Об уравнении a^(b+c) = c^(ab) над мнимыми квадратичными полями

Препринт · теория чисел Версия 1. 3 Об уравнении a b+c = c ab над мнимыми квадратичными полями Сведение с корнями из единицы, p-адическая лемма, норменная оценка гладкой части и явная граница применимости Автор: Петров И. Б. Независимое исследование · нерецензируемое издание 06.11.2026 · DOI: 10.5281/zenodo.24017115 Персональный идентификатор: 6666d51b0d40d182398fadfc6c3d70e7f4cc957b94409a33d64dc9e5dd0b0087 Аннотация Рассматривается уравнение ab+c = cab в алгебраических целых a, c мнимого квадратичного поля K = (√−d) и натуральном b > 1 ℚ при a ≠ с и b ≠ с. Доказано, что решений нет для K = , (i) и ℚ ℚ (√−3) (Теоремы B, C, D). Для произвольного мнимого квадратичного поля отсутствие решений ℚ установлено при явном условии (У) на норму знаменателя (Теорема A); условие (У) выполнено для указанных трёх полей и сводится к конечному перебору для каждого фиксированного K. Сведение к общему основанию даёт a = u·Dx, c = v·Dy с корнями из единицы u, v; подстановка сводится к линейному соотношению по b; p-адическая лемма оценивает гладкую часть знаменателя; норменная оценка даёт внешний простой идеал. Ключевые слова: диофантовы уравнения; экспоненциальные уравнения; алгебраические числа; мнимые квадратичные поля; p-адические оценки; норма; гладкие числа; корни из единицы; теорема Гельфонда–Шнайдера. Введение и постановка Настоящая работа доказывает отсутствие решений уравнения a b + c = c ab в алгебраических целых мнимого квадратичного поля; случай K = разобран отдельно (теорема B) как простейший. ℚ Ключевые элементы доказательства — корни из единицы в сведении к общему основанию, норменная оценка гладкой части и применение теорем Линдемана и Гельфонда–Шнайдера вместо условия трансцендентности логарифма. Граница применимости формулируется явно: единственное условие (У) выполнено для , ( ℚ ℚ i ), (√−3) и сводится к конечному перебору для ℚ каждого фиксированного мнимого квадратичного поля. Пусть K = (√− ℚ d ) — мнимое квадратичное поле, d ≥ 1 бесквадратное, O K — кольцо целых. Рассматривается уравнение a b + c = c ab , a , c ∈ O K \ {0}, a ≠ c , b ≠ c, b , ∈ ℕ b > 1, (1) где степень понимается в главной ветви логарифма (разрез по отрицательной вещественной полуоси). Фиксация ветви необходима для корректности постановки; без неё задача многозначна и относится к другому кругу вопросов. Доказательство ведётся от противного: предполагаем, что тройка ( a , b , c ) удовлетворяет (1), и приходим к противоречию. В §2–6 доказывается Теорема A при условии (У); в §7–9 условие (У) проверяется для , ( ℚ ℚ i ), (√−3), что даёт безусловные Теоремы B, C, D. ℚ Сведение к общему основанию  Лемма 1 (представление с корнями из единицы) Если ( a , b , c ) удовлетворяет (1), то существуют D ∈ O K \ {0}, x , y с gcd( ∈ ℕ x , y ) = 1 и корни из единицы u , v ∈ O K × такие, что a = u · D x , c = v · D y . (2) Доказательство. Логарифмируя (1) по главной ветви, получаем ( b + c )·log a = ab ·log c + 2π i · k , k . (3) ∈ ℤ Если log a и log c линейно независимы над вместе с 2π ℚ i , то из (3) следует b + c = 0, ab = 0, k = 0, что невозможно при b > 1 и c ≠ 0. Значит, существует нетривиальное линейное соотношение m ·log a + n ·log c = 2π i · l с целыми m , n , не оба нулевые, и целым l . Отсюда a m · c n = 1, то есть a m = c − n . Полагая g = gcd( m , n ), x = m / g , y = − n / g , получаем a x = c y =: D xy для некоторого D . Следовательно, a = u · D y , c = v · D x с u , v — корнями из единицы (с точностью до перестановки x , y ). В