# Новые задачи по математике Сборник авторских задач по математике. Часть задач приведены с решением - они имеет обычное математическое решение. Для другой части задач даны только ответы. Для их решения потребуется не только знания математики, но и начальные навыки программирования на компьютере. | Поле | Значение | |---|---| | Автор | Гуляев Георгий Михайлович | | Организация | нет | | Раздел | Математика | | Опубликовано | 02.07.2026 | | Идентификатор | AX-134226 | | Лицензия | CC BY 4.0 | | Ключевые слова | задачник, компьютерное решение, математика, программирование | Полный текст (PDF): https://arxivorg.ru/upload/iblock/48d/g4jyt0lu1l2neq4v13se1k3a3xbxvk8x/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5.pdf Источник (HTML): https://arxivorg.ru/mathematics/novye-zadachi-po-matematike/ Архив: арХиворг.ру — открытый архив научных препринтов на русском языке. ## Полный текст Георгий Гуляев 17 мая 2026 г. Математик без компьютера - астроном без телескопа Здесь рассматриваются математические задачи, идея для условия или решения которых, была найдена мною при помощи программирования и исследования на компьютере. Для некоторых из этих задач существует обычное математическое решение при помощи рассуждений и без использования компьютера, которое и содержится в первой части в разделе решений. Другие приведены без решения. Они для любознательных читателей, которые не боятся использовать компьютер для решения задач по математике. 1. Задачи с решением Задача 101. Последовательность состоит из натуральных чисел. Каждое следующее число последовательности получается из предыдущего при помощи операции сложения с реверсным, цифры которого записаны в обратном порядке. Доказать, что если первые три члена последовательности оказались простыми, например, 271, 443, 787, ..., то четвертое число всегда будет составным. Задача 102. Квадрат со стороной 1 < n < 35 (n - натуральное) разрезали на квадраты меньшего размера с натуральными сторонами. При этом, для некоторого натурального k оказалось k квадратов $1 \times 1, k-1$ квадратов $2 \times 2$ и так далее, 2 квадрата $(k-1) \times (k-1)$ и один квадрат $k \times k$ . Найти n и построить разбиение большого квадрата на мелкие на чертеже. Задача 103. Известно, что кубическое уравнение: $$x^3 - 35x^2 + 68x = r,$$ где r>0 - действительное число, имеет три вещественных положительных корня. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, со сторонами равными корням данного уравнения. Задача 104. Пусть p и q простые, p>q. Их полусумма $\frac{p+q}{2}$ и полуразность $\frac{p-q}{2}$ - натуральные и тоже простые. Доказать, что p=7, q=3. Задача 105. Легко проверить, что $2^6 = 42^2 - 8^3$ . То есть число $2^n$ при n = 6 удалось представить в виде разности квадрата и куба: $$2^n = a^2 - b^3$$ двух натуральных чисел a и b. Найдите такие a и b для n=90. Задача 106. Разгадайте ребус: $$AB^2 - BA^3 = 2^A$$ Здесь A и B - две разные цифры. Задача 107. Число n делится на 5, но не делится на 3 и равно произведению трех разных простых чисел. Сумма всех делителей числа n оказалась больше 2n. Найдите n. Задача 108. Числа 521,5021,50021 - являются простыми, но число с тремя нулями $500021=17\cdot 67\cdot 439$ - составное. Можно проверить, что число 50...021 будет также простым, если оно содержит 5, 8, 15, 20, 30, 31, 37 нулей в своей десятичной записи. Докажите, что для любого натурального n число 50...021, содержащее $2025^n+1$ нулей, - составное. Решения Простые числа оканчиваются на цифры: [1, 3, 7, 9]. В начале простого числа могут быть любые цифры, кроме 0. Допустим, что первое число последовательности начинается на цифру a и оканчивается на цифру b, второе - начинается на цифру c и