t = ∞ X n=0 t n n+ 1 . В данном случаеΨ −1 n=n+ 1. Как известно ([19], стр. 439-441), 60 для разрешимости проблемы моментовβнеобходимо и достаточно, что- бы была равномерно поnограничена сумма σ= n X k=0 C k n|∆ n−k Ψ −1 n|, где ∆ 0 Ψ −1 n= Ψ −1 n,∆ k+1 Ψ −1 n= ∆ k Ψ −1 n−∆ k Ψ −1 n+1. Здесь, очевидно,σ > 1 Ψn =n+ 1→ ∞, что показывает, что проблема моментовβнеразрешима для данной функцииΨ(t). Однако Ψ−1(t) = ∞ X n=0 (n+ 1)t n = (1−t) −2 голоморфно продолжается вΛ, следовательноΨ(t)∈G(Λ). В монографии [35] (§ 17, глава 3) теория разложения ошибочно при- меняется к полиномам Якобиp (α,β) k (z), которые задаются производящей функцией: (1−ω) −1−α−β 2F1 ˘ 1 +α+β 2 , 2 +α+β 2 ,1 +α; −4ωz (1−ω) 2 – = = ∞ X k=0 (α+β+ 1)n (α+ 1)n p (α,β) n(1−2z)ω n , α >1, β >0 (2 .12) Вычисления показывают, что и здесь проблема моментов, 1 Ψk = (1 +α)k·k! ( 1+α+β 2 )k( 2+α+β 2 )k = 1Z 0 u k dµ(u), вообще говоря, не разрешима и, следовательно, функция Ψ(t) =2F1 ˘ 1 +α+β 2 , 2 +α+β 2 ,1 +α;t – не удовлетворяет условиям теоремы 13.5 монографии [35]. Но в § 1.2 мы доказали, что такая функцияΨ(t)∈G(Λ), поэтому теорема 2.3 применима к производящему соотношению (2.12) и для полиномов 61 (α+β+ 1)n (α+ 1)n p (α,β) n(z)(а значит и дляp (α,β) n(z)) мы имеем известный результат о том, что любая функция, голоморфная в эллипсе с фокусами в точках -1, 1, разлагается в ряд по этим полино- мам. Отметим теперь, что условия применения теоремы 2.3 к производящему соотношению (2.1) состоят из сопряженных требований, налагаемых на функциюΨ(t)и отображениеζ=b(ω), поэтому при построении произво- дящей функции (2.1) можно исходить либо из фиксированной функции Ψ(t)и подбирать для нее соответствующие отображенияζ=b(ω), либо, наоборот, фиксировать отображениеζ=b(ω), а вместе с ним и области Ωr, и подбирать соответствующую функциюΨ(t)так, чтобы получить простые многочлены, удобные для разложения по ним функций, голо- морфных в областяхΩr. Возьмем, например,Λ =C\E, гдеE— множество корней степениnиз единицы иΨ(t)∈G(Λ). УсловиеDτ∈ U(Λ)равносильно тому, что областьDτинвариантна от- носительно поворота на угол 2π n (пример 5 из параграфа 1.3). Как известно (например, [2, стр. 155]) для этого при любомτ∈(0, ρ) необходимо и достаточно, чтобы функцияb(ω)имела в окрестности нуля лакунарное разложение b(ω) = ∞ X k=0 bkn+1ω kn+1 . Приведем конкретный пример: (1 + zω 1+ω n) n−1 1−( zω 1+ω n) n = ∞ X k=0 pk(z)ω k (2.13) Здесь Ψ(t) = (1 +t) n−1 1−t n и легко проверить, что 62 Ψ(t)∈G(Λ),Λ =C\E. Далее,b(ω) = ω 1+ω nимеет нужное разложение в окрестности нуля. Отображениеζ= ω 1+ω nоднозначно вIρ,ρ= 1 n √ n−1 . При 0< r < ρобластьюΩrявляется внутренность гипотрохоиды (рис. 2) ( x=r −1 cosφ+r n−1 cos(n−1)φ y=−r −1 sinφ+r n−1 sin(n−1)φ 0≤φ≤2π (2.14) Рис. 2. Таким образом, любая функция голоморфная внутри кривой (2.14) (при 0< r < ρ) может быть представлена сходящимся внутри этой кривой рядом по полиномам (2.13). Многочлены (2.13) очень просты. Например, приn= 4 p0(z) = 1, p1(z) = 3z, p2(z) = 3z 2 , p3(z) =z 3 , p4(z) =z 4 , 63 p5(z) =z 5 −3z,p6(z) =z 6 −6z 2 ,p7(z) =z 7 −3z 3 ,p8(z) =z 8 −4z 4 , p9(z) =z 9 −5z 5 + 3z,p10(z) =z 10 −6z 6 + 9z, и т.д. Используя производящее соотношение (2.13), о многочленахpk(z)можно получить различную информацию: рекуррентные соотношения, форму- лу дающую явный вид и т.п. Поступим теперь наоборот. Возьмем отображение ζ= 2ω 1 +ω 2 , используемое в производящей функции классических многочленов (Че- бышева, Гегенбауэра, Якоби). Оно биголоморфно в кругеIи при0< r <1дает областьD ∗ r, ограниченную эллипсом с фокусами в точках -1, 1: x 2 [ 1 2 (r+r −1 )] 2 + y 2 [ 1 2 (r−r −1 )] 2 = 1. Рассмотрим теперь полиномы (2.1) с выбранным отображением a(ω)·Ψ θ 2zω 1 +ω 2 ι = ∞ X n=0 pn(z)ω n (2.15) и выясним при каких условиях, налагаемых на функциюΨ(t), многочле- ны (2.15) годятся для разложения в ряды по ним функций, голоморфных в эллиптической областиD ∗ r. По теореме 2.3 для этого достаточно требованияΨ(t)∈G(Λ), Λ = [ r≤τ <r+ε Dτ·D ∗ τ,0< ε <1−r. Мы воспользуемся следующей формулой sup λ>0 {λ:λe iφ · D ∗ r⊂ D ∗ r}=   2r 2 sinφ 