Генерация циклов обобщенной функцией Коллаца

Генерация циклов обобщенной функцией Коллаца Георгий Гуляев 20 января 2026 г. 1. Введение Рассмотрим последовательности, связанные с так называемой гипотезой Коллаца [1,2]. Начинаем последовательность с некоторого натурального a 1 . Каждый следующий a n +1 член последовательности получаем из предыдущего a n при помощи алгоритма: 1. Если число a n нечетное, то делаем его четным: a n = 3 a n + 1 , а если оно уже четное, то пункт 1 пропускаем и переходим к пункту 2. 2. С результатом пункта 1 повторяем операцию деления на 2 до тех пор, пока число не станет нечетным. Это и будет a n +1 . Например, для a 1 = 7 , получаем 7 , 11 , 17 , 13 , 5 , 1 , 1 , ... (1) Недоказанная до настоящего времени гипотеза Коллаца заключается в предположении, что для любого натурального a 1 подобная последова- тельность завершится единицами. Оригинальная функция Коллаца выглядит так: C ( n ) = ( 3 n + 1 , если n нечетно n 2 , если n четно (2) 1 Если использовать ее, то в порождаемой последовательности будет много дополнительных членов, например, для того же случая a 1 = 7 последо- вательность (1) примет вид: 7 , 22 , 11 , 34 , 17 , 52 , 26 , 13 , 40 , 20 , 5 , 16 , 8 , 4 , 2 , 1 , 4 , 2 , 1 , ... В данном случае все завершается бесконечно повторяющимся циклом < 4 , 2 , 1 > . Эти добавленные четные числа не несут полезной информации, так как в функции (2) фактически речь идет об "удалении"четности из натуральных чисел. Для натурального n > 1 и простого p определим через r ( n, p ) операцию удаления из разложения на простые множители числа n всех сомножи- телей равных p . То есть, если n содержит в своем разложении на простые множители сомножитель p α , где α ≥ 0 - максимальная степень для множителей p , то r ( n, p ) = n p α С учетом этого определения, используемая нами функция вместо функ- ции Коллаца C ( n ) в вышеприведенном алгоритме из двух пунктов может быть формально определена так: ˜ C ( n ) = ( r (3 n + 1 , 2) , если n ≡ 1 (mod 2) r ( n, 2) , если n ≡ 0 (mod 2) (3) В данной работе мы пойдем дальше и будем исследовать поведение функ- ции более общего вида: T ( n ) = ( r ( an + b, p ) , если n ̸ ≡ 0 (mod p) r ( n, p ) , если n ≡ 0 (mod p) (4) Здесь предполагается, что p - простое число, n и a - натуральные, b - целое. Функцию (4) можно записать еще проще, если рассматривать ее только на множестве натуральных чисел не делящихся на p : T ( n ) = r ( an + b, p ) (5) где p - простое, b ∈ Z , a ∈ N , n ∈ N , n ̸ ≡ 0 (mod p). Функция (5) будет нам интересна с точки зрения циклов, которые она порождает. 2 2. Случай a = 3 , p = 2 Подобное обобщение функции Коллаца рассматривалось в работе [3]. Ес- ли b = 1, то, в предположении, что гипотеза Коллаца верна, единствен- ным циклом будет < 1 > . А вот для b = -1, конструируя последовательности при помощи функции (5), можно обнаружить уже 3 цикла: <1> <5, 7> <17, 25, 37, 55, 41, 61, 91> Циклы определяются с точностью до круговых перестановок, например, <17, 25, 37, 55, 41, 61, 91> и <91, 17, 25, 37, 55, 41, 61> это один и тот же цикл. Строго говоря, циклом мы называем элемент фактормножества по отношению эквивалентности "круговая перестановка". Будем задавать этот элемент представителем с наименьшим первым эле- ментом. Это корректно, так как, очевидно, в цикле не может быть оди- наковых элементов. Написав несложные функции на языке программирования Julia, мы смо- жем находить циклы для любых b . function next(n,a,b,p) if n%p!