Объединение реверсивно-устойчивых последовательностей Георгий Гуляев Для натурального числа \(n\) через \(rev(n)\) - обозначим функцию реверса, то есть натуральное число, в десятичной записи которого цифры следуют в обратном порядке по отношению к \(n\). Например, \(rev(231) = 132, \; rev(350) = 53, \; rev(575) = 575\).

Определение 1. Числом - палиндромом называется натуральное число \(n\), для которого выполняется условие \(rev(n) = n\).

Множество всех чисел-палиндромов далее будем обозначать через \(P\): \[P = \{n \in \mathbb N: rev(n) = n\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, ...\}\]

В работе [1] было введено понятие реверсивно-устойчивой последовательности и изучено получение таких последовательностей при помощи умножения на коэффициент специального множества двоичных палиндромов.

Определение 2. Последовательность натуральных чисел \(S_n = \{a_n\}, n \in \mathbb N\), для которых отношение \(\frac {rev(a_n)} {a_n} = \frac r s, r \in \mathbb Z, s \in \mathbb N\) - постоянно и не зависит от \(n\) называется реверсивно-устойчивой последовательностью. При этом, рациональное число \(\frac r s\), которому равно отношение, будем называть коэффициентом реверсивной устойчивости последовательности.

Рассмотрим функцию \(d(n) = gcd(n, rev(n))\), которая для каждого натурального числа \(n\) возвращает наибольший общий делитель чисел \(n\) и \(rev(n)\).

В данной работе мы изучим множества \[A_m = \{n = m \cdot k: d\;(n) = k, \; \forall \; k \in \mathbb N \} \eqno (1)\] для различных фиксированных \(m \in \mathbb N\) и их связь с реверсивно-устойчивыми последовательностями.

1. Случаи \(m = 1\) и \(m = 2\).

Если взять \(m = 1\) в формуле \((1)\), то, из определения \(d(n)\): \[A_1 = \{n \in \mathbb N: d(n) = n\} = \{n \in \mathbb N: rev(n) = q \cdot n, \; q \in \mathbb N \} \eqno (2)\]

Очевидно, в \(A_1\) содержатся все палиндромы \(P \; (q = 1)\) и, кроме них, еще две известные (\([2], [4]\)) последовательности \(S_{1089} \; (q = 9)\) и \(S_{2178} \; (q = 4)\): \[S_{1089} = \{1089, 10989, 109989, 1099989, 10891089, 10999989, 108901089, ...\}\] \[S_{2178} = \{2178, 21978, 219978, 2199978, 21782178, 21999978, 217802178, ...\}\]

Теорема 1. Множество \(A_1\) равно объединению трех непересекающихся реверсивно-устойчивых последовательностей: \(P, \; S_{1089}, \; S_{2178}\) с коэффициентами реверсивной устойчивости \(1, 9, 4\) соответственно, то есть \[A_1 = P \cup S_{1089} \cup S_{2178}\] Доказательство. Очевидно, уравнение (2) выполняется для последовательностей \(P, \; S_{1089}, \; S_{2178}\) с \(q = 1,9,4\), соответственно. Поэтому они содержатся в \(A_1\) и попарно не пересекаются. Осталось показать, что никаких других элементов, кроме элементов этих трех последовательностей в \(A_1\) нет.

Число \(q\) в формуле \((2)\) может принимать только значения множества \(\{1, 2, ..., 9\}\), так как, очевидно, длина числа \(rev(n)\) не превосходит длины числа \(n\) для любого натурального \(n\).

В теореме \(1.1\) работы [2] подробно разобраны все случаи \(q \notin \{1, 4, 9\}\) и доказана невозможность выполнения уравнения \(rev(n) = q \cdot n\) в каждом из них. Поэтому мы не будем здесь останавливаться на этом.

Идея доказательства в теореме \(1.1\) работы [2] состоит в анализе и противопоставлении первой и последней цифры в числах \(rev(n)\) и \(q \cdot n\) (у \(n\) и \(rev(n)\) эти цифры меняются местами). И она будет продемонстрирована ниже в доказательстве теоремы 2.