1−r 4 + s 4r 4 sin 2 φ (1−r 4 ) 2 + 1   −1 ,(2.16) 64 справедливой при0≤φ≤ π 2 . Применяя формулу (2.16), нетрудно убе- диться, чтоΛτ=Dτ·D ∗ τ= = ( ρ(φ)e iφ :ρ(φ)< ( 2τ 2 |sinφ| 1−τ 4+ q 4τ 4 sin 2 φ (1−τ 4 ) 2+ 1, φ∈[− π 2 , π 2 ] 1+τ 2 1−τ 2, φ ∈(−π,− π 2 )∪( π 2 , π] ) ОтсюдаI⊂Λτ⊂Iγ,γ= 1+τ 2 1−τ 2иΛτ1⊂Λτ2приτ1< τ2(см. рис. 3). ПоэтомуΩτ∈ U(Λr), еслиτ≤r. Теперь имеем, S r≤τ <r+ε Λτ= Λr+ε,0< ε < 1−rи условиеΨ(t)∈G(Λr+ε)является достаточным для представления, голоморфных в областяхΩτ,τ≤r, функций сходящимися рядами по многочленам (2.15). Рис. 3. Так как S 0<τ <1 Λτ=C\[1,+∞), то для того, чтобы полиномы (2.15) го- дились для любых эллиптических областейΩτ,0< τ <1достаточно положитьΨ(t)∈G(C\[1,+∞)). 65 § 2.3. Разложение функций, голоморфных в начале координат, в ряды полиномов. Многомерный случай Здесь результаты предыдущего параграфа будут обобщены на случай многих комплексных переменных. Рассмотрим полиномы, заданные со- отношением (2.2), и предположим, что все соглашения и обозначения параграфа 2.1 имеют место. Прежде всего приведем непосредственное обобщение теоремы 2.3. Теорема 2.4. ПустьΛ = Λ1× · · · ×Λnполикруговая область вC n ,I n ⊂ Λ⊂C n и функцияΨ(t)∈G(Λ). Если для данногоr∈ |R|+найдется ε >0и точкаx∈ |I ′ r|+такие, что для любогоλ∈[0, ε)выполняются два условия:xλ+r∈ |R|+иDxλ+r∈ U0(Λ), то любая функцияf(z), голоморфная в областиΩr, разлагается в ряд по полиномам (2.2) f(z) = X ||α||≥0 cαpα(z), (2.17) который сходится кf(z)в любой точкеz∈Ωrи равномерно сходится на компактных подмножествах областиΩr. Доказательство. Условия теоремы позволяют построить компактное исчерпание области ΩrобластямиΩxλ+r,λ∈(0, ε): Ωxλ1+r⊂Ωxλ2+r⊂Ωr при0< λ2< λ1< ε. Дальнейшее доказательство связано с применением интегрального пред- ставления (1.19) и практически дословно совпадает с доказательством теоремы 2.3. 66 Мы получаем разложение (2.17) с коэффициентами cα= 1 (2πi) n Z Γ g(ζ) [b −1 (ζ −1 )] α a[b −1 (ζ −1 )] dζ ζ , (2.18) где обозначено Γ = Γ1× · · · ×Γn, dζ ζ = dζ1∧ · · · ∧dζn ζ1. . . ζn , ω=b −1 (t)отображение обратное кt=b(ω). Теорема 2.4 доказана. УсловиеDr∈ U0(Λ), в частности, означает что областьDrявляется по- ликруговой областью (см. § 1.5). Чтобы обеспечить это условие достаточно предположить, что отображе- ниеζ=b(ω)в производящем соотношении (2.2) имеет видζ=h(F(ω)), гдеF:C n →C n невырожденное линейное преобразование и h(t) = (h1(t1), . . . , hn(tn)) отображение биголоморфное в некотором поликруге, содержащем об- ластьF(R), причем h(0) = 0, h ′ k(0)̸= 0, k= 1, . . . , n. Заметим еще, что также как и в одномерном случае (лемма 2.1), если Dr∈ U0(Λ), тоΩr= (Dr) ∗ иΩz∈ U0(Λ). Многомерную специфику лучше отражает следующее обобщение теоре- мы 2.3. Теорема 2.5. ПустьΛполикруговая область,C n ⊂Λ⊂C n ,Ψ(t)∈G(Λ). ЕслиDr∈ U0(Λ)для всехrиз некоторого множестваM⊂R n +, являюще- гося областью в пространствеR n иΩ∈ PF, гдеF={Ωr:r∈M}, то любая голоморфная в областиΩфункцияf(z)разлагается в ряд (2.17) по полиномам (2.2), 67 сходящийся кf(z)в каждой точкеz∈Ωи равномерно сходящийся на компактных подмножествах областиΩ. Доказательство. Выберем любоеr∈M. ПосколькуMобласть в пространствеR n , то для данногоrвыполняются условия теоремы 2.4. Поэтому для областиΩrмы имеем разложение (2.17) с коэффициентами (2.18). Из формулы (2.18) видим, что коэффициентыcαзависят лишь от выбора циклаΓ. Для точек лежащих в общей части любых двух или более областейΩr этот цикл можно выбрать одним и тем же сразу для всех этих областей, поэтому коэффициентыcαне зависят от выбора областиΩr, r∈M. Таким образом, для данной функцииf(z)разложение (2.17) справедливо во всей областиΩ. Доказательство равномерной сходимости на компакт- ных подмножествах проводится стандартным для анализа образом. Теорема 2.5 доказана. Проиллюстрируем теперь доказанные теоремы, применяя их к некото- рым конкретным полиномам (2.2). Пример 1. Рассмотрим полиномыpα(z)многих переменных, определен- ные следующим образом: A(ω) n Y j=1 (1−zj·ωj) −λj = X ||α||≥0 pα(z)ω α (2.19) гдеλk>0, k= 1, ..., n, ряд A(ω) = X ||α||≥0 aαω α , a 0...0 |{z} n ̸= 0 сходится в единичном поликругеI n иA(ω)̸= 0для всехω∈I n . 