# Некомпактность калибровочной группы SO(2, 1), как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы

В работе исследуется калибровочная теория с некомпактной группой SO(2,1), метрика Киллинга которой имеет сигнатуру (−, +, +). Показано, что отрицательный компонент метрики нетривиально проектируется в тензор энергии-импульса: в статической конфигурации вклады секторов взаимно сокращаются (Ttt=0), однако при наличии топологического дефекта — голономии векторного потенциала, обусловленной фундаментальной группой π1(R2∖{0})=Z, — некомпактный сектор возбуждается и плотность энергии становится отрицательной (Ttt

| Поле | Значение |
|---|---|
| Автор | Максимов Максим Владимирович |
| Организация | Частный исследовательский проект |
| Раздел | Физика |
| Опубликовано | 21.09.2026 |
| Идентификатор | AX-136136 |
| Лицензия | CC BY 4.0 |
| Ключевые слова | Некомпактная калибровочная группа, SO(2, 1), метрика Киллинга, отрицательная плотность энергии, голономия, топологический дефект, тензор энергии-импульса, тёмная энергия, космология |

Полный текст (PDF): https://arxivorg.ru/upload/iblock/ee7/la2a1h1hxv3ktdl2qgf2c1fbbo1r99au/Preprint_SO_2_1_negative_energy.pdf
Источник (HTML): https://arxivorg.ru/physics/nekompaktnost-kalibrovochnoy-gruppy-so-2-1-kak-klassicheskiy-istochnik-otritsate/
Архив: арХиворг.ру — открытый архив научных препринтов на русском языке.

## Полный текст

1 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 УДК 530.24:514.7:530.12:524.8 Автор: Максимов Максим Владимирович Организация: частный исследовательский проект E - mail : maksum . arakaev @ yandex . ru Телефон: +79046667422 Некомпактность калибровочной группы SO (2, 1) , как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы Аннотация В работе исследуется калибровочная теория с некомпактной группой SO(2,1), метрика Киллинга которой содержит отрицательный компонент κ = diag(−1, +1, +1). Показано, что этот структурный знак минус нетривиально проектируется в тензор энергии - импульса: в статической конфигурации вклады секторов взаимно сокращаются (T tt = 0), однако при наличии топологического дефекта — нетривиальной голономии векторного потенциала, обусловленной фундаментальной группой π₁(ℝ² \ {0}) = ℤ — некомпактный сектор «просыпается», и плотность энергии становится отрицательной: T tt < 0. Механизм не требует квантования: эффект чисто классический, возникающий из топологии расслоения и знака метрики Киллинга. Получена оценка масштабирования T tt ∝ n⁴·R⁻⁴, где n — число квантов магнитного потока. Обсуждается лабораторная реализация в коа ксиальной геометрии с резонансным возбуждением и космологические перспективы — связь с тёмной энергией и возможное объяснение ускоренного расширения Вселенной без введения космологической постоянной.

2 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 Введение Современная физика придерживается эвристическо го правила: компактность калибровочной группы — необходимое условие физической реализуемости. Некомпактные группы традиционно отвергаются из - за кажущегося запрета на отрицательные плотности энергии, нарушающие стандартное неравенство T tt ≥ 0. Это правило, однако, опирается на молчаливое предположение: что метрика Киллинга положительно определена. Для компактных групп (SU(2), SU(3)) это так. Но для некомпактной группы SO(2,1) метрика Киллинга имеет сигнатуру (−, +, +) — и именно этот структурный минус меняет всё. В данной работе мы показываем, что отрицательная плотность энергии в калибровочной теории с SO(2,1) — не патология и не артефакт квантования, а прямое классическое следствие топологии расслоения и знака метрики Киллинга. Ключевую роль играет голономи я векторного потенциала вокруг топологического дефекта: она проектирует компактный сектор в некомпактный, нарушая баланс, который в статике давал T tt = 0, и приводя к T tt < 0. Работа строит мост между абстрактной алгебраической структурой некомпактной груп пы и наблюдаемыми физическими эффектами — от лабораторных оценок до космологии. Глава 0. Термины и обозначения 0.1. Калибровочная группа SO (2,1) — некомпактная группа изометрий двумерного пространства постоянной отрицательной кривизны (псевдосфера Лобачевского). Состоит из линейных преобразований трёхмерного пространства с метрикой сигнатуры (+, +, −), сохраняющих эту метрику.

3 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 В отличие от компактной SU (2) (группы изометрий сферы), метрика Киллинга SO (2,1) не является положительно определённой. Это ключевое свойство — источник всех эффектов данной статьи. Метрика Киллинга κ ab — симметричная билинейная форма на алгебре Ли, определяющая свёртку в тензоре энергии - импульса. Для SO (2,1) в базисе генераторов K ₁, K ₂, K ₃: κ ab = diag (−1, −1, +1) Секторы a = 1 , 2 — некомпактные (соответствуют бустам, κ ₁₁ = κ ₂₂ = −1). Сектор a = 3 — компактный (соответствует вращению, κ ₃₃ = +1). В SU (2) все три диагональных элемента равны +1 — и ни один из эффектов данной статьи невозможен. 0.2. Калибровочные поля и потенциалы К алибровочный потенциал A a μ — векторное поле со значением в алгебре Ли группы SO (2,1). Индекс μ = t , r , φ , z — пространственно - временной (в цилиндрических координатах), индекс a = 1, 2, 3 — внутренний (адрес сектора).  A ³ — электромагнитный сектор. Компонента A ³ φ — азимутальный потенциал, создаваемый цилиндром с магнитным потоком (эффект Ааронова – Бома). При динамическом возмущении получает добавку ψ : A ³ φ = ( c ₃ + ψ )/ r .  A ¹ — некомпактный сектор 1. Компонента A ¹ φ — азимуталь ный потенциал, индуцированный A ³ φ через угол проекции α : A ¹ φ = A ³ φ · tan α . Компонента A ¹ z — продольный потенциал, фоновый, «искривляется» при появлении A ³.  A ² — некомпактный сектор 2. Компонента A ² r — радиальный потенциал, фоновый, «искривляется» при появлении A ³. Ортогонален плоскости голономии (см. 0.5). 0.3. Некомпактный вакуум Некомпактный вакуум — состояние системы при отсутствии электромагнитного потенциала A ³. Некомпактные потенциалы A ¹, A ² о днородны (пространственные константы), коммутаторов нет, тензор энергии - импульса равен нулю. Вакуум «спит».

4 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 При появлении A ³ (от цилиндра с потоком) некомпактный вакуум «просыпается»: A ³ искривляет однородные фоновые потенциалы, они приобретают пространств енную структуру (~1/ r ), и коммутаторы становятся ненулевыми. Аналогия из ОТО: масса искривляет плоское пространство - время, здесь — электромагнитный потенциал искривляет однородный некомпактный фон. 0.4. Угол проекции α Угол проекции α — безразмерный параметр, характеризующий «наклон» вектора потенциала в плоскости ( K ₁, K ₃) при наличии голономии. Определяет, какая доля A ³ φ проецируется в A ¹ φ : tan α = A ¹ φ / A ³ φ В статье [1] α входил как параметр анзаца. В данной статье α — характеристика проекции электромагнитного потенциала на некомпактный фон. Значение α = 45° ( tan α = 1) выделяется условием светового конуса в статике (см. 0.8) и уравнением движения. Возможен второй угол проекции β , характеризующий проекцию A ³ → A ² (в плоскости ( K ₂, K ₃)). В данной статье рассматривается β = 0 (минимальная модель); обобщение на β ≠ 0 — для будущей работы. 0.5. Голономия и плоскость проекции Голономия — нетривиальный параллельный перенос в пространстве внутренних секторов при обходе вокруг топологическо го дефекта (оси цилиндра). Обход меняет направление вектора потенциала: поворачивает его в плоскости ( K ₁, K ₃) на угол 2 πα . Плоскость голономии ( K ₁, K ₃) — двумерная плоскость в пространстве внутренних секторов, в которой действует голономия. Генератор K ₃ (к омпактный) и K ₁ (некомпактный) лежат в этой плоскости. Генератор K ₂ (некомпактный) ортогонален ей. Отсюда — структурное неравноправие некомпактных секторов:  A ¹ лежит в плоскости голономии → связан с A ³ через угол α