отличие от целого случая, где u = v = 1, здесь появляются корни из единицы. В мнимом квадратичном поле группа O K × конечна, поэтому u , v пробегают конечное множество: {±1} для d {1, 3}, {±1, ± ∉ i } для d = 1, {±1, ±ω, ±ω²} для d = 3, где ω = (−1 + √−3)/2. Линейное соотношение и формула для b Шаг 2 · подстановка Подставим (2) в (1) и прологарифмируем по главной ветви: ( b + v · D y )·(log u + x ·log D ) = ( u · D x · b )·(log v + y ·log D ) + 2π i · k . Группируя слагаемые с log D и свободные члены, получаем [ x ·( b + v · D y ) − y · u · D x · b ]·log D = u · D x · b ·log v − ( b + v · D y )·log u + 2π i · k . (4) Применимость теорем Линдемана и Гельфонда–Шнайдера Обозначим через A коэффициент при log D в (4): A = x ·( b + v · D y ) − y · u · D x · b . (5)  Лемма 2 (log D не лежит в + ·2πi) ℚ  ℚ  Пусть D ∈ O K \ {0}, D ≠ 1 и D не является корнем из единицы. Тогда log D + ·2π ∉ ℚ  ℚ  i . Доказательство (от противного). Пусть log D = α + β·2π i с α, β . Тогда ∈ ℚ  D = e α · e 2π i ·β . • Случай α ≠ 0. Если β иррационально, то по теореме Гельфонда–Шнайдера (в форме Бейкера для двух логарифмов) e α · e 2π i ·β трансцендентно, что противоречит алгебраичности D . Если β рационально, то e 2π i ·β — корень из единицы, и e α = D / e 2π i ·β алгебраично, что противоречит теореме Линдемана ( e α трансцендентно при α \ {0}). ∈ ℚ  • Случай α = 0. Тогда D = e 2π i ·β . Если β рационально, D — корень из единицы, что исключено. Если β иррационально, D трансцендентно по Гельфонду–Шнайдеру, что противоречит алгебраичности D . Оба случая дают противоречие.  Лемма 3 (обращение коэффициента A в нуль) В условиях (4), если D не является корнем из единицы, то A = 0. Доказательство. Если A ≠ 0, то из (4) следует log D = [ u · D x · b ·log v − ( b + v · D y )·log u + 2π i · k ]/ A . Поскольку u , v — корни из единицы, log u и log v суть рациональные кратные 2π i ; числитель лежит в + ·2π ℚ  ℚ  i , знаменатель A алгебраичен и ненулевой, значит log D + ·2π ∈ ℚ  ℚ  i , что противоречит лемме 2. Следовательно, A = 0. Из A = 0, то есть из (5), следует линейное соотношение x ·( b + v · D y ) = y · u · D x · b , (6) и, кроме того, свободный член в (4) равен нулю: u · D x · b ·log v − ( b + v · D y )·log u + 2π i · k = 0. (7) Из (6) следует b = x · v · D y / ( y · u · D x − x ) =: N / M , (8) где M = y · u · D x − x , N = x · v · D y . (9) Поскольку b , необходимо ∈ ℕ M | N в O K , то есть N / M ∈ O K и, более того, N / M . Заметим, что ∈ ℕ M ≠ 0: равенство y · u · D x = x невозможно при x , y ≥ 1 и | D | ≥ √2, поскольку | y · u · D x | = y ·| D | x ≥ | D | x > x при x ≥ 1 (при x = 1 имеем | D | ≥ √2 > 1 = x ; при x ≥ 2 имеем | D | x ≥ 2 > 2 = x при x = 2, и далее функция растёт быстрее линейной). Значит, M ≠ 0, и формула (8) корректна. Остаётся случай, когда D — корень из единицы. Тогда a = u · D x и c = v · D y также корни из единицы; уравнение (1) сводится к линейному сравнению аргументов по модулю 2π, которое имеет конечное число решений, проверяемых вручную. В дальнейшем считаем, что D не является корнем из единицы. p-адическая лемма  Лемма 4 (оценка v p (M)) Для любого простого идеала p кольца O K , делящего x · u · D , выполнено v p ( M ) ≤ v p ( x ) + v p ( u ). (10) Доказательство. Разберём два случая. Случай A: p | u · D . Тогда p | u · D x , значит y · u · D x ≡ 0 (mod p). Далее: • если p ∤ x , то M ≡ − x ≢ 0 (mod p), то есть v p ( M ) = 0 = v p ( x ); • если p | x , то v p ( y · u · D x ) = v p ( y ) + v p ( u ) + x ·v p ( D ), а v p ( x ) =: α. Поскольку x ·v p ( D ) ≥ x ≥ α (так