УДК 511.527

Перфильев Михаил Сергеевич, PhD в области математики, Доктор Международной Академии Естествознания, Доктор Российской академии образования и технологий РФ, г. Иркутск E-mail: perfmihserg18011985@mail.ru

Perfileev Michael Sergeevich, PhD in mathematics, Doctor of International Academy of Natural History, Doctor of the Russian Academy of Education and Technology Russia, Irkutsk

Задача Брокара в контексте законов распределения простых чисел

Аннотация

Данная работа относится к области теории чисел и посвящена исследованию одной из нерешенных проблем математики — диофантову уравнению $n!+1 = m^2$, известному как задача Брокара. При помощи закономерностей в распределении простых чисел и теоремы Харди-Рамануджана показано, что это уравнение не имеет иных решений, кроме трех пар чисел, называемых числами Брауна. Также в работе проведен анализ суммы бесконечного ряда $\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n!+1}}$.

Ключевые слова: теорема о распределении простых чисел, интервалы между простыми числами, задача Брокара, числа Брауна, диофантово уравнение, факториал, теорема Харди-Рамануджана

Keywords: prime number theorem, prime gaps, Brocard's problem, Brown numbers, diophantine equation, factorial, Hardy-Ramanujan theorem

Введение

Согласно теореме о распределении простых чисел количество простых чисел $\pi(n)$ на отрезке $[1;n]$ с увеличением n примерно растет как $\dfrac{n}{\ln(n)}$ [1]:

$$\pi(n) \sim \frac{n}{\ln(n)} \text{ при } n \to \infty \text{ (что эквивалентно } \lim_{n\to\infty} \frac{\pi(n)}{n/\ln(n)} = 1 \text{).} \tag{1}$$

Весомый результат в области теории чисел получил Пафнутий Львович Чебышев в 1850 году, доказав, что для достаточно больших значений x справедливо двойное неравенство [2] $0{,}921\dfrac{x}{\ln(x)} < \pi(x) < 1{,}106\dfrac{x}{\ln(x)}$. Достаточно точно распределение простых чисел можно описать при помощи интегрального логарифма $Li(x) = \int_2^x \dfrac{dt}{\ln(t)}$, т. е. количество простых чисел, не превосходящих x, хорошо приближается функцией Li(x) [3]: $\dfrac{\pi(x)}{Li(x)} \to 1$ при $x \to +\infty$ (результат, полученный Чебышевым в 1848 году). Если гипотеза Римана [4] верна, то справедливо утверждение $|Li(x) - \pi(x)| \leqslant c\sqrt{x}\ln(x)$, где с — некоторая константа (Wagon, 1991 [5]). В 2016 году австралийский математик Тимоти Труджиан получил оценку $|\pi(x) - li(x)| \leqslant 0{,}2795 \dfrac{x}{(\ln(x))^{3/4}} \exp\left(-\sqrt{\dfrac{\ln(x)}{6{,}455}}\right)$ для $x \geqslant 229$ [6], где $li(x) = \int_0^x \dfrac{dt}{\ln(t)}$. В работе [7] при помощи третьей теоремы Мертенса [8], [9] получены формулы для оценки количества простых чисел на отрезке $[1;n]$

$$\pi(n) \sim \frac{n}{\ln(n)} \text{ при } n \to \infty; \quad \pi(n) = \int_2^n \frac{dx}{x - x^{1-1/x}}; \quad \pi(n) = \int_2^n \frac{dx}{x^{1+1/x} - x},$$

из которых следует, что среднее значение интервалов между простыми числами имеет порядок

$$p_{n+1} - p_n \approx p_n^{1-1/p_n} - p_n \approx p_n^{1+1/p_n} - p_n \approx \ln(p_n),$$

где $p_n$ — n-ое по счету простое число (речь идет именно о средней длине, фактическая длина интервала может быть больше или меньше), а вероятность того, что наугад выбранное натуральное число из отрезка $[1;n]$ окажется простым, приблизительно равна

$$probability \approx \frac{1}{n - n^{1-1/n}} \approx \frac{1}{n^{1+1/n} - n} \approx \frac{1}{\ln(n)}.$$

