# Фракталы в специальной теории относительности

В статье используются фрактальные функции для получения общего уравнения релятивистского движения частицы в инерциальной системе отсчета. В общем случае релятивистские выражения для закона движения, импульса, энергии, силы описываются фрактальными функциями. Показано, что релятивистское замедление времени и сокращение размеров при движении является следствием изменения характера взаимодействия элементов структуры движущегося тела. В то же время изменение расстояний и скорости хода координатных часов при переходе в другую систему отсчета возникает из-за различия эталонов длины и времени в этих системах отсчета. Применение фракталов в специальной теории относительности и полученные при этом результаты являются полностью оригинальными.

| Поле | Значение |
|---|---|
| Автор | Гладкий Владимир Николаевич |
| Организация | Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники |
| Раздел | Физика |
| Опубликовано | 27.08.2026 |
| Идентификатор | AX-135911 |
| Лицензия | CC BY 4.0 |
| Ключевые слова | специальная теория относительности, фрактал, общее уравнение релятивистского движения, релятивистские эффекты. |

Полный текст (PDF): https://arxivorg.ru/upload/iblock/7a8/s6lrszjaxtqzec7793qyvn13yevgwnlx/%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8B%20%D0%B2%20%D0%A1%D0%A2%D0%9E.pdf
Источник (HTML): https://arxivorg.ru/physics/fraktaly-v-spetsialnoy-teorii-otnositelnosti/
Архив: арХиворг.ру — открытый архив научных препринтов на русском языке.

## Полный текст

ФРАКТАЛЫ В СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
 В. Н. Гладкий (email: vgladkiy58@gmail.com ; МТС +375 29 859 23 39)

abstract
В статье используются фрактальные функции для получения общего уравнения релятивистского движения частицы в инерциальной системе отсчета. В общем случае релятивистские выражения для закона движения, импульса, энергии, силы описываются фрактальными функциями. Показано, что релятивистское замедление времени и сокращение размеров при движении является следствием изменения характера взаимодействия элементов структуры движущегося тела. В то же время изменение расстояний и скорости хода координатных часов при переходе в другую систему отсчета возникает из-за различия эталонов длины и времени в этих системах отсчета. Применение фракталов в специальной теории относительности и полученные при этом результаты являются полностью оригинальными. 
 abstract

Введение

Если мы имеем математическое описание движения точки (частицы) в инерциальной системе отсчета (ИСО), то, применив преобразования Лоренца, мы можем получить соответствующий закон движения частицы в другой ИСО. Однако в общем случае такая задача решается только численными методами. Точного математического выражения закона движения частицы не получено. В статье данная задача решается с помощью фрактальных функций.
 В статье используется релятивистская система единиц (релятивистское время), когда скорость света \(c=1\) , и векторная форма преобразований Лоренца
\[\label{f1.1}
 t'(t)=\gamma_v[t-\mathbf{v\negmedspace\cdot\! r}(t)]\enskip \quad,\quad \textrm{где} \quad 
 \gamma_v=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2}}\enskip,\enskip\]
\[\label{f1.2}
 \mathbf{r}'(t)=\mathbf{r}(t)-\gamma_v\mathbf{v}t+\Gamma_v\mathbf{v}[\mathbf{v\negmedspace\cdot\! r}(t)]\enskip \quad,\quad \textrm{где} \quad 
 \Gamma_v=\dfrac{\gamma_v-1}{v^2}=\dfrac{\gamma_v^2}{\gamma_v+1} \\]
Фрактальные функции записываются в виде \ \(\underline{\varphi} =\underline{f+g(\:)}\) \ , где ( ) – пустые скобки обозначают место, в которое циклически подставляется все подчеркнутое выражение. В скобках, в общем случае, записывается аргумент функции g либо, в частном случае, сомножитель для g .
Так фрактальная функция, развернутая на три шага имеет вид \ \(\underline{\varphi}=f+g(f+g(f+g(\underline{f+g(\:)})))\) . Подчеркивание функции \ \(\underline{\varphi}\) \ либо любой другой функции \ \(\underline{F}\) \ аргументом которой является \ \(\underline{\varphi}\) \ указывает на то, что это не обычная, а фрактальная функция. Подчеркивание может не применяться, если и так ясно, что записана фрактальная функция. Простейшими примерами фрактальных функций являются следующие: \(\varphi_1 =\underline{a+b\!\cdot\negmedspace(\:)}\) \ и \ \(\varphi_2 =\underline{a+b\!\cdot\negmedspace(\:)+c\!\cdot\negmedspace(\:)}\) . Их суммы равны
\[\varphi_1=\dfrac{a}{1-b} \quad,\quad \textrm{при} \quad |b|<1 \quad,\quad \varphi_2=\dfrac{a}{1-b-c} \quad,\quad \textrm{при} \quad |b+c|<1\]

Релятивистское равномерное движение

Пусть система отсчета S движется относительно системы S с постоянной скоростью v . Уравнение движения частицы в системе S \ \(\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\textbf{u}_0t\) . Закон движения частицы в системе S 
\[\label{f2.1}
 \mathbf{r}'=\mathbf{r}_0+\dfrac{\gamma_v\mathbf{u}_0-\Gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v(1-\mathbf{v\negmedspace\cdot\negmedspace u}_0)}(\mathbf{v\negmedspace\cdot\! r}_0)+\dfrac{\mathbf{u}_0-\gamma_v\mathbf{v}+\Gamma_v\mathbf{v}(\mathbf{v\negmedspace\cdot\negmedspace u}_0)}{\gamma_v(1-\mathbf{v\negmedspace\cdot\negmedspace u}_0)} t'\]
Правильность решения проверяется подстановкой в прямого преобразования времени , в результате чего получаем уравнение прямого преобразования координат .\\
Введем обозначение
\[\mathbf{r}'_0=\mathbf{r}_0+\dfrac{\gamma_v\mathbf{u}_0-\Gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v(1-\mathbf{v\negmedspace\cdot\negmedspace u}_0)}(\mathbf{v\negmedspace\cdot\! r}_0)\quad,\quad \mathbf{u}'_0=\dfrac{\mathbf{u}_0-\gamma_v\mathbf{v}+\Gamma_v\mathbf{v}(\mathbf{v\negmedspace\cdot\negmedspace u}_0)}{\gamma_v(1-\mathbf{v\negmedspace\cdot\negmedspace u}_0)}\]
тогда уравнение движения частицы с величинами из системы S принимает вид \ \(\mathbf{r}'=\mathbf{r}'_0+\mathbf{u}'_0 t'\) .\\
Введем следующие определения. Уравнение называется переходной формой закона движения частицы в системе S . Стандартный вид закона движения частицы должен включать начальное местоположение и начальную скорость из системы, в которой описывается движение частицы.

Общий случай релятивистского движения

Уравнение релятивистского движения без начальной скорости

В начальный момент времени точка находится в собственной системе отсчета \(\mathbf{u}_0=0\) . Скорость и ускорение частицы в системе S
\[\mathbf{u}_f=\dfrac{\mathbf{u}_w}{\sqrt{1+u_w^2}} \quad,\quad 
 \mathbf{a}_f=\dfrac{\dot{\mathbf{u}}_w}{\left( 1+u_w^2\right) ^{3/2}} \quad,\quad \textrm{где}\quad \mathbf{u}_w=\dfrac{1}{M}\int \mathbf{F}\,dt\]
Уравнение движения
\[\label{f3.1}
 \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\int\mathbf{u}_f\, dt=\mathbf{r}_0+\mathbf{r}\!_f(t) \quad,\quad \textrm{где}\quad \mathbf{r}_0=const \quad,\quad \mathbf{r}\!_f=r\!_f(t)\,\mathbf{n}\]
Найдем закон движения частицы в системе S , движущейся со скоростью v относительно системы S. Решением преобразований Лоренца является уравнение
\[\label{f3.2}
 \mathbf{r}'=\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\! r}_0)-\mathbf{v}t'+\left[\mathbf{n}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n})\right] R_f\negthickspace\left( \dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right)\]
\[\textrm{где}\enskip \underline{\varphi}'=\underline{\mathbf{v\negmedspace \cdot\! r}_0+\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace R}_f\negthickspace\left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+(\:)\right)} \enskip,\enskip 
 \mathbf{R}_f\negthickspace\left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+(\:)\right) - \textrm{функция $\mathbf{r}\!_f(t)$ с новым аргументом. }\]
Решение проверяется подстановкой в него прямого преобразования времени . В результате получаем прямое преобразование координат .