Пусть теперь \(m = 2\). Формула \((1)\) в этом случае примет вид: \[A_2 = \{n = 2 \cdot k: d\;(n) = k, \; \forall \; k \in \mathbb N \} \eqno (3)\] Вычисления дают нам следующие начальные элементы множества \(A_2\): verbatim 18, 198, 1818, 1998, 4356, 18018, 19998, 43956, 180018, 181818, 198198, 199998, 439956, 1800018, 1819818, 1980198, 1999998, 4399956, 18000018, 18018018, 18181818, 18199818, 19800198, 19818198, 19981998, 19999998, 43564356, 43999956, 180000018, 180198018, 181801818, 181999818, 198000198, 198198198, 199801998, 199999998,... verbatim Основываясь на этих данных, можно предположить, что множество \(A_2\) является объединением двух непересекающихся реверсивно-устойчивых последовательностей: \[S_{18} = \{18, 198, 1818, 1998, 18018, 19998, 180018, 181818, 198198, 199998, ...\}\] \[S_{4356} = \{4356, 43956, 439956, 4399956, 43564356, 43999956, 435604356, ...\}\] Вторая последовательность \(S_{4356} = 396 \cdot P91\), где \(P91\) - множество 91-стойких двоичных палиндромов из работы [1]: verbatim P91 = 11, 111, 1111, 11111, 110011, 111111, 1100011, 1111111, 11000011, 11100111, 11111111, 110000011, 111000111, 111111111, 1100000011, 1100110011, 1110000111, 1111001111, 1111111111, 11000000011, 11001110011, 11100000111, 11110001111, 11111111111, 110000000011, 110001100011,... verbatim Для нее коэффициент реверсивной устойчивости равен \(\frac 3 2\).

Первая же последовательность \(S_{18}\) не может быть получена умножением некого натурального числа на \(P91\), но она получается умножением на \(18\) множества всех двоичных палиндромов: verbatim P2 = 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, 101101, 110011, 111111, 1000001, 1001001, 1010101, 1011101, 1100011, 1101011, 1110111, 1111111, 10000001, 10011001, 10100101, 10111101, 11000011, 11011011, 11100111, 11111111, ... verbatim Коэффициент реверсивной устойчивости для последовательности \(S_{18}\) равен \(\frac 9 2\).

Теорема 2. Множество \(A_2\) равно объединению двух непересекающихся реверсивно-устойчивых последовательностей: \(S_{18} = 18 \cdot P2\) и \(S_{4356} = 396 \cdot P91\) с коэффициентами реверсивной устойчивости \(\frac 9 2\) и \(\frac 3 2\) соответственно, то есть \[A_2 = S_{18} \cup S_{4356}.\] Доказательство. Пусть множество \(A_2\) задано формулой (3). Требуется доказать, что \[A_2 = A_{21} \cup A_{22},\] где \[A_{21} = \{n \in \mathbb N: \frac {rev(n)} n = \frac 9 2\}, \quad A_{22} = \{n \in \mathbb N: \frac {rev(n)} n = \frac 3 2\},\] причем \(A_{21} = S_{18}\) и \(A_{22} = S_{4356}\).

Для любого \(n \in A_2\) имеем \(n = 2k\) и \(gcd(n, rev(n)) = k\). Отсюда, \(rev(n)\) делится на \(k\), то есть \[rev(n) = q \cdot k, \quad q \in \mathbb N. \eqno (4)\] При этом, \(k = gcd(n, rev(n)) = gcd(2k, qk) = k \cdot gcd(2, q)\), следовательно, \(gcd(2, q) = 1\), то есть \(q\) - нечетное.

Далее, \[\frac {rev(n)} n = \frac {qk} {2k} = \frac q 2.\] Таким образом, для каждого \(n \in A_2\) существует нечетное \(q\) такое, что \[2 \cdot rev(n) = qn. \eqno (5)\]

Можно считать, что \(n\) и \(rev(n)\) имеют одинаковую дляну (число разрядов). Если бы число \(n\) оканчивалось на \(0\), то \(n = 10t \Rightarrow rev(n) = rev(t)\). При этом \(n = 2k = 10t \Rightarrow k = 5t\). Подставляя найденные выражения в \((4)\), получим \(rev(t) = q \cdot 5t = (5q) \cdot t\), а это противоречит теореме 1, согласно которой уравнение (2) имеет только три решения: \(1, 9\) и \(4\). \(5q\) не может быть равно ни одному из этих чисел.

Очевидно, \(rev(n) < 9n\) для любого \(n \in \mathbb N\), так как минимальная первая цифра числа \(n\) - единица, максимальная последняя цифра - девятка и они меняются местами после преобразования \(rev(n)\). Поэтому, \[qn = 2 \cdot rev(n) < 2 \cdot 9n = 18n,\] то есть \(q < 18\). Учитывая, что \(q\) нечетное, находим все возможные значения для \(q\): \(q \in \{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17\}\). И нам нужно доказать, что уравнение (5) разрешимо только при \(q = 3\) и \(q = 9\) и исключить все другие случаи.

