Целочисленные циклические многоугольники, вписанные в окружность с целым радиусом

Георгий Гуляев

2 июня 2026 г.

1. Введение

В рассматриваемой нами области математики, лежащей на стыке геометрии и теории чисел, исторически сложилась определенная терминология [1,2,3].

Циклический многоугольник (Cyclic Polygon) - многоугольник, все вершины которого лежат на одной окружности, называемой описанной окружностью.

Многоугольник Герона (Heron Polygon) - многоугольник, у которого длины всех сторон, всех диагоналей и площадь выражаются целыми числами.

Многоугольник Брахмагупты (Brahmagupta Polygon) - циклический многоугольник, который также является многоугольником Герона.

Во всех опубликованных работах ([1,2,3], - как пример), как правило, изучаются многоугольники с рациональными или целыми не обязательно разными сторонами, рациональными или целыми диагоналями и площадью, исследуется полиномиальная зависимость между длинами сторон и площадью и так далее.

В данной работе мы будем находить и строить циклические n-угольники с разными целыми сторонами $a_1,a_2,...,a_n,a_k\in\mathbb{N},k\in\{1,2,...,n\},a_1< a_2<...< a_n,$ и целым радиусом описанной окружности $r\in\mathbb{N}.$

При этом, диагонали и площади таких многоугольников будут, вообще говоря, иррациональны. Рациональными или целыми они могут оказаться только в отдельных редких случаях.

С точки зрения данной статьи, задача состоит в том, чтобы найти условия, при которых можно разместить ломаную с целочисленными длинами звеньев $a_1, a_2, ..., a_n$ и вершинами углов на окружности целого радиуса r так, чтобы она замкнулась в n-угольник (последняя вершина совпала бы c первой).

2. Общие соображения и теоремы

Рассмотрим общий случай выпуклого n-угольника со сторонами $a_1, a_2, ..., a_n$ , вписанного в окружность радиуса r. Проведем из его центра радиусы в каждую вершину и обозначим углы, с вершинами в центре окружности, через $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ , соответственно сторонам $a_1, a_2, ..., a_n$ .

Определяющим условием того, что все вершины многоугольника лежат на описанной окружности является равенство $2\pi$ суммы всех центральных углов:

$$\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_n = 2\pi \tag{1}$$

Опустив перпендикуляры из центра окружности на стороны многоугольника, из полученных прямоугольных треугольников выводим соотношения:

$$sin(\frac{\alpha_k}{2}) = \frac{a_k}{2r}, k = \{1, 2, ..., n\}$$

Таким образом, равенство (1) оказывается эквивалентно следующему:

$$\arcsin(\frac{a_1}{2r}) + \arcsin(\frac{a_2}{2r}) + \dots + \arcsin(\frac{a_n}{2r}) = \pi$$ (2)

Рассмотрим теперь n комплексных чисел $z_1, z_2, ..., z_n$ с рациональными мнимыми частями $\frac{a_1}{2r}, \frac{a_2}{2r}, ..., \frac{a_n}{2r}$ , лежащих на единичной окружности:

$$z_1 = \sqrt{1 - \frac{a_1^2}{4r^2}} + \frac{a_1}{2r}i, z_2 = \sqrt{1 - \frac{a_2^2}{4r^2}} + \frac{a_2}{2r}i, ..., z_n = \sqrt{1 - \frac{a_n^2}{4r^2}} + \frac{a_n}{2r}i \quad (3)$$

Учитывая, что модули $|z_1|=|z_2|=...=|z_n|=1$ , а аргументы $z_1,z_2,...,z_n$ равны соответственно $arcsin(\frac{a_1}{2r}), arcsin(\frac{a_2}{2r}),..., arcsin(\frac{a_n}{2r})$ , перепишем наши числа в показательной форме:

$$z_1 = e^{arcsin(\frac{a_1}{2r})i}, z_2 = e^{arcsin(\frac{a_2}{2r})i}, ..., z_n = e^{arcsin(\frac{a_n}{2r})i}$$

Теперь нетрудно заметить, что равенство (2) эквивалентно тому, что произведение комплексных чисел $z_1, z_2, ..., z_n$ должно быть равно -1.

$$z_1 \cdot z_2 \cdot \dots \cdot z_n = -1 \tag{4}$$

Действительно,

$$z_1 \cdot z_2 \cdot \dots \cdot z_n = e^{\arcsin(\frac{a_1}{2r}) + \arcsin(\frac{a_2}{2r}) + \dots + \arcsin(\frac{a_n}{2r})} = e^{i\pi} = -1$$

То есть, если выполняется (2), то выполняется (4) и обратно, если выполняется (4) то выполняется (2): $e^{i\varphi} = cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi) = -1 => \varphi = \pi$ (в условиях нашей задачи предполагаем, что $0 < \varphi \leq \pi$ ).

Таким образом, мы получили фундаментальное уравнение (4) для нахождения n-угольников с целыми длинами сторон, вписанных в окружности с целым радиусом. Теперь нужно исследовать, как добиться его выполнения в тех или иных конкретных случаях.

Для дальнейшего нам потребуется доказать ряд вспомогательных утверждений.

Лемма 1. Произведение двух комплексных чисел a+bi и c+di, лежащих не единичной окружности, тогда и только тогда равно i, когда c=b и d=a, то есть когда c+di=b+ai.

Доказательство. Так как оба числа находятся на единичной окружности, то $a^2+b^2=1$ и $c^2+d^2=1$ . Очевидно, $(a+bi)\cdot(b+ai)=(a^2+b^2)\cdot i=i$ . Обратно, из условия $(a+bi)\cdot(c+di)=i$ следует

$$\begin{cases} ac - bd = 0 \\ ad + bc = 1 \end{cases}$$

Умножив втрое равенство на c и воспользовавшись тем, что ac = bd из первого равенства, получим $acd + bc^2 = bd^2 + bc^2 = b(d^2 + c^2) = b = c$ .

Теперь, подставив c вместо b в первой равенство, находим a=d. Что и требовалось доказать.

Согласно лемме 1, если число z лежит на единичной окружности, то для того чтобы получить i в произведении его с другим числом, достаточно его умножить на w=Im(z)+Re(z)i.

