УДК 511. 527 Пер фильев Михаил Сергеевич, PhD в области математики, Доктор Международной Академии Естествознания, Доктор Российской академии образования и технологий Р Ф , г . Иркутск E - mail: perfmihserg18011985@mail.ru Perfileev Michael Sergeevich, PhD in mathematics, Doctor of International Academy of Natural History, Doctor of the Russian Academy of Education and Technology Russia , Irkutsk Задача Брокара в контексте законов распределения простых чисел Аннотация Данная работа относитс я к области теории чисел и посвящена исследованию одной из нерешенных проблем математики - диофантову уравнению [формула] ! + 1 = [формула] 2 , известному как задача Брокара. При помощи закономерностей в распределении простых чисел и теоремы Харди - Рамануджана показано, что это уравнение не имеет иных решений, кроме трех пар чисел, называемых числами Брауна. Также в работе проведен анализ суммы бесконечного ряда ∑ 1 √ [формула] ! + 1 ∞ [формула] = 0 . Ключевые слова: теорема о распределении простых чисел, и нтервалы между простыми числами, задача Брокара, числа Брауна, диофантово уравнение, факториал, теорема Харди - Рамануджана Keywords: prime number theorem, p rime gap s , Brocard's problem, Brown numbers, d iophantine equation, factorial , Hardy - Ramanujan theorem Введение Согласно теореме о распередении простых чисел количество простых чисел [формула] ( [формула] ) на отрезке [1; n ] с увеличением n примерно растет как [формула] ( [формула] ) [1] : [формула] ( [формула] ) ∼ [формула] ( [формула] ) при [формула] → ∞ (что эквивалентно [формула] → ∞ [формула] ( [формула] ) [формула] ⁄ ( [формула] ) = 1 ). (1) Весомый результат в области теории чисел получил Пафнутий Львович Чебышев в 1850 году, доказав, что для достаточно больших значений x справедливо двойное неравенство [ 2 ] 0 , 921 [формула] ( [формула] ) < [формула] ( [формула] ) < 1 , 106 [формула] ( [формула] ) . Достаточно точно распределение простых чисел можно описать при помощи интегрального лорарифма [формула] ( [формула] ) = ∫ [формула] ( [формула] ) [формула] 2 , т. е. количество простых чисел, не превосходящих x , хорошо приближается функцией Li( x ) [3]: [формула] ( [формула] ) [формула] ( [формула] ) → 1 при [формула] → + ∞ ( результ ат, п ол у ченный Чебышевым в 1848 году ) . Если гипотеза Римана [ 4] верна, то справедливо утверждение | [формула] ( [формула] ) − [формула] ( [формула] ) | ⩽ [формула] √ [формула] ( [формула] ) , где с - некоторая константа (Wagon, 1991 [ 5 ] ) . В 2016 году австралийский математик Тимоти Труджиан получил оценку | [формула] ( [формула] ) − [формула] ( [формула] ) | ⩽ 0 , 2795 [формула] ( [формула] ( [формула] ) ) 3 4 ⁄ [формула] ( − √ [формула] ( [формула] ) 6 , 455 ) для [формула] ≥ 229 [6], где [формула] ( [формула] ) = ∫ [формула] ( [формула] ) [формула] 0 . В работе [ 7 ] при помо щи третьей теоремы Мертенса [8], [9] получены формулы для оценки количества простых чисел на отрезке [1; n ] [формула] ( [формула] ) ∼ [формула] − [формула] √ [формула] при [формула] → ∞ ; [формула] ( [формула] ) = ∫ [формула] − [формула] 1 − 1 [формула] ⁄ [формула] 2 ; [формула] ( [формула] ) = ∫ [формула] 1 + 1 [формула] ⁄ − [формула] 2 , из которых с ледует, что средн е е значение интервалов между простыми числами и меет порядок [формула] + 