5 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026  A ² ортогонален плоскости голономии → не связан с A ³ через азимутальную компоненту (но связан через коммутаторы с радиальной компонентой) Это разделение — не выбор анзаца, а следствие алгебры SO (2,1) и геометрии обхода (вдоль φ ). 0.6. Топологический дефект Топологический дефект — ось цилиндра, вокруг которого калибровочный потенциал имеет нетривиальную голономию. Физически реализуется цилиндром с магнитным потоком (как в эффекте Ааронова – Бома): магнитное поле локализовано внутри цилиндра, вне — нулевое, но в екторный потенциал A ³ φ ~ 1/ r ненулевой. Существование дефекта обусловлено нетривиальной фундаментальной группой: π ₁( R ² \ {0}) = Z . Без дефекта — нет голономии, нет A ³, некомпактный вакуум не «просыпается», эффекта нет. 0.7. Сходящаяся цилиндрическая волна Сходящаяся цилиндрическая волна — электростатическое возмущение, создаваемое синфазной подачей напряжения на боковую поверхность проводящего цилиндра. Волновой фронт движется к оси цилиндра, проходит через неё и становится расходящейся волной. Синфазная по дача — одновременное приложение одинакового потенциала ко всей боковой поверхности. В этом режиме возмущение не зависит от φ и z — только от r и t . Компенсация электрического поля — в момент, когда сходящаяся и расходящаяся волны накладываются, радиальное элект рическое поле компенсируется: ∂ r ψ ≈ 0. При этом потенциал ψ — в экстремум е (максимуме или минимуме), и ∂ t ψ ≈ 0. Поле равно нулю, потенциал — нет. Это режим Ааронова – Бома: E ≈ 0, но ψ ≠ 0. 0.8. Напряжённости поля Тензор напряжённости Янга – Миллса [2]: F a μν = ∂ μ A a ν − ∂ ν A a μ + g Σ ε a bc A b μ A c ν

6 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 где g — константа связи, ε a bc — структурные константы алгебры SO (2,1). Линейная часть ( ∂ μ A a ν − ∂ ν A a μ ) — абелев вклад, аналогичный ротору в электродинамике. Коммутаторная часть g Σ ε a bc A b μ A c ν — неабелев вклад, возникающий из некоммутативности генераторов. Именно коммутаторная часть ответственна за все эффекты данной статьи. В абелевом случае ( U (1)) она равна нулю. Ключевая асимметрия (центральный факт статьи): коммутаторная компонента F ² φz зависит от A ³ φ = ( c ₃ + ψ )/ r (и модулируется возмущением ψ ), а коммутаторная компонента F ³ rz зависит от A ² r = c ₂/ r и A ¹ z = d ₁/ r , которые не содержат ψ (и не модулируются). Эта асимметрия — источник отрицательной плотности энергии. 0.9. Световой конус Услов ие светового конуса — равенство нулю полной свёртки напряжённостей: κ ab F a μν F b , μν = 0 Физический смысл: «длина» вектора напряжённости в пространстве внутренних секторов равна нулю — компактный сектор в точности уравновешивает н екомпактные. В статике (статья [1]) это условие приводит к T tt = 0 — нулевой плотности энергии. Нарушение светового конуса — κ ab F a F b ≠ 0. В компактных группах ( SU (2)) нарушение всегда даёт κ F ² > 0 → T tt > 0. В некомпактной SO (2,1) нарушение может дать κ F ² < 0 → T tt < 0. Это — основной результат статьи. 0.10. Тензор энергии - импульса ТЭИ Янга – Миллса [2]: T μν = κ ab ( F a μρ F b , ρ ν − 1/4 g μν F a ρσ F b , ρσ ) В метрике (−+++), в ортонормированном базисе, в статике (без временных компонент F tρ ): T tt = 1/4 κ ab F a · F b . При наличии динамики (∂ t ψ ≠ 0) добавляется положительный вклад от индукционного электрического поля: T tt (инд) = (∂ t ψ )² / r ² ≥ 0 . В момент компенсации (∂ t ψ ≈ 0, ∂ r ψ ≈ 0) этот вклад пренебрежимо мал, и доминирует коммутаторный эффект.

7 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 0.11. Возмущение ψ Возмущение ψ ( t , r ) — добавка к электромагнитному потенциалу A ³ φ , создаваемая сходящейся цилиндрической волной от синфазной подачи напряжения на боковую поверхность цилиндра: A ³ φ = ( c ₃ + ψ ( t , r )) / r ψ — безразмерная величина (в единицах, где ℏ = c = 1). Связь с физическим потенциалом: ψ ~ eV · gR ² / (ℏ c ), где V — напряжение, R — радиус цилиндра. В момент компенсации: ∂ r ψ ≈ 0 (поле скомпенсировано), ∂ t ψ ≈ 0 (экстремум), ψ ≠ 0 (потенциал в максимуме). Именно это состояние — «окно» для наблюдения эффе кта. 0.12. Параметры статического фона После «пробуждения» вакуума потенциалы приобретают структуру ~1/ r . Параметры: Символ Смысл Размерность c₃ Амплитуда A ³ φ = c ₃/ r (от цилиндра) безразмерная c₁ = c₃ tan α Амплитуда A ¹ φ = c ₁/ r (индуцирован A ³) безразмерная c₂ Амплитуда A² r = c₂/r (искривлён A³) безразмерная d₁ Амплитуда A¹ z = d₁/r (искривлён A³) безразмерная g Константа связи безразмерная Условие светового конуса в статике при α = 45°: g ² c ₂² = g ² c ₃² + 1 0.13. Временн а́ я шкала и релаксация фона Процесс имеет три характерных времени: Время Что происходит Масштаб τ E Затухание индукционного поля Фарадея ~R/c τ Время существования «окна» (компенсация E , ~R/c

8 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 ψ в экстремуме) τ bg Релаксация некомпактного фона (подстройка c ₂, d ₁ под новый A ³) > R/c Эффект T tt < 0 наблюдается при τ E ≲ τ ≪ τ bg : возмущение достаточно быстрое, чтобы фон не успел релаксировать, и достаточно плавное, чтобы индукционным полем можно было пренебречь в момент компенсации. 0.14. Метрика и система единиц Пространственно - временная метрика — плоская, сигнатуры (−+++): ds ² = − dt ² + dr ² + r ² dφ ² + dz ² , о ртонормированный базис: t̂ , r̂ , φ̂ , ẑ . Система единиц — релятивистская (ℏ = c = 1), если не оговорено иное. Переход к размерным величинам — в главе 3. Глава 1. Постановка задачи 1.1. Три состояния системы Модель описывается через три состояния, логически вытекающие одно из другого. Состояние 0. Вакуум « спит » , то есть не возмущён . То есть нет цилиндра (соленоида) , нет магнитного потока, нет электромагнитного потенциала A ³. Некомпактные потенциалы — однородные пространственные константы: A ¹ z = d ₁ = const , A ² r = c ₂ = const , A ³ φ = 0 Коммутаторы содержат A ³ как множитель — все равны нулю. Тензор энергии - импульса равен нулю. Некомпактный вакуум «спит»: фоновые потенциалы существуют, но не проявляются физически. Это состояние — аналог плоского пространства - времени в ОТО до внесения массы. Состояние 1. Вакуум « просыпается » , поскольку происходит генерация статического инварианта . Вносится проводящий цилиндр с магнитным потоком

9 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 Φ ₀ (как в эффекте Ааронова – Бома). Вне цилиндра магнитное поле равно нулю, но векторный потенциал — нет: A ³ φ = c ₃ / r , c ₃ ∝ Φ ₀ Электромагнитный потенциал A ³ «искривляет» некомпактный вакуум. Однородные фоновые константы перестают быть константами — они приобретают ту же пространственную структуру, что и A ³: A ² r : c ₂ → c ₂/ r , A ¹ z : d ₁ → d ₁/ r Через голономию A ³ проецируется в A ¹ с углом α : A ¹ φ = c ₃ tan α / r = c ₁ / r Коммутаторы «оживают» и уже не нулевые : F ² φz = g c ₃ d ₁ / r ², F ³ rz = g c ₂ d ₁ / r ², F ³ rφ = g c ₂ c ₁ / r ², F ¹ rφ = g c ₂ c ₃ / r ² Условие светового конуса (см. 1.3) уравновешивает их: κ ab F a F b = 0, T tt = 0. Вакуум «напряжён » в некотором смысле (по причине локального искажения реального и некомпактного секторов) . Состояние 2. Сходящаяся электростатическая волна E . На боковую поверхность цилиндра подаётся синфазное напряжение. Возникает сходящаяся цилиндрическая волна — электростатическое возмущение ψ ( t , r ), добавляемое к электромагнитному потенциалу: A ³ φ = ( c ₃ + ψ ( t , r )) / r , A ¹ φ = ( c ₃ + ψ ) tan α / r Волна проходит через ось и становится расходящейся. В момент наложения сходящейся и расходящейся волн происходит компенсация электрического поля: ∂ r ψ ≈ 0 ( E - поле скомпенсировано), ∂ t ψ ≈ 0 (экстремум ψ ), ψ ≠ 0 В этот момент: поле равно нулю, потенциал — нет. Режим Ааронова – Бома в чистом виде. Фоновые потенциалы A ² r = c ₂/ r и A ¹ z = d ₁/ r не модулируются ψ — они «искривлены» A ³ в состоянии 1 и не реагируют на волну напрямую. За время прохождения волны (~ R / c ) некомпактный фон не успевает релаксировать к новому равновесию — параметры c ₂, d ₁ остаются прежними. Импульс ψ модулирует коммутаторы, содержащие A ³ φ и A ¹ φ , но не те, что содержат только A ² r и A ¹ z . Баланс светового конуса нарушается. Результат — T tt ≠ 0, и, как будет показано в главе 2, T tt < 0. 1.2. Аналогия с ОТО ОТО Наша модель

