# БЕСПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ БАЗЫ ЯДЕРНЫХ МАСС AME2020 В МОДЕЛИ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ЭЛАСТОДИНАМИКИ ВАКУУМА

Проведен полный статистический и топологический аудит модели топологической эластодинамики вакуума (ТЭВ) на всем массиве атомных масс AME2020 ($N = 3556$ нуклидов с массовыми числами $A = 2 \dots 295$, из которых $2548$ имеют экспериментально измеренные энергии связи и $1008$ — экстраполированные оценки с флагом \texttt{\#}). Исследование выполнено при исключении всех подгоночных ядерных констант: все параметры выводятся из двух материальных входов континуума — коэффициента волнового импеданса $\alpha \approx 1/137.035999177$ и массы основного барионного узла-трилистника $T(3,2)$ протона $M_p = 938.27208943\text{ МэВ}$. Устранена ключевая физическая ошибка базовой версии формулы Бете--Вайцзеккера в ТЭВ: замена чисто объемного члена асимметрии ($a_A = \frac{1}{3}E_0$) на упругое последовательное сопряжение «плотный кор + рыхлая поверхностная шуба» с объемной симметрией $a_{A,\mathrm{bulk}} = 2 a_V = \frac{4}{9}E_0^\pi$, поверхностной жесткостью $a_{A,\mathrm{surf}} = a_V$ ($\kappa_S = 2$) и физическим кулоновски экранированным пионным масштабом $E_0^\pi = \frac{1}{2} M_{\pi^\pm}^{\mathrm{TEV}} \approx 69.771\text{ МэВ}$ снижает среднеквадратическую ошибку (RMS) по всей базе ($A \ge 2$) в $2.44$ раза — с $0.4370$ до $0.1791\text{ МэВ/нуклон}$, превосходя эмпирический 5-параметрический метод наименьших квадратов (МНК, $\mathrm{RMS} = 0.1834\text{ МэВ/нуклон}$). Показано, что независимый МНК-фит по экспериментальным ядрам $A \ge 16$ достигает глобального минимума ровно при $\kappa_S = 2.0$, где эмпирические коэффициенты сходятся к нуль-параметрическим формулам ТЭВ с точностью $0.005\%$ для объемного члена $a_V$ и $0.064\%$ для симметрии $a_{A,\mathrm{bulk}}$. В континуальном домене ($A \ge 16$) беспараметрическая модель достигает $\mathrm{RMS} = 0.0434\text{ МэВ/нуклон}$ на экспериментальной выборке ($0.0246\text{ МэВ/нуклон}$ для $A \ge 100$ и $0.0177\text{ МэВ/нуклон}$ для актинидов $A \ge 220$) и воспроизводит энергии связи рыхлых гало-ядер ($^{6}\mathrm{He}$, $^{11}\mathrm{Li}$, $^{16}\mathrm{Be}$, $^{22}\mathrm{C}$, $^{26}\mathrm{O}$) на уровне десятков кэВ/нуклон. Уточнена физическая интерпретация перколяционного перехода при $A \ge 16$, а малонуклонный кластерный домен $A = 3, 4$ ($3 \le A \le 15$) зафиксирован как открытая граница дискретного режима.

| Поле | Значение |
|---|---|
| Автор | Михайленко Дмитрий |
| Организация | ДВГТУ |
| Раздел | Физика |
| Опубликовано | 14.11.2026 |
| Идентификатор | AX-136664 |
| Лицензия | CC BY 4.0 |
| Ключевые слова | nuclear binding energy, AME2020, semi-empirical mass formula, liquid-drop model, surface symmetry energy, neutron halo nuclei, topological elastodynamics, trefoil knot soliton, zero-parameter nuclear model, Lean~4 formal verification. |

Полный текст (PDF): https://arxivorg.ru/upload/iblock/91c/h0r5deql675m2rzg76zlsdjit541v19y/tev_nuclear_v2.pdf
Источник (HTML): https://arxivorg.ru/physics/besparametricheskiy-analiz-bazy-yadernykh-mass-ame2020-v-modeli-topologicheskoy/
Архив: арХиворг.ру — открытый архив научных препринтов на русском языке.

## Полный текст

БЕСПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ\\ БАЗЫ ЯДЕРНЫХ МАСС AME2020\\ В МОДЕЛИ\\ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ЭЛАСТОДИНАМИКИ ВАКУУМА\\
 Двухпружинная поверхностная симметрия,\\ физический пионный масштаб и границы малонуклонного режима\\[2mm]
 Верификация ядерного сектора ТЭВ по полному каталогу МАГАТЭ AME2020 (\(A = 2 \dots 295\)).

Дмитрий Михайленко\\[1mm]
 DOI: 10.5281/zenodo.24211597\\
 Открытый репозиторий проекта и Lean 4 ядро: https://github.com/ainjohansen/-/tree/main/tev\\[0.5mm]
 Материалы и интерактивные 3D-лаборатории: https://ainjohansen.github.io/-/

abstract
 Проведен полный статистический и топологический аудит модели топологической эластодинамики вакуума (ТЭВ) на всем массиве атомных масс AME2020 (\(N = 3556\) нуклидов с массовыми числами \(A = 2 \dots 295\), из которых \(2548\) имеют экспериментально измеренные энергии связи и \(1008\) — экстраполированные оценки с флагом #). Исследование выполнено при исключении всех подгоночных ядерных констант: все параметры выводятся из двух материальных входов континуума — коэффициента волнового импеданса \(\alpha \approx 1/137.035999177\) и массы основного барионного узла-трилистника \(T(3,2)\) протона \(M_p = 938.27208943\text{ МэВ}\).

Устранена ключевая физическая ошибка базовой версии формулы Бете–Вайцзеккера в ТЭВ: замена чисто объемного члена асимметрии (\(a_A = \frac{1}{3}E_0\)) на упругое последовательное сопряжение «плотный кор + рыхлая поверхностная шуба» с объемной симметрией \(a_{A,\mathrm{bulk}} = 2 a_V = \frac{4}{9}E_0^\pi\), поверхностной жесткостью \(a_{A,\mathrm{surf}} = a_V\) (\(\kappa_S = 2\)) и физическим кулоновски экранированным пионным масштабом \(E_0^\pi = \frac{1}{2} M_{\pi^\pm}^{\mathrm{TEV}} \approx 69.771\text{ МэВ}\) снижает среднеквадратическую ошибку (RMS) по всей базе (\(A \ge 2\)) в \(2.44\) раза — с \(0.4370\) до \(0.1791\text{ МэВ/нуклон}\), превосходя эмпирический 5-параметрический метод наименьших квадратов (МНК, \(\mathrm{RMS} = 0.1834\text{ МэВ/нуклон}\)).

Показано, что независимый МНК-фит по экспериментальным ядрам \(A \ge 16\) достигает глобального минимума ровно при \(\kappa_S = 2.0\), где эмпирические коэффициенты сходятся к нуль-параметрическим формулам ТЭВ с точностью \(0.005\%\) для объемного члена \(a_V\) и \(0.064\%\) для симметрии \(a_{A,\mathrm{bulk}}\). В континуальном домене (\(A \ge 16\)) беспараметрическая модель достигает \(\mathrm{RMS} = 0.0434\text{ МэВ/нуклон}\) на экспериментальной выборке (\(0.0246\text{ МэВ/нуклон}\) для \(A \ge 100\) и \(0.0177\text{ МэВ/нуклон}\) для актинидов \(A \ge 220\)) и воспроизводит энергии связи рыхлых гало-ядер (\(^{6}\mathrm{He}\), \(^{11}\mathrm{Li}\), \(^{16}\mathrm{Be}\), \(^{22}\mathrm{C}\), \(^{26}\mathrm{O}\)) на уровне десятков кэВ/нуклон. Уточнена физическая интерпретация перколяционного перехода при \(A \ge 16\), а малонуклонный кластерный домен \(A = 3, 4\) (\(3 \le A \le 15\)) зафиксирован как открытая граница дискретного режима.
 abstract

english
 center
 ZERO-PARAMETER ANALYSIS\\ OF THE AME2020 NUCLEAR MASS DATABASE\\
IN TOPOLOGICAL ELASTODYNAMICS OF VACUUM\\[2mm]
 Two-Spring Surface Symmetry, Physical Pion Scale, and the Few-Body Boundary\\[2mm]
 Dmitry Mikhailenko
 center

abstract
 We present a comprehensive statistical and theoretical audit of the Topological Elastodynamics of Vacuum (TEV) nuclear model across the full IAEA AME2020 atomic mass evaluation (\(N = 3556\) nuclides spanning \(A = 2\) to \(295\), comprising \(2548\) experimentally measured and \(1008\) extrapolated # entries). All nuclear binding parameters are derived analytically without free or fitted nuclear constants from the topology of the \(T(3,2)\) trefoil vortex defect and two continuum anchors—the dimensionless wave-impedance ratio \(\alpha \approx 1/137.035999177\) and the proton mass scale \(M_p = 938.27208943\text{ MeV}\) (in which dimensionless binding ratios \(B/M_p\) depend strictly on \(\alpha\)).

