# To the electrodynamics of radiation electrically of charged particles.

Продолжается исследование теории действительного векторного поля . В рамках потенциалов Лиенара-Вихерта вычесленны полевые и динамические переменные волнового электроджейтонного поля,генерируемого точечной электрически заряженной частицей. Получены соотношения,определяющие угловые распределения мгновенных мощностей электроджейтонного излучения такой частицы при ее произвольном движении. Предсказано существование явление доминантности продольного электроджейтонного излучения ультрарелятивистских электрически заряженных частиц.

| Поле | Значение |
|---|---|
| Автор | Alebastrov Yu.A. |
| Раздел | Физика |
| Опубликовано | 12.06.2026 |
| Идентификатор | AX-130633 |
| Лицензия | CC BY 4.0 |
| Ключевые слова | электроджейтонное поле, продольные электроджейтонные волны, электроджейтонное излучение. |

Полный текст (PDF): https://arxivorg.ru/upload/iblock/02e/lyvuyv2kfu75bab3l5et847lppudp1nd/Alfeds_V_arXiv%20%D0%B4%D0%BB%D1%8F%20%D0%BF%D0%BE%D1%87%D1%82%D1%8B.tex
Источник (HTML): https://arxivorg.ru/physics/to-the-electrodynamics-of-radiation-electrically-of-charged-particles/
Архив: арХиворг.ру — открытый архив научных препринтов на русском языке.

## Полный текст

Электроджейтонное поле и его полевые и динамические переменные

§ 1. Общая аксиоматика

Теория векторного поля с симметрическими аффинорами, обсуждаемая в [Al1] — [Al9], исходя из математического равноправия и самостоятельности производных тензоров векторного поля $\mathit A(x)$,

$$ F(x)={\widetilde{rot} }\, A(x) \, , \tag{1.1} $$

$$ G(x)={\widetilde{def}}\, A(x)\, , \tag{1.2} $$

в которых 4 - тензорные дифференциальные операторы $\widetilde{rot}$ и $\widetilde{def} $ представлены соотношениями

$$ \widetilde{rot}\, \stackrel{def}{=} \, \partial\, \overset{a}{\otimes}\, , \tag{1.3} $$

$$ \widetilde{def}\, \stackrel{def}{=} \, \partial\, \overset{s}{\otimes}\, , \tag{1.4} $$

рассматривает поле, определяемое симметрическим производным 4 - тензором 4 - потенциала классической электродинамики, как самостоятельное и равноправное, по отношению к электромагнитному полю, физическое * поле, названное *электроджейтонным полем.

В данной теории электромагнитное поле представлено 4 - тензором $ \mathit F(x)$, определенным соотношением (1.1), в котором $ \mathit A(x)$ — традиционный 4 - потенциал классической электродинамики.

Электроджейтонное поле ассоциировано, соответственно, с 4 - тензором $\mathit G(x)$, определенным соотношением (1.2).

Физическая реальность как классического электромагнитного поля, так и классического электроджейтонного поля определяется, прежде всего, как непосредственным, так и опосредованным силовым воздействием составляющих этих полей на электрически заряженные частицы.

Опосредованное силовое воздействие *на системы * электрически заряженных частиц *джейтонной * составляющей электроджейтонного поля (джейтонного поля), представленной (представленного), согласно (1.2), 3 - тензором

$$ \mathcal{G}(x) = \tilde{def}\, \vec{A}(x)\, , \tag{1.5} $$

где $ \tilde{def} $ — дифференциальный оператор, определенный соотношением [Pob]

$$ \tilde{def} \stackrel{def}{=} \vec{\bigtriangledown}\, \overset{s}{\otimes}\, , \tag{1.6} $$

осуществляется посредством порождаемых ей (им) деформирующих электрических полей, рассмотренных в [Al0].

Как и в [Al0], в целях сопоставления свойств джейтонной составляющей электроджейтонного поля и свойств магнитной составляющей электромагнитного поля, будем одновременно рассматривать обе эти составляющие, представляя последнюю, в соответствии с (1.1), 3 - тензором

$$ \mathcal{F}(x) = \tilde{rot}\, \vec{A}(x)\, , \tag{1.7} $$

в котором $ \tilde{rot} $ —- дифференциальный оператор, определенный соотношением

$$ \tilde{rot} \stackrel{def}{=} {\vec\bigtriangledown}\, \overset{a}{\otimes}. \tag{1.8} $$

В соответствии с взаимно однозначным разложением любого тензора второго ранга на девиатор и шаровой тензор (дилататор), тензор джейтонного поля, $\mathcal{G}(x) $, имеет, в общем случае, две, линейно независимые как по отношению к друг другу, так и к тензору ${\mathcal F}(x)$, составляющие [Al0]

$$ \mathcal{G}_{d}(x) = \tilde{def}_{d}\, \vec{A}(x)\, , \tag{1.9} $$

$$ \mathcal{G}_{\ast}(x) = \tilde{def}_{\ast}\, \vec{A}(x)\, , \tag{1.10} $$

$$ \tilde{def}_{d} \stackrel{def}{=} \vec{\bigtriangledown} \overset{s}{\otimes} - \frac{g}{tr g}\, \vec{\bigtriangledown}\, \cdot\, , \tag{1.11} $$

$$ \tilde{def}_{\ast} \stackrel{def}{=} \frac{g}{tr g}\, \vec{\bigtriangledown}\, \cdot , \qquad g = \vec{e}_{\alpha}\otimes\vec{e}\, ^{\alpha}, \qquad tr g = g\cdot\cdot g\, . \tag{1.12} $$

Поля, представленные этими составляющими, названы *девиатационным джейтонным * полем и *дилатационным джейтонным * полем, соответственно.

