Аннотация
Рассматривается нормированное функциональное состояние
$$ v\in H_0^1(-a,a),\qquad \|v\|_2=1, $$
нулевым продолжением заданное на всей прямой $\mathbb R$. Для трансляций
$$ (T_hv)(x)=v(x-h) $$
вводится дефект трансляции
$$ D_v(h)=1-\operatorname{Re}\langle T_hv,v\rangle =\frac12\|T_hv-v\|_2^2. $$
Показывается, что этот дефект задаёт естественную метрическую структуру на трансляционной орбите состояния и обладает локальной асимптотикой
$$ D_v(h)=\frac{h^2}{2}\|v'\|_2^2+o(h^2),\qquad h\to0. $$
Следовательно,
$$ \lim_{h\to0}\frac{2D_v(h)}{h^2}=\|v'\|_2^2. $$
Тем самым соболевская энергия состояния является инфинитезимальным коэффициентом метрической стоимости трансляции.
Далее вводится логарифмическая параметризация $h=\log r$. Разность двух логарифмических координат имеет вид
$$ \log m-\log n=\log\frac mn, $$
что приводит к естественной метрике на положительных рациональных числах
$$ d_v(m,n)=\sqrt{2D_v\!\left(\log\frac mn\right)}. $$
Точная инвариантность нетривиального состояния относительно ненулевой трансляции оказывается невозможной. В приближённой постановке естественным становится вопрос о поведении дефекта вдоль арифметически порождённых последовательностей
$$ h_k=\log\frac{p_k}{q_k}\to0. $$
Основной критический масштаб определяется квадратом $h_k$. Полученная конструкция связывает геометрию конечного окна, логарифмическую арифметику и метрическую стоимость трансляционных воздействий.
1 Введение
Результат, идентифицируемый по номеру AX-135945, устанавливает точную геометрическую границу трансляций на конечном интервале
$$ I_a=[-a,a]. $$
Если величина смещения обозначена через $\ell$, то пересечение исходного и сдвинутого интервалов возможно тогда и только тогда, когда
$$ |\ell|\le 2a. $$
Таким образом, величина $2a$, равная диаметру окна, задаёт точную геометрическую границу видимого сдвига.
При логарифмической параметризации
$$ \ell=\log n, \qquad n\ge1, $$
это условие принимает вид
$$ \log n\le2a, $$
или эквивалентно
$$ n\le e^{2a}. $$
Результат AX-135945 является чисто геометрическим и не требует дополнительных аналитических, спектральных или численных предположений. В настоящей работе он принимается как исходный факт.
Нас интересует следующий вопрос: если конечное окно определяет, какой логарифмический сдвиг вообще может быть виден, то какова метрическая стоимость такого сдвига для конкретного функционального состояния?
Для ответа на этот вопрос рассмотрим нормированную функцию
$$ v\in H_0^1(-a,a), \qquad \|v\|_2=1, $$
и после нулевого продолжения будем считать её функцией на всей прямой $\mathbb R$. Для каждого $h\in\mathbb R$ определим трансляцию
$$ (T_hv)(x)=v(x-h). $$
Естественной количественной характеристикой изменения состояния является величина
$$ D_v(h)=1-\operatorname{Re}\langle T_hv,v\rangle. $$
Для нормированного состояния она совпадает с половиной квадрата $L^2$-расстояния:
$$ D_v(h)=\frac12\|T_hv-v\|_2^2. $$
Тем самым геометрическое понятие видимости получает метрическое продолжение.
Основная цель статьи состоит в том, чтобы последовательно выделить три уровня структуры: геометрию конечного окна, метрическую структуру трансляций и арифметику логарифмических отношений.
2 Дефект трансляции на конечном окне
Пусть
$$ a>0, \qquad I_a=[-a,a], $$
и
$$ v\in H_0^1(I_a), \qquad \|v\|_2=1. $$
Рассматриваем нулевое продолжение $v$ как функцию на $\mathbb R$. Её носитель содержится в $[-a,a]$.