Аналогично функции \(\underline{\mathbf{R}}_f\) введем фрактальные величины \(\underline{\mathbf{U}}_w\) , \(\underline{\mathbf{U}}_f\) , \(\underline{\mathbf{A}}_f\) , получаемые из скоростей \(\mathbf{u}_w~, \mathbf{u}_f\) и ускорения \(\mathbf{a}_f\) путем замены аргумента.
Продифференцируем по времени выражение и найдем скорость и ускорение частицы
\[\mathbf{u}'=\dfrac{\gamma_v\underline{\mathbf{U}}_f-\Gamma_v\mathbf{v}\!\left( \mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{U}}_f\right) }{\gamma_v^2\left(1-\mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{U}}_f \right) }-\mathbf{v}\quad,\quad \left( u'\right) ^2=1-\dfrac{\left(1-v^2 \right)\left(1-\underline{U}_f^2 \right) }{\left(1-\mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{U}}_f \right)} <1\]
\[\mathbf{a}'=\dfrac{\gamma_v\underline{\mathbf{U}}_f-\Gamma_v\mathbf{v} }{\gamma_v^3\left(1-\mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{U}}_f \right)^3 } \left( \mathbf{v}\negmedspace \cdot\negthickspace\underline{\mathbf{A}}_f\right)+\dfrac{\underline{\mathbf{A}}_f }{\gamma_v^2\left(1-\mathbf{v}\negmedspace \cdot\negthickspace\underline{\mathbf{A}}_f \right)^2 }\]
В случае, когда \(\left[\mathbf{v}\!\times\!\underline{\mathbf{R}}_f\right] =0\) выражение принимает вид
\[\label{f3.3}
 \mathbf{r}'=\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\! r}_0)-\mathbf{v}t'+\dfrac{1}{\gamma_v} \mathbf{R}_f\negthickspace\left( \dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right)\]
а когда \((\mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{R}}_f)=0\) , то следующий
\[\label{f3.4}
 \mathbf{r}'=\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\! r}_0)-\mathbf{v}t'+ \mathbf{R}_f\negthickspace\left( \dfrac{t'}{\gamma_v}+\mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0\right)\]
От векторной формы записи закона движения можно перейти к координатной. При этом наиболее математически простые выражения получаются при переходе в прямолинейную косоугольную систему координат с ортами \ \(\mathbf{e}_1 , \mathbf{e}_2 , \mathbf{e}_3\) \ косинусы углов между которыми равны
\[\cos\left( \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\right)=-\gamma_{v_x} \gamma_{v_y} v_x v_y \quad,\quad \cos\left( \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_3\right)=-\gamma_{v_x} \gamma_{v_z} v_x v_z \quad,\quad \cos\left( \mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\right)=-\gamma_{v_y} \gamma_{v_z} v_y v_z\]
\[\textrm{где}\quad \gamma_{v_x}=\dfrac{1}{\sqrt{1-v_x^2}} \quad,\quad\gamma_{v_y}=\dfrac{1}{\sqrt{1-v_y^2}} \quad,\quad\gamma_{v_z}=\dfrac{1}{\sqrt{1-v_z^2}}\]
Матрица М1 задает переход от декартовых координат уравнения к контравариантным координатам уравнения 
\[\label{f3.5}
 M1=\left(
 \begin{array}{ccc}
 \dfrac{\gamma_v}{\gamma_{v_x}}-\dfrac{\gamma_v^2\left(v_y^2+v_z^2 \right) }{\gamma_{v_x}\left(\gamma_v+1 \right) } & 
 \dfrac{\gamma_v^2 v_x v_y }{\gamma_{v_x}\left(\gamma_v+1 \right) } &
 \dfrac{\gamma_v^2 v_x v_z }{\gamma_{v_x}\left(\gamma_v+1 \right) } \\ [1.5em] 
 \dfrac{\gamma_v^2 v_x v_y }{\gamma_{v_y}\left(\gamma_v+1 \right) } &
 \dfrac{\gamma_v}{\gamma_{v_y}}-\dfrac{\gamma_v^2 \left(v_x^2+v_z^2 \right) }{\gamma_{v_y}\left(\gamma_v+1 \right) } & 
 \dfrac{\gamma_v^2 v_y v_z }{\gamma_{v_y}\left(\gamma_v+1 \right) } \\
 [1.5em]
 \dfrac{\gamma_v^2 v_x v_z }{\gamma_{v_z}\left(\gamma_v+1 \right) } &
 \dfrac{\gamma_v^2 v_y v_z }{\gamma_{v_z}\left(\gamma_v+1 \right) } &
 \dfrac{\gamma_v}{\gamma_{v_z}}-\dfrac{\gamma_v^2\left(v_x^2+v_y^2 \right) }{\gamma_{v_z}\left(\gamma_v+1 \right) } 
 \end{array}
 \right)\]
 \[\label{f3.6}
 \begin{array}{rcl}
 \mathbf{r}'&=&\left[x_0-\gamma_v v_x t'+R_{f_x}\! \left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right)\right]\dfrac{\mathbf{e}_1}{\gamma_{v_x}}+ \left[y_0-\gamma_v v_y t'+R_{f_y}\! \left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right)\right]\dfrac{\mathbf{e}_2}{\gamma_{v_y}}+\\ [1.5em]
 &&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {}+\left[z_0-\gamma_v v_z t'+R_{f_z}\! \left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right)\right]\dfrac{\mathbf{e}_3}{\gamma_{v_z}}
 \end{array}\] 
Матрица М2 задает переход от декартовых координат уравнения к ковариантным координатам уравнения 
\[\label{f3.7}
 M2=-\dfrac{1}{\gamma_v+1}\left( 
 \begin{array}{ccc}
 \gamma_{v_x}\!\gamma_v v_x^2-\gamma_{v_x}\!\left(1+\gamma_v \right) &\gamma_{v_x}\! \gamma_v v_x v_y&\gamma_{v_x}\! \gamma_v v_x v_z\\ [0.5em]
 \gamma_{v_y}\! \gamma_v v_x v_y&\gamma_{v_y}\! \gamma_v v_y^2-\gamma_{v_y}\!\left(1+\gamma_v \right)&\gamma_{v_y}\! \gamma_v v_y v_z\\ [0.5em]
 \gamma_{v_z}\! \gamma_v v_x v_z&\gamma_{v_z}\! \gamma_v v_y v_z&\gamma_{v_z}\! \gamma_v v_z^2-\gamma_{v_z}\!\left(1+\gamma_v \right)
 \end{array}
 \right)\]
\[\det M1\cdot\det M2=1 \quad,\quad M1\cdot M2^T=E\]
\[\label{f3.8}
 \begin{array}{rcl}
 \mathbf{r}'&=&\gamma_{v_x}\left[x_0-v_x \mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0-\dfrac{v_x}{\gamma_v}t'+R_{f_x}\negthickspace\left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right)-v_x \mathbf{v} \negmedspace \cdot\!\mathbf{R}_{f_x}\negthickspace\left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right) \right] \mathbf{e}_1 + \\ [1.5em]
 &&+\gamma_{v_y}\left[y_0-v_y \mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0-\dfrac{v_y}{\gamma_v}t'+R_{f_y}\negthickspace\left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right)-v_y \mathbf{v} \negmedspace \cdot\negthickspace\mathbf{R}_{f_y}\negthickspace\left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right) \right] \mathbf{e}_2 + \\ [1.5em]
 &&+\gamma_{v_z}\left[z_0-v_z \mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0-\dfrac{v_z}{\gamma_v}t'+R_{f_z}\negthickspace\left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right)-v_z \mathbf{v} \negmedspace \cdot\negthickspace\mathbf{R}_{f_z}\negthickspace\left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right) \right] \mathbf{e}_3 \\ [1em]
 \end{array}\]
Рассмотрим частный случай закона движения , когда \(\mathbf{r}\!_f=\mathbf{u}_0t\) . Тогда закон движения в системе S в соответствии с формулой принимает вид
\[\mathbf{r}'=\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0)-\mathbf{v}t'+\left[\mathbf{u}_0-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace u}_0)\right] \left(\; \underline{\dfrac{t'}{\gamma_v}+\mathbf{v\negmedspace \cdot\! r}_0+\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace (\:)}\;\right)\]
Суммируя фрактал получим формулу .

Преобразуем переходное уравнение движения к стандартному виду, то есть когда оно будет включать в себя начальное местоположение и начальную скорость из системы S . Так как частица движется в системе S с постоянной скоростью \(\mathbf{u}'_0 = - \mathbf{v}\) , то вторая, переменная, составляющая скорости уже не может быть любой. Ее значение ограничивается величиной и направлением скорости \(\mathbf{u}'_0\) . Следовательно, стандартный вид закона движения частицы не может иметь привычный вид \ 
\(\mathbf{r}'=\mathbf{r}'_0+\mathbf{u}'_0t'+\mathbf{r}'_f(t')\) . Стандартный вид закона движения частицы имеет вид \ \(\mathbf{r}'=\mathbf{r}'_0+\mathbf{u}'_0t'+K\!\left(u'_0 \right) R'_f(t')\,\mathbf{n}'\) . Направление вектора \(\mathbf{R}'_f\) задается ортом \(\mathbf{n}'\) 
\[\label{f3.9}
 \mathbf{n}'=\gamma_{v_n}\!\left[\mathbf{n}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n})\right] \quad,\quad \text{где} \quad \gamma_{v_n}\!=\dfrac{1}{\sqrt{1-(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n})^2 } }\]
Обратное преобразование ортов
\[\label{f3.10}
 \mathbf{n}=\dfrac{\gamma_{u'_{\perp n'}}}{\gamma_{u'}}\left[\mathbf{n}'+\Gamma_{u'}\! \left(\mathbf{u}'_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{n}' \right)\!\mathbf{u}'_0 \right] \quad,\quad \text{где} \quad \gamma_{u'_{\perp n'}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(u'_0 \right)^2 +\left(\mathbf{u}'_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{n}' \right)^2} }\]
С учетом соотношений
\[\underline{r}'_f=\dfrac{\gamma_{u'_{\perp n'}}}{\gamma_{u'}}\underline{R}_f \enskip,\enskip \mathbf{r}'_0=\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0) \enskip,\enskip \mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{R}}_f=-\gamma_{u'_{\perp n'}} \underline{R}_f \mathbf{u}'_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{n}' \enskip,\enskip \mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0=-\gamma_{u'} \mathbf{u}'_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{r}'_0\]
получим стандартную форму релятивистского закона движения частицы (штрихи опускаем) 
\[\label{f3.11}
 \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{u}_0 t+\dfrac{\gamma_{u_{\perp n}}}{\gamma_u}R_f\negthickspace\left(\dfrac{t}{\gamma_u}-\underline{\varphi}\right) \mathbf{n} \quad,\quad \text{где} \quad \underline{\varphi}=\underline{\gamma_u \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{r}_0 + \gamma_{u_{\perp n}} \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{n}\: R_f\negthickspace\left(\dfrac{t}{\gamma_u}-(\:) \right)}\]
где \(R_f (t)\) – функция движения в начально-собственной системе \(\mathit{S}^*\), движущейся со скоростью \(\mathbf{u}_0\) . 
 В случае, когда \ \([\mathbf{u}_0\!\times\!\mathbf{n}] =0\) \ выражение принимает вид
\[\label{f3.12}
 \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{u}_0 t+\dfrac{1}{\gamma_u}\mathbf{R}_f\negthickspace\left(\dfrac{t}{\gamma_u}-\underline{\varphi}\right) \quad,\quad \text{где} \quad \underline{\varphi}=\underline{\gamma_u \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{r}_0 + \mathbf{u}_0 \negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{R}_f\negthickspace \left(\dfrac{t}{\gamma_u}-(\:) \right)} \quad ,\]
а когда \((\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n})=0\) , то следующий
\[\label{f3.13}
 \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{u}_0 t+\mathbf{R}_f\negthickspace\left(\dfrac{t}{\gamma_u}-\gamma_u \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{r}_0\right)\]
В этих двух частных случаях - направление вектора \(\mathbf{R}_f\) совпадает с его направлением в начально-собственной системе отсчета.

