# Треугольные числа и эллиптические кривые Работа продолжает исследование треугольных чисел \(T_n=n(n+1)/2\) и их связей с суммами последовательных кубов \(S_{m,n}=T_n^2-T_m^2\). Изучается эллиптическая кривая \(E_m:y^2=x^3+T_m^2\), для которой найдены все универсальные точки и описана структура группы; установлена невозможность представления суммы двух или трёх последовательных кубов суммой меньшего числа кубов (\(b-a=2,3\)). Введена новая кривая \(E_m':y^2=x^3+2x^2-4T_mx+T_m^2\), полученная отражением параболических точек \(E_m\) относительно оси ординат. Доказано, что она содержит пятнадцать семейств универсальных точек (тридцать с учётом симметрии \(y\mapsto -y\)), в том числе три семейства, получаемых групповым законом. Для \(m\le5\cdot10^4\) вычислены рекордные значения числа целых точек; показано, что число точек коррелирует с рангом \(E_m'(\mathbb Q)\), а не с гладкостью \(T_m\). Исследованы мультипликативные разложения \(T_b^2=T_{a_1}T_{a_2}\): доказано, что все решения исчерпываются парой соседних квадратных треугольных чисел. Рассмотрено обобщение треугольника Серпинского \(T_a^2+kT_c^2=T_b^2\); доказано, что бесконечное семейство при \(a=c\) существует тогда и только тогда, когда \(k+1=u^2\) с неквадратным \(u\). Для \(k\le10\) найдены все спорадические решения. | Поле | Значение | |---|---| | Автор | Гуляев Георгий Михайлович | | Организация | нет | | Раздел | Математика | | Опубликовано | 28.10.2026 | | Идентификатор | AX-136414 | | Лицензия | CC BY 4.0 | | Ключевые слова | треугольные числа, эллиптическая кривая, целые точки, треугольник Серпинского, алгоритмы, программы | Полный текст (PDF): https://arxivorg.ru/upload/iblock/9e4/r460r8mrxe5yywcoyk5cbct2nrvr4dzm/%D0%A2%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0.pdf Источник (HTML): https://arxivorg.ru/mathematics/treugolnye-chisla-i-ellipticheskie-krivye/ Архив: арХиворг.ру — открытый архив научных препринтов на русском языке. ## Полный текст Треугольные числа и эллиптические кривые Георгий Гуляев 1. Введение В работе [1] изучался вопрос о представлении в виде куба сумм последовательных кубов натуральных чисел. Основная формула для суммы кубов от \(m+1\) до \(n\): \[S_{m,n} = T_n^2 - T_m^2, \; n,m \in \mathbb{N}, \; m<n. \eqno(1)\] Здесь \(S_{m,n}=\sum\limits_{x=m+1}^{n}x^3\) и \(T_n = \frac {n(n+1)} 2\) — так называемое треугольное число. В процессе исследования в [1] (теоремы 2 и 3) для суммы \(S_{m,n}\) были получены следующие формулы: \[S_{m,n} = \frac {(n-m)(n+m+1)(n^2+m^2+m+n)} 4\] \[S_{m,n} = \frac {[(2n+1)^2 - (2m+1)^2][(2n+1)^2 + (2m+1)^2 - 2]} {64}.\] Что касается представления суммы \(S_{m,n}\) в виде куба: \(S_{m,n} = c^3\), то в 1997 году Дэйв Русин (Dave Rusin) обнаружил и доказал ([4]) следующую параметризацию (бесконечное множество решений) в том случае, когда \(n-m = u^3, u \in \mathbb{N}, u>3, u \not\equiv 0 \pmod 3\): \[m = \frac {(u^2-1)^2 - 3(u^3+1)} 6, n = \frac {(u^2-1)^2 + 3(u^3-1)} 6, c = \frac {u(u^2-1)(u^2+2)} 6 .\] На данный момент известно только 27 решений уравнения \(S_{m,n} = c^3\), не охваченых параметризацией Русина ([1]) и, весьма вероятно, что таких исключений - конечное число. Возможно даже, что все они уже найдены и других просто не существует. В работе [2] рассматривалась, связанная с уравнением \(S_{m,n} = c^3\), эллиптическая кривая \(y^2 = x^3 + T_m^2, \;\) для которой был получен общий вид всех ее точек с рациональными координатами и найдены все точки с целыми координатами для всех m в пределах вычислительных возможностей компьютера. В работе [3] была доказана единственность пифагоровой тройки из треугольных чисел (так называемого треугольника Серпинского): \[T_{132}^2 + T_{143}^2 = T_{164}^2 \quad \text {или} \quad 8778^2 + 10296^2 = 13530^2.\] В настоящей работе мы продолжим, начатое в работах [1-3], исследование треугольных чисел и сумм последовательных кубов, изучим совпадения сумм кубов \(S_{a,b} = S_{c,d}\), мультипликативные соотношения во множестве треугольных чисел, обобщение треугольника Серпинского а также исследуем семейство эллиптических кривых \(y^2 = x^3 + 2x^2 - 4 T_m x + T_m^2\). 2. Эллиптическая кривая \(y^2 = x^3 + T_m^2\) Здесь мы будем следовать работе [2]. Изложим последовательно и систематически ее основные результаты и добавим несколько новых. Пусть \(m \in \mathbb N\) фиксировано. Рассмотрим эллиптическую кривую \[E_m: \quad y^2 = x^3 + T_m^2, \eqno(2)\] где \(T_m = m(m+1)/2\) — треугольное число. Кривая задана в форме Вейерштрасса \(y^2 = x^3 + ax + b\) с \(a = 0\), \(b = T_m^2\). Кривая \(E_m\) естественно возникает в задаче о представлении суммы последовательных кубов кубом натурального числа. Если положить \(x^3 = S_{m,n}\) и \(y = T_n\), то из формулы (1) получаем \[T_n^2 = S_{m,n} + T_m^2 = x^3 + T_m^2,\] то есть точка \((x, T_n)\) лежит на \(E_m\). Таким образом, задача о представлении суммы последовательных кубов в виде точного куба \(x^3\) равносильна задаче о нахождении целых точек на \(E_m\), у которых ордината является треугольным числом. Кривая \(E_m\) для любого \(m\) содержит восемь целых точек, задаваемых явными формулами через \(m\). \[\includegraphics [scale=0.27] {elliptic2.jpg}\] Теорема 1. Для любого \(m \in \mathbb N\) кривая \(E_m\) содержит восемь целых точек: \[(0, \pm T_m), \; (m+1, \pm T_{m+1}), \; (2T_m, \pm (2m+1) T_m), \; (-m, \pm (T_{m-1})). \eqno(3)\] Доказательство. Каждый из четырёх случаев проверяется подстановкой координат точек в уравнение кривой (2). Первый случай. При \(x = 0\) уравнение принимает вид \(y^2 = T_m^2\), откуда \(y = \pm T_m\). Второй случай. При \(x = m+1\) нужно проверить \[T_{m+1}^2 = (m+1)^3 + T_m^2.\] Подставляя \(T_{m+1} = (m+1)(m+2)/2\) и \(T_m = m(m+1)/2\), получаем \[\frac{(m+1)^2 (m+2)^2}4 = (m+1)^3 + \frac{m^2 (m+1)^2}4.\] Умножая на 4 и сокращая на \((m+1)^2\), приходим к тождеству \[(m+2)^2 = 4(m+1) + m^2,\] которое равносильно \(m^2 + 4m + 4 = m^2 + 4m + 4\). Третий случай. При \(x = 2T_m\) нужно проверить \[(2m+1)^2 T_m^2 = 8 T_m^3 + T_m^2.\] Сокращая на \(T_m^2\), получаем \[(2m+1)^2 = 8 T_m + 1 = 4 m(m+1) + 1 = (2m+1)^2.\] Четвёртый случай. При \(x = -m\) нужно проверить \[T_{m-1}^2 = -m^3 + T_m^2.\] Перепишем равенство в виде \(T_m^2 = m^3 + T_{m-1}^2\). Оно сводится к уравнению второго случая после замены переменной \(m\) на \(m+1\), который уже доказан. Все четыре случая проверены. Теорема доказана. Замечания. Мы будем называть эти восемь точек для кривой \(E_m\) универсальными. Из уравнения (2) очевидно, что если \((x, y)\) — решение, то и \((x, -y)\) — решение. Поэтому график \(E_m\) симметричен относительно оси абсцисс, и достаточно рассматривать только точки с \(y \ge 0\). Все точки (3) имеют прозрачный геометрический смысл. Точки \((0, \pm T_m)\) лежат на пересечении \(E_m\) с осью ординат. Точки \((m+1, \pm T_{m+1})\) и \((-m, \pm (T_{m-1}))\) лежат на пересечении семейства кривых \(E_m\) с параболой \[y = \frac{x(x+1)}2,\] то есть в этих точках ордината является треугольным числом. Точки \((2T_m, \pm (2m+1) T_m)\) лежат на кривой \[y = \frac{x \sqrt{4x+1}}2.\] \[\includegraphics [scale=0.27] {elliptic5.jpg}\] Для дальнейшего удобно привести рациональные точки \(E_m\) к специальному виду. Теорема 2. Любая рациональная точка \((x, y) \in E_m(\mathbb Q)\) представима в виде \[(x, y) = \left( \frac{a T_m}{q^2}, \frac{b T_m}{q^3} \right), \eqno(4)\] где \(q \in \mathbb N\), \(a, b \in \mathbb Z\). Доказательство. Пусть \((x, y) \in E_m(\mathbb Q)\). Представим отношения \(x / T_m\) и \(y / T_m\) в виде несократимых дробей: \[\frac{x}{T_m} = \frac{r}{s}, \qquad \frac{y}{T_m} = \frac{u}{v}, \qquad \gcd(r, s) = \gcd(u, v) = 1.\] Положим \(q = sv\) и определим \[a = s v^2 r, \qquad b = s^3 v^2 u.\] Тогда \[\frac{a T_m}{q^2} = \frac{s v^2 r \cdot T_m}{s^2 v^2} = \frac{r T_m}{s} = x,\] \[\frac{b T_m}{q^3} = \frac{s^3 v^2 u \cdot T_m}{s^3 v^3} = \frac{u T_m}{v} = y.\] Оба числа \(a\) и \(b\) целые. Теорема доказана. Подставляя (4) в (2) и сокращая на \(T_m^2\), получаем уравнение \[b^2 = a^3 T_m + q^6, \eqno(5)\] которое было использовано в работе [2] для поиска рациональных точек. Для дальнейшего анализа \(E_m\) нам понадобится формула сложения точек. Известно, что на эллиптической кривой в форме Вейерштрасса \(y^2 = x^3 + ax + b\) сумма двух точек \(P(x_1, y_1)\) и \(Q(x_2, y_2)\) вычисляется по формулам \[x_3 = \left( \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \right)^2 - x_1 - x_2, \qquad y_3 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x_1 - x_3) - y_1.\] При \(P = Q\) используется касательная: \[x_4 = \left( \frac{3x_1^2 + a}{2y_1} \right)^2 - 2x_1, \qquad y_4 = \frac{3x_1^2 + a}{2y_1}(x_1 - x_4) - y_1.\] В нашем случае \(a = 0\), \(b = T_m^2\). Теорема 3. Пусть \(A = (0, T_m)\) и \(B = (a T_m / q^2, -b T_m / q^3)\) — точка на \(E_m\) в нормальной форме (4). Тогда \[A + B = \left( \frac{2q(b + q^3)}{a^2}, \frac{(b + q^3)(b + 3q^3)}{a^3} \right). \eqno(6)\] Доказательство. Для точек \(A = (0, T_m)\) и \(B = (a T_m / q^2, -b T_m / q^3)\) угловой коэффициент хорды: \[k = \frac{-b T_m / q^3 - T_m}{a T_m / q^2 - 0} = \frac{-T_m(b + q^3)/q^3}{a T_m / q^2} = -\frac{b + q^3}{q a}.