abstract Рассматривается нормированное функциональное состояние \[v\in H_0^1(-a,a),\qquad \|v\|_2=1,\] нулевым продолжением заданное на всей прямой \(\mathbb R\). Для трансляций \[(T_hv)(x)=v(x-h)\] вводится дефект трансляции \[D_v(h)=1-\operatorname{Re}\langle T_hv,v\rangle =\frac12\|T_hv-v\|_2^2.\] Показывается, что этот дефект задаёт естественную метрическую структуру на трансляционной орбите состояния и обладает локальной асимптотикой \[D_v(h)=\frac{h^2}{2}\|v'\|_2^2+o(h^2),\qquad h\to0.\] Следовательно, \[\lim_{h\to0}\frac{2D_v(h)}{h^2}=\|v'\|_2^2.\] Тем самым соболевская энергия состояния является инфинитезимальным коэффициентом метрической стоимости трансляции.

Далее вводится логарифмическая параметризация \(h=\log r\). Разность двух логарифмических координат имеет вид \[\log m-\log n=\log\frac mn,\] что приводит к естественной метрике на положительных рациональных числах \[d_v(m,n)=\sqrt{2D_v\!\left(\log\frac mn\right)}.\] Точная инвариантность нетривиального состояния относительно ненулевой трансляции оказывается невозможной. В приближённой постановке естественным становится вопрос о поведении дефекта вдоль арифметически порождённых последовательностей \[h_k=\log\frac{p_k}{q_k}\to0.\] Основной критический масштаб определяется квадратом \(h_k\). Полученная конструкция связывает геометрию конечного окна, логарифмическую арифметику и метрическую стоимость трансляционных воздействий. abstract

Введение

Результат, идентифицируемый по номеру AX-135945, устанавливает точную геометрическую границу трансляций на конечном интервале \[I_a=[-a,a].\] Если величина смещения обозначена через \(\ell\), то пересечение исходного и сдвинутого интервалов возможно тогда и только тогда, когда \[|\ell|\le 2a.\] Таким образом, величина \(2a\), равная диаметру окна, задаёт точную геометрическую границу видимого сдвига.

При логарифмической параметризации \[\ell=\log n, \qquad n\ge1,\] это условие принимает вид \[\log n\le2a,\] или эквивалентно \[n\le e^{2a}.\] Результат AX-135945 является чисто геометрическим и не требует дополнительных аналитических, спектральных или численных предположений. В настоящей работе он принимается как исходный факт.

Нас интересует следующий вопрос: если конечное окно определяет, какой логарифмический сдвиг вообще может быть виден, то какова метрическая стоимость такого сдвига для конкретного функционального состояния?

Для ответа на этот вопрос рассмотрим нормированную функцию \[v\in H_0^1(-a,a), \qquad \|v\|_2=1,\] и после нулевого продолжения будем считать её функцией на всей прямой \(\mathbb R\). Для каждого \(h\in\mathbb R\) определим трансляцию \[(T_hv)(x)=v(x-h).\] Естественной количественной характеристикой изменения состояния является величина \[D_v(h)=1-\operatorname{Re}\langle T_hv,v\rangle.\] Для нормированного состояния она совпадает с половиной квадрата \(L^2\)-расстояния: \[D_v(h)=\frac12\|T_hv-v\|_2^2.\] Тем самым геометрическое понятие видимости получает метрическое продолжение.

Основная цель статьи состоит в том, чтобы последовательно выделить три уровня структуры: геометрию конечного окна, метрическую структуру трансляций и арифметику логарифмических отношений.

Дефект трансляции на конечном окне

Пусть \[a>0, \qquad I_a=[-a,a],\] и \[v\in H_0^1(I_a), \qquad \|v\|_2=1.\] Рассматриваем нулевое продолжение \(v\) как функцию на \(\mathbb R\). Её носитель содержится в \([-a,a]\).