оканчивается на цифру d и третье - начинается на цифру e и оканчивается на цифру f. Тогда d = (a + b)%10 (d - остаток от деления на 10 суммы a + b). Так как второе число простое, то первое должно начинаться на одну из цифр [2,4,6,8]. Рассматривая все 16 комбинаций, нетрудно доказать, что для первого простого числа всегда будет a = 2, b = 1, для второго c = 4, d = 3 и для третьего e = [7, 8], f = 7. Из этого следует, что четвертое число оканчивается на 4 или на 5, то есть составное. Если (a, b) = [(2, 3),(4, 1),(6, 9),(8, 7)], то d = 5 - второе число составное. Если (a, b) = [(2, 9),(4, 7),(8, 3)], то c = 1 и d = 1, то есть f = 2 - третье число составное. Если (a, b) = [(2, 7),(6, 3),(8, 1)], то c = [1, 9], d = 9 и f = [0, 8] - третье число составное. Если (a, b) = [(4, 3),(6, 1)], то c = [7, 8], d = 7 и f = [4, 5] - третье число составное. Если (a, b) = [(4, 9),(6, 7)], то c = 1, d = 3 и f = 4 - третье число составное. Если (a, b) = (8, 9), то c = 1, d = 7, и f = 8 - третье число составное. Остается последний возможный случай: (a, b) = (2, 1), тогда, c = [3, 4], d = 3. Если (c, d) = (3, 3), то f = 6 - третье число составное. Таким образом, для того чтобы все три начальные члены последовательности были простыми существует единственная возможность: (a, b) = (2, 1),(c, d) = (4, 3), откуда следует e = [7, 8], f = 7 и четвертое число оканчивается на 4 или на 5, то есть всегда будет составным. Что и требовалось доказать. Замечания к задаче 101. Начальные последовательности с первыми тремя простыми членами: `` 271, 443, 787, 1574,... 281, 463, 827, 1555,... 21491, 40903, 71807, 142624,... 21991, 41903, 72817, 144644,... 22091, 41113, 72227, 144454,... 22481, 40903, 71807, 142624,... 23081, 41113, 72227, 144454,... 23971, 41903, 72817, 144644,... 24071, 41113, 72227, 144454,... 25951, 41903, 72817, 144644,... 26681, 45343, 79697, 159394,... 26981, 45943, 80897, 160705,... 27271, 44543, 79087, 157184,... 27431, 40903, 71807, 142624,... 27691, 47363, 83737, 157475,... 27791, 47563, 84137, 157285,... 28031, 41113, 72227, 144454,... 28661, 45343, 79697, 159394,... 28921, 41903, 72817, 144644,... 28961, 45943, 80897, 160705,... 29021, 41113, 72227, 144454,... 29191, 48383, 86767, 163535,... 29251, 44543, 79087, 157184,... 29411, 40903, 71807, 142624,... 29671, 47363, 83737, 157475,... 2129891, 4119103, 7138217, 14266534,... 2131991, 4123303, 7156517, 14313034,... 2141791, 4113203, 7136317, 14272634,... 2141891, 4123303, 7156517, 14313034,... 2151791, 4123303, 7156517, 14313034,... 2157091, 4064603, 7129207, 14158424,... 2161591, 4113203, 7136317, 14272634,... ... `` В таких последовательностях, сколько бы мы их не продолжали, не удается найти других простых чисел, кроме начальных трех. Поэтому сформулируем гипотезу: в любой последовательности, получаемой при помощи операции сложения с реверсным не может быть более трех простых членов. 102. Очевидно, сумма площадей всех квадратов разбиения для выбранного k должна быть равна $n^2$ : $$S_k = k \cdot 1^2 + (k-1) \cdot 2^2 + (k-2) \cdot 3^2 + \dots + 2 \cdot (k-1)^2 + 1 \cdot k^2 = n^2$$ Будем последовательно вычислять $S_k$ (k = 2,3,...) пока $S_k < 35^2 = 1225$ . $$S_2 = 6, n = \sqrt{6}$$ $$S_3 = 20, n = \sqrt{20} = 2 \cdot \sqrt{5}$$ $$S_4 = 50, n = \sqrt{50} = 5 \cdot \sqrt{2}$$ $$S_5 = 105, n = \sqrt{105}$$ $$S_6 = 196, n = \sqrt{196} = 14$$ $$S_7 = 336, n = \sqrt{336} = 4 \cdot \sqrt{21}$$ $$S_8 = 540, n = \sqrt{540} = 6 \cdot \sqrt{15}$$ $$S_9 = 825, n = \sqrt{825} = 5 \cdot \sqrt{33}$$ $$S_{10} = 1210, n = \sqrt{1210} = 11 \cdot \sqrt{10}$$ $$S_{11} = 1716, n = \sqrt{1716} = 2 \cdot \sqrt{429}$$ Таким образом, решение возможно только при k=6, n=14. Теперь осталось только его построить: Замечания к задаче 102. Сумма $S_k$ является квадратом в следующих случаях (k,n): `` (k, n) ----- (1, 1) (6, 14) (25, 195) (96, 2716) (361, 37829) (1350, 526890) (5041, 7338631) (18816, 102213944) (70225, 1423656585) `` Последовательность $a_n = \{1, 6, 25, 96, 361, 1350, 5041, 18816, 70255, ...