# Целочисленные циклические многоугольники, вписанные в окружность с целым радиусом

В работе исследуются циклические многоугольники с разными целыми сторонами, вписанные в окружность с целым радиусом. Доказано несколько утверждений, описывающих условия получения таких многоугольников, приведены алгоритмы и программы для компьютера, а также множество примеров найденных многоугольников.

| Поле | Значение |
|---|---|
| Автор | Гуляев Георгий Михайлович |
| Организация | нет |
| Раздел | Математика |
| Опубликовано | 02.07.2026 |
| Идентификатор | AX-134224 |
| Лицензия | CC BY 4.0 |
| Ключевые слова | целочисленный многоугольник, вписанный в окружность, целый радиус, polygon |

Полный текст (PDF): https://arxivorg.ru/upload/iblock/dd5/sjfigfj5j49q832rbph4it9ehxpbobuv/%D0%A6%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5%20%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8.pdf
Источник (HTML): https://arxivorg.ru/mathematics/tselochislennye-tsiklicheskie-mnogougolniki-vpisannye-v-okruzhnost-s-tselym-radi/
Архив: арХиворг.ру — открытый архив научных препринтов на русском языке.

## Полный текст

Георгий Гуляев

2 июня 2026 г.

1. Введение

В рассматриваемой нами области математики, лежащей на стыке геометрии и теории чисел, исторически сложилась определенная терминология [1,2,3].

Циклический многоугольник (Cyclic Polygon) - многоугольник, все вершины которого лежат на одной окружности, называемой описанной окружностью.

Многоугольник Герона (Heron Polygon) - многоугольник, у которого длины всех сторон, всех диагоналей и площадь выражаются целыми числами.

Многоугольник Брахмагупты (Brahmagupta Polygon) - циклический многоугольник, который также является многоугольником Герона.

Во всех опубликованных работах ([1,2,3], - как пример), как правило, изучаются многоугольники с рациональными или целыми не обязательно разными сторонами, рациональными или целыми диагоналями и площадью, исследуется полиномиальная зависимость между длинами сторон и площадью и так далее.

В данной работе мы будем находить и строить циклические n-угольники с разными целыми сторонами $a_1,a_2,...,a_n,a_k\in\mathbb{N},k\in\{1,2,...,n\},a_1< a_2 \varphi = \pi$ (в условиях нашей задачи предполагаем, что $0 < \varphi \leq \pi$ ).

Таким образом, мы получили фундаментальное уравнение (4) для нахождения n-угольников с целыми длинами сторон, вписанных в окружности с целым радиусом. Теперь нужно исследовать, как добиться его выполнения в тех или иных конкретных случаях.

Для дальнейшего нам потребуется доказать ряд вспомогательных утверждений.

Лемма 1. Произведение двух комплексных чисел a+bi и c+di, лежащих не единичной окружности, тогда и только тогда равно i, когда c=b и d=a, то есть когда c+di=b+ai.

Доказательство. Так как оба числа находятся на единичной окружности, то $a^2+b^2=1$ и $c^2+d^2=1$ . Очевидно, $(a+bi)\cdot(b+ai)=(a^2+b^2)\cdot i=i$ . Обратно, из условия $(a+bi)\cdot(c+di)=i$ следует

$$\begin{cases} ac - bd = 0 \\ ad + bc = 1 \end{cases}$$

Умножив втрое равенство на c и воспользовавшись тем, что ac = bd из первого равенства, получим $acd + bc^2 = bd^2 + bc^2 = b(d^2 + c^2) = b = c$ .

Теперь, подставив c вместо b в первой равенство, находим a=d. Что и требовалось доказать.

Согласно лемме 1, если число z лежит на единичной окружности, то для того чтобы получить i в произведении его с другим числом, достаточно его умножить на w=Im(z)+Re(z)i.

Это понятно и с геометрической точки зрения: если $z=e^{i\varphi}~(0