10 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 Фон (без источника) Плоское пространство - время (метрика = const ) Некомпактный вакуум (A¹, A² = const) Источник Масса Цилиндр с потоком → A ³ Отклик фона Метрика искривляется (перестаёт быть const ) A ¹, A ² искривляются (приобретают 1/ r ) Возмущение Приливная волна в искривлённом пространстве Сходящаяся волна ψ в искривлённом некомпактном фоне Эффект Приливные силы (динамика на статическом фоне) T tt < 0 (динамика на статическом фоне) Подчеркиваю, что а налогия концептуальная, не математическая. Но структура причинности та же: источник → искривление фона → возмущение → наблюдаемый эффект. Без источника — нет искривления, без искривления — нет эффекта. Без возмущения — статика в компонентах ТЭИ. 1.3. Статический баланс (состояние 1) В статике ( ψ = 0) коммутаторные компоненты напряжённостей (в ортонормированном базисе): F ² φz = g c ₃ d ₁ / r ², F ³ rz = g c ₂ d ₁ / r ², F ³ rφ = g c ₂ c ₁ / r ², F ¹ rφ = g c ₂ c ₃ / r ² Свёртка с метрикой Киллинга при α = 45° ( c ₁ = c ₃): κ ab F a F b = ( F ³ rz )² + ( F ³ rφ )² − ( F ¹ rφ )² − ( F ² φz )² При c ₁ = c ₃: ( F ³ rφ )² = ( F ¹ rφ )² — сокращаются. Остаётся: κ F ² = g ² d ₁² ( c ₂² − c ₃²) / r ⁴ Условие светового конуса при α = 45° (из статьи [1], с учётом всех компонент — линейных и коммутаторных): g ²( c ₂² − c ₃²) = 1 ⟹ g ² c ₂² = g ² c ₃² + 1 При выполнении этого условия свёртка обращается в ноль: κ F ² = 0, T tt = 0. Это — состояние 1: вакуум проснулся, но световой конус уравновешен. 1.4. Динамическое возмущение (состояние 2) Сходящаяся волна. Синфазная подача напряжения на боковую поверхность ( r = R ): A ³ φ ( t , r ) = ( c ₃ + ψ ( t , r )) / r , A ¹ φ ( t , r ) = ( c ₃ + ψ ( t , r )) tan α / r Остальные потенциалы — статичес кие : A ² r = c ₂ / r , A ¹ z = d ₁ / r

11 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 Момент компенсации. Волна проходит ось, становится расходящейся. В момент наложения: ∂ r ψ ≈ 0 (радиальное E - поле скомпенсировано) ∂ t ψ ≈ 0 ( ψ — в экстремуме) ψ ≠ 0 (потенциал в максимуме) В этот момент индукционный вклад в T tt пренебрежимо мал: T tt (инд) = (∂ t ψ )² / r ² ≈ 0 , а коммутаторны й вклад — конечен и отрицателен ! 1.5. Ключевая асимметрия Коммутаторные части существенных компонент при ψ ≠ 0: F ² φz = g ( c ₃ + ψ ) d ₁ / r ² — модулируется ψ F ³ rz = g c ₂ d ₁ / r ² — не модулируется F ³ rφ = g c ₂ ( c ₃ + ψ ) tan α / r ², F ¹ rφ = g c ₂ ( c ₃ + ψ ) / r ² — модулируются, но сокращаются при α = 45° Структура асимметрии:  F ² φz зависит от A ³ φ = ( c ₃ + ψ )/ r → модулируется  F ³ rz зависит от A ² r = c ₂/ r и A ¹ z = d ₁/ r → не модулируется  F ³ rφ и F ¹ rφ — обе модулируются, но при α = 45° их вклады в κ F ² сокращаются (равны по модулю, противоположны по знаку в свёртке) Единственный некомпенсированный модулируемый вклад — F ² φz , а е динственный балансирующий немодулируемый — F ³ rz . Когда ψ изменяет F ² φz , баланс нарушается: некомпактный сектор ( a = 2, κ ₂₂ = −1) растёт относительно компактного. Из - за минуса в метрике Киллинга это даёт T tt < 0. 1.6. Временн а́ я структура эффекта Эффект T tt < 0 существует в динамическом окне — промежутке времени, в котором выполняются три условия одновременно: 1. Индукци онное поле пренебрежимо мало: ∂ t ψ ≈ 0 (момент компенсации) 2. Радиальное поле пренебрежимо м ало: ∂ r ψ ≈ 0 (геометрическая компенсация сходящейся и расходящейся волн) 3. Фон не релаксировал: c ₂, d ₁ — прежние (процесс быстрый, ~ R / c )

12 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 Шкала времени: τ E ~ R / c (индукция), τ ~ R / c (окно), τ bg > R / c (релаксация фона) . Эффект наблюдается при τ ≪ τ bg : волна проходит за время ~ R / c , а некомпактный фон «не успевает» подстроиться под новый A ³. Это — аналог приливной волны в ОТО: волна проходит быстрее, чем метрика успевает релакс ировать. 1.7. Ч то будем вычислять Цель: вычислить ΔT tt — поправку к плотности энергии в момент компенсации (∂ t ψ ≈ 0, ∂ r ψ ≈ 0, ψ ≠ 0). Метод: подставить модулированные напряжённости в формулу ТЭИ, вычесть статическую часть ( ψ = 0), использовать условие светового конуса в статике для упрощения. Ожидаемый результат: ΔT tt < 0 при ψ > 0, несмотря на E ≈ 0. Знак определяется знаком ψ и знаком c ₃, через метрику Киллинга κ ₂₂ = −1. Глава 2. Вычисление T tt 2.1. Потенциалы в момент компенсации В момент ком пенсации электрического поля (∂ r ψ ≈ 0, ∂ t ψ ≈ 0, ψ ≠ 0) потенциалы в ортонормированном базисе: A³ φ = (c₃ + ψ) / r, A¹ φ = (c₃ + ψ) / r (α = 45°, tan α = 1) A ² r = c ₂ / r , A ¹ z = d ₁ / r Все остальные компоненты — нулевые. В координатном базисе A ³ φ = c ₃ + ψ и A ¹ φ = c ₃ + ψ — константы (как в эффекте Ааронова – Бома: векторный потенциал без поля). Поэтому линейные части F a rφ — нулевые. Весь вклад в rφ - компоненты — коммутаторный. 2.2. Напряжённости в ортонормированном базисе Все н енулевые компоненты (с учётом ∂ r ψ = 0, ∂ t ψ = 0): Компонента Линейная часть Коммутаторная часть Полная

13 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 F¹ rφ 0 +g c₂ (c₃ + ψ) / r² +g c₂ (c₃ + ψ) / r² F³ rφ 0 − g c₂ (c₃ + ψ) / r² − g c₂ (c₃ + ψ) / r² F¹ rz − d₁ / r² 0 − d₁ / r² F³ rz 0 − g c₂ d₁ / r² − g c₂ d₁ / r² F² φz 0 +g (c₃ + ψ) d₁ / r² +g (c₃ + ψ) d₁ / r² Все остальные компоненты ( F ² rφ , F ¹ φz , F ³ φz , F ² rz ) — нулевые! 2.3. Свёртка с метрикой Киллинга Полная свёртка κ ab F a F b (с множителем 2 для недиагональных пар):  Пара rφ : при α = 45° — F ¹ rφ = − F ³ rφ по модулю, а κ ₁₁ = − κ ₃₃. Вклады сокращаются: κ ₁₁ ( F ¹ rφ )² + κ ₃₃ ( F ³ rφ )² = 0  Пара rz : линейная часть (сектор 1, некомпактный) и коммутаторная (сектор 3, компактный): κ ₁₁ ( F ¹ rz )² + κ ₃₃ ( F ³ rz )² = − d ₁²/ r ⁴ + g ² c ₂² d ₁²/ r ⁴ = d ₁² ( g ² c ₂² − 1) / r ⁴  Пара φz : только сектор 2 (некомпактный), чисто коммутаторная: κ ₂₂ ( F ² φz )² = − g ² ( c ₃ + ψ )² d ₁² / r ⁴ . Полная свёртка: κ ab F a F b = 2 d ₁² / r ⁴ · [ g ² c ₂² − 1 − g ² ( c ₃ + ψ )²] 2.4. Условие светового конуса (статика) При ψ = 0: κ F ²| ψ =0 = 2 d ₁² / r ⁴ · [ g ² c ₂² − 1 − g ² c ₃²] = 0 , о ткуда — условие светового конуса: g ² c ₂² = g ² c ₃² + 1 . Компактный сектор ( c ₂, κ ₃₃ = +1) в точности уравновешивает некомпактный ( c ₃, κ ₂₂ = −1) плюс линейную часть ( d ₁, κ ₁₁ = −1). 2.5. Плотность энергии при ψ ≠ 0 ТЭИ в статике (без временных компонент F tα ): T tt = 1/4 κ ab F a F b , п одставляя свёртку: T tt = d ₁² / (2 r ⁴) · [ g ² c ₂² − 1 − g ² ( c ₃ + ψ )²] . Используя условие светового конуса ( g ² c ₂² = g ² c ₃² + 1): T tt = − g ² d ₁² ψ (2 c ₃ + ψ ) / (2 r ⁴) 2.6. Анализ результата При ψ > 0 и c ₃ > 0: 2 c ₃ + ψ > 0 ⟹ T tt < 0 Плотность энергии отрицательна!