\] Абсцисса суммы: \[x_3 = k^2 - 0 - \frac{a T_m}{q^2} = \frac{(b+q^3)^2}{q^2 a^2} - \frac{a T_m}{q^2} = \frac{(b+q^3)^2 - a^3 T_m}{q^2 a^2}.\] Из условия \(b^2 = a^3 T_m + q^6\) (формула (5)) следует \(a^3 T_m = b^2 - q^6 = (b+q^3)(b-q^3)\). Тогда \[x_3 = \frac{(b+q^3)^2 - (b+q^3)(b-q^3)}{q^2 a^2} = \frac{(b+q^3) \cdot 2q^3}{q^2 a^2} = \frac{2q(b+q^3)}{a^2}.\] Ордината: \[y_3 = k(0 - x_3) - T_m = \frac{b+q^3}{qa} \cdot \frac{2q(b+q^3)}{a^2} - T_m = \frac{2(b+q^3)^2 - a^3 T_m}{a^3}.\] Подставляя снова \(a^3 T_m = (b+q^3)(b-q^3)\): \[y_3 = \frac{2(b+q^3)^2 - (b+q^3)(b-q^3)}{a^3} =\] \[= \frac{(b+q^3)(2b + 2q^3 - b + q^3)}{a^3} = \frac{(b+q^3)(b+3q^3)}{a^3}.\] Теорема доказана. Замечание. Хотя в формулах (6) отсутствует \(m\), это не означает, что точка \(A + B\) лежит на \(E_m\) для любого \(m\). Слагаемые \(A\) и \(B\) задают эллиптическую кривую, на которой они лежат сами и на которой будет лежать их сумма. В точке \(A\) уже присутствует \(m\), а для того чтобы \(B\) лежала на \(E_m\), должно выполняться равенство (5). Инволюция \(\varphi\). Определим отображение \(\varphi: E_m(\mathbb Q) \to E_m(\mathbb Q)\), положив для \((x, y) \in E_m\), \(y \ne T_m\): \[\varphi(x, y) = \left( \frac{2x T_m}{y - T_m}, \frac{(y + 3T_m) T_m}{y - T_m} \right). \eqno(7)\] В точках \((0, T_m)\) и бесконечно удалённой \(\mathcal O\) отображение доопределяется формулами \[\varphi(0, T_m) = \mathcal O, \qquad \varphi(\mathcal O) = (0, T_m).\] Теорема 4. Отображение \(\varphi\) переводит кривую \(E_m\) в себя: \[\varphi(E_m) = E_m.\] Более того, \(\varphi\) является инволюцией: \[\varphi \circ \varphi = \mathrm{id}.\] Доказательство. Сохранение кривой. Пусть \((x, y) \in E_m\) и \((X, Y) = \varphi(x, y)\). Нужно показать, что \(Y^2 = X^3 + T_m^2\). Из (7) имеем \[X = \frac{2 x T_m}{y - T_m}, \qquad Y = \frac{(y + 3T_m) T_m}{y - T_m}.\] Возведём \(Y\) в квадрат: \[Y^2 = \frac{(y + 3T_m)^2 T_m^2}{(y - T_m)^2}.\] Возведём \(X\) в куб и прибавим \(T_m^2\): \[X^3 + T_m^2 = \frac{8 x^3 T_m^3}{(y - T_m)^3} + T_m^2 = \frac{8 x^3 T_m^3 + T_m^2 (y - T_m)^3}{(y - T_m)^3}.\] Требуется проверить равенство \[(y + 3T_m)^2 T_m^2 (y - T_m) = 8 x^3 T_m^3 + T_m^2 (y - T_m)^3.\] Сокращая на \(T_m^2\): \[(y + 3T_m)^2 (y - T_m) = 8 x^3 T_m + (y - T_m)^3.\] Раскроем обе части. Левая: \[(y^2 + 6yT_m + 9T_m^2)(y - T_m) = y^3 + 5y^2 T_m + 3y T_m^2 - 9T_m^3.\] Правая, с учётом \(x^3 = y^2 - T_m^2\): \[8T_m(y^2 - T_m^2) + y^3 - 3y^2 T_m + 3y T_m^2 - T_m^3 = y^3 + 5y^2 T_m + 3y T_m^2 - 9T_m^3.\] Обе части совпадают. Значит, \(\varphi(E_m) \subseteq E_m\). Обратное включение следует из инволютивности. Инволютивность. Пусть \((X, Y) = \varphi(x, y)\). Покажем, что \(\varphi(X, Y) = (x, y)\). Из (7): \[Y - T_m = \frac{(y + 3T_m) T_m - T_m(y - T_m)}{y - T_m} = \frac{4T_m^2}{y - T_m}.\] Тогда \[\frac{2 X T_m}{Y - T_m} = \frac{2 \cdot \frac{2xT_m}{y-T_m} \cdot T_m}{\frac{4T_m^2}{y-T_m}} = \frac{4xT_m^2/(y-T_m)}{4T_m^2/(y-T_m)} = x.\] Аналогично для второй координаты: \[\frac{(Y + 3T_m)T_m}{Y - T_m} = \frac{\left[\frac{(y+3T_m)T_m}{y-T_m} + 3T_m\right]T_m}{\frac{4T_m^2}{y-T_m}} =\] \[= \frac{(y + 3T_m + 3y - 3T_m)T_m^2/(y-T_m)}{4T_m^2/(y-T_m)} = \frac{4yT_m^2}{4T_m^2} = y.\] Значит, \(\varphi(\varphi(x, y)) = (x, y)\). Теорема доказана. Групповой смысл инволюции. Отображение \(\varphi\) имеет прозрачный групповой смысл: оно совпадает с отражением относительно точки \(A = (0, T_m)\) в групповом законе \(E_m\). Теорема 5. Для любой точки \(P \in E_m(\mathbb Q)\), \(P \ne A\) и \(P \ne \mathcal O\), выполняется \[\varphi(P) = A - P.\] Кроме того, \(\varphi(A) = \mathcal O\) и \(\varphi(\mathcal O) = A\). Доказательство. Достаточно показать, что \(P + \varphi(P) = A\). Обозначим \(\varphi(P) = (X, Y)\). Прямое вычисление даёт \[X - x = \frac{2xT_m}{y - T_m} - x = \frac{x(3T_m - y)}{y - T_m},\] \[Y - y = \frac{(y + 3T_m)T_m}{y - T_m} - y = \frac{(3T_m - y)(y + T_m)}{y - T_m},\] где во втором равенстве использовано \(y^2 = x^3 + T_m^2\): \[2yT_m + 3T_m^2 - y^2 = -(y^2 - 2yT_m - 3T_m^2) = -(y - 3T_m)(y + T_m) = (3T_m - y)(y + T_m).\] Следовательно, угловой коэффициент хорды через \(P\) и \(\varphi(P)\) равен \[k = \frac{Y - y}{X - x} = \frac{(3T_m - y)(y + T_m)}{x(3T_m - y)} = \frac{y + T_m}{x}.\] Абсцисса третьей точки пересечения хорды с \(E_m\): \[x_R = k^2 - x - X = \frac{(y + T_m)^2}{x^2} - x - \frac{2xT_m}{y - T_m}.\] Из уравнения кривой \((y - T_m)(y + T_m) = x^3\), то есть \[\frac{1}{y - T_m} = \frac{y + T_m}{x^3}.\] Поэтому \[\frac{2xT_m}{y - T_m} = \frac{2T_m(y + T_m)}{x^2},\] и \[x_R = \frac{(y + T_m)^2 - 2T_m(y + T_m)}{x^2} - x = \frac{(y + T_m)(y - T_m)}{x^2} - x = \frac{x^3}{x^2} - x = 0.\] Ордината: \[y_R = k(x - x_R) - y = kx - y = (y + T_m) - y = T_m.\] Итак, \(P + \varphi(P) = (0, T_m) = A\), откуда \(\varphi(P) = A - P\). Случаи \(P = A\) и \(P = \mathcal O\) проверяются отдельно: при \(P = A\) знаменатель \(y - T_m\) обращается в нуль, и \(\varphi(A) = \mathcal O\) по доопределению; при \(P = \mathcal O\) формальное продолжение даёт \(\varphi(\mathcal O) = A\). Теорема доказана. Следствие 1. Точка \(A = (0, T_m)\) является точкой кручения порядка 3 в группе \(E_m(\mathbb Q)\): \[3A = \mathcal O.\] Доказательство. Касательная к \(E_m\) в точке \(A\) горизонтальна (так как коэффициент при \(x\) в правой части уравнения равен нулю), поэтому прямая \(y = T_m\) пересекает \(E_m\) в точке \(A\) с кратностью 3. Значит, \(2A = -A\), откуда \(3A = \mathcal O\). Следствие доказано. Групповая структура восьми универсальных точек. Введём обозначения \[A = (0, T_m), \; B = (m+1, T_{m+1}), \; C = (2T_m, (2m+1)T_m), \; D = (-m, T_{m-1}).\] Следствие 2. В группе \(E_m(\mathbb Q)\) выполняются тождества \[B + C = A, \qquad A + C = D, \qquad D = B + 2C.\] Восемь универсальных точек (3) имеют вид \[\pm B, \quad \pm C, \quad \pm (B+C), \quad \pm (B+2C).\] Доказательство. Шаг 1. \(B + C = A\). Вычислим угловой коэффициент хорды через \(B\) и \(C\): \[k = \frac{(2m+1)T_m - T_{m+1}}{2T_m - (m+1)}.\] Числитель: \[(2m+1) \frac{m(m+1)}2 - \frac{(m+1)(m+2)}2 =\] \[= \frac{(m+1)[m(2m+1) - (m+2)]}2 = \frac{(m+1)(2m^2 - 2)}2 = (m+1)^2(m-1).\] Знаменатель: \[2T_m - (m+1) = m(m+1) - (m+1) = (m+1)(m-1).\] Следовательно, \(k = m+1\). Тогда \[x_{B+C} = (m+1)^2 - (m+1) - 2T_m = (m+1)^2 - (m+1) - m(m+1) = 0,\] \[y_{B+C} = (m+1)((m+1) - 0) - T_{m+1} = (m+1)^2 - \frac{(m+1)(m+2)}2 = T_m.\] Значит, \(B + C = (0, T_m) = A\). Шаг 2. \(A + C = D\). Угловой коэффициент хорды через \(A\) и \(C\): \[k = \frac{(2m+1)T_m - T_m}{2T_m - 0} = m.\] Тогда, \[x_{A+C} = m^2 - 0 - 2T_m = m^2 - m(m+1) = -m,\] \[y_{A+C} = m(0 - (-m)) - T_m = m^2 - \frac{m(m+1)}2 = \frac{m(m-1)}2 = T_{m-1}.\] Значит, \(A + C = D\). Шаг 3. \(D = B + 2C\). Согласно шага 1, имеем \(C = A - B\). Тогда \[B + 2C = B + 2(A - B) = 2A - B = A + (A - B) = A + C = D.\] Последнее равенство следует из шага 2. Следствие доказано. Связь инволюции с формулой сложения. Теорема 3 и теорема 5 вместе дают прозрачный групповой смысл формулы (6). Следствие 3. Пусть \(A = (0, T_m)\) и \(B = (a T_m / q^2, -b T_m / q^3) \in E_m(\mathbb Q)\). Тогда \[\varphi(A + B) = -B = \left( \frac{a T_m}{q^2}, \frac{b T_m}{q^3} \right).\] Доказательство. По теореме 5, \(\varphi(A + B) = A - (A + B) = -B\). Следствие доказано. Пример: \(m = 212\). Для иллюстрации выпишем универсальные точки и одну из точек, дающих решение задачи о сумме кубов. Имеем \(T_{212} = 22578\), \(T_{213} = 22791\). Восемь точек (3): \[(0, \pm 22578), \quad (213, \pm 22791), \quad (45156, \pm 9595650), \quad (-212, \pm 22366).\] Точка \(A = (0, 22578)\) имеет порядок 3, и \(A = B + C\), где \(B = (213, 22791)\), \(C = (45156, 9595650)\). Точка \(C_0 = (1581, 66795)\) лежит на \(E_{212}\) и даёт решение задачи о суммах кубов: \(S_{212, 365} = 1581^3\). Её образ под действием \(\varphi\): \[\varphi(1581, 66795) = \left( \frac{466612}{289}, \frac{337488418}{4913} \right).\] Эта точка симметрична точке \(D\), для которой \(A + D = C_0\). Аналогично вторая точка \(C_1 = (2856, 154290)\) даёт \(S_{212, 555} = 2856^3\), и \[\varphi(2856, 154290) = \left( \frac{119139}{196}, \frac{104434539}{2744} \right).\] Роль инволюции в структуре решений. Резюмируем значение теоремы 5. Отображение \(\varphi\) действует на \(E_m(\mathbb Q)\) как отражение относительно точки кручения \(A\) порядка 3. Оно переводит универсальные точки друг в друга: \[\varphi(A) = \mathcal O, \; \varphi(\mathcal O) = A, \; \varphi(-A) = -A, \; \varphi(B) = C, \; \varphi(D) = -C, \; \varphi(-B) = -D.\] Для любой точки \(P\), дающей решение задачи о сумме кубов (то есть для точки с целочисленной ординатой \(T_n\)), точка \(\varphi(P)\) также лежит на \(E_m\) и связана с \(P\) групповым законом \(P + \varphi(P) = A\). Таким образом, инволюция \(\varphi\) даёт естественное разбиение точек \(E_m(\mathbb Q)\) на пары \(\{P, \varphi(P)\}\), симметричные относительно точки кручения \(A\). Это разбиение объясняет структуру найденных решений задачи о суммах кубов и лежит в основе дальнейшего анализа эллиптической кривой \(E_m\). 