Как и в [Al0], в данном контексте тензор рассматривается как инвариантный, по классу допустимых преобразований координат пассивного типа, объект, представляемый различными наборами компонент в различных системах отсчета [Ko, §16.1.].

Термин "векторное поле" используется всюду в рассматриваемой теории исключительно в математическом аспекте.

Производный 3 - тензор второго ранга (производный аффинор векторного поля $\vec {A}(x)$ [Rash, §11.], градиент или локальный аффинор векторного поля $\vec {A}(x)$ [Ko, §16.])

$$ \partial A(x) \stackrel{def}{=} \vec{\bigtriangledown} \otimes \vec{A} (x)\, , \tag{1.13} $$

линейно независимыми составляющими которого являются обсуждаемые тензоры, $ \mathcal{ F}(x)$, $ \mathcal{G}_{d}(x)$ и $ \mathcal{G}_{\ast}(x)$, представляет собой "меру неоднородности" [Bor] векторного поля $\vec {A}(x)$ в некоторый фиксированный момент времени $t$, в бесконечно малой окрестности точки $ \mathit M$, $\delta_{ M}$, то есть, данный тензор определяет, в линейном приближении, соответствующее состояние векторного поля $\vec {A}(x)$ в $ \delta_{ \mathit M}$ [BSh].

Это состояние, в силу соотношения [Al0],

$$ \vec{ \mathit A}_{\mathit \partial A}(N)=\partial A( \mathit M)^T\! \cdot \vec{\rho}\, ( \mathit N), \quad \mathit N \in \delta_{ \mathit M}\, , \tag{1.14} $$

рассматриваемого как отображение $V\otimes V\mapsto V$, геометрически представляется векторным полем, конгруэнция векторных линий которого определяется фазовым портретом динамической системы

$$ \frac{d\, \vec{ r}}{d\, \tau}=\partial A( \mathit M)^T\!\cdot\, {\vec r}\, . \tag{1.15} $$

Данную *конгруэнцию * предложено рассматривать в качестве геометрического образа производного тензора $\partial A(x)$ и именовать *фазовым портретом * этого тензора [Al0].

Используя такой подход к получению геометрических образов рассматриваемых тензоров второго ранга в [Al0] определены соответствующие геометрические образы тензоров ${\mathcal F}(x)$, $\mathcal G_d(x)$, и $\mathcal G_*(x)$, представленные на рис. 1.1.

Как и в [Al0], точка $M$ одновременно рассматривается в качестве начала системы координат, в связи с чем, в соответствующих формулах будем часто использовать равенство $\vec{\rho}(N)=\vec{r}(N)$.

*Фазовые портреты тензоров ${\mathcal F}(M)$, ${\mathcal G}_d(M)$ и ${\mathcal G}_*(M)$ в евклидовом пространстве $E^2$, представленные, соответственно, классическим центром, седлом и дикритическим (звездным) узлом (аттрактором, при $div\, {\vec A}(M)>0$, и репеллером, при $div\, {\vec A}(M)\sqrt{7}/7$ , мгновенная мощность продольного электроджейтонного излучения релятивистской электрически заряженной частицы в $(1+5\, \beta^{\, 2})\, \gamma^{\, 2}/2$ раз превышает мгновенную мощность поперечного электромагнитоджейтонного излучения этой частицы, становясь доминирующей в ультрарелятивистском случае.

Различие значений рассматриваемых мощностей, при различных значениях $\beta$, обусловлено различием значений соответствующих сомножителей при $e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}/c$ в выражениях правых частей соотношений (5.10)—(5.12), то есть, различием значений следующих функций

$$ g(\beta)\, :=\, \frac{1}{3}\, \, \frac{1+5\, \beta^{\, 2}}{(\, 1-\beta^{\, \, 2}\, )^{\, 4}}\, , \tag{5.15} $$

$$ f(\beta)\, :=\, \frac{2}{3}\, \, \frac{1}{(\, 1-\beta^{\, \, 2}\, )^{\, 3}}\, , \tag{5.16} $$

$$ t(\beta)\, :=\, \frac{1+\beta^{\, 2}}{(\, 1-\beta^{\, \, 2}\, )^{\, 4}}\, . \tag{5.17} $$

На рис. 5.2 приведены графические представления функций $g(\beta)$ и $f(\beta)$ в интервале значений $\beta\in[\, 0\, , \, 0.8\, ]$ и графическое представление функции $k(\beta):=g(\beta)/f(\beta)=P_{\mathcal{G}^{\, \ell}}/P_{\mathcal{F}G_{d}^{\, t}}$ в интервале значений $\beta\in[\, 0.90\, , \, 0.99\, ]$.