Для \(h\in\mathbb R\) определим \[(T_hv)(x)=v(x-h).\] Трансляции сохраняют \(L^2\)-норму: \[\|T_hv\|_2=\|v\|_2=1.\]

Определим дефект трансляции \[D_v(h)=1-\operatorname{Re}\langle T_hv,v\rangle.\] Из тождества \[\|T_hv-v\|_2^2 = \|T_hv\|_2^2+\|v\|_2^2 -2\operatorname{Re}\langle T_hv,v\rangle\] следует \[D_v(h)=\frac12\|T_hv-v\|_2^2.\]

Поэтому \[D_v(h)\ge0, \qquad D_v(0)=0, \qquad D_v(-h)=D_v(h).\]

proposition Для любого \(h\in\mathbb R\) \[0\le D_v(h)\le2.\] Причём \[D_v(h)=0\] тогда и только тогда, когда \[T_hv=v\] в \(L^2(\mathbb R)\). proposition

proof Неотрицательность следует из равенства \[D_v(h)=\frac12\|T_hv-v\|_2^2.\] Кроме того, \[|\langle T_hv,v\rangle| \le \|T_hv\|_2\|v\|_2=1,\] поэтому \(D_v(h)\le2\). Наконец, \(D_v(h)=0\) эквивалентно \(\|T_hv-v\|_2=0\), то есть \(T_hv=v\) почти всюду. proof

Для полноты отметим также спектральное представление \[D_v(h) = \frac1{2\pi} \int_{\mathbb R} |\widehat v(\xi)|^2(1-\cos h\xi)\,d\xi.\] Оно показывает, что дефект определяется распределением частот состояния, однако в дальнейшем эта форма непосредственно не используется.

Локальная метрическая асимптотика

Следующий результат связывает дефект трансляции с дифференциальной структурой состояния.

theorem Пусть \[v\in H_0^1(-a,a), \qquad \|v\|_2=1.\] Тогда при \(h\to0\) \[D_v(h)=\frac{h^2}{2}\|v'\|_2^2+o(h^2).\] Эквивалентно, \[\lim_{h\to0}\frac{2D_v(h)}{h^2}=\|v'\|_2^2.\] theorem

proof После нулевого продолжения имеем \(v\in H^1(\mathbb R)\). Для группы трансляций справедливо \[\frac{T_hv-v}{h}\longrightarrow -v' \qquad\text{в }L^2(\mathbb R)\] при \(h\to0\). Следовательно, \[\frac1{h^2}\|T_hv-v\|_2^2 \longrightarrow \|v'\|_2^2.\] Используя \[D_v(h)=\frac12\|T_hv-v\|_2^2,\] получаем требуемое утверждение. proof

Таким образом, в окрестности тождества трансляционной группы \[\|T_hv-v\|_2 = |h|\,\|v'\|_2+o(|h|),\] а дефект имеет квадратичный ведущий порядок \[D_v(h) = \frac{h^2}{2}\|v'\|_2^2+o(h^2).\] Следовательно, величина \(\|v'\|_2^2\) является инфинитезимальным коэффициентом метрической стоимости трансляции.

Метрика на трансляционной орбите

Рассмотрим орбиту состояния \[\mathcal O_v=\{T_hv:\ h\in\mathbb R\}.\] Для параметров \(s,t\in\mathbb R\) определим \[d_v(s,t)=\|T_sv-T_tv\|_2.\]

proposition Величина \(d_v\) является метрикой на трансляционной орбите \(\mathcal O_v\). proposition

proof Неотрицательность, симметричность и неравенство треугольника следуют из соответствующих свойств нормы в \(L^2(\mathbb R)\). Если \(d_v(s,t)=0\), то \(T_sv=T_tv\), а значит \[v=T_{t-s}v.\] Если \(t-s\ne0\), функция \(v\) была бы периодической с ненулевым периодом. Ненулевая периодическая функция не принадлежит \(L^2(\mathbb R)\). Поскольку \(\|v\|_2=1\), получаем противоречие. Следовательно, \(s=t\). proof

Используя унитарность трансляций, получаем \[d_v(s,t) = \|v-T_{t-s}v\|_2 = \sqrt{2D_v(t-s)}.\] В частности, \[d_v(0,h)=\sqrt{2D_v(h)}.\]

Неравенство треугольника поэтому принимает вид \[\sqrt{2D_v(s+t)} \le \sqrt{2D_v(s)}+\sqrt{2D_v(t)},\] или \[\sqrt{D_v(s+t)} \le \sqrt{D_v(s)}+\sqrt{D_v(t)}.\]

Таким образом, субаддитивность квадратного корня из дефекта является непосредственным следствием метрической структуры трансляционной орбиты.