Это понятно и с геометрической точки зрения: если $z=e^{i\varphi}~(0<\varphi\leq\pi),$ то $w=e^{(\frac{\pi}{2}-\varphi)\cdot i}$ и $z\cdot w=e^{\frac{\pi}{2}i}=\cos(\frac{\pi}{2})+i\cdot\sin(\frac{\pi}{2})=i$

Следствие. Для того чтобы получить число i в результате умножения трех комплексных чисел, лежащих на единичной окружности достаточно произведение двух чисел $z_1 \cdot z_2 = (a+bi)(c+di)$ домножить на $Im(z_1 \cdot z_2) + Re(z_1 \cdot z_2) = ad + bc + (ac - bd)i$ . То есть, выбрать в качестве третьего число $z_3 = ad + bc + (ac - bd)i$ . И, в общем случае,

$$\prod_{k=1}^{n} z_k = i <=> z_n = Im(\prod_{k=1}^{n-1} z_k) + Re(\prod_{k=1}^{n-1} z_k)$$

Доказательство. Непосредственно вытекает из леммы 1.

Лемма 2. Пусть $a_1, a_2, ..., a_n, r$ - натуральные числа, такие, что $a_1 + a_2 + ... + a_n < \pi r$ . Если произведение комплексных чисел $z_1 \cdot z_2 \cdot ... \cdot z_n$ , определенных по формуле (3), равно i, то в окружность радиуса r может быть вписан (n+1)-угольник со сторонами $a_1, a_2, ..., a_n, 2r$ .

Доказательство. Если последовательно откладывать на окружности с радиусом r звенья длиной $a_1, a_2, ..., a_n$ , то мы получим вписанную ломаную, начало и конец которой находятся на противоположных концах диаметра окружности.

На рисунке приведен реальный пример такой ломаной с длинами звеньев $\{7,26,61,74,107\}$ на окружности радиуса 91.

Мы будем говорить, что ломаная вписана в половину окружности, когда ее начало и конец находятся на противоположных концах диаметра окружности..

Действительно, для подобной ломаной в формуле (2) сумма арксинусов будет равна $\frac{\pi}{2}$ и формула (4) будет иметь вид $z_1 \cdot z_2 \cdot \ldots \cdot z_n = i$

Добавляя к такой ломаной еще одно звено равное диаметру окружности, получаем вписаный (n+1)-угольник со сторонами $a_1, a_2, ..., a_n, 2r$ . Что и требовалось доказать.

Для примера на рисунке получаем: $z_1 = \sqrt{1 - \frac{49}{4 \cdot 91^2}} + i \cdot \frac{7}{2 \cdot 91} = \frac{105\sqrt{3} + 7i}{2 \cdot 91}$ ,

$$z_2 = \frac{104\sqrt{3} + 26i}{2 \cdot 91}, z_3 = \frac{99\sqrt{3} + 61i}{2 \cdot 91}, z_4 = \frac{96\sqrt{3} + 74i}{2 \cdot 91}, z_5 = \frac{85\sqrt{3} + 107i}{2 \cdot 91}$$

И можно убедиться, что $z_1 \cdot z_2 \cdot z_3 \cdot z_4 \cdot z_5 = i$ . Ключевым фактором здесь является тот факт, что во всех числах в действительной части находится один и тот же радикал $\sqrt{3}$ . Поэтому оказалось возможным сворачивание произведения к i.

Предположение. Условие $z_1 \cdot z_2 \cdot ... \cdot z_n = i$ для комплексных чисел (3) таких, что $a_k < 2r, k = 1, 2, ..., n$ , выполняется тогда и только тогда, когда те радикалы в формуле (3), которые не извлекаются, имеют под корнем одну и ту же неизвлекаемую часть.

Заметим, что при перемножении двух чисел с одинаковым корнем в действительной части и целой мнимой частью этот корень перемещается во мнимую часть.

Например, $$(105\sqrt{3}+7i)\cdot(104\sqrt{3}+26i)=7\cdot(15\sqrt{3}+i)\cdot26\cdot(4\sqrt{3}+i))=2\cdot91\cdot(179+19\sqrt{3}\cdot i).$$

А уже при следующем умножении на число с корнем в действительной части, он возвращается обратно в действительную часть: $2 \cdot 91 \cdot (179 + 19\sqrt{3} \cdot i) \cdot (99\sqrt{3} + 61 \cdot i) = 2^2 \cdot 7^2 \cdot 13^2 \cdot 91 \cdot (\sqrt{3} + i)$ .

Из этого наблюдения можно сделать вывод, что для получения i при перемножении комплексных чисел (3) их должно быть нечетное количество большее 1, в том случае, когда в действительной части все эти числа содержат один и тот же корень (в соответствии с предположением).

Последнее число $z_n$ из (3) всегда будет иметь корень в действительной части (в предположении, что этот корень есть в действительной части

у всех чисел $z_k, k=1,2,...,n$ ), значит в соответствии со следствием из леммы 1, произведение $z_1 \cdot z_2 \cdot ... \cdot z_{n-1}$ должно иметь корень в мнимой части, то есть n-1 должно быть четным.

То есть, ломаную с четным числом целочисленных звеньев можно вписать в половину окружности целого радиуса только в том случае, если в действительных частях чисел (3) не будет корней (все они извлекутся до целого, если верно наше предположение).

