Сходимость последовательности производных на множестве натуральных чисел Георгий Гуляев 7 декабря 2022 г. 1. Введение Математики любят аналогии. В далеком 1961 году была опубликована статья [1], в которой автор попытался ввести операцию подобную взятию прозводной для целых чисел n ≥ 0 . Другие последователи распространили это определение на рациональ- ные и даже на иррациональные числа, изучили интегралы и доказали несколько интересных теорем [2-3]. В данной статье мы изложим часть их результатов и попытаемся приме- нить компьютер для анализа сходимости последовательности производ- ных натуральных чисел. 2. Определение Согласно литературе [1-3]: 1 ′ = 0 . p ′ = 1 для любого простого p . ( a · b ) ′ = a ′ · b + a · b ′ для любых натуральных a и b (правило Лейбница). 1 3. Примеры 4 ′ = (2 · 2) ′ = 2 ′ · 2 + 2 · 2 ′ = 2 + 2 = 4 8 ′ = (2 · 4) ′ = 2 ′ · 4 + 2 · 4 ′ = 4 + 8 = 12 10 ′ = (2 · 5) ′ = 2 ′ · 5 + 2 · 5 ′ = 5 + 2 = 7 12 ′ = (3 · 4) ′ = 3 ′ · 4 + 3 · 4 ′ = 4 + 12 = 16 20 ′ = (2 · 10) ′ = 2 ′ · 10 + 2 · 10 ′ = 10 + 14 = 24 Здесь, в общем случае, не выполняется важное свойство обычной произ- водной: ( a + b ) ′ = a ′ + b ′ , например (10 + 2) ′ = 16 , но 10 ′ + 2 ′ = 7 + 1 = 8 , хотя бывают случаи, когда это верно: (4 + 8) ′ = 4 ′ + 8 ′ = 16 Формула же для производной степени сохраняется, так как является следствием правила Лейбница. Для простых p: ( p 2 ) ′ = ( p · p ) ′ = p ′ · p + p · p ′ = 2 p ( p 3 ) ′ = ( p · p 2 ) ′ = p ′ · p 2 + p · ( p 2 ) ′ = p 2 + 2 p 2 = 3 p 2 ... Общий случай натурального a: ( a 2 ) ′ = ( a · a ) ′ = a ′ · a + a · a ′ = 2 aa ′ ( a 3 ) ′ = ( a · a 2 ) ′ = a ′ · a 2 + a · ( a 2 ) ′ = a 2 a ′ + 2 a 2 a ′ = 3 a 2 a ′ ... 4. Теоремы Теорема 1 . Для любого натурального a справедлива формула: ( a n ) ′ = na n − 1 a ′ Теорема 2 . Для любого натурального a равенство a = a ′ выполняется тогда и только тогда, когда a = p p , где p простое. Таким образом, роль e x здесь играют числа p p . 2 Теорема 3 . Если известно каноническое разложение числа n > 1 на простые множители: n = p α 1 1 · p α 2 2 · ... · p α k k , то n ′ = α 1 · n p 1 + α 2 · n p 2 + ... + α k · n p k Например, 60 ′ = (2 2 · 3 · 5) ′ = 2 · (2 · 3 · 5)+(2 2 · 5)+(2 2 · 3) = 60+20+12 = 92 Следствие 1 . Наибольший общий делитель ( n, n ′ ) = 1 тогда и только тогда, когда n не имеет в каноническом разложении степеней α i > 1 . Теорема 4 . Если n = p α 1 1 · p α 2 2 · ... · p α k k и α i не делится на p i для всех i ∈ [1 , k ] , то ( n, n ′ ) = n rad ( n ) , где rad ( n ) = p 1 · p 2 · ... · p k - радикал числа n . 5. Примеры на компьютере Вычисление производной n по теореме 3 на языке Julia: function drv(n) n >= 0 || return -drv(-n) n > 1 || return 0 s = 0 for (p,k) in factor(n) s+=k*div(n,p) end s end Здесь допускается n целое для того чтобы не делать исключений. Пред- полагается 0 ′ = 0 , а для отрицательных чисел используется формула ( − n ) ′ = − n ′ . Согласно теореме 2, n ′ = n бывает только тогда, когда n = p p , p - простое. Из примеров мы видели, что в других случаях может быть как n ′ > n , так и n ′ < n . Попробуем изучить вопрос: всегда ли будет последовательность произ- водных n ′ , n ′′ , n ′′′ , ... стремиться к бесконечности или же нет? 3 Для этого напишем функцию вычисляющую 50 производных. function go(n) k = 0 d = big(drv(n)) while k<50&&d>0 println(d) d = drv(d) k+=1 end end Как можно увидеть из нижеследующих примеров, есть последователь- ности сходящиеся к 1, но есть и, предположительно, расходящиеся. Мы берем только 50 значений и, естественно, пока не можем доказать точно, что та или иная последовательность расходится. go(5*977) = 982 493 46 25 10 7 1 go(13*977) = 990 1443 631 1 go(7*7*13) = 231 131 1 go(7*11*13) = 311 1 go(5*7*11) = 167 1 go(3*5*7) = 71 1 go(2*3*3) = 21 10 7 1 go(5*409) = 414 501 170 129 46 25 10 7 1 go(2*3*5*7*11) = 2927 1 go(2*3*5*7*11*13) = 40361 1 julia> go(2*3*5*7*11*13*17*19*23) 334406399 9835475 4893565 978718 564671 1 4 julia> go(3*5*7*11*13*17*19*23*29) 3343015913 107839254 89866051 8341703 534455 111431 1 go(7*11*13*17*19*23*29) = 107850959 1 julia> go(13*17*19*23*29) 745945 154019 9951 3731 911 1 go(19*23*29*31*37) = 2760049 1 go(7*11*13*17*19*23*29) = 107850959 1 julia> go(2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37) 11819186711467 149759057759 1 julia> go(3*5*7*11*13*17*19*23*29) 3343015913 107839254 89866051 8341703 534455 111431 1 go(19*23*29*31*37) = 2760049 1 5 julia> go(13*17*19*23*29) 745945 154019 9951 3731 911 1 julia> go(2*3*5*7*11*13*17*19*23*29) 9920878441 36880858 23794635 12690487 654407 60479 504 1164 1564 1724 1728 6912 34560 179712 1002240 5246208 28684800 169585920 906315264 5002566912 25727535360 133783218432 760954279680 4348176926976 21740884641792 ... 6 julia> go(big(2)*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47*53*59*61) 201015517717077830328949 1 6. Анализ результатов Первое ощущение такое, что все случайно и может быть все что угодно. Как только натыкаемся на простое, а это довольно случайное событие, так получаем сходимость к 1. Интересно, что многие числа и в том числе некоторые простые не могут быть производными. Из 1229 простых до 10000, 700 не являются произ- водными какого-либо числа, остальные 529 - являются: 5 , 7 , 13 , 19 , 31 , 41 , 43 , 59 , 61 , 71 , 73 , 101 , 103 , 109 , 113 , 131 , 139 , ... - являются 2 , 3 , 11 , 17 , 23 , 29 , 37 , 47 , 53 , 67 , 79 , 83 , 89 , 97 , 107 , 127 , 137 , ... - нет То есть вероятность наткнуться на простое здесь уменьшается еще более чем вдвое. То что выше я привел много примеров сходящихся последова- тельностей производных не означает, что расходящихся меньше. Напри- мер, все числа вида 4 k приводят к расходящейся последовательности. Доказать это несложно: (4 k ) ′ = 4( k + k ′ ) , то есть производная 4 k не меняет вид числа, при этом при k = 1 все производные будут равны 4 (зацикливание), а при k > 1 последовательность n ′ , n ′′ , n ′′′ ... будет неогра- ниченно расти. Нетрудно заметить, что здесь 4 = 2 2 является частным случаем общего p p , ибо здесь все то же самое ( p p k ) ′ = p p ( k + k ′ ) . Поэтому имеет смысл рассматривать только числа n = p α 1 1 · p α 2 2 · ... · p α k k для которых α i < p i , i = 1 , 2 , ...k . В приведенных выше примерах я везде брал α i = 1 . Однако и в этом слу- чае попадается много расходящихся. Возьмем простое