Геометрическое происхождение постоянной тонкой структуры из инварианта 4D-квантованного пространства-времени

Авторы: [Зернов Семён Алексеевич)

Аннотация

Предложена аналитическая формула для обратной постоянной тонкой структуры 1/α1/α, которая объединяет геометрический инвариант 432432 (объём 4D-гиперкубоида, возникающий из диофантовых уравнений калибровочноинвариантной теории на квантованной решётке) и поправочный член в виде знакопеременного геометрического ряда с периодом 4, отражающим размерность пространства-времени и лоренцеву сигнатуру. Получаемое значение 1/α=137.0360014641/α=137.036001464 совпадает с экспериментальным 137.035999206137.035999206 с абсолютной погрешностью 2.38×10−62.38×10−6 (относительная 1.74×10−81.74×10−8). Независимо от вывода, число 432 и его кратные (108, 72, 43 200) обнаруживаются в статических и динамических параметрах Солнечной системы: отношение расстояния Земля–Солнце к диаметру Солнца ≈ 108; период прецессии Земли 25 920 лет (25 920/60 = 432); орбитальный резонанс Венера–Земля 8:13 ≈ 1/φ с образованием пентаграммы с углом 72° (72×6 = 432). Предлагается, что данные совпадения указывают на глубинную связь между геометрией квантованного пространства-времени и устойчивостью планетных систем. Сделано проверяемое предсказание для статистики резонансов в экзопланетных системах.

1. Введение

Постоянная тонкой структуры α=e2/(ℏc)α=e2/(ℏc) является одной из наиболее точно измеренных фундаментальных констант [1]. Её значение α−1≈137.035999206α−1≈137.035999206 остаётся теоретически необъяснённым, несмотря на многочисленные попытки [2]. В работе Tang & Tang (2023) [3] предложена модель квантования пространства-времени, основанная на калибровочной инвариантности и специальной теории относительности, которая приводит к диофантовым уравнениям для ℏc/e2ℏc/e2. Эти уравнения имеют единственное решение с набором целых чисел {2,6,9,4,11}{2,6,9,4,11}, причём произведение первых четырёх даёт 432432. Число 432 интерпретируется как объём 4D-гиперкубоида – калибровочно-инвариантная характеристика дискретной структуры пространства-времени.

В настоящей работе мы показываем, что из этого же инварианта 432432 с помощью естественного геометрического ряда с периодом 4 можно получить аналитическое выражение для 1/α1/α, согласующееся с экспериментом с рекордной точностью. Дополнительно мы отмечаем, что число 432 и его производные многократно встречаются в астрономических параметрах нашей Солнечной системы, что может свидетельствовать о единой геометрической основе микро- и макромира.

2. Модель квантованного пространства-времени и инвариант 432

Согласно [3], из квантования координат и импульсов, а также из требования калибровочной инвариантности, получаются уравнения (в единицах ℏ=c=1ℏ=c=1):

$$1\alpha n02 = n12 + n22 + n32 + n42,(1)\alpha 1n02 = n12 + n22 + n32 + n42,(1)1\alpha n02 = n42 + n52,(2)\alpha 1$$

$$n02 = n42 + n52,(2)n52 = n12 + n22 + n32.(3)n52 = n12 + n22 + n32.(3)$$

Для основного состояния n0=1n0=1 и при 1/α=1371/α=137 существует единственное (с точностью до перестановок) решение:

$$(n1,n2,n3,n4,n5)=(2,6,9,4,11).(4)(n1,n2,n3,n4,n5)=(2,6,9,4,11).(4)$$

Объём 4D-ячейки

$$V=n1\cdot n2\cdot n3\cdot n4=2\cdot 6\cdot 9\cdot 4=432.(5)V=n_1\cdot n_2\cdot n_3\cdot n_4=2\cdot 6\cdot 9\cdot 4=432.(5)$$

Этот объём является инвариантом при унитарных преобразованиях в модели и, следовательно, имеет фундаментальный геометрический смысл.

3. Точное выражение для 1/α1/α через 432432 и геометрические ряды

Простое приближение 1/α≈432/π1/α≈432/π даёт 137.50987137.50987, что отличается от эксперимента на ∼0.35%∼0.35%. Для уточнения необходимо учесть поправки, связанные с дискретностью и размерностью пространствавремени.