Рассмотрим случай \(q = 1\). Уравнение \((4)\) принимает вид: \(2 \cdot rev(n) = n\). Предположим, что число \(n\) начинается на цифру \(a \; (1 \leq a \leq 9 )\) и оканчивается на цифру \(b \; (1 \leq b \leq 9 )\). Тогда \(rev(n)\) будет начинаться на \(b\) и оканчиваться на \(a\).

Последняя цифра \(2 \cdot rev(n)\) равна \(2a \bmod 10\), то есть \[b \equiv 2a \pmod {10}. \eqno (6)\] Первая цифра \(2 \cdot rev(n)\) равна \(2b\) или \(2b+1\) (если был перенос единицы от предыдущего разряда). Поэтому, \(a = 2b\) или \(a = 2b+1\).

Поставим в \((6)\) найденные выражения для \(a\): \(b \equiv 4b \pmod {10} \Rightarrow 3b \equiv 0 \pmod {10}\) или \(b \equiv 4b + 2 \pmod {10} \Rightarrow 3b + 2 \equiv 0 \pmod {10}\). Так как \(b\) - цифра от \(1\) до \(9\), то \(3b\) не может делиться на \(10\), а \(3b + 2\) делится на 10 только при \(b = 6\). Но это противоречит равенствам \(a = 2b\) или \(a = 2b+1\) из которых следует, что \(b < 5\).

Рассмотрим случай \(q = 5\). Уравнение \((4)\) принимает вид: \(2 \cdot rev(n) = 5n\). Уравнение \((6)\) здесь будет иметь вид \(5b \equiv 2a \pmod {10}\), а условие равенства первых цифр: \(5a = 2b\) или \(5a = 2b+1\). Ограничения на \(a\) и \(b\) здесь усиливаются и проще доказать, что таких цифр \(a\) и \(b\) существовать не может.

Из первого равенства следует \((a,b) = (2,5)\), а из второго \((a,b) \in \{(1,2), (3,7)\}\) и все они не удовлетворяют сравнению.

Аналогично доказывается отсутствие решений для остальных случаев \(q = 7, 11, 13, 15, 17\).

Рассмотрим теперь случай \(q = 9\). Уравнение \((4)\) принимает вид: \(2 \cdot rev(n) = 9n\). Число \(n\) делится на \(2\), положим \(n = 2k\), тогда \[rev(2k) = 9k\]

Анализируя это уравнения (умножение \(+\) индукция по \(k\)), приходим к выводу, что \[\{k: rev(2k) = 9k\} = 9 \cdot P2\]

Таким образом, \[A_{21} = 18 \cdot P2 = S_{18}\]

Рассмотрим последний случай \(q = 3\). Уравнение \((4)\) принимает вид: \(2 \cdot rev(n) = 3n => \frac {rev(n)} n = \frac 3 2\).

Это реверсивно-устойчивая последовательность \(S_{4356}\) с коэффициентом реверсивной устойчивости \(\frac 3 2\) из работы \([1]\), то есть \[A_{22} = S_{4356} = 396 \cdot P91.\] Теорема доказана.

2. Общий случай \(m > 2.\)