=0 n=a*n+b end if n>0 while n%p==0 n=div(n,p) end end n end function seq(n,a,b,p) l = [n] m = next(n,a,b,p) while !(m in l) push!(l,m) m = next(m,a,b,p) end l end 3 function fix(a) per(a) = vcat(a[end],a[1:end-1]) m = minimum(a) while a[1]!=m a=per(a) end a end function find(d,a,b,p) list = Vector{Vector{}}() for k in d l=seq(k,a,b,p) n=next(l[end],a,b,p) cycle=fix(l[findfirst(x -> x==n,l):end]) if !(cycle in list) push!(list,cycle) end end list end Для того чтобы не получить последовательность расходящуюся к беско- нечности нужно выбирать b не делящиеся на p , то есть, в случае p = 2 , b должно быть нечетным. В соответствии с условиями функции (5) n также должно быть нечет- ным при p = 2 . Приведем пример расходящейся последовательности, например, для b = 2 : 5 , 17 , 161 . 485 , 1457 , 4373 , 13121 , ... Здесь 3n+2 при нечетных n дает только нечетные числа, нет сокращения на 2 и последовательность неограниченно растет. В качестве параметра d в функции f ind выбираем диапазон поиска на- чальных чисел n , например, все нечетные от 3 до 10 8 − 1 . Пример вы- полнения программы для b = 5 и b = 13 . 4 julia> find(3:2:10^8,3,5,2) 6-element Vector{Vector}: [19, 31, 49] [5] [1] [23, 37, 29] [187, 283, 427, 643, 967, 1453, 1091, 1639, 2461, 1847, 2773, 2081, 781, 587, 883, 1327, 1993] [347, 523, 787, 1183, 1777, 667, 1003, 1507, 2263, 3397, 2549, 1913, 359, 541, 407, 613, 461] julia> find(3:2:10^8,3,13,2) 10-element Vector{Vector}: [1] [13] [131, 203, 311, 473, 179, 275, 419, 635, 959, 1445, 1087, 1637, 1231, 1853, 1393] [211, 323, 491, 743, 1121] [259, 395, 599, 905, 341] [227, 347, 527, 797, 601] [287, 437, 331, 503, 761] [251, 383, 581, 439, 665] [283, 431, 653, 493, 373] [319, 485, 367, 557, 421] Разумеется, здесь мы не можем утверждать, что нашли все возможные циклы для b = 5 и b = 13 , так как поиск был ограничен условием n < 10 8 . 3. Общая теорема генерации циклов Пусть A = { a 1 , a 2 , ..., a n } , a i ∈ N , i ∈ { 1 , 2 , ..., n } - множество из n не обязательно различных натуральных чисел. Через S m ( A ) обозначим ча- стичную сумму первых m элементов множества A : S m ( A ) = m X i =1 a i Рассмотрим все круговые перестановки множества A : A 1 = { a 1 , a 2 , ..., a n } , A 2 = { a 2 , ..., a n , a 1 } , ..., A n = { a n , a 1 , ..., a n − 1 } Обозначим через S k,m = S m ( A k ) , k ∈ { 1 , 2 , ..., n } , m ∈ { 1 , 2 , ..., n } . Будем также считать S k, 0 = 0 для всех k ∈ { 1 , 2 , ..., n } . 