Новые задачи по математике Георгий Гуляев 17 мая 2026 г. Математик без компьютера - астроном без телескопа Здесь рассматриваются математические задачи, идея для условия или решения которых, была найдена мною при помощи программирования и исследования на компьютере. Для некоторых из этих задач существует обычное математическое реше- ние при помощи рассуждений и без использования компьютера, которое и содержится в первой части в разделе решений. Другие приведены без решения. Они для любознательных читателей, которые не боятся использовать компьютер для решения задач по мате- матике. 1. Задачи с решением Задача 101 . Последовательность состоит из натуральных чисел. Каж- дое следующее число последовательности получается из предыдущего при помощи операции сложения с реверсным, цифры которого записаны в обратном порядке. Доказать, что если первые три члена последова- тельности оказались простыми, например, 271 , 443 , 787 , ..., то четвертое число всегда будет составным. 1 Задача 102 . Квадрат со стороной 1 < n < 35 ( n - натуральное) раз- резали на квадраты меньшего размера с натуральными сторонами. При этом, для некоторого натурального k оказалось k квадратов 1 × 1 , k − 1 квадратов 2 × 2 и так далее, 2 квадрата ( k − 1) × ( k − 1) и один квадрат k × k . Найти n и построить разбиение большого квадрата на мелкие на чертеже. Задача 103 . Известно, что кубическое уравнение: x 3 − 35 x 2 + 68 x = r, где r > 0 - действительное число, имеет три вещественных положитель- ных корня. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, со сто- ронами равными корням данного уравнения. Задача 104 . Пусть p и q простые, p > q . Их полусумма p + q 2 и полураз- ность p − q 2 - натуральные и тоже простые. Доказать, что p = 7 , q = 3 . Задача 105 . Легко проверить, что 2 6 = 42 2 − 8 3 . То есть число 2 n при n = 6 удалось представить в виде разности квадрата и куба: 2 n = a 2 − b 3 двух натуральных чисел a и b . Найдите такие a и b для n = 90 . Задача 106 . Разгадайте ребус: AB 2 − BA 3 = 2 A Здесь A и B - две разные цифры. Задача 107 . Число n делится на 5, но не делится на 3 и равно про- изведению трех разных простых чисел. Сумма всех делителей числа n оказалась больше 2 n . Найдите n . Задача 108 . Числа 521 , 5021 , 50021 - являются простыми, но число с тремя нулями 500021 = 17 · 67 · 439 - составное. Можно проверить, что число 50 ... 021 будет также простым, если оно содержит 5 , 8 , 15 , 20 , 30 , 31 , 37 нулей в своей десятичной записи. Докажите, что для любого натурального n число 50 ... 021 , содержащее 2025 n + 1 нулей, - составное. 2 Решения 101 . Простые числа оканчиваются на цифры: [1 , 3 , 7 , 9] . В начале про- стого числа могут быть любые цифры, кроме 0 . Допустим, что первое число последовательности начинается на цифру a и оканчивается на цифру b , второе - начинается на цифру c и оканчи- вается на цифру d и третье - начинается на цифру e и оканчивается на цифру f . Тогда d = ( a + b )%10 ( d - остаток от деления на 10 суммы a + b ). Так как второе число простое, то первое должно начинаться на одну из цифр [2,4,6,8]. Рассматривая все 16 комбинаций, нетрудно доказать, что для первого простого числа всегда будет a = 2 , b = 1 , для второго c = 4 , d = 3 и для третьего e = [7 , 8] , f = 7 . Из этого следует, что четвертое число оканчивается на 4 или на 5, то есть составное. Если ( a, b ) = [(2 , 3) , (4 , 1) , (6 , 9) , (8 , 7)] , то d = 5 - второе число составное. Если ( a, b ) = [(2 , 9) , (4 , 7) , (8 , 3)] , то c = 1 и d = 1 , то есть f = 2 - третье число составное. Если ( a, b ) = [(2 , 7) , (6 , 3) , (8 , 1)] , то c = [1 , 9] , d = 9 и f = [0 , 8] - третье число составное. Если ( a, b ) = [(4 , 3) , (6 , 1)] , то c = [7 , 8] , d = 7 и f = [4 , 5] - третье число составное. Если ( a, b ) = [(4 , 9) , (6 , 7)] , то c = 1 , d = 3 и f = 4 - третье число составное. Если ( a, b ) = (8 , 9) , то c = 1 , d = 7 , и f = 8 - третье число составное. Остается последний возможный случай: ( a, b ) = (2 , 1) , тогда, c = [3 , 4] , d = 3 . Если ( c, d ) = (3 , 3) , то f = 6 - третье число составное. Таким образом, для того чтобы все три начальные члены последователь- ности были простыми существует единственная возможность: ( a, b ) = (2 , 1) , ( c, d ) = (4 , 3) , откуда следует e = [7 , 8] , f = 7 и четвертое число оканчивается на 4 или на 5, то есть всегда будет составным. Что и тре- бовалось доказать. 