Арифметика состояний Введение Предлагаемый материал направлен на устранение когнитивных сложностей при усвоении арифметики положительных и отрицательных чисел и предлагает геометрическую трактовку правил классической ариф - метики. Необходимость его написания вызвана следующими аспектами классической арифметики. Введение единой числовой оси привело к тому, что положительные числа представляются как более важные, чем отри - цательные. Примером этого является то, что визуально нуль и модуль ассоциируются с положительными чис - лами, а также то, что соотношение между модулями чисел и их положением на единой числовой оси диамет - рально противоположно для положительных и отрицательных чисел. Это приводит к тому, что если целью расчёта будут отрицательные числа, все правила сравнения в расчёте придётся инвертировать. Также возникает проблема идентификации нул евой точки на единой числовой оси в условиях строгой транзитивности отношения значений чисел на всей единой оси – точк а находится в середине оси , но она яв - ляется точкой начала и положительной, и отрицательной числовой осей, и отсчёт чисел идёт от нуля . С точки зрения геометрической наглядности это нелогично. Другой проблемой является жёсткая привязка модуля к положительным числам. Например, запись ||-5| – 6| = 1 вырабатывает не понимание того, что модуль числа – это отдельная сущность, одинаковая и для поло - жительных, и для отрицательных чисел, а понимание того, что модуль – просто альтернативная запись поло - жительных чисел с привязкой к положению на положительной числовой оси . Краткость синтаксиса (экономия чернил) в классической арифметике приводит к тому, что символы ча - сто перегружены, что создаёт неявные когнитивные сложности по удержанию контекста. Например, символы сравнения < и > используются как для сравнения чисел на числовой оси, так и для сравнения их модулей. Символ = означает как сравнение на равенство по положению на числовой оси или по модулю, так и присваи - вание. Цель работы – дать численным результатам трактовку, понятную для описания систем с двумя состояни - ями, с однозначным синтаксисом . Решение Для решения данных проблем предлагаются следующие нововведения: 1. Все числа, как положительные, так и отрицательные, записываются с явным знаком + и -. Нуль остаётся беззнаковым, как индикатор того, что это выде ле нная точка, не принадлежащая ни одной числовой ос и , но служащая точкой соединения и перехода между ними . 2. Модуль любого числа записывается в беззнаковом виде. Он определяется расстоянием от нуля до точ - ки, соответствующей данному числу, на определённой числовой оси без знака этой числовой оси. Любое чис - ло является совокупностью модуля и знака, определяющего принадлежность числа определённой числовой оси. Новые символы сравнения: | < | , | > | , | = | , | # | , | <> | используются для сравнени я чисел только по модулю. Вво - дится символ присваивания переменной значения модуля в виде беззнакового модуля, знакового числа или числового результата функции – |:=|. Модулю можно присвоить число, обратное присвоение невозможно. Ис - пользование модулей в арифметических выражениях ограничено символами сравнения и присваивания . Нуль является наименьшим значением модуля. Пример: -6 | > | -4, -6 | > | +4, -6 | > | 4, -4 | = | +4, -4 | = | 4, x |:=| 4, x |:=| -4, x |:=| √ 2 2 . Для присваивания переменной знакового числа, знакового числового результата арифметического выражения или функции, а также эквивалентного значения при замене переменных в процессе алгебраиче - ских преобразований используется символ – :=. Различие между символами сравнения и присваивания заклю - чается в том, что символы сравнения подразумевают логический тип возвращаемого результата – ложь или истина, а символы присваивания ника кого возвращаемого результата не подразумевают. 3. Для обозначения выбора числовой оси в неравенствах с нулём в правой части или обозначения направления приближения к нулю при вычислении односторонних пределов используются обозначения +0 и -0. 4 . В случае многозначных функций выбор результата может осуществляться явным указанием знака, например, + √ x 2 или − √ x 2 . 