Дифференцируя находим стандартный вид скорости и ускорения частицы 
\[\mathbf{u}=\mathbf{u}_0+\dfrac{\gamma_{u_{\perp n}} \underline{U}_f \mathbf{n}}{\gamma_u^2 \left(1+\gamma_{u_{\perp n}}\underline{U}_f \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{n} \right) } \enskip,\enskip u^2=1-\dfrac{\left(1-u_0^2 \right) \left(1-\underline{U}_f^2 \right) }{\left( 1+\gamma_{u_{\perp n}} \underline{U}_f \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{n}\right)^2 } <1 \quad \text{т.к.} \quad |\gamma_{u_{\perp n}} \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{n} |\leq u_0\]
\[\mathbf{a}=\dfrac{\gamma_{u_{\perp n}} \underline{A}_f \mathbf{n}}{\gamma_u^3 \left(1+\gamma_{u_{\perp n}}\underline{U}_f \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{n} \right)^3 } \quad,\qquad\qquad\qquad\qquad\]
где функции \ \(\underline{U}_f , \underline{U}_w , \underline{A}_f\) - имеют аргумент \ \(\left( \dfrac{t}{\gamma_u}-\underline{\varphi}\right)\) .

Уравнение релятивистского движения с начальной скоростью

Для обозначения начальной скорости будем использовать символ \(\mathbf{U}_b\) . Скорость частицы в системе S 
\[\mathbf{u}=\mathbf{u}_f+\mathbf{u}_g \enskip,\enskip \mathbf{u}_f=\dfrac{\mathbf{u}_w}{\sqrt{1+\left(\mathbf{U}_b+\mathbf{u}_w \right)^2 }} \enskip,\enskip \mathbf{u}_g=\dfrac{\mathbf{U}_b}{\sqrt{1+\left(\mathbf{U}_b+\mathbf{u}_w \right)^2 }} \enskip,\enskip \mathbf{n}=\dfrac{\mathbf{u}_w}{u_w} \enskip,\enskip \mathbf{m}=\dfrac{\mathbf{U}_b}{U_b}\]
Уравнение движения частицы в системе S
\[\label{f3.14}
 \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\int \dfrac{\mathbf{U}_b \: dt}{\sqrt{1+\left(\mathbf{U}_b+\mathbf{u}_w \right)^2 }}+\int \dfrac{\mathbf{u}_w \: dt}{\sqrt{1+\left(\mathbf{U}_b+\mathbf{u}_w \right)^2 }}=\mathbf{r}_0+\mathbf{r}_g(t)+\mathbf{r}\!_f(t)\]
Выполнив переход в систему S движущуюся со скоростью v относительно данной системы S , получим уравнение движения частицы в ней
\[\label{f3.15}
 \mathbf{r}'=\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_v \mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace r}_0) -\mathbf{v}t'+ \left[\mathbf{m}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace m})\right] R_g\negthickspace \left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right)+\\[0.5em]
 +\left[\mathbf{n}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n})\right] R_f\negthickspace \left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right)\]
\[\quad \text{где} \quad \underline{\varphi}'=\underline{\mathbf{vr}_0 + \mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace R}_g\!\left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+(\:)\right) + \mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace R}_f\!\left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+(\:)\right) } \quad ,\]
\[\mathbf{R}_g\!\left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right) 
 - \quad \text{функция} \ \mathbf{r}_g(t) \text{с новым аргументом.}\]
От векторной формы закона движения можно перейти к координатной. С помощью матрицы М1 получаются контравариантные координаты, а с помощью матрицы М2 ковариантные координаты.

Преобразуем переходной закон движения частицы к стандартному виду и запишем входящие в него символы без штрихов. Получим общее выражение для закона движения частицы в ИСО 
\[\label{f3.16} 
 \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{u}_0 t+\dfrac{\gamma_{u_{\perp m}}}{\gamma_u}R_g\!\left(\dfrac{t}{\gamma_u}-\underline{\varphi}\right) \mathbf{m}+\dfrac{\gamma_{u_{\perp n}}}{\gamma_u}R_f\!\left(\dfrac{t}{\gamma_u}-\underline{\varphi}\right) \mathbf{n} \quad, \qquad \quad\]
\[\quad \text{где} \quad \underline{\varphi}=\underline{\gamma_u \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{r}_0 + \gamma_{u_{\perp m}} \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{m} \: R_g\negthickspace\left(\dfrac{t}{\gamma_u}-(\:) \right) +\gamma_{u_{\perp n}} \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{n} \: R_f\negthickspace \left(\dfrac{t}{\gamma_u}-(\:) \right)}\]
Направление векторов в системе S отличается от направления аналогичных векторов в начальной системе отсчета \(\mathit{S}^*\) (которая движется со скоростью \(\mathbf{u}_0\)). Если n – направление вектора в данной системе S , а \(\mathbf{n}^*\) – направление в системе \(\mathit{S}^*\) , то уравнения связи для ортов имеют вид - . Аналогичными уравнениями связаны единичные вектора m и \(\mathbf{m}^*\) .

Релятивистское равноускоренное движение

Дифференциальное уравнение для релятивистского движения в постоянном электрическом поле имеет вид
\[M\dfrac{d}{dt} \dfrac{\mathbf{u}_f}{\sqrt{1-u_f^2}}=q\mathbf{E}_0 \quad,\quad \mathbf{E}_0=const\]

Решение при нулевой начальной скорости

Скорость и ускорение движения частицы в системе S
\[\mathbf{u}_f=\dfrac{\mathbf{W}t}{\sqrt{1+W^2 t^2}}\quad,\quad \mathbf{a}_f=\dfrac{\mathbf{W}}{\left(1+W^2 t^2\right)^{3/2} } \quad,\quad \textrm{где}\quad \mathbf{W}=\dfrac{q}{M} \mathbf{E}_0\]
Уравнение движения частицы в системе S
\[\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\dfrac{\mathbf{n}}{W}\left( \sqrt{1+W^2 t^2}-1\right) \quad,\quad \mathbf{n}=\dfrac{\mathbf{W}}{W}\]
Перейдем в систему S , движущуюся относительно S со скоростью v . Переходная форма закона движения частицы в системе S получена в параграфе 3 . Поэтому используя формулу , запишем \\
\[\label{f4.1}
 \mathbf{r}'=\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace r}_0)-\mathbf{v}t'+\dfrac{1}{W}\left[\mathbf{n}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n})\right] \left[\sqrt{1+W^2 \left(\gamma_v^{-1} t'+\underline{\varphi}' \right)^2 }-1 \right]\]
\[\quad \textrm{где}\quad \underline{\varphi}'=\underline{\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace r}_0+\dfrac{\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n}}{W}\left[\sqrt{1+W^2 \left(\gamma_v^{-1} t'+(\:) \right)^2 }-1 \right]} \qquad\]
Запишем стандартную форму закона релятивистского равноускоренного движения частицы, используя общую формулу 
\[\label{f4.2}
\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{u}_0 t+\dfrac{\gamma_{u_{\perp n}}\mathbf{n}}{\gamma_u W}\left[\sqrt{1+W^2 \left(\gamma_u^{-1} t-\underline{\varphi} \right)^2 }-1 \right] \qquad\]
\[\textrm{где}\quad \underline{\varphi}=\underline{\gamma_u \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{r}_0 +\gamma_{u_{\perp n}} \dfrac{\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{n}}{W} \left[\sqrt{1+W^2 \left(\gamma_u^{-1} t-(\:) \right) }-1 \right] }\]
Фрактал квадратного корня суммируется к выражению в элементарных функциях 
\[\underline{\sqrt{1+\left(at+b+c\! \cdot\negmedspace (\:) \right)^2 }-1}= \dfrac{1}{1-c^2}\left[bc+act+\sqrt{1-c^2+(at+b-c)^2}-1 \right]\]
Выполняя суммирование фракталов, запишем полученные выше законы равноускоренного движения частицы в обычном виде. Переходная форма закона равноускоренного движения частицы принимает вид
\[\label{f4.3}
 \mathbf{r}'=\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace r}_0)+\gamma_v (\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace r}_0)(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n}')\mathbf{n}'-\left[\mathbf{v}-(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n}')\mathbf{n}'\right]t'+ \\[0.5em]
 +\dfrac{\mathbf{n}'}{W}\left[\sqrt{1+\gamma_{v_n}^2\! \left(\gamma_v^{-1}Wt'+W\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace r}_0-\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n} \right)^2 }-\gamma_{v_n} \right] \qquad\]
где \(\mathbf{n}'\) находится по формуле . \\
Просуммируем фрактал в уравнении движения и получим следующее выражение
\[\label{f4.4}
 \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\gamma_u^2\, (\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\!\mathbf{r}_0)(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n})\mathbf{n}+\left[\mathbf{u}_0 -(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n})\mathbf{n}\right]t+\\[0.5em]
 +\dfrac{\mathbf{n}}{W}\left[\sqrt{1+\left(\gamma_{u_{\perp n}}^{-1} Wt-\gamma_{u_{\perp n}}^{-1}\gamma_u^2\, W \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\!\mathbf{r}_0+\gamma_u \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} \right)^2 }-\dfrac{\gamma_u}{\gamma_{u_{\perp n}}} \right] \qquad\]
Введем обозначение \(\mathbf{r}_0^*\) для начального местоположения частицы, которое равно\\ \(\mathbf{r}_0^*=\mathbf{r}_0+\gamma_u^2(\mathbf{u}_0\mathbf{r}_0)(\mathbf{u}_0\mathbf{n})\mathbf{n}\) . Заменим в вектор \(\mathbf{r}_0\) на \(\mathbf{r}_0^*\) и отбросив звездочки получим стандартную форму закона движения частицы
\[\label{f4.5}
 \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\left[\mathbf{u}_0 -(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n})\mathbf{n}\right]t+ \dfrac{\mathbf{n}}{W}\left[\sqrt{1+\left(\gamma_{u_{\perp n}}^{-1} Wt-\gamma_{u_{\perp n}} W \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\!\mathbf{r}_0+\gamma_u \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} \right)^2 }-\dfrac{\gamma_u}{\gamma_{u_{\perp n}}} \right]\]
Скорость и ускорение частицы
\[\mathbf{u}=\mathbf{u}_0-(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n})\mathbf{n}+\dfrac{\left(\gamma_{u_{\perp n}}^{-1} Wt-\gamma_{u_{\perp n}} W \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\!\mathbf{r}_0+\gamma_u \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} \right) \mathbf{n}}{\gamma_{u_{\perp n}}^2 \sqrt{1+\left(\gamma_{u_{\perp n}}^{-1} Wt-\gamma_{u_{\perp n}} W \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\!\mathbf{r}_0+\gamma_u \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} \right)^2}}\]
\[u^2=1-\dfrac{1}{\gamma_{u_{\perp n}}^2\!\left[1+\left(\gamma_{u_{\perp n}}^{-1} Wt-\gamma_{u_{\perp n}} W \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\!\mathbf{r}_0+\gamma_u \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} \right)^2 \right] }<1\]
\[\mathbf{a}=\dfrac{W\mathbf{n}}{\gamma_{u_{\perp n}}^2\!\left[1+\left(\gamma_{u_{\perp n}}^{-1} Wt-\gamma_{u_{\perp n}} W \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\!\mathbf{r}_0+\gamma_u \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} \right)^2 \right]^{3/2}}\]
При условии \([\mathbf{u}_0\!\times\!\mathbf{n}] =0\) выражение принимает вид
\[\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\dfrac{\mathbf{n}}{W}\left[\sqrt{1+\left(Wt-W\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\!\mathbf{r}_0+\gamma_u\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} \right)^2 }-\gamma_u \right]\]
а когда \((\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n})=0\) следующий
\[\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{u}_0t+\dfrac{\mathbf{n}}{W}\left[\sqrt{1+W^2\left(\gamma_u^{-1}t-\gamma_u\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\!\mathbf{r}_0 \right)^2 }-1 \right]\]
Для равноускоренного движения функциональная зависимость от времени уменьшается на коэффициент \ \(1/\gamma_{u_{\perp n}}\) , то есть замедление зависит только от составляющей начальной скорости перпендикулярной к направлению ускоренного движения. Перпендикулярная к вектору n составляющая скорости частицы остается постоянной во времени, в то время как продольная составляющая изменяется.
В уравнении продольная составляющая начальной скорости \((\mathbf{u}_0\mathbf{n})\mathbf{n}\) оказывается включенной в подкоренное выражение описывающее равноускоренное движение. Это легко показать, если взять предел от этой функции при \(W\rightarrow0\)
\[\lim_{W \to 0} \dfrac{\mathbf{n}}{W}\left[\sqrt{1+\left(\gamma_{u_{\perp n}}^{-1} Wt-\gamma_{u_{\perp n}} W \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\!\mathbf{r}_0+\gamma_u \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} \right)^2 }-\dfrac{\gamma_u}{\gamma_{u_{\perp n}}} \right]=(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n})\mathbf{n}t-\gamma_{u_{\perp n}}^2(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\!\mathbf{r}_0)\mathbf{n}\]
либо если перейти в начально-собственную систему \(\textit{S\textquotesingle}\) , то есть в систему, которая движется относительно данной со скоростью \(\mathbf{u}_0\), а не со скоростью \([\mathbf{u}_0-(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n})\mathbf{n}]\) , как может показаться из уравнения . Закон движения частицы в системе S имеет вид
\[\mathbf{r}'=\mathbf{r}_0+\gamma_{u_{\perp n}}^2(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\!\mathbf{r}_0)\!\left[\dfrac{\mathbf{u}_0}{\gamma_u+1}-(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n})\mathbf{n} \right] +\dfrac{\gamma_{u_{\perp n}}}{\gamma_u W} \left[\mathbf{n}+\Gamma_u \mathbf{u}_0 (\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}) \right] \left[\sqrt{1+(Wt')^2}-1 \right]\]