68 Легко найти явный видpα(z): pα(z) = X β+γ=α aβ  ̑ λ1+γ1−1 λ1−1  ̏ ...  ̑ λn+γn−1 λn−1  ̏ z γ . Сравнивая (2.19) с (2.2), находимbk(ω) =ωk, k= 1, ..., n, т.е. отображение ζ=b(ω)является тождественным. Далее Ψ(t) = n Y j=1 (1−tj) −λj =F (n D (1;λ1, ..., λn; 1;t1, ..., tn), т.е.Ψ(t)∈G(Λ),Λ = [C\[1,+∞)] n (см. § 1.5). В условии теоремы 2.5, в данном случае,R=I n , Dr=I n r∈ U0(Λ)для всехr∈ |I n |+,Ωr= (Dr) ∗ =I n r −1⊃I n . ЗначитFпредставляет собой множество всевозможных поликруговI n ρ⊃ I n . Таким образом, по теореме 2.5, мы имеем следующее утверждение. ЕслиΩполная область Рейнхардта, всякий максимальный поликруг ко- торой содержитI n , то любая голоморфная вΩфункцияf(z)разлагается в областиΩв ряд по полиномамpα(z), заданным соотношением (2.19). Заметим, что меняя область сходимости функцииA(ω)мы можем ме- нять ограничения на область РейнхардтаΩ, например, еслиA(ω)целая функция, тоΩлюбая область Рейнхардта вC n . Так как отображениеζ=b(ω)тождественно, то в производящем соотно- шении (2.19) в качествеΨ(t)можем мы выбрать любую функцию, для которой Ψα̸= 0и lim ||α||→∞ ||α|| p |Ψα|= 1. 69 Для полученных таким образом полиномов, результат будет таким же как и для полиномов (2.19). Пример 2. Теперь возьмем производящую функцию A(ω)· n Y j=1 (1−zjbj(ωj)) −1 = X ∥α∥≥0 pα(z)ω α , (2.20) гдеA(ω)удовлетворяет тем же требованиям, что и в предыдущем при- мере, а каждая функцияbj(ωj), j= 1, . . . , nбиголоморфна в единичном кругеI. Здесь какова бы ни была областьDr=b(I n r), r∈ |I n |+условиеDr∈ U0(Λ) автоматически выполняется, ибоΨ(t) = (1−t1) −1 . . .(1−tn) −1 ∈G(Λ), Λ = [C\ {1}] n . Поэтому, по теореме 2.5, функцияf(z), голоморфная в любой области Ω, порожденной семействомF={Ωr= (Dr) ∗ ;r∈ |I n |+}, разлагается в этой области в ряд по полиномам (2.20). Пример 3. Пусть теперь имеет место соотношение A(ω)· n Y j=1 (1−2ωjzj+ω 2 j) −λj = X ∥α∥≥0 pα(z)ω α , (2.21) гдеλj>0, j= 1, . . . , n, функцияA(ω)та же, что и в примере 1. В данном случае pα(z) = X β+γ=α aαC λ1 γ1 (z1). . . C λn γn (zn), гдеC λk γk (zk), k= 1, . . . , n- полиномы Гегенбауэра [5]. Полиномыpα(z), заданные соотношением (2.21), являются многомерным аналогом ультраcферических полиномов или полиномов Гегенбауэра. Перепишем (2.21) в виде 70 A(ω)· n Y j=1 (1 +ω 2 j) −λj n Y j=1 (1− 2ωjzj 1 +ω 2 j ) −λj = X ||α||≥0 pα(z)ω α . Сравнивая с (2.2), найдем: aω=A(ω)· n Y j=1 (1 +ω 2 j) −λj ,Ψ(t) = (1−t1) −λ1 ...(1−tn) −λn , bk(ω) = 2ωk 1 +ω 2 k , k= 1, ..., n,R=I n . Из примера 1 мы знаем, чтоΨ(t)∈G(Λ),Λ = [1,+∞)] n . Далее,(Dr) ∗ , r∈ |I n |+- полиэллипс с фокусами -1, 1. (см. примеры из § 2.2). Он являетсяn- звездной областью, т.е.(Dr) ∗ ∈ U0(Λ),Λ = [1,+∞)] n . ОтсюдаDr∈ U0(Λ)иΩr= (Dr) ∗ . Таким образом,F={Ωr:r∈ |I n |+}система всех возможных полиэл- липсов с фокусами -1, 1 и теорема 2.5 в данном случае утверждает, что, если функцияf(z)голоморфна в любойn-эллиптической с фокусами -1, 1 областиΩизC n , то она разлагается, в сходящийся в этой области ряд, по полиномамpα(z), заданным соотношением (2.21). Пример 4. Следующие полиномыpα(z)являются многомерным анало- гом гипергеометрических полиномов или полиномов Якоби: A(ω)F (n) D (a;b1, ..., bn;c; −4ω1z1 (1−ω1) 2 , ..., −4ωnzn (1−ωn) 2 ) = = X ||α||≥0 pα(1−2z1, ...,1−2zn)ω n , (2.22) 71 гдеa >0,c >0,bk>0,k= 1, . . . , n, функцияA(ω)удовлетворяет тем же условиям, что и в предыдущих примерах. Здесь отображение ζk= 1 bk(ω) = (1−ωk) 2 −4ωk = 1 2 ˘ 1− 1 2  ̑ ωk+ 1 ωk  ̏– , k= 1, . . . , n. ПоэтомуF- семейство всевозможных полиэллипсов с фокусами0,1. Однако, учтя сдвиг переменных в формуле (2.22), мы приходим к тому же самому утверждению для полиномовpα(z), что и в примере 3. § 2.4. Представление целых функций многих комплекс- ных переменных рядами полиномов Глава 2 монографии [35] посвящена разложению целых функций одной переменной в ряды полиномов (2.1). При этом предполагается, что функ- цияΨ(t) = ∞P n=0 Ψnt n , участвующая в производящем соотношении (2.1), является так называемой функцией сравнения, т.