Теорема. Пусть a, b, c, r - натуральные числа. Ломаную с тремя звеньями, длины которых равны a, b, c, можно вписать в половину окружности тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

$$r \cdot (a^2 + b^2 + c^2) + a \cdot b \cdot c = 4 \cdot r^3 \tag{5}$$

Доказательство. Условие теоремы эквивалентно выполнению равенства:

$$(\sqrt{1-\frac{a^2}{4r^2}}+\frac{a}{2r}i)\cdot(\sqrt{1-\frac{b^2}{4r^2}}+\frac{b}{2r}i)\cdot(\sqrt{1-\frac{c^2}{4r^2}}+\frac{c}{2r}i)=i$$

В соответствии со следствием из леммы 1, оно равносильно системе:

$$\begin{cases} \left(\sqrt{1 - \frac{a^2}{4r^2}}\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \frac{b^2}{4r^2}}\right) - \frac{a \cdot b}{4r^2} = \frac{c}{2r} \\ \frac{a}{2r} \cdot \left(\sqrt{1 - \frac{b^2}{4r^2}}\right) + \frac{b}{2r} \cdot \left(\sqrt{1 - \frac{a^2}{4r^2}}\right) = \sqrt{1 - \frac{c^2}{4r^2}} \end{cases}$$ (6)

Избавимся от корней в первом равенстве системы (6):

$$(1 - \frac{a^2}{4r^2}) \cdot (1 - \frac{b^2}{4r^2}) = (\frac{c}{2r} + \frac{ab}{4r^2})^2$$

Далее, умножим обе части последнего равенства на $(4r^2)^2$ и избавимся от дробей:

$$(4r^2 - a^2) \cdot (4r^2 - b^2) = (2cr + ab)^2$$

Раскроем скобки: $(4r^2)^2 - 4r^2(a^2 + b^2) + a^2b^2 = 4c^2r^2 + 4abcr + a^2b^2$ . Отсюда:

$$(4r^2)^2 = 4r^2(a^2 + b^2 + c^2) + 4rabc$$

и, после сокращения на 4r, получаем равенство (5):

$$4r^3 = r(a^2 + b^2 + c^2) + abc$$

Можно проверить, что второе уравнение системы (6), приводит к тому же равенству (5). Достаточно возвести в квадрат обе его части и заменить произведение корней в левой части, выразив его из первого уравнения.

После преобразований, мы получим то же самое равенство (5). Таким образом, второе уравнение в системе (6) избыточно и она эквивалентна равенству (5). Что и требовалось доказать.

3. Алгоритмы и программы

Из результатов предыдущего параграфа следует, что для получения целочисленного многоугольника, вписанного в окружность целого радиуса, можно найти две ломаные, вписанные в половину окружности, и совместить их так, чтобы начала и концы совпадали.

В принципе, порядок длин звеньев ломаной или сторон многоугольника для построения не имеет значения. Мы будем всегда приводить их в возрастающем порядке. И будем искать только те многоугольники или ломаные, у которых нет одинаковых сторон.

Итак, алгоритм нахождения требуемых многоугольников следующий:

Для небольшого количества сторон (до 5) и небольших радиусов (до 100) можно вычислить все возможные случаи полным перебором.

При этом, произведение (4) вычисляется приближенно с большой точностью (в программах ниже, до $10^{-50}$ ). Для избежания возможных ошибок, из-за приближенных вычислений, проводится дополнительная проверка.

Альтернативный вариант: для выбранного радиуса r, ищем ломаные вписанные в половину окружности и, затем, комбинируем их друг с другом, создавая многоугольники.

Для ломаных из трех звеньев используем равенство (5) и это отличный способ получать шестиугольники. Дополнтельные проверки не требуются, так как в (5) не используются приближенные вычисления.

Для получения, вписанных в половину окружности, ломаных с 5-тью и 7-мью звеньями были разработаны оригинальные алгоритмы и программы для того, чтобы избежать полного перебора.

Для выбранного радиуса r, ломаные с тремя, пятью и семью звеньями, позволяют нам строить целочисленные циклические многоугольники, имеющие 4,6,8,10,12 и 14 сторон.

Программы на языке Julia

`` # 1 - массив длин сторон многоугольника, г - радиус окружности function isgon0(r,1) # проверка через арксинусы p = 4atan(big(1)) s = sum(map(x \rightarrow asin(big(x)/(2r)), 1)) abs(s-p) < big(10)^{(-50)} end function isgon(r,1) # проверка через произведение sum(1)<2pir || return false</pre> m = big(10)^{(-50)} a = map(x \rightarrow big(x)/(2r), 1) z = \operatorname{prod}(\operatorname{map}(x \rightarrow \operatorname{sqrt}(1-x^2)+x\operatorname{im},a)) abs(real(z)+1) \le m \le (imag(z)) \le m end function listgon(r,n) # список многоугольников res = Vector{Vector{Int64}}() for x in combinations (1:2r, n) if isgon(r,x) push!(res,x) end end res end # 1 - массив длин звеньев ломаной, r - радиус окружности function islineO(r,1) # проверка через арксинусы p = 4atan(big(1))/2 s = sum(map(x \rightarrow asin(big(x)/(2*r)), 1)) abs(s-p) < big(10)^{(-50)} end ``

`` function isline(r,l) # проверка через произведение sum(l)<pir || return false m = big(10)^(-50) a = map(x -> big(x)/(2r), l) z = prod(map(x -> sqrt(1-x^2)+xim,a)) abs(real(z))<m&&abs(imag(z)-1)<m end #r - радиус окружности, точные вычисления function listline3(r) # список всех ломаных из 3 звеньев для радиуса r res = Vector{Vector{Int64}}() for x in combinations(1:2r-1, 3) a = x[1]; b =x[2]; c = x[3] if r(a^2+b^2+c^2)+abc==4r^3 push!(res,x) end end res end #r - радиус окружности, приближенные вычисления function listline(r,k) # список всех ломаных из k звеньев для радиуса r res = Vector{Vector{Int64}}() for x in combinations(1:2r-1, k-1) c = map(x -> big(x)/(2r), x) z = prod(map(x -> sqrt(1-x^2)+xim,c)) u = BigInt(floor(real(z)2*r)) if u>x[end] push!(x,u) if isline(r,x) push!(res,x) end end end res end ``

При помощи функции listline3(r) для всех радиусов r ≤ 1000 были найдены, вписанные в половину окружности, ломаные из трех звеньев.