Во втором случае , (5.2) — (5.5) приводят к следующим соотношениям, определяющим, в частности, угловые распределения элементарных мгновенных мощностей рассматриваемых излучений в соприкасающейся плоскости $\mathcal{Q}(t^{\, \acute{}}\, )$ $(\varphi\, =\, 0)$, качественно графически представленных диаграммами на рис. 5.3,

$$ dP_{\mathcal{G}^{\, \ell}}\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, \frac{\sin^{\, \, 2}\theta}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 5}}\, \, d\, \Omega\, , \tag{5.18} $$

$$ dP_{\mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, \frac{(\, \cos\theta-\beta)^{\, 2}}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 5}}\, \, d\, \Omega\, , \tag{5.19} $$

$$ dP\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, \frac{(\, \cos\theta-\beta)^{\, 2}+\sin^{\, 2}\theta}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 5}}\, \, d\, \Omega\, , \tag{5.20} $$

$$ dP_{\, \mathcal{F}}\, =\, \frac{1}{2}\, dP_{\, \mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, = \, dP_{\, \mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, . \tag{5.21} $$

*Сечения соприкасающейся плоскостью пространственных диаграмм направленности мгновенных значений мощностей излучений точечного электрического заряда при $\dot{\vec{\beta}}\, norm\, \vec{\beta}$ , для нерелятивистского, a), и релятивистского ( $\beta\, \sim\, 0.3$ ), b) и c), движений этого заряда.*

Символами $g(\theta, \beta)$, $f(\theta, \beta)$ и $t(\theta, \beta)$, на рис. 5.3, обозначены формулы диаграмм направленности мгновенных мощностей излучений, определенные вторыми сомножителями правых частей соотношений (5.18), (5.19) и (5.20), соответственно.

Масштаб диаграммы а) уменьшен по отношению к масштабу диаграмм b) и c) приблизительно в 3 раза при том же значении ускорения.

Диаграмма рис. 5.3 b) наглядно демонстрирует наличие известного, в целом, поперечного электромагнитоджейтонного излучения, представленного на данной диаграмме задним и главным лепестками, с максимумом плотности энергии в направлении вектора $\vec{\beta}$, превосходящим, в данном случае, максимум плотности энергии продольного электроджейтонного излучения, представленного, на этой диаграмме, боковыми лепестками.

После выбора в качестве декартовой системы координат сопутствующую прямоугольную декартову систему координат, орты которой определены естественным трехгранником Френе [Nev] и при этом так, что $\vec{e_{z}}=\vec{\tau}=\vec{\beta}/\beta$ (Фиг. 14.6 из [Jack]), будем иметь, в данном случае, соотношение

$$ \cos\Theta\, =\, \sin\theta\, \cos\varphi\, , \tag{5.22} $$

в котором $\Theta$ — угол между векторами $\vec{n}$ и $\dot{\vec{\beta}}$ .

Использование (5.22) в (5.2) — (5.5) приводит к следующим равенствам, определяющим угловые распределения элементарных мгновенных мощностей рассматриваемых излучений при любом значении азимутального угла $\varphi$,

$$ dP_{\mathcal{G}^{\, \ell}}\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, \frac{\sin^{\, 2}\theta\, \cos^{\, 2}\varphi}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 5}}\, \, d\, \Omega\, , \tag{5.23} $$

$$ dP_{\mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, \left(\frac{1}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 3}}-\frac{(1-\beta^{\, 2})\sin^{\, 2}\theta\, \cos^{\, 2}\varphi}{(\, 1- \beta\, \cos\theta\, )^{\, 5}}\right)\, d\, \Omega\, , \tag{5.24} $$

$$ dP\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, \left(\frac{1}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 3}}+\frac{\beta^{\, 2}\, \sin^{\, 2}\theta\, \cos^{\, 2}\varphi}{(\, 1- \beta\, \cos\theta\, )^{\, 5}}\right)\, d\, \Omega\, , \tag{5.25} $$

$$ dP_{\, \mathcal{F}}\, =\, \frac{1}{2}\, dP_{\, \mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, = \, dP_{\, \mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, . \tag{5.26} $$

При этом вновь отмечаем совпадение правой части равенства (5.24) с правой частью соответствующего соотношения, определяемого формулой (14.44) из [Jack].