1 − [формула] ≈ [формула] − [формула] 1 − 1 [формула] ⁄ ≈ [формула] 1 + 1 [формула] ⁄ − [формула] ≈ [формула] ( [формула] ) , где [формула] - n - ое по счету простое число ( речь идет именно о средней длине, фактическая длина интервала может быть больше или меньше) , а вероятность того, что наугад выбранное натуральное число из отрезка [1; n ] окажется простым, прилизительно равна [формула] ≈ 1 [формула] − [формула] 1 − 1 [формула] ⁄ ≈ 1 [формула] 1 + 1 [формула] ⁄ − [формула] ≈ 1 [формула] ( [формула] ) . Изучение распределения простых чисел чрезвычайно важно для определения промежутков между простыми числами. На с егоднящний день существуют недоказанные и неопровергнутые гипотезы о промежутках между простыми числами (гипотеза Оппермана, гипотеза Крамера, гипотеза Андрицы, гипотеза Брокара, гипотеза Лежандра, гипотеза Фирузбэхт и др.). Помимо обеизвестного постулата Бертрана, согласно которому для любого натурального [формула] ⩾ 2 в интервале ( n ;2 n ) найдется простое число p [10] , имеются гораздо более точные результаты. Так, в 1952 году японский математик Дзицуро Нагура доказал, что для [формула] ⩾ 25 всегда найдется простое число между n и 1,2 n [11] ; в 1976 году американский математик Лоуэлл Шенфельд показал, что для [формула] ⩾ 2010760 имеется простое число в интервале ( n ; n (1+1/16597)) [12]; в 2016 году франзуский математик Пьер Дюсар показал, что на промежутке ( x ; [формула] ( 1 + 1 ( [формула] ( [формула] ) ) 3 ) ] при [формула] ≥ 89693 (2) существует хотя бы одно простое число [13] . С огласно австралийскому математику Адриану Уильяму Дудеку, в предоложении верности гипотезы Римана существует простое число в промежутке ( [формула] − 4 [формула] √ [формула] ( [формула] ) ; x ] для [формула] ⩾ 2 [14]. Бейкер, Харман и Пинц доказали, что при больших значениях x на отрезке [ [формула] − [формула] 0 , 525 ; x ] имеется простое число [15]. Также существуют следующие оценки для функции [формула] ( [формула] ) и n - го простого числа [формула] : [формула] ( [формула] ) < [формула] ( [формула] ) < 1 , 25506 ∙ [формула] ( [формула] ) , причем левое неравенство выполняется при [формула] ⩾ 17 , а правое при [формула] > 1 [1 6 ] ; [формула] ( [формула] ( [формула] ) + [формула] ( [формула] ( [формула] ) ) − 1 ) < [формула] < [формула] ( [формула] ( [формула] ) + [формула] ( [формула] ( [формула] ) ) ) , причем левое неравенство выполняется при [формула] ⩾ 2 [17] , а правое при [формула] ⩾ 6 [18]. Интегральный логарифм не выражается через элементарные функции: ∫ [формула] ( [формула] ) = [формула] | [формула] ( [формула] ) | + ∑ ( [формула] ( [формула] ) ) [формула] ∙ [формула] ! ∞ [формула] = 1 [19] ; кроме того, существует так называемое число Скьюза — наименьшее натуральное число x , такое что начиная с него нарушается неравенство [формула] ( [формула] ) < [формула] ( [формула] ) [20], ввиду чего проблемы в изучении распределения простых чисел являются весьма сложными. Одной из нерешенных н а сегодняшний день задач теории чисел является решение диофантова уравнения [формула] ! + 1 = [формула] 2 , ( 3 ) где n ! является факториалом натурального числа n [21]. Впервые в истории науки данная задача была поставлена французским математиком Анри Брокаром в 1876 (в честь которого получила свое название), а