`` julia> for r in 5:1000 l = listline3(r) if length(l)>0 println((r,l)) end end (7, [[2, 7, 11]]) (8, [[2, 9, 12]]) (13, [[1, 13, 22]]) (14, [[4, 14, 22]]) (15, [[3, 14, 25]]) (16, [[4, 18, 24], [8, 17, 22]]) (19, [[11, 19, 26]]) (21, [[6, 21, 33], [12, 22, 28]]) (22, [[12, 19, 33]]) (24, [[6, 27, 36]]) (26, [[2, 26, 44]]) (27, [[10, 21, 45]]) (28, [[8, 28, 44]]) (30, [[6, 28, 50]]) (31, [[13, 31, 46]]) (32, [[8, 36, 48], [16, 34, 44]]) (33, [[11, 39, 46], [22, 34, 42]]) (34, [[17, 28, 53]]) (35, [[6, 25, 63], [10, 35, 55], [14, 38, 50]]) (36, [[3, 26, 66]]) (37, [[26, 37, 47]]) (38, [[19, 44, 49], [22, 38, 52]]) (39, [[3, 39, 66], [13, 43, 57]]) (40, [[10, 45, 60], [28, 41, 50]]) (42, [[12, 42, 66], [24, 44, 56]]) (43, [[22, 43, 61]]) (44, [[10, 55, 62], [11, 24, 81], [11, 38, 74], [24, 38, 66]]) (45, [[9, 35, 79], [9, 42, 75], [35, 42, 57]]) (46, [[23, 43, 68], [29, 36, 69]]) (48, [[12, 54, 72], [24, 51, 66]]) ``

`` (49, [[14, 23, 91], [14, 49, 77], [23, 49, 71]]) (51, [[6, 34, 94], [17, 38, 87]]) (52, [[4, 52, 88], [6, 39, 94]]) (54, [[20, 42, 90]]) (55, [[2, 44, 100], [15, 34, 99], [22, 50, 86], [25, 59, 77]]) (56, [[4, 62, 91], [7, 58, 92], [14, 63, 84], [16, 56, 88], [42, 57, 68]]) ... (997, [[407, 997, 1487]]) (998, [[52, 998, 1702], [191, 499, 1876], [596, 813, 1497]]) (999, [[54, 814, 1802], [62, 783, 1813], [74, 906, 1746], [111, 706, 1827], [111, 909, 1726], [370, 675, 1723], [370, 777, 1665], [444, 1074, 1404], [477, 675, 1665], [477, 777, 1602], [498, 888, 1512], [603, 882, 1443], [654, 927, 1369], [675, 777, 1470], [702, 999, 1269]]) (1000,[[25, 420, 1950], [28, 550, 1915], [80, 548, 1900], [80, 700, 1844], [80, 1025, 1675], [80, 1250, 1510], [100, 1325, 1430], [116, 430, 1925], [185, 850, 1724], [187, 890, 1700], [250, 1125, 1500], [275, 1220, 1402], [310, 464, 1850], [310, 625, 1780], [380, 1150, 1388], [425, 1104, 1395], [450, 1100, 1380], [464, 625, 1703], [530, 944, 1450], [548, 700, 1610], [548, 1159, 1250], [555, 628, 1650], [560, 704, 1600], [650, 940, 1364], [695, 900, 1362], [700, 1025, 1250]]) ``

Функция listline(r, k) хорошо работает для небольших значений радиуса и маленьких k (k - число звеньев ломаной), но уже при k = 5 с трудом добирается до первых случаев ломаных из пяти звеньев, вписанных в половину окружности. Минимальное r здесь, как увидим далее, 91.

А для k = 7 с ее помощью вообще ничего найти невозможно. Поэтому был разработан алгоритм, основанный на, сформулированном выше недоказанном предположении, что для получения в произведении i, все корни p 4r ² − a 2 k , k = 1, 2, ..., n в действительных частях комплексных чисел (3) обязаны иметь одинаковую неизвлекаемую часть.

Следующая функция, для заданного радиуса r и натурального числа a, вычисляет неизвлекаемую часть корня $\sqrt{4r^2-a^2}$ .

`` function rem(a) res = 1 for (p,k) in factor(4r^2 - a^2) if k%2==1 res=p end end res\nend ``

То есть, возвращает то, что останется под корнем после извлечения всех множителей-квадратов. Если корень извлечется полностью она вернет 1.

Приведем программу для нахождения, вписанных в половину окружности, ломаных с пятью звеньями (для семи звеньев все аналогично):

`` function listline5(r) # список ломаных из 5 звеньев для радиуса r res = Vector{Vector{Int64}}() a1 = 1 while a1<2r-5 a11 = rem(a1) a2 = a1+1 while a2 < 2 r - 4 a21 = rem(a2) while a11!=a21\&\&a2<2r-4 a2+=1 a21 = rem(a2) end if a11==a21 a3 = a2+1 while a3<2r-3 a31 = rem(a3) while a21!=a31\&\&a3<2*r-3 a3+=1 a31 = rem(a3) end ``

`` if a21==a31 a4 = a3+1 while a4<2r-2 a41 = rem(a4) while a31!=a41&&a4<2r-2 a4+=1 a41 = rem(a4) end if a31==a41 a5 = a4+1 while a5<2r-1 a51 = rem(a5) while a41!=a51&&a5<2r-1 a5+=1 a51 = rem(a5) end if a41==a51 a = [a1,a2,a3,a4,a5] if isline(r,a) push!(res, a) end end a5+=1 end end a4+=1 end end a3+=1 end end a2+=1 end a1+=1 end res end ``

Список, вписанных в половину окружности, ломаных из пяти звениев, для всех r ≤ 1000, полученный при помощи этой программы:

`` (91, [[7, 26, 61, 74, 107]]) (133, [[23, 38, 77, 97, 166]]) (176, [[9, 44, 96, 152, 226]]) (182, [[14, 52, 122, 148, 214]]) (217, [[62, 73, 91, 191, 242]]) (220, [[50, 89, 154, 184, 197]]) (232, [[58, 103, 114, 212, 222]]) (247, [[19, 94, 131, 143, 347]]) (259, [[11, 74, 157, 182, 349]]) (266, [[46, 76, 154, 194, 332]]) (273, [[21, 78, 183, 222, 321]]) (301, [[73, 86, 154, 239, 359]]) (304, [[68, 118, 152, 233, 352]]) (325, [[72, 160, 182, 250, 330]]) (345, [[14, 69, 190, 322, 437]]) (352, [[18, 88, 137, 354, 452], [18, 88, 192, 304, 452], [88, 137, 192, 304, 354]]) (360, [[6, 125, 176, 300, 470], [6, 125, 176, 363, 414]]) (364, [[28, 104, 244, 296, 428]]) (368, [[14, 131, 236, 344, 391], [92, 111, 232, 288, 398]]) (399, [[69, 114, 231, 291, 498]]) (403, [[31, 169, 218, 277, 517]]) (425, [[130, 174, 238, 360, 400]]) (434, [[124, 146, 182, 382, 484]]) (440, [[100, 178, 308, 368, 394]]) (441, [[98, 132, 252, 398, 462]]) (455, [[35, 130, 305, 370, 535]]) (464, [[116, 206, 228, 424, 444]]) (465, [[50, 93, 226, 434, 589]]) (468, [[39, 168, 214, 338, 637]]) (469, [[91, 134, 262, 431, 506]]) (481, [[37, 121, 194, 338, 719]]) (483, [[6, 244, 276, 406, 534]]) (484, [[121, 264, 282, 401, 418]]) (494, [[38, 188, 262, 286, 694]]) ``