е. удовлетворяет усло- виям Ψn>0, Ψn Ψn+1 ≤ Ψn+1 Ψn+2 , n= 1,2, . . . ,lim n→∞ Ψn Ψn+1 =∞. Такая функция, очевидно, является целой. Она бралась в качестве этало- на при оценке роста целых функций, вместо обычной для теории целых функций функцииe t . Мы начнем с определения функции сравнения многих переменных. Функ- цию 72 Ψ(t) = X ∥α∥≥0 Ψαt α (2.23) назовем функцией сравнения, если существует такая выпуклая вниз функ- цияµ:R n +→R, чтоlim ∥α∥→∞ ∥α∥ µ(α) = 0иΨα=e −µ(α) для всехα. Известно, что функция в том и только в том случае будет выпуклой вниз, когда ее надграфик Epiµ={(x1, . . . , xn+1)∈R n +×R:xn+1≥µ(x1, . . . , xn)} является выпуклым множеством. Из определения сразу следует, что функция сравнения (2.23) всегда це- лая иΨα>0для всехα. Кроме того она обладает следующим свойством. Лемма 2.2. Каждый член степенного рядаΨαt α функции сравнения (2.23) при некотором значенииt=rα= (r1,α, . . . , rn,α)∈R n +становится максимальным, т.е. для каждогоαсуществует такоеzα, что неравенство Ψβz β α≤Ψαz α α (2.24) имеет место для всех мультииндексовβ. Доказательство. Пусть ряд (2.23) задает функцию сравненияΨ(t). По определению, существует выпуклая вниз функцияµ(x)такая, что Ψα=e −µ(α) для всехα. Зафиксируем некоторый мультииндексα. Так как точка(α1, . . . , αn, µ(α))∈ ∂(Epiµ)и множество Epiµвыпукло, то существует опорная гиперплос- кость к Epiµ, проходящая через точку(α1, . . . , αn, µ(α)). Ее уравнение можно записать в виде 73 y−µ(α) =a1(x−α1) +· · ·+an(xn−αn), гдеa= (a1, . . . , an)∈R n . Поскольку все точки лежат не ниже этой гиперплоскости, то в частности, для точек(β1, . . . , βn, µ(β))∈Epiµимеем неравенство µ(β)−µ(α)≥a1(β1−α1) +· · ·+an(βn−αn). Из него следует, что e −µ(β)+a1β1+···+anβn ≤e −µ(α)+a1α1+···+anαn , т.е. Ψβ(e a1 ) β1 . . .(e an ) βn ≤Ψα(e a1 ) α1 . . .(e an ) αn . Теперь, полагаяe ak=rk,α, k= 1, . . . , n, доказываем формулу (2.24). Лемма 2.2 доказана. Лемма 2.3. Пусть функцияΨ(t), заданная рядом (2.23), является функ- цией сравнения, тогда для любого мультииндексаαнайдетсяxα∈R n + такое, что Ψ(xα) Ψαx α α ≤e·(∥α∥+ 1) n . Доказательство. Зафиксируемαи, по лемме 2.2, найдем значениеt=rα, при котором членΨαt α становится максимальным. Положим xα=rα ∥α∥ ∥α∥+ 1 . Тогда, используя неравенство (2.24), имеем 74 Ψ(xα) = X ∥β∥≥0 Ψβx β α= X ∥β∥≥0 Ψβr β α ` ∥α∥ ∥α∥+ 1 ´ ∥β∥ ≤ ≤ X ∥β∥≥0 Ψαr α α ` ∥α∥ ∥α∥+ 1 ´ ∥β∥ = Ψαx α α· ı ∥α∥ ∥α∥+1 ȷ −∥α∥ ı 1− ∥α∥ ∥α∥+1 ȷ n= = Ψαx α α(1 +∥α∥) n · ` 1 + 1 ∥α∥ ´ ∥α∥ ≤Ψαx α α(1 +∥α∥) n ·e. Лемма 2.3 доказана. Рассмотрим теперь целую функциюf(z), заданную всюду сходящимся в C n разложением f(z) = X ∥α∥≥0 fαz α . (2.25) Будем говорить, что целая функцияf(z)принадлежит классуEΨфунк- ций конечногоΨ-типа, если существует векторный параметрτ∈R n + такой, что для всехz∈C n |f(z)| ≤M·Ψ(|z| ·τ), (2.26) гдеM >0постоянная. Числаτ1, . . . , τnназовем сопряженнымиΨ-типами функцииf∈ EΨ, если для них неравенство (2.26) выполняется с некоторой постояннойM >0, однако для чиселrj≤τj, j= 1, . . . , n, где хотя бы одно неравенство строгое, (2.26) уже не выполняется ни при какой постояннойM >0. Для фиксированной функцииf∈ EΨобозначим черезAτмножество все- возможныхτ∈R n +, для которых неравенство (2.26) имеет место. Часть границыAτ, лежащую вR n +назовем поверхностью сопряженных 75 Ψ-типов целой функцииf(z). Функцию F(z) = X ||α||≥0 fα Ψα ` 1 z ´ α+1 , α+ 1 = (α1+ 1, . . . , αn+ 1) (2.27) будем называтьΨ- ассоциируемой сf(z). Теорема 2.6. Поверхность сопряженныхΨ- типов целой функцииf(z)∈ EΨсовпадает с поверхностью сопряженных радиусов сходимости ряда (2.27). Доказательство. ПустьBобласть абсолютной сходимости ряда (2.27), тогда нам нужно доказать, что∂Aτ=∂|B|+. Для этого, очевидно, достаточно показать, чтоAτ=|B|+. Пусть сначалаτ∈ |B|+, тогда, как известно, lim ||α||→∞ ||α|| s |fα| Ψα ` 1 τ ´ α ≤1, (2.28) откуда |fα| ≤MΨα(τ1+ε) α1 . . .(τn+ε) αn для любогоε >0и некоторой постояннойM >0. Далее |f(z)| ≤ X ||α||≥0 |fα||z| α ≤M X ||α||≥0 Ψα|z| α (τ1+ε) α1 . . .(τn+ε) αn = =MΨ[(τ1+ε)|z1|, . . . ,(τn+ε)|zn|]. Приε→0получаемτ∈Aτ, т.е.