Для $h\in\mathbb R$ определим
$$ (T_hv)(x)=v(x-h). $$
Трансляции сохраняют $L^2$-норму:
$$ \|T_hv\|_2=\|v\|_2=1. $$
Определим дефект трансляции
$$ D_v(h)=1-\operatorname{Re}\langle T_hv,v\rangle. $$
Из тождества
$$ \|T_hv-v\|_2^2 = \|T_hv\|_2^2+\|v\|_2^2 -2\operatorname{Re}\langle T_hv,v\rangle $$
следует
$$ D_v(h)=\frac12\|T_hv-v\|_2^2. $$
Поэтому
$$ D_v(h)\ge0, \qquad D_v(0)=0, \qquad D_v(-h)=D_v(h). $$
Предложение 1. Для любого $h\in\mathbb R$
$$ 0\le D_v(h)\le2. $$
Причём
$$ D_v(h)=0 $$
тогда и только тогда, когда
$$ T_hv=v $$
в $L^2(\mathbb R)$.
Доказательство. Неотрицательность следует из равенства
$$ D_v(h)=\frac12\|T_hv-v\|_2^2. $$
Кроме того,
$$ |\langle T_hv,v\rangle| \le \|T_hv\|_2\|v\|_2=1, $$
поэтому $D_v(h)\le2$. Наконец, $D_v(h)=0$ эквивалентно $\|T_hv-v\|_2=0$, то есть $T_hv=v$ почти всюду. ∎
Для полноты отметим также спектральное представление
$$ D_v(h) = \frac1{2\pi} \int_{\mathbb R} |\widehat v(\xi)|^2(1-\cos h\xi)\,d\xi. $$
Оно показывает, что дефект определяется распределением частот состояния, однако в дальнейшем эта форма непосредственно не используется.
3 Локальная метрическая асимптотика
Следующий результат связывает дефект трансляции с дифференциальной структурой состояния.
Теорема 1. Пусть
$$ v\in H_0^1(-a,a), \qquad \|v\|_2=1. $$
Тогда при $h\to0$
$$ D_v(h)=\frac{h^2}{2}\|v'\|_2^2+o(h^2). $$
Эквивалентно,
$$ \lim_{h\to0}\frac{2D_v(h)}{h^2}=\|v'\|_2^2. $$
Доказательство. После нулевого продолжения имеем $v\in H^1(\mathbb R)$. Для группы трансляций справедливо
$$ \frac{T_hv-v}{h}\longrightarrow -v' \qquad\text{в }L^2(\mathbb R) $$
при $h\to0$. Следовательно,
$$ \frac1{h^2}\|T_hv-v\|_2^2 \longrightarrow \|v'\|_2^2. $$
Используя
$$ D_v(h)=\frac12\|T_hv-v\|_2^2, $$
получаем требуемое утверждение. ∎
Таким образом, в окрестности тождества трансляционной группы
$$ \|T_hv-v\|_2 = |h|\,\|v'\|_2+o(|h|), $$
а дефект имеет квадратичный ведущий порядок
$$ D_v(h) = \frac{h^2}{2}\|v'\|_2^2+o(h^2). $$
Следовательно, величина $\|v'\|_2^2$ является инфинитезимальным коэффициентом метрической стоимости трансляции.
4 Метрика на трансляционной орбите
Рассмотрим орбиту состояния
$$ \mathcal O_v=\{T_hv:\ h\in\mathbb R\}. $$
Для параметров $s,t\in\mathbb R$ определим
$$ d_v(s,t)=\|T_sv-T_tv\|_2. $$
Предложение 2. Величина $d_v$ является метрикой на трансляционной орбите $\mathcal O_v$.
Доказательство. Неотрицательность, симметричность и неравенство треугольника следуют из соответствующих свойств нормы в $L^2(\mathbb R)$. Если $d_v(s,t)=0$, то $T_sv=T_tv$, а значит
$$ v=T_{t-s}v. $$
Если $t-s\ne0$, функция $v$ была бы периодической с ненулевым периодом. Ненулевая периодическая функция не принадлежит $L^2(\mathbb R)$. Поскольку $\|v\|_2=1$, получаем противоречие. Следовательно, $s=t$. ∎
Используя унитарность трансляций, получаем
$$ d_v(s,t) = \|v-T_{t-s}v\|_2 = \sqrt{2D_v(t-s)}. $$
В частности,
$$ d_v(0,h)=\sqrt{2D_v(h)}. $$
Неравенство треугольника поэтому принимает вид
$$ \sqrt{2D_v(s+t)} \le \sqrt{2D_v(s)}+\sqrt{2D_v(t)}, $$
или
$$ \sqrt{D_v(s+t)} \le \sqrt{D_v(s)}+\sqrt{D_v(t)}. $$
Таким образом, субаддитивность квадратного корня из дефекта является непосредственным следствием метрической структуры трансляционной орбиты.