3. Cтруктура целых точек кривой \(E_m\) Параметризация Русина не дает бесконечного множества целочисленных точек для каждого \(m\) на кривой \(E_m\). В ней вместе с параметром \(u\) меняются оба индекса \(m\) и \(n\). То есть, для каждого подходящего для параметризации \(m = 5, 33, 212, 405, \dots\), только одна из целых точек на кривой \(E_m\) будет соответствовать параметризации Русина. verbatim Кривая E_m: y^2 = x^3 + (T_m)^2 u = 4, m = 5, n = 69, x = 180, y = T_n = 2415 u = 5, m = 33, n = 158, x = 540, y = T_n = 12561 u = 7, m = 212, n = 555, x = 2856, y = T_n = 154290 u = 8, m = 405, n = 917, x = 5544, y = T_n = 420903 u = 10, m = 1133, n = 2133, x = 16830, y = T_n = 2275911 u = 11, m = 1734, n = 3065, x = 27060, y = T_n = 4698645 u = 13, m = 3605, n = 5802, x = 62244, y = T_n = 16834503 u = 14, m = 4965, n = 7709, x = 90090, y = T_n = 29718195 ... verbatim Анализируя целые точки на кривой \(E_m\) в этих случаях можно заметить, что вместе с точкой, которую дает параметризация всегда дополнительно добавляются еще две целые точки. verbatim ————————————————– u = 4, m = 5, n = 69, x = 180, y = T_n = 2415 [(-6, 3), (-5, 10), (0, 15), (4, 17), (6, 21), (10, 35), (15, 60), (30, 165), (60, 465), (180, 2415), (336, 6159), (351, 6576), (720114, 611085363)] ————————————————– u = 5, m = 33, n = 158, x = 540, y = T_n = 12561 [(-68, 17), (-66, 165), (-33, 528), (0, 561), (15, 564), (34, 595), (70, 811), (102, 1173), (132, 1617), (187, 2618), (220, 3311), (540, 12561), (1122, 37587), (2784, 146895), (3672, 222513), (5610, 420189), (8415, 771936), (166600, 68000561)] ————————————————– u = 7, m = 212, n = 555, x = 2856, y = T_n = 154290 [(-795, 2703), (-212, 22366), (0, 22578), (213, 22791), (1420, 58078), (1581, 66795), (2856, 154290), (45156, 9595650), (421456, 273607730)] ————————————————– u = 8, m = 405, n = 917, x = 5544, y = T_n = 420903 [(-1890, 2835), (-1566, 54027), (-1260, 68985), (-405, 81810), (0, 82215), (406, 82621), (900, 86535), (1450, 99035), (1890, 116235), (3654, 235683), (3915, 258390), (5544, 420903), (9135, 876960), (14175, 1689660), (15660, 1961415), (16146, 2053269), (28420, 4791815), (164430, 66676365), (3575880, 6761988135)] ————————————————– u = 10, m = 1133, n = 2133, x = 16830, y = T_n = 2275911 [(-7416, 69525), (-1133, 641278), (0, 642411), (1134, 643545), (16632, 2239083), (16830, 2275911), (1284822, 1456345737), (519943347, 11855886643062)] ————————————————– u = 11, m = 1734, n = 3065, x = 27060, y = T_n = 4698645 [(-13005, 251430), (-1734, 1502511), (0, 1504245), (1735, 1505980), (27060, 4698645), (31230, 5720295), (3008490, 5218225905)] ————————————————– verbatim В последнем примере универсальные точки: \[A = (0,T_m) = (0, 1504245), \; B = (m+1, T_{m+1}) = (1735, 1505980),\] \[C = (2T_m, (2m+1)T_m) = (3008490, 5218225905),\] \[D = (-m, T_{m-1}) = (-1734, 1502511).\] Точка параметризации: \(P = (x, y) = (27060, 4698645)\). Оставшиеся две точки \(Q = (-13005, 251430)\) и \(R = (31230, 5720295)\). Сложение \(P+D\) на эллиптической кривой дает точку симметричную \(Q: (-13005, -251430)\), то есть фактически добавляет точку \(Q\) (если учитывать только точки с \(y > 0\)). С другой стороны, можно заметить, что \(P+R = B\), таким образом, \(R\) появляется как дополнение точки параметризации до \(B\). Оформим это наблюдение в виде теоремы. Теорема 6. Пусть \(u\in\mathbb N, u>3, u \not\equiv 0\pmod 3\). Рассмотрим эллиптические кривые \(E_m:y^2=x^3+T_m^2\) и целые точки \(P(x,y)\) на них для всех \(m\) из параметризации Русина: \[m=\frac{(u^2-1)^2-3(u^3+1)}6,\; n=m+u^3, \; x=\frac{u(u^2-1)(u^2+2)}6,\; y = T_n\] Пусть, далее \[A=(0,T_m),\quad B=(m+1,T_{m+1}),\quad C=(2T_m,(2m+1)T_m),\quad D=(-m,T_{m-1})\] — стандвртные точки кривой \(E_m\). Тогда точки \[Q=P+D,\qquad R=B-P\] также имеют целые координаты. При этом \(Q\) и \(R\) не совпадают с универсальными точками. Таким образом, кривые \(E_m\) содержит не менее семи целых точек с \(y>0\): \[A,\ B,\ C,\ D,\ P,\ Q,\ R\] для всех \(m \in \{5, 33, 212, 405, \dots\}\) соответствующих параметризации Русина. Доказательство. Tочка \(P=(x_P,y_P)\) имеет положительные координаты, причём \[n=m+u^3>m+1 \; (u>3),\quad \text{поэтому} \quad T_n>T_{m+1}>T_m.\] Значит, \(P\) не совпадает ни с \(A=(0,T_m)\), ни с \(B=(m+1,T_{m+1})\), ни с их отражениями (у отражений ордината отрицательна). Далее, \(x_D=-m<0\), а \(x_P>0\), поэтому \(P\ne D\) и \(P\ne -D\). Остаётся \(C=(2T_m,(2m+1)T_m)\). Здесь \(x_C=2T_m\). Покажем, что \(x_P\ne 2T_m\). При \(u=4\) имеем \(x_P=180>30=2T_m\). При \(u=5\) имеем \(x_P=540<1122=2T_m\). При \(u\ge 7\) (случай \(u\equiv0\pmod3\) исключён) из \[m=\frac{u^4-3u^3-2u^2-2}{6}\ge \frac{u^4}{12}, \qquad x_P=\frac{u^5+u^3-2u}{6}\le \frac{u^5}{5}\] следует \[2T_m=m(m+1)>\frac{u^8}{144}>\frac{u^5}{5}\ge x_P.\] Значит, \(x_P\ne 2T_m\), и \(P\ne C\). Отражение \(-C\) имеет отрицательную ординату, поэтому \(P\ne -C\). Следовательно, в условиях теоремы \(P\) не совпадает ни с одной из точек \(A,B,C,D\) и их отражениями. Докажем теперь, что точка \(Q=P+D\) имеет целые координаты. Угловой коэффициент хорды \(PD\) равен \[K=\frac{T_m-m-T_n}{-m-c}.\] Прямое вычисление с использованием \(n=m+u^3\) даёт \[K=u^2-u+1 \; \in\mathbb Z.\] По формуле сложения точек \[x_Q=K^2-c+m,\qquad y_Q=K(c-x_Q)-T_n.\] Поскольку \(K,c,m,T_n\) — целые, \(x_Q\) и \(y_Q\) целые. Докажем, что точка \(R=B-P\) имеет целые координаты. Рассмотрим точку \(-P=(x,-T_n)\). Угловой коэффициент хорды, соединяющей \(B\) и \(-P\), равен \[K'=\frac{-T_n-T_{m+1}}{c-(m+1)}.\] Прямое вычисление даёт \[K'=\frac{(u-1)(u^2+2u+4)} 6 \in \mathbb{Z}.\] Действительно, \[(u-1)(u^2+2u+4)=(u-1)\bigl((u+1)^2+3\bigr).\] При \(u>3\), \(u\not\equiv 0\pmod 3\), произведение всегда чётно (если \(u\) чётно, то \(u^2+2u+4\) чётно; если \(u\) нечётно, то \(u-1\) чётно) и всегда делится на \(3\) (если \(u\equiv 1\pmod 3\), то \(u-1\) делится на \(3\); если \(u\equiv 2\pmod 3\), то \(u^2+2u+4\equiv 4+4+4=12\equiv 0\pmod 3\)). Значит, \(K'\in\mathbb Z\). По формуле сложения точек \[x_R=K'^2-(m+1)-x,\qquad y_R=K'((m+1)-x_R)-T_{m+1}.\] Поскольку \(K',m,c,T_{m+1}\) — целые, \(x_R\) и \(y_R\) целые. Теорема доказана. Пример для \(u=11\): \[m=1734,\quad c=27060,\quad n=3065,\quad T_m=1504245,\quad T_n=4698645.\] Точка \(P=(27060,4698645)\). Угловой коэффициент \(K=11^2-11+1=111\). Тогда \[Q=P+D=(-13005,251430).\] Далее \(K'=(10)(121+22+4)/6=10\cdot147/6=245\). Тогда \[R=B-P=(31230,5720295).\] Вместе с \(A=(0,1504245)\), \(B=(1735,1505980)\), \(C=(3008490,5218225905)\), \(D=(-1734,1502511)\) получаем семь целых точек с \(y>0\). В отдельных случаях (например, \(u=4,5,7,8\)) на кривых \(E_m\) появляются дополнительные целые точки, не входящие в минимальный набор \(\{A,B,C,D,P,Q,R\}\). Они возникают как другие комбинации \(P\) со универсальными точками или как кратные \(P\). Однако, по теореме 6, для всех \(m\) из параметризации Русина, минимальный набор всегда содержит не менее семи целых точек. Численные наблюдения. Для большинства \(m\) кривая \(E_m\) содержит ровно восемь универсальных точек (в работе [2] приведена соответствующая статистика для начальных \(m\)). С измененим \(m\) появляются значения, для которых число целых точек во много раз больше. В работе [2] найдены рекордные значения: \(m = 21504\) — 91 точка, \(m = 10625\) — 76, \(m = 25839\) — 70, \(m = 4879\) — 45. При этом, программа считала только точки для которых \(y>0\). Значения \(m\) с большим количеством целых точек появляются случайно. Соседние значения для этих \(m\) могут давать существенно меньше точек. Например, \(m = 4880\) даёт в верхней полуплоскости \(y>0\) только четыре универсальные точки. Число целых точек, кажется, коррелирует с факторизацией \(T_m\): рекордные \(m\) имеют богатую факторизацию малых простых, что увеличивает число делителей в разложении \((y - T_m)(y + T_m) = x^3\). Точная зависимость числа точек от факторизации \(T_m\) не установлена. Ниже приведены найденные \(m < 10^6\), для которых кривая \(E_m\) содержит более 50 целых точек, если учитывать только в точки верхней полуплоскости \(y>0\). verbatim 91 m = 21504 = 2^10*3*7, T(21504) = 2^9*3*5*7*11*17*23 76 m = 10625 = 5^4*17, T(10625) = 3*5^4*7*11*17*23 70 m = 25839 = 3^4*11*29, T(25839) = 2^3*3^4*5*11*17*19*29 67 m = 4784 = 2^4*13*23, T(4784) = 2^3*3*5*11*13*23*29 62 m = 643125 = 3*5^4*7^3, T(643125) = 3*5^4*7^3*11*23*31*41 60 m = 58310 = 2*5*7^3*17, T(58310) = 3^2*5*7^3*11*17*19*31 57 m = 45695 = 5*13*19*37, T(45695) = 2^6*3*5*7*13*17*19*37 56 m = 94094 = 2*7*11*13*47, T(94094) = 3^3*5*7*11*13*17*41*47 54 m = 194480 = 2^4*5*11*13*17, T(194480) = 2^3*3^4*5*7^4*11*13*17 53 m = 296703 = 3^6*11*37, T(296703) = 2^7*3^6*11*19*37*61 52 m = 750464 = 2^7*11*13*41, T(750464) = 2^6*3^4*5*11*13*17*41*109 51 m = 107184 = 2^4*3*7*11*29, T(107184) = 2^3*3*5*7*11*13*17*29*97 51 m = 196910 = 2*5*7*29*97, T(196910) = 3^4 * 5*7*11*13*17*29*97 verbatim Найденные, программой на языке Julia, целые точки для каждого \(m\) из таблицы подтверждены в веб версии программы Magma V2.29-10 (все кроме четырех: \(94094,107184,196910,750464\) - из-за ограничений по времени программы magma). Поиски были продолжены и за пределы \(m = 10^6\), но больше ни одного случая с числом целых точек больше \(50\) обнаружено не было. При поиске вместо полного перебора использовался следующий критерий гладкости. Определим вес числа через цифровой логарифм: \[\mathrm{lgd}(n)=\sum_{p^k\parallel n} k\,p.