3 Замечания к задаче 101. Начальные последовательности с первыми тремя простыми членами: 271, 443, 787, 1574,... 281, 463, 827, 1555,... 21491, 40903, 71807, 142624,... 21991, 41903, 72817, 144644,... 22091, 41113, 72227, 144454,... 22481, 40903, 71807, 142624,... 23081, 41113, 72227, 144454,... 23971, 41903, 72817, 144644,... 24071, 41113, 72227, 144454,... 25951, 41903, 72817, 144644,... 26681, 45343, 79697, 159394,... 26981, 45943, 80897, 160705,... 27271, 44543, 79087, 157184,... 27431, 40903, 71807, 142624,... 27691, 47363, 83737, 157475,... 27791, 47563, 84137, 157285,... 28031, 41113, 72227, 144454,... 28661, 45343, 79697, 159394,... 28921, 41903, 72817, 144644,... 28961, 45943, 80897, 160705,... 29021, 41113, 72227, 144454,... 29191, 48383, 86767, 163535,... 29251, 44543, 79087, 157184,... 29411, 40903, 71807, 142624,... 29671, 47363, 83737, 157475,... 2129891, 4119103, 7138217, 14266534,... 2131991, 4123303, 7156517, 14313034,... 2141791, 4113203, 7136317, 14272634,... 2141891, 4123303, 7156517, 14313034,... 2151791, 4123303, 7156517, 14313034,... 2157091, 4064603, 7129207, 14158424,... 2161591, 4113203, 7136317, 14272634,... ... В таких последовательностях, сколько бы мы их не продолжали, не 4 удается найти других простых чисел, кроме начальных трех. Поэтому сформулируем гипотезу: в любой последовательности, получае- мой при помощи операции сложения с реверсным не может быть более трех простых членов . 102 . Очевидно, сумма площадей всех квадратов разбиения для выбран- ного k должна быть равна n 2 : S k = k · 1 2 + ( k − 1) · 2 2 + ( k − 2) · 3 2 + ... + 2 · ( k − 1) 2 + 1 · k 2 = n 2 Будем последовательно вычислять S k (k = 2,3,...) пока S k < 35 2 = 1225 . S 2 = 6 , n = √ 6 S 3 = 20 , n = √ 20 = 2 · √ 5 S 4 = 50 , n = √ 50 = 5 · √ 2 S 5 = 105 , n = √ 105 S 6 = 196 , n = √ 196 = 14 S 7 = 336 , n = √ 336 = 4 · √ 21 S 8 = 540 , n = √ 540 = 6 · √ 15 S 9 = 825 , n = √ 825 = 5 · √ 33 S 10 = 1210 , n = √ 1210 = 11 · √ 10 S 11 = 1716 , n = √ 1716 = 2 · √ 429 Таким образом, решение возможно только при k = 6 , n = 14 . Теперь осталось только его построить: 5 6 Замечания к задаче 102. Сумма S k является квадратом в следующих случаях ( k, n ) : (k, n) ------ (1, 1) (6, 14) (25, 195) (96, 2716) (361, 37829) (1350, 526890) (5041, 7338631) (18816, 102213944) (70225, 1423656585) ... Последовательность a n = { 1 , 6 , 25 , 96 , 361 , 1350 , 5041 , 18816 , 70255 , ... } ока- залась известной [1] . В частности, там приводится формула: a n = (2 + √ 3) n + (2 − √ 3) n − 2 2 , n = 1 , 2 , ... Вторая последовательность b n = { 1 , 14 , 195 , 2716 , 37829 , ... } также встре- чается в энциклопедии целых последовательностей [2]. Она может быть задана рекуррентной формулой: b n = 14 · b n − 1 − b n − 2 , b 0 = 0 , b 1 = 1 , n = 2 , 3 , 4 , ... 103 . Пусть a > 0 , b > 0 , c > 0 - корни кубического уравнения x 3 − 35 x 2 + 68 x = r, d величина диагонали параллелепипеда. Тогда, по теореме Вие- та, a + b + c = 35 ab + ac + bc = 68 abc = r Имеем, d 2 = a 2 + b 2 + c 2 = ( a + b + c ) 2 − 2( ab + ac + bc ) = 35 2 − 2 · 68 = 1089 . d = √ 1089 = 33 Пример a = 17 + √ 255 , b = 17 − √ 255 , c = 1 (откуда выводим r = 34 ) доказывает, что такие уравнения есть, то есть задача вполне корректна. 