5 Логарифмическая параметризация
Введём логарифмическую координату
$$ h=\log r, \qquad r>0. $$
Тогда
$$ \log m-\log n=\log\frac mn. $$
Обозначим через
$$ \mathbb Q_{>0} = \left\{\frac mn:\ m,n\in\mathbb N\right\} $$
множество положительных рациональных чисел. Тогда
$$ \log\mathbb Q_{>0} = \left\{\log\frac mn:\ m,n\in\mathbb N\right\}. $$
Лемма 1. Множество $\log\mathbb Q_{>0}$ плотно в $\mathbb R$.
Доказательство. Множество $\mathbb Q_{>0}$ плотно в $(0,\infty)$. Функция $\log:(0,\infty)\to\mathbb R$ является непрерывным взаимно однозначным отображением с непрерывным обратным отображением $x\mapsto e^x$. Поэтому $\log\mathbb Q_{>0}$ плотно в $\mathbb R$. ∎
Для последующего обсуждения полезен также следующий факт.
Лемма 2. Пусть $p$ и $q$ — различные простые числа. Тогда
$$ \frac{\log p}{\log q}\notin\mathbb Q. $$
Следовательно, группа
$$ \mathbb Z\log p+\mathbb Z\log q $$
плотна в $\mathbb R$.
Доказательство. Если бы $\log p/\log q=r/s$ для некоторых целых $r,s$, $s\ne0$, то
$$ p^s=q^r, $$
что невозможно для различных простых чисел. Последующее утверждение является стандартным следствием несоизмеримости двух порождающих. ∎
Существенно, что в настоящей работе плотность логарифмических рациональных параметров используется не как самостоятельный результат, а как естественная арифметическая среда для трансляционного дефекта.
6 Точная трансляционная ригидность
Сначала рассмотрим точную инвариантность.
Теорема 2. Пусть
$$ v\in L^2(\mathbb R), \qquad v\not\equiv0. $$
Тогда для любого $h\ne0$
$$ D_v(h)>0. $$
Доказательство. Предположим, что $D_v(h)=0$ для некоторого $h\ne0$. Тогда
$$ T_hv=v, $$
то есть $v$ периодична с ненулевым периодом $h$. Ненулевая периодическая функция не может иметь конечную $L^2$-норму на всей прямой, что противоречит $v\in L^2(\mathbb R)$. Следовательно, $D_v(h)>0$. ∎
В частности, для нормированного состояния с носителем в $[-a,a]$ точная инвариантность относительно любого ненулевого логарифмического сдвига невозможна.
7 Приближённая ригидность
Пусть
$$ h_k\to0. $$
Непрерывность трансляций в $L^2$ автоматически даёт
$$ D_v(h_k)\to0. $$
Поэтому само по себе условие $D_v(h_k)\to0$ не содержит ригидности.
Существенным является сравнение дефекта с его естественным квадратичным масштабом.
Предложение 3. Пусть
$$ v\in H_0^1(-a,a), \qquad \|v\|_2=1, $$
и $h_k\to0$. Если
$$ D_v(h_k)=o(h_k^2), $$
то возникает противоречие.
Доказательство. По теореме 3.1
$$ \frac{2D_v(h_k)}{h_k^2}\longrightarrow\|v'\|_2^2. $$
Условие $D_v(h_k)=o(h_k^2)$ означает, что левая часть стремится к нулю. Поэтому
$$ \|v'\|_2=0. $$
Следовательно, $v$ почти всюду постоянна. Так как $v\in H_0^1(-a,a)$, эта постоянная равна нулю, что противоречит $\|v\|_2=1$. ∎
Итак, для любого нетривиального нормированного состояния естественным критическим масштабом является
$$ D_v(h)\asymp h^2. $$
8 Конечное окно и относительные логарифмические сдвиги
Идентификатор AX-135945 фиксирует абсолютную геометрическую границу
$$ |\ell|\le2a. $$
При $\ell=\log p$ условие видимости имеет вид
$$ \log p\le2a. $$
Тем самым конечное окно выделяет множество доступных абсолютных логарифмических координат.
