Двоичные палиндромы и реверсивно-устойчивые последовательности

Двоичные палиндромы и реверсивно-устойчивые последовательности Георгий Гуляев 1 июля 2026 г. Палиндром - это последовательность символов, не меняющаяся после преобразования реверса, то есть записи символов в обратном порядке следования. В нашем случае речь пойдет о натуральных числах-палиндромах в десятичной системе счисления, например, таких как 5 , 33 , 131 , 1221 , 12321 , 705919507 , ... Очевидно, такие числа не могут оканчиваться на ноль. Однозначные числа и числа, в десятичной записи которых используется только одна цифра, сразу являются палиндромами. Для натурального числа n через rev ( n ) - обозначим функцию реверса, то есть натуральное число, в десятичной записи которого цифры следуют в обратном порядке по отношению к n . Пример реализации этой функции на языке программирования Julia: rev(n) = parse(BigInt, join(digits(n))) rev(1300456709) = 9076540031, rev(12500) = 521 Определение 1 . Числом - палиндромом называется натуральное число n , для которого выполняется условие rev ( n ) = n . 1 1. Двоичные палиндромы Рассмотрим теперь все палиндромы, десятичная запись которых содер- жит только две цифры 1 и 0 . P = {1, 11, 101, 111. 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, 101101, 110011, 111111, 1000001, 1001001, 1010101, 1011101, 1100011, 1101011, 1110111, 1111111, 10000001, 10011001, 10100101, 10111101, 11000011, 11011011, 11100111, 11111111, 100000001, 100010001, 100101001,...} Будем называть такие палиндромы, для краткости, двоичными па- линдромами , хотя рассматривать их будем в десятичной системе счис- ления. Заметим, что некоторые из этих чисел, при умножении на 91 , сохраняют свойство быть двоичным палиндромом, то есть они остаются палиндро- мами и в своей десятичной записи по-прежнему содержат только 0 и 1 , например: 111 · 91 = 10101 , 110011 · 91 = 10011001 , 1100011 · 91 = 100101001 С другой стороны, есть много примеров, когда такое умножение дает иной результат: 101 · 91 = 9191 , 11011 · 91 = 1002001 , 1011101 · 91 = 92010191 Определение 2 . Будем называть двоичный палиндром k -стойким, если при умножении на натуральное число k , он остается двоичным палин- дромом. Количество и процент k -стойких из 20397 первых двоичных палиндро- мов, для k ≤ 10001 , приведено в таблице: 2 k | всего| % --------------- 1| 20397| 100 11| 1362| 6.68 91| 985| 4.82 101| 1218| 5.97 111| 344| 1.69 1001| 1430| 7.01 1111| 153| 0.75 9091| 688| 3.37 9191| 77| 0.38 9901| 1085| 5.32 10001| 1411| 6.92 Для всех остальных 1 ≤ k ≤ 10001 не нашлось ни одного k-стойкого в списке из 20397 первых двоичных палиндромов. Отметим, что в таблице много случаев, когда сами числа k - тоже палиндромы. Таковы все, кроме четырех: 91 , 9091 , 9191 , 9901 . Выберем теперь все 91 - стойкие двоичные палиндромы. P91 = {11, 111, 1111, 11111, 110011, 111111, 1100011, 1111111, 11000011, 11100111, 11111111, 110000011, 111000111, 111111111, 1100000011, 1100110011, 1110000111, 1111001111, 1111111111, 11000000011, 11001110011, 11100000111, 11110001111, 11111111111, 110000000011, 110001100011,...} Мы получили известную последовательность, которая в энциклопедии цифровых последовательностей [1] определяется, как палиндромы из ну- лей и единиц, не содержащие отдельных единиц или нулей. Теорема 1 . Двоичный палиндром является 91 -стойким тогда и толь- ко тогда, когда в его десятичной записи единицы и нули встречаются группами не менее двух нулей и не менее двух единиц подряд. Доказательство . Пусть n - двоичный палиндром, тогда n · 91 = n · 9 · 10 + n . Первое слагаемое n · 9 · 10 получается из n заменой всех единиц девятками (нули 3 останутся на месте) и добавлением нуля в конец, второе слагаемое - сам палиндром n . При сложении столбиком, числа с девятками и единицами будут сдви- нуты относительно друг друга на один разряд: 9x..90 + 1...1 ------ 100...1 Предположим, что палиндром n 91-стойкий, то есть результат умноже- ния n · 91 - двоичный палиндром. Тогда x = 9, то есть в начале и в конце n должно быть, по крайней мере, две единицы подряд. Если где-то внутри десятичной записи n был бы один ноль среди единиц или одна единица среди нулей, то, с учетом сдвига на один разряд в столбике для сложения, это бы выглядело так; ...909... ...090... ...010... ...101... В первом случае в десятичной записи числа n · 91 появилась бы девят- ка или двойка, а во втором случае девятка и это противоречит нашему предположению, что палиндром n 91-стойкий. Обратно, пусть n - двоичный палиндром и в его десятичной записи нет одиночных нулей и единиц. Покажем, что n · 91 - двоичный палиндром. Сложение n · 90 и n в общем виде теперь выглядит так: 99...990 + 11...11 -------- 100....01 На концах суммы будут единицы. Точнее, в начале 10, а в конце 01. Еще точнее, и в начале и в конце в столбике будет одна и та же структура, типа: 4 099999990 + 1111111 -------- 101111101 То есть, первое слагаемое: некоторое число m > 1 девяток с нулями на концах, второе - такое же число m единиц. Лидирующий ноль в начало мы добавили для симметрии. Легко видеть, что в сумме здесь мы всегда получим двоичный палиндром какое бы число m > 1 мы не взяли. Теперь весь столбик для сложения можно разбить на подобные независимые части и на возможные части, которые будут состоять из одних нулей: 00...00 + 00...00 ------- 00...00 Результаты сложения каждой части - палиндромы из нулей и единиц и, из-за палиндромной симметрии n · 90 и n , соблюдается центральная симметрия различных частей. Поэтому вся сумма, составленная конкате- нацией из таких частичных сумм, будет палиндромом из нулей и единиц. Что и требовалось доказать. 