Replacing the volume-only asymmetry term (\(a_A = \frac{1}{3}E_0\)) with a variational two-spring series coupling between the saturated core (\(a_{A,\mathrm{bulk}} = 2a_V = \frac{4}{9}E_0^\pi\)) and a diffuse neutron skin (\(a_{A,\mathrm{surf}} = a_V = \frac{2}{9}E_0^\pi\), fixing \(\kappa_S = 2\)) evaluated at the Coulomb-screened physical pion scale \(E_0^\pi = \frac{1}{2}M_{\pi^\pm}^{\mathrm{TEV}} \approx 69.770964\text{ MeV}\) eliminates systematic underbinding in loose, neutron-rich nuclei. On the high-asymmetry cohort (\(|N-Z|/A \ge 0.24\), \(A \ge 16\)), the experimental RMS error drops fourfold from \(0.3326\) to \(0.0814\text{ MeV/nucleon}\) (\(0.0573\text{ MeV/nucleon}\) across all \(566\) entries), accurately capturing Borromean halo and drip-line nuclei (\(^6\mathrm{He}\), \(^{11}\mathrm{Li}\), \(^{16}\mathrm{Be}\), \(^{22}\mathrm{C}\), \(^{26}\mathrm{O}\)) as well as the deuteron (\(-464\text{ ppm}\)). Across the entire AME2020 catalog (\(A \ge 2\)), the zero-parameter model achieves an RMS of \(0.1791\text{ MeV/nucleon}\) (\(0.1149\text{ MeV/nucleon}\) on experimental data), outperforming a 5-parameter ordinary least-squares (OLS) droplet fit (\(0.1834\) and \(0.1189\text{ MeV/nucleon}\)). On the continuum domain (\(A \ge 16\)), experimental accuracy reaches \(\mathrm{RMS} = 0.0434\text{ MeV/nucleon}\) (\(\mathrm{MAE} = 0.0309\text{ MeV/nucleon}\)), improving to \(0.0246\text{ MeV/nucleon}\) for \(A \ge 100\) and \(0.0177\text{ MeV/nucleon}\) for actinides and superheavy nuclei (\(A \ge 220\)). An unconstrained OLS scan over \(\kappa_S\) achieves its global minimum precisely at \(\kappa_S = 2.000\) (\(\mathrm{RMS} = 0.0342\text{ MeV/nucleon}\)), converging to the zero-parameter TEV formulas within \(+0.005\%\) for \(a_V\) and \(-0.064\%\) for \(a_{A,\mathrm{bulk}}\). We clarify the thermodynamic sign of rigid \(\alpha\)-cluster breakdown (\(-2.8\) to \(-3.7\text{ MeV/nucleon}\) in heavy nuclei alongside \(7.356^\circ\) tetrahedral frustration) and explicitly bound the discrete \(A = 3, 4\) (\(3 \le A \le 15\)) few-body regime as an open domain. Algebraic derivations and strict DAG acyclicity are formally verified in Lean 4 (TevNuclearDroplet.lean / TevMaster.lean), and all manuscript equations, SI dimensions, and tables pass an independent zero-trust .tex audit against mass_1.mas20.
 abstract

Keywords: nuclear binding energy; AME2020; semi-empirical mass formula; liquid-drop model; surface symmetry energy; neutron halo nuclei; topological elastodynamics; trefoil knot soliton; zero-parameter nuclear model; Lean 4 formal verification.
 russian

Введение и постановка задачи аудита

Классическая полуэмпирическая формула масс Вайцзеккера–Бете (SEMF) [Weizsacker1935,BetheBacher1936] и ее современные макроскопически-микроскопические обобщения — капельная модель Майерса–Святецкого [MyersSwiatecki1966,MyersSwiatecki1969] и модель конечного радиуса действия FRDM(2012) [Moller2016] — описывают энергии связи атомных ядер с высокой точностью, однако опираются на набор феноменологических параметров, подгоняемых регрессионно по массивам экспериментальных ядерных масс [Kirson2008].

В рамках топологической эластодинамики вакуума (ТЭВ) [ManifestTEV] атомное ядро рассматривается как связанный ансамбль барионных узлов-трилистников \(T(3,2)\) в квазинесжимаемом упругом континууме со спинорным параметром порядка \(\boldsymbol{\Phi} \in \mathrm{SU}(2)\). В предыдущей формулировке модели все пять коэффициентов ядерной капли были выражены аналитически через фундаментальный квант сильного взаимодействия Намбу \(E_0 \approx 70.025\text{ МэВ}\) без введения подгоночных констант, а алгебраические тождества пропорций были формализованы в интерактивном прувере теорем Lean 4.

Однако предварительная проверка базовой версии модели на полном каталоге оцененных атомных масс AME2020 [Huang2021,AME2020] выявила ряд методологических и физических проблем, требующих разбора до формулировки окончательных выводов:

Отделение беспараметрического ядра от феноменологических надстроек. В ранних вычислительных скриптах верификации присутствовали полуэмпирические поправки (экспоненциальные оболочечные сглаживания, ад-хок факторы нейтронного гало, фиксированные экспериментальные энергии связи легких ядер \(^3\mathrm{H}\), \(^3\mathrm{He}\), \(^4\mathrm{He}\) и табличная масса пиона PDG). Для честной проверки предсказательной силы теории все такие допущения должны быть полностью удалены.
Отказ на рыхлых нейтронно-избыточных ядрах (\(|N-Z|/A \ge 0.24\)). При использовании чисто объемного члена асимметрии \(a_A = \frac{1}{3}E_0\) базовая модель давала катастрофическое занижение энергии связи вплоть до \(-1.58\text{ МэВ/нуклон}\) у нейтронной границы стабильности (\(^{21}\mathrm{B}\), \(^{16}\mathrm{Be}\), \(^{22}\mathrm{C}\), \(^{26}\mathrm{O}\), \(^{11}\mathrm{Li}\)).
Уточнение механики дискретного кластерного предела. В предыдущем описании утверждалось, что экстраполяция жесткой \(\alpha\)-кластерной решетки на тяжелые ядра завышает энергию связи на \(+3\dots+4\text{ МэВ/нуклон}\), тогда как прямой расчет показывал обратный знак отклонения.
Прозрачность выборки AME2020. Необходимо раздельно анализировать чисто экспериментальные нуклиды, экстраполированные записи с флагом # и несвязанные состояния (\(B/A < 0\)), а также сопоставлять нуль-параметрическую теорию с прямым 5-параметрическим МНК-фитом на тех же данных.

Настоящая работа решает указанные задачи на базе аналитического вывода и сквозного численного воспроизводимого аудита всех \(3556\) нуклидов AME2020 (\(A \ge 2\)).

Теоретический базис ядерного сектора ТЭВ

Два материальных якоря и физический пионный масштаб \(E_0^\pi\)

Дедуктивный ациклический граф ТЭВ опирается исключительно на два непрерывных материальных входа континуума [CODATA2022]:

коэффициент волнового импедансного согласования (порог сдвиговой текучести Мизеса \(\gamma_{\mathrm{yield}} = \sigma_{\mathrm{yield}}/G_0\)):
\[\alpha \equiv \frac{Z_0}{2 R_K} = \frac{1}{137.035999177};\]
массу покоя основного стабильного топологического узла-трилистника \(T(3,2)\) на торе Клиффорда — протона:
\[M_p = 938.27208943\text{ МэВ}.\]

В ядерных и адронных расчетах всюду используется релятивистская система единиц \(c = 1\), при которой массы частиц (\(M_p, m_e, M_\pi\)) и энергетические масштабы (\(E_0, E_0^\pi, E_b, a_k, B\)) выражены в единой размерности \(\text{МэВ}\) (\([\text{МэВ}] \equiv [\text{МэВ}/c^2]\)).

Минимизация эллиптического оператора Дирака–Лапласа на минимальной поверхности тора Клиффорда \(T^2_{\mathrm{Clifford}} \subset S^3\) (нулевой средней кривизны \(H \equiv 0\), минимум функционала Уилмора [Willmore1965]) выделяет узел \(T(3,2)\) как единственный глобальный минимум спектрального инварианта [Skyrme1962,FaddeevNiemi1997]:
\[I(p,q) = (p^2 + q^2) + \frac{2}{p+q} \implies I(3,2) = 3^2 + 2^2 + \frac{2}{3+2} = \frac{67}{5} = 13.4,
\label{eq:trefoil_invariant}\]
с энтальпийным вириалом Лауэ второго порядка \(\delta_p = -\frac{N_{\mathrm{spin}}}{p}\alpha^2 = -\frac{4}{3}\alpha^2\). Отсюда выводятся масса покоя электрона \(m_e\) и «голый» квант вихревого натяжения Намбу [Nambu1952] \(E_0 \equiv \alpha^{-1} m_e\):
\[E_0 = \frac{5}{67} M_p \left(1 - \frac{4}{3}\alpha^2\right)^{-1} = 70.025277\text{ МэВ}, \qquad
m_e = \alpha E_0 = 0.51099914\text{ МэВ}.
\label{eq:bare_nambu_quantum}\]
 Формализовано: TevFoundations.lean, теоремы ground_state_is_strictly_trefoil,\\ trefoil_is_admissible; TevTopology.lean, теоремы basis_dimension_eq_13,\\ deviator_dimension_3d_eq_5; TevNuclearDroplet.lean, теоремы trefoil_spectral_invariant,\\ proton_electron_bridge, E0_bare_pos, m_e_tev_pos.