|B|+⊂Aτ. Для доказательства обрат- ного утверждения пустьτ∈Aτ, тогда|f(z)| ≤MΨ(τ|z|). Пустьα- фиксировано. Найдя в соответствии с леммой 2.3xα, положим xα=τyαи рассмотрим поликругIyα. Применяя неравенство Коши 76 для функции f(z) в этом поликруге, найдем |fα| Ψα ≤ MΨ(τyα) Ψαy α α =Mτ α Ψ(xα) Ψαx α α ≤Mτ α (||α||+ 1) n ·e. Отсюда следует неравенство (2.28), т.е.τ∈ |B|+. Теорема 2.6 доказана. В частном случаеΨ(t) =exp( nP k=1 tk)классEΨсовпадает с множеством целых функций экспоненциального типа и теорема 2.6 в этом случае хорошо известна [20]. Пустьτ= (τ1, ..., τn)сопряженныеΨ-типы функции (2.25), тогда, по теореме 2.6, они являются сопряженными радиусами сходимости ряда (2.27), т.е.F(z)голоморфна в областиI ′ τ. Заметим теперь, что f(z) = 1 2πi Z Γ Ψ(zω)F(ω)dω, (2.29) где Γ = Γ1×...×Γn,Γj:|ωj|=τj+ε, ε >0, j= 1, ..., n, dω=dω1∧...∧dωn. Т.к. циклΓлежит в области равномерной сходимости рядовF(ω)и Ψ(zω), то, подставляя эти ряды и почленно интегрируя, легко докажем (2.29). Вместо циклаΓв (2.29) мы можем взять любой, гомотопный ему в об- ласти голоморфности функцииF(z), цикл. Таким образом, рост целой функцииf(z)определяется особенностямиΨ - ассоциируемой с ней функцииF(z). Рассмотрим опять семейство полиномов, заданных производящим соот- ношением (2.2), однако теперь дополнительно предположим, что функ- цияΨ(t)является функцией сравнения. 77 ПустьD=b(R)- образ областиRпри отображенииζ=b(ω). По областиDсконструируем класс функций, которые будут разлагаться в ряд полиномовpα(z). Будем говорить, что целая функцияf(z)∈ EΨ(D), если существует поли- круговой компактK=K1×· · ·×Kn, содержащийся в областиD, такой, чтоΨ- ассоциируемая с ней функцияF(z)голоморфно продолжается в областьK ′ . Теорема 2.7. Если функцияf(z)∈ EΨ(D), то она может быть представ- лена всюду сходящимся вC n рядом полиномов (2.2) f(z) = X ∥α∥≥0 cαpα(z) Доказательство. Пустьω=b −1 (ζ)обратное отображение дляζ=b(ω). Перепишем (2.2) в виде Ψ(z·ζ) = X ∥α∥≥0 pα(z) [b −1 (ζ)] α a[b −1 (ζ)] (2.30) Последний ряд сходится при(z, ζ)∈C n ×D. Т.к.f(z)∈ EΨ(D), то, по определению, найдется компактK=K1× · · · × Kn⊂D, такой, что соответствующая ей функцияF(z)голоморфна вK ′ . Без ограничения общности можно считать, что0∈K. ПосколькуK⋐D, то существует поликруговая областьU=U1×· · ·×Un, удовлетворяющая условиюK⋐U⊂D. Теперь легко понять, что найдется циклΓ = Γ1×...×Γn⊂U, каждая криваяΓjкоторого разделяет соответствующий компактKjи точку∞, j= 1, . . . , n. Тогда для данной функцииf(z)имеет место интегральное представление (2.29). 78 Подставив в нее ряд (2.30) и почленно интегрируя, доказываем теорему 2.7. Теорема 2.7 доказана. В частном случае тождественного отображенияb(ω)имеемD=R- область сходимости рядаa(ω) = P |α|≥0 aαω α ,EΨ(D)- множество всех тех целых функцийf(z), для которыхR∩BF̸=∅, гдеBFобласть сходимости ряда (2.27) дляΨ-ассоциируемой с функциейf(z)функцииF(z). Сформулируем утверждение теоремы 2.7 в этом частном случае. Следствие 2.2. Любая целая функцияf(z), удовлетворяющая условию R ∩BF̸=∅, разлагается в ряд по полиномам (2.6), сходящийся всюду к ней вC n . Замечание. Теорема 2.6 здесь является ключевой, ибо интегральное пред- ставление (2.29) и все последующие рассуждения стали возможны имен- но благодаря ей. Более того, функция сравнения намеренно определялась таким образом, чтобы теорема 2.6 имела место. Разумеется условия, налагаемые нами на функцию сравненияΨ(t), не являются необходимыми для справедливости теоремы 2.6 - они могут быть ослаблены. В одномерном случае необходимые и достаточные условия установлены Винницким Б.В. [9]. В качестве примера рассмотрим двойной ряд Ньютона [31] f(z, ω) = ∞ X m,n=0 cmn m!n! z(z−1)...(z−m+ 1)ω(ω−1)...(ω−n+ 1).(2.31) Полиномы Ньютона pmn(z, ω) = z(z−1)...(z−m+ 1)ω(ω−1)...(ω−n+ 1) m!n! 79 могут быть заданы производящим соотношением: e zζ1+ωζ2 = ∞ X m,n=0 pmn(z, ω)(e ζ1 −1) m (e ζ2 −1) n . Здесьb −1 1(ζ) =e ζ1 −1,b −1 2(ζ) =e ζ2 −1. ОбозначимDj={ζj∈C:|e ζj −1|<1}, j= 1,2. Отображение биголо- морфно в областиD1×D2. Функция сравнения здесьΨ(t1, t2) =e t1+t2 . По теореме 2.7 имеем: любая целая функцияf(z, ω)∈ EΨ(D1×D2)раз- лагается в двойной ряд Ньютона (2.31) с коэффициентами cmn= (−1) m+n m X k=0 n X ℓ=0 (−1) k+ℓ  ̑ m k  ̏ ̑ n ℓ  ̏ f(k, ℓ). В частности, любая целая функцияf(z, ω), у которой найдется пара сопряженных экспоненциальных типов(τ1, τ2), таких чтоτ1<ln 2и τ2<ln 2, разлагается в ряд (2.31). Заметим, что если в теореме 2.7D=C n , тоEΨ(D) =EΨ, т.