затем ( на тридцать семь лет позднее) индийским математиком Сринивасой Рамануджаном. На сегодняшний день известн ы только три пары чисел ( n;m), являющиеся решениями уравнения ( 3 ): (4;5); (5;11); (7;71); они называются числами Брауна. Венгерский математик Пауль Эрдеш предположил, что иных решений не существует [22]. В ходе вычислений для n до 10 9 (выполнены Be rndt и Galway ) других решений задачи Брокара не было найдено [23] , что является аргументом в пользу отсутствия иных решений, но не доказательством этого факта. Существуют обобщения задачи Брокара. Если abc - гипотеза [24] верна, то уравнение [формула] ! + [формула] = [формула] 2 име ет конечное число решений для любого числа А ( Dabrowski [25]). Также в предположении верности abc - гипотезы уравнение [формула] ! = [формула] ( [формула] ) имеет конечное число решений, где P ( x ) – многочлен с целыми коэффициентами степени не ниже второй ( Luca [26]). В работе [27] п риведены некоторые размышления о задаче Брокара ( в том числе при помощи представления [формула] ( [формула] √ [формула] ! + 1 ) как бесконечного произведения получена равносильная постановка задачи Брокара 1 4 [формула] ! + 3 = ∏ ( 1 − 4 ( [формула] ! + 1 ) ( 2 [формула] − 1 ) 2 ) ∞ [формула] = 2 ). За основу этой работы взята задача с Московской математической олимпиады 1941 года , в которой было необходимо доказать, что сумма произведения четырех последовательных натуральных чисел и единицы является полным квадратом [2 8 ] ( решение этой задачи можно свести к тождеству ( [формула] − 1 ) [формула] ( [формула] + 1 ) ( [формула] + 2 ) + 1 = ( [формула] ( [формула] + 1 ) − 1 ) 2 , где l – натуральное число ) . Тогда сумму произведения четырех последовательных натуральных чисел и единицы можно записать как ( [формула] + 1 ) ( [формула] + 2 ) ( [формула] + 3 ) ( [формула] + 4 ) + 1 = [формула] 2 , где k – целое неотрицательное число, т. е. в уравнении ( 3 ) n ! должен иметь вид [формула] ! = ( [формула] + 1 ) ( [формула] + 2 ) ( [формула] + 3 ) ( [формула] + 4 ) , что равносильно [формула] ! = ( [формула] + 1 ) ( [формула] + 4 ) ( [формула] + 2 ) ( [формула] + 3 ) = ( [формула] 2 + 5 [формула] + 4 ) ( [формула] 2 + 5 [формула] + 6 ) и [формула] ! = [формула] 4 + 10 [формула] 3 + 35 [формула] 2 + 50 [формула] + 24 . Заметим, что что множители [формула] 2 + 5 [формула] + 4 и [формула] 2 + 5 [формула] + 6 отличаются на 2, а из уравнения ( 3 ) следует, что [формула] ! = ( [формула] − 1 ) ( [формула] + 1 ) , ( 4 ) т. е. n ! представлен в виде произведения множителей [формула] − 1 и [формула] + 1 , которые также отличаются на 2. При k =0 получим n !=24, откуда n =4; при k =1 получим n !=120, откуда n =5; при k =2 ; k =3; k =4; k =5 полученные значения не является факториалами натуральных чисел; при k =6 получим n !