5 Теорема . Пусть p - простое число, a > 1 - натуральное не делящееся на p , A = { a 1 , a 2 , ..., a n } , a i ∈ N , i ∈ { 1 , 2 , ..., n } . Тогда для b = p a 1 + a 2 + ... + a n − a n (6) множество < x 1 , x 2 , ..., x n > , где x k = n X i =1 p S k,n − i · a i − 1 , k ∈ { 1 , 2 , ..., n } (7) образует цикл по отношению к функции (5). Доказательство . Нам нужно доказать, что функция (5) преобразует каждый элемент множества < x 1 , x 2 , ..., x n > в следующий за ним по кругу, то есть T ( x 1 ) = x 2 , T ( x 2 ) = x 3 , ..., T ( x n ) = x 1 Достаточно проверить только два равенства T ( x 1 ) = x 2 и T ( x n ) = x 1 , поскольку при выборе любого i ∈ { 1 , 2 , ..., n − 1 } и проверке равенства T ( x i ) = x i +1 во множестве A i можно переобозначить индексы по порядку так, что A i = B 1 = { b 1 , b 2 , ..., b n } и A i +1 = B 2 = { b n , b 1 , ..., b n − 1 } . Итак, T ( x 1 ) = r ( a · x 1 + b ) = r ( a · n X i =1 p S 1 ,n − i · a i − 1 + p a 1 + a 2 + ... + a n − a n ) = r ( n X i =1 p S 1 ,n − i · a i + p a 1 + a 2 + ... + a n − a n ) = r ( n − 1 X i =1 p S 1 ,n − i · a i + a n + p a 1 + a 2 + ... + a n − a n ) = r ( n − 1 X i =1 p S 1 ,n − i · a i + p a 1 + a 2 + ... + a n ) = r ( n − 1 X i =1 p a 1 + a 2 + ... + a n − i · a i + p a 1 + a 2 + ... + a n ) = r ( p a 1 · ( n − 2 X i =1 p a 2 + ... + a n − i · a i + a n − 1 + p a 2 + ... + a n )) = r ( p a 1 · ( n − 1 X i =1 p a 2 + ... + a n − i · a i − 1 + a n − 1 )) = r ( p a 1 · ( n X i =1 p S 2 ,n − i · a i − 1 )) = r ( p a 1 · x 2 ) = x 2 6 Аналогично, T ( x n ) = r ( a · x n + b ) = r ( a · n X i =1 p S n,n − i · a i − 1 + p a 1 + a 2 + ... + a n − a n ) = r ( n X i =1 p S n,n − i · a i + p a 1 + a 2 + ... + a n − a n ) = r ( n − 1 X i =1 p S n,n − i · a i + a n + p a 1 + a 2 + ... + a n − a n ) = r ( n − 1 X i =1 p S n,n − i · a i + p a 1 + a 2 + ... + a n ) = r ( n − 1 X i =1 p a n + a 1 + ... + a n − i − 1 · a i + p a 1 + a 2 + ... + a n ) = r ( p a n · ( n − 2 X i =1 p a 1 + ... + a n − i − 1 · a i + a n − 1 + p a 1 + ... + a n − 1 )) = r ( p a 1 · ( n − 1 X i =1 p a 1 + ... + a n − i · a i − 1 + a n − 1 )) = r ( p a 1 · ( n X i =1 p S 1 ,n − i · a i − 1 )) = r ( p a 1 · x 1 ) = x 1 Что и требовалось доказать. В качестве иллюстрации сформулируем два частных случая теоремы для n = 2 и n = 3 . Следствие 1 . Пусть m и n - любые натуральные числа, p - простое число, a > 1 - натуральное не делящееся на p . Вычислим: b = p m + n − a 2 , x = p m + a, y = p n + a Тогда < x, y > образует цикл из двух чисел по отношению к функции (5) , то есть функция (5) x переводит в y , а y переводит в x . Следствие 2 . Пусть m, n и k - любые натуральные числа, p - простое число, a > 1 - натуральное не делящееся на p . Вычислим:          b = p m + n + k − a 3 x = p m + n + a · p m + a 2 y = p n + k + a · p n + a 2 z = p k + m + a · p k + a 2 Тогда < x, y, z > образует цикл из трех чисел для функции (5) . 7 Поясним смысл доказанной теоремы на простом примере приведенного ранее цикла <17, 25, 37, 55, 41, 61, 91>. Здесь p = 2 , a = 3 , b = − 1 . На каждом шаге перехода к следующему элементу от предыдущего при помощи функции (5) мы выполняем операцию деления на 2 a 1 , 2 a 2 , ..., 2 a 7 . 