7 Замечания к задаче 103. Ниже приведены возможные варианты ( p, q, d ) данной задачи для уравнения x 3 − p · x 2 + q · x = r , когда d - натуральное, а p и q в пределах сотни: (p, q, d) --------- (3, 4, 1), (4, 6, 2), (5, 8, 3), (5, 12, 1), (6, 10, 4), (6, 16, 2), (7, 12, 5), (7, 20, 3), (7, 24, 1), (8, 14, 6), (8, 24, 4), (8, 30, 2), (9, 16, 7), (9, 28, 5), (9, 36, 3), (9, 40, 1), (10, 18, 8), (10, 32, 6), (10, 42, 4), (10, 48, 2), (11, 20, 9), (11, 36, 7), (11, 48, 5), (11, 56, 3), (11, 60, 1), (12, 22, 10), (12, 40, 8), (12, 54, 6), (12, 64, 4), (12, 70, 2), (13, 24, 11), (13, 44, 9), (13, 60, 7), (13, 72, 5), (13, 80, 3), (13, 84, 1), (14, 26, 12), (14, 48, 10), (14, 66, 8), (14, 80, 6), (14, 90, 4), (14, 96, 2), (15, 28, 13), (15, 52, 11), (15, 72, 9), (15, 88, 7), (15, 100, 5), (16, 30, 14), (16, 56, 12), (16, 78, 10), (16, 96, 8), (17, 32, 15), (17, 60, 13), (17, 84, 11), (18, 34, 16), (18, 64, 14), (18, 90, 12), (19, 36, 17), (19, 68, 15), (19, 96, 13), (20, 38, 18), (20, 72, 16), (21, 40, 19), (21, 76, 17), (22, 42, 20), (22, 80, 18), (23, 44, 21), (23, 84, 19), (24, 46, 22), (24, 88, 20), (25, 48, 23), (25, 92, 21), (26, 50, 24), (26, 96, 22), (27, 52, 25), (27, 100, 23), (28, 54, 26), (29, 56, 27), (30, 58, 28), (31, 60, 29), (32, 62, 30), (33, 64, 31), (34, 66, 32), 8 (35, 68, 33), (36, 70, 34), (37, 72, 35), (38, 74, 36), (39, 76, 37), (40, 78, 38), (41, 80, 39), (42, 82, 40), (43, 84, 41), (44, 86, 42), (45, 88, 43), (46, 90, 44), (47, 92, 45), (48, 94, 46), (49, 96, 47), (50, 98, 48), (51, 100, 49) 104 . Очевидно, q не может быть равно 2 . То есть, q > 2 - нечетное простое. Пусть p = 2 n + 1 , q = 2 m + 1 . Тогда p + q 2 = n + m + 1 , p − q 2 = n − m . Если n и m одинаковой четности, то n − m делится на 2 , а если разной, то n + m + 1 делится на 2 . Единственный возможный случай, когда n − m = 2 - простое, дает ре- шение: n = m + 2 , p = 2 m + 5 , q = 2 m + 1 , p + q 2 = 2 m + 3 . Одно из трех последовательных нечетных чисел ( 2 m + 1 , 2 m + 3 , 2 m + 5 ) обязано де- литься на 3 , поэтому q = 2 m + 1 = 3 = > m = 1 = > ( p, q ) = (7 , 3) - единственное решение. 105 . Заметим, что 24 2 − 8 3 = (3 · 2 3 ) 2 − (2 · 2 2 ) 3 = 9 · 2 6 − 8 · 2 6 = 2 6 . Применим эту идею для n = 90 : 2 90 = 9 · 2 90 − 8 · 2 90 = (3 · 2 45 ) 2 − (2 · 2 30 ) 3 . Таким образом, a = 3 · 2 45 = 105553116266496 , b = 2 31 = 2147483648 . 106 . Приведу сразу ответ: 71 2 − 17 3 = 2 7 . Это равенство замечатель- но тем, что 71 , 17 и 7 - простые числа. Вопрос существуют ли другие равенства p 2 − q 3 = 2 n , где p и q - простые, кроме данного и совсем тривиального 3 2 − 2 3 = 2 0 , остается открытым. Замечания к задачам 105 и 106. Задачи связаны с нахождением целочисленных решений уравнения Морделла y 2 − x 3 = n и с соответ- ствующей ему эллиптической кривой Морделла [3]. 9 107 . По условию, n = 5 · p · q , где p и q не равны 3. Сумма всех его делителей 1 + 5 + p + q + 5 p + 5 q + pq + 5 pq = 6 p + 6 q + 6 pq + 6) , по условию, больше 2 n . То есть, 6 p + 6 q + 6 pq + 6 > 2 · 5 pq = 10 pq Без ограничения общности, предположим, что p < q . Последнее неравен- ство перепишем в виде: 3( p + 1) > q (2 p − 3) , откуда q < 3( p + 1) 2 p − 3 = 3 2 · (1 + 5 2 p − 3 ) Пусть p = 2 , тогда q < 9 . Поскольку q не может быть равно 3 или 5 , то единственная возможность q = 7 . С ростом p ограничение для q в правой части убывает и стремится к 3 2 . Уже при следующем возможном p = 7 , мы получаем, q < 24 11 , что невозможно. Итак, n = 2 · 5 · 7 = 70 - единственное решение. 108 . Легко проверить, что 10 6 ≡ 1 (mod 13) . Докажем, что если число нулей равно 6 k − 2 , где k любое натуральное число, то число 50 ... 021 делится на 13 . Имеем, 50 ... 021 = 5 · 10 6 k − 2 · 10 2 + 21 = 5 · 10 6 k + 21 = 5 · (10 6 ) k + 21 ≡ 5 + 21 = 26 ≡ 0 (mod 13) Осталось проверить, что число 2025 n + 1 имеет вид 6 k − 2 . 2025 n + 1 ≡ 3 n + 1 (mod 6) = 3 n + 3 − 2 = (3 n − 1 + 1) · 3 − 2 . 