е. любая целая функция конечныхΨ- типов представляется рядом по полиномам (2.2). Так, например, любая функция экспоненциального типа представляется рядом полиномов ЭрмитаHmn(z, ω)илиGmn(z, ω)[6, стр. 270]. § 2.5. Суммирование кратных полиномиальных разло- жений Рассмотрим полиномыpα(z), заданные с помощью производящей функ- ции A(ω) n Y j=1 (1−2ωjzj+ω 2 j) −1 = X ∥α∥≥0 pα(z)ω α , (2.32) 80 где функцияA(ω)голоморфна в поликругеI n иA(ω)̸= 0для всехω∈ I n . Они являются частным случаем многочленов примера 3 из § 2.3. При n=1 иA(ω)≡1они превращаются в многочлены Чебышева вто- рого рода [5], поэтому их можно считать многомерным аналогом этих многочленов. Теорема 2.5 в случае многочленов (2.32) дает нам следующее утвержде- ние: если функция f(z) голоморфна в какой-либоn-эллиптической обла- стиω, то она разлагается в этой области в ряд по полиномам (2.32) f(z) = X ||α||≥0 cαpα(z), (2.33) который сходится к ней в каждой точке областиΩи равномерно сходится на компактных подмножествахΩ. Здесь мы исследуем область суммируемости разложения (2.33), введен- ным в § 1.4 методом. Точнее говоря, в качестве суммы Миттаг-Леффлера ряда (2.33) возьмем выражение S(z) = lim λ→0 X ||α||≥0 cαpα(z) Γ(α1λ+ 1)...Γ(αnλ+ 1) (2.34) и опишем область, в которой имеет место равенствоf(z) =S(z). Для этого распространим данное в работе [44] понятие гиперболической звезды Миттаг-Леффлера функции одной переменной, подобно тому как была определена в § 1.4 областьNf. Гиперболическим лучом на плоскостиCназовем любую из четырех ча- стей гиперболы {x+iy∈C: x 2 a 2 − y 2 1−a 2 = 1,0< a <1}, x≥0иy≥0,x≥0иy≤0,x≤0иy≥0,x≤0иy≤0, а также четыре луча: 81 {x+iy∈C:x= 0, y≥0},{x+iy∈C:x= 0, y≤0}, {x+iy∈C:x≥1, y= 0},{x+iy∈C:x≤ −1, y= 0}. Из каждой точки интервала(−1,1)выходят по два гиперболических луча, а из точек−1и1по одному. Они заполняют всю плоскостьC, не пересекаясь друг с другом. Гиперболически звездной областью на плоскостиCназовем область, со- держащую отрезок[−1,1]и имеющую в пересечении с любым гипер- болическим лучом связное множество. Пустьω1∈C; черезT(ω1)обозначим кусок гиперболического луча, со- единяющего точкиω1и∞. Дляω= (ω1, . . . , ωn)∈C n обозначим T(ω) =T(ω1)× · · · ×T(ωn). Пусть, как и ранее,∆fобозначает множество особых точек функции f(z), которую предположим голоморфной в некотором полиэллипсе. Тогда область Hf=int(C n \ [ ω∈∆f T(ω)) назовем гиперболической звездой Миттаг-Леффлера функцииf(z). Теорема 2.8. Пусть функцияf(z)голоморфна в некоторойn-эллиптической области, тогда она разлагается в ряд (2.33), суммируемый методом (2.34) в гиперболической звезде Миттаг-ЛеффлераHf, иначе говоря, для всех z∈Hfимеет место равенство lim λ→0 X ∥α∥≥0 cαpα(z) Γ(α1λ+ 1). . .Γ(αnλ+ 1) =f(z). (2.35) 82 Доказательство. Аналогично тому как это было сделано для областиNf(леммы 1.7 и 1.8) можно показать, чтоHfпредставляет собой объединение гиперболиче- ских полизвезд, т.е. областей вида H1× · · · ×Hn, где каждая изHk,k= 1, . . . , nявляется гиперболически звездной обла- стью в плоскостиC. Тем самым доказательство сводится к случаю когда Hfимеет вид (2.36). Итак пустьHf=H1×· · ·×HnиK⊂Hf- любой компакт. Тогда найдется поликруговая область D=D1× · · · ×Dn такая, чтоK⊂ D⋐Hfи каждая изDk,k= 1, . . . , n, является гипербо- лически звездной областью на плоскостиC. Перепишем (2.32) в виде A(ω)· n Y j=1 (1 +ω 2 j) −1  ̑ 1− 2ωjzj 1 +ω 2 j  ̏ −1 = X |α|≥0 pα(z)ω α . (2.37) Делая замену переменныхζj= 1 2 (ωj+ 1 ωj ),j= 1, . . . , n, приходим к ряду n Y j=1  ̑ 1− zj ζj  ̏ −1 = X |α|≥0 pα(z)Qα(ζ), (2.38) где Qα(ζ) = nQ j=1 ζj “ ζj− q ζ 2 j −1 ” αj+1 A(ζ1− p ζ 2 1−1, . . . , ζn− p ζ 2 n−1) . и всюду в выраженииQα(ξ)подразумевается главное значение корня. 