17 · 3 − 1 = 50 = 2 · 25 , a 1 = 1 25 · 3 − 1 = 74 = 2 · 37 , a 2 = 1 37 · 3 − 1 = 110 = 2 · 55 , a 3 = 1 55 · 3 − 1 = 164 = 2 2 · 41 , a 4 = 2 41 · 3 − 1 = 122 = 2 · 61 , a 5 = 1 61 · 3 − 1 = 182 = 2 · 91 , a 6 = 1 91 · 3 − 1 = 272 = 2 4 · 17 , a 7 = 4 Таким образом, мы получаем A = { a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 } = { 1 , 1 , 1 , 2 , 1 , 1 , 4 } В соответствии с теоремой для данного A , имеем b = 2 1+1+1+2+1+1+4 − 3 7 = 2 11 − 3 7 = − 139 x 1 = 2 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + 3 · 2 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + 3 2 · 2 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + 3 3 · 2 a 1 + a 2 + a 3 + 3 4 · 2 a 1 + a 2 + 3 5 · 2 a 1 + 3 6 = 2 7 + 3 · 2 6 + 9 · 2 5 + 27 · 2 3 + 81 · 2 2 + 243 · 2 1 + 729 = 2363 = 17 · 139 Продолжая вычислять далее по формуле (7), получим x 2 = 3475 = 25 · 139 , x 3 = 5143 = 37 · 139 , x 4 = 7645 = 55 · 139 , x 5 = 5699 = 41 · 139 , x 6 = 8479 = 61 · 139 , x 7 = 12649 = 91 · 139 Сокращая ( b, x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 ) на наибольший общий делитель рав- ный 139, получаем для b =-1 первоначальный цикл < 17 , 25 , 37 , 55 , 41 , 61 , 91 > 8 Замечание 1 . Список A в теореме - это набор показателей степеней p , которые используются в функции (5) для удаления делителей p на каждом шаге. Замечание 2 . Теорема утверждает, что для любого набора показателей из множества N можно построить цикл такого же размера, что и набор. Замечание 3 . Из линейности функции (5) относительно n и b следует, что если < x 1 , x 2 , ..., x n > цикл для b то и для любого натурального k < k · x 1 , k · x 2 , ..., k · x n > является циклом для k · b . Поэтому, для получения нетривиальных циклов с минимальными члена- ми, следует делить b и все x 1 , x 2 , ..., x n на НОД ( b, x 1 , x 2 , ..., x n ) , если он больше 1. Замечание 4 . b не меняется когда n и сумма s = a 1 + a 2 + ... + a n посто- янна. Поэтому, любые разбиения s в сумму n слагаемых, могут давать циклы для одного и того же b . Впрочем, это не всегда выполняется, если делить b и все числа x на НОД ( b, x 1 , x 2 , ..., x n ) . Замечание 5 . Доказанная теорема в случае простого p > 2 может быть расширена на множества A , в которых кроме натуральных чисел допус- каются нули, но только когда b и все x k не делятся на p . Замечание 6 . Для того чтобы в цикле не было повторений нужно что- бы A не состояло из одного и того же набора чисел, повторяющегося несколько раз. Например для a = 3 , p = 2 , если A = { 1 , 2 } , то цикл < 5 , 7 > , а если A = { 1 , 2 , 1 , 2 } , то цикл (7) тоже будет содержать повто- рения: < 5 , 7 , 5 , 7 > . В частности, для получения нетривиальных циклов в качестве элементов множества A не стоит брать одни нули или единицы. 9 4. Программная реализация и примеры Программа на языке Julia, в соответствии в теоремой реализующая гене- рацию циклов по заданному списку чисел list = [ a 1 , ..., a n ] , a i ∈ N ∪ { 0 } : function getCycle(list,a,p)#p - простое, a>1 - натуральное, a%p>0 next(v) = vcat(v[end],v[1:end-1]) function fix(v) m = minimum(v) while v[1]!