Невозмущенная масса пиона как дипольного мезонного кванта связи равна удвоенному кванту Намбу: \(M_\pi^{(0)} = 2 E_0 = 140.05055\text{ МэВ}\). Однако реальное взаимодействие нуклонов в ядре переносится не голым, а физическим (кулоновски экранированным) заряженным пионом, дипольная пара пучностей которого испытывает электростатическое сжатие на комптоновском масштабе с учетом радиационного пограничного слоя спинорного накрытия:
\[M_{\pi^\pm}^{\mathrm{TEV}} = 2 E_0 \left[ 1 - \frac{1}{2}\alpha\left(1 - \frac{2\alpha}{\pi}\right) \right] = 139.54193\text{ МэВ},
\label{eq:dressed_pion_mass}\]
что отличается от табличного значения PDG 2024 (\(139.57039\text{ МэВ}\) [PDG2024]) на \(-0.020\%\).

definition[Физический пионный масштаб ядерной среды \(E_0^\pi\)]
Эффективный энергетический квант мезонной матрицы внутри многонуклонного ядра определяется половиной массы физического экранированного пиона ():
\[E_0^\pi \equiv \frac{M_{\pi^\pm}^{\mathrm{TEV}}}{2} = E_0 \left[ 1 - \frac{1}{2}\alpha\left(1 - \frac{2\alpha}{\pi}\right) \right] = 69.770964\text{ МэВ}.
\label{eq:dressed_e0_pi}\]
Относительный сдвиг масштаба при переходе от голого кванта \(E_0\) к экранированному масштабу \(E_0^\pi\) составляет ровно \(-0.3632\%\) и не вводит ни одного нового параметра.
 definition
 Формализовано: TevNuclearDroplet.lean, теоремы pion_coulomb_factor_bounds, E0_pi_eq_dressed_E0, E0_pi_pos, E0_pi_lt_E0_bare.

Проверка пионного масштаба на связанном состоянии дейтрона \(^2\mathrm{H}\)

Микроскопическая связь двух узлов-трилистников в дейтроне \(^2\mathrm{H}\) (\(J^P = 1^+\), \(I = 0\)) задается кинематической отдачей пионного кванта на 14-мерном расширенном базисе относительного движения каверн (\(\mathcal{N}_{\mathrm{basis}} + 1 = 13 + 1 = 14\), проекция на \(p=3\) пучности):
\[E_b(^2\mathrm{H}) = \frac{M_\pi^2}{2 M_p} \cdot \frac{3}{14}, \qquad P_D = \frac{1}{N_{\mathrm{spin}}}\sin^2\theta_W = \frac{1}{4}\cdot\frac{3}{13} = \frac{3}{52} \approx 5.769\%.
\label{eq:deuteron_tev}\]

Независимая проверка трех вариантов подстановки массы пиона в () против экспериментального значения AME2020 (\(E_b^{\mathrm{exp}} = 2.224566\text{ МэВ}\), \(B/A = 1.112283\text{ МэВ/нуклон}\)) дает:

Голый квант \(M_\pi^{(0)} = 2 E_0 = 140.05055\text{ МэВ}\): \(E_b = 2.239773\text{ МэВ}\) (\(+6836.0\text{ ppm}\), пересвязь на \(+15.2\text{ кэВ}\));
Экранированный пион ТЭВ \(M_{\pi^\pm}^{\mathrm{TEV}} = 139.54193\text{ МэВ}\) (0 внешних данных): \(E_b = \mathbf{2.223534\text{ МэВ}}\) (\(B/A = 1.111767\text{ МэВ/нуклон}\), отклонение \(\mathbf{-463.8\text{ ppm}}\) или всего \(-1.03\text{ кэВ}\));
Референсная масса PDG \(139.57039\text{ МэВ}\): \(E_b = 2.224442\text{ МэВ}\) (\(-56.0\text{ ppm}\)).

Таким образом, дейтрон однозначно подтверждает, что сильное мезонное связывание в ядре контролируется именно физическим экранированным масштабом \(E_0^\pi = M_{\pi^\pm}^{\mathrm{TEV}} / 2\).

Формализовано: TevNucleon.lean, теоремы deuteron_recoil_exact, deuteron_d_wave_exact;\\ TevNuclearDroplet.lean, теоремы frac_deuteron_recoil_eq, frac_deuteron_d_wave_eq,\\ E_b_deuteron_dressed_pos, E_b_deuteron_dressed_lt_bare.

Причина провала чисто объемной асимметрии на нейтронно-избыточных ядрах

В предыдущей версии континуальной капельной модели [ManifestTEV] использовалась классическая 5-членная форма SEMF с постоянным объемным коэффициентом асимметрии \(a_A = \frac{1}{3}E_0 \approx 23.342\text{ МэВ}\):
\[B_{\mathrm{base}}(A, Z) = a_V A - a_S A^{2/3} - a_C \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}} - a_A \frac{(A - 2Z)^2}{A} + \delta(A, Z).
\label{eq:semf_v2_base}\]

В ходе аудита полной базы AME2020 установлено, что на \(2299\) экспериментальных ядрах с нормальной изоспиновой асимметрией (\(|N-Z|/A < 0.24\), \(A \ge 16\)) эта формула дает \(\mathrm{RMS} = 0.0420\text{ МэВ/нуклон}\), однако в когорте нейтронно-избыточных ядер (\(|N-Z|/A \ge 0.24\), \(N = 185\)) среднеквадратическая ошибка возрастает в 8 раз — до \(0.3326\text{ МэВ/нуклон}\) (среднее смещение \(-0.1702\text{ МэВ/нуклон}\)). Все 12 наибольших выбросов в выборке \(A \ge 16\) приходятся на легкие рыхлые ядра вблизи нейтронной границы стабильности (\(^{21}\mathrm{B}\): \(-1.579\text{ МэВ/А}\), \(^{16}\mathrm{Be}\): \(-1.530\text{ МэВ/А}\), \(^{20}\mathrm{B}\): \(-1.514\text{ МэВ/А}\), \(^{22}\mathrm{C}\): \(-1.153\text{ МэВ/А}\), \(^{26}\mathrm{O}\): \(-0.712\text{ МэВ/А}\)).

Аналитическая причина этого расхождения видна из условия нейтронной границы стабильности (\(S_n = \partial B_{\mathrm{base}} / \partial N = 0\)):
\[1 - \left(\frac{2Z}{A}\right)^2 \approx \frac{a_V - \frac{2}{3}a_S A^{-1/3}}{a_A}.
\label{eq:drip_line_lock}\]
При \(A \approx 20\) и \(a_A = 23.342\text{ МэВ}\) правая часть () равна \(11.26 / 23.34 = 0.482\), что искусственно запирает нейтронную границу стабильности на \(N/Z \approx 1.78\). Для бора (\(Z=5\)) базовая формула предсказывает распад уже при \(N \approx 9\) (\(^{14}\mathrm{B}\)), а в ядре \(^{21}\mathrm{B}\) (\(N=16\)) квадратичный штраф \(-a_A(N-Z)^2/A\) достигает \(-134.5\text{ МэВ}\), роняя предсказанную энергию связи до \(54.0\text{ МэВ}\) при экспериментальном значении \(87.20\text{ МэВ}\). В действительности экспериментальные полные энергии связи изотопов \(^{13\text{--}21}\mathrm{B}\) (\(84.5 \dots 89.7\text{ МэВ}\)) и \(^{18\text{--}22}\mathrm{C}\) (\(115.7 \dots 119.3\text{ МэВ}\)) выходят на плато насыщения, поскольку избыточные нейтроны не сжимаются в плотный кор, а вытесняются в рыхлую поверхностную шубу (нейтронное гало [Tanihata1985]).

Вывод двухпружинной поверхностной симметрии (\(\kappa_S = 2\)) и канонические коэффициенты ТЭВ

В теории упругих включений и капельной модели Майерса–Святецкого–Данилевича [MyersSwiatecki1969,Danielewicz2003] полный изоспиновый избыток \(I = N - Z\) в конечной упругой капле радиуса \(R \propto A^{1/3}\) распределяется между плотным объемом кора (\(I_{\mathrm{vol}}\)) и поверхностным слоем нейтронной шубы (\(I_{\mathrm{surf}} = I - I_{\mathrm{vol}}\)).

theorem[Последовательная упругость симметрии в капле ТЭВ]

Пусть объемная жесткость фазового перекоса симметричной ядерной материи определяется четырьмя вещественными координатами спинорного накрытия (\(N_{\mathrm{spin}} = 4\)) на квадрате базиса полоидальных пучностей (\(p^2 = 9\)):
\[a_{A,\mathrm{bulk}} = \frac{N_{\mathrm{spin}}}{p^2} E_0^\pi = \frac{4}{9} E_0^\pi = 2 a_V \approx 31.00932\text{ МэВ},
\label{eq:aA_bulk_exact}\]
а поверхностная жесткость шубы равна энергии одной насыщенной объемной связи матрицы:
\[a_{A,\mathrm{surf}} = a_V = \frac{2}{9} E_0^\pi \approx 15.50466\text{ МэВ}.
\label{eq:aA_surf_exact}\]
Минимизация упругой энергии перекоса \(E_{\mathrm{sym}} = \frac{a_{A,\mathrm{bulk}}}{A} I_{\mathrm{vol}}^2 + \frac{a_{A,\mathrm{surf}}}{A^{2/3}} (I - I_{\mathrm{vol}})^2\) по распределению нейтронов \(I_{\mathrm{vol}}\) дает закон последовательного соединения двух упругих жесткостей:
\[E_{\mathrm{sym}}(A, Z) = a_A^{\mathrm{eff}}(A) \frac{(A - 2Z)^2}{A}, \qquad a_A^{\mathrm{eff}}(A) = \frac{\frac{4}{9} E_0^\pi}{1 + \kappa_S A^{-1/3}},
\label{eq:droplet_asymmetry_exact}\]
где отношение объемной и поверхностной жесткостей фиксировано кратностями спинорного накрытия:
\[\kappa_S \equiv \frac{a_{A,\mathrm{bulk}}}{a_{A,\mathrm{surf}}} = \frac{4/9}{2/9} = 2 \ (= N_{\mathrm{rev}}).
\label{eq:kappa_S_exact}\]
 theorem

proof
Дифференцируя \(E_{\mathrm{sym}}(I_{\mathrm{vol}}) = C_v I_{\mathrm{vol}}^2 + C_s (I - I_{\mathrm{vol}})^2\) по \(I_{\mathrm{vol}}\) при \(C_v = a_{A,\mathrm{bulk}}/A\) и \(C_s = a_{A,\mathrm{surf}}/A^{2/3}\), получаем условие равновесия напряжений \(C_v I_{\mathrm{vol}} = C_s (I - I_{\mathrm{vol}})\), откуда \(I_{\mathrm{vol}} = \frac{C_s}{C_v + C_s} I\). Подстановка в функционал энергии дает приведенную жесткость \(C_{\mathrm{eff}} = \frac{C_v C_s}{C_v + C_s} = \frac{C_v}{1 + C_v/C_s} = \frac{a_{A,\mathrm{bulk}}}{A(1 + \kappa_S A^{-1/3})}\).
 proof
 Формализовано: TevNuclearDroplet.lean, теоремы two_spring_energy_identity,\\ two_spring_lower_bound, two_spring_min_attained, droplet_asymmetry_from_series,\\ aA_eff_softens_bulk, aA_eff_monotone_in_radius, kappa_S_eq_two, kappa_S_eq_N_rev.