83 Образ областиD ′ при отображении (ζ1− q ζ 2 1−1, . . . , ζn− p ζ 2 n−1), обозначим черезG(здесь, как и ранее, под корнем понимаем его главное значение). Из свойств функции Жуковского следует, чтоGявляется полизвездой. Теперь, рассматривая ряд (2.37) как степенной относительноω, убежда- емся, что он суммируем методом (2.34) к своей сумме в полизвездеG, если z∈ {z∈C n :zj̸= 1 2 (ωj+ 1 ωj ), j= 1, . . . , n,∀ω∈G}=D. Но тогда разложение (2.38) суммируемо приz∈D, ζ∈D ′ , т.е. lim λ→0 X ||α||≥0 pα(z)·Qα(ζ) Γ(α1λ+ 1). . .Γ(αnλ+ 1) = n Y j=1 (1− zj ζj ) −1 при(z, ζ)∈D×D ′ . Выберем циклΓ = Γ1× · · · ×Γnтак, чтобыΓ⊂Hf\Dи каждая из Γk, k= 1, . . . , nбыла кусочно-гладкой жордановой замкнутой кривой в плоскостиC, разделяющей точки0и∞. По интегральной формуле Коши для всехz∈D f(z) = 1 (2πi) n Z Γ f(ζ)· n Y j=1  ̑ 1− zj ζj  ̏ −1 dζ1∧ · · · ∧dζn ζ1. . . ζn = 1 (2πi) n Z Γ f(ζ) lim λ→0 X ||α||≥0 pα(z)·Qα(ζ) Γ(α1λ+ 1). . .Γ(αnλ+ 1) dζ1∧ · · · ∧dζn ζ1. . . ζn = lim λ→0 X ||α||≥0   pα(z) Γ(α1λ+ 1). . .Γ(αnλ+ 1) 1 (2πi) n Z Γ f(ζ)Qα(ζ) dζ1∧ · · · ∧dζn ζ1. . . ζn  . 84 стягиваяΓв область сходимости ряда (2.38), убеждаемся, что cα= 1 (2πi) n Z Γ f(ζ)·Qα(ζ) dζ1∧ · · · ∧dζn ζ1. . . ζn , ибо, по теореме 2.5, именно таковы коэффициенты разложения (2.33). В силу произвольности компактаK⊂Hfтеорема доказана. 85 ЛИТЕРАТУРА 1. Айзенберг Л.А., Лейнартас Е.К. Многомерная композиция Адамара и ядра Сеге//Сиб.мат.журн.-1983.- Т.24, №3.- С.3-10. 2. Александров И.А., Соболев В.В. Аналитические функции комплекс- ного переменного: Учеб.пособие для вузов. - М.: Высш.шк., 1984. - 192 с. 3. Аракелян Н.У. Об эффективном аналитическом продолжении степен- ных рядов//Мат.сборн.-1984.- Т.124, №5. - С.24-44. 4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.1: Пер. с англ. - 2-е изд. - М.: Наука, 1973. - 294с. 5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.2: Пер. с англ. - 2-е изд. - М.: Наука, 1974. - 295с. 6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.3: Пер. с англ. - М.: Наука, 1967. - 300с. 7. Беляев В.А. О сходимости и абсолютной сходимости двойных рядов по полиномам//Сиб.мат.журн. - 1972. - Т.13, №3. - С.510-530. 8. Бибербах Л. Аналитическое продолжение: Пер. с нем. - М.: Наука, 1967. - 240с. 9. Винницкий Б.В. Об условиях сходимости последовательностей в неко- торых пространствах аналитических функций// Укр.мат.журн. - 1982. Т.34, №6. - С.741-744. 10. Гурьянова К.Н. Об одном методе аналитического продолжения функ- ции двух комплексных переменных//Мат.зап.Уральск. ун-т. - 1965. - Т.5, №2. - С.21-26. 11. Деревянченко Г.Д., Какичев В.А. О разложении целых функций двух переменных по аппелеподобным полиномам//Сб. трудов/ Моск.обл.пед.ин- т. - 1974. - Вып.4. - С.161-173. 86 12. Жижиашвили Л.В. О некоторых вопросах из теории простых и крат- ных тригонометрических и ортогональных рядов// Успехи мат.наук. - 1973. - Т.28, №3. - С.65-119. 13. Иванов В.К. Характеристика роста целой функции двух переменных и ее приложение к суммированию двойных степенных рядов //Мат.сборн. - 1959. - Т.47 (89), №1. С.3-16. 14. Какичев В.А., Деревянченко Г.Д. Определение и некоторые формаль- ные свойства аппелеподобных полиномов двух переменных//Мат.анализ и теория функций. - М., 1973. - Вып. 2. - С.146-158. 15. Лейнартас Е.К. Об одном обобщении композиции Адамара на функ- ции многих комплексных переменных//Сиб.мат.журн. - 1981. - Т.22, №4. С.218-221. 16. Лейнартас Е.К. Об одном обобщении произведения Адамара вC n //Мат.заметки. - 1982. - Т.32, №4. С.477-482. 17. Мавроди Н.Н. Аналитическое продолжение степенных рядов// До- кл.АН УССР. - 1986. - Сер.А, №4. С.17-19. 18. Мураев Э.Б. О приближении аналитических функций двух перемен- ных полиномами в звезде Миттаг-Леффлера//Сиб.мат. журн. - 1984. - Т.25, №1. С.101-105. 19. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.-Л.: Гостехиздат, 1949. - 688с. 20. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. - М.: Наука, 1971. - 430с. 21. Сеге Г. Ортогональные многочлены: М.: Физматгиз, 1962. - 500 с. 22. Сторчевая Г.Д. Отображение аппелеподобных полиномов с помощью дифференциальных операторов бесконечного порядка с постоянными ко- эффициентами // Изв. вузов. Математика. - 1982. - Т.241, №6. - С.57-59. 