`` (511, [[61, 146, 322, 347, 659]]) (518, [[22, 148, 314, 364, 698]]) (528, [[27, 132, 288, 456, 678]]) (532, [[92, 152, 308, 388, 664]]) (536, [[111, 134, 372, 386, 622]]) (544, [[88, 127, 272, 412, 727], [88, 127, 412, 448, 578]]) (546, [[42, 156, 366, 444, 642]]) (553, [[77, 158, 338, 481, 622]]) (559, [[43, 251, 286, 334, 757]]) (560, [[120, 252, 275, 500, 562]]) (561, [[93, 187, 247, 418, 737]]) (567, [[76, 126, 366, 556, 594]]) (585, [[78, 202, 274, 330, 846]]) (589, [[22, 247, 341, 503, 671]]) (592, [[148, 216, 337, 498, 608]]) (595, [[7, 102, 349, 425, 867]]) (602, [[146, 172, 308, 478, 718]]) (608, [[136, 236, 304, 371, 784], [136, 236, 304, 466, 704], [136, 236, 371, 466, 646]]) (616, [[44, 218, 304, 449, 826]]) (627, [[98, 154, 282, 418, 902]]) (637, [[49, 182, 299, 313, 1001], [49, 182, 299, 427, 923], [49, 182, 299, 637, 749], [49, 182, 313, 427, 913], [49, 182, 313, 518, 842], [49, 182, 407, 427, 842], [49, 182, 427, 518, 749], [49, 299, 313, 407, 842], [49, 299, 313, 427, 826], [49, 299, 313, 518, 749], [49, 299, 407, 427, 749], [49, 313, 427, 518, 637], [182, 299, 313, 518, 637], [182, 299, 407, 427, 637], [299, 313, 407, 427, 518]]) (638, [[93, 124, 348, 583, 772]]) (650, [[144, 320, 364, 500, 660]]) (651, [[186, 219, 273, 573, 726]]) (660, [[150, 267, 462, 552, 591]]) (663, [[46, 221, 354, 494, 871]]) (665, [[115, 190, 385, 485, 830]]) (675, [[19, 135, 250, 267, 1185], [19, 135, 250, 630, 954], [19, 250, 267, 509, 954], [19, 250, 267, 630, 855], [135, 250, 267, 525, 855], [135, 250, 267, 630, 762], ``

`` [135, 267, 509, 525, 630]]) (679, [[14, 194, 491, 517, 829]]) (688, [[24, 172, 318, 647, 892]]) (690, [[28, 138, 380, 644, 874]]) (696, [[174, 309, 342, 636, 666]]) (702, [[252, 277, 321, 507, 783]]) (704, [[36, 176, 274, 517, 1056], [36, 176, 274, 708, 904], [36, 176, 384, 608, 904], [36, 176, 517, 608, 792], [36, 274, 384, 517, 904], [36, 274, 517, 608, 708], [176, 274, 384, 517, 792], [176, 274, 384, 608, 708]]) (715, [[70, 325, 406, 682, 695]]) (720, [[12, 250, 352, 600, 940], [12, 250, 352, 726, 828]]) (721, [[206, 259, 286, 674, 767]]) (725, [[170, 240, 406, 666, 728]]) (728, [[56, 208, 488, 592, 856], [84, 169, 304, 466, 1104], [84, 169, 304, 741, 884], [169, 304, 466, 546, 741]]) (736, [[28, 262, 472, 688, 782], [103, 184, 222, 796, 894], [103, 184, 464, 576, 894], [184, 222, 464, 576, 796]]) (741, [[57, 282, 393, 429, 1041]]) (744, [[62, 246, 361, 766, 812]]) (763, [[74, 218, 497, 502, 997]]) (777, [[33, 222, 471, 546, 1047]]) (784, [[182, 237, 412, 588, 952]]) (793, [[61, 142, 263, 611, 1223]]) (795, [[159, 215, 259, 742, 1007]]) (798, [[138, 228, 462, 582, 996]]) (800, [[64, 155, 350, 560, 1208], [64, 155, 350, 820, 1000]]) (805, [[71, 138, 413, 575, 1173]]) (806, [[62, 338, 436, 554, 1034]]) (819, [[63, 234, 549, 666, 963]]) (845, [[232, 246, 416, 650, 1014]]) (848, [[109, 226, 616, 724, 901]]) (850, [[260, 348, 476, 720, 800]]) (856, [[137, 214, 556, 654, 1026]]) (861, [[28, 278, 698, 708, 902]]) (868, [[248, 292, 364, 764, 968]]) (871, [[67, 169, 659, 781, 958]]) (880, [[45, 220, 480, 760, 1130], [200, 356, 385, 437, 1240], ``