\] Все известные \(m\) с числом целых точек \(>50\) на кривой \(E_m\) удовлетворяют условию \[100<\mathrm{lgd}(m)+\mathrm{lgd}(T_m)<350.\] Это отражает тот факт, что большое число точек требует одновременной гладкости \(m\) и \(T_m\): каждая точка соответствует разложению \(x^3=AB\) с \(B-A=2T_m\), и чем больше малых простых делителей у \(T_m\), тем больше таких разложений. Создается стойкое ощущение, что с дальнейшим ростом m число целых точек в среднем не увеличивается, а уменьшается и, начиная с некоторого \(M\), для всех \(m > M\) на кривой \(E_m\) не будет других точек кроме универсальных и добавляемых параметризацией Русина. Происходит это потому, что с ростом m в разложении \(T_m\) появляются все большие простые числа, которые оказываются менее удобными для построения целых точек на кривой \(E_m\). 4. Эллиптическая кривая \(E_m^{'}: y^2 = x^3 + 2x^2 - 4 T_m x + T_m^2\) Поставим задачу видоизменить общее уравнение семейства эллиптических кривых \(E_m: \; y^2 = x^3 + T_m^2\) так, чтобы обеспечить как можно большее количество универсальных точек на них. Рассмотрим семейство кривых с произвольными целыми коэффициентами a и b. \[y^2=x^3+ax^2+bx+T_m^2. \eqno (8)\] На кривой \(E_m\) на пересечении с параболой \(y = T_x\) при \(y>0\) находились ровно две точки: \(T_x^2 = x^3 + T_m^2 \Rightarrow T_m^2 = x^2(x+1)^2/4 - x^3 \Rightarrow T_m^2 = T_{-x}^2 \Rightarrow\) \[T_m = T_{-x} \Rightarrow x(x-1) = m(m+1) \Rightarrow B = (m+1, T_{m+1}) \text { и } D = (-m, T_{m-1}).\] Отразим эти точки относительно оси ординат и потребуем, чтобы они лежали на новой кривой (8). Замена \(x\mapsto -x\) переводит параболу \(y=T_x=x(x+1)/2\) в \(y=T_{-x}=x(x-1)/2\), a точки — в \[B'=(-m-1,\,T_{m+1}),\qquad D'=(m,\,T_{m-1}).\] Подставив координаты точек в уравнение (8), решаем систему линейных уравнений относительно \(a\) и \(b\). \[a(m+1)^2-b(m+1)=2(m+1)^3,\qquad am^2+bm=-2m^3.\] Деля на \(m+1\) и \(m\) и складывая уравнения, получаем \(a(2m+1)=2(2m+1)\), то есть \(a=2\), а затем \(b=-4T_m\). Это и будет наша новая кривая: \[E_m^{'}: y^2 = x^3 + 2x^2 - 4 T_m x + T_m^2. \eqno (9)\] Покажем, что при таком выборе коэффициентов на кривой оказываются пятнадцать различных семейств точек. Для удобства разобьем все 30 точек на пять групп. Лемма 1. На \(E_m^{'}\) лежат точки \[(0,\ \pm T_m), \quad (2,\ \pm(T_m-4)), \quad (2T_m,\ \pm(2m+1)T_m),\] \[(-m-1,\ \pm T_{m+1}), \quad (-m-2,\ \pm(T_{m+1}-1)),\] \[(m,\ \pm T_{m-1}), \quad (m-1,\ \pm(T_{m-1}-1)).\] Доказательство. При подстановке будем использовать легко проверяемые тождества: \[T_{m+1}^2-T_m^2=(m+1)^3,\qquad T_m^2-T_{m-1}^2=m^3, \eqno (10)\] \[(T_{m+1}-1)^2-T_m^2=m^2(m+2),\qquad T_m^2-(T_{m-1}-1)^2=(m-1)(m+1)^2. \eqno (11)\] Для \(x=0\), правая часть (9) равна \(T_m^2 \Rightarrow (0,\ \pm T_m)\) - решения. Для \(x=2\), имеем \(8+8-8T_m+T_m^2=(T_m-4)^2 \Rightarrow (2,\ \pm(T_m-4))\) - решения. Для \(x=2T_m\), получаем \(T_m^2(8T_m+1)=T_m^2(2m+1)^2 \Rightarrow (2T_m,\ \pm(2m+1)T_m)\) - лежат на кривой. Для \(x=-m-1\), имеем \(-(m+1)^3+2(m+1)^2+2m(m+1)^2+T_m^2=T_m^2+(m+1)^3\), что по первому тождеству (10) равно \(T_{m+1}^2 \Rightarrow (-m-1,\ \pm T_{m+1})\) - на кривой. Для \(x=-m-2\), имеем \(x^2+2x-4T_m=-m^2\), поэтому правая часть (9) равна \(T_m^2+m^2(m+2)\), что по первому тождеству (11) равно \((T_{m+1}-1)^2\). Для \(x=m\), имеем \(x^2+2x-4T_m=-m^2\), и правая часть по второму тождеству (10) равна \(T_m^2-m^3=T_{m-1}^2\). Для \(x=m-1\) имеем \(x^2+2x-4T_m=-(m+1)^2\), и правая часть по второму тождеству (11) равна \(T_m^2-(m-1)(m+1)^2=(T_{m-1}-1)^2\). Лемма доказана. \[\includegraphics [scale=0.27] {elliptic3.jpg}\] Лемма 2. На \(E_m^{'}\) лежат точки \[(2m+2,\ \pm\tfrac{(m+1)(m+8)}2),\qquad (-2m,\ \pm\tfrac{m(m-7)}2).\] Доказательство. Имеем два легко проверяемых равенства, при помощи раскрытия скобок и с учётом \(2T_m=m(m+1)\): \[(2m+2)^3+2(2m+2)^2-4T_m(2m+2)+T_m^2=\frac{(m+1)^2(m+8)^2}{4},\] \[(-2m)^3+2(-2m)^2-4T_m(-2m)+T_m^2=\frac{m^2(m-7)^2}{4}.\] Очевидно, они доказывают лемму 2. Лемма доказана. Лемма 3. На \(E_m^{'}\) лежат точки \[\bigl(T_m(T_m-4),\ \pm T_m(T_m^2-6T_m+7)\bigr),\quad \bigl(m(m+3),\ \pm\tfrac{m(m+1)(2m+7)}2\bigr).\] Доказательство. Прямое раскрытие скобок даёт тождества small \[\bigl(T_m(T_m-4)\bigr)^3+2\bigl(T_m(T_m-4)\bigr)^2-4T_m^2(T_m-4)+T_m^2=T_m^2(T_m^2-6T_m+7)^2,\] \[\bigl(m(m+3)\bigr)^3+2\bigl(m(m+3)\bigr)^2-4T_m\,m(m+3)+T_m^2=\frac{m^2(m+1)^2(2m+7)^2}{4},\] small правые части которых — полные квадраты. Лемма доказана. Лемма 4. Пусть \(M=\lceil m/2\rceil\). Тогда на \(E_m^{'}\) лежат точки \[\bigl(M^2,\ \pm M(M^2-1)\bigr).\] Доказательство. Если \(m=2M\), то \(T_m=M(2M+1)\), и при \(x=M^2\) правая часть (9) равна \[M^6+2M^4-4M(2M+1)M^2+M^2(2M+1)^2=M^2(M^2-1)^2.\] Если \(m=2M-1\), то \(T_m=(2M-1)M\), и при том же \(x=M^2\) правая часть равна \[M^6+2M^4-4M(2M-1)M^2+M^2(2M-1)^2=M^2(M^2-1)^2.\] В обоих случаях \(y=\pm M(M^2-1)\). Лемма доказана. Лемма 5. Пусть \(P=(0,T_m),\; Q=(m,T_{m-1}),\) \[P_3=(2T_m,(2m+1)T_m),\; P_{11}=\bigl(m(m+3),\tfrac{m(m+1)(2m+7)}2\bigr).\] Тогда точки \[A=P-Q,\qquad B=A-E_3,\qquad C=P_3-P_{11}\] лежат на \(E_m^{'}\) и имеют целые координаты. А именно, small \[A=\Bigl(m^2-m-2,\ \frac{m(m+1)(2m-5)}2\Bigr),\] \[B=\Bigl(m^2(m^2-2m-1),\ \frac{m(2m^5-6m^4+4m^2+5m+1)}2\Bigr),\] \[C=\Bigl((m+1)^2(m^2+4m+2),\ \frac{(m+1)(2m^5+16m^4+44m^3+52m^2+31m+8)}2\Bigr).\] small Доказательство. Точки \(P,Q,P_3,P_{11}\) лежат на \(E_m^{'}\) согласно леммам 1–3. Сумма и разность точек эллиптической кривой снова лежит на ней, поэтому достаточно показать целость координат. По формуле сложения \(x_3=k^2-2-x_1-x_2\), \(y_3=k(x_1-x_3)-y_1\); если \(k\), \(x_1\), \(x_2\), \(y_1\) целые, то \(x_3,y_3\) целые. Угловые коэффициенты равны \[k_{A}= \frac{-T_{m-1}-T_m}{m-0}=-\frac{m^2}{m}=-m,\] \[k_{B}=\frac{-y_{P_3}-y_A}{x_{P_3}-x_A}=\frac{-2m(m+1)(m-1)}{2(m+1)}=-m(m-1),\] \[k_{C}=\frac{-y_{P_{11}}-y_{P_3}}{x_{P_{11}}-x_{P_3}}=\frac{-2m(m+1)(m+2)}{2m}=-(m+1)(m+2).\] Здесь были использованы тождества \(T_m+T_{m-1}=m^2\), \(x_{P_3}-x_A=2(m+1)\) и \(x_{P_{11}}-x_{P_3}=2m\). При этом, во всех случаях \(k\in\mathbb Z\). Подстановка \(k\) в формулы сложения даёт явные выражения для \(A,B,C\). Лемма доказана. Теперь всё готово для формулировки основного результата. Теорема 7. Для любого \(m\in\mathbb N\) кривая \(E_m^{'}\) содержит тридцать целых точек, задаваемых формулами \[\begin{aligned} &(0,\ \pm T_m), \quad (2,\ \pm(T_m-4)), \quad (2T_m,\ \pm(2m+1)T_m),\\ &(-m-1,\ \pm T_{m+1}), \quad (-m-2,\ \pm(T_{m+1}-1)),\\ &(m,\ \pm T_{m-1}), \quad (m-1,\ \pm(T_{m-1}-1)),\\ &(2m+2,\ \pm\tfrac{(m+1)(m+8)}2), \quad (-2m,\ \pm\tfrac{m(m-7)}2),\\ &\bigl(T_m(T_m-4),\ \pm T_m(T_m^2-6T_m+7)\bigr),\\ &\bigl(m(m+3),\ \pm\tfrac{m(m+1)(2m+7)}2\bigr),\\ &\bigl(M^2,\ \pm M(M^2-1)\bigr),\qquad M=\lceil m/2\rceil,\\ &\bigl(m^2-m-2,\ \pm\tfrac{m(m+1)(2m-5)}2\bigr),\\ &\bigl(m^2(m^2-2m-1),\ \pm\tfrac{m(2m^5-6m^4+4m^2+5m+1)}2\bigr),\\ &\bigl((m+1)^2(m^2+4m+2),\ \pm\tfrac{(m+1)(2m^5+16m^4+44m^3+52m^2+31m+8)}2\bigr). \end{aligned}\] При \(m\ge8\) эти точки попарно различны; при \(m=1,2,3,4\) среди них есть совпадения, а при \(m=7\) одна из точек лежит на оси абсцисс. Доказательство. Существование всех тридцати точек установлено леммами 1–5: первые четырнадцать точек — лемма 1, следующие четыре — лемма 2, ещё четыре — лемма 3, две — лемма 4 и шесть — лемма 5. Попарное различие при \(m\ge8\) устанавливается сравнением координат; случаи \(m=1,2,4,7\) отмечены в условии. Теорема доказана. Замечание 1. Семь точек с \(y>0\) из леммы 1 лежат на трёх фиксированных кривых в плоскости \((x,y)\): на вертикалях \(x=0\), \(x=2\), на кривой \(y=x\sqrt{4x+1}/2\), на параболе \(y=T_{-x}=x(x-1)/2\) (две точки) и на сдвинутой параболе \(y=T_x-1=x(x+1)/2-1\) (две точки). На старой кривой \(E_m\) обе содержательные точки лежали на одной параболе \(y=T_x\). На новой кривой \(E_m^{'}\) парабола \(y=T_x\) заменяется двумя — \(y=T_{-x}\) и её сдвигом \(y=T_x-1\). Именно это удвоение числа парабол и даёт удвоение содержательных универсальных точек. \[\includegraphics [scale=0.4] {elliptic4.jpg}\] Точки из лемм 2–5 лежат на своих собственных алгебраических кривых: на вертикалях \(x=2m+2\), \(x=-2m\), на кривых \(x=T_m(T_m-4)\), \(x=m(m+3)\), \(x=M^2\) и на кривых, получающихся сложением универсальных точек. Замечание 2. При \(m=1,2\) точки \((M^2,\pm M(M^2-1))\) с \(M=1\) совпадают с \((1,0)\) и \((0,1)\), соответственно, и входят в семейства 6 и 7. При \(m=4\) точка \(A=(m^2-m-2,\dots)=(10,30)\) совпадает с \(E_8\), поэтому тринадцатое семейство в этом случае не даёт новой точки; две другие лишние точки при \(m=4\) равны \[(114,\,1226)=-2E_9,\qquad (1463872,\,1771148406)=16P+5E_{11},\] где \(E_9=(-8,6)\), \(E_{11}=(28,150)\). При \(m=7\) точки \(A,B,C\) дают три из четырёх лишних, а четвёртая равна \(E_8-A=(111,1175)\), где \(E_8=(16,60)\). Замечание 3. Тринадцатое, четырнадцатое и пятнадцатое семейства получаются из универсальных точек сложением, а не независимой подстановкой. Это показывает, что при \(m\ge8\) все пятнадцать точек с \(y>0\) лежат в подгруппе \(\Lambda_m\), порождённой первыми двенадцатью семействами, и новых независимых точек не появляется. Замечание 4.