3 n − 1 + 1 - очевидно, четное, то есть 3 n − 1 + 1 = 2 k, k - натуральное и 2025 n + 1 ≡ 6 k − 2 (mod 6) . Что и требовалось доказать. 2. Задачи для решения с компьютером Задача 201 . Доказать, приведя пример, что существует простое число, квадрат которого равен сумме квадратов некоторого количества n > 1 подряд идущих чисел из бесконечной последовательности всех простых чисел: 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , ... 10 Задача 202 . Множество состоящее из 8 цифр: { 1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } разби- ли на 2 группы по 4 в каждой и составили из цифр групп два четырех- значных числа a и b . Затем добавили к ним еще два числа c и d , записав цифры чисел a и b в обратном порядке. Число c получили из числа a , а d из b . При этом, оказалось, что a самое меньшее из четырех чисел и a · b = c · d Найдите числа a и b . Задача 203 . Ученик Вася придумал следующий способ сокращения дро- бей: если в числителе и знаменателе дроби есть одинаковые цифры, то их можно вычеркнуть и тем самым "сократить"дробь. В качестве дока- зательства своего метода он привел множество примеров: 19 95 = 1 5 , 124 217 = 4 7 , 154 253 = 14 23 , 133 3325 = 1 25 , 1666 6664 = 1 4 , 7293 9724 = 3 4 и так далее. Найдите "сократимую"по Васиному методу правильную дробь, в числи- теле и знаменателе которой находятся натуральные числа, содержащие по 6 разных цифр и которая после сокращения равна 7 9 . Пропробуйте исследовать эту задачу для случая 10 не повторяющихся цифр в числителе и знаменателе, то есть когда и в числителе и знамена- теле содержатся все 10 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Сможете ли вы найти в этом случае хотя бы одну "сократимую"по Васе дробь, которая приводится к p q , где p < q < 10 ? Задача 204 . Из ряда натуральных чисел случайно выбрали пять разных чисел от 1 до 120. Когда их сложили, то получили простое число, когда вычислили сумму квадратов этих чисел, то получили куб простого числа, а когда вычислили сумму кубов, то получили квадрат простого числа. Какие пять чисел были выбраны? 11 Задача 205 . Некоторые годы нынешнего столетия можно легко пред- ставить в виде суммы квадратов простых чисел, не превосходящих 100 . Например, 2018 = 13 2 + 43 2 2023 = 2 2 + 7 2 + 11 2 + 43 2 2024 = 2 2 + 7 2 + 11 2 + 13 2 + 41 2 Однако есть такие, которые так представить не удается, например, 2015 . Выясните какие годы с 2020 по 2050 нельзя представить в виде суммы квадратов простых чисел не превосходящих 100 . Задача 206 . Параллелепипедами Эйлера называются прямоугольные параллелепипеды у которых длины всех ребер ( a, b, c ) и всех диагоналей граней ( x, y, z ) - натуральные числа [4]. Например, ( a, b, c ) = (44 , 117 , 240) , ( x, y, z ) = (125 , 267 , 244) ( a, b, c ) = (85 , 132 , 720) , ( x, y, z ) = (157 , 732 , 725) ( a, b, c ) = (187 , 1020 , 1584) , ( x, y, z ) = (1037 , 1884 , 1595) Заметим, что в этих трех примерах суммы a + b + c , а именно: 401, 937, 2791 - простые числа. Найдите все простые числа от 45000 до 50000 , ко- торые является суммой длин ребер некоторого параллелепипеда Эйлера. Задача 207 . Число 145 обладает замечательным свойством: 145 = 1! + 4! + 5! То есть, оно является суммой факториалов вcех своих цифр. Докажите, что количество чисел обладающих таким свойством конечно и найдите все такие числа. По определению, n ! = 1 · 2 · 3 · ... · n для любого натурального n , при этом в целях удобства предполагается, что 0! = 1 . 12 Задача 208 . Рассмотрим множество A всех натуральных чисел, в деся- тичной записи которых могут присутствовать любые цифры кроме нуля без повторений: A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 21 , 23 , 24 , ... } . Для любых натуральных чисел n определим функцию: f ( n ) = сумме кубов цифр числа n . Например, f (1) = 1 , f (3) = 27 , f (13) = 1 3 + 3 3 = 28 . 