\}$ оказалась известной [1]. В частности, там приводится формула: $$a_n = \frac{(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n - 2}{2}, n = 1, 2, \dots$$ Вторая последовательность $b_n = \{1, 14, 195, 2716, 37829, ...\}$ также встречается в энциклопедии целых последовательностей [2]. Она может быть задана рекуррентной формулой: $$b_n = 14 \cdot b_{n-1} - b_{n-2}, b_0 = 0, b_1 = 1, n = 2, 3, 4, \dots$$ 103. Пусть a>0, b>0, c>0 - корни кубического уравнения $x^3-35x^2+68x=r, d$ величина диагонали параллелепипеда. Тогда, по теореме Виета, $$a+b+c=35$$ $$ab+ac+bc=68$$ $$abc=r$$ Имеем, $$d^2 = a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+ac+bc) = 35^2 - 2 \cdot 68 = 1089$$ . $d = \sqrt{1089} = 33$ Пример $a=17+\sqrt{255}, b=17-\sqrt{255}, c=1$ (откуда выводим r=34) доказывает, что такие уравнения есть, то есть задача вполне корректна. Замечания к задаче 103. Ниже приведены возможные варианты (p, q, d) данной задачи для уравнения x 3 −p ·x 2 +q ·x = r, когда d - натуральное, а p и q в пределах сотни: `` (p, q, d) --------- (3, 4, 1), (4, 6, 2), (5, 8, 3), (5, 12, 1), (6, 10, 4), (6, 16, 2), (7, 12, 5), (7, 20, 3), (7, 24, 1), (8, 14, 6), (8, 24, 4), (8, 30, 2), (9, 16, 7), (9, 28, 5), (9, 36, 3), (9, 40, 1), (10, 18, 8), (10, 32, 6), (10, 42, 4), (10, 48, 2), (11, 20, 9), (11, 36, 7), (11, 48, 5), (11, 56, 3), (11, 60, 1), (12, 22, 10), (12, 40, 8), (12, 54, 6), (12, 64, 4), (12, 70, 2), (13, 24, 11), (13, 44, 9), (13, 60, 7), (13, 72, 5), (13, 80, 3), (13, 84, 1), (14, 26, 12), (14, 48, 10), (14, 66, 8), (14, 80, 6), (14, 90, 4), (14, 96, 2), (15, 28, 13), (15, 52, 11), (15, 72, 9), (15, 88, 7), (15, 100, 5), (16, 30, 14), (16, 56, 12), (16, 78, 10), (16, 96, 8), (17, 32, 15), (17, 60, 13), (17, 84, 11), (18, 34, 16), (18, 64, 14), (18, 90, 12), (19, 36, 17), (19, 68, 15), (19, 96, 13), (20, 38, 18), (20, 72, 16), (21, 40, 19), (21, 76, 17), (22, 42, 20), (22, 80, 18), (23, 44, 21), (23, 84, 19), (24, 46, 22), (24, 88, 20), (25, 48, 23), (25, 92, 21), (26, 50, 24), (26, 96, 22), (27, 52, 25), (27, 100, 23), (28, 54, 26), (29, 56, 27), (30, 58, 28), (31, 60, 29), (32, 62, 30), (33, 64, 31), (34, 66, 32), `` `` (35, 68, 33), (36, 70, 34), (37, 72, 35), (38, 74, 36), (39, 76, 37), (40, 78, 38), (41, 80, 39), (42, 82, 40), (43, 84, 41), (44, 86, 42), (45, 88, 43), (46, 90, 44), (47, 92, 45), (48, 94, 46), (49, 96, 47), (50, 98, 48), (51, 100, 49) `` 104. Очевидно, q не может быть равно 2. То есть, q>2 - нечетное простое. Пусть p=2n+1, q=2m+1. Тогда $\frac{p+q}{2}=n+m+1, \frac{p-q}{2}=n-m$ . Если n и m одинаковой четности, то n-m делится на 2, а если разной, то n+m+1 делится на 2. Единственный возможный случай, когда n-m=2 - простое, дает решение: $n=m+2, p=2m+5, q=2m+1, \frac{p+q}{2}=2m+3$ . Одно из трех последовательных нечетных чисел (2m+1, 2m+3, 2m+5) обязано делиться на 3, поэтому q=2m+1=3=>m=1=>(p,q)=(7,3) - единственное решение. 105. Заметим, что $24^2-8^3=(3\cdot 2^3)^2-(2\cdot 2^2)^3=9\cdot 2^6-8\cdot 2^6=2^6$ . Применим эту идею для $n=90:2^{90}=9\cdot 2^{90}-8\cdot 2^{90}=(3\cdot 2^{45})^2-(2\cdot 2^{30})^3$ . Таким образом, $a=3\cdot 2^{45}=105553116266496, b=2^{31}=2147483648$ . 106. Приведу сразу ответ: $71^2-17^3=2^7$ . Это равенство замечательно тем, что 71,17 и 7 простые числа. Вопрос существуют ли другие равенства $p^2-q^3=2^n$ , где p и q простые, кроме данного и совсем тривиального $3^2-2^3=2^0$ , остается открытым. Замечания к задачам 105 и 106. Задачи связаны с нахождением целочисленных решений уравнения Морделла $y^2 - x^3 = n$ и с соответствующей ему эллиптической кривой Морделла [3]. 