14 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 Два режима: Режим Условие T tt Зависимость Линейный ψ ≪ c₃ ≈ −g² d₁² c₃ ψ / r⁴ ∝ ψ Квадратичный ψ ≫ c₃ ≈ −g²d₁²ψ²/(2 r⁴) ∝ ψ² В линейном режиме знак T tt определяется знаком ψ : при ψ > 0 — отрицательный, при ψ < 0 — положительный. В квадратичном — всегда отрицательный (независимо от знака ψ ). Физическая декомпозиция: T tt = [ d ₁² ( g ² c ₂² − 1) / (2 r ⁴)] − [ g ² ( c ₃ + ψ )² d ₁² / (2 r ⁴)] Балансирующий член ( rz - пара): компактный сектор 3 + линейная часть сектора 1. Не з ависит от ψ . Всегда положительный (при световом конусе). Эффект ( φz - пара): некомпактный сектор 2. Зависит от ( c ₃ + ψ )². Всегда отрицательный. При ψ = 0 — баланс. При ψ ≠ 0 — эффект растёт, балансирующий член не меняется → отрицательный итог. 2.7. Структура асимметрии — итог φz (эффект) rz (баланс) rφ (сокращение) Сектор a = 2, некомпактный a = 1, 3, некомпактный + компактный a = 1, 3 κ − 1 − 1 и +1 − 1 и +1 Зависит от ψ? Да (через A³ φ ) Нет Да, но сокращаются Линейная часть? Нет Да (F¹ rz ) Нет Вклад в T tt Отрицательный Положительный Ноль Ключевая асимметрия: модулируемый член — некомпактный ( κ = −1), а балансирующий — компактный ( κ = +1). В компактной группе ( SU (2)) все κ = +1, и модуляция даёт T tt > 0. Только некомпактность SO (2,1) позволяет получить T tt < 0.

15 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 Глава 3. Оценка величины эффекта 3.1. Переход к размерным величинам Формула главы 2 (в естественных единицах ℏ = c = 1): T tt = − g ² d ₁² ψ (2 c ₃ + ψ )/ (2 r ⁴) . В линейном режиме ( ψ ≪ c ₃): T tt ≈ − g ² d ₁² c ₃ ψ / r ⁴ . Параметризуем через физические величины: Символ Смысл Связь с физикой n Число квантов магнитного потока в цилиндре c₃ = n / (2πg) ε Доля возмущения относительно потока ψ = ε · c₃ η Отношение фонового потенциала к AB - потенциалу d₁ = η · c₃ R Радиус цилиндра — g Константа связи — Подставляя c₃ = n/(2πg), d₁ = η c₃, ψ = ε c₃: T tt ≈ − η ² ε n ⁴ / (16 π ⁴ g ² r ⁴) 3.2. Удобная формула для оценки Переводя в единицы СИ (коэффициент 2,08 × 10³⁷ для перехода (ГэВ)⁴ → Дж/м³) и нормируя на n = 10⁶, R = 1 см: T tt ≈ −2 × 10³ · η ² · ε · ( n / 10⁶)⁴ · ( R / 1 см)⁻⁴ Дж/м³ , при g = 1, в линейном режиме ε ≪ 1. 3.3. Базовый сценарий Параметры: Параметр Значение R 1 см Радиус цилиндра n 10⁶ Квантов потока g 1 Константа связи η 1 Фоновый потенциал ≈ AB - потенциал ε 0,01 (1%) Возмущение потока

16 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 Результат: T tt ≈ −20 Дж/м³ = −20 Па . Время существования (динамическое окно, §1.6): τ ~ R / c = 10⁻² / (3 × 10⁸) ≈ 33 пс . Полная энергия в объёме цилиндра (длина L = 1 м): E = | T tt | · π R ² L ≈ 20 × π × 10⁻⁴ × 1 ≈ 6 мДж . 3.4. Параметры установки Установка состоит из двух независимых элементов: статического соленоида внутри цилиндра и системы синфазной подачи напряжения на боковую поверхность. Статический соленоид (внутри цилиндра, создаёт фоновый магнитный поток): Параметр Значение Маг нитный поток Φ 4,1 × 10 ⁻ ⁹ Вб n × Φ₀, Φ₀ = h/e Индукция B (1000 витков, длина 10 см) 13 нТл Очень умеренное поле Ток I 1 мкА Постоянный, не модулируется Ток соленоида — постоянный. Магнитный поток — статический. Это фоновое состояние системы (состояние 1, §1.1), обеспечивающее голономию и «пробуждение» некомпактного вакуума. Электростатическая волна (на боковой поверхности, создаёт возмущение ψ ): Параметр Значение Напряжение V на боковине ~ единицы мВ Синфазно по всей поверхности Длительность «окна» τ ~ 33 пс R/c, радиус 1 см Возмущение ψ ε · c₃ В момент компенсации Напряжение V на боковой поверхности создаёт сходящуюся цилиндрическую волну. Связь с безразмерным ψ : ψ ~ eV · g R ² / (ℏ c ) . При g = 1, R = 1 см, ε = 1% ( ψ = 0,01 · c ₃ = 0,01 · n /(2 π ) ≈ 1,6 при n = 10⁶): V ~ ψ · ℏ c / ( e · g · R ²) ≈ 3 мВ .

17 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 Потенциал в сего лишь м илливольты. Синфазная подача нескольких милливольт на боковую поверхность проводящего цилиндра — технически трудностей не составит . 3.5. Масштабирование Эффект зависит от параметров как: T tt ∝ η ² · ε · n ⁴ · R ⁻⁴ Параметр Влияние Примечание n n⁴ Увеличение n в 100× → эффект в 10 ⁸ раз сильнее R R ⁻ ⁴ Уменьшение R в 10× → эффект в 10 ⁴ раз сильнее η η² Квадратично по фоновому потенциалу ε ε (лин.) / ε² (квадр.) Линейно при ψ ≪ c₃ Ключевой параметр — n ⁴. При n = 10⁸ (сильный сверхпроводящий соленоид) и тех же остальных параметрах: T tt ≈ −2 × 10⁹ Дж/м³ = −2 Г П а . Это уже макроскопическое отрицательное давление. 3.6. Сравнение с известными эффектами Эффект Плотность энергии Условия Наш эф фект (базовый) 20 Дж/м³ n = 10⁶, R = 1 см, η = 1, ε = 1% Наш эффект (максимальный) 2 × 10⁹ Дж/м³ n = 10⁸, η = 1, ε = 10% Казимир (1 мкм) 4,3 × 10 ⁻ ⁴ Дж / м³ Две пластины, d = 1 мкм Казимир (100 нм) 4,3 Дж/м³ Две пластины, d = 100 нм Казимир (10 нм) 4,3 × 10⁴ Дж/м³ Две пластины, d = 10 нм Электрическое поле (1 кВ/м) 4,4 × 10 ⁻ ⁶ Дж / м³ ε₀ E² / 2 Атмосферное давление 10⁵ Дж/м³ Для масштаба В базовом сценарии эффект в 5 × 10⁴ раз сильнее Казимира при 1 мкм и сопоставим с Казимиром при 100 нм. В максимальном сценарии — превосходит Казимир при 10 нм в 5 × 10⁴ раз.

