Самое короткое и простое общее решение проблемы простых близнецов В. П. Воеводов Аннотация В работе предлагается новый подход к исследованию структуры множества на- туральных чисел на основе концепции альтернативных числовых множеств, од- ним из которых является множество простых чисел. В итоге получаем самое короткое и простое общее доказательство бесконечности множества простых близнецов произвольной длины и конфигурации. Ключевые слова: простые близнецы, простые кортежи, альтернативные мно- жества, связующий код, короткое доказательство, общее доказательство. Keywords: twin primes, prime tuples, alternative sets, binding code, short proof, general proof. 1 Введение В рамках этой теории множество простых чисел перестаёт быть изолированной ано- малией: оно оказывается лишь частным случаем широкого класса альтернативных множеств, подчиняющихся единым фундаментальным законам плотности. Если наш взгляд прикован к простым числам, то альтернативные множества менее заметны, но также активно проявляют себя в общем мире натуральных чисел. Причём, эти множества включают множество простых чисел как единичную составляющую всего своего массива, образующего единую гармонию натурального ряда. 2 Концепция альтернативных множеств Каждое натуральное число при своем вхождении в числовой ряд однозначно про- ецируется на бесконечную систему вычетов по всем простым модулям. Определение 1. Связующим кодом (СК) натурального числа x называется беско- нечная последовательность его вычетов по модулю всех простых чисел, взятых в порядке их возрастания: CK ( x ) = ( r 1 , r 2 , r 3 , . . . ) , (1) где r i ≡ x (mod p i ) , а p i — i -е простое число ( p 1 = 2 , p 2 = 3 , p 3 = 5 , . . . ). Определение 2. Пересечение двух связующих кодов CK ( A ) = ( a i ) и CK ( B ) = ( b i ) не является пустым тогда и только тогда, когда существует хотя бы один общий индекс i ∈ N , для которого значения координат совпадают: CK ( A ) ∩ CK ( B ) ̸ = ∅ ⇐⇒ ∃ i ∈ N : ( a i = b i ) (2) 1 Простые числа отличаются лишь тем, что их СК не пересекается с СК(0), состо- ящего из одних нулей. Однако такому множеству противостоит бесконечный класс множеств, чьи СК не пересекаются с любым(произвольно выбранным) СК. Определение 3. (СК множества) Связующий код множества A (обозначает- ся как CK ( A ) ) представляет собой множество, состоящее из связующих кодов отдельных элементов этого множества: CK ( A ) = { CK ( x ) | x ∈ A } (3) Определение 4. ( Условие пересечения СК множества и СК числа ). Свя- зующий код множества A пересекается со связующим кодом конкретного числа ω , если в множестве A существует по крайней мере один элемент a i , индивидуальный связующий код которого имеет непустое пересечение с кодом числа ω : CK ( A ) ∩ CK ( ω ) ̸ = ∅ ⇐⇒ ∃ a i ∈ A : ( CK ( a i ) ∩ CK ( ω ) ̸ = ∅ ) (4) Определение 5. ( Альтернативные множества ). Числовые множества на- зываются альтернативными, если их связующие коды определены в общей области СК, они обладают равными асимптотическими плотностями, но их структуры ограничены условиями непересечения с различными связующими кодами чисел (аль- тернативами): Теорема 1. (В. П. Воеводов). Для любого упорядоченного кортежа из n произволь- но выбранных простых чисел(или из чисел конкретного заданного альтернативного множества), удовлетворяющего условию n < P 1 < P 2 < · · · < P n , задаваемый им фиксированный шаблон расстояний повторяется в натуральном ряду бесконечное число раз. Доказательство. Применим метод доказательства от противного. Допустим, что для некоторого фиксированного числа элементов n заданный регулярный кортеж имеет лишь конечное число точных копий (двойников) в натуральном ряду. В силу конечности этого подмножества, число альтернативных кортежей с подобной конфи- гурацией в каждом альтернативном множестве также будет конечным. Это вытекает из равенства плотностей альтернативных множеств и равенства комбинаторных ва- риантов для образования альтернативных кортежей. Тогда существует один самый удалённый кортеж из всех кортежей альтернативных множеств. Рассмотрим дискретный шаг трансляции этого кортежа в сторону увеличения на одну единицу. Этот процесс индуцирует динамическую перестройку всей системы: смещение элементов кортежа влечет за собой синхронный сдвиг его связующего ко- да, что приводит к трансформации СК-альтернативы. Так как объём комбинатор- ного пространства V = const и объём связующего кода кортежа V ( CK ) = const , то V − V ( CK ) = const . Таким образом, при нашей трансформации СК кортежа все- гда остаётся вакантное пространство для трансформированного СК-альтернативы. 2 Получив альтернативу, мы гарантированно получаем другое альтернативное мно- жество, частью которого является наш полученный кортеж. В итоге мы получили кортеж с заданными параметрами за пределами допустимой границы, который при- надлежит одному из альтернативных множеств. Наше предположение о конечности количества кортежей оказалось ложным. Сле- довательно, число кортежей с заданным числом n и с заданной конфигурацией — бесконечное множество. Это утверждение верно для любого альтернативного мно- жества(включая множество простых чисел). 3