2. Реверсивно-устойчивые последовательности Определение 3 . Последовательность натуральных чисел S n = { a n } , n ∈ N , для которых отношение rev ( a n ) a n - постоянно и не зависит от n назовем реверсивно-устойчивой последовательностью. Множество двоичных палиндромов P 91 может быть использовано для порождения реверсивно-устойчивых последовательностей. Например, если все члены P 91 умножить на k = 99 , то мы получим последовательность, рассматриваемую в работе [2], для которой rev ( a n ) a n = 9 , ∀ n ∈ N : 5 1089, 10989, 109989, 1099989, 10891089, 10999989, 108901089, 109999989, 1089001089, 1098910989, 1099999989, 10890001089, 10989010989, 10999999989, 108900001089, 108910891089, 109890010989, 109989109989, 109999999989, 1089000001089 1089109891089, 1098900010989, 1099890109989, 1099999999989, 10890000001089, 10890108901089, 10891099891089,... А если все члены P 91 умножить на k = 198 = 99 · 2 , то мы получим последовательность, для которой rev ( a n ) a n = 4 ∀ n ∈ N (смотри [3] и [4] ): 2178, 21978, 219978, 2199978, 21782178, 21999978, 217802178, 219999978, 2178002178, 2197821978, 2199999978, 21780002178, 21978021978, 21999999978, 217800002178, 217821782178, 219780021978, 219978219978, 219999999978, 2178000002178, 2178219782178, 2197800021978, 2199780219978, 2199999999978, 21780000002178, 21780217802178, 21782199782178,... В работе [5] при исследовании последовательностей, порожденных функ- цией f ( n ) = | rev ( n ) − n | , используемой взамен функции Лишрела f ( n ) = rev ( n ) + n , также была обнаружена последняя последовательность и, кроме нее, еще одна: 6534, 65934, 659934, 6599934, 65346534, 65999934, 653406534, 659999934, 6534006534, 6593465934. 6599999934. 65340006534, 65934065934, 65999999934, 653400006534, 653465346534, 659340065934, 659934659934, 659999999934, 6534000006534, 6534659346534, 6593400065934, 6599340659934, 6599999999934 65340000006534, 65340653406534, 65346599346534,... Она также получается из P 91 умножением всех членов на k = 594 = 99 · 6 . И для нее отношение rev ( a n ) a n тоже постоянно ∀ n ∈ N , правда теперь оно уже не целое, а рациональное: rev ( a n ) a n = 2 3 . Все эти последовательности выглядят одинаково. В их десятичной запи- си присутствует определенная симметрия, наследуемая от умножения на P 91 . Внутрь вставляемые цифры - девятки, разделители групп - нули. С учетом происхождения от P 91 , подобные последовательности можно задавать первым членом S a 1 , a 1 = 11 · k, k = 99 · m, m ∈ [1 , 9] . 6 Можно определить операции над ними, как над множествами, подразу- мевая применение операции к каждому элементу последовательности. А также, отношение равенства, как равенство всех соответствующих чле- нов последовательности. Тогда, rev ( S 1089 ) = S 9801 = 9 · S 1089 rev ( S 2178 ) = S 8712 = 4 · S 2178 rev ( S 6534 ) = S 4356 = 2 · S 2178 S 2178 = 2 · S 1089 , S 6534 = 3 · S 2178 , S 6534 = 2 · S 3276 rev ( S 2178 ) 2 + rev ( S 6534 ) 2 = 2 · ( S 2 2178 + ( S 2 6534 ) и так далее. Кроме этих девяти последовательностей существуют множе- ство других, получаемых умножением всех элементов P 91 на некоторый коэффициент k ∈ N и сохраняющих, при этом, постоянство rev ( a n ) a n . Например, S 3751 = 341 · P 91 : 3751, 37851, 378851, 3788851, 37513751, 37888851, 375103751, 378888851, 3751003751, 3785137851,... Здесь rev ( a n ) a n = 13 31 ∀ n ∈ N , разделитель 0 и вставляемая цифра 8. Кроме того, rev ( S 3751 ) = rev (341 · P 91) = S 1573 = 143 · P 91 = rev (341) · P 91 Еще один пример S 3025 = 275 · P 91 : 3025, 30525, 305525, 3055525, 30253025, 30555525, 302503025, 305555525, 3025003025, 3052530525,... В этом случае, rev ( a n ) a n = 43 25 ∀ n ∈ N , разделитель 0 и вставляемая цифра 5. Кроме того, rev ( S 3025 ) = rev (275 · P 91) = S 5203 = 473 · P 91 ̸ = rev (275) · P 91 Также бывают исключения - последовательности вроде бы внешне со- храняют симметрию, унаследованную от умножения на P 91 , но rev ( a n ) a n у них меняется в зависимости от n , например, S 1815 = 165 · P 91 : 7 1815, 18315, 183315, 1833315, 18151815, 18333315, 181501815, 183333315, 1815001815, 1831518315,... Здесь разделитель 0 и вставляемая цифра 3, но rev (1815) 1815 = 157 55 , rev (18315) 18315 = 519 185 , rev (183315) 183315 = 15557 5555 , ... . То есть, rev ( a n ) a n ̸ = const и последовательность не является реверсивно-устойчивой. Во всех приведенных выше примерах реверсивно-устойчивых последова- тельностей можно заметить интересную особенность. Если первый четырехзначный элемент последовательности разбить по- полам на два двузначных числа, то сумма цифр единиц будет равна сумме цифр десятков этих чисел и именно эта сумма равна вставляемой цифре. Например, 1089: 1+8 = 0+9 = 9, 2178: 2+7 = 1+8 = 9, 6534: 6+3 = 5+4 = 9, 3751: 3+5 = 7+1 = 8 3025: 3+2 = 0+5 = 5 А для последнего примера не рекурсивно-устойчивой последовательно- сти это свойство уже не выполняется ( 1815 : 1 + 1 ̸ = 8 + 5 ). Пусть k ∈ N - фиксировано. Тогда, для последовательности S n = k · P 91 ее реверсивная устойчивость, по определению, эквивалентна выполне- нию равенства: rev ( k · x ) k · x = r s : r, s ∈ N , gcd ( r, s ) = 1 , ∀ x ∈ P 91 (1) Теорема 2 . Для фиксированного натурального числа k выражение rev ( k · x ) k · x = const ∀ x ∈ P 91 тогда и только тогда, когда rev ( k · x ) делится на x ∀ x ∈ P 91 и, при этом, rev ( k · x ) x = c ( c ∈ N , зависит только от k и не зависит от x ∈ P 91 ). Другими словами, условие (1) равносильно: rev ( k · x ) x = c : c ∈ N , ∀ x ∈ P 91 (2) Доказательство . Если rev ( k · x ) x = c - не зависит от x ∈ P 91 , то rev ( k · x ) k · x = c k = const . Обратно, если rev ( k · x ) k · x = r s = r · k s · k = c k ∀ x ∈ P 91 , где gcd ( r, s ) = 1 , 8 то есть r и s - взаимно простые, c = r · k s . Теперь, если мы докажем, что c - некоторая целая константа, то rev ( k · x ) x = c - не зависит от x ∈ P 91 и теорема будет доказана. Нам осталось показать, что k делится на s . Если s = 1 , то все доказано. Пусть s > 1 . Из равенства rev ( k · x ) k · x = r s и несократимости дроби r s следует, что k · x делится на s ∀ x ∈ P 91 . То есть, если k не делится на s , то все числа P 91 должны делиться на s . Но это невозможно, например, 11 делится только на 11 , а 111 - только на 3 , 37 и 111 . Теореиа доказана. Теорема 3 . Обозначим через d x - наибольший общий делитель чисел k · x и rev ( k · x ) , то есть d x = gcd ( k · x, rev ( k · x ) . Тогда, при фиксированном k , условие (1) равносильно: rev ( k · x ) d x = r, k · x d x = s ∀ x ∈ P 91 (3) Доказательство . По теореме 2 условие (1) равносильно (2). То есть, rev ( k · x ) x = c : c ∈ N , ∀ x ∈ P 91 ⇔ d x = gcd ( k · x, rev ( k · x )) = gcd ( k · x, c · x )) = x · gcd ( k, c ) . Отсюда, rev ( k · x ) d x = c · x x · gcd ( k,c ) = c gcd ( k,c ) = c 1 и k · x d x = k · x x · gcd ( k,c ) = k gcd ( k,c ) = k 1 . Очевидно, gcd ( c 1 , k 1 ) = 1 , rev ( k · x ) k · x = c 1 k 1 = r s , откуда c 1 = r, k 1 = s . Та- ким образом, из (2) следует (3) . Обратное, (3) ⇒ (1) , очевидно. Теорема доказана. Через d ( S n ) обозначим последовательность, состоящую из наибольших общих делителей чисел a n и rev ( a n ) , ∀ a n ∈ S n . Теорема 4 . Зафиксируем k ∈ N . Последовательность S n = k · P 91 тогда и только тогда будет реверсивно-устойчивой, когда существует m ∈ N такое, что последовательность d ( S n ) = m · P 91 . Доказательство . Пусть S n - реверсивно-устойчива, тогда rev ( k · x ) k · x = r s (несократимая дробь, либо s = 1 ). С другой стороны, по теореме 2, rev ( k · x ) x = c - целое. Отсюда, c k = r s . В силу условия gcd ( r, s ) = 1 , най- дется число m ∈ N такое, что c = m · r и k = m · s . Далее, s · rev ( k · x ) = r · k · x и gcd ( k · x, rev ( k · x )) = k s · x = m · x ∀ x ∈ P 91 . Таким образом, d ( S n ) = m · P 91 . 9 Обратно, пусть d ( S n ) = m · P 91 ⇔ ∀ x ∈ P 91 , gcd ( k · x, rev ( k · x )) = m · x . Отсюда следует, что k · x делится на m · x , то есть k делится на m и rev ( k · x ) тоже делится на m · x . Пусть k = m · s , тогда существует r такое, что rev ( m · s · x ) = m · r · x , где r, s ∈ N , gcd ( r, s ) = 1 и, следовательно, rev ( k · x ) k · x = r s . Осталось показать, что число r для данного k постоянно и не зависит от x . Строго доказать это можно, например, описанным далее способом (приведу лишь идею, без деталей). Можно взять любые два значения x 1 , x 2 ∈ P 91 и сконструировать новое значение y = x 1 | 000 ... 000 | x 2 при помощи конкатенации x 1 , x 2 и большого количества нулей, так чтобы операции умножения y на любые заранее заданные числа проводились над x 1 и x 2 в нем независимо и не смеши- вались. При этих условиях, y ∈ P 91 , r ( x 1 ) = r ( y ) и r ( x 2 ) = r ( y ) ⇒ r ( x 1 ) = r ( x 2 ) . Проиллюстрируем доказанные теоремы на приведенных выше примерах: 1. S 1089 = 99 · P 91 , rev (99 · x ) x = 891 , gcd ( S 1089 , S 9801 ) = S 1089 = 99 · P 91 . 2. S 2178 = 198 · P 91 , rev (198 · x ) x = 792 , gcd ( S 2178 , S 8712 ) = S 2178 = 198 · P 91 . 3. S 3751 = 341 · P 91 , rev (341 · x ) x = 143 , gcd ( S 3751 , S 1573 ) = S 121 = 11 · P 91 . 4. S 3025 = 275 · P 91 , rev (275 · x ) x = 473 , gcd ( S 3025 , S 5203 ) = S 121 = 11 · P 91 . 5. S 1815 = 165 · P 91 , rev (165 · x ) x ̸ = const, ∀ m ∈ N : gcd ( S 1815 , S 5181 ) ̸ = m · P 91 . Из теоремы 2 можно следать вывод, что коэффициенты k , приводящие к реверсивно-устойчивым последовательностям S n = k · P 91 , появляются парами ( k 1 , k 2 ) : rev ( k 1 · x ) = k 2 · x, rev ( k 2 · x ) = k 1 · x, ∀ x ∈ P 91 . При этом, можно найти много примеров, когда k 2 = rev ( k 1 ) и, если, в этом случае, например, k 1 - палиндром, то k 1 = k 2 . С другой стороны есть также много случаев, когда k 1 = k 2 = k , но k - не палиндром, например, k = 91 , 182 , 192 , 273 , 283 , 293 , ... . Ну, и конечно, есть множество примеров, когда k 2 ̸ = rev ( k 1 ) . Все реверсивно- устойчивые последовательности вида S n = k · P 91 для 1 ≤ k ≤ 909 при- ведены в следующем параграфе. 10 Программы и результаты, найденные на компьютере # генерация P91 (не менее 2 нулей и не менее 2 единиц подряд) function getpal(n) function ok(s) k0 = 0; k1 = 0; one = true for i in 1:length(s) if one if s[i]==’1’ k1+=1 else if k1 < 2 return false end k1 = 0; k0 = 1; one = false end else if s[i]==’0’ k0+=1 else if k0 < 2 return false end k0 = 0; k1 = 1; one = true end end end true end res = Vector{BigInt}() for k in 1:n s = string(k,base=2) p0 = string(s,reverse(s)) p1 = string(s,0,reverse(s)) p2 = string(s,1,reverse(s)) if ok(p0) push!(res,parse(BigInt,p0)) end if ok(p1) push!(res,parse(BigInt,p1)) end if ok(p2) push!(res,parse(BigInt,p2)) end end sort!(res) end 11 # Генерация P91 умножением на 91 function getpal91(n) function ok(p) b = 91*p for x in digits(b) if x > 1 return false end end true end res = Vector{BigInt}() for k in 1:n s = string(k,base=2) p0 = parse(BigInt, string(s,reverse(s))) p1 = parse(BigInt, string(s,0,reverse(s))) p2 = parse(BigInt, string(s,1,reverse(s))) if ok(p0) push!(res,p0) end if ok(p1) push!(res,p1) end if ok(p2) push!(res,p2) end end sort!(res) end Вторая программа проще, но медленнее первой, результат одинаков. Все реверсивно-устойчивые последовательности вида S n = k · 91 , разобъ- ем на две группы. Для первой, кроме основного: rev ( k · x ) k · x = const ∀ x ∈ P 91 , пусть выполня- ется дополнительное условие rev ( k · x ) = rev ( k ) · x ∀ x ∈ P 91 , а для второй оно не выполняется. Для первой группы, очевидно, rev ( k · x ) k · x = rev ( k ) k . k, rev(k)//k, { k * P91 } 1, 1//1, {11, 111, 1111, 11111, 110011, 111111, 1100011,...} 2, 1//1, {22, 222, 2222, 22222, 220022, 222222, 2200022,...} 3, 1//1, {33, 333, 3333, 33333, 330033, 333333, 3300033,...} 4, 1//1, {44, 444, 4444, 44444, 440044, 444444, 4400044,...} 5, 1//1, {55, 555, 5555, 55555, 550055, 555555, 5500055,...} 6, 1//1, {66, 666, 6666, 66666, 660066, 666666, 6600066,...} 7, 1//1, {77, 777, 7777, 77777, 770077, 777777, 7700077,...