=5040, откуда n =7. Таким образом, при значениях k =0; k =1; k =6 получили значения n =4; n =5; n =7 соответственно, являющиеся решениями задачи Брокара. Приведем другие р ассуждения касаемо уравнения ( 3 ). При [формула] ≥ 10 его левая часть заканчивается цифрами 01, так как n ! заканчивается цифрами 00. Значит [формула] 2 также должно заканчиваться на 01, поэтому m должно иметь вид [формула] = 100 [формула] + 1 , где k – челое число, [формула] ≥ 1 ( заметим, что m не может иметь вид [формула] = 100 [формула] + 9 , т. к. в этом случае [формула] 2 будет заканчиваться на 81). Тогда уравнение ( 3 ) будет записано в форме [формула] ! + 1 = ( 100 [формула] + 1 ) 2 , что равносильно виду [формула] ! = 10000 [формула] 2 + 200 [формула] = 4 ∙ 50 [формула] ( 50 [формула] + 1 ) . Множители 50 k и 50 k +1 являются последовательными числами, а два последовательных натуральных числа всегда взаимно просты . Фигурными числами называют числа, связанные с геометрическими образами, причем многие задачи из области теории чисел можно сформулировать в терминах фигурых чисел [ 29 ]. Треугольными числами называют числа, которые являются таким количеством точек на проскости, что их можно расположить в форме правильного треугольника. Последовательность треугольных чисел 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 , 28 , 36 , 45 , 55 … [30] бесконечна, а общая формула n - го по порядку треугольного числа Т [формула] = 1 2 [формула] ( [формула] + 1 ) , где n=1;2;3… [31]. Записав уравнение [формула] ! = 4 ∙ 50 [формула] ( 50 [формула] + 1 ) в виде [формула] ! = 8 ∙ 1 2 ∙ 50 [формула] ( 50 [формула] + 1 ) , получим формулировку задачи Брокара в терминах треугольных чисел: [формула] ! = 8 Т 50 [формула] . Цель данной работы - при помощи положений теории чисел доказать, что задача Брокара имеет только три пары решений. Задача Брокара и распределение прост ых чисел Исследуем свойство значений n ! при n >10. Разобъем множество натуральных чисел от 1 до n включая на два непересекающихся подмножества A и B, произведения чисел в которых равны [формула] и [формула] соответственно. Разница между произведениями [формула] и [формула] будет минимальной в том случае, когда их значения будут как можно ближе к квадратному корню из факториала от n : [формула] ≈ √ [формула] ! ; [формула] ≈ √ [формула] ! , ( 5 ) где [формула] ∙ [формула] = [формула] ! , что тривиально. Модуль разности d между произведениями [формула] и [формула] равен [формула] = | [формула] − [формула] | = | [формула] − [формула] ! [формула] | = | [формула] 2 − [формула] ! | [формула] . (6) Согласно постулату Бертрана n ! будет об язательно содержать уникальное простое число p из диапазона ( n /2; n ] , которое будет входить в разложение факториала на множители в первой степени (что также следует из формулы [формула] ! = ∏ [формула] ⌊ [формула] ⌋ + ⌊ [формула] 2 ⌋ + ⌊ [формула] 3 ⌋ + . . . [формула] , где произведение берется по всем простым ч ислам p , не превосходящим n [32]) . А сог ласно результату ( 2 ) количество уникальных простых множителей при больших значенях n будет гораздо больше одного, поэтому n ! при больших значениях n будет далек от полного квадрата, в связи с чем модуль разнос ти d между произведениями [формула] и [формула] при n >10 будет заведомо больше двух: [формула] = | [формула] 2 − [формула] ! | [формула] > 2 , (7) что исключает выполнение равенства (4). Также в теории чисел предполагается, что между первыми n простыми числами имеется приблизительно 2 ∙ ln ( n ) максимальных интервалов [33], [34]. При больших промежутках между простыми числами невозможно сбалансировать произведения [формула] и [формула] так, чтобы разница между ними была небольшой. Проиллюстрируем эти рассуждения для факториалов натуральных чисел от 1 до 