=m v = next(v) end v end function perm(w) v = [w] for i in 1:length(w)-1 w = next(w) push!(v, w) end v end n = length(list) b = big(p)^sum(list)-big(a)^n l = Vector{BigInt}() for w in perm(list) x = big(a)^(n-1) for i in 1:n-1 x+=big(a)^(n-i-1)*big(p)^sum(w[1:i]) end push!(l,x) end push!(l,b) d = gcd(l) l = reverse(map(x -> div(x,d),l)) (l[1], fix(l[2:end])) end 10 Примеры ее использования. Получаем ( b , цикл): julia> getCycle([1,1,1,2,1,1,4],3,2) (-1, BigInt[17, 25, 37, 55, 41, 61, 91]) julia> getCycle([1, 3],3,2) (7, BigInt[5, 11]) julia> getCycle([1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 3],3,2) (11, BigInt[13, 25, 43, 35, 29, 49, 79, 31]) julia> getCycle([2, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 4, 1, 3],3,2) (17, BigInt[23, 43, 73, 59, 97, 77, 31, 55, 91, 145, 113, 89, 71, 115, 181, 35, 61, 25]) julia> getCycle([3, 1, 1, 2, 4],3,2) (19, BigInt[5, 17, 35, 31, 7]) julia> getCycle([2, 1, 1, 1, 2, 1, 5, 2, 4, 2, 1, 3, 1, 9],5,2) (7, BigInt[1, 3, 11, 31, 81, 103, 261, 41, 53, 17, 23, 61, 39, 101]) julia> getCycle([0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 2, 4, 2, 5],4,3) (7, BigInt[1, 11, 17, 25, 107, 145, 587, 785, 1049, 467, 625, 2507, 1115, 1489, 5963, 2651, 131, 59]) julia> getCycle([0, 1],4,3) (-13, BigInt[5, 7]) julia> getCycle([1,1,1,2],4,3) (-13, BigInt[175, 229, 301, 397]) julia> getCycle([1,2],4,3) (11, BigInt[7, 13]) julia> getCycle([1,2],5,3) (1, BigInt[4, 7]) julia> getCycle([1, 1, 1, 3],5,3) (13, BigInt[34, 61, 106, 181]) julia> getCycle([1,2],7,3) (-11, BigInt[5, 8]) julia> getCycle([0, 1, 0, 7],7,3) (10, BigInt[1, 17, 43, 311]) julia> getCycle([1, 1, 1, 5],7,3) (208, BigInt[29, 137, 389, 977]) julia> getCycle([1, 3],8,3) (17, BigInt[11, 35]) julia> getCycle([2, 1, 1, 4],8,3) (493, BigInt[277, 301, 967, 2743]) julia> getCycle([1,2],6,5) (89, BigInt[11, 31]) 11 julia> getCycle([0, 3, 1, 0, 2],6,5) (167, BigInt[73, 121, 893, 221, 1493]) julia> getCycle([1,2],7,5) (19, BigInt[3, 8]) julia> getCycle([1, 1, 1, 2],7,5) (181, BigInt[222, 347, 522, 767]) julia> getCycle([1, 1, 1, 2],11,7) (361, BigInt[510, 853, 1392, 2239]) Примеры длинных циклов: a = 3, b = 563, p = 2, длина 215: A = [2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 5, 5, 1, 4, 4, 1, 1, 3, 2, 1, 3, 4, 1, 2, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 4, 2, 2, 1, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 7, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 1, 5, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 3, 1, 2, 1, 1, 3, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 4, 1, 8, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 6, 5, 4, 1, 3, 3, 1, 2, 2, 5, 2, 4, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 7, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 3, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 7] X = [19, 155, 257, 667, 641, 1243, 1073, 1891, 1559, 655, 79, 25, 319, 95, 53, 361, 823, 379, 425, 919, 415, 113, 451, 479, 125, 469, 