} 12 8, 1//1, {88, 888, 8888, 88888, 880088, 888888, 8800088,...} 9, 1//1, {99, 999, 9999, 99999, 990099, 999999, 9900099,...} 10, 1//10, {110, 1110, 11110, 111110, 1100110, 1111110,...} 11, 1//1, {121, 1221, 12221, 122221, 1210121, 1222221,...} 12, 7//4, {132, 1332, 13332, 133332, 1320132, 1333332,...} 13, 31//13, {143, 1443, 14443, 144443, 1430143, 1444443,...} 14, 41//14, {154, 1554, 15554, 155554, 1540154, 1555554,...} 15, 17//5, {165, 1665, 16665, 166665, 1650165, 1666665,...} 16, 61//16, {176, 1776, 17776, 177776, 1760176, 1777776,...} 17, 71//17, {187, 1887, 18887, 188887, 1870187, 1888887,...} 18, 9//2, {198, 1998, 19998, 199998, 1980198, 1999998,...} 20, 1//10, {220, 2220, 22220, 222220, 2200220, 2222220,...} 21, 4//7, {231, 2331, 23331, 233331, 2310231, 2333331,...} 22, 1//1, {242, 2442, 24442, 244442, 2420242, 2444442,...} 23, 32//23, {253, 2553, 25553, 255553, 2530253, 2555553,...} 24, 7//4, {264, 2664, 26664, 266664, 2640264, 2666664,...} 25, 52//25, {275, 2775, 27775, 277775, 2750275, 2777775,...} 26, 31//13, {286, 2886, 28886, 288886, 2860286, 2888886,...} 27, 8//3, {297, 2997, 29997, 299997, 2970297, 2999997,...} 30, 1//10, {330, 3330, 33330, 333330, 3300330, 3333330,...} 31, 13//31, {341, 3441, 34441, 344441, 3410341, 3444441,...} 32, 23//32, {352, 3552, 35552, 355552, 3520352, 3555552,...} 33, 1//1, {363, 3663, 36663, 366663, 3630363, 3666663,...} 34, 43//34, {374, 3774, 37774, 377774, 3740374, 3777774,...} 35, 53//35, {385, 3885, 38885, 388885, 3850385, 3888885,...} 36, 7//4, {396, 3996, 39996, 399996, 3960396, 3999996,...} 40, 1//10, {440, 4440, 44440, 444440, 4400440, 4444440,...} 41, 14//41, {451, 4551, 45551, 455551, 4510451, 4555551,...} 42, 4//7, {462, 4662, 46662, 466662, 4620462, 4666662,...} 43, 34//43, {473, 4773, 47773, 477773, 4730473, 4777773,...} 44, 1//1, {484, 4884, 48884, 488884, 4840484, 4888884,...} 45, 6//5, {495, 4995, 49995, 499995, 4950495, 4999995,...} 50, 1//10, {550, 5550, 55550, 555550, 5500550, 5555550,...} 51, 5//17, {561, 5661, 56661, 566661, 5610561, 5666661,...} 52, 25//52, {572, 5772, 57772, 577772, 5720572, 5777772,...} 53, 35//53, {583, 5883, 58883, 588883, 5830583, 5888883,...} 54, 5//6, {594, 5994, 59994, 599994, 5940594, 5999994,...} 60, 1//10, {660, 6660, 66660, 666660, 6600660, 6666660,...} 13 61, 16//61, {671, 6771, 67771, 677771, 6710671, 6777771,...} 62, 13//31, {682, 6882, 68882, 688882, 6820682, 6888882,...} 63, 4//7, {693, 6993, 69993, 699993, 6930693, 6999993,...} 70, 1//10, {770, 7770, 77770, 777770, 7700770, 7777770,...} 71, 17//71, {781, 7881, 78881, 788881, 7810781, 7888881,...} 72, 3//8, {792, 7992, 79992, 799992, 7920792, 7999992,...} 80, 1//10, {880, 8880, 88880, 888880, 8800880, 8888880,...} 81, 2//9, {891, 8991, 89991, 899991, 8910891, 8999991,...} 90, 1//10, {990, 9990, 99990, 999990, 9900990, 9999990,...} 100, 1//100, {1100, 11100, 111100, 1111100, 11001100, 11111100,...} 101, 1//1, {1111, 11211, 112211, 1122211, 11111111, 11222211,...} 102, 67//34, {1122, 11322, 113322, 1133322, 11221122, 11333322,...} 103, 301//103, {1133, 11433, 114433, 1144433, 11331133, 11444433,...} 104, 401//104, {1144, 11544, 115544, 1155544, 11441144, 11555544,...} 105, 167//35, {1155, 11655, 116655, 1166655, 11551155, 11666655,...} 106, 601//106, {1166, 11766, 117766, 1177766, 11661166, 11777766,...} 107, 701//107, {1177, 11877, 118877, 1188877, 11771177, 11888877,...} 108, 89//12, {1188, 11988, 119988, 1199988, 11881188, 11999988,...} 110, 1//10, {1210, 12210, 122210, 1222210, 12101210, 12222210,...} 111, 1//1, {1221, 12321, 123321, 1233321, 12211221, 12333321,...} 112, 211//112, {1232, 12432, 124432, 1244432, 12321232, 12444432,...} 113, 311//113, {1243, 12543, 125543, 1255543, 12431243, 12555543,...} 114, 137//38, {1254, 12654, 126654, 1266654, 12541254, 12666654,...} 115, 511//115, {1265, 12765, 127765, 1277765, 12651265, 12777765,...} 116, 611//116, {1276, 12876, 128876, 1288876, 12761276, 12888876,...} 117, 79//13, {1287, 12987, 129987, 1299987, 12871287, 12999987,...} 120, 7//40, {1320, 13320, 133320, 1333320, 13201320, 13333320,...} 121, 1//1, {1331, 13431, 134431, 1344431, 13311331, 13444431,...} 122, 221//122, {1342, 13542, 135542, 1355542, 13421342, 13555542,...} 123, 107//41, {1353, 13653, 136653, 1366653, 13531353, 13666653,...} 124, 421//124, {1364, 13764, 137764, 1377764, 13641364, 13777764,...} 125, 521//125, {1375, 13875, 138875, 1388875, 13751375, 13888875,...} 126, 69//14, {1386, 13986, 139986, 1399986, 13861386, 13999986,...} 130, 31//130, {1430, 14430, 144430, 1444430, 14301430, 14444430,...} 131, 1//1, {1441, 14541, 145541, 1455541, 14411441, 14555541,...} 132, 7//4, {1452, 14652, 146652, 1466652, 14521452, 14666652,...} 133, 331//133, {1463, 14763, 147763, 1477763, 14631463, 14777763,...} 134, 431//134, {1474, 14874, 148874, 1488874, 14741474, 14888874,...} 14 135, 59//15, {1485, 14985, 149985, 1499985, 14851485, 14999985,...} 140, 41//140, {1540, 15540, 155540, 1555540, 15401540, 15555540,...} 141, 1//1, {1551, 15651, 156651, 1566651, 15511551, 15666651,...} 142, 241//142, {1562, 15762, 157762, 1577762, 15621562, 15777762,...} 143, 31//13, {1573, 15873, 158873, 1588873, 15731573, 15888873,...} 144, 49//16, {1584, 15984, 159984, 1599984, 15841584, 15999984,...} 150, 17//50, {1650, 16650, 166650, 1666650, 16501650, 16666650,...} 151, 1//1, {1661, 16761, 167761, 1677761, 16611661, 16777761,...} 152, 251//152, {1672, 16872, 168872, 1688872, 16721672, 16888872,...} 153, 39//17, {1683, 16983, 169983, 1699983, 16831683, 16999983,...} 160, 61//160, {1760, 17760, 177760, 1777760, 17601760, 17777760,...} 161, 1//1, {1771, 17871, 178871, 1788871, 17711771, 17888871,...} 162, 29//18, {1782, 17982, 179982, 1799982, 17821782, 17999982,...} 170, 71//170, {1870, 18870, 188870, 1888870, 18701870, 18888870,...