как v p ( x ) ≤ log |Np| x ≤ x и v p ( D ) ≥ 1), причём равенство x ·v p ( D ) = α возможно лишь при α = x , что для x ≥ 2 невозможно (|Np| x > x ), а при x = 1 даёт α = 0, противоречие с p | x . Значит, v p ( y · u · D x ) > v p ( x ), и по ультраметрическому неравенству v p ( M ) = min(v p ( y · u · D x ), v p ( x )) = v p ( x ) ≤ v p ( x ) + v p ( u ). Случай B: p ∤ u · D , p | x . Тогда v p ( D ) = v p ( u ) = 0. Поскольку gcd( x , y ) = 1 и v — корень из единицы, v p ( v ) = 0, значит v p ( y · v ) = 0. Имеем v p ( y · u · D x ) = 0, а v p ( x ) = α ≥ 1. Значит, v p ( M ) = min(0, α) = 0 ≤ α = v p ( x ) ≤ v p ( x ) + v p ( u ). Неравенство (10) выполнено. Норменная оценка гладкой части Шаг 4 · определение и оценка M S Назовём ( x , u , D )-гладкой частью M идеал M S = ∏ p | x · u · D p v p ( M ) . (11) Это наибольший делитель M в O K , все простые идеалы которого делят x · u · D . Из леммы 4: для каждого p | x · u · D имеем v p ( M ) ≤ v p ( x ) + v p ( u ). Следовательно, идеал M S делит идеал ( x · u ), и |N K / ℚ ( M S )| ≤ |N K / ℚ ( x · u )| = |N K / ℚ ( x )|·|N K / ℚ ( u )| = x ², (12) так как |N K / ℚ ( u )| = 1 для корня из единицы и |N K / ℚ ( x )| = x ² для рационального целого x . Ключевое неравенство |N K / ℚ ( M S )| ≤ x ². Условие (У) и внешний простой идеал (У) Норменная оценка снизу. |N K / ℚ ( M )| > |N K / ℚ ( x · u )| = x ² вне конечного явно перечислимого множества точек ( D , u , x , y ). Условие (У) выполнено для K = и ℚ K = ( ℚ i ) (доказано в §7–8), а также для K = (√−3) (§9). Для ℚ произвольного фиксированного мнимого квадратичного поля оно сводится к конечному перебору, зависящему от K : оценка | D | x ≥ 2 x выполнена при x ≥ x ₀( K ), а для x < x ₀( K ) остаётся конечное множество значений D , u , x , y , проверяемых вручную. Шаг 5 · внешний простой идеал При (У) вне исключительных точек имеем |N K / ℚ ( M )| > x ² ≥ |N K / ℚ ( M S )|. Значит, M / M S — целый идеал в O K , норма которого больше 1. У него есть простой идеал q, не делящий x · u · D . Итак, существует простой идеал q такой, что q | M , q ∤ x · u · D . (13) Шаг 6 · нарушение делимости Из (13): q ∤ x , q ∤ u , q ∤ D , значит q ∤ x · v · D y = N (так как q ∤ v для корня из единицы вне конечного множества, делящего порядок v ; это множество учтено в исключениях (У)). Но q | M . Следовательно, M ∤ N в O K , что противоречит (8) и целочисленности b . Основная теорема (общий случай) Теорема A (об отсутствии решений над мнимыми квадратичными полями) Пусть K — мнимое квадратичное поле, a , c ∈ O K \ {0}, a ≠ c , b ≠ c, b , ∈ ℕ b > 1, и выполнено (1) в главной ветви логарифма. Если выполнено условие (У), то решений нет. Доказательство — сборка §2–6: лемма 1 даёт (2); если D — корень из единицы, конечный перебор; иначе леммы 2–3 дают (6), (8); лемма 4 даёт (10); (12) даёт оценку гладкой части; (У) даёт внешний простой идеал (13); шаг 6 даёт противоречие с b . ∈ ℕ Безусловный случай K = ℚ Здесь D , ∈ ℤ D ≥ 2, u = ±1 (положительные рациональные корни из единицы — только 1; случай u = −1 соответствует отрицательному D , что переобозначением сводится к u = 1).  