1. Кроме тривиального случая n = 1 , существуют еще два числа множе- ства A , для которых f ( n ) = n . Найдите их. 2. Для каждого числа n из множества A будем строить последователь- ность: a 0 = n, a 1 = f ( a 0 ) , a 2 = f ( a 1 ) , a 3 = f ( a 2 ) и так далее до первого повторения, после которого последовательность зациклится. Например, возьмем n = 13 : 13 , 28 , 520 , 133 , 55 , 250 , 133 , ... Эта последовательность содержит 6 неповторяющихся элементов, то есть имеет длину 6 . Найдите последовательность с наибольшей длиной. Задача 209 . Число 1729 замечательно тем, что это первое число, которое можно представить в виде суммы двух кубов двумя способами: 1729 = 1 3 + 12 3 = 9 3 + 10 3 Найдите первое (наименьшее) число, которое можно представить в виде суммы двух кубов тремя способами. Попробуйте также найти первое (наименьшое) число, которое можно представить в виде суммы двух кубов четырьмя способами. Любопытно, что это число делится на 1729 без остатка. Задача 210 . Среднее арифметическое пары простых чисел 3 , 7 (число 5 ), очевидно, является простым. Тройка простых чисел 3 , 7 , 19 обладает таким свойством, что все три ее средние арифметические 3 + 7 2 = 5 , 3 + 19 2 = 11 , 7 + 19 2 = 13 - простые числа. Легко проверить, что четверка 3 , 11 , 23 , 71 и пятерка 5 , 29 , 53 , 89 , 113 про- стых имеют точно такие же свойства, а именно: среднее арифметическое любых пар каждой из них является простым числом. 13 Какова будет максимальная длина последовательности простых чисел обладающей таким свойством, если она может содержать только нечет- ные простые числа меньшие 1000 ? Найдите эту последовательность. Задача 211 . Некоторые три простых числа a,b,c, не превосходящие 10000, обладают интересными свойствами: a 3 + b 3 + c 3 = d 3 , причем d - простое, a + b + c - простое и a 5 + b 5 + c 5 - тоже простое. Найдите эти числа. Задача 212 . Обозначим через f ( a ) функцию, возвращающую по задан- ному натуральному числу a число точек с натуральными координатами внутри области: ( x 3 + y 3 < a 3 ( x − a ) 2 + ( y − a ) 2 < a 2 На следующем рисунке изображена эта область, а также точки внутри нее, при a = 4 . Таким образом, f (4) = 8 . Найдите такое число a , при котором f(a) является произведением восьми разных простых чисел меньших 65. Задача 213 . Разложение числа 2025 на простые множители имеет вид: 2025 = 3 4 · 5 2 Если для порождения натуральных чисел использовать только простые 3 и 5 , то получим числа вида { 3 r · 5 s , r ≥ 0 , s ≥ 0 } , где r и s пробегают 14 все целые числа большие или равные нулю. Выпишем начальные члены этого множества, расположенные по возрастанию: 1,3,5,9,15,25,27,45,75,81,125,135,225,243,375,405,625,675,729, 1125,1215,1875,2025,... Число 2025 находится в этой возрастающей последовательности на 23 -м месте, то есть a 23 = 2025 . Найдите число a 2025 = 3 m · 5 n , которое находится на 2025 -м месте в этой последовательности. Найдите также m и n для a 2024 , a 2025 и a 2026 . Задача 214 . Функция f ( n ) = n 2 − 13 n + 59 дает n -й член последователь- ности простых чисел { a n } = { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , ... } в четырех случаяx, а именно, при n = 7 , 8 , 9 , 10 . Действительно, f (7) = 17 = a 7 f (8) = 19 = a 8 f (9) = 23 = a 9 f (10) = 29 = a 10 Найдите такие целые числа b и c чтобы функция f ( n ) = n 2 + bn + c при некоторых n в шести случаях давала бы n -й член последовательности простых чисел { a n } . В ответе укажите решение с наименьшим c . Задача 215 . Число r 7 + q 6 + √ 5 = 3 . 1416 ... дает неплохое приближения для числа π = 3 . 14159265358979323844 ... Найдите натуральные числа a, b, c , при которых выражение r a + q b + √ c дает наилучшее приближение из всех возможных для числа π . Реши- те эту задачу также и для более общего выражения с натуральными a, b, c, d : s a + r b + q c + √ d 15 Задача 216 . Рассмотрим последовательности, связанные с так называ- емой гипотезой Коллаца [5]. Начинаем последовательность с некоторого натурального a 1 . Каждый следующий a n +1 член последовательности получаем из предыдущего a n таким образом: 1. Если число a n нечетное, то делаем его четным: a n = 3 a n + 1 , а если оно уже четное, то пункт 1 пропускаем и переходим к пункту 2. 