Геометрический метод просеивания простых чисел: логарифмическое решето (LogSieve)

УДК 511 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД ПРОСЕИВАНИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ: ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ РЕШЕТО (LOGSIEVE) А.Ю. Юткин независимый исследователь, г. Самара, Россия A GEOMETRIC SIEVING METHOD FOR PRIMES: LOGARITHMIC SIEVE (LOGSIEVE) A. Yu. Yutkin independent researcher, Samara, Russia Аннотация В работе предложен геометрический метод просеивания простых чисел – логарифмическое решето (LogSieve). Метод использует аддитивное свойство логарифмов на плоскости (u= log x, v= log y): прямая, проходящая через узел (log a, log b) перпендикулярно биссектрисе v = u, пересекает ось абсцисс в точке log(ab), что позволяет исключать нечетные составные числа n = ab маркировкой их логарифмических образов на оси абсцисс. Оптимизация метода на основе канонических узлов обеспечивает его линейную асимптотическую сложность Θ(N) по числу геометрических построений. В рамках идеальной непрерывной геометрии метод полон и корректен; практическая реализация ограничена погрешностью позиционирования узлов ε < 1/(2N). В отличие от вычислительных алгоритмов, LogSieve служит наглядным инструментом визуализации механизма просеивания. Abstract This paper proposes a geometric method for identifying prime numbers — the logarithmic sieve (LogSieve). The method exploits the additive property of logarithms on the plane (u, v), where u= log x, v= log y: a straight line passing through the grid node (log a, log b) perpendicular to the bisector v = u intersects the abscissa axis at the point log(ab), which makes it possible to eliminate odd composite numbers n = ab by marking their logarithmic images on the abscissa axis. Optimization of the method based on canonical nodes yields a linear asymptotic complexity Θ(N) in the number of geometric constructions. Within the framework of ideal continuous geometry, the method is complete and correct; its practical implementation is limited by the node positioning accuracy ε < 1/(2N). Unlike computational algorithms, LogSieve serves as a visual tool for illustrating the sieving mechanism.

Ключевые слова: простые числа, решето простых чисел, геометрический метод, аддитивность логарифмов, логарифмическое решето, LogSieve. Keywords: prime numbers, prime sieve, geometric method, additivity of logarithms, logarithmic sieve, LogSieve. 1. Введение Проблема выявления и систематизации простых чисел традиционно занимает одно из центральных мест в теории чисел и сохраняет свою актуальность как в фундаментальных исследованиях, так и в прикладных областях – в частности, в современной криптографии и вычислительной математике. Традиционные алгоритмы поиска простых чисел (решето Эратосфена, Сундарама, Аткина и др. [1-3]) опираются на алгебраический аппарат, что обеспечивает их высокую вычислительную эффективность при реализации на уровне программного кода. Однако наряду с классическими подходами существуют также и геометрические методы просеивания, основанные на визуальной идентификации простых чисел посредством графических построений – без их прямого вычисления. Наиболее известным из таких методов является визуальное решето Матиясевича– Стечкина [4]. Метод использует параболу x= y2 в декартовой системе координат и основан на том, что прямая, проведенная через точки параболы ( i2, −i), ( j2, j), пересекает X-ось в точке с абсциссой i· j. Таким образом, каждая прямая, проведенная через пару отмеченных точек параболы (i, j= 2, 3, ...), исключает на оси абсцисс ровно одно составное число, а простые числа остаются «невычеркнутыми». В настоящей работе предлагается иной (конструктивно альтернативный) геометрический метод просеивания простых чисел – логарифмическое решето (LogSieve). Метод основан на аддитивном свойстве логарифмов и реализуется в системе координат с логарифмическим масштабом по обеим осям (на логарифмической плоскости). Ключевыми преимуществами LogSieve являются:  линейная асимптотическая сложность Θ(N) по числу геометрических построений;  экспоненциальное сжатие рабочего поля (величины порядка log N против порядка N2);  конструктивная простота. В совокупности это делает метод не только наглядным инструментом визуализации, но и структурно лаконичным способом представления механизма просеивания простых чисел на логарифмической плоскости. 2. Геометрическая основа метода Покажем, что прямая на логарифмической плоскости (u, v), где u= log x и v= log y (масштаб по обеим осям одинаковый), проходящая через точку A(log a, log b) перпендикулярно биссектрисе v= u, пересекает ось абсцисс в точке с абсциссой log(ab) (рис. 1).