Последовательное интегрирование равенств (5.23) — (5.26) по полному телесному углу приводит к следующим выражениям для мгновенных мощностей рассматриваемых излучений точечного электрического заряда в данном случае

$$ P_{\mathcal{G}^{\, \ell}}\, =\, \frac{1}{3}\, \, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{c}\, \, \gamma^{\, 6}\, , \tag{5.27} $$

$$ P_{\mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, = \, \frac{2}{3}\, \, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{c}\, \, \gamma^{\, 4}\, , \tag{5.28} $$

$$ P\, =\, \frac{1}{3}\, \, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{c}\, (\, 3-2\, \beta^{\, 2}\, )\, \gamma^{\, 6}\, , \tag{5.29} $$

$$ P_{\, \mathcal{F}}\, =\, \frac{1}{2}\, P_{\, \mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, = \, P_{\, \mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, , \tag{5.30} $$

с ожидаемым совпадением правой части соотношения (5.28) с правой частью соотношения (14.46) из [Jack], определяющего полную мгновенную мощность электромагнитного излучения точечного электрического заряда в рассматриваемом случае.

Сопоставление (5.27) и (5.28) приводит к соотношению

$$ P_{\mathcal{G}^{\, \ell}}\, = \, \frac{1}{2}\, \gamma^{\, 2}\, P_{\mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, , \tag{5.31} $$

демонстрирующему, что, в данном случае, при $\beta>\sqrt{2}/2$ , мгновенная мощность продольного электроджейтонного излучения релятивистской электрически заряженной частицы в $\gamma^{\, 2}/2$ раз превышает мгновенную мощность поперечного электромагнитоджейтонного излучения этой частицы, становясь, как и при $\dot{\vec{\beta}}\, coll\, \vec{\beta}$, доминирующей в ультрарелятивистском случае.

Различие значений рассматриваемых мощностей при различных значениях $\beta$ обусловлено различием значений соответствующих сомножителей при $e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}/c$ в выражениях правых частей соотношений (5.27) — (5.29), то есть, различием значений следующих функций

$$ g(\beta):=\, \frac{1}{3}\, \, \frac{1}{(\, 1-\beta^{\, 2}\, )^{3}}\, , \tag{5.32} $$

$$ f(\beta):=\, \frac{2}{3}\, \, \frac{1}{(\, 1-\beta^{\, 2}\, )^{2}}\, , \tag{5.33} $$

$$ t(\beta):=\, \frac{1}{3}\, \, \frac{3-2\, \beta^{\, 2}}{(\, 1-\beta^{\, 2}\, )^{3}}\, . \tag{5.34} $$

На рис.5.4 приведены графические представления функций $g(\beta)$ и $f(\beta)$ в интервале значений $\beta\in[\, 0\, , \, 0.8\, ]$ и графическое представление функции $k(\beta):=g(\beta)/f(\beta)=P_{\mathcal{G}^{\, \ell}}/P_{\mathcal{F}G_{d}^{\, t}}$ в интервале значений $\beta\in[\, 0.90\, , \, 0.99\, ]$.

В свою очередь, (5.10) — (5.12) и (5.27) — (5.29), после учета соотношений (9.2) и (9.3) из [La], определяющих связь сил, действующих на частицу, и соответствующих ускорений этой частицы в случаях, когда скорость частицы изменяется только по направлению и когда скорость частицы изменяется только по величине, приводят к следующим представлениям рассматриваемых мгновенных мощностей в данных частных случаях

$$ P_{\mathcal{G}^{\, \ell}\, norm}\, = \, \frac{1}{3}\, \, \frac{e^{\, 2}}{m^{\, 2}\, c^{\, 3}}\, \, \gamma^{\, 4}\, \left(\, \frac{d\vec{p}}{dt}\, \right)^{\, 2}\, , \tag{5.35} $$

$$ P_{\mathcal{G}^{\, \ell}\, coll}\, = \, \frac{1+5\, \beta^{\, 2}}{3}\, \, \frac{e^{\, 2}}{m^{\, 2}\, c^{\, 3}}\, \, \gamma^{\, 2}\, \left(\, \frac{d\vec{p}}{dt}\, \right)^{\, 2}\, , \tag{5.36} $$

$$ P_{\mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}\, norm}\, = \, \frac{2}{3}\, \, \frac{e^{\, 2}}{m^{\, 2}\, c^{\, 3}}\, \, \gamma^{\, 2}\, \left(\, \frac{d\vec{p}}{dt}\, \right)^{\, 2}\, , \tag{5.37} $$

$$ P_{\mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}\, coll}\, = \, \frac{2}{3}\, \, \frac{e^{\, 2}}{m^{\, 2}\, c^{\, 3}}\, \left(\, \frac{d\vec{p}}{dt}\, \right)^{\, 2}\, , \tag{5.38} $$

$$ P_{\, norm}\, = \, \frac{3-2\, \beta^{\, 2}}{3}\, \, \frac{e^{\, 2}}{m^{\, 2}\, c^{\, 3}}\, \, \gamma^{\, 4}\, \left(\, \frac{d\vec{p}}{dt}\, \right)^{\, 2}\, , \tag{5.39} $$

$$ P_{\, coll}\, = \, (\, 1+\beta^{\, 2})\, \, \frac{e^{\, 2}}{m^{\, 2}\, c^{\, 3}}\, \, \gamma^{\, 2}\, \left(\, \frac{d\vec{p}}{dt}\, \right)^{\, 2}\, , \tag{5.40} $$