2. С результатом пункта 1 повторяем операцию деления на 2 до тех пор, пока число не станет нечетным. Это и будет a n +1 . Например, для a 1 = 7 , получаем 7 , 11 , 17 , 13 , 5 , 1 , 1 , ... Гипотеза Коллаца заключается в предположении, что для любого нату- рального a 1 последовательность завершится единицами. Заметим, что в приведенном примере последовательности для простого числа a 1 = 7 все ее 5 членов, кроме единиц оказались простыми. Найдите такое наименьшее простое число p , чтобы все 15 членов (кроме единиц) последовательности, начинающейся числом p были простыми. Задача 217 . Проверьте следующие представления единицы в виде сум- мы дробей: 1 = 1 2 + 1 3 + 1 6 1 = 1 3 + 1 4 + 1 6 + 1 10 + 1 12 + 1 15 1 = 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 9 + 1 10 + 1 15 + 1 18 + 1 20 Найдите подобное представление, содержащее 18 разных слагаемых, пер- вое из которых 1 9 , а знаменатели всех дробей в нем больше 8 -ми, но мень- ше 50 -ти. Попробуйте также найти представление единицы в виде суммы разных дробей, в знаменателе которых натуральные числа от 10 до 52 . 16 Задача 218 . Около некоторых многоугольников с разными натуральны- ми сторонами можно описать окружность, радиус которой также будет выражаться натуральным числом. Например, все вершины выпуклого пятиугольника сторонами { 1 , 10 , 13 , 22 , 24 } лежат на окружности с ради- усом 13 . Попробуйте это доказать. Найдите выпуклый восьмиугольник с разны- ми натуральными длинами сторон, все вершины которого лежали бы на окружности радиуса r ( r - натуральное число). В ответе укажите реше- ние с наименьшим r . 17 Задача 219 . Натуральные числа n равные сумме всех своих собственных (меньших n ) делителей называются совершенными. Например, число 6 имеет собственные делители: { 1 , 2 , 3 } и 6 = 1 + 2 + 6 . Если же сумма собственных делителей числа n оказалась больше само- го числа n , то такие числа называются избыточными. Таким является, например, любое простое число p . Оно имеет делители { 1 , p } и p < 1 + p . Ну и, наконец, если сумма собственных делителей числа n оказалась меньше самого числа n , то такие числа называются недостаточными. Например, произведение любых двух простых чисел p и q (за исключе- нием случая p = 2 , q = 3 ) всегда недостаточное, так как p · q > 1 + p + q . Рассмотрим последовательность всех нечетных простых чисел 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , ... Если брать произведения k ( k = 2 , 3 , ... ) подряд идущих чисел в этой последовательности, начиная с некоторого p , то сначала это произведе- ние будет недостаточным, но начиная с некоторого k оно уже становится избыточным. Проверьте, что 3 · 5 , 3 · 5 · 7 , 3 · 5 · 7 · 11 , 3 · 5 · 7 · 11 · 13 - недостаточные числа и что 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 - избыточное. То есть, если начать с числа 3 , то для того чтобы получить первое избы- точное произведение потребовалось взять шесть подряд идущих простых чисел 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 . Если же начать с числа 5 , для того чтобы получить избыточное произ- ведение потребуется уже десять подряд идущих простых чисел 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 Произведение из скольких простых чисел идущих подряд нужно будет составить для получения первого избыточного числа, если начать с про- стого p = 29 ? 