5 . Единая числовая ось упраздняется, числовые оси равноценны. Геометрическое представление число - вых осей теперь выглядит так, как на рисунке 1. -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +5 +4 +3 +2 +1 0 -1 -2 -3 -4 -5 Первый вариант Второй вариант Рисунок 1. Два варианта г еометрическо го представлени я положительной и отрицательной числовой оси. Оба варианта геометрического представления числовых осей равноценны. Символы >, <, =, #, <> яв - ляются аналогами соответствующих символов сравнения по модулю (|>|, |<|, |=|, |#|, |<>|) применительно к кон - кретным числовым осям, включая нуль . Обозначение > +3 показывает направление, где положительные числа по модулю больше +3, то есть интервал (+3, + ∞ ) – движение от нуля . Обозначение < +3 указывает на числа, которые по модулю меньше +3, в пределах своей (положительной) числовой оси , включая нуль, то есть интер - вал [0, +3) – движение к нулю . Это удобнее смотреть на первом варианте рисунка 1. Аналогично и для отри - цательной числовой оси. Обозначение > -3 показывает направление, где отрицательные числа по модулю больше -3, то есть интервал (-3, -∞) – движение от нуля . Обозначение < -3 указывает на числа, которые по мо - дулю меньше -3, в пределах своей (отрицательной) числовой оси , включая нуль, то есть интервал [0, -3) – движение к нулю . Это удобнее смотреть на втором варианте рисунка 1. 6 . Сравнение чисел на разных числовых осях производится только по модулю. 7 . Запись интервалов использует следующее правило – левый предел по модулю меньше правого. Пра - вильная запись интервалов была показана выше, в случае знакопеременных интервалов правильная запись интервалов, например, следующая – (-2, +3), (+2, -3). Такая запись интервалов имеет геометрический смысл – мы сначала идём по той числовой оси, на которой расстояние от предела до нуля меньше, а потом через нуль переходим на другую числовую ось, где расстояние от нуля до предела больше. При этом сам отрезок движе - ния остаётся последовательным, упорядоченным и направленным . Знаки левого и правого пределов опреде - ляют направление движения и знак шага движения. В случае равенства по модулю левого и правого предела обе записи правильные – (-2, +2), (+3, -3), поэтому к онкретный вид записи может определяться контекстом ре - шаемого неравенства. Это придаёт системе определённую гибкость (например, взятие определённого инте - грала по интервалу) . Пояснение: далее в тексте слова больше, меньше, равно означает сравнение по модулю. Следствия 1. Единые правила сравнения на обеих числовых осях. Устраняется указанная выше проблема с воспри - ятием отношения отрицательных чисел по положению на оси и по модулю. 2. Устраняется необходимость в отдельной операции взятия модуля. В случае использования модуля (со - гласно его определению в классической арифметике) в арифметическом выражении, он заменяется на + √ x 2 . Такой подход прекрасно распространяется на многомерные пространства. 3. Для операции сложения сохраня ю тся переместительное и сочетательное свойства, а также свойство существования противоположного элемента. Для умножения сохраняются переместительное и сочетательное свойства, а также распределительное свойство относительно сложения и вычитания. 4. Поскольку нет единой числовой оси, то транзитивность неравенства чисел сохраняется только в пре - делах одной числовой оси. Она сохраняется для обеих числовых осей только при сравнении по модулю. 5. В случае целочисленного деления и нахождения остатка упраздняется правило – остаток всегда поло - жителен. Теперь +15 DIV +4 = +3, +15 MOD +4 = +3, -15 DIV +4 = -3, -15 MOD +4 = -3. 6. Изложенные выше п равила сравнения позволя ю т лучше объяснить визуальное соотношение чётных функций и их производных на отрицательной числовой оси. Например, для функции y = x 2 производная y = 2x. В точке x = -2 значение производной равно -4, в точке x = -3 значение производной равно -6. В классиче - ской арифметике -4 > -6, но график функции изменяется медленнее, поэтому надо помнить про модули. В из - лагаемой арифметике -6 > -4, поэтому нет визуального рассогласования между графиком функции и графиком её производной. 