Логарифмическая функция для натуральных чисел

Георгий Гуляев

4 июля 2026 г.

Определение и теоремы

Введем функцию l(n), n ∈ N при помощи следующих трех равенств:

• 1. l(1) = 0,
• 2. l(p) = p, если p простое число,
• 3. l(m · n) = l(m) + l(n) для любых m, n ∈ N.

Теорема 1. l(n ^m) = m · l(n) для любых m, n ∈ N.

Доказательство. При m = 1 утверждение теоремы очевидно. Если m > 1, то, согласно третьему равенству определения, l(n ^m) = l(n · n m−1 ) = l(n) + l(n m−1 ). Если m > 2, то продолжим l(n m−1 ) = l(n) + l(n m−2 ), и так далее. В результате получим ровно m слагаемых l(n). Что и требовалось доказать.

Полагая n = p, где p - простое и, используя равенство 2 определения, получаем следствие теоремы 1.

Следствие 1. l(p ^m) = m · p для простого p и m ∈ N.

В том случае, когда оба n и m - простые, то есть n = p, m = q, согласно следствию 1 имеем l(p q ) = p · q и l(q p ) = p · q, поэтому верно второе следствие.

Следствие 2. $l(p^q) = l(q^p)$ для любых простых p и q.

Пусть n>1 натуральное число, тогда его можно представить единственным способом в виде канонического разложения на простые множители:

$$n = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dots \cdot p_k^{\alpha_k} \tag{1}$$

где $p_1,...,p_k$ - различные простые, $\alpha_1,...,\alpha_k$ - натуральные числа.

Теорема 2. $$l(p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot ... \cdot p_k^{\alpha_k}) = p_1 \cdot \alpha_1 + p_2 \cdot \alpha_2 + ... + p_k \cdot \alpha_k$$ .

Доказательство. Используя третье свойство определения, произведение преобразуем в сумму и, далее, применяем следствие 1.

$$l(p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k}) = l(p_1^{\alpha_1}) + l(p_2^{\alpha_2}) + \ldots + l(p_k^{\alpha_k}) = p_1 \cdot \alpha_1 + p_2 \cdot \alpha_2 + \ldots + p_k \cdot \alpha_k$$

Таким образом, определенная нами функция l(n) преобразует степени в произведения, а произведения в суммы. В этом смысле она похожа на обычную логарифмическую функцию. Однако есть и существенное различие. Для нее не существует аналога основного свойства обычного логарифма, вытекающего из его определения:

$$a^{log_ab} = b$$ .

Теорема 3. Не существует таких натуральных a и b, чтобы выполнялось равенство:

$$a^{l(b)} = b. (2)$$

Доказательство. Предположим, что равенство (2) выполняется для некоторых натуральных a и b, Тогда, применяя функцию l(n) к обеим частям, получим

$$l(a^{l(b)}) = l(b) \Rightarrow l(a) \cdot l(b)) = l(b) \Rightarrow l(a) = 1$$

Последнее равенство невозможно, так как l(1)=0 а, из теоремы $2,\,l(n)>1$ при n>1. Что и требовалось доказать.

Функция l(n) - не взаимно однозначная. Как правило, для заданного числа $m>1, m\in\mathbb{N},$ существует много значений $n\in\mathbb{N},$ для которых l(n)=m. Например,

`` m = 2, n = 2 m = 3, n = 3 m = 4, n = 4 m = 5, n = 5, 6 m = 6, n = 8, 9 m = 7, n = 7, 10, 12 m = 8, n = 15, 16, 18 m = 9, n = 14, 20, 24, 27 m = 10, n = 21, 25, 30, 32, 36 m = 11, n = 11, 28, 40, 45, 48, 54 m = 12, n = 35, 42, 50, 60, 64, 72, 81 m = 13, n = 13, 22, 56, 63, 75, 80, 90, 96, 108 m = 14, n = 33, 49, 70, 84, 100, 120, 128, 135, 144, 162 m = 15, n = 26,44,105,112,125,126,150,160,180,192,216,243 m = 16, n = 39,55,66,98,140,168,189,200,225,240,256,270,288,324 ``

Теорема 4. Множество {n} решений уравнения l(n) = m для любого заданного числа m > 1, m ∈ N - конечно.

Доказательство. Пусть n представлено разложением (1). Тогда, по теореме 2, уравнение l(n) = m сводится к уравнению

$$p_1 \cdot \alpha_1 + p_2 \cdot \alpha_2 + \dots + p_k \cdot \alpha_k = m \tag{3}$$

То есть, перебирая все решения уравнения (3), мы получим все решения n вида (1) для уравнения l(n) = m. Очевидно, простые числа p1, p2, ..., p^k в (3) не могут быть больше m, поэтому мы имеем конечное число простых чисел и, следовательно, конечное число решений уравнения (3) для любого фиксированного натурального m > 1.

Для удобства обозначим через L^m - множество решений {n} уравнения l(n) = m для m > 1, m ∈ N.

Теорема 5. Множества L^m для различных m не пересекаются между собой.

Доказательство. Предположим противное,что существуют два различных значения m = r и m = s, для которых L^r и L^s имеют общий элемент n.Тогда l(n) = r и l(n) = s, то есть r = s. Что и требовалось доказать.

Теорема 6. Множества L^m содержат все натуральные числа n > 1, то есть для любого n > 1, n ∈ N существует m (единственное по теореме 5) такое, что l(n) = m.

Доказательство. Пусть n > 1 - произвольное натуральное число. Его можно предствить в виде (1) и по формуле (3) вычислить $m \in \mathbb{N}$ . Что и требовалось доказать.