18 Задача 220 . Число 855 можно представить в виде суммы двух и более кубов натуральных чисел двумя способами: ( 855 = 7 3 + 8 3 855 = 1 3 + 5 3 + 9 3 Можно сказать, что 855 имеет разложения в сумму от 2 до 3 кубов. Най- дите наименьшее натуральное число, которое имело бы все разложения в сумму от 2 до 15 кубов (не обязательно единственным способом). Задача 221 . Последовательность натуральных чисел a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , ..., опре- деляется следующим образом: a 0 - наибольшее число, которое невозможно представить в виде суммы кубов различных натуральных чисел, a 1 - наибольшее число, которое можно представить в виде суммы кубов различных натуральных чисел единственным способом, a 2 - наибольшее число, которое можно представить в виде суммы кубов различных натуральных чисел двумя способами, и так далее. Найдите первые 10 членов этой последовательности. Задача 222 . Найти все равенства вида a 2 + b 2 + c 2 + ... = d 2 в которых в десятичной записи чисел a, b, c, ..., d используются все 10 цифр по одному разу. Сумма квадратов в левой части может содержать любое количество слагаемых большее или равное двум. Задача 223 . Рассмотрим множество дробей с числителем 1. Дробь 1/3 можно представить в виде суммы трех различных дробей этого множе- ства так: 1 3 = 1 6 + 1 10 + 1 15 При этом, наибольший общий делитель знаменателей (6 , 10 , 15) равен единице. Найдите подобное представление для дроби 1 2025 . То есть, найти натуральные числа a, b, c ( a < b < c ) , такие, что НОД ( a, b, c ) = 1 и 1 2025 = 1 a + 1 b + 1 c В ответе указать ( a, b, c ) с наименьшей суммой a + b + c . 19 Задача 224 . Тройка натуральных чисел ( x, y, z ) называется пифагоро- вой тройкой, если x 2 + y 2 = z 2 . Пифагорова тройка ( x, y, z ) называется примитивной, если НОД ( x, y, z ) = 1, то есть, если ее числа взаимно про- стые. Найдите такую примитивную пифагорову тройку ( x, y, z ) и натуральное число k , чтобы каждое число пифагоровой тройки ( k · x, k · y, k · z ) в своей десятичной записи содержало девять цифр от 1 до 9 по одному разу. Задача 225 . Пусть n - натуральное число, обозначим через p ( n ) ко- личество простых чисел-подстрок в его десятичной записи. Например, p (321) = 2 , а p (231) = 4 . Действительно, из шести чисел-подстрок числа 321 : 3 , 32 , 321 , 2 , 21 , 1 только 3 и 2 являются простыми, а для числа 231 простых чисел-подстрок уже четыре: 2 , 23 , 3 , 31 . Найдите 10 -значное нечетное число, содержащее в своей десятичной за- писи все цифры от 0 до 9 и имеющее максимальное число простых чисел- подстрок. Задача 226 . Рассмотрим простое число 31 . Если разбить его десятичную запись на две части a = 3 и c = 1 и между ними постоянно вставлять цифру b = 3 , то получим подряд 7 простых чисел: 31 , 331 , 3331 , 33331 , 333331 , 3333331 , 33333331 . Следующее 333333331 = 17 · 19607843 - уже составное. Если же взять простое число 6073 , разбить его на a = 6 , c = 073 и встав- лять постоянно между ними цифру b = 9 , то, до первого появления составного, получим уже 9 простых чисел: 6073 , 69073 , 699073 , 6999073 , 69999073 , 699999073 , 6999999073 , 69999999073 , 699999999073 . Заметим, что 6999999999073 = 31 · 107 · 28411 · 74279 . Найти наименьшее простое число и цифру, дающие 11 простых чисел (до первого составного) при постоянном добавлении цифры в десятичную запись числа в выбранной позиции. Задача 227 . Десятизначное натуральное число n в его десятичной за- писи разбили слева направо на 4 натуральных числа: [ a, b, c, d ] , a - одно- значное, b - двузначное, c - трехзначное и d - четырехзначное. Например, для n = 2176501238 будет a = 2 , b = 17 , c = 650 , d = 1238 . Заметим, что в этом примере: a 3 + b 3 + c 3 + d 3 = 2172043193 < n . Найдите такое n, чтобы выполнялось равенство a 3 + b 3 + c 3 + d 3 = n . 20 Задача 228 . Обозначим через d ( n ) - операцию по удалению четности из натурального числа n , то есть если n - нечетное ничего не делаем, а если четное, то делим его на 2 до тех пор пока оно не станет нечетным. Например, d (10) = 5 , d (12) = 3 , d (16) = 1 , d (21) = 21 . Пусть b - некоторое нечетное натуральное число. Рассмотрим функцию f b ( n ) = d (3 · n + b ) , n ∈ N Если выбрать, например, b = 5 , то можно построить при помощи функ- ции f 5 ( n ) = d (3 · n + 5 ) две последовательности, содержащие по 3 беско- нечно повторяющихся числа: 19 , 31 , 49 , 19 . 