`` [200, 356, 385, 616, 1100], [200, 356, 437, 788, 902], [200, 356, 616, 736, 788], [356, 385, 437, 616, 902], [356, 385, 437, 736, 788]]) (882, [[196, 264, 504, 796, 924]]) (884, [[102, 338, 437, 877, 927]]) (885, [[89, 177, 582, 903, 925]]) (891, [[18, 246, 374, 918, 1106], [67, 297, 522, 753, 1053]]) (903, [[116, 354, 434, 516, 1266], [219, 258, 462, 717, 1077]]) (904, [[114, 226, 558, 719, 1108]]) (910, [[70, 260, 610, 740, 1070]]) (912, [[204, 354, 456, 699, 1056]]) (925, [[86, 518, 570, 600, 1040]]) (928, [[232, 412, 456, 848, 888]]) (930, [[100, 186, 452, 868, 1178]]) (931, [[13, 161, 266, 539, 1606], [13, 161, 266, 679, 1526], [13, 161, 266, 931, 1349], [13, 161, 266, 1021, 1274], [13, 161, 539, 679, 1349], [13, 161, 679, 931, 1021], [13, 266, 437, 679, 1349], [13, 266, 539, 679, 1274], [13, 266, 679, 838, 1021], [161, 266, 437, 539, 1349], [161, 266, 437, 931, 1021], [161, 266, 539, 679, 1162], [161, 266, 539, 838, 1021], [161, 437, 539, 679, 1021], [266, 437, 539, 679, 931]]) (935, [[11, 255, 578, 939, 1037], [34, 188, 370, 748, 1394]]) (936, [[48, 333, 503, 598, 1302], [78, 336, 428, 676, 1274], [78, 336, 428, 911, 1072]]) (938, [[182, 268, 524, 862, 1012]]) (946, [[33, 317, 709, 817, 996]]) (949, [[73, 311, 454, 598, 1369]]) (952, [[144, 221, 364, 846, 1264], [144, 221, 364, 969, 1156], [144, 221, 714, 846, 969]]) (962, [[74, 242, 388, 676, 1438]]) (966, [[12, 488, 552, 812, 1068]]) (968, [[87, 242, 528, 802, 1243], [87, 242, 528, 836, 1214], [87, 242, 564, 802, 1214], [242, 528, 564, 802, 836]]) (973, [[154, 278, 577, 863, 1079]]) (975, [[216, 480, 546, 750, 990]]) (976, [[8, 488, 583, 938, 952]]) (984, [[82, 286, 516, 841, 1232]]) ``

`` (988, [[76, 376, 524, 572, 1388]]) (992, [[64, 496, 539, 904, 1016]]) ``

К сожалению, при помощи аналогичной программы, для r ≤ 1000 не нашлось ни одной ломаной из семи звеньев, вписанных в половину окружности. Пришлось поискать дальше, до r ≤ 3000.

`` (1292, [[61, 154, 209, 289, 646, 1064, 1496]]) (1729, [[133, 299, 386, 494, 649, 1261, 2033], [133, 299, 386, 494, 658, 1001, 2242], [133, 299, 386, 494, 658, 1583, 1729], [133, 299, 386, 494, 917, 1001, 2033], [133, 299, 386, 494, 917, 1342, 1729], [133, 299, 386, 494, 1001, 1261, 1729], [133, 299, 386, 494, 1159, 1261, 1583], [133, 299, 386, 494, 1261, 1342, 1406], [133, 299, 386, 658, 917, 1342, 1583], [133, 299, 386, 658, 1001, 1261, 1583], [133, 299, 386, 917, 1001, 1261, 1342], [133, 299, 494, 649, 658, 1001, 2033], [133, 299, 494, 649, 658, 1342, 1729], [133, 299, 494, 649, 1159, 1261, 1342], [133, 299, 494, 658, 1001, 1159, 1583], [133, 299, 494, 658, 1001, 1342, 1406], [133, 299, 494, 917, 1001, 1159, 1342], [133, 299, 649, 658, 1001, 1261, 1342], [133, 386, 494, 649, 658, 917, 2033], [133, 386, 494, 649, 658, 1261, 1729], [133, 386, 494, 658, 917, 1001, 1729], [133, 386, 494, 658, 917, 1159, 1583], [133, 386, 494, 658, 917, 1342, 1406], [133, 386, 494, 658, 1001, 1261, 1406], [133, 386, 494, 917, 1001, 1159, 1261], [133, 386, 649, 658, 917, 1261, 1342], [133, 494, 649, 658, 917, 1159, 1342], [133, 494, 649, 658, 1001, 1159, 1261], [299, 386, 494, 649, 658, 1261, 1583], [299, 386, 494, 649, 917, 1261, 1342], ``

`` [299, 386, 494, 658, 917, 1001, 1583], [299, 494, 649, 658, 917, 1001, 1342], [386, 494, 649, 658, 917, 1001, 1261]]) (2024, [[2, 327, 506, 684, 1104, 1276, 2277], [2, 327, 506, 684, 1104, 1748, 1839], [2, 327, 506, 684, 1276, 1584, 1839], [2, 327, 684, 1006, 1104, 1276, 1839]]) (2584, [[122, 308, 418, 578, 1292, 1447, 3553], [122, 308, 418, 578, 1292, 2128, 2992], [122, 308, 418, 578, 1447, 2228, 2767], [122, 308, 418, 1292, 1447, 2128, 2228], [308, 418, 578, 1003, 1292, 2128, 2228]]) (2816, [[144, 704, 1096, 1257, 1536, 1914, 2068]]) (2821, [[166, 217, 599, 806, 949, 2483, 3317], [166, 217, 599, 806, 1526, 1939, 3317], [166, 217, 599, 806, 1526, 2483, 2821], [166, 217, 599, 1526, 1754, 1939, 2483], [166, 217, 806, 949, 1183, 1526, 3658], [166, 217, 806, 949, 1183, 1939, 3317], [166, 217, 806, 949, 1183, 2483, 2821], [166, 217, 806, 949, 1526, 2161, 2821], [166, 217, 806, 949, 1754, 1939, 2821], [166, 217, 806, 949, 1754, 2294, 2483], [166, 217, 806, 949, 1891, 2161, 2483], [166, 217, 806, 1183, 1526, 1939, 2821], [166, 217, 806, 1183, 1526, 2294, 2483], [166, 217, 806, 1183, 1891, 1939, 2483], [166, 217, 806, 1526, 1754, 1939, 2294], [166, 217, 806, 1526, 1891, 1939, 2161], [166, 217, 949, 1183, 1526, 2161, 2483], [166, 217, 949, 1183, 1754, 1939, 2483], [166, 217, 949, 1526, 1754, 1939, 2161], [166, 599, 806, 949, 1526, 2161, 2483], [166, 599, 806, 949, 1754, 1939, 2483], [166, 599, 806, 1183, 1526, 1939, 2483], [166, 806, 949, 1183, 1526, 1939, 2161], [217, 599, 806, 949, 1183, 1526, 3317], [217, 599, 806, 949, 1526, 1754, 2821], ``