Решение при не нулевой начальной скорости

Для обозначения начальной скорости используем символ \(\mathbf{U}_b\) . Скорость и закон движения частицы в системе S
\[\mathbf{u}=\dfrac{\mathbf{U}_b+\mathbf{W}t}{\sqrt{1+(\mathbf{U}_b+\mathbf{W}t)^2}}\]
\[\label{f4.6}
 \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\dfrac{\mathbf{n}}{\gamma_{b_n}W}\left[\sqrt{1+\left(\gamma_{b_n} Wt+\gamma_{b_n}\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} \right)^2 } -\gamma_{b_n}\gamma_b\right]+\\[0.5em] 
 +\dfrac{1}{W}\left[\mathbf{U}_b-\left( \mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}\right) \mathbf{n} \right] \mathrm{ash}\!\left(\gamma_{b_n}Wt+\gamma_{b_n}\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} \right)\]
\[\quad \textrm{где}\quad n=\dfrac{\mathbf{W}}{W} \quad,\quad \gamma_{b_n}=\dfrac{1}{\sqrt{1+U_b^2-(\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n})^2}} \quad,\quad \gamma_b=\sqrt{1+U_b^2}\]
Выполним переход в систему S движущуюся со скоростью v относительно данной системы S . Получим уравнение движения частицы в системе S 
\[\label{f4.7} 
 \mathbf{r}'=\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace r}_0) -\mathbf{v}t' +\dfrac{1}{W}\left[\mathbf{U}_{b_{\perp n}}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}\left(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace U}_{b_{\perp n}} \right) \right] \mathrm{ash}\!\left(\dfrac{\gamma_{b_n}}{\gamma_v}Wt'+\gamma_{b_n}\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}+\underline{\varphi}' \right)+\\[0.5em]
 +\dfrac{1}{\gamma_{b_n}W}\left[\mathbf{n}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n})\right]\left[\sqrt{1+\left(\gamma_v^{-1}\gamma_{b_n}Wt'+\gamma_{b_n}\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}+\underline{\varphi}' \right)^2 }-\gamma_b\gamma_{b_n} \right]\]
\[\textrm{где}\quad \underline{\varphi}'=\underline{\gamma_{b_n}W\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace r}_0+\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n}\left[\sqrt{1+\left(\gamma_v^{-1}\gamma_{b_n}Wt'+\gamma_{b_n}\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} +(\:) \right)^2}-\gamma_b\gamma_{b_n} \right]+} \\[0.5em]
 \underline{+\gamma_{b_n}\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace U}_{b_{\perp n}}\mathrm{ash}\!\left(\gamma_v^{-1}\gamma_{b_n}Wt'+\gamma_{b_n}\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} +(\:) \right)}\quad,\quad \mathbf{U}_{b_{\perp n}}=\mathbf{U}_b-(\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n})\mathbf{n}\]
Скорость и ускорение частицы
\[\mathbf{u}'=\dfrac{\gamma_v\underline{\mathbf{U}}-\Gamma_v\mathbf{v}\!\left( \mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{U}}\right) }{\gamma_v^2\left(1-\mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{U}} \right) }-\mathbf{v}\quad,\quad \textrm{где}\quad \underline{\mathbf{U}}=\dfrac{\gamma_{b_n}\mathbf{U}_b+\left(\gamma_v^{-1}\gamma_{b_n}Wt' +\underline{\varphi}' \right)\mathbf{n}}{\left[1+\left(\gamma_v^{-1}\gamma_{b_n}Wt'+\gamma_{b_n}\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} +\underline{\varphi}' \right)^2 \right]^{1/2} }\]
\[\mathbf{a}'=\dfrac{\gamma_v\underline{\mathbf{U}}-\Gamma_v\mathbf{v} }{\gamma_v^3\left(1-\mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{U}} \right)^3 } \left( \mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{A}}\right)+\dfrac{\underline{\mathbf{A}} }{\gamma_v^2\left(1-\mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{A}} \right)^2 }\\[0.5em]\]
\[\textrm{где} \ \underline{\mathbf{A}}=\dfrac{\gamma_{b_n}\!\mathbf{W}-\gamma_{b_n}^2W\left(\gamma_v^{-1}\gamma_{b_n}Wt'+\gamma_{b_n}\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} +\underline{\varphi}' \right)\mathbf{U}_{b_{\perp_n}}}{\left[1+\left(\gamma_v^{-1}\gamma_{b_n}Wt'+\gamma_{b_n}\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} +\underline{\varphi}' \right)^2 \right]^{3/2} }\\[0.5em]\]
При условии, что \ \([\mathbf{U}_b \!\times\!\mathbf{n}]=0\)\ закон движения в системе S преобразуется к виду
\[\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\dfrac{\mathbf{n}}{W}\left[\sqrt{1+(Wt+U_b)^2}-\gamma_b \right]\]
а в системе S закон движения имеет вид
\[\mathbf{r}'=\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0)-\mathbf{v}t'+\dfrac{1}{W}\left[\mathbf{n}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n})\right]\left[\sqrt{1+\left(\gamma_v^{-1}Wt'+U_b+\underline{\varphi}' \right)^2 }-\gamma_b \right]\]
\[\textrm{где}\quad \underline{\varphi}'=\underline{W\mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0+\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n} \left[\sqrt{1+\left(\gamma_v^{-1}Wt'+U_b+(\:) \right)^2 }-\gamma_b \right]}\]
При условии \ \((\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{n})=0\) \ закон движения в системе S равен
\[\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\dfrac{\gamma_b \mathbf{n}}{W}\left[\sqrt{1+(\gamma_b^{-1}Wt)^2}-1 \right]\]
а в системе S закон движения имеет вид
\[\mathbf{r}'=\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0) -\mathbf{v}t'+\dfrac{\gamma_b}{W}\left[\mathbf{n}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n})\right]\left[\sqrt{1+\left(\gamma_v^{-1}\gamma_b^{-1}Wt'+\underline{\varphi}' \right)^2 }-1 \right]+\\[0.5em]
 +\dfrac{1}{W}\left[\mathbf{U}_b-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}\left(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace U}_b \right) \right] \mathrm{ash}\!\left(\gamma_v^{-1}\gamma_b^{-1}Wt'+\underline{\varphi}' \right) \quad,\quad\]
\[\textrm{где}\quad \underline{\varphi}'=\underline{\dfrac{W}{\gamma_b}\mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0+\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n}\left[\sqrt{1+\left(\gamma_v^{-1}\gamma_b^{-1}Wt'+(\:) \right)^2}-1 \right]+\dfrac{\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace U}_b}{\gamma_b}\mathrm{ash}\!\left(\gamma_v^{-1}\gamma_b^{-1}Wt'+(\:) \right)}\]
Преобразуем переходную форму закона движения частицы в стандартную, величины которой записываем без штрихов.
\[\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{u}_0t+\dfrac{\gamma_{u_{\perp n}}\mathbf{n}}{\gamma_{b_n\!*}\gamma_uW}\left[\sqrt{1+\left(\gamma_u^{-1}\gamma_{b_n\!*}Wt+\gamma_{b_n\!*}\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}^* -\underline{\varphi} \right)^2 }-\gamma_b\gamma_{b_n\!*} \right]+ \\[0.5em]
 +\dfrac{1}{\gamma_uW}\left[\gamma_{u_{\perp m}}U_b\mathbf{m}-\gamma_{u_{\perp n}}(\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}^*)\mathbf{n} \right] \mathrm{ash}\!\left(\gamma_u^{-1}\gamma_{b_n\!*}Wt+\gamma_{b_n\!*}\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}^*-\underline{\varphi} \right) \qquad\]
\[\textrm{где}\quad \underline{\varphi}=\underline{\gamma_{b_n\!*}\gamma_uW\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{r}_0+\gamma_{u_{\perp n}}\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}\left[\sqrt{1+\left(\gamma_u^{-1}\gamma_{b_n\!*}Wt+\gamma_{b_n\!*}\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}^* -(\:) \right)^2}-\gamma_b\gamma_{b_n\!*} \right]+} \\[0.8em]
 \underline{+\gamma_{b_n\!*}\left[\gamma_{u_{\perp m}}U_b\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{m}-\gamma_{u_{\perp n}}(\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}^*)\mathbf{n} \right] \mathrm{ash}\!\left(\gamma_u^{-1}\gamma_{b_n\!*}Wt+\gamma_{b_n\!*}\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}^*-(\:) \right) }\]
\[\gamma_{b_n\!*}=\dfrac{1}{\sqrt{1+U_b^2-(\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}^*)^2}} \qquad,\qquad \mathbf{U}_b \ , \ \mathbf{n}^* - \text{величины из начальной системы}~ {S}^* .\]