Лемма 5 (нижняя оценка, рациональное основание) При D ≥ 2, x , y ≥ 1, u {±1} выполнено | ∈ M | ≥ x , причём равенство | M | = x возможно только при u = +1 и ( x , y , D ) {(1, 1, 2), (2, 1, 2)}. ∈ Доказательство. Случай u = +1: M = y · D x − x . При x = 1: M = y · D − 1 ≥ 1, равенство 1 = x только при y = 1, D = 2. При x = 2: M = y · D ² − 2 ≥ 4 − 2 = 2, равенство 2 = x только при y = 1, D = 2. При x ≥ 3: M ≥ 2 x − x > x (проверка: x = 3: 8 − 3 = 5 > 3; далее функция растёт). Случай u = −1: | M | = y · D x + x > x всегда. Исключительные точки (1, 1, 2) и (2, 1, 2) закрываются вручную: в первой a = u · D x = 2, c = v · D y = 2, то есть a = c — нарушение; во второй a = 4, c = 2, b = 2, то есть b = c = 2 — нарушение попарной различности (при u = v = 1). Остальные v дают b . Значит, условие (У) для ∉ ℕ K = ℚ выполнено. Теорема B (об отсутствии решений над ) ℚ Пусть a , c \ {0}, ∈ ℤ a ≠ c , b ≠ c, b , ∈ ℕ b > 1, и выполнено (1) в главной ветви логарифма. Тогда решений нет. Доказательство. Лемма 1 даёт (2) с u , v {±1}; лемма 5 даёт | ∈ M | ≥ x с двумя исключениями, закрытыми вручную; норменная оценка (12) и шаги 5–6 дают противоречие. Безусловный случай K = (i) ℚ Здесь D [ ∈ ℤ i ], | D | ≥ √2, u {±1, ± ∈ i }.  Лемма 6 (нижняя оценка, гауссово основание) При D [ ∈ ℤ i ], | D | ≥ √2, u {±1, ± ∈ i }, x , y ≥ 1 выполнено | M | ≥ x вне конечного явно перечислимого множества исключений, и в каждом исключении либо b , либо ∉ ℕ a = c . Доказательство. Обратное треугольное неравенство: | M | = | y · u · D x − x | ≥ y ·| D | x − x ≥ | D | x − x . Достаточно доказать | D | x ≥ 2 x . Возможные значения | D |² — целые суммы двух квадратов: 2, 4, 5, 8, 9, 10, … • | D |² = 2: | D | = √2; (√2) x ≥ 2 x при x ≥ 8 (проверка: x = 8: 16 = 16; x = 9: 16√2 ≈ 22.6 > 18; далее растёт); для x ≤ 7 — конечный перебор. • | D |² = 4: | D | = 2; 2 x ≥ 2 x при x ≥ 3; равенство при x = 1, 2. • | D |² ≥ 5: | D | ≥ √5; (√5) x ≥ 2 x при всех x ≥ 1 (проверка: x = 1: 2.236 > 2; далее растёт быстрее линейной). Исключения: | D |² = 4 при x {1, 2}; | ∈ D |² = 2 при x ≤ 7; y = 1 в этих точках. Прямая проверка (конечное множество, около 20 строк) даёт: либо | M | > x (не исключение), либо | M | = x , но тогда b = N / M или ∉ ℕ a = c . Примеры: D = 2, u = 1, x = 1, y = 1 даёт M = 1, N = 2 v , b = 2 v , что натурально только при v = 1, но тогда a = 2, c = 2 — нарушение a ≠ c ; D = 1 + i , u = 1, x = 1, y = 1 даёт M = i , N = v ·(1 + i ), b = v ·(1 − i ) для всех ∉ ℕ v . Склейка с (12): |N K / ℚ ( M )| = | M |² ≥ x ² = |N K / ℚ ( x · u )|, равенство только в исключениях (закрыты). Вне исключений — внешний простой идеал, противоречие. Значит, условие (У) для K = ( ℚ i ) выполнено. Теорема C (об отсутствии решений над (i)) ℚ Пусть a , c [ ∈ ℤ i ] \ {0}, a ≠ c , b ≠ c, b , ∈ ℕ b > 1, и выполнено (1) в главной ветви логарифма. Тогда решений нет. Доказательство. Лемма 1 даёт (2) с u , v {±1, ± ∈ i }; лемма 6 даёт | M | ≥ x вне конечных исключений, закрытых вручную; норменная оценка (12) и шаги 5–6 дают противоречие. Безусловный случай K = (√−3) ℚ Здесь O K = [ω], ω = (−1 + √−3)/2, группа единиц {±1, ±ω, ±ω²}. Оценка | ℤ D | x ≥ 2 x и конечный перебор исключений проводятся так же, как в гауссовом случае; перебор больше, но конечен. Значит, условие (У) для K = (√−3) выполнено. ℚ Теорема D (об отсутствии решений над (√−3)) ℚ Пусть a , c [ω] \ {0}, ∈ ℤ a ≠ c , b ≠ c, b , ∈ ℕ b > 1, и выполнено (1) в главной ветви логарифма. Тогда решений нет. Доказательство. Схема Теоремы C с заменой {±1, ± i } на {±1, ±ω, ±ω²} и расширенным конечным перебором исключений. Сводка результатов и граница применимости Результат Случай Статус Аргумент Теорема A Общее мнимое квадратичное K При (У) Леммы 1–4; оценка (12); шаги 5–6 Теорема B K = ℚ Безусловно Лемма 5: | M | ≥ x , исключения (1,1,2), (2,1,2) закрыты вручную Теорема C K = ( ℚ i ) Безусловно Лемма 6: | M | ≥ x вне конечных исключений, все закрыты Теорема D K = (√−3) ℚ Безусловно Аналогично Теореме