демонстрирующим, в частности, что при заданной величине мгновенной силы, приложенной к частице, обладающей заданной величиной скорости, имеют место соотношения

$$ P_{\mathcal{G}^{\, \ell}\, norm}\, =\, \frac{1}{1+5\, \beta^{\, 2}}\, \, \gamma^{\, 2}\, P_{\mathcal{G}^{\, \ell}\, coll}\, , \tag{5.41} $$

$$ P_{\mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}\, norm}\, =\, \gamma^{\, 2}\, P_{\mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}\, coll}\, , \tag{5.42} $$

$$ P_{\, norm}\, =\, \frac{3-2\, \beta^{\, 2}}{\, 3\, (\, 1+\beta^{\, 2}\, )}\, \, \gamma^{\, 2}\, P_{\, coll}\, , \tag{5.43} $$

показывающие, что каждая из данных мгновенных мощностей излучений релятивистской частицы при поперечном её ускорении в $\sim\gamma^{\, 2}$ раз превышает соответствующую мгновенную мощность излучения при продольном её ускорении.

Соотношение (5.42) соответствует известному соотношению мгновенных мощностей электромагнитных излучений электрически заряженной частицы при поперечном и продольном ускорениях этой частицы, при заданной величине мгновенной силы, приложенной к частице, движущейся с заданной величиной мгновенной скорости [Jack].

Следуя [La], рассматрим далее элементарные мгновенные мощности, определяемые соотношением (4.1), представив соответствующие диаграммы направленности излучений таких мощностей для различных значений $\beta$, ограничиваясь, по-прежнему, двумя частными случаями, когда в момент излучения вектор $\dot{\vec{\beta}}$ коллинеарен вектору $\vec{\beta}$ и когда, в такой же момент времени, вектор $\dot{\vec{\beta}}$ нормален вектору $\vec{\beta}$.

Как и прежде, в целях сопоставления, будем одновременно рассматривать такие диаграммы как для продольного электроджейтонного, так и для поперечного электромагнитоджейтонного излучений.

5.1. Диаграммы направленности элементарных мгновенных мощностей излучений точечного заряда при $\dot{\vec{\beta}}\, coll\, \vec{\beta}$.

В этом случае, последовательное использование соотношений (3.33), (3.43) и (3.53) в (4.1) приводит к следующим соотношениям, определяющим угловые распределения элементарных мгновенных мощностей рассматриваемых излучений, регистрируемых в точке наблюдения, в момент времени $t$.

$$ dP_{\mathcal{G}^{\, \ell}}\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, \frac{\cos^{\, \, 2}\theta}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}}\, \, d\, \Omega\, , \tag{5.44} $$

$$ dP_{\mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, \frac{\sin^{\, \, 2}\theta}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}}\, \, d\, \Omega\, , \tag{5.45} $$

$$ dP\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, \frac{1}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}}\, \, d\, \Omega\, . \tag{5.46} $$

$$ dP_{\, \mathcal{F}}\, =\, \frac{1}{2}\, dP_{\, \mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, = \, dP_{\, \mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, . \tag{5.47} $$

Вновь отмечаем, что правая часть равенства (5.45) совпадает с правой частью соотношения [La, (73.13)], определяющего элементарную мгновенную интенсивность электромагнитного излучения точечной электрически заряженной частицы в данном частном случае.

(5.44) — (5.46), в свою очередь, определяют следующие формулы диаграмм направленности рассматриваемых элементарных мгновенных мощностей рассматриваемых излучений

$$ g(\theta, \, \beta)\, :=\, \frac{\cos^{\, 2}\theta}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}}, \tag{5.48} $$

$$ f(\theta, \, \beta)\, :=\, \frac{\sin^{\, 2}\theta}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}}, \tag{5.49} $$

$$ t(\theta, \, \beta)\, :=\, \frac{1}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}}, \tag{5.50} $$

графически представленные, для различных фиксированных значений $\beta$ , на рис. 5.5 — рис. 5.11.

5.2. Диаграммы направленности элементарных мгновенных мощностей излучений точечного заряда при $\dot{\vec{\beta}}\, norm\, \vec{\beta}$.

В этом случае, последовательное использование соотношений (3.33), (3.43) и (3.53) в (4.1) приводит к следующим соотношениям определяющим угловые распределения элементарных мгновенных мощностей рассматриваемых излучений регистрируемых в точке наблюдения в момент времени $t$ .

$$ dP_{\mathcal{G}^{\, \ell}}\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, \frac{\sin^{\, 2}\theta\, \cos^{\, 2}\varphi}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}}\, \, d\, \Omega\, , \tag{5.51} $$

$$ dP_{\mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, \left(\frac{1}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 4}}-\frac{(1-\beta^{\, 2})\sin^{\, 2}\theta\, \cos^{\, 2}\varphi}{(\, 1- \beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}}\right)\, d\, \Omega\, , \tag{5.52} $$

$$ dP\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, \left(\frac{1}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 4}}+\frac{\beta^{\, 2}\, \sin^{\, 2}\theta\, \cos^{\, 2}\varphi}{(\, 1- \beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}}\right)\, d\, \Omega\, , \tag{5.53} $$

$$ dP_{\, \mathcal{F}}\, =\, \frac{1}{2}\, dP_{\, \mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, = \, dP_{\, \mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, . \tag{5.54} $$

И вновь отмечаем совпадение правой части равенства (5.52) с правой частью соотношения [La, (73.14)] , определяющего элементарную мгновенную интенсивность электромагнитного излучения точечной электрически заряженной частицы, когда, в момент излучения, скорость и ускорение этой частицы взаимно перпендикулярны.