Изучение распределения простых чисел чрезвычайно важно для определения промежутков между простыми числами. На сегодняшний день существуют недоказанные и неопровергнутые гипотезы о промежутках между простыми числами (гипотеза Оппермана, гипотеза Крамера, гипотеза Андрицы, гипотеза Брокара, гипотеза Лежандра, гипотеза Фирузбэхт и др.). Помимо общеизвестного постулата Бертрана, согласно которому для любого натурального $n \geqslant 2$ в интервале $(n; 2n)$ найдется простое число p [10], имеются гораздо более точные результаты. Так, в 1952 году японский математик Дзицуро Нагура доказал, что для $n \geqslant 25$ всегда найдется простое число между n и 1,2n [11]; в 1976 году американский математик Лоуэлл Шенфельд показал, что для $n \geqslant 2010760$ имеется простое число в интервале $(n; n(1+1/16597))$ [12]; в 2016 году французский математик Пьер Дюсар показал, что на промежутке

$$\left(x; x\left(1 + \frac{1}{(\ln(x))^3}\right)\right] \text{ при } x \geqslant 89693 \tag{2}$$

существует хотя бы одно простое число [13].

Согласно австралийскому математику Адриану Уильяму Дудеку, в предположении верности гипотезы Римана существует простое число в промежутке $\left(x - \dfrac{4}{\pi}\sqrt{x}\ln(x); x\right]$ для $x \geqslant 2$ [14]. Бейкер, Харман и Пинц доказали, что при больших значениях x на отрезке $[x - x^{0{,}525}; x]$ имеется простое число [15]. Также существуют следующие оценки для функции $\pi(x)$ и n-го простого числа $p_n$: $\dfrac{x}{\ln(x)} < \pi(x) < 1{,}25506\cdot\dfrac{x}{\ln(x)}$, причем левое неравенство выполняется при $x \geqslant 17$, а правое при $x > 1$ [16]; $n(\ln(n)+\ln(\ln(n))-1) < p_n < n(\ln(n)+\ln(\ln(n)))$, причем левое неравенство выполняется при $n \geqslant 2$ [17], а правое при $n \geqslant 6$ [18].

Интегральный логарифм не выражается через элементарные функции: $\displaystyle\int \frac{dx}{\ln(x)} = \ln|\ln(x)| + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\ln(x))^n}{n \cdot n!}$ [19]; кроме того, существует так называемое число Скьюза — наименьшее натуральное число x, такое что начиная с него нарушается неравенство $\pi(x) < Li(x)$ [20], ввиду чего проблемы в изучении распределения простых чисел являются весьма сложными.

Одной из нерешенных на сегодняшний день задач теории чисел является решение диофантова уравнения

$$n! + 1 = m^2, \tag{3}$$

где n! является факториалом натурального числа n [21].

Впервые в истории науки данная задача была поставлена французским математиком Анри Брокаром в 1876 (в честь которого получила свое название), а затем (на тридцать семь лет позднее) индийским математиком Сринивасой Рамануджаном. На сегодняшний день известны только три пары чисел (n;m), являющиеся решениями уравнения (3): (4;5); (5;11); (7;71); они называются числами Брауна. Венгерский математик Пауль Эрдеш предположил, что иных решений не существует [22]. В ходе вычислений для n до $10^9$ (выполнены Berndt и Galway) других решений задачи Брокара не было найдено [23], что является аргументом в пользу отсутствия иных решений, но не доказательством этого факта. Существуют обобщения задачи Брокара. Если abc-гипотеза [24] верна, то уравнение $x! + A = y^2$ имеет конечное число решений для любого числа А (Dabrowski [25]). Также в предположении верности abc-гипотезы уравнение $n! = P(x)$ имеет конечное число решений, где P(x) — многочлен с целыми коэффициентами степени не ниже второй (Luca [26]).