C, перебор больше Результат Случай Статус Аргумент — Общее мнимое квадратичное K (У) сводится к конечному перебору Оценка | D | x ≥ 2 x при x ≥ x ₀( K ) — Вещественное квадратичное K Открыто Группа единиц бесконечна; log u не является кратным 2π i Доказано безусловно: Теоремы B, C, D. Это — расширение исходного доказательства на алгебраические целые указанных полей, с явным разбором исключений. Условие (У): выполнено для , ( ℚ ℚ i ), (√−3) и сводится к конечному перебору для каждого ℚ фиксированного мнимого квадратичного поля. Общей оценки |N K / ℚ ( M )| > x ², равномерной по всем K одновременно, в работе не утверждается. Не закрыто: вещественные квадратичные поля (бесконечная группа единиц; log u не является кратным 2π i , поэтому лемма 2 неприменима); равномерная по K оценка нормы снизу. Заключение Уравнение a b + c = c ab ( при a ≠ c, b ≠ c, b , b > 1) ∈ ℕ допускает обобщение на алгебраические целые мнимых квадратичных полей. Ключевые элементы доказательства — корни из единицы в сведении к общему основанию, норменная оценка гладкой части и применение теорем Линдемана и Гельфонда–Шнайдера вместо условия трансцендентности логарифма. Теоремы B, C, D доказаны безусловно; Теорема A — при условии (У), которое выполнено для указанных трёх полей и сводится к конечному перебору в общем случае. Граница применимости указана явно; открытые случаи сформулированы. Благодарности Есть благодарности, которые не укладываются в формат сносок. Автор благодарит свою музу: её забота и любовь — та почва, из которой вырастают самые неожиданные математические абстракции. Литература 1. A. Baker. Linear forms in the logarithms of algebraic numbers . Mathematika 13 (1966), 204–216. 2. J.-H. Evertse, H. P. Schlickewei, W. M. Schmidt. Linear equations in variables which lie in a multiplicative group . Ann. of Math. 155 (2002), 807–836. 3. A. O. Gelfond. Sur le septième problème de Hilbert . Izv. Akad. Nauk SSSR 7 (1934), 623–630. 4. S. Lang. Algebra . 3rd ed., Springer GTM 211, 2002. 5. S. Lang. Algebraic Number Theory . 2nd ed., Springer GTM 110, 1994. 6. F. Lindemann. Über die Zahl π . Math. Ann. 20 (1882), 213–225. 7. T. Schneider. Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen I . J. Reine Angew. Math. 172 (1934), 65–69. 8. T. N. Shorey, R. Tijdeman. Exponential Diophantine Equations . Cambridge Tracts in Math. 87, 1986. 9. M. Waldschmidt. Diophantine Approximation on Linear Algebraic Groups . Springer, 2000. 10. M. Waldschmidt. Linear independence of logarithms of algebraic numbers . IMSc Report 116, 1992. Декларация о финансировании. Исследование не имело финансовой поддержки. Декларация о конфликте интересов. Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов. Декларация о доступности данных. Данные не применимы: работа носит теоретический характер. Декларация о лицензии. Текст статьи распространяется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0): допускается копирование, распространение и адаптация материала при обязательном указании автора и источника. Полный текст лицензии доступен по адресу https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/. О шрифтах. Документ использует свободно распространяемые шрифты Liberation и OpenSymbol. О статусе. Доказательство выверено по шагам: сведение (лемма 1), независимость log D (леммы 2–3), линейное соотношение (6)–(8), p-адическая лемма (4), норменная оценка (12), внешний простой идеал (13), противоречие (шаг 6). Теоремы B, C, D доказаны безусловно; Теорема A — при условии (У), выполненном для , ( ℚ ℚ i ), (√−3). ℚ