18 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 3.7. Неопределённости Параметр η (отношение d ₁/ c ₃). Главная неопределённость. η — отношение амплитуды некомпактного фонового потенциала к амплитуде AB - потенциала. В нашей модели η — свободный параметр; его значение определяется динамикой «пробуждения» некомпактног о вакуума (§1.1), точное определение которой — вопрос экспериментов (теоретического глубинного исследования) . η T tt (базовый, Дж/м³) Интерпретация 0,01 2 × 10 ⁻ ³ Слабый фон — эффект мал 0,1 0,2 Умеренный фон 1 20 Фон ≈ AB - потенциал 10 2000 Сильный фон Даже при η = 0,01 эффект превосходит Казимир при 1 мкм. При η = 1 — уверенно наблюдаемый. Параметр g (константа связи). В оценке принято g = 1. При g ≪ 1 (слабая связь) эффект ослабляется как g ⁻ ². При g ≫ 1 — усиливается. Точное значение g для SO (2,1) — отдельный вопрос, выходящий за рамки статьи. 3.8. Детектируемость Единственный экспериментально реализуемый метод прямого детектирования эффекта — измерение локального изменения хода времени в безполевой области внутри цилиндрической конструкции. Метод основан на том, что отрицательная плотность энергии T tt <0 в некомпактном секторе модифицирует компоненту метрики g tt , что проявляется как сдвиг частоты эталонного осциллятора, помещённого в область, где E=0 и B=0 . Возникновение T tt <0 требует двух независимых факторов: топологического — голономии векторного поте нциала A φ ≠0 , обусловленной нетривиальной фундаментальной группой π 1 (R2 ∖ {0})=Z , и динамического — электрического возмущения E≠0 , создаваемого сходящейся и самокомпенсирующейся расходящейся волной. Без голономии некомпактный сектор остаётся «закрытым»; без э лектрического возмущения голономия не

19 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 возбуждает некомпактное поле, и в статике T tt =0 . Тензор энергии - импульса некомпактного сектора: T tt ∝ κ нк ⋅ (η ⋅ E) 2 , где η=Φ/Φ 0 — безразмерный параметр голономии (отношение магнитного потока к кванту потока), E — безразмерная амплитуда электрического возмущения, κ нк =−1 — знак метрики Киллинга некомпактного сектора. Ожидаемый сдвиг частоты: Δf / f ∝ (η ⋅ E) 2 / R 4 В резонансном режиме, когда электрическое и магнитное возбуждения связаны ( E ∝ η ), формула сводится к Δf/f ∝ η 4 /R 4 . В общем случае — при раздельном возбуждении соленоида и электродов — параметры η и E независимы, и эффект управляется двумя «ручками»: током в соленоиде и амплитудой электрического импульса на трубках. В качестве детектора могут быть использованы д ва типа устройств: 1. Кварцевый генератор — прецизионный, экранированный, термостатированный и стабилизированный. Генератор помещается на оси конструкции в области, свободной от электромагнитных полей. При подаче питания на соленоиды и возбуждающего сигнала н а трубки регистрируется сдвиг частоты относительно опорного генератора, расположенного вне конструкции. Критическими требованиями являются: термостабилизация с точностью не хуже 10 −3 К, электромагнитное экранирование детектора и схемы управления, а также м ногократное повторение циклов «возбуждение — выключение» для отделения сигнала от дрейфа. 2. Атомные часы / квантовый гравиметр — обеспечивают более высокую чувствительность к изменению метрики (порядка 10 −12 и лучше), что позволяет зафиксировать эффект при меньших значениях η и E . Преимущество — отсутствие зависимости от температурного дрейфа, свойственного кварцевым резонаторам. Однако требования к размещению внутри конструкции усложняют реализацию. Контроль ный эксперимент: тот же детектор, размещённый снаружи конструкции на сопоставимом расстоянии от соленоидов, должен показать нулевой сдвиг частоты — поскольку вне конструкции голономия не создаёт некомпактного возбуждения. Наличие сдвига внутри и его отсутс твие снаружи является однозначным критерием отделения эффекта от наводок и температурных артефактов.

20 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 Масштабирование: при уменьшении амплитуды электрического возмущения E в 2 раза (при фиксированном η ) эффект падает в 4 раза. При уменьшении η в 2 раза — та кже в 4 раза. При одновременном уменьшении обоих в 2 раза — в 16 раз. Это позволяет экспериментально подтвердить зависимость Δf/f ∝ (η ⋅ E) 2 , варьируя параметры независимо. 3.9. Полный тензор энергии - импульса До сих пор рассматривалась только компонента T tt . Но в ОТО [3] все компоненты ТЭИ искривляют метрику — не только плотность энергии, но и давления. Вычислим полный T μν в момент компенсации (∂ t ψ ≈ 0, ∂ r ψ ≈ 0, ψ ≠ 0): T tt = − g ² d ₁² ψ (2 c ₃ + ψ ) / (2 r ⁴) T rr = + g ² d ₁² ( c ₃² + c ₃ ψ + ψ ²/2) / r ⁴ T φφ = − T rr T zz = T tt Два точных тождества: T zz = T tt , T φφ = − T rr . И следовательно — бесследовость (конформная инвариантность Янга – Миллса в 4 D ): − T tt + T rr + T φφ + T zz = 0 3.10. Численные значения компонент ТЭИ При базовом сценарии ( n = 10⁶, R = 1 см, η = 1, ε = 1%): Компонента Значение, Дж/м³ Знак Смысл T tt − 20 − Отрицательная плотность энергии T rr +2040 + Радиальное давление T φφ − 2040 − Азимутальное натяжение T zz − 20 − Продольное натяжение Давления в 100 раз больше плотности энергии. Это не слаборелятивистская материя — это ультрарелятивистская система, где | p | ≫ | ρc ²|.

21 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 В статике ( ψ = 0): T tt = 0, но давления не нулевое — радиальное сжатие и азимутальное растяжение. Они балансируют друг друга в следе, и гравитационного эффекта нет. При возмущении «просыпаются» T tt и T zz — обе отрицательные. Давления T rr , T φφ практически не меняются (они ~ c ₃², а добавка ~ c ₃ ψ ). 3.11. Эффективная гравитационная масса В ОТО [3] источник ньютоновского потенциала — не только T tt , а сумма: ρ эфф = ( T tt + T rr + T φφ + T zz ) / c ² . Для безследового ТЭИ (Янга – Миллс): T rr + T φφ + T zz = T tt , поэтому: ρ эфф = 2 T tt / c ² . Давления удваивают эффект. Знак — отрицательный: антигравитация (репульсия). Базовый сценарий: ρ эфф = 2 × (−20) / (9 × 10¹⁶) ≈ −4,5 × 10⁻¹⁶ кг/м³ . Полная эффективная масса в объёме цилиндра ( πR ² L = 3,14 × 10⁻⁴ м³): M эфф ≈ −1,4 × 10⁻¹⁹ кг . 3.12. Метрическое возмущение В слабом поле ( h μν ≪ 1): h̄ μν ~ 4 G T μν R ² / c ⁴ Компонента h (базовый) Относительно h ̄ tt 7 × 10 ⁻ ⁴⁷ — h ̄ rr 7 × 10 ⁻ ⁴⁵ в 100 раз больше h tt h ̄ zz 7 × 10 ⁻ ⁴⁷ = h tt Анизотропия: радиальное искажение в 100 раз сильнее временного и продольного. Метрика не просто «отрицательная масса» — она анизотропно деформирована: растяжение в радиальном направлении, сжатие в азимутальном. Гравитационный потенциал: Φ / c ² ~ 10⁻⁴⁴ . Для сравнения: у Земли Φ / c ² ~ 7 × 10⁻¹⁰. Эффект в 10³⁴ раз слабее земного тяготения. 3.13. Приливные ускорения a прилив ~ G | ρ эфф | Δr

22 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 При Δr = R = 1 см: a прилив ≈ 3 × 10⁻²⁸ м/с² . Для сравнения: LIGO регистрирует 10⁻¹⁸ м/с². Наш эффект в 10¹⁰ раз слабее порога LIGO . 3.14. Форма искажения пространства Направление Компонента T Эффект Масштаб Радиальное (r) T rr > 0 Расталкивание h rr ~ 10 ⁻ ⁴⁵ Азимутальное (φ) T φφ < 0 Сжатие h φφ ~ 10 ⁻ ⁴⁵ Продольное (z) T zz < 0 Расталкивание h zz ~ 10 ⁻ ⁴⁷ Временное (t) T tt < 0 Антигравитация h tt ~ 10 ⁻ ⁴⁷ Геометрическая картина: цилиндр «раздувается» радиально и «поджимается» азимутально — как тубус, который пытаются растянуть в поперечине. Продольно — слабое расталкивание. По времени — отрицательная масса. 3.15. Масштабирование: что нужно для наблюдения Эффект масштабируется как T tt ∝ n ⁴ · R ⁻⁴ . Магнитное поле внутри цилиндра связано с числом квантов: B = n Φ ₀ / ( π R ² N ), где N — число витков. Оценка порогов детектируемости при R = 1 см, η = 1, ε = 1%, N = 1000: Порог детектирования |T tt |, Дж/м³ n, квантов B, Тл Статус Казимир (1 мкм) 4,3 × 10 ⁻ ⁴ 7 × 10⁴ 9 × 10 ⁻ ⁷ Доступно Казимир (100 нм) 4,3 7 × 10⁵ 9 × 10 ⁻ ⁶ Доступно Базовый сценарий 20 10⁶ 1,3 × 10 ⁻ ⁵ Доступно Атмосферное давление 10⁵ 8 × 10⁶ 1,1 × 10 ⁻ ⁴ Доступно LIGO (h ~ 10 ⁻ ²¹ ) 3 × 10²⁶ 2 × 10¹² 26 Сильный магнит Warp drive 3 × 10³⁹ 2 × 10¹⁴ 2,6 × 10⁵ Нереально Поле Земли — примерно 50 мкТл. Базовый сценарий — 13 мкТл, слабее поля Земли. Порог Казимира (100 нм) достигается при B ~ 9 мкТл — поле в 5