Метрическая конструкция настоящей работы сравнивает не одну координату, а две. Если
$$ \ell_1=\log m, \qquad \ell_2=\log n, $$
то относительный сдвиг равен
$$ \ell_1-\ell_2 = \log m-\log n = \log\frac mn. $$
Поэтому из семейства абсолютных логарифмических координат естественно возникает семейство относительных координат.
Никакого дополнительного преобразования здесь не вводится: речь идёт только о переходе к разностям параметров.
Связь с AX-135945 тем самым имеет простой вид. Геометрический результат фиксирует, какие абсолютные логарифмические сдвиги допустимы внутри конечного окна, а настоящая работа исследует метрическую стоимость сравнения соответствующих состояний.
Таким образом, возникает последовательность
$$ \text{геометрическая видимость} \longrightarrow \text{логарифмические координаты} \longrightarrow \text{относительные логарифмические сдвиги} \longrightarrow \text{метрический дефект}. $$
9 Псевдометрика на положительных рациональных числах
Для
$$ m,n\in\mathbb Q_{>0} $$
определим
$$ d_v(m,n) = \|T_{\log m}v-T_{\log n}v\|_2. $$
Из свойств трансляционной метрики следует
$$ d_v(m,n) = \sqrt{2D_v(\log m-\log n)}. $$
Поскольку
$$ \log m-\log n = \log\frac mn, $$
получаем
$$ d_v(m,n)=\sqrt{2D_v\!\left(\log\frac mn\right)}. $$
Для нетривиального состояния эта псевдометрика является метрикой. Действительно, если $d_v(m,n)=0$, то
$$ T_{\log(m/n)}v=v. $$
При $m\ne n$ сдвиг $\log(m/n)$ ненулевой, что невозможно по теореме 6.1. Поэтому
$$ m=n. $$
Кроме того, для любого $r>0$
$$ d_v(rm,rn)=d_v(m,n), $$
поскольку
$$ \frac{rm}{rn}=\frac mn. $$
Таким образом, индуцированная геометрия зависит только от относительного масштаба двух аргументов.
10 Арифметические малые сдвиги
Рассмотрим последовательность рациональных отношений
$$ r_k=\frac{p_k}{q_k} $$
такую, что
$$ r_k\to1. $$
Тогда
$$ h_k=\log\frac{p_k}{q_k}\to0. $$
Для соответствующих состояний
$$ d_v(p_k,q_k) = \sqrt{2D_v\!\left(\log\frac{p_k}{q_k}\right)}. $$
Из локальной асимптотики следует
$$ D_v\!\left(\log\frac{p_k}{q_k}\right) = \frac12\|v'\|_2^2 \left(\log\frac{p_k}{q_k}\right)^2 + o\!\left( \left(\log\frac{p_k}{q_k}\right)^2 \right). $$
Следовательно,
$$ d_v(p_k,q_k) = \|v'\|_2 \left|\log\frac{p_k}{q_k}\right| + o\!\left( \left|\log\frac{p_k}{q_k}\right| \right). $$
Таким образом, та же величина $\|v'\|_2$, которая управляет локальными трансляциями, определяет и локальную геометрию арифметических параметров.
Возникает естественный вопрос: может ли специальная арифметическая структура приводить к дополнительному подавлению дефекта относительно его универсального квадратичного масштаба?
11 Количественная арифметическая ригидность
Пусть
$$ h_k=\log\frac{p_k}{q_k}\to0. $$
Локальная теория даёт
$$ \frac{D_v(h_k)}{h_k^2} \longrightarrow \frac12\|v'\|_2^2. $$
Поэтому обычное условие
$$ D_v(h_k)\to0 $$
слишком слабо: оно автоматически следует из $h_k\to0$.
Критическим является условие
$$ D_v(h_k)=o(h_k^2), $$
которое уже невозможно для нетривиального нормированного состояния.
Тем самым естественная количественная задача состоит в поиске нижних оценок для
$$ D_v\!\left(\log\frac pq\right) $$
в зависимости от
$$ \left|\log\frac pq\right| $$
и, возможно, дополнительных арифметических характеристик отношения $p/q$.
Настоящая работа не предполагает решения этой количественной задачи. Здесь устанавливается её естественная формулировка и универсальный локальный масштаб.