} 171, 1//1, {1881, 18981, 189981, 1899981, 18811881, 18999981,...} 180, 9//20, {1980, 19980, 199980, 1999980, 19801980, 19999980,...} 200, 1//100, {2200, 22200, 222200, 2222200, 22002200, 22222200,...} 201, 34//67, {2211, 22311, 223311, 2233311, 22112211, 22333311,...} 202, 1//1, {2222, 22422, 224422, 2244422, 22222222, 22444422,...} 203, 302//203, {2233, 22533, 225533, 2255533, 22332233, 22555533,...} 204, 67//34, {2244, 22644, 226644, 2266644, 22442244, 22666644,...} 205, 502//205, {2255, 22755, 227755, 2277755, 22552255, 22777755,...} 206, 301//103, {2266, 22866, 228866, 2288866, 22662266, 22888866,...} 207, 78//23, {2277, 22977, 229977, 2299977, 22772277, 22999977,...} 210, 2//35, {2310, 23310, 233310, 2333310, 23102310, 23333310,...} 211, 112//211, {2321, 23421, 234421, 2344421, 23212321, 23444421,...} 212, 1//1, {2332, 23532, 235532, 2355532, 23322332, 23555532,...} 213, 104//71, {2343, 23643, 236643, 2366643, 23432343, 23666643,...} 214, 206//107, {2354, 23754, 237754, 2377754, 23542354, 23777754,...} 215, 512//215, {2365, 23865, 238865, 2388865, 23652365, 23888865,...} 216, 17//6, {2376, 23976, 239976, 2399976, 23762376, 23999976,...} 220, 1//10, {2420, 24420, 244420, 2444420, 24202420, 24444420,...} 221, 122//221, {2431, 24531, 245531, 2455531, 24312431, 24555531,...} 222, 1//1, {2442, 24642, 246642, 2466642, 24422442, 24666642,...} 223, 322//223, {2453, 24753, 247753, 2477753, 24532453, 24777753,...} 224, 211//112, {2464, 24864, 248864, 2488864, 24642464, 24888864,...} 225, 58//25, {2475, 24975, 249975, 2499975, 24752475, 24999975,...} 230, 16//115, {2530, 25530, 255530, 2555530, 25302530, 25555530,...} 15 231, 4//7, {2541, 25641, 256641, 2566641, 25412541, 25666641,...} 232, 1//1, {2552, 25752, 257752, 2577752, 25522552, 25777752,...} 233, 332//233, {2563, 25863, 258863, 2588863, 25632563, 25888863,...} 234, 24//13, {2574, 25974, 259974, 2599974, 25742574, 25999974,...} 240, 7//40, {2640, 26640, 266640, 2666640, 26402640, 26666640,...} 241, 142//241, {2651, 26751, 267751, 2677751, 26512651, 26777751,...} 242, 1//1, {2662, 26862, 268862, 2688862, 26622662, 26888862,...} 243, 38//27, {2673, 26973, 269973, 2699973, 26732673, 26999973,...} 250, 26//125, {2750, 27750, 277750, 2777750, 27502750, 27777750,...} 251, 152//251, {2761, 27861, 278861, 2788861, 27612761, 27888861,...} 252, 1//1, {2772, 27972, 279972, 2799972, 27722772, 27999972,...} 260, 31//130, {2860, 28860, 288860, 2888860, 28602860, 28888860,...} 261, 18//29, {2871, 28971, 289971, 2899971, 28712871, 28999971,...} 270, 4//15, {2970, 29970, 299970, 2999970, 29702970, 29999970,...} 300, 1//100, {3300, 33300, 333300, 3333300, 33003300, 33333300,...} 301, 103//301, {3311, 33411, 334411, 3344411, 33113311, 33444411,...} 302, 203//302, {3322, 33522, 335522, 3355522, 33223322, 33555522,...} 303, 1//1, {3333, 33633, 336633, 3366633, 33333333, 33666633,...} 304, 403//304, {3344, 33744, 337744, 3377744, 33443344, 33777744,...} 305, 503//305, {3355, 33855, 338855, 3388855, 33553355, 33888855,...} 306, 67//34, {3366, 33966, 339966, 3399966, 33663366, 33999966,...} 310, 13//310, {3410, 34410, 344410, 3444410, 34103410, 34444410,...} 311, 113//311, {3421, 34521, 345521, 3455521, 34213421, 34555521,...} 312, 71//104, {3432, 34632, 346632, 3466632, 34323432, 34666632,...} 313, 1//1, {3443, 34743, 347743, 3477743, 34433443, 34777743,...} 314, 413//314, {3454, 34854, 348854, 3488854, 34543454, 34888854,...} 315, 57//35, {3465, 34965, 349965, 3499965, 34653465, 34999965,...} 320, 23//320, {3520, 35520, 355520, 3555520, 35203520, 35555520,...} 321, 41//107, {3531, 35631, 356631, 3566631, 35313531, 35666631,...} 322, 223//322, {3542, 35742, 357742, 3577742, 35423542, 35777742,...} 323, 1//1, {3553, 35853, 358853, 3588853, 35533553, 35888853,...} 324, 47//36, {3564, 35964, 359964, 3599964, 35643564, 35999964,...} 330, 1//10, {3630, 36630, 366630, 3666630, 36303630, 36666630,...} 331, 133//331, {3641, 36741, 367741, 3677741, 36413641, 36777741,...} 332, 233//332, {3652, 36852, 368852, 3688852, 36523652, 36888852,...} 333, 1//1, {3663, 36963, 369963, 3699963, 36633663, 36999963,...} 340, 43//340, {3740, 37740, 377740, 3777740, 37403740, 37777740,...} 341, 13//31, {3751, 37851, 378851, 3788851, 37513751, 37888851,...} 16 342, 27//38, {3762, 37962, 379962, 3799962, 37623762, 37999962,...} 350, 53//350, {3850, 38850, 388850, 3888850, 38503850, 38888850,...} 351, 17//39, {3861, 38961, 389961, 3899961, 38613861, 38999961,...} 360, 7//40, {3960, 39960, 399960, 3999960, 39603960, 39999960,...} 400, 1//100, {4400, 44400, 444400, 4444400, 44004400, 44444400,...} 401, 104//401, {4411, 44511, 445511, 4455511, 44114411, 44555511,...} 402, 34//67, {4422, 44622, 446622, 4466622, 44224422, 44666622,...} 403, 304//403, {4433, 44733, 447733, 4477733, 44334433, 44777733,...} 404, 1//1, {4444, 44844, 448844, 4488844, 44444444, 44888844,...} 405, 56//45, {4455, 44955, 449955, 4499955, 44554455, 44999955,...} 410, 7//205, {4510, 45510, 455510, 4555510, 45104510, 45555510,...} 411, 38//137, {4521, 45621, 456621, 4566621, 45214521, 45666621,...} 412, 107//206, {4532, 45732, 457732, 4577732, 45324532, 45777732,...} 413, 314//413, {4543, 45843, 458843, 4588843, 45434543, 45888843,...} 414, 1//1, {4554, 45954, 459954, 4599954, 45544554, 45999954,...} 420, 2//35, {4620, 46620, 466620, 4666620, 46204620, 46666620,...} 421, 124//421, {4631, 46731, 467731, 4677731, 46314631, 46777731,...} 422, 112//211, {4642, 46842, 468842, 4688842, 46424642, 46888842,...} 423, 36//47, {4653, 46953, 469953, 4699953, 46534653, 46999953,...} 430, 17//215, {4730, 47730, 477730, 4777730, 47304730, 47777730,...} 431, 134//431, {4741, 47841, 478841, 4788841, 47414741, 47888841,...} 432, 13//24, {4752, 47952, 479952, 4799952, 47524752, 47999952,...} 440, 1//10, {4840, 48840, 488840, 4888840, 48404840, 48888840,...