23 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 раз слабее земного. Гравитационная детекция ( LIGO ) требует B ~ 26 Тл — сильный, но технически достижимый магнит (рек орд — 45 Тл). 3.16. Где и что можно детектировать В базовом сценарии какой - либо гравитационный эффект уловить невозможно. Метрическое возмущение 10⁻⁴⁵ — на 24 порядка слабее LIGO . Гравитационная детекция требует n ~ 10¹² ( B ~ 26 Тл) — сильный, но достижимый магнит. Негравитационный эффект может иметь место уже при n = 10⁶: T tt = −20 Дж/м³, что в 5 × 10⁴ раз сильнее Казимира. Детектировать нужно не гравитацию, а саму отрицательную плотность энергии — через измерение локального изменения хода времени в безполевой области внутри цилиндрической конструкции. Метод основан на том, что отрицательная плотность энергии T tt <0 в некомпактном секторе модифицирует компоненту метрики g tt , что проявляется , как сдвиг частоты эталонного осциллятора . Исключение — warp drive [5]: для его реализации нужна T tt ~ 10³⁹ Дж/м³, что требует n ~ 10¹⁴ и B ~ 260 кТл. Физически нереально при нынешних технологиях. Но концептуаль но , наша модель , при подтверждении существования «некомпактного сектора», даёт приблизительный механизм генерации отрицател ьной плотности энергии, на который, каноническая физика пути не указывает . 3.17. Итог главы T tt ≈ −2 × 10³ · η ² · ε · ( n / 10⁶)⁴ · ( R / 1 см)⁻⁴ Дж/м³ Основные результа ты: 1. Базовый сценарий: T tt ≈ −20 Дж/м³, время 33 пс, энергия 6 мДж. На 4 порядка сильнее Казимира (1 мкм). 2. Полный ТЭИ: давления в 100 раз больше плотности энергии. Тождества T zz = T tt , T φφ = − T rr . Бесследовость. 3. Эффективная масса удвоена давлением ( traceless ): ρ эфф = 2 T tt / c ². Знак отрицательный — антигравитация. 4. Гравитационный отклик в базовом сценарии: h ~ 10⁻⁴⁵ — пренебрежимо мал. Порог LIGO требует B ~ 26 Тл.

24 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 5. Анизотропия: радиальное искажение в 100 раз сильнее временного. Цилиндр «раздувается» в п оперечине. 6. Технически: соленоид 1 мкА (постоянный), напряжение на боковине единицы мВ. Слабее поля Земли. 7. Главная неопределённость: параметр η — соотношение некомпактного фона и AB - потенциала. Глава 4. Обсуждение 4.1. Что мы сделали — простыми словами Мы построили теоретическую модель, в которой классическое (не квантовое) калибровочное поле с некомпактной группой симметрии SO (2,1) способно создавать отрицательную плотность энергии в макроскопическом объёме. Не в вакууме квантовых флуктуаций (как эффект Казимира), не в экзотической квантовой материи (как конденсат Бозе – Эйнштейна), а в обычном классическом поле — при наличии топологического дефекта и динамического возмущения. Эффект возникает из трёх компонентов , каждый из которых необходим: 1. Некомпактность группы. Метрика Киллинга SO (2,1) содержит минусы. Без минусов — нет отрицательной энергии, какой бы сложной ни была модель. 2. Топологический дефект. Цилиндр с магнитным потоком создаёт голономию — «закручивание» внутреннего пространства. Без д ефекта — нет связи между секторами (реальным и некомпактным) , нет коммутаторов, нет эффекта. 3. Динамическое возмущение. Сходящаяся электростатическая волна нарушает баланс светового конуса. Без возмущения — статика, T tt = 0. Убери любой из трёх — эффект исчезает. Это не подгонка параметров, а структурное свойство модели.

25 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 4.2. Что такое энергетические условия и нарушаем ли мы их В общей теории относительности [3] есть набор предположений о свойствах материи, которые называются энергетическими условиями. О ни были введены Хокингом и Пенроузом в 1960 – 70 - х годах как часть теорем о сингулярностях — утверждений о том, что при определённых условиях гравитация неизбежно приводит к сингулярности (бесконечной кривизне). Слабое энергетическое условие ( Weak Energy Con dition , WEC ) — самое интуитивное из них. Оно гласит: для любого наблюдателя, движущегося с любой досветовой скоростью, измеренная им плотность энергии неотрицательна. Математически: T μν u μ u ν ≥ 0 для любого времениподобного вектора u μ . На языке компонент — э то означает T tt ≥ 0 и T tt + T rr ≥ 0, T tt + T φφ ≥ 0, T tt + T zz ≥ 0. WEC — не закон природы, а предположение. Физически оно выражает ожидание: «нормальная» материя не может иметь отрицательную плотность энергии. Но квантовая теория поля известна нарушениями WEC — эффект Казимира (отрицательная плотность между пластинами), сжатые состояния света, эффект Хокинга (отрицательная энергия вблизи горизонта чёрной дыры). Все эти эффекты — квантовые. Наша модель нарушает WEC на классическом уровне. Это не противоречие и не ошибка — это результат. Плотность энергии T tt < 0 в момент компенсации волны. Давление T φφ < 0 (азимутальное натяжение) также нарушает WEC . Нарушение — не безграничное: оно существует конечное время (~ R / c ), в ограниченной области (вне цилиндра), и по лная энергия системы (с учётом источника волны) сохраняется. Важно понимать: энергетические условия — не законы сохранения. Закон сохранения энергии ( ∇ μ T μν = 0) в нашей модели выполняется. WEC — дополнительное предположение о знаке плотности, и именно его наша модель обходит за счёт некомпактности группы. 4.3. Почему это не противоречит законам физики Не нарушает закон сохранения энергии. Энергия берётся из внешнего источника — сходящейся волны. Волне нужна энергия на создание, и полная

26 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 энергия системы (волна + поле + гравитация) сохраняется. Отрицательна только локальная плотность энергии в окрестности цилиндра в момент компенсации — не полная энергия Вселенной. Не нарушает принцип неопределённости. Эффект не квантовый — он классический. Никаких нулевых колебаний, никаких виртуальных частиц. Отрицательная плотность возникает из коммутаторной части тензора энергии - импульса — чисто классической величины. Нарушает WEC — но это ожидаемо. Все известные эффекты с отрицательной плотностью энергии (Казимир, сжат ый свет, Хокинг) нарушают WEC . Вопрос не в том, можно ли нарушить WEC — можно. Вопрос в том, насколько и как долго (см. §4.9). Наш эффект — конечной величины и длительности, с прозрачными условиями существования. 4.4. Чем это отличается от Казимира Эффект Казимира Наш эффект Природа Квантовые нулевые колебания вакуума Классическое калибровочное поле Источник отр. энергии Граничные условия (две пластины) Топология (голономия) + динамика (волна) Масштаб Нанометры Сантиметры Величина (базовая) 4,3 × 10 ⁻ ⁴ Дж/м³ (1 мкм) 20 Дж/м³ Управляемость Фиксированная геометрией Управляется потоком и волной Время жизни Стационарный Динамическое окно (~R/c) Казимир — статический, квантовый, микроскопический, слабый. Наш эффект — динамический, классический, макроскопический, сильнее на 4 – 5 порядков. Но — короче по времени. 4.5. Роль некомпактного сектора Представь весы с двумя чашами. В компактной группе ( SU (2)) обе чаши — «положительные»: сколько ни клади, перевес всегда в одну сторону, как игра в одни ворота - T tt > 0.