985, 1759, 365, 829, 1525, 2569, 4135, 1621, 2713, 4351, 851, 779, 725, 1369, 2335, 473, 991, 221, 613, 1201, 2083, 1703, 709, 1345, 2299, 1865, 3079, 1225, 2119, 865, 1579, 1325, 2269, 3685, 5809, 8995, 6887, 2653, 4261, 6673, 10291, 7859, 6035, 4667, 3641, 5743, 139, 245, 649, 1255, 541, 1093, 1921, 3163, 2513, 4051, 3179, 2525, 4069, 6385, 9859, 7535, 181, 553, 1111, 487, 253, 661, 1273, 2191, 223, 77, 397, 877, 1597, 2677, 4297, 6727, 2593, 4171, 3269, 5185, 8059, 6185, 9559, 3655, 1441, 2443, 1973, 3241, 5143, 1999, 205, 589, 1165, 2029, 3325, 5269, 8185, 12559, 1195, 1037, 1837, 3037, 4837, 7537, 11587, 8831, 1691, 1409, 2395, 1937, 3187, 2531, 2039, 835, 767, 179, 275, 347, 401, 883, 803, 743, 349, 805, 1489, 2515, 2027, 1661, 2773, 4441, 6943, 1337, 2287, 29, 325, 769, 1435, 1217, 2107, 1721, 2863, 143, 31, 41, 343, 199, 145, 499, 515, 527, 67, 191, 71, 97, 427, 461, 973, 1741, 2893, 4621, 7213, 11101, 16933, 25681, 38803, 29243, 22073, 33391, 787, 731, 689, 1315, 1127, 493, 1021, 1813, 3001, 4783, 233, 631, 307, 371, 419, 455, 241, 643, 623] a = 5, b = 67, p = 2, длина 167: A = [3, 1, 3, 1, 2, 1, 3, 6, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 4, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 3, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 2, 2, 1, 3, 2, 1, 3, 5, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 4, 1, 2, 2, 2, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 10, 1, 5, 2, 4, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 4, 2, 1, 3, 1, 7, 3, 2, 1, 5, 3, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 1, 1, 3, 2, 2, 4, 4, 1, 1, 2, 3, 2, 2, 4, 1, 2, 3, 4, 2, 4, 4, 5, 11, 3, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 4, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 9, 1, 7, 5, 4] X = [17, 19, 81, 59, 181, 243, 641, 409, 33, 29, 53, 83, 241, 159, 431, 1111, 2811, 7061, 8843, 22141, 27693, 34633, 10827, 27101, 33893, 42383, 105991, 265011, 662561, 414109, 517653, 647083, 1617741, 2022193, 1263879, 3159731, 7899361, 4937109, 6171403, 15428541, 19285693, 24107133, 30133933, 37667433, 11771077, 14713863, 36784691, 91961761, 57476109, 71845153, 44903229, 56129053, 70161333, 87701683, 219254241, 137033909, 171292403, 428231041, 267644409, 41819441, 26137159, 65342931, 163357361, 102098359, 255245931, 638114861, 797643593, 249263627, 623159101, 778948893, 973686133, 1217107683, 3042769241, 59429087, 148572751, 371431911, 928579811, 2321449561, 11335203, 28338041, 4427821, 5534793, 1729627, 4324101, 5405143, 13512891, 33782261, 42227843, 105569641, 32990517, 41238163, 103095441, 12 64434659, 161086681, 6292449, 3932789, 4916003, 12290041, 1920321, 1200209, 750139, 1875381, 2344243, 5860641, 3662909, 4578653, 5723333, 7154183, 17885491, 44713761, 27946109, 34932653, 43665833, 13645577, 4264247, 10660651, 26651661, 33314593, 20821629, 26027053, 32533833, 10166827, 25417101, 31771393, 19857129, 6205357, 7756713, 2423977, 757497, 118361, 289, 189, 253, 333, 433, 279, 731, 1861, 2343, 5891, 14761, 4617, 