число 7. Умножая его на разные числа k и проверяя результат на сходимость, увидим, что при при k = 3 , 6 , 7 , 11 , 15 , 18 , 23 , ... - последовательность сходится, а при k = 5 , 9 , 13 , 17 , 19 , 21 , 25 , ... - расходится. Заметим, что у нас появился метод для строгого доказательства, что по- следовательность расходится. А именно, она расходится когда существу- ет i для которого α i ≥ p i . С учетом этого напишем еще одну функцию, 7 которая будет возвращать 1, если последовательность сходится, -1, если последовательность расходится и 0, если определить не удалось. function explore(n) drv(n,f) = sum(map(x -> x[2]*div(n,x[1]), f)) l = [n]; up = 0 while up<20 m = l[end] if isprime(m) return 1 end f = factor(m).pe if length(filter(x -> x[1]<=x[2],f)) > 0 return -1 end push!(l,drv(m,f)) if m < l[end] up+=1 end end 0 end Выход из программы по количеству возрастаний последовательности (переменная up). Если их больше 20 и определить сходимость не уда- лось, то завершаем программу и возвращаем 0. julia> filter(x -> x[2] == 0,map(x -> (x,explore(x)),2:10000000)) Tuple{Int64, Int64}[] julia> filter(x -> x[2] == 1,map(x -> (x,explore(x)),2:10000000)) 2589482-element Vector{Tuple{Int64, Int64}}: julia> filter(x -> x[2] == -1,map(x -> (x,explore(x)),2:10000000)) 7410517-element Vector{Tuple{Int64, Int64}}: Оказалось, что до n = 10000000, существует 2589482 сходящихся после- довательностей, начинающихся с n, а все остальные расходящиеся. 0 в качестве возвращаемого значения не встретилось ни разу. То есть случай α i ≥ p i всегда встречается раньше 20-ти возрастаний. Это хорошо видно на примере go(2*3*5*7*11*13*17*19*23*29), приведен- ном в параграфе 5. Как только последовательность дошла до 504 = 2 3 ∗ 3 2 ∗ 7 стало ясно, что она расходится, ибо для степени 2 3 , 3 ≥ 2 . 8 Этот пример еще интересен тем, что сначала производные уменьшаются, а потом начинают расти. Теперь при помощи небольшой модификации функции explore нетрудно найти примеры сходящихся и расходящихся последовательностей с колебаниями возрастания и убывания. julia> go(40250) 51775 23910 24737 882 1281 631 1 julia> go(45150) 63185 12642 14441 2070 2919 1411 100 140 188 192 640 2368 7168 36864 245760 1851392 12976128 120127488 1012858880 ... 9 7. Выводы Мы попытались при помощи программирования на языке Julia исследо- вать вопросы сходимости последовательности производных n ′ , n ′′ , n ′′′ , ... от натуральных чисел. Выяснили, что последовательность начинает расходиться как только в ней встречается число n = p α 1 1 · p α 2 2 · ... · p α k k для которого существует i такое, что α i ≥ p i . При исследовании на компьютере в пределах его вычислительных воз- можностей (проверено до 10 9 ) все последовательности либо быстро схо- дились, либо в них встречалось число n = p α 1 1 · p α 2 2 · ... · p α k k с α i ≥ p i . Неопределенных последовательностей не обнаружено. Ссылки [1] E. J. Barbeau, Remarks on arithmetic derivative, Canad. Math. Bull, 4 (1961), 117–122. [2] V. Ufnarovski and B. ˚ Ahlander, How to differentiate a number, J. Integer Seq., 6 (2003) [3] J. Koviˇ c, The Arithmetic Derivative and Antiderivative, J. Integer Seq, Vol. 15 (2012) 10