Приведем предположительные структуры некоторых множеств \(A_m\) на основе вычислений их начальных элементов. Реверсивно-устойчивую последовательность будем обозначать \(S \; (\frac x y)\), где \(\frac x y\) - ее коэффициент реверсивной устойчивости. \[A_3 = S(\frac 8 3) \cup S(\frac {19} 3) \cup S(\frac {14} 3) \cup S(\frac 7 3) \cup S(\frac 2 3) \cup S(\frac 5 3),\] где verbatim S(8/3) = 27,297,2727,2997,27027,29997,270027,272727,297297, ... S(19/3) = 1107, 12177, 111807, 122877, 1108107, 1229877, ... S(14/3) = 2079, 20979, 209979, 2099979, 20792079, 20999979, ... S(7/3) = 3267, 32967, 329967, 3299967, 32673267, 32999967, ... S(2/3) = 6534, 65934, 659934, 6599934, 65346534, 65999934, ... S(5/3) = 560439, 5609439, 56099439, 560999439, 5609999439, ... verbatim \[A_4 = S(\frac 7 4) \cup S(\frac 1 4) \cup S(\frac {13} 4) \cup S(\frac 9 4) \cup S(\frac {33} 4),\] где verbatim S(7/4) = 12, 24, 36, 48, 132, 264, 396, 1212, 1332, 1452, ... S(1/4) = 8712, 87912, 879912, 8799912, 87128712, 87999912, ... S(13/4) = 21296, 214896, 212981296, 2129621296, 21296021296, ... S(9/4) = 36828, 3682836828, 36828036828, 368280036828, ... S(33/4) = 1070388, 1071340658388, ... verbatim \[A_5 = S(\frac {17} 5) \cup S(\frac 6 5) \cup S(\frac 2 5) \cup S(\frac {14} 5) \cup S(\frac 3 5),\] где verbatim S(17/5) = 15, 165, 1515, 1665, 15015, 16665, 150015, 151515, ... S(6/5) = [45, 495, 4545, 4995, 45045, 49995, 450045, 454545, ... S(2/5) = 21780, 219780, 2199780, 21999780, 217821780, 219999780, ... S(14/5) = 201465, 2016465, 2032965, 20166465, 20347965, 201666465,... S(3/5) = 934065, 9349065, 93499065, 934999065, 9349999065, ... verbatim \[A_6 = S(\frac 5 6) \cup S(\frac {17} 6) \cup S(\frac {47} 6) \cup S(\frac {31} 6) \cup S(\frac 1 6),\] где verbatim S(5/6) = 15, 165, 1515, 1665, 15015, 16665, 150015, 151515, ... S(17/6) = 45, 495, 4545, 4995, 45045, 49995, 450045, 454545, ... S(47/6) = 21780, 219780, 2199780, 21999780, 217821780, 219999780, ... S(31/6) = 201465, 2016465, 2032965, 20166465, 20347965, 201666465,... S(1/6) = 934065, 9349065, 93499065, 934999065, 9349999065, ... verbatim \[A_7 = S(\frac 4 7) \cup S(\frac {31} 7) \cup S(\frac {13} 7) \cup S(\frac 3 7) \cup S(\frac {22} 7) \cup S(\frac {51} 7 \cup S(\frac {43} 7) \cup S(\frac {26} 7),\] где verbatim S(4/7) = 21, 42, 63, 84, 231, 462, 693, 2121, 2331, 2541, 2751, ... S(31/7) = 1617, 17787, 1618617, 16171617, 161701617, 177887787, ... S(13/7) = 3927, 39273927, 392703927, 3927003927, 39270003927, ... S(3/7) = 7623, 76923, 769923, 7699923, 76237623, 76999923, ... S(22/7) = 22407, 246477, 22429407, 224092407, 2240722407, ... S(51/7) = 103257, 1041957, 10428957, 104298957, 10325803257 ... S(43/7) = 147609, 147609147609, 1476090147609, 14760900147609, ... S(26/7) = 246519, 246519246519, 246530586519, 2465190246519,... verbatim \[A_{18} = S(\frac {29} {18}) \cup S(\frac {19} {18}) \cup S(\frac {73} {18}),\] где verbatim S(29/18) = 162, 1782, 16362, 17982, 162162, 179982, 1620162,... S(19/18) = 19602, 197802, 1979802, 19799802, 196039602, ... S(73/18) = 1492506, 14938506, 149398506, 1493998506, ... verbatim Теорема 3. Для любого натурального \(m\) множество \(A_m\) равно объединению конечного числа реверсивно-устойчивых последовательностей: \[A_m=\bigcup_{i=1}^{r} S(x_i/m),\] где \(x_i\in\mathbb N, \; gcd(x_i,m)=1.\)

Доказательство. Пусть \(n\in A_m\). Тогда, по определению \(A_m\), \(n=mk\) и \(gcd(mk,rev(mk))=k\). Отсюда \(rev(mk)=qk\) для некоторого \(q\in\mathbb N\), причём \(\gcd(q,m)=1\). Следовательно, \[\frac {rev(n)} n = \frac q m \eqno (7)\] Кроме того, так как \(rev(n) < 10n\), то \[1 \le q<10m.\]

Для данного \(m\) и каждого фиксированного \(q\) уравнение \((7)\) задает реверсивно-устойчивую последовательность \(S(q/m)\) с коэффициентом реверсивной устойчивости \(q/m\). Для каждого \(m\) число таких последовательностей конечно, так как \(q<10m\).

Теорема доказана.

Каждое из приведенных выше, а также любых других представлений \(A_m\) в виде объединения конечного числа реверсивно-устойчивых последовательностей может быть строго доказано таким же способом, каким в теореме \(2\) было доказано подобное представление для \(A_2\).

Ссылки

[1] Гуляев Георгий Михайлович Двоичные палиндромы и реверсивно-устойчивые последовательности // ArxivOrg.Ru. — 2026. — URL: .

[2] R. Webster and G. Williams, On the Trail of Reverse Divisors: 1089 and All that Follow, Mathematical Spectrum, 45 (2012/2013), 96–102.

[3]

[4] Sloane, N. J. A. 2178 and all that [Электронный ресурс] / N. J. A. Sloane // The Fibonacci Quarterly. — 2014. — Vol. 52, no. 2. — P. 99–105. —