Релятивистское периодическое движение

Дифференциальное уравнение для релятивистского эллипсоидального вращения имеет вид
\[M\dfrac{d}{dt}\dfrac{\mathbf{u}_f}{\sqrt{1-u_f^2}}=q\mathbf{E}_1\cos\omega t+q\mathbf{E}_2\sin\omega t \quad,\quad (\mathbf{E}_1\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{E}_2)=0 \quad,\quad |\mathbf{E}_1|\neq |\mathbf{E}_2|\]
Скорость и ускорение частицы в системе S при \(\mathbf{u}_0=0\) 
\[\mathbf{u}_f=\dfrac{\mathbf{U}_1\sin\omega t-\mathbf{U}_2\cos\omega t}{\sqrt{1+\left(U_1\sin\omega t \right) ^2+\left(U_2\cos\omega t \right)^2 }} \quad,\quad \textrm{где}\quad \mathbf{U}_1=\dfrac{q}{M\omega}\mathbf{E}_1 \quad,\quad \mathbf{U}_2=\dfrac{q}{M\omega}\mathbf{E}_2\]
\[\mathbf{a}_f=\dfrac{\mathbf{U}_1\omega (1+U_2^2)\cos\omega t+\mathbf{U}_2\omega (1+U_1^2)\sin\omega t}{\left[1+\left(U_1\sin\omega t \right) ^2+\left(U_2\cos\omega t \right)^2 \right]^{3/2} }\]
Уравнение движения частицы в системе S
\[\mathbf{r}=\mathbf{r}_0-\dfrac{\mathbf{U}_1}{\omega U_{12}}\arcsin\!\left(\dfrac{U_{12}}{\sqrt{1+U_1^2}}\cos\omega t \right)- \dfrac{\mathbf{U}_2}{\omega U_{21}}\arcsin\!\left(\dfrac{U_{21}}{\sqrt{1+U_2^1}}\sin\omega t \right)\]
\[\textrm{где}\quad U_{12}=\sqrt{U_1^2-U_2^2} \quad,\quad U_{21}=\sqrt{U_2^2-U_1^2} \quad,\quad \mathbf{n}=\dfrac{\mathbf{U}_1}{U_1} \quad,\quad \mathbf{m}=\dfrac{\mathbf{U}_2}{U_2}\]
Используя формулу , запишем переходную форму закона релятивистского вращения и равномерного перемещения
\[\label{f5.1}
 \mathbf{r}'=\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0)-\mathbf{v}t'-\dfrac{U_1}{\omega U_{12}} \left[\mathbf{n}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n})\right] \arcsin\! \left[\dfrac{U_{12}}{\sqrt{1+U_1^2}}\cos\!\left(\dfrac{\omega t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}' \right) \right] - \\[0.5em]
 -\dfrac{U_2}{\omega U_{21}} \left[\mathbf{m}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace m})\right] \arcsin\! \left[\dfrac{U_{21}}{\sqrt{1+U_2^2}}\sin\!\left(\dfrac{\omega t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}' \right) \right] \qquad \qquad\]
\[\textrm{где}\quad \underline{\varphi}'=\underline{\omega \mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0-\dfrac{U_1}{\omega U_{12}}\arcsin\! \left[\dfrac{U_{12}}{\sqrt{1+U_1^2}}\cos\!\left(\dfrac{\omega t'}{\gamma_v}+(\:) \right) \right]-}\\[0.5em] 
 \underline{-\dfrac{U_2}{\omega U_{21}}\arcsin\! \left[\dfrac{U_{21}}{\sqrt{1+U_2^2}}\sin\!\left(\dfrac{\omega t'}{\gamma_v}+(\:) \right) \right]} \qquad\]
 Используя формулу , запишем закон релятивистского вращения в стандартном виде
\[\label{f5.2}
 \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{u}_0t-\dfrac{\gamma_{u_{\perp n}} U_1\mathbf{n}}{\gamma_u\omega U_{12}} \arcsin\! \left[\dfrac{U_{12}}{\sqrt{1+U_1^2}}\cos\!\left(\dfrac{\omega t}{\gamma_u}-\underline{\varphi} \right) \right] - \\[0.5em]
 -\dfrac{\gamma_{u_{\perp m}} U_2 \mathbf{m}}{\gamma_u\omega U_{21}} \arcsin\! \left[\dfrac{U_{21}}{\sqrt{1+U_2^2}}\sin\!\left(\dfrac{\omega t'}{\gamma_u}-\underline{\varphi} \right) \right] \qquad \qquad\]
\[\textrm{где}\quad \underline{\varphi}=\underline{\gamma_u\omega \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{r}_0-\gamma_{u_{\perp n}} \dfrac{U_1}{U_{12}}\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}\arcsin\! \left[\dfrac{U_{12}}{\sqrt{1+U_1^2}}\cos\!\left(\dfrac{\omega t}{\gamma_u}-(\:) \right) \right]-} \\[0.5em]
 \underline{-\gamma_{u_{\perp m}}\dfrac{U_2}{U_{21}}\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{m}\arcsin\! \left[\dfrac{U_{21}}{\sqrt{1+U_2^2}}\sin\!\left(\dfrac{\omega t}{\gamma_u}-(\:) \right) \right]} \quad\]
Для векторов n и m из выполняется соотношение: \ \(\mathbf{n\negmedspace \cdot\negmedspace m}+\gamma_u^2(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n})(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{m})=0\) .
Скорость частицы
\[\mathbf{u}=\dfrac{\underline{\mathbf{U}}_f}{\gamma_u^2\left(1+\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{U}}_f \right) }+\mathbf{u}_0 \qquad,\qquad u^2=1-\dfrac{1-\gamma_u^{-2} \underline{U}_f^2-\left(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{U}}_f \right)^2 }{\gamma_u^2\left(1+\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{U}}_f \right)^2}<1 \\[0.5em]
 \quad \textrm{где}\quad \underline{\mathbf{U}}_f=\dfrac{\gamma_{u_{\perp n}}U_1\sin\!\left(\gamma_u^{-1}\omega t-\underline{\varphi}\right)\mathbf{n} - \gamma_{u_{\perp m}}U_2\cos\!\left(\gamma_u^{-1}\omega t-\underline{\varphi} \right)\mathbf{m} }{\sqrt{1+\left[U_1\sin\!\left(\gamma_u^{-1}\omega t-\underline{\varphi}\right) \right]^2+\left[U_2\cos\!\left(\gamma_u^{-1}\omega t-\underline{\varphi}\right)\right]^2 }}\]
Ускорение частицы
\[\mathbf{a}=\dfrac{\underline{\mathbf{A}}_f}{\gamma_u^3\left(1+\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{U}}_f \right)^2}-\dfrac{\underline{\mathbf{U}}_f\left(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{A}}_f \right) }{\gamma_u^3\left(1+\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{U}}_f \right)^3}\]
\[\quad \textrm{где}\quad \underline{\mathbf{A}}_f=\dfrac{\gamma_{u_{\perp n}}\omega U_1\left(1+U_2^2 \right) \cos\!\left(\gamma_u^{-1}\omega t-\underline{\varphi}\right)\mathbf{n} + \gamma_{u_{\perp m}}\omega U_2\left(1+U_1^2 \right) \sin\!\left(\gamma_u^{-1}\omega t-\underline{\varphi} \right)\mathbf{m} }{\left\lbrace1+\left[U_1\sin\!\left(\gamma_u^{-1}\omega t-\underline{\varphi}\right) \right]^2+\left[U_2\cos\!\left(\gamma_u^{-1}\omega t-\underline{\varphi}\right) \right]^2 \right\rbrace^{3/2} }\\[0.5em]\]
В уравнение время входит с замедляющим коэффициентом \(1/\gamma_u\) . Фрактальная фаза \(\underline{\varphi}\) состоит из постоянной и периодической части. Последняя не превышает по модулю значение \(\arcsin(0.5)\) и не влияет на величину основного периода колебаний, а приводит к искажению формы и появления бесконечного числа высших гармоник.