Точки параметризации Русина, определённые для первоначальной кривой \(E_m\), не лежат на \(E_m'\) и не порождают её универсальных точек. Причина структурная: параметризация Русина использует кручение при \(k=u^3\), возможное только при \(j=0\); новая кривая имеет \(j\ne0\), и её универсальные семейства возникают из параболических сечений \(y=T_{-x}\) и \(y=T_x-1\), а не из кручения. Структура группы. Семь точек с \(y>0\) из (10) порождают подгруппу \(\Lambda_m\subset E_m^{'}(\mathbb Q)\). Поскольку \((2,T_m-4)=-2(0,T_m)\), ранг \(\Lambda_m\) не превосходит \(6\). Полная группа имеет вид \[E_m^{'}(\mathbb Q)\cong\mathbb Z^{r}\oplus T_m,\qquad r=\operatorname{rank}E_m^{'}(\mathbb Q), \eqno (13)\] где \(T_m\) — группа кручения. Разность \(r-\operatorname{rank}\Lambda_m\) равна числу дополнительных точек, которые нужно добавить к универсальным, чтобы замыкание по групповому закону дало все целые точки. Сложение на \(E_m^{'}\) задаётся стандартными формулами для кривой \(y^2=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6\) с \(a_2=2\): \[x_3=k^2-2-x_1-x_2,\qquad y_3=k(x_1-x_3)-y_1, \eqno (14)\] где \[k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\quad(P\ne Q),\qquad k=\frac{3x_1^2+4x_1-4T_m}{2y_1}\quad(P=Q).\] Нейтральный элемент — точка на бесконечности \(\mathcal O\), обратная — \(-(x,y)=(x,-y)\). Алгоритм нахождения всех целых точек. Для заданного \(m\) последовательно выполняем: создаем список из 30 универсальных точек; добавляем к нему до 500 новых рациональных точек вида \((a/q^2,b/q^3)\), вычисляя их; перебираем все пары точек полученного списка, выполняем сложение и добавляем в список те рациональные точки (суммы), знаменатели которых не превосходят определенную границу \((10^{20})\); повторяем предыдущий пункт еще раз; завершаем процесс и прекращаем добавлять точки при достижении длины списка \(18000\). выбираем из конечного списка только целые точки; Приведем программу на языке Julia, реализующую этот алгоритм: verbatim function find(m) T(n) = div(big(n)*(n+1),2) mb = big(m); mb0 = div(mb+1,2) tm = T(m); tm0 = T(m-1); tm1 = T(m+1); max_l = 18000; max_d = big(10)^20; max_p = 500 l0 = [ (big(0),tm), (big(0),-tm), (big(2), tm - 4), (big(2), -tm + 4), (2tm, (2mb+1)*tm), (2tm, -(2mb+1)*tm), (-mb-1, tm1), (-mb-1, -tm1), (-mb-2, tm1-1), (-mb-2, -tm1+1), (mb, tm0), (mb, -tm0), (mb-1, tm0-1), (mb-1, -tm0+1), (2mb+2, div((mb+1)*(mb+8), 2)), (2mb+2, -div((mb+1)*(mb+8), 2)), (-2mb, div(mb*(mb-7), 2)), (-2mb, -div(mb*(mb-7), 2)), (tm*(tm-4), tm*(tm^2-6tm+7)), (tm*(tm-4), -tm*(tm^2-6tm+7)), (mb*(mb+3), div(mb*(mb+1)*(2mb+7), 2)), (mb*(mb+3), -div(mb*(mb+1)*(2mb+7), 2)), (mb0^2, mb0*(mb0^2 - 1)), (mb0^2, -mb0*(mb0^2 - 1)), (mb^2 - mb - 2, div(mb*(mb+1)*(2mb-5), 2)), (mb^2 - mb - 2, -div(mb*(mb+1)*(2mb-5), 2)), (mb^2*(mb^2 - 2mb - 1), div(mb*(2mb^5 - 6mb^4 + 4mb^2 + 5mb + 1), 2)), (mb^2*(mb^2 - 2mb - 1), -div(mb*(2mb^5 - 6mb^4 + 4mb^2 + 5mb + 1), 2)), ((mb+1)^2*(mb^2 + 4mb + 2), div((mb+1)*(2mb^5+16mb^4+44mb^3+52mb^2+31mb+8), 2)), ((mb+1)^2*(mb^2 + 4mb + 2), -div((mb+1)*(2mb^5+16mb^4+44mb^3+52mb^2+31mb+8), 2)) ] function add(m) # (a//q^2,b//q^3) res = TupleRationalBigInt, RationalBigInt[] for p in l0 push!(res, p); end for a in -big(10^6):10^6, q in [1,2,3,5] q2 = q^2; q3 = q^3; q4 = q*q3; q6 = q2*q4 b2 = a^3+2*a^2*q2-4*tm*a*q4+tm^2*q6 b2>0 || continue b = isqrt(b2) if b^2 == b2 push!(res, (a//q2, b//q3)) push!(res, (a//q2, -b//q3)) end if length(res)>max_p return res end end unique(res) end function sm(P, Q) P === nothing && return Q Q === nothing && return P x1, y1 = P; x2, y2 = Q if x1 == x2 y1 == -y2 && return nothing y1 == 0 && return nothing k = (3*x1^2 + 4*x1 - 4*tm) // (2*y1) x3 = k^2 - 2 - 2*x1 else k = (y2 - y1) // (x2 - x1) x3 = k^2 - 2 - x1 - x2 end (x3, k*(x1 - x3) - y1) end function sum_l(l) for (P,Q) in combinations(l,2) s = sm(P,Q) if s!=nothing&&denominator(s[2])>0&&denominator(s[2])<=max_d if !(s in l) push!(l,s); push!(l,(s[1],-s[2])) length(l) < max_l || return end end end end res = add(m) sum_l(res); res = unique(res) sum_l(res); res = unique(res) res = filter(x -> denominator(x[1])==1&& denominator(x[2])==1&&numerator(x[2])>=0, res) res = map(x -> (numerator(x[1]),numerator(x[2])), res) sort!(res) end verbatim Вывод программы полностью совпадает с выводом целых точек Magma там, где последняя завершается в пределах лимита (60 сек), и даёт результаты для всех других случаев, когда онлайн-версия Magma выходит по таймауту. Эмпирические рекорды. Прямое вычисление для \(m\le5\cdot10^4\) показало, что число целых точек с \(y>0\) на \(E_m^{'}\) варьируется от \(15\) (минимум, достигаемый при всех \(m \ge 4\)) до \(106\). При начальных значениях \(m = 1,2,3\), некоторые из универсальных точек совпадают, поэтому общее число целых точек меньше 15 (\(m = 1 \Rightarrow 7 \text{ точек}, m = 2 \Rightarrow 8 \text{ точек}, m = 3 \Rightarrow 14 \text{ точек})\). Рекордные значения приведены в таблице. center tabular|c|c|c|c| \(m\) & \(\operatorname{rank}E_m^{'}\) & \(\#\{y>0\}\) & \(\max p\mid T_m\) \\ \(13514\) & \(9\) & \(106\) & \(233\) \\ \(696\) & \(7\) & \(84\) & \(41\) \\ \(35672\) & \(8\) & \(84\) & \(47\) \\ \(13039\) & \(8\) & \(83\) & \(163\) \\ \(3236\) & \(8\) & \(82\) & \(809\) \\ \(8436\) & \(8\) & \(80\) & \(59\) \\ \(14773\) & \(8\) & \(79\) & \(89\) \\ \(5225\) & \(8\) & \(77\) & \(67\) \\ \(15123\) & \(8\) & \(77\) & \(199\) \\ \(2746\) & \(8\) & \(76\) & \(1373\) \\ \(8613\) & \(8\) & \(75\) & \(73\) \\ \(21995\) & \(8\) & \(71\) & \(83\) \\ \(473\) & \(7\) & \(68\) & \(43\) \\ \(184\) & \(6\) & \(60\) & \(23\) \\ \(21504\) & \(4\) & \(15\) & \(23\) \\ tabular center Для новой кривой число целых точек коррелирует с рангом \(E_m^{'}(\mathbb Q)\), а не только с гладкостью \(T_m\). Кривая при \(m=2746\), где \(T_m\) содержит простое \(1373\), имеет ранг \(8\) и даёт \(76\) точек. Кривая при \(m=21504\), для которой \(T_{21504}=2^9\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot17\cdot23\) исключительно гладко (для \(E_m\) - это был максимум точек), имеет всего \(15\) целых точек, поскольку её ранг мал. Гладкость \(T_m\) — по прежнему имеет значение, но только в сочетании с большим рангом. Сравнение с исходной кривой \(E_m\). Рекорды двух кривых достигаются при разных \(m\): \(m=21504\) даёт \(91\) точку на \(E_m\) и только \(15\) на \(E_m^{'}\); \(m=13514\) даёт \(106\) точек на \(E_m^{'}\), тогда как на \(E_m\) соответствующее значение не является рекордным. Плотность \(m\) с \(\#\{y>0\}\ge60\) убывает с ростом \(m\) (от \(0{,}38\%\) при \(m\le10^4\) до \(0{,}01\%\) при \(3\cdot10^4<m\le4\cdot10^4\)), но не обращается в нуль: \(m=35672\) даёт \(84\) точки. Строгая асимптотика плотности неизвестна, поэтому будут ли появляться и дальше с ростом \(m\) новые рекорды - вопрос открытый. Открытые вопросы. Существует ли \(m\) с \(\#\{y>0\}>106\)? Прямой перебор до \(m\le5\cdot10^4\) даёт \(m=13514\) как максимум. Как ведёт себя плотность рекордов при \(m\to\infty\)? Убывает ли она к нулю или стабилизируется на положительном уровне? Существует ли аналог параметризации Русина для \(E_m^{'}\), то есть двупараметрическое семейство с растущей разностью \(n-m\)? Аргументы против: \(j\)-инвариант \(E_m^{'}\) отличен от нуля, а возмущение \(2x^2-4T_mx\) ломает кубическую структуру, лежащую в основе параметризации Русина. Как связано число целых точек на \(E_m^{'}\) со структурой группы Морделла – Вейля поверхности \(y^2=x^3+2x^2-4Tx+T^2\) над \(\mathbb Q(T)\)? 5. Совпадения сумм последовательных кубов Назовём совпадением пару различных представлений одного и того же числа \(N\) в виде суммы не менее двух последовательных кубов: \[S_{a,b} = S_{c,d}, \quad a<b \le c<d, \quad b-a \ge 2, \; d-c \ge 2.\] Теорема 8. Пусть \(a < b\), \(c < d\). Тогда условие \(S_{a,b} = S_{c,d}\) равносильно \[T_b^2 + T_c^2 = T_d^2 + T_a^2. \eqno (15)\] Доказательство. По формуле (1): \[S_{a,b} = T_b^2 - T_a^2, \qquad S_{c,d} = T_d^2 - T_c^2.\] Очевидно, \[S_{a,b} = S_{c,d} \Longleftrightarrow T_b^2 - T_a^2 = T_d^2 - T_c^2 \Longleftrightarrow T_b^2 + T_c^2 = T_d^2 + T_a^2.\] Теорема доказана. Следствие 4. Пусть \(a < b \le c < d\). Тогда из равенства \(S_{a,b} = S_{c,d}\) следует равенство \[S_{a,c} = S_{b,d}. \eqno(16)\] Доказательство. По теореме 8, условие \(S_{a,b} = S_{c,d}\) равносильно \[T_b^2 + T_c^2 = T_d^2 + T_a^2.\] Переставим слагаемые: \[T_c^2 - T_a^2 = T_d^2 - T_b^2.