87 23. Суетин П.К. Ряды по многочленам Фабера. - М.: Наука, 1964. - 336 с. 24. Харди Г.Х. Расходящиеся ряды: Пер. с англ. - М.: ИЛ, 1951. - 504 с. 25. Цвиль М.М. Разложение голоморфных функций по R-полиномам Фабера двух переменных // Теория функций. Диф. уравне- ния и их приложения. - Элиста, 1976. - С.14-22. 26. Цвиль М.М. Двойные ряды Фабера // Укр. мат. журн. - 1981. - Т.33, №1. - С.128-132. 27. Чирка Е.М. Комплексные аналитические множества. - М.: Наука, 1985. - 272 с. 28. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. I: Учеб. для ун-тов. - 3 изд. - М.: Наука, 1985. - 336 с. 29. Янушаускас А.И. Суммирование кратных степенных рядов // Докл. АН СССР. - 1978. - Т.243, №2. - С.287-290. 30. Янушаускас А.И. Композиция особенностей функции двух комплекс- ных переменных // Диф. и интегр. уравнения. Краевые задачи. - Тби- лиси, 1979. - С.293-303. 31. Янушаускас А.И. Двойные ряды. - Новосибирск: Наука, 1980. - 224 с. 32. Янушаускас А.И. Двойные ряды ортогональных многочленов // Лит. мат. сб. - 1983. - Т.23, №2. - С.213-216. 33. Яцун В.А. Аналитическое продолжение разложений по многочленам Якоби // Укр. мат. журн. - 1969. - Т.21, №4, С.511-521. 34. Agmon S. On the singularities of Taylor series with reciprocal coefficients // Pacif. J. Math. - 1952. - №2. - P. 431-453. 88 35. Boas R. P., Buck R. C. Polynomial expansions of analytic functions. - Berlin, G¨ottingen, Heidelberg: Springer Verlag, 1964. - 47 p. 36. Boychev G. S. B¹-summability of series in Gegenbauer polynomials on boundaries of their regions of convergence // Doki. Bolg. AH. - 1986. - Vol 39, N2 - P. 17-18. 37. Cowling V. P., King J. P. On the Taylor and Lototski summability of series of Legendre polynomials // J. Analyze Math. - 1962. - N10. - P. 139- 152. 38. Djokovi´c D. ˇ Z. A property of the Taylor expansions of a class of rational functions in several variables // J. Math. Analisis and appl. - 1978. - Vol. 66. - P. 679-685. 39. Exton H. Multiple hypergeometric functions and applications. - Chichester (Sussex): Horwood, 1976. - 312 p. 40. Garibotti C. R., Grinstein F. F. A summation procedure for expansions in orthogonal polynomials // Math. notae. - 1976. - Vol. 25. - P. 55-63. 41. Gawronski W., Trautner R. Versch¨arfung eines Satzes von Borel-Okada ¨uber Summierbarkeit von Potenzreihen // Period. math. hungar. - 1976. - Vol. 7, N3-4. - S. 201-211. 42. Hadamard J. Theoreme sur les series entieres // Acta math. - 1899. - Vol. 22. - P. 55-63. 43. Haustas M. L. J., Klarner D. A. The diagonal of double power series // Duke Math. J. - 1971. - Vol. 38, N2. - P. 229-235. 44. Yakimovski A. Analytic continuation and summability of series of Legendre polynomials // Quart. - 1964. - Vol 15. - P. 289-302. 89 45. Yakimovski A. Summability of Heine and Neuman series of Legendre polynomials // Canad. J. math. 1966. - Vol. 18. - P. 1261-1263. 46. Lorentz G. G. Bernstein polynomials. Toronto. - 1953. - 130 p. 47. Odoni R. W. K. On the norms of algebraic integers // Mathematica. - 1975. - Vol. 22. - P. 71-80. 48. Suola Y. Sur la comparaison des deux fonctionsΣanz n etΣa −1 nz n // C. R. Acad. Sci. (Paris). - 1927. - Vol. 185. - P. 100-101. 49. Suola Y. Sur les points singuliers des deux fonctionsΣanz n etΣa −1 nz n // Bull. Soc. Math. Fr. - 1928. - Vol. 56. - P. 39-49. 50. Zeller K., Beekmann V. Theorie der Limitierungsverfahren. - 2 Aufl. - Berlin u. a.: Springer Verlag. - 1970. - 314 S. 51. Гуляев Г. М. Разложение голоморфных функций многих комплекс- ных переменных в ряды полиномов. - Новосибирск, 1984. - 23 с. - (Пре- принт/АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; №86). 52. Гуляев Г. М. Представление целых функций многих комплексных переменных рядами полиномов // Моделирование и оптимизация струк- турных систем/Межвузовский сб. - Барнаул: изд. Алтайск. ун-та, 1984. - С. 39-44. 53. Гуляев Г. М. Суммирование по Миттаг-Леффлеру некоторых крат- ных полиномиальных рядов/Алтайск. с.-х. ин-т. - Барнаул, 1987. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 05.02.87, № 823-В87. 90