7 . В случае сложения модуль и знак результата зависят от соотношения слагаемых. Когда складываются числа на одной числовой оси, модуль результат а равен сумме модулей слагаемых и знак результата совпадает со знаками слагаемых. В случае сложения чисел на разных числовых осях модуль результат а равен разности модулей большего и меньшего числа , а знак результата совпадает со знаком большего слагаемого. В случае вычитания чисел одинакового знака модуль результат а равен разности модулей большего и меньшего чисел , а знак результата совпадает со знаком уменьшаемого, если уменьшаемое больше вычитаемого, и лежит на дру - гой числовой оси, если уменьшаемо е меньше вычитаемого. При вычитании чисел на разных числовых осях модуль результат а равен сумме модулей уменьшаемого и вычитаемого, а знак результата совпадает со знаком уменьшаемого . Геометрически это означает, что сложение – это движение по своей числовой оси в сторону бесконечности, а вычитание – движение по своей числовой оси в сторону нуля. При такой геометрической интерпретации сложение чисел разных знаков означает разворот на своей числовой оси из-за знака второго слагаемого и движение в сторону нуля, что эквивалентно направлению вычитания. А налогично вычитание чисел разных знаков т о же означает разворот на своей числовой оси из-за знака вычитаемого и движение в сторону бесконечности, что эквивалентно направлению сложени я . 8 . Правила знака результата при умножении и делении определяются геометрически – переходом на другую числовую ось. Привед ё м пример для целочисленного множителя. При этом умножение служит крат - кой записью сложения, если множитель положительный, или вычитания, если множитель отрицательный. Пусть множимое равно a, множитель равен +3. Тогда выражение b = a * (+3) = 0 + a + a + a. Движение идёт по числовой оси, к которой принадлежит множимое a, поэтому знак результата b совпадает со знаком множимого a. Когда множитель отрицательный, выражение b = a * (-3) = 0 – a – a – a. Движение идёт по другой числовой оси, поэтому знак результата b противоположен знаку множимого a. В случае деления рассуждения аналогичны. Пусть делитель равен +3, тогда выражение b = a / (+3) заме - няется эквивалентным ему выражением a = b * (+3). Из вышеописанных рассуждений следует, что знак b дол - жен быть равен знаку a. Аналогично для отрицательного делителя выражение b = a / (-3) заменяется выраже - нием a = b * (-3). Знак b должен быть обратным знаку a. Аналогичные рассуждения и в случае, когда мы рассматриваем делимое разных знаков. Пусть делимое равно +3, тогда выражение b = (+3) / a заменяется эк - вивалентным ему выражением a * b = +3. Из вышеописанных рассуждений следует, что знак b должен быть равен знаку a. Аналогично для отрицательного делимого выражение b = (-3) / a заменяется выражением a * b = -3. Знак b должен быть обратным знаку a . Эти рассуждения позволяют определить знаки результата, когда множимое и множитель, делимое и де - литель являются рациональными числами. В случае иррациональных чисел их можно представить рацио - нальными числами с бесконечным количеством цифр, но сути рассуждений это не меняет. 9. При вычислении односторонних пределов используются обозначения x → +0 и x → -0. 10. Вычисления алгебраических и трансцендентных функций не меняется, потому что при их вычисле - нии используются модули и знаки (как в ряде Тейлора, используемом для вычисления трансцендентных функ - ций). 11. Вычисление производных, пределов и интегралов не меняется, потому что любой интервал чисел, указанный пределами интегрирования, является последовательным, упорядоченным и непрерывным . Решение неравенств Для корректного решения неравенств необходимо выполнять следующие правила: 1 . При раскрытии модуля знак неравенства сохраняется (символы < и > имеют одинаковое направление на разных числовых осях) . 2 . Умножение левой и правой части на отрицательное число не меняет знак неравенства – это прямое отображение с одной числовой оси на другую числовую ось (символы < и > имеют одинаковое направление на разных числовых осях) . 