Теоремы 5 и 6 говорят о том, что условие l(x) = l(y) задает отношение эквивалентности на множестве $\mathbb{N} \setminus \{1\}$ и, следовательно, разбивает это множество на непересекающиеся классы эквивалентности $L_m$ .

В полученном фактормножестве $\{L_m\}$ казалось бы естественным образом можно определить операцию умножения:

$$L_r \cdot L_s = L_{r+s}$$

поскольку все произведения вида $a \cdot b, a \in L_r, b \in L_s$ находятся в $L_{r+s}$ . Однако, вообще говоря, они не исчерпывают $L_{r+s}$ , там могут быть и другие элементы. Это хорошо видно на примере.

Пусть $$r=7, s=8, r+s=15, L_7=\{7,10,12\}$$ , $L_8=\{15,16,18\}$ . Тогда $$L_7\cdot L_8=\{105,112,125,126,150,160,180,192,216\}$$

Однако $L_{7+8} = L_{15} = \{26, 44, 105, 112, 125, 126, 150, 160, 180, 192, 216, 243\}$ содержит три дополнительных элемента 26, 44, 243, которые получаются из других классов, представляющих число 15 в виде суммы $L_{2+13}, L_{3+12}, \dots$

Согласно формуле (3) из теоремы 4, уравнение l(n) = m решает задачу представления натурального числа m в виде суммы простых слагаемых (с повторениями).

Задача. Для заданного $n>1, n\in\mathbb{N}$ пусть l(n)=m. Найти минимальное и максимальное значения во множестве $L_m$ .

Здесь, к сожалению, кроме общих соображений ничего не найдено. Понятно, что величина показателей степеней в разложении числа на простые множители значительно больше влияет на величину самого числа, чем сами простые множители.

Исходя из этого, можно предположить, что в разложении на множители наименьшего значения $L_m$ показатели степеней, вероятно, будут равны 1 или чуть больше, а в разложении на множители наибольшего значения они будут максимально возможными.

В качестве иллюстрации приведем таблицу с максимальными и минимальными значениями во множестве $L_m$ для $n \in [2, 43]$ :

`` min max n 2 = 2 2 = 2 2 3 = 3 3 = 3 3, 4 = 2^2 4 4 = 2^2 5 5 = 5 6 = 2 3 6 8 = 2^3 9 = 3^2 7 7 = 7 12 = 2^2 3^1 15 = 3 5 18 = 2 3^2 8 9 14 = 2 7 27 = 3^3 21 = 3 7 36 = 2^2 3^2 10 54 = 2 3^3 11 = 11 11 12 35 = 5 7 81 = 3^4 13 13 = 13 108 = 2^2 3^3 162 = 2 3^4 14 33 = 3 11 26 = 2 13 243 = 3^5 15 16 39 = 3 13 324 = 2^2 3^4 486 = 2 3^5 17 17 = 17 65 = 5 13 729 = 3^6 18 19 19 = 19 972 = 2^2 3^5 20 51 = 3 17 1458 = 2 3^6 38 = 2 19 2187 = 3^7 21 22 57 = 3 19 2916 = 2^2 3^6 23 23 = 23 4374 = 2 3^7 24 95 = 5 19 6561 = 3^8 46 = 2 23 8748 = 2^2 3^7 25 26 69 = 3 23 13122 = 2 3^8 27 92 = 2^2 23 19683 = 3^9 115 = 5 23 26244 = 2^2 3^8 28 29 = 29 39366 = 2 3^9 29 30 161 = 7 23 59049 = 3^10 78732 = 2^2 3^9 31 31 = 31 32 87 = 3 29 118098 = 2 3^10 33 62 = 2 31 177147 = 3^1 93 = 3 31 236196 = 2^2 3^10 34 124 = 2^2 31 354294 = 2 3^11 35 155 = 5 31 531441 = 3^12 36 37 = 37 708588 = 2^2 3^11 37 38 217 = 7 31 1062882 = 2 3^12 ``

Если n - простое число, то оно само и является минимальным элементом в $L_m$ .

Известные результаты

Функция l(n) в теории чисел широко известна. Она называется в разной литературе по-разному: $\mathbf{sopfr(n)}$ - sum of prime factors with repetition [2] $\mathbf{integer\ logarithm}$ - целочисленный логарифм [1] $\mathbf{potency\ of\ n}$ [3].

В энциклопедии цифровых последовательностей OEIS она зарегистрирована под номером A001414. Первые значения: l(1)=0, l(2)=2, l(3)=3, l(4)=4, l(5)=5, l(6)=5, l(7)=7, l(8)=6, ....

Кроме этого, функция l(n) используется для определения так называемых Ruth–Aaron пар [4] - пар последовательных чисел (n, n+1) с равными значениями l(n) = l(n+1).

Классический пример: (714, 715), так как $714 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 17 \Rightarrow l(714) = 2 + 3 + 7 + 17 = 29$ , $715 = 5 \cdot 11 \cdot 13 \Rightarrow l(715) = 5 + 11 + 13 = 29$ . Здесь исследуется распределение таких пар, их связь с гипотезами о простых числах и так далее.

Литература

• [1] N. J. A. Sloane, Sequence A001414: Integer log of n: sum of primes dividing n (with repetition), OEIS Foundation.
• [2] R. Sharipov, A note on the Sopfr(n) function, arXiv:1104.5235, 2011.
• [3] https://oeis.org/A001414
• [4] C. Pomerance, Ruth–Aaron pairs revisited, 2000.