Релятивистский закон вращения частицы можно преобразовать к виду с взаимно перпендикулярными векторами n и \(\mathbf{n}_\perp\) 
\[\label{f5.3}
 \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{u}_0t-\dfrac{\gamma_{u_{\perp n}} U_1\mathbf{n}}{\gamma_u\omega U_{12}} \arcsin\! \left[\dfrac{U_{12}}{\sqrt{1+U_1^2}}\cos\!\left(\dfrac{\omega t}{\gamma_u}-\underline{\varphi} \right) \right] - \\[0.5em]
 -\dfrac{\gamma_{u_{\perp m}} U_2 }{\gamma_u\omega U_{21}}\left\lbrace \mathbf{(m\negmedspace \cdot\negmedspace n)n}-\left[\mathbf{n}\!\times\!\left[\mathbf{n}\!\times\!\mathbf{m} \right] \right]\right\rbrace \arcsin\! \left[\dfrac{U_{21}}{\sqrt{1+U_2^2}}\sin\!\left(\dfrac{\omega t'}{\gamma_u}-\underline{\varphi} \right) \right] \qquad \qquad\]
В случае \ \((\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n})=u_0\) \ и \ \({(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}_\perp)=0}\) \ закон движения принимает вид
\[\label{f5.4}
 \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{u}_0t-\dfrac{ U_1\mathbf{n}}{\gamma_u\omega U_{12}} \arcsin\! \left[\dfrac{U_{12}}{\sqrt{1+U_1^2}}\cos\!\left(\dfrac{\omega t}{\gamma_u}-\underline{\varphi} \right) \right]-\\[0.5em]
 - \dfrac{ U_2\mathbf{n}_\perp}{\omega U_{21}} \arcsin\! \left[\dfrac{U_{21}}{\sqrt{1+U_2^2}}\sin\!\left(\dfrac{\omega t}{\gamma_u}-\underline{\varphi} \right)\right]\]
\[\textrm{где}\quad \underline{\varphi}=\underline{\gamma_u\omega \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{r}_0-\dfrac{u_0 U_1}{U_{12}}\arcsin\! \left[\dfrac{U_{12}}{\sqrt{1+U_1^2}}\cos\!\left(\dfrac{\omega t}{\gamma_u}-(\:) \right) \right]}\]
То есть амплитуда колебаний частицы вдоль направления скорости \(\mathbf{u}_0\) уменьшается на коэффициент \ \(1/\gamma_u\) .
 В случае кругового вращения переходный закон движения принимает вид 
\[\mathbf{r}'=\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0)-\mathbf{v}t'-\dfrac{U_w}{\omega \sqrt{1+U_w^2}} \left[\mathbf{n}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n})\right] \cos\!\left(\dfrac{\omega t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}' \right) - \\[0.5em]
 -\dfrac{U_w}{\omega \sqrt{1+U_w^2}} \left[\mathbf{m}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace m})\right] \sin\!\left(\dfrac{\omega t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}' \right)\qquad \qquad\]
\[\textrm{где}\quad \underline{\varphi}'=\underline{\omega \mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0-\dfrac{U_w\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n}}{\sqrt{1+U_w^2}}\cos\!\left(\dfrac{\omega t'}{\gamma_v}+(\:) \right)
 -\dfrac{U_w\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace m}}{\sqrt{1+U_w^2}}\sin\!\left(\dfrac{\omega t'}{\gamma_v}+(\:) \right) } \qquad\]
Стандартная форма закона релятивистского кругового вращения и равномерного перемещения 
\[\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{u}_0t-\dfrac{\gamma_{u_{\perp n}} U_w\mathbf{n}}{\gamma_u\omega \sqrt{1+U_w^2}} \cos\!\left(\dfrac{\omega t}{\gamma_u}-\underline{\varphi} \right) -\dfrac{\gamma_{u_{\perp m}} U_w\mathbf{m}}{\gamma_u\omega \sqrt{1+U_w^2}} \sin\!\left(\dfrac{\omega t}{\gamma_u}-\underline{\varphi} \right) \qquad\]
\[\qquad\textrm{где}\quad \underline{\varphi}=\underline{\gamma_u\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_{u_{\perp n}} U_w}{\sqrt{1+U_w^2}}\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} \cos\!\left(\dfrac{\omega t}{\gamma_u}-(\:) \right) -\dfrac{\gamma_{u_{\perp m}} U_w}{\sqrt{1+U_w^2}}\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{m} \sin\!\left(\dfrac{\omega t}{\gamma_u}-(\:) \right)}\]

Преобразование векторов при переходе в новую систему отсчета

Пусть закон движения частицы в системе S имеет вид или . Импульс p и энергия \(\textit{E}_e\) в системе S равны
\[\mathbf{p}(t)=M(\mathbf{u}_w+\mathbf{U}_b)=\mathbf{p}_w+\mathbf{p}_b \quad,\quad E_e(t)=M\sqrt{1+(\mathbf{u}_w+\mathbf{U}_b)^2}\]
Введем вспомогательные величины для всех величин из системы S , изменяющихся во времени, путем замены в них времени t на фрактальное выражение от времени t 
\[\label{f6.1}
 t \quad \longrightarrow \quad \left(\gamma_v^{-1}t'+\underline{\varphi}' \right)\]
Найдем формулы для импульса, энергии, силы в системе S , включающие вспомогательные величины. Используя обозначения \(\underline{\mathbf{p}}=\underline{\mathbf{p}}_w+\underline{\mathbf{p}}_b=\underline{p}_w\mathbf{n}+\underline{p}_b\mathbf{m}\) ,\\
 где n и m - вектора из системы S , получим
\[\underline{\mathbf{p}}'(t')=\underline{\mathbf{p}}+\Gamma_v \mathbf{v(v\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{p})}-\gamma_v \underline{E}_e\mathbf{v} \quad,\quad \underline{E}'_e(t')=\gamma_v\!\left(\underline{E}_e-\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{p}} \right)\]
\[\underline{\mathbf{F}}'(t')=\dfrac{\underline{\mathbf{F}}-\gamma_v\left[\underline{\mathbf{F}}\negmedspace \cdot\negmedspace\left( \underline{\mathbf{U}}_f+\underline{\mathbf{U}}_g\right) \right]\mathbf{v}+\Gamma_v \mathbf{v}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{F}}) }{\gamma_v(1-\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{U}}_f-\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{U}}_g)}=\gamma_v \underline{\mathbf{F}}-\Gamma_v \mathbf{v}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{F}})-\gamma_v \left[\underline{\mathbf{u}}'\!\times\![\mathbf{v}\!\times\!\underline{\mathbf{F}}] \right]\]
\[\underline{\mathbf{E}}'(t')=\gamma_v\underline{\mathbf{E}}-\Gamma_v\mathbf{v}(\mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{E}})+\gamma_v[\mathbf{v}\!\times\!\underline{\mathbf{H}}] \quad,\quad \underline{\mathbf{H}}'(t')=\gamma_v\underline{\mathbf{H}}-\Gamma_v\mathbf{v}(\mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{H}})-\gamma_v[\mathbf{v}\!\times\!\underline{\mathbf{E}}]\]
где E и H - напряженности электрического и магнитного полей с фрактальным аргументом \\
Возьмем в качестве единичных вектора \(\mathbf{n}\textquotesingle\) и \(\mathbf{m}\textquotesingle\) из системы S . Тогда используя обозначения \ \(\underline{\mathbf{p}}_n\) и \(\underline{\mathbf{U}}_n\) получим 
\[\underline{\mathbf{p}}_n=\gamma_{v_{\perp n'}}\underline{p}_w\mathbf{n}'+ \gamma_{v_{\perp m'}}p_b\mathbf{m}' \quad,\quad \underline{\mathbf{U}}_n=\dfrac{\gamma_{v_{\perp n'}}\underline{U}_w\mathbf{n}'+ \gamma_{v_{\perp m'}}U_b\mathbf{m}'}{\sqrt{1+\left(\underline{U}_w\mathbf{n}+U_b\mathbf{m} \right)^2 }}\] 
\[\underline{\mathbf{p}}'(t')=\gamma_v\left\lbrace \underline{\mathbf{p}}_n+\left[ \mathbf{v}\!\times\![\mathbf{v}\!\times\!\underline{\mathbf{p}}_n]\right] -\underline{E}_e\mathbf{v}\right\rbrace \quad,\quad \underline{E}'_e(t')=\gamma_v\left(\underline{E}_e-\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{p}}_n \right) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\] 
\[\underline{\mathbf{F}}'(t')=\gamma_{v_{\perp n'}} \underline{F}\left\lbrace \mathbf{n}'-\left[\underline{\mathbf{u}}'\!\times\![\mathbf{v}\!\times\!\mathbf{n}'] \right] \right\rbrace=\\[0.5em]
 =\dfrac{\gamma_{v_{\perp n'}} \underline{F}}{1-\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{U}}_n}\left\lbrace \mathbf{n}'+\left[ \mathbf{v}\!\times\![\mathbf{v}\!\times\!\mathbf{n}']\right] -\left(\mathbf{\underline{U}}_n\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{n}' \right)\mathbf{v}-\left\lbrace \left[ \mathbf{\underline{U}}_n\!\times\!\mathbf{v}\right]\negmedspace \cdot\negmedspace\left[ \mathbf{v}\!\times\!\mathbf{n}'\right]\right\rbrace \mathbf{v} \right\rbrace\]
\[\mathbf{\underline{E}}'(t')=\gamma_{v_{\perp n'}} \underline{E}\mathbf{n}'+\gamma_{v_{\perp m'}} \underline{H} \left[\mathbf{v}\!\times\!\mathbf{m}' \right] \quad,\quad \mathbf{\underline{H}}'(t')=\gamma_{v_{\perp m'}} \underline{H}\mathbf{m}'+\gamma_{v_{\perp n'}} \underline{E} \left[\mathbf{v}\!\times\!\mathbf{n}' \right]\]