3 . Если в исходном неравенстве при переносе числа из левой части в правую в результирующем нера - венстве меняется знак числа в правой части, то в результирующем неравенстве меняется знак неравенства. Пояснение: при смене знака числа в правой части м ы переходим на другую числовую ось согласно ри - сунку 1, но при этом не должно измениться направление движения относительно исходной числовой оси. То есть, если на исходной числовой оси был знак >, то направление было в сторону ∞ , поэтому на результирую - щей оси будет знак <, направля ющий в сторону нуля на своей числовой оси и далее в сторону бесконечности на исходной числовой оси. Аналогично, если на исходной числовой оси был знак <, направля ющий в сторону нуля на своей числовой оси и далее в сторону ∞ на другой числовой оси, то на резу льтирующей числовой оси будет знак > направлением в сторону ∞ . 3 .1. Ес ли в исходном неравенстве был знак > и после переноса числа из левой части в правую в ре - зультирующем неравенстве поменялся знак числа в правой части (и, соответственно, знак неравенства соглас - но правилу 3 ) , то в решение включается числовая ось, включая нуль, которая соответствовала знаку числа в правой части исходного неравенства , с помощью объединения интервалов . Это правило вытекает из отсут - ствия единой числовой оси и его следствия – отсутствия глобальной транзитивности сравнения по единой чи - словой оси. 4. Если в результате решения одного неравенства или нескольких неравенств есть интервалы на разных числовых осях ( в том числе при выполн ении правил а 3.1) , то общее решение находится как объединение ин - тервалов, иначе как пересечение интервалов. Продемонстрируем это на примерах. Решим неравенство с модулем: x + (+10) |>| 2. Раскрываем его со - гласно правилу 1 как x + (+10) > +2, x + (+10) > -2. Переносим в обоих неравенствах числовое слагаемое в правую часть и получаем x < - 8 (согласно правилу 3 , поскольку меняется знак правой части, то меняется знак неравенства, и согласно правилу 3.1 в общее решение включается интервал [ 0, + ∞ ), поскольку исходный знак неравенства был > ), x > -12. Раз в решение входят интервалы на разных числовых осях, то согласно правилу 4 результатом будет объединение трёх интервалов (-12, - ∞ ) U (-8, 0] U [ 0, + ∞ ). Объединяя второй и третий ин - тервалы, записываем решение как (-12, - ∞ ) U (-8, + ∞ ). Теперь решим неравенство с другим знаком сравнения по модулю : x + (+10) |<| 2. Раскрываем его со - гласно правилу 1 как x + (+10) < +2, x + (+10) < -2. Переносим числовое слагаемое в обоих неравенства х в правую часть и получаем x > -8, x < -12 (выполняется правило 3, но не выполня е тся правил о 3.1 (исходный знак неравенства был <) ) . Согласно правилу 4 з аписываем результат как пересечение двух интервалов – [0, -12) ∩ (-8, - ∞ ) = (-8, -12). Решим обычную совокупность неравенств -10 > x < +3. Преобразуем его в x < -10, x < +3. Первое нера - венство даёт интервал [0, -10), второе даёт интервал [0, +3). Согласно правилу 4, общее решение является о бъединение м этих интервалов, которое даёт интервал (+3, -10). Продемонстрируем правильность правила 2 . Как уже было указано ранее, неравенство x + (+10) > +2 имеет решением для x объединение интервалов (-8, 0] U (0, + ∞ ). Умножаем обе части неравенства на -1 и по - лучаем (-10) – x > -2. Делаем замену переменной y := -x и получаем y + (-10) > -2. Переносим числовое слага - емое в правую часть и получаем y < +8, что согласно правилу 3.1 включа ет интервал [ 0, - ∞ ), поскольку исход - ный знак неравенства был > . Общее решение для y согласно правилу 4 получается объединением интервалов [0, +8) U [ 0, - ∞ ) = (+8, - ∞ ). Проводя обратную замену переменной x := -y, инвертируем итоговый интервал для y и получаем (-8, + ∞ ) , что доказывает правильность правила 2 (для исходного неравенства решение – интер - вал (-8, + ∞ )) . Теперь продемонстрируем решение неравенств, где правая часть равна нулю. Решим классическое нера - венство x |<| 0. Раскладывая его на два неравенства согласно правилу 1 – x < +0 и x < -0, получаем решение обоих неравенств в виде пустого множества ∅ . Поэтому общее решение в виде объединения неравенств со - гласно правилу 4 даёт пустое множество ∅ . Аналогично классическое неравенство x |>| 0 по правилу 1 рас - кладывается в два неравенства x > +0 и x > -0 и имеет решением согласно правилу 4 объединение интервалов (0, - ∞) U (0, + ∞ ). Также решим обычное неравенство x + (+4) > +4. П еренося числовое слагаемое из левой ча - сти в правую, получаем неравенство x > +0, имеющее решением интервал (0, + ∞ ). Решим более сложное неравенство: (x – (+1)) * (x + (-2)) > + 0. Это неравенство будет иметь возможное решение при двух условиях – оба множителя положительны или оба множителя отрицательны . Решаем неравенство как систему неравенств в предположени и положительности обоих множителей: x – (+1) > +0, x + (-2) > + 0. Первое неравенство системы после переноса числа в правую часть имеет вид x > +1 и его решением является интервал (+1, + ∞ ). Второе неравенство после переноса числа в правую часть имеет вид x > +2 и его решение – интервал (+2, + ∞ ). Поскольку мы решаем систему уравнений, то общее решение будет пересечением интервалов – (+2, + ∞ ). Решаем неравенство как систему неравенств в предположении отрицательности обоих множителей: x – (+1) > - 0, x + (-2) > - 0. Первое неравенство системы после переноса числа в правую часть имеет вид x < +1 со - гласно правилу 3 и согласно правилу 3.1 включает в себя интервал [0, - ∞ ). Его решение – объединение интер - валов [0, +1) U [0, - ∞ ) = (+1, - ∞ ). Второе неравенство после переноса числа в правую часть имеет вид x < +2 согласно правилу 3 и согласно правилу 3.1 включает в себя интервал [0, - ∞ ). Его решение – объединение ин - тервалов [0, +2) U [0, - ∞ ) = (+2, - ∞ ). Пересечение этих интервалов даёт интервал решения (+1, - ∞ ). Поскольку изначальное неравенство мы рассматриваем в двух непересекающихся предположениях, то общим решением будет объединение двух решений. Итоговое решение – (+2, + ∞ ) U (+1, - ∞ ). Преимущества 1. Все правила выведены геометрически. 2. Чёткое разделение модулей и чисел (модуль визуально не ассоциируется с положительными числами). 3. Вы де ле нная точка нуля является центром геометрической интерпретации излагаемой арифметики. Образно говоря – нуль это точка, которая одновременно относится как к числам, так и к модулям. 4 . Разделение символов для сравнения по модулю и по положению на геометрической оси. 5 . В случае многозначных функций указание знака перед формулой позволяет ограничить решения определённой числовой осью. Беззнаковая запись функции указывает на нахождение решений на всех число - вых осях . В классической арифметике для нахождения всех корней, например, квадратного корня, надо ис - пользовать символ ± . 6 . Более понятное решение уравнений и неравенств с модулями – не надо сопоставлять условия нера - венства с условиями раскрытия модуля, как в классической арифметике. Решим уравнение с модулями в классической арифметике и в излагаемой арифметике. Оценку проведём по элементарным шагам. Классическая арифметика: ||x – 6| – 17 | = 10. 1 шаг: |x – 6| – 17 = 10. 2 шаг: -|x – 6| + 17 = 10. 3 шаг: |x – 6| = 2 7. 4 шаг: -|x – 6| = -7 . 5 шаг: x – 6 = 2 7. 6 шаг: 6 – x = 2 7. 7 шаг: -x + 6 = -7. 8 шаг: x – 6 = -7. 9 шаг: x = 33. 10 шаг: x = -21. 11 шаг: x = 13. 12 шаг: x = -1. Осуществляем проверку правильности раскрытия модулей для найденных корней. Подставляем x = 33 в третий шаг: 33 – 6 больше нуля, следовательно, модуль раскрыт правильно (из шага 3 в шаг 5). П одставляем x = -21 в третий шаг и получ ае м -21 – 6 меньше нуля, следовательно, модуль раскрыт правильно (из шага 3 в шаг 6). Подставляем x = 13 в четвёртый шаг и получаем -(13 – 6) меньше нуля, значит, модуль раскрыт пра - вильно (из шага 4 в шаг 7). Подставляем x = -1 в четвёртый шаг и получаем -(-1 – 6) больше нуля, значит, мо - дуль раскрыт правильно (из шага 4 в шаг 8). Проверка показала, что все решения найдены правильно. Излагаемая арифметика: + √ ( + √ ( x − ( + 6 ) ) 2 − ( + 17 ) ) 2 = + 10 . 1 шаг: + √ ( x − ( + 6 ) ) 2 − ( + 17 ) = + 10 . 2 шаг: + √ ( x − ( + 6 ) ) 2 − ( + 17 ) = − 10 . 3 шаг: + √ ( x − ( + 6 ) ) 2 = + 27 . 4 шаг: + √ ( x − ( + 6 ) ) 2 = + 7 . 5 шаг: x – (+ 6 ) = +27 . 6 шаг: x – (+ 6 ) = -27. 7 шаг: x – (+ 6 ) = +7. 8 шаг: x – (+ 6 ) = -7. 