В работе [27] приведены некоторые размышления о задаче Брокара (в том числе при помощи представления $\cos(\pi\sqrt{n!+1})$ как бесконечного произведения получена равносильная постановка задачи Брокара $\dfrac{1}{4n!+3} = \displaystyle\prod_{k=2}^{\infty}\left(1 - \frac{4(n!+1)}{(2k-1)^2}\right)$). За основу этой работы взята задача с Московской математической олимпиады 1941 года, в которой было необходимо доказать, что сумма произведения четырех последовательных натуральных чисел и единицы является полным квадратом [28] (решение этой задачи можно свести к тождеству $(l-1)l(l+1)(l+2)+1 = (l(l+1)-1)^2$, где l — натуральное число). Тогда сумму произведения четырех последовательных натуральных чисел и единицы можно записать как $(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)+1 = m^2$, где k — целое неотрицательное число, т. е. в уравнении (3) n! должен иметь вид $n! = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)$, что равносильно $n! = (k+1)(k+4)(k+2)(k+3) = (k^2+5k+4)(k^2+5k+6)$ и

$$n! = k^4 + 10k^3 + 35k^2 + 50k + 24.$$

Заметим, что множители $k^2+5k+4$ и $k^2+5k+6$ отличаются на 2, а из уравнения (3) следует, что

$$n! = (m-1)(m+1), \tag{4}$$

т. е. n! представлен в виде произведения множителей $m-1$ и $m+1$, которые также отличаются на 2.

При k=0 получим n!=24, откуда n=4; при k=1 получим n!=120, откуда n=5; при k=2; k=3; k=4; k=5 полученные значения не является факториалами натуральных чисел; при k=6 получим n!=5040, откуда n=7. Таким образом, при значениях k=0; k=1; k=6 получили значения n=4; n=5; n=7 соответственно, являющиеся решениями задачи Брокара.

Приведем другие рассуждения касаемо уравнения (3). При $n \geq 10$ его левая часть заканчивается цифрами 01, так как n! заканчивается цифрами 00. Значит $m^2$ также должно заканчиваться на 01, поэтому m должно иметь вид $m = 100k+1$, где k — целое число, $k \geq 1$ (заметим, что m не может иметь вид $m = 100k+9$, т. к. в этом случае $m^2$ будет заканчиваться на 81). Тогда уравнение (3) будет записано в форме $n!+1 = (100k+1)^2$, что равносильно виду

$$n! = 10000k^2 + 200k = 4\cdot 50k(50k+1).$$

Множители 50k и 50k+1 являются последовательными числами, а два последовательных натуральных числа всегда взаимно просты.

Фигурными числами называют числа, связанные с геометрическими образами, причем многие задачи из области теории чисел можно сформулировать в терминах фигурых чисел [29]. Треугольными числами называют числа, которые являются таким количеством точек на плоскости, что их можно расположить в форме правильного треугольника. Последовательность треугольных чисел 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55 … [30] бесконечна, а общая формула n-го по порядку треугольного числа $T_n = \dfrac{1}{2}n(n+1)$, где n=1;2;3… [31]. Записав уравнение $n! = 4\cdot 50k(50k+1)$ в виде $n! = 8\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 50k(50k+1)$, получим формулировку задачи Брокара в терминах треугольных чисел: $n! = 8T_{50k}$.

Цель данной работы — при помощи положений теории чисел доказать, что задача Брокара имеет только три пары решений.

Задача Брокара и распределение простых чисел

Исследуем свойство значений n! при n>10. Разобъем множество натуральных чисел от 1 до n включая на два непересекающихся подмножества A и B, произведения чисел в которых равны $P_A$ и $P_B$ соответственно. Разница между произведениями $P_A$ и $P_B$ будет минимальной в том случае, когда их значения будут как можно ближе к квадратному корню из факториала от n:

$$P_A \approx \sqrt{n!}; \quad P_B \approx \sqrt{n!}, \tag{5}$$

где $P_A \cdot P_B = n!$, что тривиально.