Преобразование сил при равномерном движении

Пусть в системе отсчета S частицы 1 и 2 движутся равномерно: \ \(\mathbf{R}_1=\mathbf{r}_1+\mathbf{u}_1t\) \ , \ \(\mathbf{R}_2=\mathbf{r}_2+\mathbf{u}_2t\) . Расстояние между частицами \ \(\mathbf{R}_{21}=\mathbf{R}_1-\mathbf{R}_2\) . Система S движется относительно системы S со скоростью v . Закон движения частицы 1 в системе S 
\[\label{f7.1}
 \mathbf{R}'_1=\mathbf{r}_1+\dfrac{\gamma_v\mathbf{u}_1-\Gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v(1-\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace u}_1)}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_1)+\mathbf{u}'_1t' \quad,\quad \mathbf{u}'_1=\dfrac{\mathbf{u}_1-\gamma_v\mathbf{v}+\Gamma_v\mathbf{v}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace u}_1)}{\gamma_v(1-\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace u}_1)}\]
Закон движения частицы 2 в системе S задается аналогичным уравнением. Сила действия частицы 2 на частицу 1 в системе S равна
\[\label{f7.2}
 \mathbf{F}_{21}=\dfrac{\alpha \left(1-u_2^2 \right) }{\left[ R_{21}^2 \left(1-u_2^2 \right) +\left(\mathbf{R}_{21}\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{u}_2 \right)^2 \right]^{3/2} } \left\lbrace\mathbf{R}_{21}+\left[ \mathbf{u}_1\!\times\![\mathbf{u}_2\!\times\! \mathbf{R}_{21}]\right] \right\rbrace\]
где \(\alpha\) - зарядовый коэффициент.\\
В момент времени t на частицу 1 действует сила \(\mathbf{F}_{21}\) (событие А), а на частицу 2 действует сила \(\mathbf{F}_{12}\) (событие В). В системе S событие А происходит в момент времени \ \(t'_1=\gamma_v\left[t-\mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace(\mathbf{r}_1+\mathbf{u}_1t) \right]\) , когда расстояние между частицами
\[\mathbf{R}'_{21}=\mathbf{R}'_1(t'_1)-\mathbf{R}'_2(t'_1)=\mathbf{R}_{21}+\dfrac{\gamma_v\mathbf{u}_2-\Gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v(1-\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace u}_2)}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace R}_{21})\]
Аналогично, событие В происходит в момент времени \(t'_2\) , когда расстояние между частицами \(\mathbf{R}'_{12}(t'_2)\) . 
Найдем закон действия частицы 2 на частицу 1 в системе S . Выразим величины из системы S через величины из системы S 
\[\mathbf{R}_{21}=\mathbf{R}'_{21}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{u}'_2+\Gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v(1+\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace u}'_2)}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace R}'_{21}) \quad,\quad \mathbf{u}_2=\dfrac{\mathbf{u}'_2+\gamma_v\mathbf{v}+\Gamma_v\mathbf{v}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace u}'_2)}{\gamma_v(1+\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace u}'_2)} \quad,\quad\]
\[R_{21}^2=\left( R'_{21}\right) ^2-\dfrac{2\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace R}'_{21}}{1+\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace u}'_2}\left(\mathbf{u}'_2\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{R}'_{21} \right) -\dfrac{1-\left( u'_2\right) ^2}{\left(1+\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace u}'_2 \right)^2 }\left(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace R}'_{21} \right)^2 \quad,\quad \mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace R}_{21}=\dfrac{\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace R}'_{21}}{\gamma_v\!\left(1+\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace u}'_2 \right) }\]
и подставим их в преобразования Лоренца для силы \(\mathbf{F}'_{21}\) 
\[\label{f7.3}
 \mathbf{F}'_{21}=\dfrac{\mathbf{F}_{21}-\gamma_v\mathbf{v}\!\left(\mathbf{u}_1\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{F}_{21}\right) +\Gamma_v\mathbf{v}\!\left(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace F}_{21} \right)}{\gamma_v(1-\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace u}_1)}\]
В результате получим уравнение в штрихованных величинах.\\
Таким образом, сила \(\mathbf{F}_{12}\) и сила \(\mathbf{F}_{21}\) одновременные в первой системе отсчета S становятся разновременными во второй системе S .

Вычисление запаздывающих расстояний

Пусть закон движения частицы задан функцией \ \(\mathbf{R} = \mathbf{R}(t)\) , а \ r – расстояние от этой частицы до произвольной частицы пространства. Тогда запаздывающее расстояние \ \(\mathbf{r}_{p}\) \ задается уравнением \ \(\mathbf{r}_{p}=\mathbf{r}+\mathbf{R}(t)-\mathbf{R}(t-r_{p})\) . Модуль \ \(r_{p}\) \ вычисляется с помощью фрактальной функции
\[\label{f8.1}
 \underline{r}_{p}=\underline{\sqrt{{r}^2+2\mathbf{r\negmedspace \cdot\negmedspace R}(t)+{R}^2(t)-2\mathbf{r\negmedspace \cdot\negmedspace R}\!\left( t-(\:)\right)-2\mathbf{R}(t)\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{R}\!\left( t-(\:)\right)+{R}^2\!\left( t-(\:)\right) }}\]
\[\textrm{при }\quad r\gg |\mathbf{R}(t)-\mathbf{R}(t-r_{p})| \qquad \text{получим } \quad \underline{r}_{p}\cong \underline{r+\dfrac{\mathbf{r}}{r} \left[\mathbf{R}(t)-\mathbf{R}(t-(\:)) \right]}\]
Если функция движения \ \(\mathbf{R}(t)\) , в момент времени t нахождения запаздывающего расстояния \ \(\mathbf{r}_{p}\) , соответствует условию \ \(\mathbf{R}(t)=0\) ,то выражение существенно упростится
\[\label{f8.2}
 \mathbf{r}_{p}=\mathbf{r}-\mathbf{R}\!\left(t-r_{p} \right) \quad,\quad \underline{r}_{p}=\underline{\sqrt{{r}^2-2\mathbf{r\negmedspace \cdot\negmedspace R}\!\left( t-(\:)\right)+{R}^2\!\left( t-(\:)\right) }}\]
Таким образом, функции с запаздывающим временем можно преобразовывать к фрактальному виду и с помощью вычислительной техники находить их значения.\\
Рассмотрим простейший пример нахождения запаздывающего расстояния, когда частица движется равномерно. По формуле запишем фрактальную функцию для \ \(\underline{r}_{p}\)
\[\mathbf{r}_{p}=\mathbf{r}+r_{p}\mathbf{u}_0 \quad,\quad r_{p}=\underline{\sqrt{{r}^2+2\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{r}\negmedspace \cdot\negmedspace(\:)+{u}_0^2\! \cdot\negmedspace(\:)^2}}\]
которая суммируется к функции , являющейся решением квадратного уравнения для \ \({r}_{p}\) 
\[\label{f8.3}
 r_{p}=\dfrac{1}{1-u_0^2}\left[ \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{r}+\sqrt{r^2\!\left(1-u_0^2 \right)+(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{r})^2 }\right]\]

Преобразование сил при релятивистском равноускоренном движении

При ускоренном движении электромагнитные силы зависят от запаздывающих расстояний, а также скорости и ускорения в запаздывающие моменты времени. Метод вычисления запаздывающих расстояний был рассмотрен в предыдущем параграфе.\\
Пусть в системе отсчета S частица 1 движется с постоянной скоростью \(\mathbf{u}_1\) , а частица 2 движется релятивистски равноускорено. Система S движется относительно системы S со скоростью v . Закон движения частицы 1 в системе S : \ \(\mathbf{R}_1=\mathbf{r}_1+\mathbf{u}_1t\) . Закон движения частицы 2 в системе S : 
\[\mathbf{R}_2=\mathbf{r}_2+\dfrac{\mathbf{n}}{W}\left(\sqrt{1+W^2t^2}-1 \right)\]
Сила действия частицы 1 на частицу 2 в системе S находится по формуле , а силу действия частицы 2 на частицу 1 в системе S получаем, используя формулу из электродинамики для электромагнитного поля произвольно движущегося заряда, в которой модуль запаздывающего расстояния вычисляем по формуле .
 В системе S закон движения частицы 1 задается уравнением , а закон движения частицы 2 равен
\[\mathbf{R}'_2=\mathbf{r}_2-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_2)+\gamma_{v_n}\!\left(\mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_2 \right)\left(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n} \right)\mathbf{n}'-\left[\mathbf{v}-\dfrac{\gamma_{v_n}}{\gamma_v}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n})\mathbf{n}' \right]t'+ \\[0.5em]
 +\dfrac{\mathbf{n}'}{W}\left[\sqrt{1+\gamma_{v_n}^2\!\left( \gamma_v^{-1}Wt'+W\mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_2-\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n}\right)^2 }-\gamma_{v_n} \right] \qquad\]
Силе действия частицы 2 на частицу 1 в системе S соответствует сила в системе S в момент времени \ \(t'_1=\gamma_v\left[t-\mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{R}_1(t) \right]\) . 
Расстояние между частицами равно \ \(R'_{21}=R'_1\left(t'_1 \right)-R_2\left(t'_1 \right)\) . Для данного расстояния силу действия частицы 2 на частицу 1 в системе S находим по формулам из электродинамики (решение Лиенара-Вихерта уравнений Максвелла). Значение силы \ \(\mathbf{F}'_{21}(t)\) \ совпадает со значением силы \ \(\mathbf{F}'_{21}(t)\) \ рассчитанной из преобразований Лоренца для сил . Аналогичное вычисление силы \ \(\mathbf{F}'_{12}(t)\) \ в системе S в момент времени \ \(t'_2=\gamma_v\left[t-\mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{R}_2(t) \right]\) \ совпадает со значением вычисленным по формуле лоренцевого преобразования сил.

Метрологический смысл преобразований Лоренца

Для математического описания физических явлений вводится система отсчета, в которой выбираются эталоны длины и времени. С каждой системой отсчета связано свое координатное пространство, состоящее из неподвижных в данной системе отсчета точек. Координатные точки не взаимодействуют как друг с другом, так и со всеми другими движущимися в системе отсчета частицами. Это является идеализацией для реальных материальных точек, но она принимается в качестве одного из основных положений при введении системы отсчета и координатного пространства. Измерение расстояния до движущейся частицы в произвольный момент времени происходит методом проецирования положения частицы на координатное пространство и отождествления расстояния до координатной точки с расстоянием до движущейся частицы. Расстояние между двумя движущимися частицами получается аналогично – проецированием и отождествлением проекции с реальным расстоянием.\\
Возьмем две инерциальные системы отсчета. Пусть система S движется со скоростью v вдоль оси Х системы S . Каждая из систем отсчета имеет свое координатное пространство. В системе S собственные координатные точки неподвижны, а координатные точки из системы S движутся со скоростью v . Расстояние между движущимися координатными точками \(x'_1\) и \(x'_2\) из системы S можно измерить найдя проекцию этих точек на координатное пространство системы S. Длина проекции \((x'_1 x'_2)_p\) отождествляется с расстоянием между движущимися точками \(x'_1\) и \(x'_2\) . Второй метод измерения это использование движущегося со скоростью v эталона длины. Неподвижный эталон больше движущегося на величину \(\gamma_v\) . Следовательно, расстояние \(x'_1x'_2\) измеренное с помощью движущегося эталона будет в \(\gamma_v\) – раз больше его проекции на координатное пространство системы S . Этот факт отображается в преобразованиях Лоренца для x - координаты: \ \(x'=\gamma_v (x-vt)\) , где \ \((x-vt)\) - это координата частицы в системе S с точки зрения наблюдателя из системы S . Соотношение между эталонами длины систем S и S различно для различных направлений. В данном случае вдоль оси x эталон длины системы S меньше в \(\gamma_v\) - раз, а вдоль осей y и z эталоны из S и S совпадают.

