Арифметика только по модулю Предпосылка В современной арифметике я вижу два парадокса – это восприятие нуля и проблема сравнения отрица - тельных чисел. Первая проблема вызвана тем, что изначально отрицательных чисел не существовало и нуль записывался без знака. После появления отрицательных чисел нуль визуально стал восприниматься как поло - жительный (принадлежащий положительной оси чисел). Нуль – это вырожденная точка, принадлежащая сра - зу обеим числовым осям. Вторая проблема вызвана введением Рене Декартом единой направленной числовой оси направлением от - ∞ до + ∞. Это привело к тому, что ответ на вопрос о сравнении двух чисел отличается для положительных и отрицательных чисел. При сравнении двух положительных чисел ответ одинаков вне зависимости от того, оцениваем ли мы их по положению на оси, или по модулю. Если сравниваются два отри - цательных числа, то ответ будет зависеть от дополнительного ответа на вопрос о том, как мы их сравниваем – по положению на числовой оси или по модулю. Это порождает известный парадокс – числа отсчитываются от нуля, но при этом 10 > 2 и по положению на числовой оси, и по модулю, а -10 < -2 по положению на числовой оси, но -10 > -2 по модулю. Из этого следует также известный парадокс, что если мы из большего вычитаем меньшее, то для положительных чисел результат остаётся на положительной оси, а для отрицательных чисел результат тоже будет положительным, потому что вычитание производится по модулю. Такое положение при - водит к дополнительной когнитивной нагрузке, потому что часто забывают, что науки используются не только учёными, но и школьниками для обучения. Решение На первый парадокс возможны два решения. Первое заключается в том, чтобы нуль записывать как ± 0, подчёркивая его принадлежность обеим числовым осям. Второе решение заключается в введении отрицатель - ного нуля, которое будет записываться как -0. Решение второго парадокса заключается в отмене единой число - вой прямой и замене её двумя независимыми числовыми осями, (- ∞ , -0] и [0, ∞ ), имеющими общую точку в нуле (в геометрической интерпретации). Сравнение чисел осуществляется только по модулю, то есть по их расстояниям от нуля, поэтому -16 > -10, -16 > 10 и -16 = 16. В силу этого символ и вычисление модуля стано - вятся ненужными, поскольку для чисел это подразумевается по умолчанию. Знаки чисел могут быть соотне - сены с физическими явлениями, например тепло/холод, прибыль/убыток и тому подобное. Следствие Правила для сложения, вычитания, умножения и деления не меняются – в умножении «минус на минус даёт плюс» и «плюс на минус даёт минус». Правила обработки нуля: В первом случае просто записывается ± 0 и как операнд, и как результат. Во втором случае – при умножении на нуль действуют правила для классической арифметики («минус на минус даёт плюс» и «плюс на минус даёт минус»). При сложении и вычитании в случае нулевого результа - та знак нуля совпадает со знаком первого операнда, то есть -5 + 5 = -5 – (-5) = -0, 5 – 5 = 5 + (-5) = 0. Такое правило при сложении и вычитании означает, что результат находится на той же числовой оси, что и первый операнд. В случае ненулевого результата все арифметические действия осуществляются как в классической арифметике. Вычисление функций не меняется, потому что для их вычисления используется разложение в ряд Тейло - ра, а оно оперирует только со знаками и модулями чисел. Работа с неравенствами и уравнениями. Неравенство x ≥ a автоматически означает и неравенство x ≥ -a, где a может быть любым числом на числовой оси, включая нуль. Например, н еравенство x + 2 ≥ 5 имеет об - щее решение, соответствующее решению неравенства с модулями в классической арифметике (оно записыва - ется как |x| + 2 ≥ 5), – два интервала [-7, - ∞ ) и [3, + ∞ ). Такое же правило действует и для уравнений. Работа с пределами: В первом случае для записи односторонних пределов, стремящихся к нулю надо явно указывать, на ка - кой числовой оси это происходит, например, →0+ или →0-. Во втором случае это просто →0 или →-0. Преимущества 1. Снимается вопрос о знаке нуля и его принадлежности числовым осям. 2. Новые правила сравнения чисел более соответствуют здравому смыслу и убирают неоднозначность сравнения и вычитания из большего меньшее. Присвоение знакам чисел физических явлений придаёт смысл сравнению. Например, если положительные числа обозначают тепло, а отрицательные холод, то сравнение -16 > -10 вполне соответствуют ощущениям и здравому смыслу – холод -16 больше холода -10. Сравнение -16 > 10 также логично, потому что если их сложить, результат будет отрицательным, то есть холод сильнее. Это снижает для учеников когнитивную нагрузку при усвоении науки. 3. Такая работа с числами прекрасно соответствует работе с прямым кодом в компьютерах. Также такой подход позволяет избавиться от парадокса целочисленного деления и нахождения остатка для положительных и отрицательных чисел, когда есть искусственное общепринятое условие, что остаток должен быть всегда по - ложительным, из-за чего 15 DIV 4 = 3, 15 MOD 4 = 3, а -15 DIV 4 = -4, -15 MOD 4 = 1, что противоречит здра - вому смыслу, потому что в первом случае мы проходим точку 15 один раз, а во втором случае мы проходим точку -15 два раза. 4. Поскольку числовые оси теперь не связаны единой осью, геометрически любая числовая ось пред - ставляется линией, где нуль всегда слева, а цифры идут слева направо, то есть для оси положительных чисел все остаётся как и в классической арифметике – 0, 1, 2, … ∞ , а для оси отрицательных чисел будет так – -0, -1, -2, … - ∞ . 5. Усиливает связь арифметики с геометрией – если неравенство |r| ≤ 3 в двухполярной системе коорди - нат описывает окружность, то неравенство r ≤ 3 в однополярной системе координат описывает её диаметр. 6. Убирает неоднозначность восприятия производных, например, для чётной функции exp(x^2). На отри - цательной числовой оси её производная отрицательная и в рамках классической арифметики с уменьшением аргумента x (x изменяется в сторону - ∞) значение производной уменьшается на единой числовой оси Декар - та, но по модулю оно растёт (и это следует из графика функции). Это подтверждает сделанный в разделе «Предпосылка» вывод о том, что для отрицательной числовой оси уменьшение на единой числовой оси Де - карта сопровождается увеличением по модулю и наоборот, увеличивая когнитивную нагрузку. Особенности К особенностям можно отнести более непривычную запись интервалов. Если мы записываем интервал в соответствии с правилами классической арифметики – от меньшего к большему (здесь меньшее и большее определяются в рамках арифметики только по модулю), то правильными являются следующие варианты запи - си интервалов – (-2, 3), (2, -3), где слева стоит меньшее число, а справа большее. Если же левый предел равен правому, то обе эти записи являются равноценными – (-2, 2), (2, -2). Краткий словарь терминов 0 и -0 – нули, принадлежащие положительной и отрицательной числовой оси. При геометрической ин - терпретации числовых осей они совпадают в одной точке. Они используются в арифметических операциях, например, вычислении односторонних пределов. Их можно сравнивать между собой по следующим правилам – -0 = 0 даёт истину, остальные сравнения дают ложь. Итог Изложенная здесь арифметика только по модулю предлагает альтернативный подход, где сравнение чи - сел становится единым и интуитивно понятным, а знак – всего лишь указатель направления или индикатор физического явления. Поэтому знак модуля | | становится излишним.