`` [217, 599, 806, 949, 1754, 1891, 2483], [217, 599, 806, 1183, 1526, 1891, 2483], [217, 599, 806, 1526, 1754, 1891, 1939], [217, 599, 949, 1183, 1526, 1754, 2483], [217, 806, 949, 1183, 1526, 1754, 2294], [217, 806, 949, 1183, 1526, 1891, 2161], [217, 806, 949, 1183, 1754, 1891, 1939], [599, 806, 949, 1183, 1526, 1754, 1939]]) ``

Удивительным образом, знаменитое число 1729 (число-такси, число Рамануджана) присутствует в последнем списке. В математике все как-то связано, вот только понять эту связь очень непросто.

4. Примеры многоугольников

Прямоугольные треугольники с гипотенузой на диаметре, легко строить, используя пифагоровы тройки: $a_1^2+a_2^2=4r^2$ .

``` r = 5: [6, 8, 10]

r = 13: [10, 24, 26]

r = 15: [18, 24, 30]

r = 17: [16, 30, 34]

r = 25: [14, 48, 50], [30, 40, 50] ```

Примеры не прямоугольных треугольников, у которых длины всех сторон <2r:

``` r = 65: [78, 120, 126], [104, 112, 120]

r = 85: [102, 150, 168], [136, 150, 154] ```

В этом случае, в записи комплексных чисел $z_1, z_2, z_3$ вообще нет корней (они извлекаются) и произведение $z_1 \cdot z_2 \cdot z_3 = -1$ , благодаря формуле $(a+bi)\cdot (-a+bi) = -(a^2+b^2) = -1$

Четырехугольники, содержащие диаметр в качестве стороны, можно легко создавать на основе ломаных из трех звеньев, вписанных в половину окружности, согласно лемме 2. Каждой такой ломаной соответствует один четырехугольник со стороной 2r. Вот как выглядит начало списка:

`` r = 7: [2, 7, 11, 14] r = 8: [2, 9, 12, 16] r = 13: [1, 13, 22, 26] r = 14: [4, 14, 22, 28] r = 15: [3, 14, 25, 30] r = 16: [4, 18, 24, 32], [8, 17, 22, 32] \kappa = 19: [11, 19, 26, 38] r = 21: [6, 21, 33, 42], [12, 22, 28, 42] r = 22: [12, 19, 33, 44] r = 24: [6, 27, 36, 48]) r = 26: [2, 26, 44, 52] r = 27: [10, 21, 45, 54] r = 28: [8, 28, 44, 56] r = 30: [6, 28, 50, 60] r = 31: [13, 31, 46, 62] r = 32: [8, 36, 48, 64] [16, 34, 44, 64] r = 33: [11, 39, 46, 66], [22, 34, 42, 66] r = 34: [17, 28, 53, 68] r = 35: [6, 25, 63, 70], [10, 35, 55, 70], [14, 38, 50, 70] ``