Скорость хода опорных часов (часы в начале координат) в системе S замедляется по сравнению с системой S на коэффициент \(1/\gamma_v\) . Это можно рассматривать как переход к новому эталону времени в системе S . В преобразованиях Лоренца для времени 
\[t'(t)=\dfrac{t}{\gamma_v}-v\gamma_v (x-vt)=\gamma_v(t-vx)\]
слагаемое \(t/\gamma_v\) отражает этот факт, а слагаемое \(v\gamma_v (x-vt)=vx'(t)\) - факт возникновения рассогласования времени событий при переходе в систему S . Чтобы увидеть, что происходит в системе S в момент времени \(t'\) необходимо собрать "пазл" \ из различных моментов времени и соответствующих событий из системы S . В результате такой сборки метрологический эффект от перехода в системе S к эталону длины в \(\gamma_v\) - раз меньшему чем в системе S существенно изменяется.
В общем, изменение скоростей хода часов, величин и направления расстояний при переходе в другую систему отсчета является метрологическим эффектом. В определенном смысле это не физический, а идеальный эффект, эффект связанный с использованием новых эталонов времени и длины вместо старых. При этом взаимосвязь и соотношение старых и новых эталонов строго физически обусловлена.

Наблюдатель в системе S не фиксирует замедление хода опорных часов, так же он ни какими физическими измерениями не сможет обнаружить различие эталонов длины по разным направлениям. Для него эталоны длины и скорость хода времени вводятся по тем же соглашениям и численно будут такими же, как и для наблюдателя из системы S. Различие эталонов возникает только когда рассматриваются две движущиеся друг относительно друга системы.

Следствия преобразований Лоренца

Динамическое сжатие тел

Пусть вдоль оси Х из состояния покоя начинают ускоренно двигаться две частицы. Через какой-то промежуток времени их скорости достигают порогового значения \(u_0\), на котором стабилизируются. Из-за синхронности движения точек и вследствие отсутствия их взаимодействия расстояния между ними сохраняется неизменным все время. То есть эффекта сокращения расстояния между независимыми частицами при их одновременном движении с релятивистскими скоростями не существует. 
Запишем далее закон релятивистского вращения и перемещения с постоянной скоростью, когда скорость \(\mathbf{u}_0\) параллельна орту \(\mathbf{n}_1\) . Из закона движения следует, что по линии постоянной скорости \(\mathbf{u}_0\) траектория вращения сжимается на коэффициент \(1/\gamma_u\) . Это происходит вследствие того, что источник силы вызывающий вращение в начально-собственной системе отсчета, в текущей системе движется с постоянной скоростью \(\mathbf{u}_0\) и соответственно по-другому взаимодействует с так же движущимся зарядом. А именно таким образом, что траектория его вращения сжимается. Аналогичный вывод можно сделать и из общего уравнения движения частицы с постоянной скоростью \(\mathbf{u}_0\) - . Таким образом, можно предполагать, что твердое тело будет сжиматься по линии движения с постоянной скоростью \(\mathbf{u}_0\) в \(\gamma_u\) - раз. То есть сжатие движущихся твердых тел это динамический, определяемый изменением взаимодействия зарядов, эффект. В свое время Г.Лоренц [t1] делал аналогичный вывод, исходя из превращения шаровой эквипотенциальной поверхности электростатического поля неподвижного электрона в эллипсообразную у движущегося.

Динамическое замедление времени движущихся тел

Собственное время движущейся частицы характеризует скорость протекания внутренних процессов. Собственное время движущейся частицы показывают часы, связанные с ней. В качестве часов можно использовать любое периодическое движение сопутствующее основному движению частицы. Например, закон движения можно рассматривать, как равномерное движение частицы и описание хода связанных с ней часов. Если записать закон движения частицы, состоящий из произвольного движения ее центра масс \(\mathbf{r}\!_f\) и периодических колебаний относительно центра масс, то колебания будут характеризовать течение собственного времени при движении частицы по закону \(\mathbf{r}\!_f\). 
Замедление хода движущихся часов по сравнению с координатными часами является следствием изменения характера внутренних взаимодействий у движущейся частицы. Это такой же динамический эффект, как и сокращение длины движущегося с постоянной скоростью тела. Аналогичное объяснение замедления собственного времени у движущихся частиц давал в свое время А.Эйнштейн [t2]. Он при этом опирался на экспериментальные данные об уменьшении частоты излучения, связанного с внутренними процессами, у движущихся частиц. В данной статье математически доказано существование такого замедления .

Метрологическое изменение расстояния

Рассмотрим теперь изменение расстояния между синхронно равномерно движущимися частицами из системы S при переходе в систему S , движущуюся вдоль оси X с постоянной скоростью v . 
Пусть в системе S две частицы движутся вдоль оси X с постоянной скоростью u : \(X_1=x_1+ut \ , \ X_2=x_2+ut\) . 
В системе S законы их движения имеют вид
\[\label{f11.1}
 X'_1=\dfrac{x_1}{\gamma_v (1-vu)}+\dfrac{u-v}{1-vu}t' \quad,\quad
X'_2=\dfrac{x_2}{\gamma_v (1-vu)}+\dfrac{u-v}{1-vu}t'
 \quad,\quad X'_{12}=\dfrac{x_{12}}{\gamma_v (1-vu)}\]
Следовательно, можно сделать вывод, что расстояние между частицами 1 и 2 наибольшее, когда они неподвижны в системе отсчета, а движущееся расстояние всегда имеет меньшую длину. При переходе из системы S в систему S , в зависимости от того как изменяется модуль скорости движения расстояния, само расстояние может либо увеличиваться либо уменьшаться. 
Преобразование расстояний (11.1) справедливо как для двух не взаимодействующих частиц, так и для сильно взаимодействующих частиц (для твердого тела). Это является следствием того, что изменения расстояний и времени при переходе в другую систему отсчета не связаны с какими-то физическими процессами – это чисто метрологический эффект, эффект перехода к другим эталонам длины и времени.
С точки зрения преобразований Лоренца (чисто математический взгляд) формула связывает длины различных расстояний. Расстоянию между точками в системе S соответствует расстояние с разновременными началом и концом в системе S . С точки зрения физической реальности в уравнение входит одно и тоже расстояние между частицами 1 и 2 , но в разных ИСО. Ввиду множества экспериментальных подтверждений формула является верной [t3] .

Общий случай метрологического изменения расстояния

Рассмотрим теперь случай расстояния между синхронно ускоряющимися частицами. Пусть в системе S две независимые (невзаимодействующие) частицы начинают синхронно двигаться по закону
\[X_1=x_1+\dfrac{1}{W}\left( \sqrt{1+W^2t^2}-1\right) \quad,\quad X_2=x_2+\dfrac{1}{W}\left( \sqrt{1+W^2t^2}-1\right)\]
Так как движение синхронное, то расстояние между частицами в системе S сохраняется постоянным в любой момент времени и при любой их общей скорости. Выполним переход в движущуюся вдоль оси X со скоростью v систему S . Из уравнения получим, что расстояние между частицами в системе S задается формулой
\[X'_{12}=\gamma_v x_{12}+\dfrac{1}{W}\left(\sqrt{1+\left(Wt'+\gamma_v Wvx_2-\gamma_v v \right)^2 }-\sqrt{1+\left(Wt'+\gamma_v Wvx_1-\gamma_v v \right)^2 } \right) \quad,\quad\]
\[\lim_{W \to 0} X'_{12}=\dfrac{x_{12}}{\gamma_v}\]
 figure[h]
 Изменение расстояния при переходе в систему \(S'\)
 figure
 График зависимости \(X'_{12}(t')\) построен для следующих значений: \(W=0,1\) ; \(v=0,4\) \(x_1=1\) ; \(x_2=4\) .
То есть, постоянное расстояние между синхронно ускоряющимися частицами в системе S при переходе в систему S может как увеличиваться , так и уменьшаться. Эффект изменения расстояния между частицами 1 и 2 при переходе в систему S является чисто метрологическим. Переход к другим эталонам в системе S изменяет расстояние между частицами, моменты времени, а также силы вызывающие их ускоренное движение.

Заключение

В статье получено общее выражение для релятивистского закона движения частицы и . Рассмотрены частные случаи релятивистского движения частицы: равноускоренное с равномерным перемещением и периодическое с равномерным перемещением.
Релятивистские выражения для закона движения, импульса, энергии, силы в общем случае имеют фрактальный вид.
Очевидно, что внутренние процессы в частице, определяемые электромагнитным взаимодействием элементов структуры, изменяются при изменении характеристик движения частицы. Уравнения движения, соответствующее такому случаю показывают, что силы изменяются таким образом, что возникают два релятивистских эффекта. Во-первых, периодическое движение замедляется на коэффициент \(1/\gamma_u\) или можно сказать, что движущиеся с постоянной скоростью \(\mathbf{u}_0\) часы начинают идти медленнее. Во-вторых, движущееся с постоянной скоростью \(\mathbf{u}_0\) тело сплющивается (сокращается) в \(\gamma_u\) - раз по направлению скорости \(\mathbf{u}_0\) . С другой стороны существует метрологический эффект изменения расстояния и замедления времени, существующий только при переходе из одной ИСО в другую.
В статье применен метод вычисления запаздывающих расстояний (электродинамика) с использованием фрактальных функций. Это позволяет для любого случая движения заряженных точек пересчитывать их электромагнитное взаимодействие при переходе в другую систему отсчета.
 Полученные результаты показывают возможность применения фрактальных функций в других разделах физики и математики. В настоящее время фракталы воспринимаются как чисто геометрические облъекты. Метрологическое понимание преобразований Лоренца позволяет приступить к созданию теории неинерциальных систем отсчета. Общая теория относительности А.Эйнштейна является теорией гравитации.
 thebibliography99
 t1
Г. А. Лорентц, Теория электронов, ГИТТЛ, Москва (1956) 
 t2
А. Эйнштейн, Сборник научных трудов, т.1, стр.138-164, Наука, Москва (1965)
 t3
S. S. Stepanov, Relativistic world, v.1, Berlin, Boston: De Gruyter (2018), http://synset.com
 thebibliography