Рисунок 1. Геометрическая интерпретация аддитивного свойства логарифмов В координатах (u, v) прямая, перпендикулярная биссектрисе v= u, имеет угловой коэффициент k= −1. Запишем уравнение искомой прямой, проходящей через точку A (log a, log b): v−log b= −(u−log a); v= −u+ log a+ log b. Найдем точку пересечения прямой с осью абсцисс, положив v= 0: 0 = −u+ log a+ log b; u= log a+ log b; u= log(ab). Таким образом, предложенное геометрическое построение, опирающееся на аддитивное свойство логарифмов, дает конструктивный способ для реализации решета простых чисел: составные числа n= ab исключаются на оси абсцисс путем маркировки их логарифмических образов log n= log a+ log b. В итоге на оси абсцисс остаются лишь точки log p, соответствующие простым числам p, так как их логарифмы не представимы в виде суммы логарифмов целых сомножителей, больших единицы. 3. Геометрическая схема просеивания простых чисел Применим доказанное в разделе 2 свойство к множеству нечетных натуральных чисел. Рассмотрим логарифмическую координатную плоскость с осями u и v, на которых это множество задано логарифмами его элементов: {log 3, log 5, log 7, ...}. Рассмотрение только нечетных чисел позволяет вдвое сократить объем геометрических построений. Система линий u= log a и v= log b, порожденная этим множеством, образует координатную сетку с узлами в точках пересечения (log a, log b), где a и b – нечетные натуральные числа, не меньшие трех. В силу симметрии для построения решета простых чисел в рамках данного метода достаточно ограничиться рассмотрением узлов с координатами (log a, log b), где 3 ≤b≤a.

Через узлы сетки для каждого фиксированного значения b проведем серию прямых, перпендикулярных биссектрисе v= u. Каждая из этих прямых задается уравнением: u+ v= log a+ log b= log (ab) и пересекает ось абсцисс (при v= 0) в точке с координатой u= log(ab), маркируя на оси значение, соответствующее нечетному составному числу ab (рис. 2). Поскольку произведение двух нечетных чисел, каждое из которых не меньше трех, является нечетным составным числом, а любое нечетное составное число n допускает представление n= ab, где a и b – нечетные натуральные числа, не меньшие трех, построенное множество точек пересечения совпадает со множеством {log n}, где n принимает значения всех нечетных составных чисел, начиная с девяти. Рисунок 2. Схема просеивания простых чисел на логарифмической плоскости В итоге на оси абсцисс немаркированным останется множество точек {log p}, где p – нечетное простое число. Заметим, что для просеивания простых чисел, не превосходящих заданного N, достаточно ограничиться рассмотрением узлов (log a, log b), где b – простое число. Если b составное, то все числа вида ab уже будут исключены на этапах, соответствующих простым делителям b. Кроме того, из условий 3 ≤b≤a и ab≤N следует b2 ≤N, поэтому достаточно рассматривать значения b≤√N. Таким образом, данная геометрическая конструкция реализует решето, в котором каждая серия прямых маркирует на оси абсцисс точки, соответствующие нечетным составным числам, кратным b, начиная с b2. Это соответствует логике исключения кратных, характерной для решета Эратосфена.