Существуют ли четырехугольники, у которых длины всех сторон <2r? Да, конечно, вот примеры:

``` r = 32: [8, 36, 57, 62], [16, 34, 56, 61]

r = 40: [28, 41, 67, 76]

r = 44: [11, 66, 74, 81], [24, 38, 74, 87]

r = 45: [35, 42, 75, 86], [35, 57, 75, 79]

r = 50: [28, 60, 80, 96] ```

В каждом из этих примеров во всех числах $z_1, z_2, z_3, z_4$ в действительной части содержится одинаковый корень, однако в конце он исчезает благодаря все тому же тождеству: $(a + bi) \cdot (-a + bi) = -(a^2 + b^2) = -1$ .

Рассмотрим теперь пятиугольники:

`` r = 13: [1, 10, 13, 22, 24] r = 15: [3, 14, 18, 24, 25] r = 26: [2, 20, 26, 44, 48] r = 30: [6, 28, 36, 48, 50] r = 34: [17, 28, 32, 53, 60] r = 35: [6, 25, 42, 56, 63], [10, 35, 42, 55, 56], [14, 38, 42, 50, 56] r = 37: [24, 26, 37, 47, 70] r = 39: [3, 30, 39, 66, 72], [13, 30, 43, 57, 72] r = 40: [10, 45, 48, 60, 64], [28, 41, 48, 50, 64] r = 45: [9, 35, 54, 72, 79], [9, 42, 54, 72, 75], [35, 42, 54, 57, 72] r = 51: [6, 34, 48, 90, 94], [17, 38, 48, 87, 90] ... ``

Они устроены так: ломаная из 3 звеньев, вписанная в половину окружности (произведение трех соответствующих чисел равно i) и два числа без радикалов a + bi и b + ai, дающие в произведении еще одно i.

Например, для первого пятиугольника: [1, 13, 22] ломаная, а остальные два числа равны <sup>24 26</sup> + 10 <sup>26</sup> i и 10 <sup>26</sup> + 24 <sup>26</sup> i.

Шестиугольники можно строить на основе ломаных из пяти звеньев, добавляя к ним диаметр:

`` r = 91: [[7, 26, 61, 74, 107, 182] r = 133: [23, 38, 77, 97, 166, 266] r = 176: [9, 44, 96, 152, 226] r = 182: [14, 52, 122, 148, 214] ... ``

Более общий случай построения шестиугольников - комбинировать по две различные ломаные из трех звеньев для одного и того же радиуса, вписанные в половину окружности.

`` r = 16: [4, 8, 17, 18, 22, 24] r = 21: [6, 12, 21, 22, 28, 33] r = 33: [11, 22, 34, 39, 42, 46] r = 35: [6, 10, 25, 35, 55, 63], [6, 14, 25, 38, 50, 63], ``

`` [10, 14, 35, 38, 50, 55] r = 38: [19, 22, 38, 44, 49, 52] r = 39: [3, 13, 39, 43, 57, 66] r = 40: [10, 28, 41, 45, 50, 60] r = 42: [12, 24, 42, 44, 56, 66] r = 44: [10, 11, 24, 55, 62, 81], [10, 11, 38, 55, 62, 74], [10, 24, 38, 55, 62, 66] r = 46: [23, 29, 36, 43, 68, 69] r = 48: [12, 24, 51, 54, 66, 72] r = 51: [6, 17, 34, 38, 87, 94] r = 52: [4, 6, 39, 52, 88, 94] r = 55: [2, 15, 34, 44, 99, 100], [2, 22, 44, 50, 86, 100], [2, 25, 44, 59, 77, 100], [15, 22, 34, 50, 86, 99], [15, 25, 34, 59, 77, 99], [22, 25, 50, 59, 77, 86] r = 56: [4, 7, 58, 62, 91, 92], [4, 14, 62, 63, 84, 91], [4, 16, 56, 62, 88, 91], [4, 42, 57, 62, 68, 91], [7, 14, 58, 63, 84, 92],[7, 16, 56, 58, 88, 92], [7, 42, 57, 58, 68, 92], [14, 16, 56, 63, 84, 88], [14, 42, 57, 63, 68, 84],[16, 42, 56, 57, 68, 88] r = 57: [14, 33, 38, 57, 78, 102] r = 62: [4, 26, 31, 62, 92, 119] r = 63: [14, 18, 36, 63, 99, 116], [18, 36, 63, 66, 84, 99] r = 64: [7, 16, 32, 72, 96, 122], [16, 32, 68, 72, 88, 96] r = 65: [5, 32, 50, 65, 104, 110], [5, 50, 65, 66, 78, 110] r = 66: [22, 36, 57, 78, 92, 99], [22, 44, 68, 78, 84, 92], [36, 44, 57, 68, 84, 99] r = 68: [11, 26, 51, 56, 114, 119], [26, 34, 51, 56, 106, 114] ... ``

Существуют ли шестиугольники, которые невозможно получить описанными выше способами? Определенно существуют, поскольку мы конструировали только такие, у которых сторона или одна из диагоналей, при определенном порядке сторон, проходит через центр окружности.

Вот пример такого шестиугольника:

`` r = 91: [7, 26, 61, 118, 143, 154] ``

Соответствующие комплексные числа (3) для него равны:

$$z_{1} = \frac{105\sqrt{3}}{182} + i\frac{7}{182}, z_{2} = \frac{104\sqrt{3}}{182} + i\frac{26}{182}, z_{3} = \frac{99\sqrt{3}}{182} + i\frac{61}{182}, z_{4} = \frac{80\sqrt{3}}{182} + i\frac{118}{182},$$ $$z_{5} = \frac{65\sqrt{3}}{182} + i\frac{143}{182}, z_{6} = \frac{56\sqrt{3}}{182} + i\frac{154}{182}$$

Имеем, $$z_1 \cdot z_2 \cdot z_3 = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}, z_4 \cdot z_5 \cdot z_6 = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$$ и $z_1 \cdot z_2 \cdot z_3 \cdot z_4 \cdot z_5 \cdot z_6 = -1$

Можно убедиться, что никакие тройки z в произведении не дадут i, то есть этот шестиугольник невозможно составить из двух трехзвенных ломаных, вписанных в половину окружности.

Восьмиугольники на диаметре строятся на основе, вписанных в полуокружность ломаных, из 7 звеньев.

А также, как две состыкованные, вписанные в полуокружность, ломаные 3-х и 5-ти звеньев.

`` r = 91: [7, 26, 42, 61, 74, 78, 107, 142] r = 133: [14, 23, 38, 77, 97, 114, 166, 234], ``

Десятиугольники. Ломаные 5 + 5 звеньев:

`` r = 368: [14, 92, 111, 131, 232, 236, 288, 344, 391, 398] r = 728: [56, 84, 169, 208, 304, 466, 488, 592, 856, 1104], [56, 84, 169, 208, 304, 488, 592, 741, 856, 884], [56, 169, 208, 304, 466, 488, 546, 592, 741, 856] ... ``

Или ломаные 3 + 7 звеньев:

`` r = 1292: [19, 61, 154, 209, 289, 646, 1064, 1496, 1526, 2074], [61, 76, 154, 209, 289, 646, 1064, 1156, 1496, 2276], [61, 134, 154, 209, 285, 289, 646, 1064, 1496, 2550], [61, 152, 154, 209, 289, 646, 1016, 1064, 1496, 2312], [61, 154, 209, 238, 289, 646, 1064, 1234, 1496, 2147], [61, 154, 209, 266, 289, 527, 646, 1064, 1496, 2462], [61, 154, 209, 289, 296, 646, 1064, 1496, 1596, 1836], [61, 154, 209, 289, 391, 646, 778, 1064, 1496, 2318], [61, 154, 209, 289, 456, 646, 1064, 1224, 1496, 2024], [61, 154, 209, 289, 494, 646, 969, 1064, 1496, 2166], [61, 154, 209, 289, 646, 680, 1064, 1496, 1520, 1616], [61, 154, 209, 289, 646, 748, 1064, 1292, 1496, 1768], [61, 154, 209, 289, 646, 816, 1064, 1368, 1496, 1648], [61, 154, 209, 289, 646, 874, 1064, 1394, 1496, 1576], [61, 154, 209, 289, 646, 984, 1064, 1207, 1496, 1653] ... ``

Двенадцатиугольники можно строить аналогично из ломаных 5-ти и 7 ми звеньев, a четырнадцатиугольники как 7 + 7 звеньев.

Резюме

В результате проведенного исследования в данной работе, мы доказали несколько утверждений, описывающих требуемые условия нахождения целочисленных циклических многоугольников с целым радиусом описанной окружности, привели алгоритмы и программы для компьютера, а также множество примеров найденных многоугольников.

Ссылки

• [1] R. H. Buchholz, J. A. MacDougall. Cyclic polygons with rational sides and area. J. Number Theory 128, 1 (2008), 17–48
• [2] K. R. S. Sastry. Construction of Brahmagupta n-gons. Forum Geom. 5 (2005), 119–126
• [3] Ajai Choudhry, Cyclic pentagons and hexagons with integer sides, diagonals and areas Serdica Math. J. 46 (2020), 307–322