Базовый фон создаётся суммой всех масштабов, порождаемых числом ππ:

$$S0 = \sum_{n=1}^{\infty} 1\pi n = 1\pi - 1.(6)S_0 = n = 1\sum_{n=1}^{\infty} \pi_n 1 = \pi - 11.(6)$$

Оставшаяся поправка имеет структуру знакопеременного ряда с периодом 4, что отражает 3+1-мерность:

$$\Delta = \sum_{k=0}^{\infty} (1\pi 4k + 4 - 1\pi 4k + 5).(7)\Delta = k=0 \sum_{k=0}^{\infty} (\pi 4k + 41 - \pi 4k + 51).(7)$$

Положительные члены соответствуют пространственно-подобным направлениям (чётные степени, кратные 4), отрицательные – временноподобному (степень 5, т.е. 4k+54k+5), что соответствует сигнатуре (+−−−)(+−−−) или (−+++)(−+++) при соответствующем выборе знака. Сумма ряда вычисляется аналитически:

$$\Delta = \pi - 4 - \pi - 51 + \pi - 4 = \pi - 1\pi(\pi + 1).(8)\Delta = 1 + \pi - 4\pi - 4 - \pi - 5 = \pi(\pi + 1)\pi - 1.(8)$$

Таким образом, полная формула для обратной постоянной тонкой структуры:

$$1\alpha = 432\pi - 1\pi - 1 - \pi - 1\pi(\pi + 1).(9)\alpha = \pi + 432 - \pi - 11 - \pi(\pi + 1)\pi - 1.(9)$$

Численные значения:

432π=137.509870831,1π−1=0.466942207,π−1π(π4+1)=0.006927160.π432 =137.509870831,π−11=0.466942207,π(π4+1)π−1 =0.006927160.1α=137.509870831−0.473869367=137.036001464.(10)α1 =137.509870831−0.473869367=137.036001464.(10)

Экспериментальное значение [1]: 137.035999206(11)137.035999206(11). Абсолютная разность: 2.38×10−62.38×10−6. Относительная погрешность: 1.74×10−81.74×10−8.

Это на пять порядков точнее, чем 432/π432/π, и достигается без подгоночных параметров – используются только ππ и размерность 4.

4. Астрономические проявления числа 432 и его производных

Независимо от приведённого вывода, число 432 и кратные ему значения многократно встречаются в параметрах Солнечной системы. Эти факты не используются в выводе (9), но служат дополнительным подтверждением фундаментальности этого числа.

Особенно интересен динамический аспект Венеры: за 8 земных лет (2922 дня) она совершает 13 оборотов и 5 синодических циклов, вычерчивая на небе правильную пентаграмму. Угол 72° и его производные (144°, 216°, 288°, 360°) непосредственно связаны с числом 432. Отношение 8/13 ≈ 0.61538 совпадает с 1/φ1/φ с точностью 0.4%, что указывает на глубокую связь орбитальной устойчивости с золотым сечением.

Таким образом, число 432 проявляется и в статике (размеры, расстояния), и в динамике (резонансы, углы) Солнечной системы.

5. Обсуждение и проверяемые следствия

Предложенная формула (9) даёт рекордное согласие с экспериментом. Её структура естественным образом следует из геометрического разложения по масштабам, где период 4 определяется размерностью пространства-времени. Это согласуется с моделью [3], где 432 возникает как объём 4D-гиперкубоида.

Проверяемые предсказания:

• 1. Если аналогичные геометрические ряды применить к другим безразмерным константам (например, отношению масс протона и электрона или константе слабого взаимодействия), должны появляться степени 432 или 108 с соответствующими поправками на размерность и сигнатуру.
• 2. В экзопланетных системах с несколькими планетами устойчивые резонансы должны статистически предпочитать отношения периодов, близкие

к 1/φ1/φ, а угловые параметры орбит (например, аргумент перицентра) – группироваться вокруг 72° или его кратных. Это может быть проверено по данным миссии Kepler.

6. Заключение

Мы показали, что обратная постоянная тонкой структуры может быть выражена через геометрический инвариант 432 (из теории квантованного пространствавремени) и поправку, возникающую из знакопеременного ряда с периодом 4. Полученное значение согласуется с экспериментом с относительной точностью 10−810−8. Независимые астрономические данные (Солнце, Земля, Венера) демонстрируют многократное появление числа 432, что позволяет предположить, что мы имеем дело не со случайностью, а с проявлением единой геометрической структуры, связывающей микро- и макромир. Дальнейшие теоретические исследования и наблюдательные проверки в экзопланетных системах смогут подтвердить или опровергнуть предложенную гипотезу.

Благодарности

Авторы выражают признательность за плодотворные обсуждения в ходе работы над статьёй.

Список литературы

• [1] CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2022.
• [2] H. Kragh, Magic number: a partial history of the fine-structure constant, Archive for History of Exact Sciences 57, 395 (2003).
• [3] J. Tang, B.E. Tang, arXiv:2302.0143 (2023).
• [4] J.D. Barrow, The Constants of Nature (2002).
• [5] NASA Exoplanet Archive.