Модуль разности d между произведениями $P_A$ и $P_B$ равен

$$d = |P_A - P_B| = \left|P_A - \frac{n!}{P_A}\right| = \frac{|P_A^2 - n!|}{P_A}. \tag{6}$$

Согласно постулату Бертрана n! будет обязательно содержать уникальное простое число p из диапазона $(n/2; n]$, которое будет входить в разложение факториала на множители в первой степени (что также следует из формулы $n! = \displaystyle\prod_p p^{\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3}\right\rfloor + ...}$, где произведение берется по всем простым числам p, не превосходящим n [32]). А согласно результату (2) количество уникальных простых множителей при больших значениях n будет гораздо больше одного, поэтому n! при больших значениях n будет далек от полного квадрата, в связи с чем модуль разности d между произведениями $P_A$ и $P_B$ при n>10 будет заведомо больше двух:

$$d = \frac{|P_A^2 - n!|}{P_A} > 2, \tag{7}$$

что исключает выполнение равенства (4).

Также в теории чисел предполагается, что между первыми n простыми числами имеется приблизительно $2\cdot\ln(n)$ максимальных интервалов [33], [34]. При больших промежутках между простыми числами невозможно сбалансировать произведения $P_A$ и $P_B$ так, чтобы разница между ними была небольшой.

Проиллюстрируем эти рассуждения для факториалов натуральных чисел от 1 до 24 включая:

1!=1∙1→ d=0; 2!=1∙2→d=1; 3!=2∙3→d=1; 4!=4∙6→d=2; 5!=10∙12→d=2; 6!=24∙30→d=6; 7!=70∙72→d=2; 8!=192∙210→d=18; 9!=576∙630→d=54; 10!=1890∙1920→d=30; 11!=6300∙6336→d=36; 12!=21600∙22176→d=576; 13!=78848∙78975→d=127; 14!=294840∙295680→d=840; 15!=1143072∙1144000→d=928; 16!=4572288∙4576000→d=3712; 17!=18849600∙18869760→d=20160; 18!=79968000∙80061696→d=93696; 19!=348566400∙348986880→d=420480; 20!=1559376000∙1560176640→d=800640; 21!=7147140000∙7148445696→d=1305696; 22!=33522128640∙33530112000→d=7983360; 23!=160758097500∙160813154304→d=55056804; 24!=787652812800∙787718131200→d=65318400.

Согласно численным результатам, $d = |P_A - P_B|$ быстро растет.

Заметим, что малые значения разности d соответствуют факториалам, в состав которых в качестве множителей входят наименьшие простые числа-триплеты (2;3;5) и (3;5;7) [35], причем триплет (3;5;7) является единственной тройкой простых чисел-близнецов [36].

Приведем другие рассуждения. Согласно теореме Харди-Рамануджана [37], среднее значение количества простых делителей числа натурального числа n $\omega(n)$ оценивается как $\ln(\ln(n))$, а среднее отклонение как $\sqrt{\ln(\ln(n))}$:

$$|\omega(n) - \ln(\ln(n))| < (\ln(\ln(n)))^{0{,}5+\varepsilon}, \text{ где } \varepsilon > 0. \tag{8}$$

(обобщением этой теоремы является теорема Эрдеша-Каца, согласно которой предельное распределение величины $\dfrac{\omega(n) - \ln(\ln(n))}{\sqrt{\ln(\ln(n))}}$ является нормальным распределением [38]: при a<b

$$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}\left|\left\{n \leqslant x : a \leqslant \frac{\omega(n) - \ln(\ln(n))}{\sqrt{\ln(\ln(n))}} \leqslant b\right\}\right| = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^b \exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)dt;$$

такое нормальное распределение называют стандартным [39]).