1447, 3651, 9161, 2867, 7201, 4509, 5653, 7083, 17741, 22193, 13879, 34731, 86861, 108593, 67879, 169731, 424361, 132617, 41447, 103651, 259161, 2531, 6361, 249, 41] a = 5, b = 37, p = 2, длина 101: A = [1, 2, 1, 3, 3, 2, 2, 1, 4, 3, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 2, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 5, 1, 1, 3, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 1, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 3, 1, 3, 1, 5, 1, 3, 4, 8, 1, 1, 2, 1, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 5, 4, 2, 1, 3, 3, 2, 4, 3, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 4, 7, 5, 1, 1, 7, 3, 3, 3, 4, 4, 3] X = [109, 291, 373, 951, 599, 379, 483, 613, 1551, 487, 309, 791, 499, 633, 1601, 4021, 10071, 6299, 7883, 9863, 6169, 15441, 38621, 96571, 120723, 150913, 377301, 943271, 589549, 1473891, 1842373, 4605951, 719681, 1799221, 4498071, 2811299, 3514133, 8785351, 5490849, 13727141, 34317871, 10724337, 26810861, 67027171, 83783973, 209459951, 65456237, 163640611, 204550773, 511376951, 319610599, 199756629, 499391591, 312119749, 780299391, 121921781, 304804471, 190502799, 59532127, 1162737, 2906861, 7267171, 9083973, 22709951, 3548431, 1108887, 693059, 866333, 2165851, 2707323, 3384163, 4230213, 10575551, 1652431, 516387, 645493, 1613751, 1008599, 630379, 787983, 246247, 153909, 384791, 240499, 300633, 751601, 1879021, 4697571, 5871973, 14679951, 4587487, 179199, 28001, 70021, 175071, 6839, 4279, 2679, 1679, 527, 167] a = 4, b = 253, p = 3, длина 95: A = [0, 2, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 2, 0, 1, 1, 3, 1, 0, 1, 2, 2, 0, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 1, 2, 2, 0, 3, 0, 2, 0, 6, 2, 2, 0, 1, 0, 4, 0, 1, 2, 0, 2, 1, 3, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 0, 1, 3, 3, 2, 1, 0, 1, 0, 5, 0, 2, 4, 1, 2, 0, 2, 0, 3, 1, 2, 1, 0, 3, 2, 2] X = [2617, 10721, 4793, 6475, 26153, 34955, 46691, 62339, 83203, 333065, 148057, 592481, 263353, 1053665, 1404971, 1873379, 277547, 370147, 1480841, 1974539, 877601, 390073, 1560545, 2080811, 924833, 411065, 548171, 730979, 974723, 1299715, 5199113, 2310745, 9243233, 12324395, 5477537, 2434489, 9738209, 1442707, 5771081, 2564953, 10260065, 56297, 25049, 11161, 44897, 59947, 240041, 11857, 47681, 63659, 28321, 113537, 50489, 67403, 9995, 13411, 53897, 71947, 288041, 384139, 1536809, 2049163, 8196905, 3643097, 4857547, 19430441, 25907339, 11514401, 15352619, 20470243, 81881225, 109175051, 16174091, 2396171, 1064993, 1420075, 5680553, 7574155, 30296873, 498715, 1995113, 886745, 43793, 58475, 26017, 104321, 46393, 185825, 27539, 36803, 16385, 21931, 87977, 13043, 5825] Ссылки [1] https://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture [2] Jeffrey C. Lagarias (2010). "The 3x + 1 problem: an overview". https: //arxiv.org/pdf/2111.02635 [3] Belaga, Edward G.; Mignotte, Maurice (1998). "Embedding the 3x+1 Conjecture in a 3x+d Context". Experimental Mathematics. 7 (2): 145–151, http://www.emis.de/journals/EM/expmath/volumes/7/7.html 13