Близкодействие и задача двух тел Владимир Браун 11.12.2020, 2026 Закон всемирного тяготения, понимаемый как непосредственное взаимодействие тел, это лишь внешняя сторона явления. Истинная же суть явления состоит в том, что каждое тело взаимодействует с полем тяготения другого тела. Тяготение, как и всякое другое взаимодействие, есть близкодействие. С этой точки зрения известная формула выражающая закон всемирного тяготения, 2 2 1 G r m m F  , есть объединение двух, почти одинаковых, формул: 2 2 1 1 G m r m F  и 1 2 2 2 G m r m F  , где 2 1 G r m и 2 2 G r m – напряжённость поля тяготения, по размерности и величине совпадающая с гравитационным ускорением. Рассмотрим с точки зрения близкодействия задачу двух тел – задачу о движении двух гравитационно-связанных тел. При её решении мы исходим из того, что нам известны закономерности кеплерового движения – закономерности движения тела в центральном поле тяготения, или, по-другому – закономерности движения лёгкого пробного тела в поле тяготения массивного центрального тела [1]. Зная эти закономерности, мы хотим выяснить, как будут двигаться тела с равноправными массами. С точки зрения непосредственного взаимодействия тел задача кажется сложной. Так как массы равноправны, то никакое из тел не может быть центральным. Система отсчёта связанная с любым из тел неинерциальна, и поведение другого тела в ней кажется непредсказуемым. С другой стороны, при отсутствии внешних сил суммарный импульс системы тел, приложенный к центру масс, или центру инерции, сохраняется – центр масс движется по инерции, и невращающаяся система отсчёта связанная с центром масс инерциальна. Естественным образом возникает идея: обобщить кеплерово движение, т.е. движение в поле центрального тела, на движение в системе отсчёта связанной с центром масс. Здесь нам на помощь приходит изложенное выше представление об истинной сути гравитационного взаимодействия тел. На самом деле, каждое из тел ничего не знает о другом теле и просто взаимодействует с полем тяготения в месте своего нахождения. Откуда исходит это поле – тело не знает. Поэтому мы можем считать, что поле исходит из центра масс. Таким образом мы приходим к вопросу: тело какой массы в центре инерции создаст в месте нахождения одного тела поле той же напряжённости что создаёт второе тело? Назовём такое тело в центре инерции равносильным (второму телу). Для каждого из двух тел заменим другое тело равносильным ему телом в центре инерции. Тогда каждое из тел будет двигаться в поле центрального тела, и задача двух тел распадётся на две отдельные задачи о движении тела в центральном поле: 1 m ........................................................... 2 m ↓↓ 1 m .......................... 2 M 1 M .......................... 2 m Центр масс, или центр инерции, двух тел определяется следующим образом:       2 2 1 1 2 1 m r m r r r r , откуда получаем: 2 1 2 1 m m m r r   и 2 1 1 2 m m m r r   . Приравняем теперь силу, с которой равносильная масса 1 M притягивает тело 2 m , к силе притяжения тел: 2 2 1 2 2 2 1 G G r m m r m M  , откуда получаем для 1 M выражение: 2 2 2 1 1 r r m M  . Подставив сюда 2 1 1 2 m m m r r   , получим для 1 M окончательно:   2 2 1 3 1 1 m m m M   . Аналогично для 2 M получаем выражение:   2 2 1 3 2 2 m m m M   . Заметим, что полученные выражения не зависят от расстояния между телами и имеют размерность массы. Равносильное тело в центре инерции действительно возможно. Итак, два гравитационно-связанных тела движутся в системе отсчёта связанной с центром инерции тел таким образом, как будто каждое из тел движется в центральном поле расположенного в центре инерции тела равносильного другому телу. Каждое тело движется по (своему) эллипсу, один из фокусов которого находится в центре инерции. Получив решение задачи в барицентрической системе отсчёта, мы можем теперь вернуться к вопросу о движении тел в относительной системе отсчёта – невращающейся системе отсчёта связанной с одним из тел. Мы имеем для расстояния между телами выражения: 2 2 1 1 m m m r r   и 1 2 1 2 m m m r r   , т.е. расстояние между телами в любой момент времени пропорционально расстоянию любого из тел от центра инерции (центра масс, барицентра). Так как в барицентрической системе отсчёта тела движутся по эллипсам, то из этой пропорциональности расстояний следует, что и в относительной системе отсчёта связанной с одним из тел, другое тело также движется по эллипсу, подобному любому из "барицентрических" эллипсов. Таким образом, имея решение в барицентрической системе отсчёта, мы вместе с тем имеем решение и в относительной системе отсчёта. Однако, воспользовавшись полученными соотношениями, мы можем получить и прямое решение задачи двух тел в относительной системе отсчёта. Заметим, что период обращения тела не зависит от системы отсчёта. Движение тела в разных системах отсчёта это не разные движения, но лишь разные точки зрения на одно и то же движение. Т.е. период обращения в барицентрической и относительной системе отсчёта один и тот же. Воспользуемся этим обстоятельством для получения решения задачи двух тел в относительной системе отсчёта. Напомню, что период обращения тела в центральном поле массы M даётся формулой:   M p a T G 2 3    , где a и p – апоцентр и перицентр эллиптической траектории тела, сумма которых равна большой оси эллипса. В случае задачи двух тел, для периода обращения тела 2 m вокруг тела 1 M в центре инерции, имеем соответственно:   1 3 2 2 G 2 M p a T    . И имеем также соотношения:   2 2 1 3 1 1 m m m M   и 2 1 1 2 m m m r r   , а поскольку a и p – суть максимальное и минимальное значение r , то имеем также и   2 1 1 2 2 m m m p a p a     . Поэтому период обращения двух тел может быть представлен в виде:           2 1 3 2 2 1 3 1 3 2 1 1 1 3 2 2 G 2 G 2 G 2 m m p a m m m m m m p a M p a T                     . Что можно интерпретировать так, что период обращения в относительной системе отсчёта (в которой большая ось траектории равна a + p ) есть период обращения в центральном поле тела массой 2 1 m m  . Таким образом, в относительной системе отсчёта, связанной с одним из тел, второе тело движется так, как будто оно движется в центральном поле тела массой 2 1 m m  . Представление о гравитационном взаимодействии тел как о близкодействии позволяет получить очень простое решение задачи двух тел, как в системе центра масс, так и в относительной системе отсчёта. Ссылка 1. Бутиков Е. И. Закономерности кеплеровых движений. 2006.