\] Левая часть равна \(S_{a,c}\), правая — \(S_{b,d}\). Значит, \(S_{a,c} = S_{b,d}\). Следствие 4 доказано. Равенство (16) играет важную роль при анализе совпадений. Хотя интервалы \((a, c)\) и \((b, d)\) перекрываются, а значит, само равенство (16) не является совпадением в смысле данного определения, оно показывает, что каждому совпадению \(S_{a,b} = S_{c,d}\) можно сопоставить «двойственное» равенство сумм \(S_{a,c} = S_{b,d}\). Эта двойственность используется при описании тройных совпадений. Ниже приведены начальные совпадения, найденные прямым перебором. В каждой строке указаны индексы \((a, b, c, d)\), для которых \(S_{a,b} = S_{c,d}\), и общее значение \(N\). center tabular|c|c|c|c|c| \(a\) & \(b\) & \(c\) & \(d\) & \(N\) \\ \(6\) & \(24\) & \(29\) & \(32\) & \(89559\) \\ \(4\) & \(25\) & \(36\) & \(38\) & \(105525\) \\ \(7\) & \(34\) & \(47\) & \(50\) & \(353241\) \\ \(7\) & \(55\) & \(59\) & \(68\) & \(2370816\) \\ \(60\) & \(71\) & \(100\) & \(103\) & \(3184236\) \\ \(2\) & \(77\) & \(95\) & \(104\) & \(9018000\) \\ \(30\) & \(79\) & \(122\) & \(127\) & \(9769375\) \\ tabular center Последовательность значений \(N\), для которых существует два или более представлений в виде суммы последовательных кубов, совпадает с OEIS A265845 [5]. При вычислении всех совпадений до \(n_{max} \le 50000\) (\(n_{max}\) - максимальный индекс в суммах \(S_{m,n}\)), был замечен один интересный случай: \[S_{3,28} = S_{29,34} = 164800.\] Здесь интервалы \((3, 28)\) и \((29, 34)\) разделены одним кубом. Лемма 6. Для любого \(x \in \mathbb N\) \[T_{x-1}^2 + T_x^2 = T_{x^2}.\] Доказательство. По определению треугольного числа \[T_{x-1} = \frac{(x-1)x}2, \qquad T_x = \frac{x(x+1)}2.\] Тогда \[T_{x-1}^2 + T_x^2 = \frac{x^2}4\bigl[(x-1)^2 + (x+1)^2\bigr] = \frac{x^2 \cdot 2(x^2+1)}4 = \frac{x^2(x^2+1)}2 = T_{x^2}.\] Лемма доказана. Заметим, что лемма 6 является следствием более общей известной формулы: \(T_{xy} = T_x T_y + T_{x-1} T_{y-1}, \; x,y \in \mathbb N\). Теорема 9. Пусть \(a < b < d\) — натуральные числа с \(b-a \ge 2\), \(d-b \ge 2\). Тогда равенство \[S_{a,b} = S_{b+1,d}\] равносильно равенству \[T_a^2 + T_d^2 = T_{(b+1)^2}.\] Доказательство. Из \(S_{a,b} = S_{b+1,d}\): \[T_b^2 - T_a^2 = T_d^2 - T_{b+1}^2 \Longrightarrow T_a^2 + T_d^2 = T_b^2 + T_{b+1}^2.\] Согласно лемме 6, \[T_b^2 + T_{b+1}^2 = T_{(b+1)^2}.\] Значит, \(T_a^2 + T_d^2 = T_{(b+1)^2}\). Обратно, из последнего равенства следует \(S_{a,b} = S_{b+1,d}\). Теорема доказана. Был проведен дополнительный поиск равенства из теоремы 9 \((b+1=c)\) для всех \(b \le 10^6\). Второго такого случая интервалов со смещением 1, найти не удалось. Наряду с двойными, возможны тройные совпадения, когда одно и то же число представляется в виде суммы последовательных кубов тремя разными способами: \[S_{a,b} = S_{c,d} = S_{e,f},\] где все три интервала имеют длину не менее двух. В исследованном диапазоне было найдено два таких совпадения: \[S_{2144,5631} = S_{3047,5720} = S_{8072,8504} = 246153726441216,\] \[S_{4990,19825} = S_{6048,19848} = S_{12509,20550} = 38467098184323600.\] Оба значения не являются кубами: первое лежит строго между \(62671^3\) и \(62672^3\), второе — между \(337569^3\) и \(337570^3\). В тройных совпадениях отдельные интервалы могут пересекаться. В этих случаях они, в соответствии со следствием 4, дают двойные совпадения. Так, для первого примера тройного совпадения имеем: \[S_{2144,3047} = S_{5631,5720}, \quad S_{2144,8072} = S_{5631,8504}, \quad S_{3047,8072} = S_{5720,8504}.\] При поиске совпадений прямой перебор проводился до тех пор, пока значения \(n_{max}\) укладывались в 64-битные беззнаковые целые. Это ограничивает диапазон значением \(T_{n_{max}}^2 < 2^{64}\), что соответствует \(n_{max} \le 50000\). Результаты подтверждены двумя независимыми алгоритмами (прямым перебором с хеш-таблицей и блочным алгоритмом с внешней сортировкой). center tabular|l|c|c|c|c| Показатель & \(n \le 5\cdot 10^3\) & \(n \le 10^4\) & \(n \le 2 \cdot 10^4\) & \(n \le 5 \cdot 10^4\) \\ Двойные совпадения & \(681\) & \(1064\) & \(1687\) & \(2926\) \\ Тройных совпадений & \(0\) & \(1\) & \(1\) & \(2\) \\ Четверных совпадений & \(0\) & \(0\) & \(0\) & \(0\) \\ tabular center При увеличении диапазона в десять раз (от \(n_{max} = 5000\) до \(n_{max} = 50000\)) число значений с двумя представлениями выросло примерно в \(4{,}3\) раза. Это соответствует росту, близкому к линейному по \(n_{max}\), и существенно медленнее квадратичного. Тройные совпадения появляются начиная с \(n_{max} \ge 10^4\); до \(n_{max} \le 50000\) их найдено два. Четверных совпадений не обнаружено ни в одном диапазоне. Невозможность совпадений малого количества кубов. Рассмотрим уравнение \[S_{a,b}=S_{c,c+2},\quad a < b \le c, \; b-a \ge 2, \eqno (17)\] то есть \((c+1)^3+(c+2)^3 = \sum\limits_{i=a+1}^{b} i^3\). Теорема 10. Для \(b-a = 2 \text { и } b-a = 3\) уравнение (17) не имеет решений. Доказательство. Для \(b-a=2\) это очевидно. Сумма любого фиксированного количества кубов строго возрастает при увеличении индексов с сохранением длины отрезка, поэтому совпадение таких сумм невозможно. В уравнении \((a+1)^3+(a+2)^3+(a+3)^3 = (c+1)^3+(c+2)^3\) сделаем замены переменных: \(x = a + 2\) и \(c+1 = y\). Тогда, левая часть его равна \((x-1)^{3}+x^{3}+(x+1)^{3}=3x^{3}+6x\), а правая равна \(y^{3}+(y+1)^{3}=2y^{3}+3y^{2}+3y+1\). Таким образом, исходное уравнение эквивалентно: \[3x^3 + 6x = 2y^3 + 3y^2 + 3y + 1 \eqno(18)\] По модулю \(3\) левая часть сравнима с \(0\), поэтому \[2y^3+1\equiv0\pmod3 \quad\Longrightarrow\quad y^3\equiv1\pmod3 \quad\Longrightarrow\quad y\equiv1\pmod3.\] Значит, \(y=3k+1\) для некоторого \(k\ge1\) (так как \(y\ge x+2\ge5\)). Подстановка в (18) и деление на \(3\) дают \[x^3+2x=18k^3+27k^2+15k+3.\] Правая часть полученного уравнения нечётна при любом \(k\) (проверяется по модулю \(2\): при чётном \(k\) она сравнима с \(1\), при нечётном — тоже с \(1\)). Значит, \(x^3+2x\) нечётно, откуда \(x\) нечётно. Тогда \(\gcd(x,x^2+2)=1.\) и последнее уравнение перепишется в виде: \[x(x^2+2)=3AB,\qquad A=2k+1,\quad B=3k^2+3k+1.\] Заметим, что \[4B-3A^2=1,\] поэтому \(\gcd(A,B)=1\). Кроме того, из \(y\ge x+2\) следует \[x\le 3k-1.\] Возможны два случая. 1: \(3\mid x\), то есть \(x=3u\), причем \(u\le k-1\). После сокращения на \(3\), получаем \[u(9u^2+2)=AB.\] Поскольку \(\gcd(u,9u^2+2)=\gcd(u,2)=1\) и \(\gcd(A,B)=1\), разложение единственно: \[\{A,B\}=\{u,\,9u^2+2\}.\] Если \(A=u\), то \(u=2k+1\), что противоречит \(u\le k-1\) при \(k\ge1\). Если \(B=u\), то \(u=3k^2+3k+1\), что противоречит \(u\le k-1\) при \(k\ge1\). 2: \(3\nmid x\), то есть \(3\mid x^2+2\). Пусть \(x^2+2=3v\), тогда \[xv=AB.\] Поскольку \(\gcd(x,v)=1\) и \(\gcd(A,B)=1\), имеем \[\{A,B\}=\{x,\,v\}.\] Если \(A=x\), то \(x=2k+1\), то есть \(k\ge2\). Условие \(v=B\) даёт \[\frac{x^2+2}{3}=3k^2+3k+1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(2k+1)^2+2}{3}=3k^2+3k+1,\] то есть \[4k^2+4k+3=9k^2+9k+3 \quad\Longrightarrow\quad 5k^2+5k=0,\] откуда \(k=0\) — противоречие с \(k\ge2\). Если \(B=x\), то \(x=3k^2+3k+1\). Но тогда \(x>3k-1\) при \(k\ge1\) - противоречие. Оба случая приводят к противоречию. Следовательно, при \(b-a = 3\) решений нет. Теорема доказана. Теорема 10, скорее всего, распространяется и на другие отрезки \(b-a>3\), то есть сумму двух последовательных кубов невозможно представить суммой \(1,2,3,\dots,N\) последовательных кубов. С другой стороны есть приведенный выше пример \(S_{4,25} = S_{36,38} = 37^3+38^3 = 105525\), то есть существует верхняя граница \(N < 21\). Проверка прямым перебором для всех \(a \le 10^6\) и \(3<N \le 20\), показала, что, вероятно, верхняя граница для \(N\) равна \(20\). Зафиксируем это как эмпирический факт. Связь с треугольником Серпинского. Если формально допустить в формуле \(S_{m,n}=T_n^2-T_m^2\) значение \(m=0\), то \(S_{0,n}=T_n^2\). В частности, \[S_{0,132}=T_{132}^2=8778^2=77053284=S_{143,164}.\] Это в точности равенство \(T_{132}^2+T_{143}^2=T_{164}^2\), то есть треугольник Серпинского. Таким образом, теорема о единственности треугольника Серпинского, доказанная в [3], равносильна утверждению, что совпадения вида \(S_{0,b}=S_{c,d}\) имеют ровно одно решение. Особые случаи эллиптической кривой \(E_m: \; T_m = s^2\) и \(m = t^2\). Особый интерес представляют случаи эллиптической кривой (2), когда треугольное число \(T_m\) само является квадратом или когда индекс \(m\) является квадратом. Теорема 11. Для всех \(m \ge 8\), для которых \(T_m\) — полный квадрат, точка \(D = (-m, T_m - m)\) имеет бесконечный порядок в \(E_m(\mathbb{Q})\). Следовательно, \(\mathrm{rank}\,E_m(\mathbb{Q}) \ge 1\). Доказательство. Если \(T_m = s^2\), точка \(D\) лежит на \(E_m\) по теореме 1. Она не является точкой кручения, потому что кручение \(E_m\) исчерпывается \((0, \pm s^2)\) и \(\mathcal{O}\) при условии, что \(T_m\) — не куб. Единственное треугольное число, являющееся полной шестой степенью, — это \(T_1 = 1\) (результат Люнггрена [7]). Для \(m \ge 8\) имеем \(T_m \ne 1\), значит, \(D\) имеет бесконечный порядок. Теорема доказана. Индексы \(m\) треугольных чисел \(T_m\) являющихся одновременно квадратными определяются уравнением Пелля \[m(m+1) = 2s^2, \; s \in \mathbb N\] и вытекающим из него рекуррентным соотношением ([6], 1.3.7, стр. 29): \[m_{k+1} = 6 m_{k} - m_{k-1} + 2, \; m_1 = 1, \; m_2 = 8. \eqno (19)\] Последовательность таких чисел \(m\) довольно быстро растет: \[\{1,8,49,288,1681,9800,57121,332928,1940449,11309768,\dots\}\] Докажем, что она не пересекается с параметризацией Русина. Предположим противное, что при некотором допустимом \(u\) число \[m(u)=\frac{u^4-3u^3-2u^2-2}{6}\] совпало с индексом \(m_k\) квадратного треугольного числа. 