24 включая: 1! = 1 ∙ 1 → d=0; 2! = 1 ∙ 2 → d=1; 3! = 2 ∙ 3 → d= 1; 4! = 4 ∙ 6 → d= 2; 5! = 10 ∙ 12 → d= 2; 6! = 24 ∙ 30 → d= 6; 7! = 70 ∙ 72 → d= 2; 8! = 192 ∙ 210 → d= 18; 9! = 576 ∙ 630 → d= 54; 10! = 1890 ∙ 1920 → d= 30 ; 11! = 6300 ∙ 6336 → d= 36; 1 2! = 21600 ∙ 22176 → d= 576; 1 3! = 78848 ∙ 78975 → d= 127; 14! = 294840 ∙ 295680 → d= 840; 15! = 1143072 ∙ 1144000 → d= 928; 16! = 4572288 ∙ 4576000 → d= 3712; 17! = 18849600 ∙ 18869760 → d= 20160; 18! = 79968000 ∙ 80061696 → d= 93696; 19! = 348566400 ∙ 348986880 → d= 420480 ; 20! = 1559376000 ∙ 1560176640 → d= 800640; 21! = 7147140000 ∙ 7148445696 → d= 1305696; 22! = 33522128640 ∙ 33530112000 → d= 7983360; 23! = 160758097500 ∙ 160813154304 → d= 55056804; 24! = 787652812800 ∙ 787718131200 → d= 65318400. Согласно численным результатам, [формула] = | [формула] − [формула] | быстро растет. Заметим, что малые значения разности d соответсвуют факториалам, в состав которых в качестве множителей входят наименьшие простые числа - триплеты (2; 3;5) и (3; 5;7) [35], причем триплет (3; 5;7) является единственной тройкой простых чисел - близнецов [36] . Приведем другие рассуждения. Согласно теореме Харди - Рамануджана [37], среднее значение количества простых делителей числа натурального числа n w ( n ) оценивается как ln ( ln ( n )), а среднее отклонение как √ [формула] ( [формула] ( [формула] ) ) : | [формула] ( [формула] ) − [формула] ( [формула] ( [формула] ) ) | < [формула] ( [формула] ( [формула] ) ) 0 , 5 + [формула] , где [формула] > 0 . ( 8 ) ( обобщением этой теоремы является теорема Эрдеша - Каца, согласно которой предельное распределение величины [формула] ( [формула] ) − [формула] ( [формула] ( [формула] ) ) √ [формула] ( [формула] ( [формула] ) ) является нормальным распределением [38] : при a < b [формула] → ∞ 1 [формула] | { [формула] ⩽ [формула] : [формула] ⩽ [формула] ( [формула] ) − [формула] ( [формула] ( [формула] ) ) √ [формула] ( [формула] ( [формула] ) ) ⩽ [формула] } | = 1 √ 2 [формула] ∫ [формула] ( − [формула] 2 2 ) [формула] ; такое нормальное распределение называют стандартным [39] ). Заметим, что количество различных простых д елителей факториала натурального числа n равно количеству простых чисел, которые не превышают n , то есть в соответствии с теоремой о распреде лении простых чисел приближенно равно [формула] ( [формула] ! ) ≈ [формула] ( [формула] ) . ( 9 ) В соответствии с теоремой Харди - Рамануджана количество простых множителей в выражении ( m - 1)( m +1) приближенно равно [формула] ( [формула] 2 − 1 ) ≈ [формула] ( [формула] ( [формула] 2 − 1 ) ) . ( 10 ) Сравнивая выражения (9) и (10), получим [формула] ( [формула] ) = [формула] ( [формула] ( [формула] 2 − 1 ) ) , (1 1 ) откуда по определению натурального логарифма [формула] ( [формула] 2 − 1 ) = [формула] ( [формула] ⁄ ( [формула] ) ) ; [формула] 2 − 1 = [формула] ( [формула] ( [формула] ⁄ ( [формула] ) ) ) . (1 2 ) Тогда согласно (4) и (12) [формула] ! = [формула] ( [формула] ( [формула] ⁄ ( [формула] ) ) ) . (1 3 ) Для больших значений n это равенство заведомо не может быть достигнуто, так как его правая часть гораздо больше левой, что мо жно заметить методом подстановки значений n либо анализом стремительно растущей функции [формула] ( [формула] ) = [формула] ( [формула] ( [формула] ⁄ ( [формула] ) ) ) − √ 2 [формула] ∙ ( [формула] ⁄ ) [формула] , (1 4 ) ( которая получена с использованием формулы Муавра - Стирлинга для оценки факториалов больших чисел [формула] ! ≈ √ 2 [формула] ∙ ( [формула] ⁄ ) [формула] [40] ). Отсюда также следует, что уравнение [формула] ! + [формула] = [формула] 2 имеет конечное число решений при фиксированном значении A. Аналогично можно показа ть, что только числа 1; 6 и 120 являются одновременно треугольными и факториалами (что равносильно решению диофантова уравнения 8 [формула] ! + 1 = [формула] 2 в натуральных числах). В дополнение к работе рассмотрим сумму бесконечного ряда [формула] = ∑ 1 √ [формула] ! + 1 ∞ [формула] = 0 . Согласно признаку сравнения [41] ( например, с рядом обратных квадратов ∑ 1 [формула] 2 ∞ [формула] = 1 = [формула] 2 6 [42] ), этот ряд сходится; его сумма равна [формула] = ∑ 1 √ [формула] ! + 1 ∞ [формула] = 0 = 2 , 7191500853922395 . . . ≈ [формула] + 0 . 0008682569331943 . . . , где e – число Эйлера [43]. Заключение Таким образом, в данной работе при помощи закономерностей в распределении простых чисел и теоремы Харди - Рамануджана предпринята попытка доказать, что диофантово уравнение [формула] ! + 1 = [формула] 2 (задача Брокара) имеет только три пары решений (4;5); (5;11) и ( 7;71) . Также путем компьютерных вычислений найдена сумма бесконечного ряда [формула] = ∑ 1 √ [формула] ! + 1 ∞ [формула] = 0 . Список литературы 1. https://mathworld.wolfram.com/PrimeNumberTheorem.html 2 . Бухштаб А.А. Теория чисел. Москва: издательство «ПРОСВЕЩЕНИЕ», 1966, стр. 333 - 334. 3. Современные проблемы математики/Математический институт им. В.А.Стеклова РАН (МИАН). Москва: МИАН, 2008. Вып. 11: Конференция «Леонард Эйлер и современная математика» ( МИАН, 17 мая 2007 года). Сборник докладов, стр. 27 - 28. 4. Перфильев М.С. Некоторые закономерности гипотезы Римана/Математика, ее приложения и математическое образование (МПМО17): Материалы VI Международной конференции. Улан - Удэ: Изд - во ВСГУТУ, 2017, стр. 295 - 300. 5. https://mathworld.wolfram.com/RiemannHypothesis .html 6. Timothy Trudgian (February 2016). "Updating the error term in the prime number theorem"//Ramanujan Journal. 39 (2): 225 – 234. 7. Перфильев М.С. Оценка средних интервалов между простыми числами//Евразийский Союз Ученых. Серия: технические и физико - математические науки. №10(125)/2024 Том 1, стр. 3 - 8. 8. Г. Диамонд. Элементарные методы в изучении распределения простых чисел//Успехи ма тематических наук, 1990 , том 45, выпуск 2, стр. 79 - 114. 9. https://mathworld.wolfram.com/Euler - MascheroniConstant.html 10. https://mathworld.wolfram.com/BertrandsPostulate.html 11. N agura, J (1952), "On the interval containing at least one prime number" , Proceedings of the Japan Academy, Series A, 28 (4): 177 – 181 . 12. Lo well Schoenfeld (April 1976), "Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ ( x ) and ψ ( x ), II", Mathematics of Computation , 30 (134): 337 – 360. 13. Dusart, Pierre (2016), "Explicit estimates of some functions over primes", The Ramanujan Journal, 45: 227 – 251. 14. Dudek, Adrian W. (21 August 2014), "On the Riemann hypothesis and the difference between primes", International Journal of Number Theory, 11 (3): 771 – 778. 