31 , 49 , ... 23 , 37 , 29 , 23 . 37 , 29 , ... Действительно, легко проверить, например, что f 5 (19) = 31 , f 5 (31) = 49 , f 5 (49) = 19 и так далее. Если для той же функции f 5 ( n ) выбрать в качестве начального элемента последовательности 187 или 347 , то по- лучим последовательности, содержащие уже по 17 членов до первого повторения. Найдите наименьшее натуральное число b в функции f b ( n ) , такое, что найдется последовательность, содержащая 1000 членов до первого по- вторения. Найдите эту последовательность и вычислите сумму s всех ее 1000 элементов. Задача 229 . Из трех простых чисел p, q, r составили число a , записывая подряд их цифры друг за другом, и оказалось, что оно равно квадрату среднего из них: a = q 2 . Найдите такие числа. Задача 230 . Пятизначное число a = 46416 содержится в начале его чет- вертой степени: a 4 = 4641633499322843136 . Найти два тридцатизначных числа, кроме тривиального 10 29 , обладающих таким же свойством. 3. Ответы 201 . 355363 2 + ... + 355951 2 = 2489647 2 . Сумма квадратов 49 последова- тельных простых чисел равна квадрату простого числа 2489647 . 202 . ( a, b ) = (1572 , 8694) 203 . 328174 421938 = 7 9 . Для 10 цифр нет "сократимой"до p q , p < 10 , q < 10 . 21 204 . 19 + 38 + 47 + 111 + 116 = 331 19 2 + 38 2 + 47 2 + 111 2 + 116 2 = 29791 = 31 3 19 3 + 38 3 + 47 3 + 111 3 + 116 3 = 3094081 = 1759 2 205 . 5 лет c 2037 по 2041 . 206 . 45817 , 46727 , 47599 , 48817 , 49801 207 . 1 , 2 , 145 , 40585 208 . 1. 153 , 371 . 2. 12558 , 771 , 687 , 1071 , 345 , 216 , 225 , 141 , 66 , 432 , 99 , 1458 , 702 , 351 , 153 209 . 87539319 = 167 3 + 436 3 = 228 3 + 423 3 = 255 3 + 414 3 6963472309248 = 2421 3 + 19083 3 = 5436 3 + 18948 3 = 10200 3 + 18072 3 = 13322 3 + 16630 3 210 . 5 , 17 , 41 , 101 , 257 , 521 , 761 , 881 211 . 839 3 + 3691 3 + 5167 3 = 5737 3 212 . f (24667) = 406887690 = 2 · 3 · 5 · 11 · 17 · 29 · 41 · 61 213 . a 2024 = 3 4 · 5 49 , a 2025 = 3 67 · 5 6 , a 2026 = 3 26 · 5 34 214 . f ( x ) = x 2 − 835 · x + 177203 215 . q 1 + p 44 + √ 1202 , r 3 + q 7 + p 1552 + √ 3888 216 . 1042776437 217 . 1 = 1 9 + 1 10 + 1 11 + 1 12 + 1 14 + 1 15 + 1 16 + 1 18 + 1 20 + 1 21 + 1 22 + 1 24 + 1 28 + 1 30 + 1 33 + 1 35 + 1 40 + 1 48 1 = 1 10 + 1 11 + 1 12 + 1 14 + 1 15 + 1 16 + 1 18 + 1 20 + 1 21 + 1 22 + 1 24 + 1 26 + 1 28 + 1 30 + 1 33 + 1 35 + 1 36 + 1 39 + 1 40 + 1 48 + 1 52 218 . r = 91 , восьмиугольник со сторонами { 7 , 26 , 42 , 61 , 74 , 78 , 107 , 142 } . 219 . 159 220 . 23085 = 3 5 · 5 · 19 = 3 3 · 855 221 . 12758 , 15278 , 15845 , 16061 , 16034 , 17483 , 20759 , 17258 , 19310 , 21038 , ... 22 222 . 9 2 + 306 2 + 482 2 = 571 2 12 2 + 84 2 + 597 2 = 603 2 3 2 + 54 2 + 60 2 + 98 2 = 127 2 6 2 + 28 2 + 37 2 + 94 2 = 105 2 38 2 + 42 2 + 51 2 + 60 2 = 97 2 5 2 + 9 2 + 20 2 + 43 2 + 71 2 = 86 2 223 . 5775 , 6083 , 6399 224 . (204 , 253 , 325) , k = 2099979 225 . 6829547103 226 . 239179933 , цифра 6 , позиция 5 (2391 , 79933) 227 . 1365991048 228 . b = 3299 , s = 261882522 229 . p = 2 , q = 146509717 , r = 5420089 230 . 215443469003188372175929356652 , 464158883361277889241007635092 4. Ссылки [1] https://oeis.org/search?q=1%2C6%2C25%2C96%2C361%2C1350&go=Search [2] https://oeis.org/search?q=1%2C14%2C195%2C2716&go=Search [3] https://personal.math.ubc.ca/~bennett/BeGh-LMSJCM-2015.pdf [4] https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80% D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BA%D1%83%D0%B1%D0%BE%D0% B8%D0%B4 [5] https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%BE%D1%82% D0%B5%D0%B7%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%BB%D0%B0%D1%82%D1%86%D0% B0 23