1. По модулю \(7\) последовательность \(m_k\) принимает только значения \(0\) и \(1\). Прямая проверка остатков \(u\bmod 7\) показывает, что \(m(u)\equiv0,1\pmod7\) лишь при \(u\equiv6\pmod7\). 2. По модулю \(3\): если \(u\equiv1\pmod3\), то \(m(u)\equiv2\pmod3\); если \(u\equiv2\pmod3\), то \(m(u)\equiv0\pmod3\). В последовательности \(m_k\) остаток \(2\pmod3\) встречается только при \(k\equiv2\pmod4\), а остаток \(0\pmod3\) — только при \(k\equiv0\pmod4\). В обоих случаях \(k\) чётно, значит, \(m_k\) чётно. Сопоставляя с \(u\equiv6\pmod7\), получаем, что равенство возможно лишь при \(u\equiv55\pmod{84}\). 3. Но для \(u\equiv55\pmod{84}\) прямая проверка остатков по модулю \(16\) даёт \(m(u)\not\equiv0\pmod{16}\), тогда как для чётных \(k\) из пункта 2 имеем \(m_k\equiv0\pmod{16}\) (это сразу следует из рекуррентности \(m_{k+1}=6m_k-m_{k-1}+2\) по модулю \(16\)). Противоречие. Проверка начальных значений последовательности \(m_k\) до \(1940449\), не дает на кривой \(E_m\) никаких других целых точек кроме универсальных. Лемма 7. Уравнение \(y^4 + y^2 = 2x^3\) имеет единственное решение в натуральных числах \((x,y) = (1,1)\). Доказательство. Умножая на 4 и дополняя до квадрата: \[(2y^2 + 1)^2 - 1 = 8x^3.\] Полагая \(Z = 2y^2 + 1\) и \(X = 2x\), получаем \(Z^2 = X^3 + 1\). Целые точки этой кривой исчерпываются: \((-1,0)\), \((0, \pm 1)\), \((2, \pm 3)\). Поскольку \(X = 2x\) чётно и \(Z = 2y^2 + 1 > 0\), то подойдет только одно решение \((X,Z) = (2,3)\). Отсюда \(x = 1\) и \(y = 1\). Теорема 12. Для всех \(t \ge 2\) точка \(D = (-t^2, T_{t^2-1})\) имеет бесконечный порядок в \(E_{t^2}(\mathbb{Q})\). Доказательство. По лемме 6, \(T_{t^2} = T_{t-1}^2 + T_t^2\), значит, \(D\) лежит на кривой. Условие \(T_{t^2} = c^3\) равносильно уравнению \(t^4 + t^2 = 2c^3\), которое имеет единственное решение \(t = 1\) (согласно лемме 7). Для \(t \ge 2\) точка \(D\) не кручение. Что и требовалось доказать. Следствие 5. При \(y \ge 2\) число \(T_{y^2}\) не является полным кубом. 6. Мультипликативные разложения В этом параграфе мы докажем существование и единственность бесконечного семейства решений уравнения \[T_b^2 = T_{a_1} \cdot T_{a_2}, \; 0<a_1<a_2 . \eqno (20)\] Лемма 8. Если имеет место (20), то \(T_{a_1}\) и \(T_{a_2}\) — полные квадраты. Доказательство. Пусть \(T_{a_1}=q^2 n\), \(T_{a_2}=p^2 n\), где \(n\) — бесквадратное число, \(\gcd(p,q)=1\), \(p>q>0\). Тогда \(T_b=pqn\). Условия того, что \(T_{a_1}, T_{a_2}, T_b\) — треугольные числа, означают, что \[u^2-8nq^2=1, \quad v^2-8np^2=1, \quad w^2-8np^2q^2=1, \eqno (21)\] где \(u=2a_1+1\), \(v=2a_2+1\), \(w=2b+1\). Нам нужно доказать, что \(n=1\). Предположим противное, что \(n>1\), то есть \(D=8n>8\). Пусть \((u_1,v_1)\) — фундаментальное решение уравнения \(X^2-DY^2=1\). Все решения имеют вид \((u_1+v_1\sqrt{D})^k\), а их \(Y\)-координаты образуют последовательность Люка \(Y_k\) с \(Y_1=v_1\) и \(Y_{k+1}=2u_1Y_k-Y_{k-1}\). Из (21) следует, что \(q=Y_i\) и \(p=Y_j\) для некоторых \(i<j\), а также что \(pq=Y_k\) для некоторого \(k\). Иными словами, \[Y_iY_j=Y_k.\] Воспользуемся теоремой Люнгрена о последовательностях Люка [7]: для последовательности \(Y_k\), отвечающей уравнению \(X^2-DY^2=1\) с \(D>1\), равенство \(Y_iY_j=Y_k\) при \(i,j\ge1\) возможно только в том случае, когда \(i=1\) или \(j=1\). Поскольку \(i<j\), получаем \(i=1\), то есть \(q=Y_1\). Далее, из треугольности \(T_{a_1}=nq^2=nY_1^2\) следует, что \(Y_1^2\) является \(Y\)-координатой некоторого решения уравнения \(X^2-DY^2=1\). Вторая часть теоремы Люнгрена о единственности [7] утверждает: если \(Y_1>1\), то \(Y_1^2\) не является \(Y\)-координатой никакого решения того же уравнения. Следовательно, \(Y_1=1\). Тогда фундаментальное решение имеет вид \((u_1,1)\), и из \(u_1^2-8n=1\) получаем \(8n=(u_1-1)(u_1+1)\). Так как \(u_1\) нечётно, \(u_1=2s+1\), откуда \(n=s(s+1)/2=T_s\). То есть, \(n\) — треугольное число, и \(T_{a_1}=n\). Теперь из (20) и \(T_{a_1}=n\) следует \[T_{a_2}=p^2 n, \qquad T_b=pn.\] Если \(p=1\), то \(T_{a_2}=T_b=n\), откуда \(a_2=b\) и \(a_1=a_2\), что противоречит \(a_1<a_2\). Значит, \(p>1\). Но тогда \(T_{a_2}=p^2 n\) и \(T_b=pn\) — два треугольных числа, отношение которых равно \(p\). Применяя к паре \((a_2,b)\) те же рассуждения, что и выше (с \(n'=n/T_s=1\)), получаем, что \(n'=1\), то есть \(n=T_s\) является квадратом. Поскольку \(n\) бесквадратно, то \(n=1\), то есть противоречие с \(n>1\). Итак, \(n>1\) невозможно. Следовательно, \(n=1\), то есть \(T_{a_1}=q^2\) и \(T_{a_2}=p^2\). Лемма доказана. Теорема 13. Пусть последовательность \(a_k\) - это последовательность индексов квадратных треугольных чисел (19) с начальным членом \(a_0 = 0\): \[a_0 = 0, a_1 = 1, a_{k+1} = 6 a_k - a_{k-1} +2.\] Последовательность \(b_k\) определим через \(a_k\): \[b_k = \frac {a_{k+1} - a_k - 1} {2}, \; k = 0,1,2, \dots\] Тогда, \[T_{b_k}^2 = T_{a_k} \cdot T_{a_{k+1}}, \; \text { для всех } k = 0,1,2, \dots \eqno (22)\] и, при этом, равенства (22) охватывают все решения общего уравнения (20). Доказательство. По лемме 8, \(T_{a_k}\) и \(T_{a_{k+1}}\) — полные квадраты, положим \[s_k = \sqrt{T_{a_k}}, \quad k=0,1,2,\dots\] Из условия треугольности \(T_{a_k}\) следует \[(2a_k+1)^2 - 8s_k^2 = 1. \eqno (23)\] Уравнение (23) является уравнением Пелля. Его фундаментальное решение есть \(3+\sqrt8\), поэтому все положительные решения задаются равенством \[2a_k+1 + s_k\sqrt8 = (3+\sqrt8)^k, \quad k=0,1,2,\dots ), \eqno (24)\] из которого непосредственно следует, что последовательность \(s_k\) удовлетворяет почти той же рекуррентности, что и \(a_k\) (без слагаемого 2): \[s_0=0, \quad s_1=1, \quad s_{k+1}=6s_k-s_{k-1}.\] Умножая (24) на \((3+\sqrt 8)\), раскрывая скобки \((3+\sqrt8)(2a_k+1+s_k\sqrt8)\) и приравнивая к \(2a_{k+1}+1 + s_{k+1}\sqrt8\), получаем \[s_{k+1} = 2a_k+3s_k+1, \qquad a_{k+1} = 3a_k+4s_k+1. \eqno (25)\] Теперь вычислим \(T_{b_k}\). По определению и с учётом (25) имеем \[b_k = \frac{a_{k+1}-a_k-1}{2} = \frac{(3a_k+4s_k+1)-a_k-1}{2} = a_k+2s_k.\] Тогда \[T_{b_k} = \frac{b_k(b_k+1)}{2} = \frac{(a_k+2s_k)(a_k+2s_k+1)}{2}. \eqno (26)\] Используя соотношение \(a_k^2+a_k=2s_k^2\) (которое следует из (23)), преобразуем числитель в (26): \[(a_k+2s_k)(a_k+2s_k+1) = a_k^2+a_k+4a_ks_k+4s_k^2+2s_k = 2s_k(2a_k+3s_k+1).\] По (25) выражение в скобках равно \(s_{k+1}\). Следовательно, \[T_{b_k} = s_k s_{k+1}.\] Возводя в квадрат и учитывая \(T_{a_k}=s_k^2\), получаем (20). Существование доказано. Докажем единственность. Пусть \((a_1,a_2,b)\) — произвольное решение уравнения (20). Из леммы 8 следует, что существуют \(i<j\) такие, что \[T_{a_1}=s_i^2, \qquad T_{a_2}=s_j^2, \qquad T_b=s_i s_j.\] Остаётся показать, что равенство \(T_b=s_i s_j\) возможно только при \(j=i+1\), и тогда \(b=b_i\). Для последовательности \(s_k\) выполняется тождество \[s_{k+1}s_{k-1}-s_k^2=-1, \eqno (27)\] которое непосредственно следует из рекуррентного соотношения для \(s_k\). Из (27) следует \[s_{k-1}s_{k+1}=(s_k-1)(s_k+1). \eqno (28)\] Предположим, что \(j\ge i+2\). Тогда \(s_j\ge s_{i+2}\), и из (28) и монотонности \(s_k\) получаем \[T_{b_i}=s_i s_{i+1} < s_i s_{i+2} < s_i s_j.\] С другой стороны, \(T_{b_i+1}-T_{b_i}=b_i+1\) и можно показать, что \(s_i s_{i+2}>T_{b_i+1}\). Действительно, Из (27) при \(k=i+1\) получаем \(s_i s_{i+2}=s_{i+1}^2-1\). С учётом (25) имеем \(b_i=(s_{i+1}+s_i-1)/2\), поэтому \[s_i s_{i+2}-T_{b_i+1}=s_{i+1}(s_{i+1}-s_i)-\frac{s_{i+1}+s_i+3}{2}>0\] для всех \(i\ge1\) (при \(i=1\) проверяется непосредственно, при \(i\ge2\) левая часть растёт квадратично, правая — линейно). Следовательно, \(s_i s_j\) лежит строго между \(T_{b_i}\) и \(T_{b_i+1}\) и не может быть треугольным числом. Противоречие. Аналогично рассматривается случай \(i\ge j+2\). Значит, \(j=i+1\). При \(j=i+1\) имеем \(T_b=s_i s_{i+1}=T_{b_i}\), откуда \(b=b_i\). Теорема доказана. Рассмотрим теперь уравнение вида: \[T_x\cdot T_y^2=T_z^2, \qquad x,y,z\in\mathbb N. \eqno (29)\] Оно сводится к системе \[\begin{cases} T_x=q^2,\\ T_z=q\,T_y, \end{cases} \eqno (30)\] где \(q\in\mathbb N\). Первое уравнение означает, что \(T_x\) — квадратное треугольное число, то есть \(x=a_k\) и \(q=s_k\) для некоторого \(k\) (теорема 13). Второе уравнение после замен \(X=2z+1\), \(Y=2y+1\) принимает вид \[X^2-qY^2=1-q. \eqno (31)\] Для каждого \(q=s_k\) уравнение (31) является обобщённым уравнением Пелля. Его решения задаются формулой \[X_n+Y_n\sqrt{q}=\varepsilon_q^{\,n}\cdot(X_1+Y_1\sqrt{q}), \qquad n=0,1,2,\dots\] где \(\varepsilon_q\) — фундаментальная единица уравнения \(X^2-qY^2=1\), а \((X_1,Y_1)\) — минимальное решение (31). Таким образом, уравнение (29) имеет бесконечную двумерную иерархию решений: внешний уровень задаётся индексом \(k\) (квадратные треугольные числа \(T_{a_k}=s_k^2\)), внутренний — индексом \(n\) (решения уравнения Пелля для каждого \(q=s_k\)). Пример. При \(q=s_2=6\) (то есть \(x=a_2=8\)) уравнение (31) принимает вид \(X^2-6Y^2=-5\), фундаментальная единица \(5+2\sqrt6\), минимальное решение \((X_1,Y_1)=(7,3)\), что даёт \((y,z)=(1,3)\). Все решения получаются умножением на \(5+2\sqrt6\): \[(y,z)=(1,3),\ (3,8),\ (14,35),\ (34,84),\ (195,483),\dots\] При \(q=s_3=35\) (то есть \(x=a_3=49\)) уравнение \(X^2-35Y^2=-34\) имеет минимальное решение \((X_1,Y_1)=(29,5)\), что даёт \((y,z)=(2,14)\); фундаментальная единица \(6+\sqrt{35}\) порождает серию \[(y,z)=(2,14),\ (3,20),\ (29,174),\ (41,245),\ (351,2079),\dots\] Случай \(q=1\) даёт тривиальное семейство \((x,y,z)=(1,y,y)\). 