} 441, 16//49, {4851, 48951, 489951, 4899951, 48514851, 48999951,...} 450, 3//25, {4950, 49950, 499950, 4999950, 49504950, 49999950,...} 500, 1//100, {5500, 55500, 555500, 5555500, 55005500, 55555500,...} 501, 35//167, {5511, 55611, 556611, 5566611, 55115511, 55666611,...} 502, 205//502, {5522, 55722, 557722, 5577722, 55225522, 55777722,...} 503, 305//503, {5533, 55833, 558833, 5588833, 55335533, 55888833,...} 504, 45//56, {5544, 55944, 559944, 5599944, 55445544, 55999944,...} 510, 1//34, {5610, 56610, 566610, 5666610, 56105610, 56666610,...} 511, 115//511, {5621, 56721, 567721, 5677721, 56215621, 56777721,...} 512, 215//512, {5632, 56832, 568832, 5688832, 56325632, 56888832,...} 513, 35//57, {5643, 56943, 569943, 5699943, 56435643, 56999943,...} 520, 5//104, {5720, 57720, 577720, 5777720, 57205720, 57777720,...} 521, 125//521, {5731, 57831, 578831, 5788831, 57315731, 57888831,...} 522, 25//58, {5742, 57942, 579942, 5799942, 57425742, 57999942,...} 530, 7//106, {5830, 58830, 588830, 5888830, 58305830, 58888830,...} 17 531, 15//59, {5841, 58941, 589941, 5899941, 58415841, 58999941,...} 540, 1//12, {5940, 59940, 599940, 5999940, 59405940, 59999940,...} 600, 1//100, {6600, 66600, 666600, 6666600, 66006600, 66666600,...} 601, 106//601, {6611, 66711, 667711, 6677711, 66116611, 66777711,...} 602, 103//301, {6622, 66822, 668822, 6688822, 66226622, 66888822,...} 603, 34//67, {6633, 66933, 669933, 6699933, 66336633, 66999933,...} 610, 8//305, {6710, 67710, 677710, 6777710, 67106710, 67777710,...} 611, 116//611, {6721, 67821, 678821, 6788821, 67216721, 67888821,...} 612, 6//17, {6732, 67932, 679932, 6799932, 67326732, 67999932,...} 620, 13//310, {6820, 68820, 688820, 6888820, 68206820, 68888820,...} 621, 14//69, {6831, 68931, 689931, 6899931, 68316831, 68999931,...} 630, 2//35, {6930, 69930, 699930, 6999930, 69306930, 69999930,...} 700, 1//100, {7700, 77700, 777700, 7777700, 77007700, 77777700,...} 701, 107//701, {7711, 77811, 778811, 7788811, 77117711, 77888811,...} 702, 23//78, {7722, 77922, 779922, 7799922, 77227722, 77999922,...} 710, 17//710, {7810, 78810, 788810, 7888810, 78107810, 78888810,...} 711, 13//79, {7821, 78921, 789921, 7899921, 78217821, 78999921,...} 720, 3//80, {7920, 79920, 799920, 7999920, 79207920, 79999920,...} 800, 1//100, {8800, 88800, 888800, 8888800, 88008800, 88888800,...} 801, 12//89, {8811, 88911, 889911, 8899911, 88118811, 88999911,...} 810, 1//45, {8910, 89910, 899910, 8999910, 89108910, 89999910,...} 900, 1//100, {9900, 99900, 999900, 9999900, 99009900, 99999900,...} Здесь приведены все реверсивно-устойчивые последовательности первой группы для 1 ≤ k ≤ 909 . Аналогичная таблица реверсивно-устойчивых последовательностей второй группы для тех же k : k, rev(kx)//kx, { k * P91 } 91, 1//1, {1001, 10101, 101101, 1011101, 10011001, 10111101,...} 92, 191//92, {1012, 10212, 102212, 1022212, 10121012, 10222212,...} 93, 97//31, {1023, 10323, 103323, 1033323, 10231023, 10333323,...} 94, 391//94, {1034, 10434, 104434, 1044434, 10341034, 10444434,...} 95, 491//95, {1045, 10545, 105545, 1055545, 10451045, 10555545,...} 96, 197//32, {1056, 10656, 106656, 1066656, 10561056, 10666656,...} 97, 691//97, {1067, 10767, 107767, 1077767, 10671067, 10777767,...} 98, 113//14, {1078, 10878, 108878, 1088878, 10781078, 10888878,...} 99, 9//1, {1089, 10989, 109989, 1099989, 10891089, 10999989,...} 182, 1//1, {2002, 20202, 202202, 2022202, 20022002, 20222202,...} 18 183, 94//61, {2013, 20313, 203313, 2033313, 20132013, 20333313,...} 184, 191//92, {2024, 20424, 204424, 2044424, 20242024, 20444424,...} 185, 482//185, {2035, 20535, 205535, 2055535, 20352035, 20555535,...} 186, 97//31, {2046, 20646, 206646, 2066646, 20462046, 20666646,...} 187, 62//17, {2057, 20757, 207757, 2077757, 20572057, 20777757,...} 188, 391//94, {2068, 20868, 208868, 2088868, 20682068, 20888868,...} 189, 14//3, {2079, 20979, 209979, 2099979, 20792079, 20999979,...} 191, 92//191, {2101, 21201, 212201, 2122201, 21012101, 21222201,...} 192, 1//1, {2112, 21312, 213312, 2133312, 21122112, 21333312,...} 193, 292//193, {2123, 21423, 214423, 2144423, 21232123, 21444423,...} 194, 196//97, {2134, 21534, 215534, 2155534, 21342134, 21555534,...} 195, 164//65, {2145, 21645, 216645, 2166645, 21452145, 21666645,...} 196, 148//49, {2156, 21756, 217756, 2177756, 21562156, 21777756,...} 197, 692//197, {2167, 21867, 218867, 2188867, 21672167, 21888867,...} 198, 4//1, {2178, 21978, 219978, 2199978, 21782178, 21999978,...} 273, 1//1, {3003, 30303, 303303, 3033303, 30033003, 30333303,...} 274, 373//274, {3014, 30414, 304414, 3044414, 30143014, 30444414,...} 275, 43//25, {3025, 30525, 305525, 3055525, 30253025, 30555525,...} 276, 191//92, {3036, 30636, 306636, 3066636, 30363036, 30666636,...} 277, 673//277, {3047, 30747, 307747, 3077747, 30473047, 30777747,...} 278, 773//278, {3058, 30858, 308858, 3088858, 30583058, 30888858,...} 279, 97//31, {3069, 30969, 309969, 3099969, 30693069, 30999969,...} 282, 61//94, {3102, 31302, 313302, 3133302, 31023102, 31333302,...} 283, 1//1, {3113, 31413, 314413, 3144413, 31133113, 31444413,...} 284, 383//284, {3124, 31524, 315524, 3155524, 31243124, 31555524,...} 285, 161//95, {3135, 31635, 316635, 3166635, 31353135, 31666635,...} 286, 53//26, {3146, 31746, 317746, 3177746, 31463146, 31777746,...} 287, 683//287, {3157, 31857, 318857, 3188857, 31573157, 31888857,...} 288, 87//32, {3168, 31968, 319968, 3199968, 31683168, 31999968,...} 291, 31//97, {3201, 32301, 323301, 3233301, 32013201, 32333301,...} 292, 193//292, {3212, 32412, 324412, 3244412, 32123212, 32444412,...} 293, 1//1, {3223, 32523, 325523, 3255523, 32233223, 32555523,...} 294, 131//98, {3234, 32634, 326634, 3266634, 32343234, 32666634,...} 295, 493//295, {3245, 32745, 327745, 3277745, 32453245, 32777745,...} 296, 593//296, {3256, 32856, 328856, 3288856, 32563256, 32888856,...