Логарифмическая параметризация

Введём логарифмическую координату \[h=\log r, \qquad r>0.\] Тогда \[\log m-\log n=\log\frac mn.\]

Обозначим через \[\mathbb Q_{>0} = \left\{\frac mn:\ m,n\in\mathbb N\right\}\] множество положительных рациональных чисел. Тогда \[\log\mathbb Q_{>0} = \left\{\log\frac mn:\ m,n\in\mathbb N\right\}.\]

lemma Множество \(\log\mathbb Q_{>0}\) плотно в \(\mathbb R\). lemma

proof Множество \(\mathbb Q_{>0}\) плотно в \((0,\infty)\). Функция \(\log:(0,\infty)\to\mathbb R\) является непрерывным взаимно однозначным отображением с непрерывным обратным отображением \(x\mapsto e^x\). Поэтому \(\log\mathbb Q_{>0}\) плотно в \(\mathbb R\). proof

Для последующего обсуждения полезен также следующий факт.

lemma Пусть \(p\) и \(q\) — различные простые числа. Тогда \[\frac{\log p}{\log q}\notin\mathbb Q.\] Следовательно, группа \[\mathbb Z\log p+\mathbb Z\log q\] плотна в \(\mathbb R\). lemma

proof Если бы \(\log p/\log q=r/s\) для некоторых целых \(r,s\), \(s\ne0\), то \[p^s=q^r,\] что невозможно для различных простых чисел. Последующее утверждение является стандартным следствием несоизмеримости двух порождающих. proof

Существенно, что в настоящей работе плотность логарифмических рациональных параметров используется не как самостоятельный результат, а как естественная арифметическая среда для трансляционного дефекта.

Точная трансляционная ригидность

Сначала рассмотрим точную инвариантность.

theorem Пусть \[v\in L^2(\mathbb R), \qquad v\not\equiv0.\] Тогда для любого \(h\ne0\) \[D_v(h)>0.\] theorem

proof Предположим, что \(D_v(h)=0\) для некоторого \(h\ne0\). Тогда \[T_hv=v,\] то есть \(v\) периодична с ненулевым периодом \(h\). Ненулевая периодическая функция не может иметь конечную \(L^2\)-норму на всей прямой, что противоречит \(v\in L^2(\mathbb R)\). Следовательно, \(D_v(h)>0\). proof

В частности, для нормированного состояния с носителем в \([-a,a]\) точная инвариантность относительно любого ненулевого логарифмического сдвига невозможна.

Приближённая ригидность

Пусть \[h_k\to0.\] Непрерывность трансляций в \(L^2\) автоматически даёт \[D_v(h_k)\to0.\] Поэтому само по себе условие \(D_v(h_k)\to0\) не содержит ригидности.

Существенным является сравнение дефекта с его естественным квадратичным масштабом.

proposition Пусть \[v\in H_0^1(-a,a), \qquad \|v\|_2=1,\] и \(h_k\to0\). Если \[D_v(h_k)=o(h_k^2),\] то возникает противоречие. proposition

proof По теореме 3.1 \[\frac{2D_v(h_k)}{h_k^2}\longrightarrow\|v'\|_2^2.\] Условие \(D_v(h_k)=o(h_k^2)\) означает, что левая часть стремится к нулю. Поэтому \[\|v'\|_2=0.\] Следовательно, \(v\) почти всюду постоянна. Так как \(v\in H_0^1(-a,a)\), эта постоянная равна нулю, что противоречит \(\|v\|_2=1\). proof

Итак, для любого нетривиального нормированного состояния естественным критическим масштабом является \[D_v(h)\asymp h^2.\]

Конечное окно и относительные логарифмические сдвиги

Идентификатор AX-135945 фиксирует абсолютную геометрическую границу \[|\ell|\le2a.\] При \(\ell=\log p\) условие видимости имеет вид \[\log p\le2a.\] Тем самым конечное окно выделяет множество доступных абсолютных логарифмических координат.