4. Оптимизация процедуры просеивания В геометрической схеме, описанной в разделе 3, различные представления n= ab порождают одну и ту же прямую u+ v= log n, пересекающую ось абсцисс в одной и той же точке. В результате нечетное составное число n, представленное на оси абсцисс значением log n, оказывается исключенным неоднократно. Например, число 45 исключается дважды: при построении серии прямых, соответствующих простому делителю b= 3 (через узел (log 15 , log 3)), и при построении серии прямых для b= 5 (через узел (log 9 , log 5)) (рис. 2). Для устранения избыточности построений достаточно рассмотрения только канонических узлов (log(np) ⁄ , log p), где p – наименьший простой делитель n. С геометрической точки зрения это ограничение означает, что в построении участвуют лишь те узлы, обе координаты которых не были маркированы на предыдущих этапах просеивания. Под этапом будем понимать построение серии прямых, перпендикулярных биссектрисе v= u и проходящих через канонические узлы, соответствующие фиксированному простому числу p (наименьшему простому делителю n). При таком подходе каждое нечетное составное число, представленное на оси абсцисс своим логарифмом, исключается ровно один раз – на этапе просеивания, соответствующем его наименьшему простому делителю. 5. Пример Найдем все нечетные простые числа в диапазоне [3, N] для N= 100. Рассмотрим на логарифмической плоскости только канонические узлы (log a, log b), где a и b – нечетные натуральные числа, удовлетворяющие условиям 3 ≤b≤a, b≤√100 = 10; в соответствии с разделом 4 из рассмотрения исключаются узлы, у которых хотя бы одна координата уже была маркирована на предыдущих этапах просеивания. 1. На первом этапе (b= 3) через канонические узлы (log a, log 3) проведем серию прямых u+ v= log(3a). На оси абсцисс маркируются логарифмические образы нечетных составных чисел, кратных трем: {9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87, 93, 99}. 2. На втором этапе (b= 5) проведем прямые u+ v= log(5a) через узлы (log a, log 5). Значения log 9 и log 15 уже были маркированы на первом этапе просеивания, поэтому узлы (log 9, log 5), (log 15, log 5) исключаются из рассмотрения. Серия прямых исключает составные числа, кратные пяти: {25, 35, 55, 65, 85, 95}. 3. На третьем этапе (b= 7) проведем прямые u+ v= log(7a) через узлы (log a, log 7). Узел (log 9, log 7) исключается из рассмотрения, так как его абсцисса log 9 уже маркирована. Серия прямых исключает: {49, 77, 91}.

Просеивание завершается, так как следующее нечетное число b= 9 является составным (абсцисса log 9 была маркирована на этапе просеивания чисел, кратных трем), а следующее простое число b= 11 больше √100. Таким образом, на оси абсцисс немаркированными остаются значения {log p}, соответствующие нечетным простым числам: {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}. 6. Область применения метода Определим границы применимости предложенного геометрического метода. 6.1. Идеальная непрерывная геометрия как математическая модель В рамках данной работы логарифмическое решето LogSieve рассматривается как строгая математическая модель. Метод реализуется в рамках идеальной непрерывной геометрии, следовательно, в этой парадигме:  логарифмическая плоскость представляет собой непрерывный континуум R2;  геометрические объекты (точки, прямые) не имеют толщины;  на оси абсцисс, представляющей собой континуум R, выделено дискретное подмножество точек, соответствующих логарифмам нечетных натуральных чисел, не меньших трех. Геометрический метод не аппроксимирует арифметику, а представляет собой ее точное отображение на логарифмической плоскости. В данной парадигме дискретность множества нечетных натуральных чисел проявляется как дискретное множество точек пересечения на непрерывной оси абсцисс, в то время как сама логарифмическая плоскость и узлы на ней остаются идеальными объектами непрерывной геометрии. 6.2. Корректность и полнота метода Рассмотрим свойства решета LogSieve с точки зрения корректности и полноты.  Корректность (отсутствие ложных отметок) На логарифмической плоскости рассматриваются только узлы, отвечающие парам нечетных натуральных чисел a, b, 3 ≤b≤a. Произведение нечетных натуральных чисел, каждое из которых не меньше трех, нечетно и составно. Следовательно, ни один узел сетки не может быть спроецирован на ось абсцисс в точку, соответствующую четному или простому числу.  Полнота (отсутствие пропусков) Пусть n= ab – нечетное составное число, где b – наименьший простой делитель n. Тогда a = n/b – нечетное натуральное число, не меньшее b, и узел с координатами (log a, log b) на логарифмической плоскости проецируется на ось абсцисс в точку с координатой log(ab). Таким образом, каждому нечетному составному числу n, отмеченному на оси абсцисс, соответствует геометрический прототип – канонический узел. Поскольку представление n= ab, в котором b – наименьший простой делитель