1 5 . Baker, R. C.; Harman, G.; Pintz, J. (2001), "The difference between consecutive primes, II", Proceedings of the London Mathematical Society , 83 (3): 532 – 562. 16. Rosser, J. Barkley ; Schoenfeld, Lowell (1962). "Approximate formulas for some functions of prime numbers" . Illinois J. Math. 6: 64 – 94. 17. Dusart, Pierre (January 1999). "The k th prime is greater than k(ln k + ln ln k − 1) for k ≥ 2" . Mathematics of Computation. 68 (225): 411 - 415. 18. R osser, Barkley (January 1941). "Explicit bounds for some functions of prime numbers".American Journal of Mathematics. 63 (1): 211 – 232. 19. Г. Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы. Москва: издательство «НАУКА», Главная редакция физико - математической литературы, 1977 , стр. 124. 20. Ю . В. Матиясевич . Алан Тьюринг и теория чисел// Математика в высшем образо вании. - 2012. - №10. - С. 111 - 134. 21 . https://mathworld.wolfram.com/BrocardsProblem.html 22. https://mathworld.wolfram.com/BrownNumbers.html 23. Bruce C. Berndt, William F. Galway. The Brocard - Ramanujan diophantine equation [формула] ! + 1 = [формула] 2 // The Ramanujan Journal. - 2000. - Т. 4. - с. 41 - 42. 24. https://mathworld.wolfram.com/abcConjecture.html 25. A. Dabrowski. On the Diophantine Equation [формула] ! + [формула] = [формула] 2 // Nieuw Arch. Wisk. - 1996. - Т. 14. - С. 321 - 324. 26. Florian Luca. The diophantine equation [формула] ( [формула] ) = [формула] ! and a result of M. Overholt// Glasnik Matematički. - 2002. - Т. 37, вып. 57. - С. 269 - 273. 27. Perfileev Michael. Consideration on Brocard ’ s problem / Practice Oriented Science: UAE - Russia - India, Materials of International University Scientific Forum , UAE, June 5, 2024, Part 2, pp. 200 - 204. 28. https://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=76483 29. Деза Е. Специальные числа натурального ряда: Учебное пособие. М осква : Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011, стр.13 - 65 . 30. https://oeis.org/A000217 31. Деза Е., Деза М. Фигурные числа. Москва: издательство МЦНМО, 2016, стр. 12 - 25 . 32. Нестеренко Ю.В. Теория чисел. Москва: издательский центр « Академия », 2008, стр. 42 - 43. 3 3 . K ourbatov, А. On the n th record gap between primes in an arithmetic progressio n/ / Int. Math. Forum: journal. - 2018 . - Vol. 13, no. 2. - P. 65 - 78. 34. https://oeis.org/A005250 3 5 . https://www.wolframalpha.com/input?i=prime+triplet 36. Алфутова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. Москва: МЦНМО, 2002 , C. 28. 37. https://mathworld.wolfram.com/Hardy - RamanujanTheorem.html 38. P aul Erdős , Mark Kac. The Gaussian Law of Errors in the Theory of Additive Number Theoretic Functions //American Journal of Mathematic s. - 1940. - Т. 62, № 1/4 . - С. 738 - 742. 39. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. Москва: АЙРИС - пресс, 2020, стр. 96 - 103. 40 . https://planetmath.org/StirlingsApproximation 41. Гредасова Н.В., Желонкина Н.И., Корешникова М.А., Полищук Е.Г., Андреева И.Ю. Ряды: учебное пособие. Екатеринбург: Издательство Уральского Университета, 2016, стр. 13 - 15. 4 2 . К охась К.П. Сумма обратных квадратов //Математическое просвещение. - 2004. - Вып. 8. - С. 142 – 163. 43. Steven R.Finch. Mathematical Constants. Cambridge University Press, 2003, pp. 12 - 15.