27 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 В некомпактной группе ( SO (2,1)) одна чаша — «положительная» (компактный сектор 3), а другая — «отрицательная» (некомпактные секторы 1 и 2). В статике весы уравновешены — световой конус, T tt = 0, как показано в [1]. Но есл и толкнуть одну чашу (волна ψ модулирует сектор 3, а через него — сектор 2), равновесие нарушается, и «отрицательная» чаша перевешивает: T tt < 0. В компактной группе толчок даёт тот же результат, но «отрицательной» чаши нет — перевес всегда положительный. Некомпактность — это не техническая деталь, а физическая причина эффекта. 4.6. Почему эффект не был обнаружён ранее Три причины — техническая, теоретическая и временная. Техническая. Эффект требует одновременного выполнения трёх условий: цилиндр с потоком, сходящаяся волна с компенсацией E , и время измерения ~33 пс. Каждое условие по отдельности достижимо, но их комбинация в одном эксперименте — нетривиальна. Синхронизация волны на пи косекундной шкале с интерферометром — сложная задача, но технически реальная. Теоретическая. Некомпактные калибровочные группы в физике изучены гораздо меньше компактных [2]. SU (2), SU (3) — основа Стандартной модели. SO (2,1) — экзотика. Большинство теорети ков просто не рассматривали некомпактные группы , как источник мак роскопических эффектов. Статья [1] показала, что статика даёт световой конус и T tt = 0 — и на этом можно было остановиться, не заметив, что динамика открывает дорогу к T tt < 0. Временная. Эфф ект существует в «окне» длительностью ~ R / c . Для цилиндра 1 см — 33 пикосекунды. Обычные измерения усредняются по миллисекундам и дольше — пикосекундный всплеск просто «размазывается» и теряется в шумах. Нужна либо пикосекундная техника, либо накопление в резонаторе.

28 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 4.7. Ключевая асимметрия — физическая суть Вся конструкция держится на одном факте: модулируемый и балансирующий члены принадлежат разным секторам с разными знаками в метрике Киллинга.  Модулируемый член F ² φz — в некомпактном секторе 2 ( κ ₂₂ = −1). Реагирует на волну ψ через A ³ φ .  Балансирующий член F ³ rz — в компактном секторе 3 ( κ ₃₃ = +1). Не реагирует на ψ . Когда волна увеличивает модулируемый член, балансирующий остаётся прежним. Некомпактный сектор «вырастает» относительно компактного. В метрике Киллинга некомпактный — с минусом. Поэтому рост некомпактного сектора уменьшает T tt . Если рост достаточно большой — T tt становится отрицательным. В компактной группе ( SU (2)) оба сектора — с плюсом. Рост любого даёт T tt > 0. Знак эффекта — свойство алгебры, не параметров. 4.8. Давления и анизотропия Полный ТЭИ — не только T tt . Давления T rr и T φφ в 100 раз больше плотности энергии и противоположны по знаку. Это означает:  Радиально цилиндр «расталкивается» (положительное давление).  Азимутально — «сжимается» (отрицательное давление).  Продольно и по времени — слабое расталкивание и антигравитация. Метрическое возмущение анизотропно: радиальное в 100 раз сильнее временного. Это не похоже на сферически симметричную «отрицатель ную массу» — это цилиндрически симметричная деформация с ярко выраженной анизотропией. Для цилиндра 1 см при n = 10⁶ — h rr ~ 10⁻⁴⁵, что пренебрежимо мало. Но при n = 10¹² — уже на пороге LIGO . 4.9. Квантовые неравенства — что это и причём здесь наша модель В 1990 - х годах физики Ларри Форд ( Larry Ford ) и Томас Роман ( Thomas Roman ) [4] задались вопросом: если квантовая теория поля допускает отрицательную плотность энергии (Казимир, Хокинг), то не значит ли это, что

29 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 можно построить «машину времени» или « кротовую нору» — ведь для этого нужна отрицательная энергия? Форд и Роман показали, что природа защищается: отрицательная энергия ограничена по величине и длительности. Квантовое неравенство ( quantum inequality ) — интегральное ограничение вида: ∫ ρ ( t ) f ( t ) dt ≥ − C / τ ⁴ где ρ ( t ) — плотность энергии, f ( t ) — «оконная функция» (сглаженный импульс длительности τ ), C — константа, зависящая от типа поля. Смысл: усреднённая по интервалу τ плотность энергии не может быть слишком отрицательной. Чем короче интервал — тем больше допустимая по модулю отрицательная величина (потому что τ ⁻⁴ растёт). Чем длиннее — тем слабее может быть отрицательный всплеск. Откуда берутся эти ограничения. Квантов ые неравенства — прямое следствие принципа неопределённости Гейзенберга. В квантовой теории поля энергия поля — оператор, и его флуктуации подчиняются соотношению неопределённости ΔE · Δt ≥ ℏ/2. Отрицательная плотность энергии — это «заём» у вакуума, и чем д ольше ты его держишь, тем больше должен вернуть. Форд и Роман формализовали этот «заём» как неравенство. Для чего используются оно используется . Квантовые неравенства — инструмент для проверки: может ли данный эффект с отрицательной энергией привести к пар адоксам (машины времени, проходимые кротовые норы, нарушение причинности). Если эффект удовлетворяет неравенству — он «безопасен» с точки зрения причинности. Если нарушает — модель внутренне противоречива. Применимы ли они к нашей модели. Наша модель — классическая, не квантовая. Квантовые неравенства выведены для квантовых полей и не применимы к классическим напрямую. Но разумно проверить: не нарушает ли эффект аналогичные классические ограничения (если они существуют). Оценка, д ля нашего эффекта: ρ ~ − 20 Дж/м³, τ ~ 33 пс: ρ · τ ~ −6,6 × 10⁻¹⁰ Дж·с/м³ . Квантовая граница (оценка по аналогии): C / τ ³ ~ ℏ / τ ³ ~ 10⁻³⁴ / (3 × 10⁻¹¹)³ ≈ 3 × 10⁻³ Дж·с/м³ . Наш эффект (~10⁻¹⁰) — на 7 порядков слабее квантовой границы. Даже если применить квантовые неравенства к нашей модели (что строго говоря

30 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 некорректно), эффект удовлетворяет им с огромным запасом. Классические аналоги квантовых неравенств для некомпактных калибров очных групп – предмет дальнейших исследований . 4.10. Можно ли использовать эффект на практике Ближайший горизонт (доступно сегодня):  Детекция через AB - интерферометрию: фазовый сдвиг ~10⁻⁶ рад при n = 10⁶. Электронная голография дости гла 10⁻⁴ рад — нужно увеличение чувствительности в 100 раз.  Калориметрия в резонаторе: накопление за 10⁶ циклов даёт ~6 Дж — измеримо. Средний горизонт (5 – 10 лет):  Усиление потока до n = 10⁸: T tt ~ −10⁹ Дж/м³. Сверхпроводящие соленоиды на 1 Тл — достижимы.  Пикосекундная электроника для синхронизации — активно развивается. Дальний горизонт (теоретически):  n = 10¹²: гравитационная детекция ( LIGO - уровень). Соленоид 26 Тл — достижим, но цилиндр должен быть сверхпроводящим.  n = 10¹⁴: warp drive [5]. Поле 260 кТл — за пределами нынешней цивилизации. 4.11. Что НЕ делает наша модель — и что делает Чтобы избежать п ереоценки, честно перечислим ограничения — и перспективы. Не даёт стационарной отрицательной энергии. Эффект существует в динамическом окне ~ R / c . После релаксации фона T tt → 0. Создать «вечную» отрицательную плотность этим методом нельзя — без непрерывной подачи волн. Не доказывает существование некомпактных калибровочных полей в природе. SO (2,1) — теоретическая конструкция. Если некомпактные калибровочные поля не реализованы физически — эффект не наблюдаем. Но модель показывает, что было бы, если бы они существовали.

31 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 Не определяет параметр η . Соотношение некомпактного фона и AB - потенциала — свободный параметр. Его вычисление требует модели «пробуждения» вакуума — за рамками данной статьи. Не решает на прямую проблему тёмной энергии и тёмной материи — но у казывает направление. Масштабы несопоставимы напрямую: тёмная энергия — ~10⁻⁹ Дж/м³ стационарно во всём объёме Вселенной, наш эффект — ~20 Дж/м³ на 33 пс в лаборатории. Однако механизм, который мы обнаружили — отрицательное давление, возникающее из некомпа ктной структуры калибровочного поля без квантовых эффектов — может оказаться релевантным для космологии. Если некомпактные калибровочные поля (или их аналоги — «некомпактные бозоны – S - фотоны ») присутствуют во Вселенной, их вклад в тензор энергии - импульса через коммутаторные члены может создавать отрицательное давление на космологических масштабах — что и есть тёмная энергия. А их масса (через механизм Хиггса или иной) — давать вклад в тёмную материю. Эти во просы — предмет дальнейших исследований . 4.12. Кл ючевой результат - кратко В классической неабелевой калибровочной теории с некомпактной группой SO (2,1) наличие топологического дефекта (цилиндр с магнитным потоком) «пробуждает» некомпактный вакуум, устанавливая баланс светового конуса с нулевой плотност ью энергии (см. [1]). Динамическое возмущение (сходящаяся электростатическая волна с компенсацией поля) нарушает этот баланс асимметрично: модулируемый член — некомпактный (минус в метрике Киллинга), балансирующий — компактный (плюс). Нарушение даёт отрица тельную плотность энергии ~20 Дж/м³ в базовом сценарии — в 10⁴ раз сильнее Казимира, при технически достижимых параметрах (соленоид 1 мкА, напряжение единицы мВ). Эффект существует в динамическом окне ~33 пс, не требует квантовых механизмов и удовлетворяет квантовым неравенствам [4] с семипорядковым запасом. Механизм — классическое отрицательное давление из некомпактной калибровочной структуры — потенциально релевантен для космологии (тёмная энергия, тёмная материя).