(5.51) — (5.53), в свою очередь, определяют следующие формулы диаграмм направленности рассматриваемых элементарных мгновенных мощностей рассматриваемых излучений

$$ g(\theta, \varphi, \beta):=\, \frac{\sin^{\, 2}\theta\, \cos^{\, 2}\varphi}{(\, 1- \beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}}\, , \tag{5.55} $$

$$ f(\theta, \varphi, \beta):=\, \frac{1}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 4}}- \frac{(1-\beta^{\, 2})\sin^{\, 2}\theta\, \cos^{\, 2}\varphi}{(\, 1- \beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}}\, , \tag{5.56} $$

$$ t(\theta, \varphi, \beta):=\, \frac{1}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 4}}+ \frac{\beta^{\, 2}\, \sin^{\, 2}\theta\, \cos^{\, 2}\varphi}{(\, 1- \beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}}\, . \tag{5.57} $$

В свою очередь, (5.55) — (5.57) приводят к соотношениям определяющим угловые распределения рассматриваемых элементарных мгновенных мощностей рассматриваемых излучений в соприкасающейся плоскости $Q(t\, \acute{}\, )$ ($\varphi=0$) , графически представленных, для различных фиксированных значений $\beta$ , на рис.5.12 — рис.5.22.

$$ g(\theta, \beta)\, :=\, g(\theta, 0, \beta)=\, \frac{\sin^{\, 2}\theta}{(\, 1- \beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}}\, , \tag{5.58} $$

$$ f(\theta, \beta)\, :=\, f(\theta, 0, \beta)=\, \frac{(\, \cos\theta-\beta\, )^{\, 2}}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}}\, , \tag{5.59} $$

$$ t(\theta, \beta)\, :=\, t(\theta, 0, \beta)=\, \frac{(\, \cos\theta-\beta\, )^{\, 2}+\sin^{\, 2}\theta}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}}\, . \tag{5.60} $$

Диаграммы направленности, представленные на рис. 5.5 — рис. 5.8 , совместно с соотношением (5.14), демонстрируют, что " к целому ряду необычных и интересных эффектов для релятивистских частиц " [Jack] добавляется эффект (явление) доминантности продольного электроджейтонного излучения таких частиц, по отношению к общеизвестному поперечному электромагнитоджейтонному излучению данных частиц.

Еще более необычный и интересный эффект доминантности продольного электроджейтонного излучения ультрарелятивистских частиц демонстрируют, совместно с соотношением (5.31), диаграммы направленности, представленные на рис. 5.12 — рис. 5.18.

Как следствие такой доминантности, имеем так же и " необычную" топологию диаграмм направленности, представленных на рис. 5.20 — рис. 5.22.

Таким образом, как при $\dot{\vec{\beta}}\, coll\, \vec{\beta}$, так и при $\dot{\vec{\beta}}\, norm\, \vec{\beta}$, свойства излучения ультрарелятивистской точечной электрически заряженной частицы доминантно определяются свойствами доминирующей составляющей, представленной продольным электроджейтонным излучением этой частицы.

Так как в каждый момент времени излучение точечной электрически заряженной частицы, совершающей произвольное криволинейное движение, можно рассматривать так же и как когерентную суперпозицию излучений, обусловленных нормальной и тангенциальной составляющими мгновенного ускорения этой частицы [Jack], то рассматриваемая доминантность продольного электроджейтонного излучения распространяется и на случай произвольного криволинейного движения такой частицы. section Угловые распределения мгновенных мощностей излучения точечного электрического заряда sectionУгловые распределения мгновенных мощностей излучения точечного электрического заряда

В заключение автор вновь выражает глубокую признательность Боголюбову Н.Н. (ст.), Ширкову Д.В. и Блохинцеву Д.И. за стимулирующее обсуждение исходной определяющей идеи рассматриваемой теории, а так же благодарит дирекцию Лаборатории Теоретической Физики Объединенного Института Ядерных Исследований, за предоставленную, в прошлом, возможность выполнения, в данной Лаборатории, курсового (1968 г.), а затем и дипломного (1970 г.) [Al7] проектов, в которых было представлено математическое обоснование вышеуказанной определяющей идеи о физическом существовании классического поля, определяемого симметрическим производным 4-тензором классического электродинамического 4-потенциала, а так же продемонстрирован отличный от нуля вклад данного поля в тензор энергии–импульса произвольной классической электродинамической полевой системы и, тем самым, определена материальность этого поля.