12 Почему одной плотности недостаточно
Плотность множества
$$ \log\mathbb Q_{>0} $$
в $\mathbb R$ сама по себе не означает существования ригидности. Для любой последовательности
$$ h_k\to0 $$
сильная непрерывность трансляций даёт
$$ D_v(h_k)\to0. $$
Следовательно, плотность позволяет приближать малые вещественные сдвиги арифметическими параметрами, но ничего не говорит о скорости уменьшения дефекта относительно $h_k^2$.
Именно поэтому центральным объектом количественной теории должно быть отношение
$$ \frac{D_v(h_k)}{h_k^2}, $$
а не сам факт
$$ D_v(h_k)\to0. $$
Это разграничение отделяет уже доказанную локальную метрическую теорию от дополнительной арифметической задачи, требующей собственных количественных оценок.
13 Основные выводы
Основные результаты можно свести к следующей цепочке:
$$ D_v(h)=\frac12\|T_hv-v\|_2^2, $$
$$ D_v(h)=\frac{h^2}{2}\|v'\|_2^2+o(h^2), $$
$$ d_v(s,t)=\sqrt{2D_v(t-s)}, $$
$$ d_v(m,n)=\sqrt{2D_v\!\left(\log\frac mn\right)}, $$
и
$$ h\ne0\quad\Longrightarrow\quad D_v(h)>0 \qquad (v\ne0\text{ в }L^2(\mathbb R)). $$
Первая формула определяет дефект трансляции, вторая задаёт его локальный масштаб, третья интерпретирует квадратный корень из дефекта как расстояние на трансляционной орбите, четвёртая переносит эту геометрию на положительные рациональные числа, а последняя выражает точную ригидность ненулевого $L^2$-состояния.
14 Обсуждение
В настоящей работе конечное окно рассматривается не только как область, ограничивающая возможный сдвиг, но и как исходная геометрическая среда для построения метрической структуры на функциональных состояниях.
Основной объект $D_v(h)$ имеет одновременно три интерпретации: как отклонение корреляции, как половина квадрата $L^2$-расстояния и как локальный измеритель соболевской энергии.
Логарифмическая параметризация добавляет к этой геометрии арифметическую структуру. Абсолютные координаты $\log m$ при сравнении двух состояний переходят в относительные координаты $\log(m/n)$.
Поэтому функциональное состояние $v$ индуцирует естественную геометрию на положительных рациональных числах. Плотность логарифмических рациональных параметров при этом не является самостоятельным источником ригидности; существенным становится вопрос о количественной стоимости малых арифметических сдвигов.
Универсальный локальный закон
$$ D_v(h)\sim\frac12\|v'\|_2^2h^2 $$
задаёт точный критический порядок. Любое дополнительное подавление до порядка $o(h^2)$ несовместимо с нетривиальным нормированным состоянием.
15 Заключение
Результат AX-135945 устанавливает точную геометрическую границу видимого сдвига в конечном окне:
$$ |\ell|\le2a, $$
а при
$$ \ell=\log n $$
получается
$$ n\le e^{2a}. $$
Настоящая работа придаёт этой геометрической границе метрическое продолжение. Для нормированного состояния $v\in H_0^1(-a,a)$ вводится дефект трансляции
$$ D_v(h)=\frac12\|T_hv-v\|_2^2, $$
который индуцирует естественную метрику на трансляционной орбите и удовлетворяет локальной асимптотике
$$ D_v(h)=\frac{h^2}{2}\|v'\|_2^2+o(h^2). $$
После логарифмической параметризации возникает арифметическая метрика
$$ d_v(m,n)=\sqrt{2D_v\!\left(\log\frac mn\right)}. $$
Тем самым отношения положительных рациональных чисел получают естественную метризацию через трансляционную геометрию функционального состояния.
Точная инвариантность относительно ненулевого сдвига несовместима с нетривиальным $L^2$-состоянием. В приближённой постановке существенным оказывается сравнение дефекта с квадратичным масштабом сдвига.
Количественный механизм, посредством которого арифметическая структура могла бы принудительно создавать дополнительную приближённую трансляционную инвариантность, остаётся отдельной задачей.
Список литературы
- Alexander P. Emelyanov, «Геометрический результат для конечного логарифмического окна», identifier AX-135945, 2026.