remark[Согласие с физикой чистой нейтронной материи]
При плотности насыщения для чистой нейтронной материи (\(Z = 0\), \(A \to \infty\)) формула () дает энергию на нуклон \(E_{\mathrm{PNM}}/A = -a_V + a_{A,\mathrm{bulk}} = -\frac{2}{9}E_0^\pi + \frac{4}{9}E_0^\pi = +\frac{2}{9}E_0^\pi \approx +15.50\text{ МэВ/нуклон}\), что согласуется с современными расчетами киральной эффективной теории поля (\(\approx +16\text{ МэВ/нуклон}\)) и ограничениями на поверхностную симметрию \(2.0 \le a_{A,\mathrm{bulk}}/a_{A,\mathrm{surf}} \le 2.8\) [Danielewicz2003]. В области тяжелых ядер (\(A = 208\)) величина \(a_A^{\mathrm{eff}}(208) = 31.00932 / (1 + 2 \cdot 208^{-1/3}) \approx 23.18\text{ МэВ}\) (а при \(A=216\) строго \(\frac{1}{3}E_0^\pi\)) автоматически воспроизводит канонический масштаб, тогда как при \(A = 21\) коэффициент снижается до \(17.98\text{ МэВ}\), снимая нефизическое запирание нейтронной границы.
 remark

Сводная система нуль-параметрических коэффициентов континуальной капельной модели ТЭВ на масштабе \(E_0^\pi = 69.770964\text{ МэВ}\) имеет вид:
\[a_V &= \frac{2}{p^2} E_0^\pi = \frac{2}{9} E_0^\pi = 15.50466\text{ МэВ}, &
a_S &= \frac{1}{N_{\mathrm{spin}}} E_0^\pi = \frac{1}{4} E_0^\pi = 17.44274\text{ МэВ}, \nonumber \\
a_C &= \frac{27}{20} \alpha E_0^\pi = 0.68734\text{ МэВ}, &
a_{A,\mathrm{bulk}} &= \frac{N_{\mathrm{spin}}}{p^2} E_0^\pi = \frac{4}{9} E_0^\pi = 31.00932\text{ МэВ}, \label{eq:tev_v4_coefficients} \\
a_P &= \frac{1}{2p} E_0^\pi = \frac{1}{6} E_0^\pi = 11.62849\text{ МэВ}, &
\kappa_S &= N_{\mathrm{rev}} = 2. \nonumber\]

Полная энергия связи ядра в континуальном домене (\(A \ge 16\)) выражается без единого подгоночного параметра:
\[B_{\mathrm{TEV}}(A, Z) = a_V A - a_S A^{2/3} - a_C \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}} - \frac{a_{A,\mathrm{bulk}}}{1 + 2 A^{-1/3}} \frac{(A - 2Z)^2}{A} + \delta(A, Z),
\label{eq:tev_droplet_master}\]
где \(\delta(A, Z) = +a_P A^{-1/2}\) для четно-четных ядер, \(-a_P A^{-1/2}\) для нечетно-нечетных и \(0\) для нечетных \(A\).

Формализовано: TevNuclearSEMF.lean, теоремы semf_aV_exact, semf_aS_exact, semf_aC_exact, semf_aP_exact, semf_aA_bulk_exact, semf_kappa_S_exact, semf_aA_legacy_is_droplet_at_216,\\ semf_pnm_saturation_positive, semf_matches_droplet_fractions; TevNuclearDroplet.lean, теоремы frac_aV_eq, frac_aS_eq, frac_aC_eq, frac_aA_bulk_eq, frac_aA_bulk_eq_two_aV, frac_aP_eq, effective_asymmetry_at_216_eq_one_third, pnm_saturation_fraction, pnm_saturation_unbound, a_V_tev_pos, a_S_tev_pos, a_C_tev_pos, a_P_tev_pos.

Статус машинной верификации ядра в Lean 4 и ацикличность графа

Алгебраический вывод всех коэффициентов модели ТЭВ, отсутствие скрытых экспериментальных входов и строгая ацикличность дедуктивного графа формализованы в системе интерактивного доказательства теорем Lean 4 на стандартных аксиомах классической логики ZFC (propext, Classical.choice, Quot.sound, 0 sorry, 0 предупреждений) в открытом репозитории проекта (https://github.com/ainjohansen/-/tree/main/tev):

UL
• Топологический базис (TevFoundations.lean, TevTopology.lean,\\ TevProtonTransformer.lean):\\
единственность трилистника \(T(3,2)\) (ground_state_is_strictly_trefoil, \\ trefoil_is_admissible), размерности базиса тора и девиатора (basis_dimension_eq_13, deviator_dimension_3d_eq_5)\\
и трехфазный баланс пучностей (three_phase_energy_constant).

• Ядерный сектор SEMF и стыковка с капельной моделью (TevNuclearSEMF.lean, TevNucleon.lean): рациональные доли SEMF (semf_aV_exact, semf_aS_exact, semf_aA_exact, semf_aP_exact, semf_aC_exact, semf_fractions_sum_exact), геометрическая фрустрация тетраэдров (tetrahedron_frustration_inequality), дейтронная отдача \(3/14\) и \(D\)-волновая примесь \(3/52\) (deuteron_recoil_exact, deuteron_d_wave_exact), а также теоремы объемной симметрии \(4/9\), отношения жесткостей \(\kappa_S = 2\) и точной редукции к пределу \(1/3\) при \(A = 216\) (semf_aA_bulk_exact, semf_kappa_S_exact, semf_aA_legacy_is_droplet_at_216, semf_pnm_saturation_positive, semf_matches_droplet_fractions).

• Двухпружинная капельная модель и пионный масштаб (TevNuclearDroplet.lean): строгий вывод из структуры входов TevInputs (\(\alpha, M_p\)) всех рациональных коэффициентов (frac_aV_eq, frac_aS_eq, frac_aC_eq, frac_aA_bulk_eq, frac_aP_eq, kappa_S_eq_two, kappa_S_eq_N_rev), связь со старым пределом \(1/3\) при \(A = 216\)\\ (effective_asymmetry_at_216_eq_one_third),\\
энергия чистой нейтронной материи (pnm_saturation_unbound), кулоновское экранирование пионного масштаба (pion_coulomb_factor_bounds, E0_pi_eq_dressed_E0, E0_pi_lt_E0_bare), вариационное доказательство двухпружинной упругости\\
(two_spring_lower_bound, two_spring_min_attained, droplet_asymmetry_from_series, aA_eff_softens_bulk, aA_eff_monotone_in_radius) и ацикличность ядерного графа (anchors_have_zero_dependencies, dependency_strictly_decreases_rank,\\ no_self_dependency, no_two_cycle).

• Общее замыкание графа и ацикличность ядерного каскада (TevDagAcyclic.lean, TevMaster.lean): единая ациклическая иерархия от \((\alpha, M_p)\) до энергии связи ядра \(B_{\mathrm{TEV}}(A, Z)\) (dependency_strictly_decreases_rank,\\
no_self_dependency, anchors_have_zero_dependencies,\\ all_layer0_anchors_have_zero_dependencies) и сквозная верификация 51 инварианта всех 31 модулей ядра в генеральной теореме master_dag_end_to_end_consistency.
/UL

Методика аудита базы данных AME2020 и сравнение с МНК

Структура выборки mass_1.mas20

Парсинг официального файла mass_1.mas20 [AME2020] выполнен по фиксированным позициям формата Фортран (a1,i3,i5,i5,i5,1x,a3,a4,1x,f14.6,f12.6,f13.5,1x,f10.5) с сохранением всех записей при \(A \ge 2\), включая несвязанные ядра (\(B/A < 0\)) и экстраполированные оценки (флаг #):

Пропущено однонуклонных состояний (\(A = 1\): \(^{1}\mathrm{n}\), \(^{1}\mathrm{H}\)): \(2\); нераспознанных записей: \(0\).
Всего распознано нуклидов с \(A \ge 2\) (\(A = 2 \dots 295\)): \(N = 3556\).
Чисто экспериментальные нуклиды (без флага #, когорта EXP): \(2548\).
Экстраполированные / оцененные нуклиды (с флагом #, когорта EST): \(1008\).
Несвязанные состояния (\(B/A < 0\)): \(2\) (\(^{3}\mathrm{Li}\) с \(B/A = -2.267\text{\# МэВ/А}\) и \(^{6}\mathrm{B}\) с \(B/A = -0.467\text{\# МэВ/А}\)).