n, единственно, соответствие «нечетное составное число ↔ канонический узел» взаимно однозначно по построению. 6.3. Практическая реализация метода Для перехода от идеальной модели в область ее практической реализации (ручной чертеж, компьютерная растеризация) необходимо учесть погрешность ε> 0 позиционирования. Идеальная точка с координатами (log a, log b) на логарифмической плоскости отображается точкой (log a+ δa, log b+ δb), где |δa| ≤ε, |δb| ≤ε; здесь δ – величина ошибки смещения логарифмических координат при построении точки. Прямая, перпендикулярная биссектрисе v = u и проходящая через смещенный узел, пересекает ось абсцисс в точке: uint= log a+ δa+ log b+ δb= log(ab) + δa+ δb. Тогда абсолютная погрешность на логарифмической оси составляет ∆= |δa+ δb| ≤2ε. Чтобы исключить пропуск составных чисел или ошибочное отнесение простого числа к составным, погрешность ∆ должна быть меньше половины минимального расстояния между соседними проекциями на оси абсцисс. Консервативная оценка снизу для минимального расстояния dmin достигается на наибольшем просеиваемом числе N: dmin= log(N+ 2) −log N= log(1 + 2 N) ≤2 N. Следовательно, условие надежной идентификации числа на логарифмической оси 2ε< dmin/2 принимает вид: ε< 1 4 log (1 + 2 N). Используя асимптотическое разложение log(1 + x) ≈x при x→0 (то есть для больших N), получаем практическую оценку: ε< 1 2N. Можно показать, что в рамках ручного черчения, исходя из эргономических ограничений (ε≈10−3), метод остается надежным инструментом до N ~5 · 102, что достаточно для образовательных целей и визуализации механизма просеивания простых чисел. Заметим, что практическая реализация решета LogSieve требует наличия только элементарных чертежных инструментов – масштабной линейки и чертежного угольника с углом 45°, что подчеркивает концептуальную простоту метода и обеспечивает наглядность механизма просеивания простых чисел. Компьютерная реализация метода позволяет позиционировать узлы сетки с машинной точностью (double precision): с учетом накопления абсолютной погрешности при вычислении логарифмических координат условие практической реализации метода выполняется до N~1013 −1015. Ограничение на визуальное считывание при фиксированном масштабе устраняется за счет интерактивной визуализации (масштабирование и панорамирование).