9 шаг: x := +33. 10 шаг: x := -21. 11 шаг: x := +13. 1 2 шаг: x := -1. Как видно, в излагаемой арифметике мы получаем результат за такое же число шагов (опускаются не - нужные операции возведения в квадрат и извлечения квадратного корня), что и в классической арифметике. Но более быстрое вычисление в излагаемой арифметике может быть достигнуто за счёт отсутствия проверок условия раскрытия модуля в классической арифметике, которые были опущены в изложенной последователь - ности . Также при сравнении процедуры вычисления в разных видах арифметики видно, что в классической необходимо менять левую часть выражения в зависимости от схемы раскрытия модуля, что создаёт дополни - тельный источник ошибок, тогда как в излагаемой арифметике левая часть не меняется, меняется только знак числа в правой части, что визуально отследить гораздо проще. 7 . Сравнение чисел по модулю придаёт более наглядный физический смысл результатам в тех задачах, где используются два состояния, например, тепло/холод, ускорение/замедление, прибыль/убыток и так далее. При этом холод < -5 градусов подразумевает переход в тепло, а прибыль < +5 рублей подразумевает переход в убыток. 8 . Излагаемая арифметика идеально ложится на прямой код в процессорах, где симметричные диапазо - ны и два нуля +0 и -0. Этот подход уже реализован в IEEE 754. 9. Поскольку сравнение теперь подразумевает сравнение только по модулю, правила сложения и вычита - ния записываются короче, чем в классической арифметике, из-за отсутствия необходимости каждый раз к сло - вам больший и меньший добавлять – по модулю. Послесловие Если подходить к оценке классической арифметики и арифметики состояний с позиций языков програм - мирования, то образно можно сказать, что классическая арифметика – это язык С и , потому что краткий син - таксис, но много неявных соглашений, что усложняет разбор текста , обнаружение ошибок и компиля цию . Арифметика состояний – это язык Паскаль (или Модула-2, или Оберон/ Оберон-07 ), потому что больше сим - волов, типов данных, длиннее запись операций, но зато проще разбор текста , обнаружение ошибок и компиля - ция . Таблица соответствия между классической арифметикой и излагаемой арифметикой Запись в классической арифметике Запись в арифметике состояний Смысл выражения x = 5, x = -5 x := +5, x := -5 Присваивание переменной знаково - го значения |x| = 5 x |=| 5 Сравнение по модулю x > 5, x > -5 x > +5, x > -5 Сравнение на разных числовых осях -5 > -7 -5 < -7 Сравнение на отрицательной число - вой оси, дающее истину |x| < 5 x |<| 5 Модуль x меньше 5 x = -y x := -y Замена переменной x = |-4| x |:=| -4 Присваивание переменной модуля числа (- ∞ , 5), (-3, 2), (-3, -2), (2, 5) (+5, - ∞ ), (+2, -3), (-2, -3), (+2, +5) Правильная запись интервалов |x| + √ x 2 Модуль в классической арифметике и его эквивалент в излагаемой ариф - метике Ошибки, обнаруживаемые синтаксисом излагаемой арифметики 1. В любом арифметическом выражении запись типа x + 5, x – 5, x * 5, x / 5 будет идентифицирована как ошибочная. В классической арифметике записи x – (- 5 ), x – |-5| не являются ошибочными, но дают разные ре - зультаты. 2. Если переменная x декларирована как число, запись с символ ами присвоения для модулей, например, x |:=| -5 будет идентифицирована как ошибочная. В классической арифметике запис ь x = | -5 | не являются оши - бочн ой, но может дать разные результаты, если неверно истолкован контекст – присвоение или сравнение . 3. Если переменная x декларирована как модуль, запись с символами сравнения и присвоения для чисел, например, x > +5, x := -5 будет идентифицирована как ошибочная. В классической арифметике запись |x| = -5 не является ошибочной, она будет переопределена как сравнение, дающее ложь. 4. Запись, где сравниваются числа разных знаков, например, +5 < -3, будет квалифицирована как оши - бочная. В классической арифметике это правильная запись сравнения, дающая ложь. 5. Записи сравнения и присвоения разделены разными символами: x := -5 (присвоение), x = -5 (сравне - ние). В классической арифметике без анализа предыдущего контекста нельзя сказать, означает запись x = -5 сравнение или присвоение.