Автор выражает так же глубокую признательность профессору РАН, доктору физико-математических наук Арбузову А.Б. (Лаборатория Теоретической Физики Объединенного Института Ядерных Исследований (г. Дубна)), доктору физико-математических наук Залиханову Б.Ж. и кандидату физико-математических наук Баранову В.А. (Лаборатория Ядерных Проблем Объединенного Института Ядерных Исследований (г. Дубна)) за проявленное внимание к обсуждаемым работам.

Автор Выражает так же глубокую признательность действительному члену АЭН ЧР, доктору технических наук Нестерину В.А. за представление к публикации работ автора [Al2], [Al3] и [Al5] в Трудах Академии Электротехнических Наук ЧР.

Простейшие излучающие системы электрических зарядов и токов

Как и в [Jack, гл.9] рассмотрим примеры простейших излучающих систем с простой геометрией распределения токов, такой что интеграл, определяющий векторный потенциал может быть найден в сравнительно простой замкнутой форме[Jack, гл.9] В качестве примера такой излучающей системы рассмотрим линейную электрическую антенну бегущей волны [Eis, гл.X§1], представленную сплошным, длинным по отношению к $\lambda$, прямолинейным, цилиндрическим проводником длинной $\ell$, находящимся в свободном пространстве(основная излучающая часть антенны Бевереджа, антенны ОБЕ-2 Харченко К.П.). Такая антенна специфична тем что сдвиг фаз между напряжённостями полей излучения, созданными элементарными участками в направлении оси OZ[Eis, рис.1.1.X.], при $V\rightarrow C$, стремится к нулю[Eis, гл.X, §1], создавая благоприятные условия для генерации излучения такой антенны в направлении данной оси. Пусть проводник расположен вдоль оси OZ, сонаправленный с направлением распространения бегущей волны тока в нём, а начало проводника находится в начале оси OZ (рис.3.23? см.также рис.[Eis, рис.1.2.X.]).

*К выводу формул диаграмм направленности излучений линейной, электрической антенны бегущей волны.*

Данная антенна специфична по отношению к известным линейным электрическим вибраторам [Eis, гл.VII, §1] тем, что излучения, генерируемые любыми элементарными участками такой антенны в направлении оси OZ, при $v\rightarrow C$(v-фазовая скорость бегущей волны тока в проводнике), оказываются синфазными[Eis, гл.X, §1], создавая благоприятные условия для генерации продольных электроджейтонных волн, генерируемых такой антенной в направлении данной оси. Симметрическая поверхностная волна[Eis, рис.1.10. IV], распространяющаяся вдоль проводника, как и любая другая поверхностная волна, специфична ещё и значительной концентрацией энергии полей поверхностной волны вблизи провода, способствуя увеличению концентрации энергии излучения в направлении данной оси. [Eis, гл.IV§10] Асимптотическое выражение запаздывающего векторного потенциала, $\vec{A}$($\vec{r}$, t) [Med, гл.II.§1], генерируемого такой антенной, при коэффициенте затухания $\beta=0$, при полном отсутствии отражений на концах антенны и при $ V\rightarrow C $, определяется, согласно [Eis, гл.X, §2] соотношением

$$ \vec{A}(\vec{r}, t) = \frac{I_0 \vec{e_z} e^{-i\omega t}}{cr} \int_{0}^{l} e^{-ikz(\cos\theta -1)} dz :=B_0 \vec{e_z} e^{-i\omega t'} \int_{0}^{l} e^{-ikz(\cos\theta -1)} dz \tag{1} $$

$$ t'=t-r/c \tag{1.1} $$

$$ B_0:=\frac{I_0}{cr} \tag{1.2} $$

После вычисления интеграла правлой части данное равенство принимает вид:

$$ \vec{A}(\vec{r}, t) =B_0 \vec{e_z} e^{-i\omega t'} i \frac{e^{-ikl(\cos \theta -1)}-1}{k(\cos \theta -1)} \tag{2} $$

приводящий к выражению для напряженности электрического поля, сопровождающего электроджейтонное поле излучающей антенны в данный момент времени

$$ \vec{E_A}(\vec{r}, t) =-ik\vec{A}(\vec{r}, t) =B_0 \vec{e_z} e^{-i\omega t'} \frac{e^{-ikl(\cos \theta -1)}-1}{\cos \theta -1} \tag{3} $$

Соотношение (3) приводит к следующему выражению

$$ \vec{E_A^l}(\vec{r}, t) = \vec{n}(\vec{E_A}\cdot \vec{n}) = \vec{n} \cos \theta B_0 e^{-i\omega t'} \frac{e^{-ikl(\cos \theta -1)}-1}{\cos \theta -1}, \tag{4} $$