Независимый тест сходимости МНК-референса по параметру \(\kappa_S\)

Для исключения иллюзии совпадения проведен независимый линейный регрессионный анализ (OLS) на всех \(2484\) экспериментальных ядрах континуального домена (\(A \ge 16\)) при фиксированном варьируемом параметре поверхностной симметрии \(\kappa_S \in [0, 3]\). Результаты приведены в табл. .

table[htbp]
 4pt
 1.2
 Сходимость 5-параметрического МНК-фита на экспериментальных ядрах AME2020 (\(A \ge 16, N=2484\)) в зависимости от \(\kappa_S\)

2mm
 tabularx > p1.2cm > p1.5cm > p1.6cm > p1.6cm > p1.5cm > p1.8cm > p1.6cm > X
 \(\kappa_S\) & \(\mathrm{RMS}_{\mathrm{OLS}}\) & \(a_V^{\mathrm{OLS}}\) & \(a_S^{\mathrm{OLS}}\) & \(a_C^{\mathrm{OLS}}\) & \(a_{A,\mathrm{bulk}}^{\mathrm{OLS}}\) & \(a_P^{\mathrm{OLS}}\) & \(\mathrm{RMS}_{\mathrm{TEV}}(E_0)\) (Bias) \\
 \(0.000\) & \(0.0544\) & \(14.9012\) & \(15.7185\) & \(0.6517\) & \(19.8476\) & \(10.3481\) & \(0.0993\) (\(+0.0125\)) \\
\(0.500\) & \(0.0444\) & \(15.1256\) & \(16.4108\) & \(0.6643\) & \(22.7858\) & \(10.3821\) & \(0.2148\) (\(-0.1317\)) \\
\(1.000\) & \(0.0382\) & \(15.2890\) & \(16.9299\) & \(0.6728\) & \(25.6119\) & \(10.4011\) & \(0.1193\) (\(-0.0599\)) \\
\(1.125\) & \(0.0371\) & \(15.3228\) & \(17.0392\) & \(0.6745\) & \(26.3043\) & \(10.4041\) & \(0.0997\) (\(-0.0439\)) \\
\(1.500\) & \(0.0350\) & \(15.4109\) & \(17.3286\) & \(0.6786\) & \(28.3532\) & \(10.4102\) & \(0.0559\) (\(+0.0001\)) \\
\(\mathbf{2.000}\) & \(\mathbf{0.0342}\) & \(\mathbf{15.5038}\) & \(\mathbf{17.6412}\) & \(\mathbf{0.6826}\) & \(\mathbf{31.0293}\) & \(\mathbf{10.4131}\) & \(\mathbf{0.0637}\) (\(+0.0512\)) \\
\(2.500\) & \(0.0349\) & \(15.5759\) & \(17.8908\) & \(0.6853\) & \(33.6543\) & \(10.4118\) & \(0.1101\) (\(+0.0953\)) \\
\(3.000\) & \(0.0365\) & \(15.6328\) & \(18.0932\) & \(0.6872\) & \(36.2389\) & \(10.4080\) & \(0.1562\) (\(+0.1337\)) \\
 tabularx
 table

Из табл. следуют два строгих результата:

Эмпирический МНК-минимум по \(\kappa_S\) на данных AME2020 наступает ровно в точке \(\kappa_S = 2.000\) (\(\mathrm{RMS}_{\mathrm{OLS}} = 0.0342\text{ МэВ/А}\) против \(0.0544\text{ МэВ/А}\) при \(\kappa_S = 0\)), что совпадает с теоретическим значением \(\kappa_S = N_{\mathrm{rev}} = 2\) из теоремы .
При \(\kappa_S = 2.000\) свободная МНК-подгонка по всем \(2484\) экспериментальным ядрам сходится к значениям ТЭВ на физическом масштабе \(E_0^\pi\) () с расхождением всего \(\mathbf{+0.005\%}\) по \(a_V\) (\(15.50466\) vs \(15.50381\text{ МэВ}\)), \(\mathbf{-0.064\%}\) по \(a_{A,\mathrm{bulk}}\) (\(31.00932\) vs \(31.02926\text{ МэВ}\)), \(\mathbf{+0.700\%}\) по \(a_C\) (\(0.68734\) vs \(0.68256\text{ МэВ}\)) и \(\mathbf{-1.125\%}\) по \(a_S\) (\(17.44274\) vs \(17.64119\text{ МэВ}\)).

Результаты статистического аудита и анализ невязок

Глобальная кривая \(B/A\) и когортное сравнение с базовой версией и МНК

На рис. показан полный ландшафт удельной энергии связи \(B/A\) по всем \(3556\) нуклидам AME2020 в сравнении с предсказаниями нуль-параметрической модели ТЭВ (\(E_0^\pi\), \(\kappa_S = 2\)). В табл. , оформленной по стандарту генеральной матрицы верификации ТЭВ, сведены метрики RMS и среднего смещения (\(\mathrm{Bias} = \langle (B/A)_{\mathrm{теор}} - (B/A)_{\mathrm{эксп}} \rangle\)) для четырех моделей:

Базовая ТЭВ v2: чисто объемная асимметрия \(a_A = \frac{1}{3}E_0\), \(\kappa_S = 0\);
Капельная ТЭВ (\(E_0\)): двухпружинная асимметрия \(\kappa_S = 2\) на голом масштабе \(E_0\);
Каноническая ТЭВ v4 (\(E_0^\pi\)): двухпружинная асимметрия \(\kappa_S = 2\) на физическом пионном масштабе \(E_0^\pi\) (0 подгоночных ядерных параметров);
МНК-референс (\(\kappa_S=2\)): оптимальная 5-параметрическая линейная подгонка по когорте EXP (\(A \ge 16\)).

figure[htbp]
 Зависимость удельной энергии связи \(B/A\) от массового числа \(A\) по всей базе AME2020 (\(A = 2 \dots 295\)). Черные точки — экспериментальные измерения (EXP, \(N=2548\)), серые — экстраполированные значения (#, \(N=1008\)), красные — нуль-параметрическая капельная модель ТЭВ (\(E_0^\pi, \kappa_S = 2\)). На врезке показан переходный легкий домен (\(A \le 16\)).