Заметим, что количество различных простых делителей факториала натурального числа n равно количеству простых чисел, которые не превышают n, то есть в соответствии с теоремой о распределении простых чисел приближенно равно

$$\omega(n!) \approx \frac{n}{\ln(n)}. \tag{9}$$

В соответствии с теоремой Харди-Рамануджана количество простых множителей в выражении (m-1)(m+1) приближенно равно

$$\omega(m^2 - 1) \approx \ln(\ln(m^2 - 1)). \tag{10}$$

Сравнивая выражения (9) и (10), получим

$$\frac{n}{\ln(n)} = \ln(\ln(m^2 - 1)), \tag{11}$$

откуда по определению натурального логарифма

$$\ln(m^2 - 1) = \exp(n/\ln(n));$$ $$m^2 - 1 = \exp(\exp(n/\ln(n))). \tag{12}$$

Тогда согласно (4) и (12)

$$n! = \exp(\exp(n/\ln(n))). \tag{13}$$

Для больших значений n это равенство заведомо не может быть достигнуто, так как его правая часть гораздо больше левой, что можно заметить методом подстановки значений n либо анализом стремительно растущей функции

$$f(n) = \exp(\exp(n/\ln(n))) - \sqrt{2\pi n}\cdot(n/e)^n, \tag{14}$$

(которая получена с использованием формулы Муавра-Стирлинга для оценки факториалов больших чисел $n! \approx \sqrt{2\pi n}\cdot(n/e)^n$ [40]). Отсюда также следует, что уравнение $x! + A = y^2$ имеет конечное число решений при фиксированном значении A.

Аналогично можно показать, что только числа 1; 6 и 120 являются одновременно треугольными и факториалами (что равносильно решению диофантова уравнения $8n!+1 = m^2$ в натуральных числах).

В дополнение к работе рассмотрим сумму бесконечного ряда $S = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n!+1}}$.

Согласно признаку сравнения [41] (например, с рядом обратных квадратов $\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^2} = \frac{\pi^2}{6}$ [42]), этот ряд сходится; его сумма равна

$$S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n!+1}} = 2{,}7191500853922395... \approx e + 0{,}0008682569331943...,$$

где e — число Эйлера [43].

Заключение

Таким образом, в данной работе при помощи закономерностей в распределении простых чисел и теоремы Харди-Рамануджана предпринята попытка доказать, что диофантово уравнение $n!+1 = m^2$ (задача Брокара) имеет только три пары решений (4;5); (5;11) и (7;71). Также путем компьютерных вычислений найдена сумма бесконечного ряда $S = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n!+1}}$.