использование которой приводит к выражению для среднего элементарного потока мощности продольного электроджейтонного излучения данной антенны в момент времени $t$

$$ dP_{G^l} = \vec{S_{G^l}}\cdot \vec(n) \tag{4.1} $$

согласно (3.7) и (4.1):

$$ \vec{S_{G^l}} = \frac{c}{4\pi} \overline{(E^l_A)^2} \cdot \vec{n} \Rightarrow \vec{dP_{G^l}} = \frac{c}{8\pi} R_l(\vec{E^l_A} \cdot \vec{E^l_A}^*)r^2 d\Omega \tag{5} $$

подстановка (4) в (5) приводит к равенству

$$ \vec{dP_{G^l}} = \frac{I_0^2}{2\pi c} \frac{\cos^2 \theta \cdot \sin^2 (\frac{kl}{2}(\cos \theta -1))}{(cos \theta -1)^2} d\Omega , \tag{6} $$

принимающим при $l = n \lambda$ вид:

$$ \vec{dP_{G^l}} = \frac{I_0^2}{2\pi c} \frac{\cos^2 \theta \cdot \sin^2 (\pi n(\cos \theta -1))}{(cos \theta -1)^2} d\Omega , \tag{7} $$

определяющий формулу диаграммы направленности излучения средней по времени мощности продольного электроджейтонного излучения данной антенны

$$ g(\theta , n) = \left( \frac{\cos \theta \cdot \sin (\pi n(\cos \theta -1))}{(cos \theta -1)} \right) ^2 . \tag{8} $$

Диаграммы направленности, определяемые данным соотношением, представлены на рис. 3.24:

*Диаграммы направленности.*

Литература

*Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В.* Введение в теорию квантованных полей. — М.: Наука, 1984
*Медведев Б.В.* Начала теоретической физики. — М.: Наука, 1977
*Ландау Л.Д., Лиифшиц Е.М.* Теория поля. — М.: Наука, 1967
[La], § 6, § 23
*Рашевский П.К. * Риманова геометрия и тензорный анализ. — М.: Наука, 1967
*Джексон Дж.* Классическая электродинамика. — М.: Мир, 1965
*Победря Б.Е. * Лекции по тензорному анализу. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986
*Борисенко А.И., Тарапов И.Е.* Векторный анализ и начала тензорного исчисления. — М.: Изд-во "Высшая школа" , 1963
*Арнольд В.И.* Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1984
*Корн Г., Корн Т. * Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1984
*Седов Л.И.* Механика сплошной среды. т. I. — М.: Наука, 1983
*Новацкий В.* Теория упругости. Пер. с польск..— М.: Мир, 1975, § 2.8
*Немыцкий В.В., Степанов В.В.* Качественная теория дифференциальных уравнений. — Москва - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика." , 2004
*Алебастров Ю.А.* О теории векторного поля с симметрическими аффинорами. В кн.: Метастабильные состояния атомов и молекул и методы их исследований. — Межвуз. сб., Чебоксары, 1981, с. 116 -122
*Алебастров Ю.А.* Теория векторного поля с симметрическими аффинорами. I. Классическое вещественное векторное поле в рамках стандартных методов. — Труды академии электротехнических наук ЧР, № 2, 2002
*Алебастров Ю.А. * Теория векторного поля с симметрическими аффинорами. II. Квантование, пространство состояний и причинная функция. — Труды академии электротехнических наук ЧР, № 2, 2003
*Алебастров Ю.А.* Влияние продольных полей на динамику движения электрически заряженных частиц. В кн.: Аппаратура управления и автоматики. — Труды ВНИИР, Чебоксары, 1987, с. 120 -125
*Алебастров Ю.А.* К расчету электромагнитного излучения и помехоустойчивости систем. В кн.: Устройства защиты и автоматики энергосистем. — Труды ВНИИР, Чебоксары, 1984, с. 26 -31
*Алебастров Ю.А. * Теория векторного поля с симметрическими аффинорами. III. Классическое взаимодействие, калибровочная инвариантность и заключительные замечания к общей теории. — Труды академии электротехнических наук ЧР. Материалы XII Республиканской научно-технической конференции молодых специалистов, 2015
*Alebastrov Yu.A.* On the theory of vector field with symmetric affinors. Real vector field in the framework of the standard methods. — arXiv:1602.07512v2 [physics.gen-ph] 22 May 2016
*Алебастров Ю.А.* Об симметрической части электромагнитного тензора. — Дипломная работа автора, рецензент: Объединенный Институт Ядерных Исследований, Лаборатория Теоретической Физики, Дубна, 1970
*Алебастров Ю.А. * Явление продольного электроджейтонного излучения электрических систем. //Госкомизобретений СССР, заявка на открытие под рег. № ОТ-11405 от 17.02.86
*Алебастров Ю.А. * Явление силоваго воздействия джейтонного поля на движущиеся электрически заряженные классические частицы.// Госкомизобретений СССР, заявка на открытие под рег. № ОТ-11404 от 17.02.86
*Айзенберг Г.З.* Антенны ультракоротких волн. — М.: Государственное издательство литературы по вопросам связи и радио, 1966
[Jack], гл.14, § 3, (14.35)
*Невзглядов В.Г.* Теоретическая механика. — М.: Государственное издательство физико - математической литературы, 1959, § 41