} 297, 7//3, {3267, 32967, 329967, 3299967, 32673267, 32999967,...} 364, 1//1, {4004, 40404, 404404, 4044404, 40044004, 40444404,...} 365, 464//365, {4015, 40515, 405515, 4055515, 40154015, 40555515,...} 19 366, 94//61, {4026, 40626, 406626, 4066626, 40264026, 40666626,...} 367, 664//367, {4037, 40737, 407737, 4077737, 40374037, 40777737,...} 368, 191//92, {4048, 40848, 408848, 4088848, 40484048, 40888848,...} 369, 96//41, {4059, 40959, 409959, 4099959, 40594059, 40999959,...} 373, 274//373, {4103, 41403, 414403, 4144403, 41034103, 41444403,...} 374, 1//1, {4114, 41514, 415514, 4155514, 41144114, 41555514,...} 375, 158//125, {4125, 41625, 416625, 4166625, 41254125, 41666625,...} 376, 287//188, {4136, 41736, 417736, 4177736, 41364136, 41777736,...} 377, 674//377, {4147, 41847, 418847, 4188847, 41474147, 41888847,...} 378, 43//21, {4158, 41958, 419958, 4199958, 41584158, 41999958,...} 382, 92//191, {4202, 42402, 424402, 4244402, 42024202, 42444402,...} 383, 284//383, {4213, 42513, 425513, 4255513, 42134213, 42555513,...} 384, 1//1, {4224, 42624, 426624, 4266624, 42244224, 42666624,...} 385, 44//35, {4235, 42735, 427735, 4277735, 42354235, 42777735,...} 386, 292//193, {4246, 42846, 428846, 4288846, 42464246, 42888846,...} 387, 76//43, {4257, 42957, 429957, 4299957, 42574257, 42999957,...} 391, 94//391, {4301, 43401, 434401, 4344401, 43014301, 43444401,...} 392, 97//196, {4312, 43512, 435512, 4355512, 43124312, 43555512,...} 393, 98//131, {4323, 43623, 436623, 4366623, 43234323, 43666623,...} 394, 1//1, {4334, 43734, 437734, 4377734, 43344334, 43777734,...} 395, 494//395, {4345, 43845, 438845, 4388845, 43454345, 43888845,...} 396, 3//2, {4356, 43956, 439956, 4399956, 43564356, 43999956,...} 455, 1//1, {5005, 50505, 505505, 5055505, 50055005, 50555505,...} 456, 185//152, {5016, 50616, 506616, 5066616, 50165016, 50666616,...} 457, 655//457, {5027, 50727, 507727, 5077727, 50275027, 50777727,...} 458, 755//458, {5038, 50838, 508838, 5088838, 50385038, 50888838,...} 459, 95//51, {5049, 50949, 509949, 5099949, 50495049, 50999949,...} 464, 365//464, {5104, 51504, 515504, 5155504, 51045104, 51555504,...} 465, 1//1, {5115, 51615, 516615, 5166615, 51155115, 51666615,...} 466, 565//466, {5126, 51726, 517726, 5177726, 51265126, 51777726,...} 467, 665//467, {5137, 51837, 518837, 5188837, 51375137, 51888837,...} 468, 85//52, {5148, 51948, 519948, 5199948, 51485148, 51999948,...} 473, 25//43, {5203, 52503, 525503, 5255503, 52035203, 52555503,...} 474, 125//158, {5214, 52614, 526614, 5266614, 52145214, 52666614,...} 475, 1//1, {5225, 52725, 527725, 5277725, 52255225, 52777725,...} 476, 575//476, {5236, 52836, 528836, 5288836, 52365236, 52888836,...} 477, 75//53, {5247, 52947, 529947, 5299947, 52475247, 52999947,...} 482, 185//482, {5302, 53502, 535502, 5355502, 53025302, 53555502,...} 20 483, 95//161, {5313, 53613, 536613, 5366613, 53135313, 53666613,...} 484, 35//44, {5324, 53724, 537724, 5377724, 53245324, 53777724,...} 485, 1//1, {5335, 53835, 538835, 5388835, 53355335, 53888835,...} 486, 65//54, {5346, 53946, 539946, 5399946, 53465346, 53999946,...} 491, 95//491, {5401, 54501, 545501, 5455501, 54015401, 54555501,...} 492, 65//164, {5412, 54612, 546612, 5466612, 54125412, 54666612,...} 493, 295//493, {5423, 54723, 547723, 5477723, 54235423, 54777723,...} 494, 395//494, {5434, 54834, 548834, 5488834, 54345434, 54888834,...} 495, 1//1, {5445, 54945, 549945, 5499945, 54455445, 54999945,...} 546, 1//1, {6006, 60606, 606606, 6066606, 60066006, 60666606,...} 547, 646//547, {6017, 60717, 607717, 6077717, 60176017, 60777717,...} 548, 373//274, {6028, 60828, 608828, 6088828, 60286028, 60888828,...} 549, 94//61, {6039, 60939, 609939, 6099939, 60396039, 60999939,...} 555, 152//185, {6105, 61605, 616605, 6166605, 61056105, 61666605,...} 556, 1//1, {6116, 61716, 617716, 6177716, 61166116, 61777716,...} 557, 656//557, {6127, 61827, 618827, 6188827, 61276127, 61888827,...} 558, 42//31, {6138, 61938, 619938, 6199938, 61386138, 61999938,...} 564, 61//94, {6204, 62604, 626604, 6266604, 62046204, 62666604,...} 565, 466//565, {6215, 62715, 627715, 6277715, 62156215, 62777715,...} 566, 1//1, {6226, 62826, 628826, 6288826, 62266226, 62888826,...} 567, 74//63, {6237, 62937, 629937, 6299937, 62376237, 62999937,...} 573, 92//191, {6303, 63603, 636603, 6366603, 63036303, 63666603,...} 574, 188//287, {6314, 63714, 637714, 6377714, 63146314, 63777714,...} 575, 476//575, {6325, 63825, 638825, 6388825, 63256325, 63888825,...} 576, 1//1, {6336, 63936, 639936, 6399936, 63366336, 63999936,...} 582, 31//97, {6402, 64602, 646602, 6466602, 64026402, 64666602,...} 583, 26//53, {6413, 64713, 647713, 6477713, 64136413, 64777713,...} 584, 193//292, {6424, 64824, 648824, 6488824, 64246424, 64888824,...} 585, 54//65, {6435, 64935, 649935, 6499935, 64356435, 64999935,...} 591, 32//197, {6501, 65601, 656601, 6566601, 65016501, 65666601,...} 592, 49//148, {6512, 65712, 657712, 6577712, 65126512, 65777712,...} 593, 296//593, {6523, 65823, 658823, 6588823, 65236523, 65888823,...} 594, 2//3, {6534, 65934, 659934, 6599934, 65346534, 65999934,...} 637, 1//1, {7007, 70707, 707707, 7077707, 70077007, 70777707,...} 638, 67//58, {7018, 70818, 708818, 7088818, 70187018, 70888818,...} 639, 93//71, {7029, 70929, 709929, 7099929, 70297029, 70999929,...} 646, 547//646, {7106, 71706, 717706, 7177706, 71067106, 71777706,...} 647, 1//1, {7117, 71817, 718817, 7188817, 71177117, 71888817,...} 21 648, 83//72, {7128, 71928, 719928, 7199928, 71287128, 71999928,...} 655, 457//655, {7205, 72705, 727705, 7277705, 72057205, 72777705,...} 656, 557//656, {7216, 72816, 728816, 7288816, 72167216, 72888816,...} 657, 1//1, {7227, 72927, 729927, 7299927, 72277227, 72999927,...} 664, 367//664, {7304, 73704, 737704, 7377704, 73047304, 73777704,...} 665, 467//665, {7315, 73815, 738815, 7388815, 73157315, 73888815,...