Метрическая конструкция настоящей работы сравнивает не одну координату, а две. Если \[\ell_1=\log m, \qquad \ell_2=\log n,\] то относительный сдвиг равен \[\ell_1-\ell_2 = \log m-\log n = \log\frac mn.\]

Поэтому из семейства абсолютных логарифмических координат естественно возникает семейство относительных координат.

Никакого дополнительного преобразования здесь не вводится: речь идёт только о переходе к разностям параметров.

Связь с AX-135945 тем самым имеет простой вид. Геометрический результат фиксирует, какие абсолютные логарифмические сдвиги допустимы внутри конечного окна, а настоящая работа исследует метрическую стоимость сравнения соответствующих состояний.

Таким образом, возникает последовательность \[\text{геометрическая видимость} \longrightarrow \text{логарифмические координаты} \longrightarrow \text{относительные логарифмические сдвиги} \longrightarrow \text{метрический дефект}.\]

Псевдометрика на положительных рациональных числах

Для \[m,n\in\mathbb Q_{>0}\] определим \[d_v(m,n) = \|T_{\log m}v-T_{\log n}v\|_2.\] Из свойств трансляционной метрики следует \[d_v(m,n) = \sqrt{2D_v(\log m-\log n)}.\] Поскольку \[\log m-\log n = \log\frac mn,\] получаем \[d_v(m,n)=\sqrt{2D_v\!\left(\log\frac mn\right)}.\]

Для нетривиального состояния эта псевдометрика является метрикой. Действительно, если \(d_v(m,n)=0\), то \[T_{\log(m/n)}v=v.\] При \(m\ne n\) сдвиг \(\log(m/n)\) ненулевой, что невозможно по теореме 6.1. Поэтому \[m=n.\]

Кроме того, для любого \(r>0\) \[d_v(rm,rn)=d_v(m,n),\] поскольку \[\frac{rm}{rn}=\frac mn.\]

Таким образом, индуцированная геометрия зависит только от относительного масштаба двух аргументов.

Арифметические малые сдвиги

Рассмотрим последовательность рациональных отношений \[r_k=\frac{p_k}{q_k}\] такую, что \[r_k\to1.\] Тогда \[h_k=\log\frac{p_k}{q_k}\to0.\] Для соответствующих состояний \[d_v(p_k,q_k) = \sqrt{2D_v\!\left(\log\frac{p_k}{q_k}\right)}.\]

Из локальной асимптотики следует \[D_v\!\left(\log\frac{p_k}{q_k}\right) = \frac12\|v'\|_2^2 \left(\log\frac{p_k}{q_k}\right)^2 + o\!\left( \left(\log\frac{p_k}{q_k}\right)^2 \right).\] Следовательно, \[d_v(p_k,q_k) = \|v'\|_2 \left|\log\frac{p_k}{q_k}\right| + o\!\left( \left|\log\frac{p_k}{q_k}\right| \right).\]

Таким образом, та же величина \(\|v'\|_2\), которая управляет локальными трансляциями, определяет и локальную геометрию арифметических параметров.

Возникает естественный вопрос: может ли специальная арифметическая структура приводить к дополнительному подавлению дефекта относительно его универсального квадратичного масштаба?

Количественная арифметическая ригидность

Пусть \[h_k=\log\frac{p_k}{q_k}\to0.\] Локальная теория даёт \[\frac{D_v(h_k)}{h_k^2} \longrightarrow \frac12\|v'\|_2^2.\]

Поэтому обычное условие \[D_v(h_k)\to0\] слишком слабо: оно автоматически следует из \(h_k\to0\).

Критическим является условие \[D_v(h_k)=o(h_k^2),\] которое уже невозможно для нетривиального нормированного состояния.

Тем самым естественная количественная задача состоит в поиске нижних оценок для \[D_v\!\left(\log\frac pq\right)\] в зависимости от \[\left|\log\frac pq\right|\] и, возможно, дополнительных арифметических характеристик отношения \(p/q\).

Настоящая работа не предполагает решения этой количественной задачи. Здесь устанавливается её естественная формулировка и универсальный локальный масштаб.