Таким образом, идеальная геометрическая модель реализуема и на практике: погрешность позиционирования ε искажает проекции узлов на оси абсцисс, но аддитивное свойство логарифмов в вычислениях координат сохраняется, а условие ε< 1 2N задает требуемую точность построения, убывающую с ростом N. 7. Асимптотическая сложность метода Оценим вычислительную сложность геометрического метода в терминах количества геометрических построений. Пусть N – верхняя граница просеивания. Под элементарной операцией будем понимать построение на уже заданной логарифмической плоскости (u, v) одной прямой, ортогональной биссектрисе v= u, с маркировкой абсциссы точки ее пересечения с осью абсцисс. В базовом исполнении (без учета оптимизации, описанной в разделе 4) геометрический метод является графической интерпретацией классического решета Эратосфена, в которой некоторые нечетные составные числа могут исключаться неоднократно. Его асимптотическая сложность по числу элементарных операций соответствует оценке O(Nlog log N). В оптимизированной схеме каждое нечетное составное число исключается ровно один раз. Следовательно, число элементарных геометрических построений T(N) равно количеству нечетных составных чисел, не превосходящих N по порядку величины: T(N)~ N 2 −π(N). Согласно теореме о распределении простых чисел [5], асимптотика функции π(N) имеет вид: π(N) = N ln N+ O( N ln2 N). Подставляя это выражение в формулу для T(N), получаем: T(N) = N 2 − N ln N+ O( N ln2 N) = Θ(N). Оптимизация процедуры просеивания меняет асимптотику метода: общее количество геометрических операций становится линейно зависимым от верхней границы поиска. С точки зрения асимптотики оптимизированный метод является графической интерпретацией решета с линейным временем работы, где каждое составное число исключается ровно один раз [6]. Принципиальное отличие предложенного подхода состоит в природе операций: в классическом решете (и его модификациях) каждое исключение составного числа требует арифметического вычисления кратного, тогда как в геометрическом решете LogSieve эта процедура осуществляется посредством геометрических построений на логарифмической плоскости. 8. Заключение В настоящей работе предложен новый геометрический метод просеивания простых чисел, опирающийся на аддитивное свойство логарифмов, – логарифмическое решето LogSieve.

Новизна предлагаемого подхода заключается в следующем:  Геометризация арифметики. Метод представляет мультипликативные соотношения как результат построения линейных объектов (прямых и точек) на логарифмической плоскости, позволяя просеивание простых чисел осуществить посредством замены арифметических вычислений геометрическими построениями.  Конструктивная простота и наглядность. Практическая реализация LogSieve (с учетом ограничения ε < 1 2N) требует лишь элементарных чертежных инструментов, что подчеркивает его концептуальную простоту и обеспечивает наглядность механизма просеивания простых чисел.  Согласованность с классическими результатами. Структура решета LogSieve сохраняет логику исключения кратных, характерную для классического решета Эратосфена (и его оптимизированной версии с линейным временем работы), но представляет ее в новой геометрической форме. Следует отметить, что LogSieve не конкурирует с современными вычислительными реализациями решет простых чисел в производительности – его ценность в другом: метод дает конструктивно простую и наглядную демонстрацию самого механизма просеивания простых чисел, что делает его эффективным инструментом для образовательных целей, визуализации и концептуального понимания. Список литературы 1. Horsley S. Κόσκινον Ερατοσθένους, or, The Sieve of Eratosthenes. Being an Account of His Method of Finding All the Prime Numbers // Philosophical Transactions of the Royal Society (1683–1775). — 1772. — Vol. 62. — P. 327–347. 2. Ramaswami Aiyar V. Sundaram's Sieve for Prime Numbers // The Mathematics Student. — 1934. — Vol. 2, No 2. — P. 73. 3. Atkin A. O. L., Bernstein D. J. Prime Sieves Using Binary Quadratic Forms // Mathematics of Computation. — 2004. — Vol. 73, No 246. — P. 1023–1030. 4. Matiyasevich Yu., Stechkin B. A Visual Sieve for Prime Numbers [Электронный ресурс] // Personal Journal of Yuri Matiyasevich: сайт. — 1999. — URL: logic.pdmi.ras.ru (дата обращения: 05.11.2026). 5. Hardy G. H., Wright E. M. An Introduction to the Theory of Numbers. — 6th ed. — Oxford: Oxford University Press, 2008. — Ch. XXII. (Теорема о распределении простых чисел.) 6. Gries D., Misra J. A Linear Sieve Algorithm for Finding Prime Numbers // Communications of the ACM. — 1978. — Vol. 21, No 10. — P. 809–811.