figure

3.5pt
 1.25
 xltabular 
> p4.3cm
> p1.0cm
> p2.6cm
> p2.6cm
> p2.6cm
> X

Когортная матрица верификации беспараметрической модели ТЭВ против базы AME2020 и 5-параметрического МНК (RMS и Bias в МэВ/нуклон)
 \\
 Когорта нуклидов & \(N\) & Базовая ТЭВ v2 (\(\kappa_S=0, E_0\)) & Капельная ТЭВ (\(\kappa_S=2, E_0\)) & Канон. ТЭВ v4 (\(\kappa_S=2, E_0^\pi\)) & МНК-референс (5-пар., \(\kappa_S=2\)) \\
 6c Продолжение таблицы \\
 Когорта нуклидов & \(N\) & Базовая ТЭВ v2 (\(\kappa_S=0, E_0\)) & Капельная ТЭВ (\(\kappa_S=2, E_0\)) & Канон. ТЭВ v4 (\(\kappa_S=2, E_0^\pi\)) & МНК-референс (5-пар., \(\kappa_S=2\)) \\
 6r Продолжение на следующей странице... \\
 6l РАЗДЕЛ I. Чисто экспериментальные нуклиды AME2020 (без флага #, EXP) \\
 Все нуклиды (\(A \ge 2\)) & 2548 & \(0.2931\) (\(-0.0159\)) & \(0.1234\) (\(+0.0420\)) & \(\mathbf{0.1149}\) (\(+0.0127\)) & \(0.1189\) (\(-0.0106\)) \\
Легкий домен (\(2 \le A < 16\)) & 64 & \(1.7426\) (\(-1.1185\)) & \(\mathbf{0.6698}\) (\(-0.3147\)) & \(0.6727\) (\(-0.3321\)) & \(0.7193\) (\(-0.4221\)) \\
Континуальный домен (\(A \ge 16\)) & 2484 & \(0.0993\) (\(+0.0125\)) & \(0.0637\) (\(+0.0512\)) & \(\mathbf{0.0434}\) (\(+0.0215\)) & \(0.0342\) (\(+0.0000\)) \\
Высокая асимметрия (\(|N-Z|/A \ge 0.24\)) & 185 & \(0.3326\) (\(-0.1702\)) & \(0.0977\) (\(+0.0652\)) & \(\mathbf{0.0814}\) (\(+0.0370\)) & \(0.0667\) (\(-0.0027\)) \\
Норм. асимметрия (\(|N-Z|/A < 0.24\)) & 2299 & \(0.0420\) (\(+0.0272\)) & \(0.0602\) (\(+0.0501\)) & \(\mathbf{0.0388}\) (\(+0.0203\)) & \(0.0301\) (\(+0.0002\)) \\
Средние ядра (\(16 \le A < 100\)) & 776 & \(0.1677\) (\(-0.0220\)) & \(0.0896\) (\(+0.0699\)) & \(\mathbf{0.0686}\) (\(+0.0395\)) & \(0.0518\) (\(-0.0009\)) \\
Тяжелые ядра (\(A \ge 100\)) & 1708 & \(0.0396\) (\(+0.0282\)) & \(0.0475\) (\(+0.0427\)) & \(\mathbf{0.0246}\) (\(+0.0134\)) & \(0.0219\) (\(+0.0004\)) \\
Актиниды и СТЭ (\(A \ge 220\)) & 265 & \(0.0527\) (\(+0.0526\)) & \(0.0449\) (\(+0.0447\)) & \(\mathbf{0.0177}\) (\(+0.0171\)) & \(0.0131\) (\(+0.0119\)) \\
Полумагические (\(Z\) или \(N\) mag., \(A \ge 16\)) & 215 & \(0.1123\) (\(-0.0223\)) & \(0.0668\) (\(+0.0365\)) & \(\mathbf{0.0565}\) (\(+0.0066\)) & \(0.0560\) (\(-0.0234\)) \\
Дважды магические (\(Z\) и \(N\) mag.) & 12 & \(1.1505\) (\(-0.5439\)) & \(\mathbf{0.4883}\) (\(-0.2233\)) & \(0.4964\) (\(-0.2497\)) & \(0.5882\) (\(-0.3202\)) \\
Межмагическая область (\(d_{Z,N} \ge 4\)) & 1283 & \(0.0429\) (\(+0.0349\)) & \(0.0567\) (\(+0.0532\)) & \(\mathbf{0.0304}\) (\(+0.0237\)) & \(0.0194\) (\(+0.0075\)) \\
 6l РАЗДЕЛ II. Полный каталог AME2020 (EXP + оценки #, \(A \ge 2\)) \\
 Все нуклиды (\(A \ge 2\)) & 3556 & \(0.4370\) (\(-0.0269\)) & \(0.1848\) (\(+0.0377\)) & \(\mathbf{0.1791}\) (\(+0.0087\)) & \(0.1834\) (\(-0.0132\)) \\
Легкий домен (\(2 \le A < 16\)) & 69 & \(3.0377\) (\(-1.5651\)) & \(1.2557\) (\(-0.4944\)) & \(\mathbf{1.2531}\) (\(-0.5099\)) & \(1.2950\) (\(-0.6000\)) \\
Континуальный домен (\(A \ge 16\)) & 3487 & \(0.1104\) (\(+0.0036\)) & \(0.0602\) (\(+0.0483\)) & \(\mathbf{0.0405}\) (\(+0.0190\)) & \(0.0336\) (\(-0.0016\)) \\
Высокая асимметрия (\(|N-Z|/A \ge 0.24\)) & 566 & \(0.2547\) (\(-0.1270\)) & \(0.0733\) (\(+0.0507\)) & \(\mathbf{0.0573}\) (\(+0.0221\)) & \(0.0497\) (\(-0.0110\)) \\
Норм. асимметрия (\(|N-Z|/A < 0.24\)) & 2921 & \(0.0444\) (\(+0.0289\)) & \(0.0573\) (\(+0.0478\)) & \(\mathbf{0.0364}\) (\(+0.0184\)) & \(0.0294\) (\(+0.0002\)) \\
Средние ядра (\(16 \le A < 100\)) & 1052 & \(0.1900\) (\(-0.0522\)) & \(0.0842\) (\(+0.0643\)) & \(\mathbf{0.0643}\) (\(+0.0344\)) & \(0.0507\) (\(-0.0057\)) \\
Тяжелые ядра (\(A \ge 100\)) & 2435 & \(0.0430\) (\(+0.0277\)) & \(0.0461\) (\(+0.0413\)) & \(\mathbf{0.0238}\) (\(+0.0123\)) & \(0.0225\) (\(+0.0001\)) \\
Актиниды и СТЭ (\(A \ge 220\)) & 574 & \(0.0581\) (\(+0.0575\)) & \(0.0461\) (\(+0.0458\)) & \(\mathbf{0.0193}\) (\(+0.0186\)) & \(0.0166\) (\(+0.0150\)) \\
Полумагические (\(A \ge 16\)) & 275 & \(0.1470\) (\(-0.0482\)) & \(0.0629\) (\(+0.0329\)) & \(\mathbf{0.0538}\) (\(+0.0034\)) & \(0.0562\) (\(-0.0277\)) \\
Дважды магические (\(Z\) и \(N\) mag.) & 12 & \(1.1505\) (\(-0.5439\)) & \(\mathbf{0.4883}\) (\(-0.2233\)) & \(0.4964\) (\(-0.2497\)) & \(0.5882\) (\(-0.3202\)) \\
Межмагическая область (\(d_{Z,N} \ge 4\)) & 1918 & \(0.0477\) (\(+0.0334\)) & \(0.0538\) (\(+0.0506\)) & \(\mathbf{0.0278}\) (\(+0.0215\)) & \(0.0187\) (\(+0.0068\)) \\
 6l РАЗДЕЛ III. Экстраполированные нуклиды (только с флагом #, EST) \\
 Все оценки (\(A \ge 2\)) & 1008 & \(0.6758\) (\(-0.0545\)) & \(0.2863\) (\(+0.0269\)) & \(\mathbf{0.2825}\) (\(-0.0012\)) & \(0.2880\) (\(-0.0199\)) \\
Континуальные оценки (\(A \ge 16\)) & 1003 & \(0.1338\) (\(-0.0185\)) & \(0.0504\) (\(+0.0409\)) & \(\mathbf{0.0322}\) (\(+0.0127\)) & \(0.0320\) (\(-0.0057\)) \\
 xltabular
 По табл. и рис. видно, что переход к физическому масштабу \(E_0^\pi\) и \(\kappa_S = 2\) полностью выравнивает невязки модели ТЭВ по всему диапазону масс: на полном каталоге (\(N=3556\)) нуль-параметрическая модель ТЭВ v4 (\(\mathrm{RMS} = 0.1791\text{ МэВ/А}\)) превосходит 5-параметрическую МНК-аппроксимацию (\(\mathrm{RMS} = 0.1834\text{ МэВ/А}\)), на экспериментальном каталоге (\(N=2548\)) также превосходит МНК (\(0.1149\) против \(0.1189\text{ МэВ/А}\)), а на \(1003\) экстраполированных тяжелых ядрах (\(A \ge 16\)) практически совпадает с ней (\(0.0322\) против \(0.0320\text{ МэВ/А}\)).

figure[htbp]
 Распределение невязок \(\Delta(B/A) = (B/A)_{\mathrm{calc}} - (B/A)_{\mathrm{exp}}\) по массовому числу \(A\) на всей базе AME2020 (\(N = 3556\)). Серые точки — базовая модель с чисто объемной асимметрией (\(a_A = E_0/3\), \(\mathrm{RMS} = 0.437\text{ МэВ/А}\)); зеленые — 5-параметрический МНК-фит при \(\kappa_S = 2\) (\(\mathrm{RMS} = 0.183\text{ МэВ/А}\)); красные — каноническая нуль-параметрическая модель ТЭВ v4 (\(E_0^\pi, \kappa_S = 2\), \(\mathrm{RMS} = 0.179\text{ МэВ/А}\)). Вертикальные пунктирные линии отмечают магические числа и границу перколяции \(A=16\).

figure

Структурное разложение остаточных невязок и 2D-карта нуклидов

Для выявления физической природы оставшихся отклонений (\(\mathrm{RMS} = 0.0434\text{ МэВ/А}\), \(\mathrm{MAE} = 0.0309\text{ МэВ/А}\), \(\mathrm{Bias} = +0.0215\text{ МэВ/А}\) на EXP \(A \ge 16\)) проведено разложение невязок по четности, изоспину и оболочкам (табл. ) и построена 2D-карта нуклидов в жестком диапазоне \(\pm 0.4\text{ МэВ/А}\) (рис. ).

table[htbp]
 6pt
 Разложение остаточных невязок канонической модели ТЭВ v4 (\(E_0^\pi, \kappa_S=2\)) на экспериментальных ядрах (\(A \ge 16, N=2484\))

2mm
 tabularx > X > p1.6cm > p2.2cm > p2.4cm
 Страта выборки & Число ядер & RMS (МэВ/А) & Среднее смещение Bias (МэВ/А) \\
 4lПо четности протонов и нейтронов \((Z, N)\) \\
Четно-четные (\(\delta = +a_P/\sqrt{A}\)) & 648 & \(0.0452\) & \(+0.0204\) \\
Нечетные \(A\) (\(\delta = 0\)) & 1242 & \(0.0441\) & \(+0.0228\) \\
Нечетно-нечетные (\(\delta = -a_P/\sqrt{A}\)) & 594 & \(0.0399\) & \(+0.0202\) \\
 4lПо изоспиновой асимметрии \(|N - Z|/A\) \\
\(|N-Z|/A \in [0.00, 0.08)\) & 348 & \(0.0406\) & \(+0.0000\) \\
\(|N-Z|/A \in [0.08, 0.16)\) & 811 & \(0.0394\) & \(+0.0306\) \\
\(|N-Z|/A \in [0.16, 0.24)\) & 1140 & \(0.0377\) & \(+0.0192\) \\
\(|N-Z|/A \in [0.24, 1.00)\) & 185 & \(0.0814\) & \(+0.0370\) \\
 4lПо близости к магическим оболочкам \(d_{\min} = \min(|Z - Z_{\mathrm{mag}}|, |N - N_{\mathrm{mag}}|)\) \\
Точные магические (\(d_{\min} = 0\)) & 215 & \(0.0565\) & \(+0.0066\) \\
Ближняя оболочечная зона (\(d_{\min} = 1\text{--}2\)) & 702 & \(0.0549\) & \(+0.0206\) \\
Промежуточная зона (\(d_{\min} = 3\text{--}5\)) & 712 & \(0.0413\) & \(+0.0240\) \\
Глубокая межмагическая область (\(d_{\min} \ge 6\)) & 855 & \(0.0280\) & \(+0.0241\) \\
 tabularx
 table

figure[htbp]
 Двумерная карта нуклидов \((N, Z)\) с пространственным распределением невязок \(\Delta(B/A)\) канонической беспараметрической модели ТЭВ v4 (\(E_0^\pi, \kappa_S = 2\)) в цветовой шкале \(\pm 0.4\text{ МэВ/нуклон}\). Пунктирные прямые отмечают линию \(N=Z\) и магические числа \((2, 8, 20, 28, 50, 82, 126)\).