Список литературы

  1. https://mathworld.wolfram.com/PrimeNumberTheorem.html
  2. Бухштаб А.А. Теория чисел. Москва: издательство «ПРОСВЕЩЕНИЕ», 1966, стр. 333-334.
  3. Современные проблемы математики/Математический институт им. В.А.Стеклова РАН (МИАН). Москва: МИАН, 2008. Вып. 11: Конференция «Леонард Эйлер и современная математика» (МИАН, 17 мая 2007 года). Сборник докладов, стр. 27-28.
  4. Перфильев М.С. Некоторые закономерности гипотезы Римана/Математика, ее приложения и математическое образование (МПМО17): Материалы VI Международной конференции. Улан-Удэ: Изд-во ВСГУТУ, 2017, стр. 295-300.
  5. https://mathworld.wolfram.com/RiemannHypothesis.html
  6. Timothy Trudgian (February 2016). "Updating the error term in the prime number theorem"//Ramanujan Journal. 39 (2): 225–234.
  7. Перфильев М.С. Оценка средних интервалов между простыми числами//Евразийский Союз Ученых. Серия: технические и физико-математические науки. №10(125)/2024 Том 1, стр. 3-8.
  8. Г. Диамонд. Элементарные методы в изучении распределения простых чисел//Успехи математических наук, 1990, том 45, выпуск 2, стр. 79-114.
  9. https://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniConstant.html
  10. https://mathworld.wolfram.com/BertrandsPostulate.html
  11. Nagura, J (1952), "On the interval containing at least one prime number", Proceedings of the Japan Academy, Series A, 28 (4): 177–181.
  12. Lowell Schoenfeld (April 1976), "Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ(x) and ψ(x), II", Mathematics of Computation, 30 (134): 337–360.
  13. Dusart, Pierre (2016), "Explicit estimates of some functions over primes", The Ramanujan Journal, 45: 227–251.
  14. Dudek, Adrian W. (21 August 2014), "On the Riemann hypothesis and the difference between primes", International Journal of Number Theory, 11 (3): 771–778.
  15. Baker, R. C.; Harman, G.; Pintz, J. (2001), "The difference between consecutive primes, II", Proceedings of the London Mathematical Society, 83 (3): 532–562.
  16. Rosser, J. Barkley; Schoenfeld, Lowell (1962). "Approximate formulas for some functions of prime numbers". Illinois J. Math. 6: 64–94.
  17. Dusart, Pierre (January 1999). "The kth prime is greater than k(ln k + ln ln k − 1) for k ≥ 2". Mathematics of Computation. 68 (225): 411-415.
  18. Rosser, Barkley (January 1941). "Explicit bounds for some functions of prime numbers". American Journal of Mathematics. 63(1): 211–232.
  19. Г. Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы. Москва: издательство «НАУКА», Главная редакция физико-математической литературы, 1977, стр. 124.
  20. Ю. В. Матиясевич. Алан Тьюринг и теория чисел// Математика в высшем образовании.-2012.-№10.- С. 111-134.
  21. https://mathworld.wolfram.com/BrocardsProblem.html
  22. https://mathworld.wolfram.com/BrownNumbers.html
  23. Bruce C. Berndt, William F. Galway. The Brocard-Ramanujan diophantine equation $n!+1 = m^2$// The Ramanujan Journal.-2000.-Т. 4.-с. 41-42.
  24. https://mathworld.wolfram.com/abcConjecture.html
  25. A. Dabrowski. On the Diophantine Equation $x!+A = y^2$// Nieuw Arch. Wisk.-1996.-Т. 14.- С. 321-324.
  26. Florian Luca. The diophantine equation $P(x) = n!$ and a result of M. Overholt// Glasnik Matematički.-2002.-Т. 37, вып. 57.-С. 269-273.
  27. Perfileev Michael. Consideration on Brocard's problem/Practice Oriented Science: UAE-Russia-India, Materials of International University Scientific Forum, UAE, June 5, 2024, Part 2, pp. 200-204.
  28. https://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=76483
  29. Деза Е. Специальные числа натурального ряда: Учебное пособие. Москва: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011, стр.13-65.
  30. https://oeis.org/A000217
  31. Деза Е., Деза М. Фигурные числа. Москва: издательство МЦНМО, 2016, стр. 12-25.
  32. Нестеренко Ю.В. Теория чисел. Москва: издательский центр «Академия», 2008, стр. 42-43.
  33. Kourbatov, А. On the nth record gap between primes in an arithmetic progression// Int. Math. Forum: journal.-2018.-Vol. 13, no. 2.-P. 65-78.
  34. https://oeis.org/A005250
  35. https://www.wolframalpha.com/input?i=prime+triplet
  36. Алфутова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. Москва: МЦНМО, 2002, C. 28.
  37. https://mathworld.wolfram.com/Hardy-RamanujanTheorem.html
  38. Paul Erdős, Mark Kac. The Gaussian Law of Errors in the Theory of Additive Number Theoretic Functions//American Journal of Mathematics.-1940.-Т. 62, № 1/4.-С. 738-742.
  39. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. Москва: АЙРИС-пресс, 2020, стр. 96-103.
  40. https://planetmath.org/StirlingsApproximation
  41. Гредасова Н.В., Желонкина Н.И., Корешникова М.А., Полищук Е.Г., Андреева И.Ю. Ряды: учебное пособие. Екатеринбург: Издательство Уральского Университета, 2016, стр. 13-15.
  42. Кохась К.П. Сумма обратных квадратов//Математическое просвещение.-2004.-Вып. 8.-С. 142–163.
  43. Steven R. Finch. Mathematical Constants. Cambridge University Press, 2003, pp. 12-15.