7. Обобщённый треугольник Серпинского В этом параграфе мы рассмотрим уравнение \[T_a^2 + k\,T_c^2 = T_b^2, \qquad k,a,b,c\in\mathbb N, \eqno (32)\] обобщающее классическую задачу о прямоугольном треугольнике из треугольных чисел. Используя тождество \(T_n^2=S_{0,n}\) и \(S_{m,n}=T_n^2-T_m^2\), перепишем (32) в виде \[S_{a,b} = k\,T_c^2, \eqno (33)\] то есть сумма последовательных кубов от \(a+1\) до \(b\) равна \(k\)-кратному квадрату треугольного числа \(T_c\). При \(k=1\) уравнение (32) принимает вид \(T_a^2+T_c^2=T_b^2\) и задаёт треугольник Серпинского, единственное решение которого \((a,c,b)=(132,143,164)\) установлено в [3]. Сведение к конике. Обозначим \(X=T_a\), \(Y=T_c\), \(Z=T_b\). Тогда (25) принимает вид \[X^2+kY^2=Z^2.\] Это уравнение коники с рациональной точкой \((X,Y,Z)=(1,0,1)\). Все его рациональные решения параметризуются формулой \[X=d\,|u^2-kv^2|, \quad Y=2duv, \quad Z=d(u^2+kv^2), \eqno (34)\] где \(d\in\mathbb Q_{>0}\), \(u,v\in\mathbb Z\), \(\gcd(u,v)=1\). Задача сводится к требованию, чтобы \(X\), \(Y\), \(Z\) были треугольными числами. Теорема 14. Уравнение (32) имеет бесконечное семейство решений с \(a=c\) тогда и только тогда, когда \(k+1=u^2\) для некоторого целого \(u\ge2\), причём \(u\) не является полным квадратом. В этом случае все решения семейства имеют вид \(T_b=uT_a\), а пары \((a,b)\) задаются уравнением Пелля \[s^2-u\,r^2=1-u, \qquad s=2b+1,\ r=2a+1. \eqno (35)\] Доказательство. При \(a=c\) уравнение (32) принимает вид \((1+k)T_a^2=T_b^2\). Для целого \(T_b\) необходимо \(1+k=u^2\) и \(T_b=uT_a\). Условие \(T_b=uT_a\) равносильно \(b(b+1)=u\,a(a+1)\) и, после замены \(s=2b+1\), \(r=2a+1\), уравнению (35). Если \(u\) не квадрат, уравнение Пелля (35) имеет бесконечно много решений в натуральных числах. Если \(u=w^2\), то (35) даёт \((s-wr)(s+wr)=1-w^2\), что влечёт \(a=b=0\). Теорема доказана. Следствие 6. Все натуральные \(k\) делятся на три класса: itemize • \(k+1\) не является полным квадратом: уравнение (32) имеет конечное число решений; • \(k+1=u^2\), где \(u\) — не квадрат: бесконечное семейство по теореме 14; • \(k+1=w^4\), \(w\ge2\): только тривиальное решение. /UL Сведение к гиперэллиптическим кривым. Для каждого фиксированного \(k\) и каждого \(a\) задача (32) сводится к кривой рода 1. Полагая \(x=2c+1\), \(s=2b+1\) и исключая \(s\), получаем \[C_a^{(k)}:\quad y^2=k(x^2-1)^2+64\,T_a^2. \eqno (36)\] Каждой целой точке \((x,y)\) на \(C_a^{(k)}\) с нечётным \(x\) и \(y+1\), являющимся полным квадратом \((2b+1)^2\), соответствует решение задачи (32). Теорема 15. Для каждой пары \((k,a)\) из таблицы ниже уравнение (32) имеет ровно указанные нетривиальные решения в натуральных числах. center tabular|c|c|c|c| \(k\) & \(a\) & Нетривиальные \((c,b)\) & Кондуктор \(E\) \\ \(2\) & \(6\) & \((15,18)\) & \(18\,967\,872\) \\ \(3\) & \(2\) & \((2,3)\), \((9,12)\) & \(27\,792\) \\ \(3\) & \(10\) & \((14,19)\) & \(1\,533\,335\,760\) \\ \(6\) & \(2\) & \((3,5)\) & \(55\,872\) \\ \(6\) & \(29\) & \((203,318)\) & \(15\,325\,168\,320\) \\ \(7\) & \(5\) & \((9,15)\) & \(169\,426\,320\) \\ \(9\) & \(24\) & \((14,29)\) & \(220\,690\) \\ \(9\) & \(77\) & \((104,182)\) & \(64\,192\,193\,065\) \\ \(9\) & \(143\) & \((76,164)\) & \(646\,787\,801\,946\) \\ \(10\) & \(6\) & \((7,13)\) & \(474\,331\,200\) \\ tabular center Доказательство. Для каждой пары \((k,a)\) строится гиперэллиптическая кривая \(C_a^{(k)}\) по формуле (36). Соответствующая эллиптическая кривая \(E\) имеет ранг 2 или 3, кручение \(\mathbb Z/2\) и конечный кондуктор (указан в таблице). Функция IntegralPoints в Magma 2.29 даёт полный список целых точек на целочисленной модели \(E_{\text{int}}\). После обратного отображения \(E\to C_a^{(k)}\) и отбора по условиям треугольности (нечётность \(x\), квадратность \(y+1\)) получаем все нетривиальные решения. Теорема доказана. Замечание. Базовая точка \(P_0\) для сведения \(C_a^{(k)}\to E\) выбирается как известное нетривиальное решение. При выборе тривиального решения \((a,0,a)\) часть целых точек может теряться из-за особенностей изоморфизма. Полная эмпирическая таблица для \(k\le10\). Для всех \(k\le10\) проведён прямой перебор решений уравнения (32) при \(b\le10^5\) и через кривые \(C_a^{(k)}\) при \(x\le10^9\). Результаты сведены в таблицу. footnotesize center tabular|c|c|c|c| \(k\) & Спорадические \(a\) & Нетривиальные \((a,c,b)\) & Фантомы \\ \(1\) & \(132\) & \((132,143,164)\) & — \\ \(2\) & \(6,\ 2058,\ 8679\) & \((6,15,18)\), \((2058,2204,2841)\), \((8679,11439,14135)\) & \(2\) \\ \(3\) & \(2,\ 10\) & \((2,2,3)\), \((2,9,12)\), \((10,14,19)\) & \(2\) \\ \(4\) & \(390\) & \((390,935,1325)\) & \(3\) \\ \(5\) & — & — & \(1\) \\ \(6\) & \(2,\ 29,\ 252\) & \((2,3,5)\), \((29,203,318)\), \((252,440,692)\) & \(2\) \\ \(7\) & \(5,\ 110\) & \((5,9,15)\), \((110,54,120)\) & \(1\) \\ \(8\) & \(34\) & \((34,50,85)\) & \(13\) \\ \(9\) & \(24,\ 77,\ 143\) & \((24,14,29)\), \((77,104,182)\), \((143,76,164)\) & \(1\) \\ \(10\) & \(6\) & \((6,7,13)\) & \(0\) \\ tabular center footnotesize Для \(k\in\{3,4,8,9\}\) к таблице добавляется бесконечное семейство при \(a=0\) (по теореме 14). Для \(k=5\) нетривиальных решений не обнаружено. Замечания. Тривиальное решение \((a,0,a)\) существует для всех \(k\) и \(a\): при \(c=0\) имеем \(T_a^2+0=T_a^2\). На кривой \(C_a^{(k)}\) ему соответствует точка \((x,y)=(1,8T_a)\). Кривая \(C_a^{(k)}\) может содержать целые точки, не соответствующие решениям задачи. Такие точки называем фантомными. Наибольшее число фантомов найдено при \(k=8\), \(a=34\): из 15 целых точек на \(C_{34}^{(8)}\) только две дают решения (тривиальное и \((34,50,85)\)). Это показывает, что сведение к \(C_a^{(k)}\) строго шире задачи (32). Число спорадических решений не монотонно по \(k\): последовательность \(1,3,3,1,0,3,2,1,3,1\) для \(k=1,\dots,10\). Простой закономерности не обнаружено. Случай \(k=1\). Уравнение (32) принимает вид \(T_a^2+T_c^2=T_b^2\). Согласно теореме о единственности треугольника Серпинского (см.[3]), оно имеет ровно одно решение с \(a<c<b\): \((132,143,164)\), то есть \(8778^2+10296^2=13530^2\). Случай \(k=3\), \(a=2\). Кривая \(C_2^{(3)}\) содержит две нетривиальные целые точки, соответствующие решениям \((2,2,3)\) и \((2,9,12)\): \[T_2^2+3T_2^2=4T_2^2=(2T_2)^2=T_3^2,\] \[T_2^2+3T_9^2=9+3\cdot2025=6084=78^2=T_{12}^2.\] Это единственный случай среди исследованных \(k\le10\), когда одно \(a\) даёт две нетривиальные точки. Случай \(k=5\). Нетривиальных решений не найдено ни при \(b\le10^5\) (прямой перебор), ни при \(c\le10^4\) (факторизационный метод). Попытка найти модульный запрет (модули до 200) не дала результата: для каждого модуля уравнение имеет нетривиальные решения сравнения. Отсутствие решений для \(k=5\) остаётся эмпирическим фактом. При этом \(k+1=6\) не является полным квадратом, а \(k=5\) не является квадратом, так что оба источника бесконечности отсутствуют. Открытые вопросы. Существует ли для \(k=5\) нетривиальное решение при \(b>10^5\)? Почему \(k=5\) выпадает из общего ряда, тогда как \(k=7\) (тоже не квадрат, и \(k+1\) не квадрат) даёт два спорадических решения? Как доказать отсутствие других спорадических решений для \(k=2,4,6,7,8,9,10\) при больших \(a\)? Для \(k=2\) случаи \(a=2058\) и \(a=8679\) требуют вычисления ранга 3 при кондукторах порядка \(10^{20}\)–\(10^{24}\). Существует ли общая формула для числа спорадических решений в зависимости от \(k\)? Как связано число фантомных точек на \(C_a^{(k)}\) с рангом эллиптической кривой \(E\)? Ссылки [1] Г. Гуляев. Суммы кубов последовательных натуральных чисел // ArxivOrg.Ru. — 2026. — URL: . [2] Г. Гуляев. Целочисленные точки на эллиптической кривой вида \(y^2 = x^3 + T_m^2\) // ArxivOrg.Ru. — 2026. — URL: . [3] Г. Гуляев. Единственность треугольника Серпинского // ArxivOrg.Ru. — 2026. — URL: . [4] D. Rusin. Sum of Consecutive Cubes Equals a Cube (long response...). sci.math, 5 September 1997. URL: . [6] Деза Е. И., Деза М. М. Фигурные числа. М.: МЦНМО, 2015. 350 с. [7] W. Ljunggren. Zur Theorie der Gleichung \(x^2 + 1 = Dy^4\). Avh. Norske Vid. Akad. Oslo, 1942. [8] Magma Computational Algebra System. Version 2.29. [9] The Julia Programming Language.