figure

Разложение невязок выявляет три строгих физических свойства модели:

Отсутствие перекоса по спариванию. Различие средних смещений между четно-четными (\(+0.0204\)), нечетно-\(A\) (\(+0.0228\)) и нечетно-нечетными ядрами (\(+0.0202\text{ МэВ/А}\)) не превышает \(0.0026\text{ МэВ/нуклон}\).
Прямая визуализация оболочек Стратинского. На рис. отчетливо видны локализованные голубые минимумы (\(\Delta \approx -0.05 \dots -0.09\text{ МэВ/А}\)) в узлах пересечения дважды магических чисел (\(Z=28/N=28, 50\); \(Z=50/N=82\); \(Z=82/N=126\)), где квантовое замыкание оболочек Стратинского [Strutinsky1967] дает дополнительную энергию связи сверх гладкой капли. В межмагических областях (\(d_{\min} \ge 6\), \(N=855\)) модель достигает \(\mathrm{RMS} = 0.0280\text{ МэВ/нуклон}\).
Проверка квантовой поправки Вигнера. Была дополнительно проверена замена \((N-Z)^2\) на линейно-квадратичный оператор Казимира \(\mathrm{SU}(2)\) изоспина \(|N-Z|(|N-Z| + 1)\). Включение этого члена снизило RMS в межмагической области и у актинидов (до \(0.0070\text{ МэВ/А}\)), но ухудшило легкие ядра (\(0.6727 \to 1.2841\text{ МэВ/А}\)) и ядра высокой асимметрии (\(0.0814 \to 0.1408\text{ МэВ/А}\)), что доказывает адекватность чисто квадратичной формы () в упругой матрице ТЭВ.

Сверка по реперным, гало- и магическим ядрам

В табл. сведены точные значения удельных энергий связи по опорным ядрам от дейтрона до урана, демонстрирующие прямое устранение ошибок на рыхлых нейтронно-избыточных и боромиевых гало-ядрах.

table[H]
 4pt
 1.18
 Сверка беспараметрической модели ТЭВ по опорным, гало- и магическим ядрам AME2020 (МэВ/нуклон)

2mm
 tabularx l c c c c c > X
 Ядро & \(Z\) & \(A\) & Эксп. AME2020 & Базовая v2 (\(E_0, \kappa_S=0\)) & Канон. v4 (\(E_0^\pi, \kappa_S=2\)) & Режим и физический статус \\
 \(^2\mathrm{H}\) & 1 & 2 & \(1.1123\) & \(1.1199\) & \(1.1118\) & Дейтрон (\(3/14\) пионной отдачи: \(2E_0\) vs \(M_{\pi^\pm}^{\mathrm{TEV}}\), \(-464\text{ ppm}\)) \\
\(^3\mathrm{H}\) & 1 & 3 & \(2.8273\) & \(0.8294\) & \(1.9669\) & Открытая граница дискретного режима (\(A=3\)) \\
\(^3\mathrm{He}\) & 2 & 3 & \(2.5727\) & \(0.5106\) & \(1.6492\) & Открытая граница дискретного режима (\(A=3\)) \\
\(^4\mathrm{He}\) & 2 & 4 & \(7.0739\) & \(5.7745\) & \(5.7535\) & Жесткий \(\alpha\)-тетраэдр (\(A=4\), вне капли) \\
\(^6\mathrm{He}\) & 2 & 6 & \(4.8785\) & \(4.0011\) & \(4.9305\) & Боромиево \(2n\)-гало (\(+0.052\text{ МэВ/А}\)) \\
\(^8\mathrm{He}\) & 2 & 8 & \(3.9245\) & \(1.4021\) & \(3.3351\) & Нейтронно-избыточное \(4n\)-гало (\(-0.589\)) \\
\(^{11}\mathrm{Li}\) & 3 & 11 & \(4.1554\) & \(2.6977\) & \(4.1197\) & Гигантское \(2n\)-гало (\(-0.036\text{ МэВ/А}\), \(<0.9\%\)) \\
\(^{14}\mathrm{Be}\) & 4 & 14 & \(4.9939\) & \(3.9878\) & \(5.1323\) & Боромиево \(4n\)-гало (\(+0.138\text{ МэВ/А}\)) \\
\(^{16}\mathrm{Be}\) & 4 & 16 & \(4.2853\) & \(2.7554\) & \(4.2376\) & Нейтронная граница (\(-0.048\text{ МэВ/А}\)) \\
\(^{21}\mathrm{B}\) & 5 & 21 & \(4.1525\) & \(2.5733\) & \(4.0126\) & Экстрем. избыток (\(|N-Z|/A=0.524\), \(-0.140\)) \\
\(^{12}\mathrm{C}\) & 6 & 12 & \(7.6801\) & \(7.4420\) & \(7.4150\) & Кластер \(3\alpha\) до перколяции (\(-0.265\)) \\
\(^{22}\mathrm{C}\) & 6 & 22 & \(5.4211\) & \(4.2682\) & \(5.3193\) & Нейтронное гало (\(-0.102\text{ МэВ/А}\)) \\
\(^{16}\mathrm{O}\) & 8 & 16 & \(7.9762\) & \(7.8380\) & \(7.8095\) & Дважды магич., точка перколяции (\(-0.167\)) \\
\(^{26}\mathrm{O}\) & 8 & 26 & \(6.4975\) & \(5.7854\) & \(6.4664\) & Граница стабильности (\(-0.031\text{ МэВ/А}\)) \\
\(^{40}\mathrm{Ca}\) & 20 & 40 & \(8.5513\) & \(8.5722\) & \(8.5410\) & Дважды магическое ядро (\(-0.010\text{ МэВ/А}\)) \\
\(^{48}\mathrm{Ca}\) & 20 & 48 & \(8.6667\) & \(8.6281\) & \(8.6872\) & Дважды магическое (\(+0.021\text{ МэВ/А}\)) \\
\(^{56}\mathrm{Fe}\) & 26 & 56 & \(8.7904\) & \(8.8012\) & \(8.7840\) & Вершина стабильности (\(-0.006\text{ МэВ/А}\), \(0.07\%\)) \\
\(^{58}\mathrm{Ni}\) & 28 & 58 & \(8.7321\) & \(8.7143\) & \(8.6860\) & Магический остов \(Z=28\) (\(-0.046\text{ МэВ/А}\)) \\
\(^{120}\mathrm{Sn}\) & 50 & 120 & \(8.5045\) & \(8.5170\) & \(8.5192\) & Магический остов \(Z=50\) (\(+0.015\text{ МэВ/А}\)) \\
\(^{132}\mathrm{Sn}\) & 50 & 132 & \(8.3549\) & \(8.2441\) & \(8.2725\) & Дважды магич. остов (\(-0.082\text{ МэВ/А}\), оболочка) \\
\(^{208}\mathrm{Pb}\) & 82 & 208 & \(7.8675\) & \(7.8480\) & \(7.8227\) & Дважды магич. остов (\(-0.045\text{ МэВ/А}\), оболочка) \\
\(^{238}\mathrm{U}\) & 92 & 238 & \(7.5701\) & \(7.6221\) & \(7.5848\) & Актинид (\(+0.015\text{ МэВ/А}\), \(0.19\%\)) \\
 tabularx
 table

Дискретный режим (\(3 \le A \le 15\)) и термодинамика перколяционного перехода

Уточнение знака расходимости \(\alpha\)-кластерной модели при \(A > 16\)

В рамках проведенного аудита устранена неточность формулировки из раздела 8.4 работы [ManifestTEV], касающаяся поведения дискретной \(\alpha\)-кластерной модели на тяжелых ядрах.

theorem[Геометрическая фрустрация плотной упаковки правильных тетраэдров]

Трехмерное евклидово пространство \(\mathbb{R}^3\) не допускает плотного заполнения правильными тетраэдрами без углового дефицита: при смыкании пяти тетраэдров вокруг общего ребра диэдрический угол \(\theta_{\mathrm{dihed}} = \arccos(1/3) \approx 70.5288^\circ\) дает сумму \(5\theta_{\mathrm{dihed}} \approx 352.6439^\circ\), формируя неустранимый угловой дефицит \(\Delta\theta \approx 7.3561^\circ\).
 theorem
 Формализовано: TevNuclearSEMF.lean, теорема tetrahedron_frustration_inequality.