107. По условию, $n=5\cdot p\cdot q$ , где p и q не равны 3. Сумма всех его делителей 1+5+p+q+5p+5q+pq+5pq=6p+6q+6pq+6), по условию, больше 2n. То есть, $$6p + 6q + 6pq + 6 > 2 \cdot 5pq = 10pq$$ Без ограничения общности, предположим, что p < q. Последнее неравенство перепишем в виде: 3(p+1) > q(2p-3), откуда $$q < \frac{3(p+1)}{2p-3} = \frac{3}{2} \cdot \left(1 + \frac{5}{2p-3}\right)$$ Пусть p=2, тогда q<9. Поскольку q не может быть равно 3 или 5, то единственная возможность q=7. С ростом p ограничение для q в правой части убывает и стремится к $\frac{3}{2}$ . Уже при следующем возможном p=7, мы получаем, $q1+p+q$ . Рассмотрим последовательность всех нечетных простых чисел $$3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, \dots$$ Если брать произведения k (k=2,3,...) подряд идущих чисел в этой последовательности, начиная с некоторого p, то сначала это произведение будет недостаточным, но начиная с некоторого k оно уже становится избыточным. Проверьте, что $3 \cdot 5$ , $3 \cdot 5 \cdot 7$ , $3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$ , $3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$ - недостаточные числа и что $3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17$ - избыточное. То есть, если начать с числа 3, то для того чтобы получить первое избыточное произведение потребовалось взять шесть подряд идущих простых чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17. Если же начать с числа 5, для того чтобы получить избыточное произведение потребуется уже десять подряд идущих простых чисел Произведение из скольких простых чисел идущих подряд нужно будет составить для получения первого избыточного числа, если начать с простого p=29? Задача 220. Число 855 можно представить в виде суммы двух и более кубов натуральных чисел двумя способами: $$\begin{cases} 855 = 7^3 + 8^3 \\ 855 = 1^3 + 5^3 + 9^3 \end{cases}$$ Можно сказать, что 855 имеет разложения в сумму от 2 до 3 кубов. Найдите наименьшее натуральное число, которое имело бы все разложения в сумму от 2 до 15 кубов (не обязательно единственным способом). Задача 221. Последовательность натуральных чисел $a_0, a_1, a_2, a_3, ...$ , определяется следующим образом: $a_0$ - наибольшее число, которое невозможно представить в виде суммы кубов различных натуральных чисел, $a_1$ - наибольшее число, которое можно представить в виде суммы кубов различных натуральных чисел единственным способом, $a_2$ - наибольшее число, которое можно представить в виде суммы кубов различных натуральных чисел двумя способами, и так далее. Найдите первые 10 членов этой последовательности. Задача 222. Найти все равенства вида $$a^2 + b^2 + c^2 + \dots = d^2$$ в которых в десятичной записи чисел a,b,c,...,d используются все 10 цифр по одному разу. Сумма квадратов в левой части может содержать любое количество слагаемых большее или равное двум. Задача 223. Рассмотрим множество дробей с числителем 1. Дробь 1/3 можно представить в виде суммы трех различных дробей этого множества так: $$\frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15}$$ При этом, наибольший общий делитель знаменателей (6,10,15) равен единице. Найдите подобное представление для дроби $\frac{1}{2025}$ . То есть, найти натуральные числа a,b,c (a < b < c), такие, что НОД (a,b,c)=1 и $$\frac{1}{2025} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$$ В ответе указать (a, b, c) с наименьшей суммой a + b + c. Задача 224. Тройка натуральных чисел (x,y,z) называется пифагоровой