Почему одной плотности недостаточно

Плотность множества \[\log\mathbb Q_{>0}\] в \(\mathbb R\) сама по себе не означает существования ригидности. Для любой последовательности \[h_k\to0\] сильная непрерывность трансляций даёт \[D_v(h_k)\to0.\]

Следовательно, плотность позволяет приближать малые вещественные сдвиги арифметическими параметрами, но ничего не говорит о скорости уменьшения дефекта относительно \(h_k^2\).

Именно поэтому центральным объектом количественной теории должно быть отношение \[\frac{D_v(h_k)}{h_k^2},\] а не сам факт \[D_v(h_k)\to0.\]

Это разграничение отделяет уже доказанную локальную метрическую теорию от дополнительной арифметической задачи, требующей собственных количественных оценок.

Основные выводы

Основные результаты можно свести к следующей цепочке: \[D_v(h)=\frac12\|T_hv-v\|_2^2,\] \[D_v(h)=\frac{h^2}{2}\|v'\|_2^2+o(h^2),\] \[d_v(s,t)=\sqrt{2D_v(t-s)},\] \[d_v(m,n)=\sqrt{2D_v\!\left(\log\frac mn\right)},\] и \[h\ne0\quad\Longrightarrow\quad D_v(h)>0 \qquad (v\ne0\text{ в }L^2(\mathbb R)).\]

Первая формула определяет дефект трансляции, вторая задаёт его локальный масштаб, третья интерпретирует квадратный корень из дефекта как расстояние на трансляционной орбите, четвёртая переносит эту геометрию на положительные рациональные числа, а последняя выражает точную ригидность ненулевого \(L^2\)-состояния.

Обсуждение

В настоящей работе конечное окно рассматривается не только как область, ограничивающая возможный сдвиг, но и как исходная геометрическая среда для построения метрической структуры на функциональных состояниях.

Основной объект \(D_v(h)\) имеет одновременно три интерпретации: как отклонение корреляции, как половина квадрата \(L^2\)-расстояния и как локальный измеритель соболевской энергии.

Логарифмическая параметризация добавляет к этой геометрии арифметическую структуру. Абсолютные координаты \(\log m\) при сравнении двух состояний переходят в относительные координаты \(\log(m/n)\).

Поэтому функциональное состояние \(v\) индуцирует естественную геометрию на положительных рациональных числах. Плотность логарифмических рациональных параметров при этом не является самостоятельным источником ригидности; существенным становится вопрос о количественной стоимости малых арифметических сдвигов.

Универсальный локальный закон \[D_v(h)\sim\frac12\|v'\|_2^2h^2\] задаёт точный критический порядок. Любое дополнительное подавление до порядка \(o(h^2)\) несовместимо с нетривиальным нормированным состоянием.

Заключение

Результат AX-135945 устанавливает точную геометрическую границу видимого сдвига в конечном окне: \[|\ell|\le2a,\] а при \[\ell=\log n\] получается \[n\le e^{2a}.\]

Настоящая работа придаёт этой геометрической границе метрическое продолжение. Для нормированного состояния \(v\in H_0^1(-a,a)\) вводится дефект трансляции \[D_v(h)=\frac12\|T_hv-v\|_2^2,\] который индуцирует естественную метрику на трансляционной орбите и удовлетворяет локальной асимптотике \[D_v(h)=\frac{h^2}{2}\|v'\|_2^2+o(h^2).\]

После логарифмической параметризации возникает арифметическая метрика \[d_v(m,n)=\sqrt{2D_v\!\left(\log\frac mn\right)}.\] Тем самым отношения положительных рациональных чисел получают естественную метризацию через трансляционную геометрию функционального состояния.

Точная инвариантность относительно ненулевого сдвига несовместима с нетривиальным \(L^2\)-состоянием. В приближённой постановке существенным оказывается сравнение дефекта с квадратичным масштабом сдвига.

Количественный механизм, посредством которого арифметическая структура могла бы принудительно создавать дополнительную приближённую трансляционную инвариантность, остаётся отдельной задачей.

thebibliography9 AX135945 Alexander P. Emelyanov, «Геометрический результат для конечного логарифмического окна», identifier AX-135945, 2026. thebibliography