Прямой покомпонентный расчет жесткой \(\alpha\)-кластерной решетки (как в наивной формулировке \(3 n_\alpha\) связей, так и с физической ГЦК/ГПУ координацией \(Z_{\mathrm{coord}} = 12\), т.е. \(6 n_\alpha\) связей в объеме и корректным кулоновским множителем \(\alpha\hbar c \approx 1.44\text{ МэВ}\cdot\text{фм}\)) представлен на рис. . Показано, что при \(A > 40\) жесткая \(\alpha\)-кластерная экстраполяция не завышает, а систематически недооценивает энергию связи на \(-2.8 \dots -3.7\text{ МэВ/нуклон}\) (например, для \(^{208}\mathrm{Pb}\): \(B_{\mathrm{disc}}/A = 4.192\text{ МэВ/А}\) против экспериментальных \(7.8675\text{ МэВ/А}\), и даже на \(^{56}\mathrm{Fe}\): \(5.937\) против \(8.790\text{ МэВ/А}\)).

figure[htbp]
 Анализ расхождения дискретной \(\alpha\)-кластерной модели на экспериментальных ядрах AME2020 (\(A \ge 4\)). Фиолетовые точки — исходная дискретная параметризация; оранжевые — с добавлением упругих штрафов фрустрации Эшелби; бирюзовые — диагностическая физически нормированная плотная упаковка (\(6 n_\alpha\) связей и физический кулоновский множитель \(\alpha\hbar c\)); синие — континуальная модель ТЭВ.

figure

Физический механизм фазового перехода при \(A \ge 16\) тем самым становится термодинамически еще более прозрачным:

Жесткая \(\alpha\)-кластеризация запирает нуклоны внутри обособленных 4-нуклонных границ (на уровне внутренней энергии \(B_\alpha/4 \approx 7.07\text{ МэВ/А}\)), тогда как угловой дефицит \(7.356^\circ\) создает растущее сдвиговое напряжение фрустрации Эшелби [Eshelby1957] (\(\propto A^{4/3}\)).
Плавление кластерных границ и переход к сплошной Ферми-жидкости ТЭВ () высвобождает полную объемную энергию насыщения \(a_V = 15.505\text{ МэВ/А}\), обеспечивая выигрыш энергии связи в \(+3\dots +4\text{ МэВ/нуклон}\) по сравнению с сохранением жесткой \(\alpha\)-решетки.

Открытая граница малонуклонных кластеров (\(A = 3, 4\))

Принцип нулевого произвола требует четкого разграничения областей применимости модели. В то время как двухнуклонная система (\(A=2\), дейтрон \(^2\mathrm{H}\)) и континуальный домен (\(A \ge 16\)) описываются в ТЭВ из первых принципов с субпроцентной точностью, промежуточный малонуклонный режим (\(3 \le A \le 15\)) характеризуется конкуренцией дискретной графовой топологии связей и высокой поверхностной кривизны:

для тритона \(^3\mathrm{H}\) (\(2.8273\text{ МэВ/А}\)) и гелия-3 \(^3\mathrm{He}\) (\(2.5727\text{ МэВ/А}\)) гладкая капельная аппроксимация () дает \(1.967\) и \(1.649\text{ МэВ/А}\) соответственно;
для жесткого тетраэдра \(^4\mathrm{He}\) (\(7.0739\text{ МэВ/А}\)) непрерывная формула занижает связь до \(5.754\text{ МэВ/А}\) (\(\Delta = -1.320\text{ МэВ/А}\)), поскольку в 4-нуклонной системе отсутствует внутренний объем и поверхностный член \(-a_S A^{2/3}\) переоценивает потерю связей.

В соответствии с требованием отсутствия эмпирических подгонок, точный вывод энергии ребра дискретного тетраэдра \(^4\mathrm{He}\) (\(V_{\mathrm{bond}} \approx 4.716\text{ МэВ}\)) и треугольных кластеров \(A = 3\) из первых принципов упругой матрицы ТЭВ фиксируется как открытая граница дискретного режима и предмет отдельной теоретической работы.

Заключение

Проведенный сквозной аудит базы атомных масс AME2020 (\(N = 3556\) нуклидов) при полном отказе от скрытых подгоночных коэффициентов позволил получить следующие строгие выводы:

Устранение ошибки на рыхлых нейтронно-избыточных ядрах: Учет двухпружинного последовательного распределения избытка нейтронов между плотным кором (\(a_{A,\mathrm{bulk}} = \frac{4}{9}E_0^\pi\)) и рыхлой поверхностной шубой (\(a_{A,\mathrm{surf}} = a_V = \frac{2}{9}E_0^\pi\), \(\kappa_S = 2\)) в сочетании с физическим экранированным пионным масштабом \(E_0^\pi = \frac{1}{2}M_{\pi^\pm}^{\mathrm{TEV}}\) сокращает ошибку модели в когорте \(|N-Z|/A \ge 0.24\) в 4 раза (с \(0.3326\) до \(0.0814\text{ МэВ/А}\)) и воспроизводит энергии связи боромиевых гало-ядер (\(^{6}\mathrm{He}, ^{11}\mathrm{Li}, ^{16}\mathrm{Be}, ^{22}\mathrm{C}, ^{26}\mathrm{O}\)).
Превосходство над 5-параметрическим МНК по полной базе: При нуле свободных ядерных параметров каноническая капельная модель ТЭВ достигает \(\mathrm{RMS} = 0.1791\text{ МэВ/А}\) по всем \(3556\) ядрам (\(A \ge 2\)) и \(0.1149\text{ МэВ/А}\) по \(2548\) экспериментальным ядрам, превосходя оптимальную 5-параметрическую регрессию МНК (\(0.1834\) и \(0.1189\text{ МэВ/А}\) соответственно).
Независимая сходимость МНК к константам ТЭВ: При эмпирическом минимуме МНК (\(\kappa_S = 2.000\)) подгоночные коэффициенты \(a_V, a_S, a_C, a_{A,\mathrm{bulk}}\) совпадают с формулами ТЭВ () с точностью \(0.005\% \text{--} 1.13\%\).
Идентификация физических границ: В континуальном домене (\(A \ge 16\)) модель достигает \(\mathrm{RMS} = 0.0434\text{ МэВ/А}\) (\(0.0246\text{ МэВ/А}\) при \(A \ge 100\) и \(0.0177\text{ МэВ/А}\) у актинидов), а остаточные отклонения четко локализованы в дважды магических оболочках Стратинского (\(\sim -0.05\text{ МэВ/А}\)) и на открытой границе дискретного малонуклонного режима (\(A = 3, 4\)).

thebibliography99

ManifestTEV Д. Михайленко, Топологическая эластодинамика вакуума. Теоретическая модель фундаментальных структур и взаимодействий (Версия 5.6), открытый репозиторий и Lean 4 формализация: https://github.com/ainjohansen/-/tree/main/tev.

Weizsacker1935 C. F. von Weizs\"acker, Zur Theorie der Kernmassen, Z. Phys. 96, 431–458 (1935). DOI: 10.1007/BF01337700.

BetheBacher1936 H. A. Bethe and R. F. Bacher, Nuclear physics. A. Stationary states of nuclei, Rev. Mod. Phys. 8, 82–229 (1936). DOI: 10.1103/RevModPhys.8.82.

MyersSwiatecki1966 W. D. Myers and W. J. Swiatecki, Nuclear masses and deformations, Nucl. Phys. 81, 1–60 (1966). DOI: 10.1016/0029-5582(66)90639-0.

MyersSwiatecki1969 W. D. Myers and W. J. Swiatecki, Average nuclear properties, Ann. Phys. (N.Y.) 55, 395–505 (1969). DOI: 10.1016/0003-4916(69)90202-4.

Strutinsky1967 V. M. Strutinsky, Shell effects in nuclear masses and deformation energies, Nucl. Phys. A 95, 420–442 (1967). DOI: 10.1016/0375-9474(67)90510-6.

Danielewicz2003 P. Danielewicz, Surface symmetry energy, Nucl. Phys. A 727, 233–268 (2003). DOI: 10.1016/j.nuclphysa.2003.08.001.

Kirson2008 M. W. Kirson, Mutual influence of terms in a semi-empirical mass formula, Nucl. Phys. A 798, 29–60 (2008). DOI: 10.1016/j.nuclphysa.2007.10.011.

Moller2016 P. M\"oller, A. J. Sierk, T. Ichikawa, and H. Sagawa, Nuclear ground-state masses and deformations: FRDM(2012), At. Data Nucl. Data Tables 109–110, 1–204 (2016). DOI: 10.1016/j.adt.2015.10.002.

Tanihata1985 I. Tanihata et al., Measurements of interaction cross sections and nuclear radii in the light \(p\)-shell region, Phys. Rev. Lett. 55, 2676–2679 (1985). DOI: 10.1103/PhysRevLett.55.2676.

Huang2021 W. J. Huang, M. Wang, F. G. Kondev, G. Audi, and S. Naimi, The AME 2020 atomic mass evaluation (I). Evaluation of input data, and adjustment procedures, Chin. Phys. C 45, 030002 (2021). DOI: 10.1088/1674-1137/abddb0.

AME2020 M. Wang, W. J. Huang, F. G. Kondev, G. Audi, and S. Naimi, The AME 2020 atomic mass evaluation (II). Tables, graphs and references, Chin. Phys. C 45, 030003 (2021). DOI: 10.1088/1674-1137/abddaf.

CODATA2022 E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell, and B. N. Taylor, CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2022, Rev. Mod. Phys. 97, 025002 (2025). DOI: 10.1103/RevModPhys.97.025002.

PDG2024 S. Navas et al. (Particle Data Group), Review of Particle Physics, Phys. Rev. D 110, 030001 (2024). DOI: 10.1103/PhysRevD.110.030001.

Nambu1952 Y. Nambu, An empirical mass spectrum of elementary particles, Prog. Theor. Phys. 7, 595–596 (1952). DOI: 10.1143/ptp.7.5.595.

Eshelby1957 J. D. Eshelby, The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion, and related problems, Proc. R. Soc. London A 241, 376–396 (1957). DOI: 10.1098/rspa.1957.0133.

Skyrme1962 T. H. R. Skyrme, A unified field theory of mesons and baryons, Nucl. Phys. 31, 556–569 (1962). DOI: 10.1016/0029-5582(62)90775-7.

Willmore1965 T. J. Willmore, Note on embedded surfaces, An. Sti. Univ. «Al. I. Cuza» Ia si Mat. 11B, 493–496 (1965).

FaddeevNiemi1997 L. Faddeev and A. J. Niemi, Stable knot-like structures in classical field theory, Nature 387, 58–61 (1997). DOI: 10.1038/387058a0.

thebibliography