Вычитание двоичных целых знаковых чисел Старший бит называется знаковым – 0 для положительных чисел и 1 для отрицательных, а остальные биты являются значащими. Традиционно для представления отрицательных чисел используются обратный и дополнительный коды, а вычитание заменяется сложением. При этом обратный код является инверсией пря - мого кода, а дополнительный образуется прибавлением положительной единицы к обратному коду. Недостат - ком прямого и обратного кодов считается наличие двух нулей. Для прямого кода в случае однобайтных чисел это 00000000 (положительный) и 10000000 (отрицательный). Для обратного кода положительный нуль 00000000, а отрицательный нуль 11111111. Для дополнительного кода только один нуль – 00000000. Однако обратный код обладает неустранимым недостатком в обработке нулей. При вычислениях, когда результат равен нулю, мы всегда получаем отрицательный нуль (11111110 + 00000001 = 11111111). Положи - тельный нуль получается только в случае сложения отрицательного нуля с единицей (11111111 + 00000001 = 00000000), что абсолютно некорректно с точки зрения математики. Поэтому обратный код будет рассматри - ваться как дополнение к прямому. Для простоты изложения и понимания рассматривается вычитание только положительных чисел. Прямое двоичное вычитание производится аналогично сложению. Оба варианта приведены в таблице 1. Таблица 1. Исходная операция x + y x – y x 0 0 1 1 x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 y 0 1 0 1 Сумма 0 1 1 0 Разность 0 1 1 0 Перенос 0 0 0 1 Перенос 0 1 0 0 Как видно из таблицы 1, для расчёта суммы и разности используется одна и та же битовая операция XOR, различие операций только в методе формирования бита переноса. Особенностью вычислений в прямом коде является необходимость проведения операций только с опе - рандами одного знака. Поэтому для операндов разных знаков приходится применять замену операций, пока - занную в таблице 2. Таблица 2. Исходная операция x + y x – y Операнды Знаки операндов Операнды Знаки операндов x + + – – x + + – – y + – + – y + – + – Замена x + y x – (–y) x – (–y) x + y Замена x – y x + (–y) x + (–y) x – y Как указывалось выше, стандартно вычитание заменяется сложением, при этом второй операнд y преоб - разуется в дополнительный код инверсией всех бит с дальнейшим добавлением к нему положительной едини - цы. Результат всегда представлен в правильном (прямом или дополнительном) коде. Операция добавления по - ложительной единицы не является отдельной операцией, она осуществляется как бит переноса 1 для младше - го бита в основной операции сложения. Знаковые биты обрабатываются таким же образом, как и значащие. Вся операция занимает один такт процессора. Это достоинство дополнительного кода – самые быстрые опе - рации сложения и вычитания. Но нет достоинств без недостатков. К недостаткам дополнительного кода относится несимметричный диапазон отрицательных и положительных чисел, поэтому для однобайтных чисел требуется отдельная обра - ботка числа -128 (двоичная запись 10000000). Вычисление модуля этого числа нельзя представить в прямом коде однобайтного числа, также его формирование не подчиняется общим правилам формирования чисел в дополнительном коде. Это требует обработки этого случая либо в микрокоде процессора, либо на уровне ран - тайма программы. Отсутствие двух нулей приводит к тому, что математические программы вынуждены в рас - чётах эмулировать отрицательный нуль, что делается на уровне рантайма. Такие дополнительные проверки и эмуляции снижают скорость работы программы. Также к недостаткам дополнительного кода можно отнести то, что проверка на переполнение результата при сложении осуществляется не только по биту переноса из старшего значащего бита в знаковый бит, но и по биту переноса из знакового бита. В прямом коде знаковый бит обрабатывается не так, как значащие биты: операция XOR проводится между знаковым битом операнда x и битом переноса из старшего значащего бита в знаковый бит. К недостаткам прямого кода относится то, что в случае, когда модуль вычитаемого больше модуля уменьшаемого, результат вычитания представлен в дополнительном коде и для его представления в прямом коде необходимо делать инверсию значащих бит результата с прибавлением положительной единицы. Это приводит к тому, что вычитание в прямом коде в данном случае медленнее, чем в дополнительном (два такта вместо одного). Целью данной работы является разработка способа, который бы позволил осуществить вычитание в прямом коде так же быстро, как и в дополнительном, то есть за один такт процессора. Решением этой задачи является одновременное вычитание по правилам, изложенным в таблице 1, для операндов в прямом и обратном кодах с выбором результата по отсутствию бита переноса из старшего знача - щего бита в знаковый бит. Поясним это на примере: в прямом коде 25 – 47 = 00011001 – 00101111 = 11101010. Поскольку есть перенос из старшего значащего бита в знаковый бит, этот результат отбрасывается (даже не - смотря на то, что знак результата правильный). В обратном коде тот же результат 25 – 47 = 11100110 – 11010000 = 10010110. Нет переноса из старшего значащего бита в знаковый бит, поэтому этот результат вы - даётся как результат расчёта. Для отрицательных чисел аналогичные вычисления по вышеизложенным прави - лам показывают, что в прямом коде (-25) – (-47) = 10011001 – 10101111 = 01101010 (результат отбрасывается, несмотря на правильный знак результата), для обратного кода 01100110 – 01010000 = 00010110 (результат вы - даётся как результат расчёта). Из вышесказанного может показаться, что для реализации данного решения необходимо два вычитаю - щих устройства. Но если вспомнить, что x XOR y = y XOR x = (NOT x) XOR (NOT y) = (NOT y) XOR (NOT x), то схема формирования результата будет одинакова. Будут вычисляться два результата по прямым и инвер - тированным битам исходных операндов и два бита переноса. В конце расчёта выбирается один из результатов по отсутствию бита переноса из старшего значащего бита в знаковый бит. Реализация этого алгоритма позволит осуществлять операцию вычитания в прямом коде за один такт процессора. Программная эмуляция показала, что увеличение времени выполнения вычитания в прямом коде по сравнению с временем вычитания в дополнительном коде составляет не более 10 %. Это вызвано последова - тельным выполнением действий. Учёт обработки переполнений при сложении уменьшает этот разрыв ещё на 2-3 %. В случае параллельности выполнения действий различия во времени не будет. К достоинствам прямого кода относится и более лёгкое детектирование переполнения результата при сложении: достаточно только бита переноса из старшего значащего бита в знаковый бит. Также к ним отно - сится симметричный диапазон отрицательных и положительных чисел, что приводит к отсутствию выро - жденных чисел и их обработки в рантайме. Обработка двух нулей нужна только при выводе результата на внешнее устройство (например, экран или файл). Выбор между прямым и дополнительным кодами должен проводиться с учётом всех достоинств и недо - статков использования каждого кода.