тройкой, если $x^2+y^2=z^2$ . Пифагорова тройка (x,y,z) называется примитивной, если HOД(x,y,z)=1, то есть, если ее числа взаимно простые. Найдите такую примитивную пифагорову тройку (x, y, z) и натуральное число k, чтобы каждое число пифагоровой тройки $(k \cdot x, k \cdot y, k \cdot z)$ в своей десятичной записи содержало девять цифр от 1 до 9 по одному разу. Задача 225. Пусть n - натуральное число, обозначим через p(n) количество простых чисел-подстрок в его десятичной записи. Например, p(321)=2, а p(231)=4. Действительно, из шести чисел-подстрок числа 321:3,32,321,2,21,1 только 3 и 2 являются простыми, а для числа 231 простых чисел-подстрок уже четыре: 2,23,3,31. Найдите 10-значное нечетное число, содержащее в своей десятичной записи все цифры от 0 до 9 и имеющее максимальное число простых чиселподстрок. Задача 226. Рассмотрим простое число 31. Если разбить его десятичную запись на две части a=3 и c=1 и между ними постоянно вставлять цифру b=3, то получим подряд 7 простых чисел: 31,331,3331,33331,333331,3333331. Следующее $333333331=17\cdot19607843$ - уже составное. Если же взять простое число 6073, разбить его на a=6, c=073 и вставлять постоянно между ними цифру b=9, то, до первого появления составного, получим уже 9 простых чисел: $6073,69073,699073,6999073,69999073,6999999073,6999999073,69999999073,69999999073,3 Заметим, что 699999999973=31\cdot 107\cdot 28411\cdot 74279$ . Найти наименьшее простое число и цифру, дающие 11 простых чисел (до первого составного) при постоянном добавлении цифры в десятичную запись числа в выбранной позиции. Задача 227. Десятизначное натуральное число n в его десятичной записи разбили слева направо на 4 натуральных числа: [a,b,c,d], a - однозначное, b - двузначное, c - трехзначное и d - четырехзначное. Например, для n=2176501238 будет a=2,b=17,c=650,d=1238. Заметим, что в этом примере: $a^3+b^3+c^3+d^3=2172043193 < n$ . Найдите такое n, чтобы выполнялось равенство $a^3+b^3+c^3+d^3=n$ . Задача 228. Обозначим через d(n) - операцию по удалению четности из натурального числа n, то есть если n - нечетное ничего не делаем, а если четное, то делим его на 2 до тех пор пока оно не станет нечетным. Например, d(10)=5, d(12)=3, d(16)=1, d(21)=21. Пусть b - некоторое нечетное натуральное число. Рассмотрим функцию $$f_b(n) = d(3 \cdot n + b), n \in \mathbb{N}$$ Если выбрать, например, b=5, то можно построить при помощи функции $f_5(n)=d(3\cdot n+5)$ две последовательности, содержащие по 3 бесконечно повторяющихся числа: $$19, 31, 49, 19.31, 49, \dots$$ Действительно, легко проверить, например, что $f_5(19)=31, f_5(31)=49, f_5(49)=19$ и так далее. Если для той же функции $f_5(n)$ выбрать в качестве начального элемента последовательности 187 или 347, то получим последовательности, содержащие уже по 17 членов до первого повторения. Найдите наименьшее натуральное число b в функции $f_b(n)$ , такое, что найдется последовательность, содержащая 1000 членов до первого повторения. Найдите эту последовательность и вычислите сумму s всех ее 1000 элементов. Задача 229. Из трех простых чисел p,q,r составили число a, записывая подряд их цифры друг за другом, и оказалось, что оно равно квадрату среднего из них: $a=q^2$ . Найдите такие числа. Задача 230. Пятизначное число a=46416 содержится в начале его четвертой степени: $a^4=4641633499322843136$ . Найти два тридцатизначных числа, кроме тривиального $10^{29}$ , обладающих таким же свойством. 3. Ответы 201. $355363^2 + ... + 355951^2 = 2489647^2$ . Сумма квадратов 49 последовательных простых чисел равна квадрату простого числа 2489647. 202. $$(a, b) = (1572, 8694)$$ ${\bf 203}.\ {328174\over421938}={7\over9}.\$ Для 10 цифр нет "сократимой"до ${p\over q},p