} 666, 63//74, {7326, 73926, 739926, 7399926, 73267326, 73999926,...} 673, 277//673, {7403, 74703, 747703, 7477703, 74037403, 74777703,...} 674, 377//674, {7414, 74814, 748814, 7488814, 74147414, 74888814,...} 675, 53//75, {7425, 74925, 749925, 7499925, 74257425, 74999925,...} 682, 17//62, {7502, 75702, 757702, 7577702, 75027502, 75777702,...} 683, 287//683, {7513, 75813, 758813, 7588813, 75137513, 75888813,...} 684, 43//76, {7524, 75924, 759924, 7599924, 75247524, 75999924,...} 691, 97//691, {7601, 76701, 767701, 7677701, 76017601, 76777701,...} 692, 197//692, {7612, 76812, 768812, 7688812, 76127612, 76888812,...} 693, 3//7, {7623, 76923, 769923, 7699923, 76237623, 76999923,...} 728, 1//1, {8008, 80808, 808808, 8088808, 80088008, 80888808,...} 729, 92//81, {8019, 80919, 809919, 8099919, 80198019, 80999919,...} 737, 58//67, {8107, 81807, 818807, 8188807, 81078107, 81888807,...} 738, 1//1, {8118, 81918, 819918, 8199918, 81188118, 81999918,...} 746, 274//373, {8206, 82806, 828806, 8288806, 82068206, 82888806,...} 747, 72//83, {8217, 82917, 829917, 8299917, 82178217, 82999917,...} 755, 458//755, {8305, 83805, 838805, 8388805, 83058305, 83888805,...} 756, 31//42, {8316, 83916, 839916, 8399916, 83168316, 83999916,...} 764, 92//191, {8404, 84804, 848804, 8488804, 84048404, 84888804,...} 765, 52//85, {8415, 84915, 849915, 8499915, 84158415, 84999915,...} 773, 278//773, {8503, 85803, 858803, 8588803, 85038503, 85888803,...} 774, 21//43, {8514, 85914, 859914, 8599914, 85148514, 85999914,...} 782, 94//391, {8602, 86802, 868802, 8688802, 86028602, 86888802,...} 783, 32//87, {8613, 86913, 869913, 8699913, 86138613, 86999913,...} 791, 14//113, {8701, 87801, 878801, 8788801, 87018701, 87888801,...} 792, 1//4, {8712, 87912, 879912, 8799912, 87128712, 87999912,...} 819, 1//1, {9009, 90909, 909909, 9099909, 90099009, 90999909,...} 828, 81//92, {9108, 91908, 919908, 9199908, 91089108, 91999908,...} 837, 71//93, {9207, 92907, 929907, 9299907, 92079207, 92999907,...} 846, 61//94, {9306, 93906, 939906, 9399906, 93069306, 93999906,...} 855, 51//95, {9405, 94905, 949905, 9499905, 94059405, 94999905,...} 864, 41//96, {9504, 95904, 959904, 9599904, 95049504, 95999904,...} 22 873, 31//97, {9603, 96903, 969903, 9699903, 96039603, 96999903,...} 882, 3//14, {9702, 97902, 979902, 9799902, 97029702, 97999902,...} 891, 1//9, {9801, 98901, 989901, 9899901, 98019801, 98999901,...} В первой таблице, если k - палиндром, то rev ( k · x ) k · x = rev ( k ) k = 1 и сама последовательность состоит из палиндромов. Во второй же, в последо- вательности могут быть все палиндромы, даже если k - не палиндром. Все k ∈ [1 , 909] , для которых d ( k · P 91) = k · P 91 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 91, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 182, 192, 198, 202, 212, 222, 232, 242, 252, 273, 283, 293, 303, 313, 323, 333, 364, 374, 384, 394, 404, 414, 455, 465, 475, 485, 495, 546, 556, 566, 576, 637, 647, 657, 728, 738, 819 При всех этих k , кроме двух: 99 и 198 (у них rev ( k · x ) нацело делится на k · x ), последовательности состоят из чисел-палиндромов. Очень много случаев, когда d ( k · P 91) = P 91 . Приведем все такие k ∈ [1 , 909] : 1, 10, 13, 14, 16, 17, 23, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 43, 52, 53, 61, 71, 92, 94, 95, 97, 100, 103, 104, 106, 107, 112, 113, 115, 116, 122, 124, 125, 130, 133, 134, 140, 142, 152, 160, 170, 185, 191, 193, 197, 203, 205, 211, 215, 221, 223, 233, 241, 251, 274, 277, 278, 284, 287, 292, 295, 296, 301, 302, 304, 305, 310, 311, 314, 320, 322, 331, 332, 340, 350, 365, 367, 373, 377, 383, 391, 395, 401, 403, 413, 421, 431, 457, 458, 464, 466, 467, 476, 482, 491, 493, 494, 502, 503, 511, 512, 521, 547, 557, 565, 575, 593, 601, 611, 646, 655, 656, 664, 665, 673, 674, 683, 691, 692, 701, 710, 755, 773 И в заключение, добавим еще некоторые интересные наблюдения: d(k*P91) = 2*P91 => k: 2, 20, 26, 62, 184, 188, 194, 200, 206, 214, 224, 230, 250, 260, 376, 382, 386, 392, 410, 412, 422, 430, 548, 574, 584, 602, 610, 620, 746, 782 d(k*P91) = 3*P91 => k: 3, 12, 15, 21, 30, 51, 93, 96, 102, 105, 114, 23 120, 123, 150, 183, 195, 201, 213, 276, 282, 285, 291, 294, 300, 312, 321, 375, 393, 411, 456, 474, 483, 492, 501, 555, 573, 591 d(k*P91) = 4*P91 => k: 4, 40, 196, 368, 400, 592, 764 d(k*P91) = 5*P91 => k: 5, 50, 500, 520, 530 d(k*P91) = 6*P91 => k: 6, 24, 42, 60, 186, 204, 210, 240, 366, 402, 564, 582, 600 d(k*P91) = 7*P91 => k: 7, 70, 98, 700, 791 d(k*P91) = 8*P91 => k: 8, 80, 800 d(k*P91) = 9*P91 => k: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 108, 117, 126, 135, 144, 153, 162, 180, 207, 225, 243, 261, 279, 288, 306, 315, 324, 342, 351, 360, 369, 387, 405, 423, 441, 459, 468, 477, 486, 504, 513, 522, 531, 549, 567, 585, 603, 621, 639, 648, 666, 675, 684, 702, 711, 720, 729, 747, 765, 783, 801, 828, 837, 846, 855, 864, 873, 900 d(k*P91) = 11*P91 => k: 11, 110, 143, 187, 275, 286, 341, 385, 473, 484, 583, 638, 682, 737 d(k*P91) = 22*P91 => k: 22, 220 d(k*P91) = 33*P91 => k: 33, 132, 231, 330 Ссылки [1] https://oeis.org/A061851 [2] R. Webster and G. Williams, On the Trail of Reverse Divisors: 1089 and All that Follow, Mathematical Spectrum, 45 (2012/2013), 96–102. [3] https://oeis.org/A008918 [4] Sloane, N. J. A. 2178 and all that [Электронный ресурс] / N. J. A. Sloane // The Fibonacci Quarterly. — 2014. — Vol. 52, no. 2. — P. 99–105. — https://www.fq.math.ca/Papers1/52-2/Sloan10242013.pdf [5] Гуляев Г.М. Компьютер в помощь математике. Исследование и поиск, раздел 1 "Проблема 196 или числа Лишрела (07.12.2024), стр 1-7. — http://soft.altailand.ru/pdf/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D1%8C%D1%8E% D1%82%D0%B5%D1%80_%D0%B2_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C_%D0% BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5.pdf 24