32 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 Глава 5. Выводы 5.1. Основной результат В классической неабелевой калибровочной теории с некомпактной группой SO (2,1) показано существование механизма, создающего отрицательную плотность энергии в макроскопическом объёме без обращения к квантовым эффектам. Механизм основан на трёх стру ктурных элементах: 1. Некомпактность группы ( κ ₂₂ = −1) — источник отрицательного знака в свёртке. 2. Топологический дефект (цилиндр с магнитным потоком) — создаёт голономию, связывающую компактный и некомпактный секторы, и «пробуждает» некомпактный вакуум. 3. Динам ическое возмущение (сходящаяся электростатическая волна с компенсацией поля) — асимметрично нарушает баланс светового конуса. Получена точная формула плотности энергии в момент компенсации: T tt = − g ² d ₁² ψ (2 c ₃ + ψ ) / (2 r ⁴) < 0 при ψ > 0 5.2. Ключевая асимметрия Эффект возникает из асимметрии между двумя коммутаторными членами:  Модулируемый F ² φz — некомпактный сектор ( κ = −1), реагирует на возмущение ψ .  Балансирующий F ³ rz — компактный сектор ( κ = +1), не реагирует на ψ . При ψ ≠ 0 модулируемый член растёт, балансирующий — неизменен. Некомпактный сектор перевешивает. В компактных группах ( SU (2)) обе чаши — с плюсом, перевес всегда положительный. Знак эффекта — свойство алгебры Ли, не свободных параметров. 5.3. Полный тензор эне ргии - импульса Все четыре компоненты ТЭИ вычислены в момент компенсации: T zz = T tt , T φφ = − T rr , Sp T = 0

33 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 Давления в 100 раз больше плотности энергии. Эффективная гравитационная масса удвоена давлением (бесследовость): ρ эфф = 2 T tt / c ². Знак — отрицательный: антигравитация. Метрическое возмущение анизотропно — радиальное в 100 раз сильнее временного. 5.4. Численная оценка В базовом сценарии ( n = 10⁶ квантов потока, R = 1 см, η = 1, ε = 1%): Величина Значение T tt − 20 Дж/м³ Время «окна» 33 пс Полная энергия 6 мДж Соленоид 1 мкА (постоянный) Напряжение на боковине единицы мВ Магнитное поле 13 мкТл (слабее поля Земли) Сравнение с Казимиром в 5 × 10⁴ раз сильнее (1 мкм) Эффект технически достижим с лабораторным оборудованием. Масштабируется как n ⁴: при n = 10⁸ — T tt ~ −10⁹ Дж/м³, при n = 10¹² — гравитационная детекция на уровне LIGO . 5.5. Физическая обоснованность Эффект не нарушает:  закон сохранения энергии ( ∇ μ T μν = 0);  принцип неопределённости (эффект классический);  квантовые неравенства Ford – Roman [4] (запас 7 порядков). Эффект нарушает:  слабое энергетическое условие WEC ( T tt < 0) — что ожидаемо и не противоречит известной физике (Казимир, Хокинг также нарушают W EC ). 5.6. Что не сделано в данной статье  Параметр η (соотношение некомпактного фона и AB - потенциала) — свободный параметр. Его вычисление требует модели «пробуждения» некомпактного вакуума.

34 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026  Время релаксации фона τ bg — оценено качественно ( τ bg > R / c ), но не вычислено из первых принципов.  Точное решение волнового уравнения для ψ ( t , r ) в цилиндрической геометрии — использована качественная картина сходящейся/расходящейся волны. Полное решение ут очнит форму «окна» и величину ∂ t ψ в момент компенсации.  Угол пр оекции β (проекция A ³ → A ²) принят равным нулю ( β = 0). Обобщение на β ≠ 0 может изменить количественные оценки, но не знак эффекта (знак определяется алгеброй).  Гравитационный отклик рассмотрен в линейном приближении слабого поля. Нелинейные эффекты ОТО при n ≫ 10¹² — для будущей работы. 5.7. Перспективы Экспериментальная проверка. Базовый сценарий ( n = 10⁶, 13 мкТл) доступен на существующем оборудовании. Главная техническая задача — пикосекундная синхронизация сходящейся волны с A B - интерферометром. Детекция — через фазовый сдвиг в электронной голографии (порог ~10⁻⁶ рад) или калориметрию в резонаторе (накопление ~6 Дж за 10⁶ циклов). Параметры соленоида — слабее магнитного поля Земли. Миллиамперный ток, милливольтное напряжение. Па раметры не экзотические . Космологическое обобщение. Механизм, обнаруженный в данной статье — классическое отрицательное давление из некомпактной структуры калибровочного поля — потенциально релевантен для двух главных загадок современной космологии:  Тёмная энергия. Если некомпактные калибровочные поля (или их аналоги — «некомпактные бозоны», S - фотоны) присутствуют во Вселенной, их вклад в тензор энергии - импульса через коммутаторные члены может создавать отрицательное давление на космологических масштабах — что и наблюдается как ускоренное расширение Вселенной.  Тёмная материя. Бозоны некомпактного сектора — безмассовые, как и обычные фотоны. Однако благодаря неабелевым взаимодействиям между

35 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 собой они могут образовывать связанные состояния — локализованные конфигурации поля. Это аналогично тому, как два безмассовы х фотона с противоположными импульсами в резонаторе образуют систему с ненулевой массой покоя: каждый фотон безмассовый, но система в целом имеет инвариантную массу M ² = ( E ₁ + E ₂)² − ( p ⃗ ₁ + p ⃗ ₂)² > 0 при p ⃗ ₁ = − p ⃗ ₂. Подобным образом связанные состояния S - ф отонов — безмассовых по отдельности — могут обладать эффективной массой и давать гравитационный вклад, не взаимодействуя с обычной материей электромагнитно. Это может наблюдаться , как тёмная материя. Эти вопрос ы — предмет также дальнейшего изучения . Метрик а Алкубьерре [5]. Наша модель даёт естественный механизм генерации отрицательной плотности энергии, необходимой для метрики warp drive Алкубьерре. В базовом сценарии эффект недостаточен ( T tt ~ 20 Дж/м³ при требуемых ~10³⁹ Дж/м³). Но масштабирование n ⁴ пока зывает, что в принципе механизм способен достичь нужных величин — при n ~ 10¹⁴, что требует магнитных полей ~260 кТл. Физически нереально при нынешних техно логиях. Но, в случае подтверждения «некомпактного сектора», есть путь реализации данной проблемы . 5.8. Итог Показано, что классическая неабелева калибровочная теория с некомпактной группой SO (2,1) допускает макроскопическую отрицательную плотность энергии без квантовых эффектов. Эффект возникает из структурного свойства алгебры Ли (некомпактность), реа лизуется на топологическом дефекте (цилиндр с потоком) и активируется динамическим возмущением (сходящаяся волна с компенсацией поля). Величина — на 4 порядка сильнее эффекта Казимира, параметры — слабее магнитного поля Земли. Механизм — классическое отриц ательное давление из некомпактности — потенциально релевантен для тёмной энергии и тёмной материи.

36 Некомпактность калибровочной группы SO (2,1) как классический источник отрицательной плотности энергии: механизм, лабораторная оценка и космологические перспективы М.В. Максимов 2026 Литература : [1] Максимов М.В . «Неабелева калибровочная модель на основе SO(2,1): топологические дефекты и кривизна метрики при нулевой плотности энергии». arXiv : AX - 136053. URL : https :// arxivorg . ru / a / AX - 136053 [2] Рубаков В.А. Классические калибровочные поля. М.: УРСС, 2023. — 320 с. [3] Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. М.: Мир, 1977. — Т. 1 – 3. [4] Ford L.H., Roman T.A. Quantum field theory constrain s traversable wormhole geometries. Phys. Rev. D, 53, 5496 (1996). [5] Alcubierre M. The warp drive: hyper - fast travel within general relativity. Class. Quantum Grav., 11, L73 (1994).