Для натурального числа $n$ через $rev(n)$ - обозначим функцию реверса, то есть натуральное число, в десятичной записи которого цифры следуют в обратном порядке по отношению к $n$. Например, $rev(231) = 132, \; rev(350) = 53, \; rev(575) = 575$.

Определение 1. Числом - палиндромом называется натуральное число $n$, для которого выполняется условие $rev(n) = n$.

Множество всех чисел-палиндромов далее будем обозначать через $P$:

$$ P = \{n \in \mathbb N: rev(n) = n\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, ...\} $$

В работе [1] было введено понятие реверсивно-устойчивой последовательности и изучено получение таких последовательностей при помощи умножения на коэффициент специального множества двоичных палиндромов.

Определение 2. Последовательность натуральных чисел $S_n = \{a_n\}, n \in \mathbb N$, для которых отношение $\frac {rev(a_n)} {a_n} = \frac r s, r \in \mathbb Z, s \in \mathbb N$ - постоянно и не зависит от $n$ называется реверсивно-устойчивой последовательностью. При этом, рациональное число $\frac r s$, которому равно отношение, будем называть коэффициентом реверсивной устойчивости последовательности.

Рассмотрим функцию $d(n) = gcd(n, rev(n))$, которая для каждого натурального числа $n$ возвращает наибольший общий делитель чисел $n$ и $rev(n)$.

В данной работе мы изучим множества

$$ A_m = \{n = m \cdot k: d\;(n) = k, \; \forall \; k \in \mathbb N \} \tag{1} $$

для различных фиксированных $m \in \mathbb N$ и их связь с реверсивно-устойчивыми последовательностями.

1. Случаи $m = 1$ и $m = 2$.

Если взять $m = 1$ в формуле $(1)$, то, из определения $d(n)$:

$$ A_1 = \{n \in \mathbb N: d(n) = n\} = \{n \in \mathbb N: rev(n) = q \cdot n, \; q \in \mathbb N \} \tag{2} $$

Очевидно, в $A_1$ содержатся все палиндромы $P \; (q = 1)$ и, кроме них, еще две известные ($[2], [4]$) последовательности $S_{1089} \; (q = 9)$ и $S_{2178} \; (q = 4)$:

$$ S_{1089} = \{1089, 10989, 109989, 1099989, 10891089, 10999989, 108901089, ...\} $$

$$ S_{2178} = \{2178, 21978, 219978, 2199978, 21782178, 21999978, 217802178, ...\} $$

Теорема 1. Множество $A_1$ равно объединению трех непересекающихся реверсивно-устойчивых последовательностей: $P, \; S_{1089}, \; S_{2178}$ с коэффициентами реверсивной устойчивости $1, 9, 4$ соответственно, то есть

$$ A_1 = P \cup S_{1089} \cup S_{2178} $$

Доказательство. Очевидно, уравнение (2) выполняется для последовательностей $P, \; S_{1089}, \; S_{2178}$ с $q = 1,9,4$, соответственно. Поэтому они содержатся в $A_1$ и попарно не пересекаются. Осталось показать, что никаких других элементов, кроме элементов этих трех последовательностей в $A_1$ нет.

Число $q$ в формуле $(2)$ может принимать только значения множества $\{1, 2, ..., 9\}$, так как, очевидно, длина числа $rev(n)$ не превосходит длины числа $n$ для любого натурального $n$.

В теореме $1.1$ работы [2] подробно разобраны все случаи $q \notin \{1, 4, 9\}$ и доказана невозможность выполнения уравнения $rev(n) = q \cdot n$ в каждом из них. Поэтому мы не будем здесь останавливаться на этом.

Идея доказательства в теореме $1.1$ работы [2] состоит в анализе и противопоставлении первой и последней цифры в числах $rev(n)$ и $q \cdot n$ (у $n$ и $rev(n)$ эти цифры меняются местами). И она будет продемонстрирована ниже в доказательстве теоремы 2.

Пусть теперь $m = 2$. Формула $(1)$ в этом случае примет вид:

$$ A_2 = \{n = 2 \cdot k: d\;(n) = k, \; \forall \; k \in \mathbb N \} \tag{3} $$

Вычисления дают нам следующие начальные элементы множества $A_2$:

{18, 198, 1818, 1998, 4356, 18018, 19998, 43956, 180018, 
181818, 198198, 199998, 439956, 1800018, 1819818, 1980198, 
1999998, 4399956, 18000018, 18018018, 18181818, 18199818, 
19800198, 19818198, 19981998, 19999998, 43564356, 43999956, 
180000018, 180198018, 181801818, 181999818, 198000198, 
198198198, 199801998, 199999998,...}

Основываясь на этих данных, можно предположить, что множество $A_2$ является объединением двух непересекающихся реверсивно-устойчивых последовательностей:

$$ S_{18} = \{18, 198, 1818, 1998, 18018, 19998, 180018, 181818, 198198, 199998, ...\} $$

$$ S_{4356} = \{4356, 43956, 439956, 4399956, 43564356, 43999956, 435604356, ...\} $$

Вторая последовательность $S_{4356} = 396 \cdot P91$, где $P91$ - множество 91-стойких двоичных палиндромов из работы [1]:

P91 = {11, 111, 1111, 11111, 110011, 111111, 1100011, 1111111,
11000011, 11100111, 11111111, 110000011, 111000111, 111111111,
1100000011, 1100110011, 1110000111, 1111001111, 1111111111,
11000000011, 11001110011, 11100000111, 11110001111, 11111111111,
110000000011, 110001100011,...}

Для нее коэффициент реверсивной устойчивости равен $\frac 3 2$.

Первая же последовательность $S_{18}$ не может быть получена умножением некого натурального числа на $P91$, но она получается умножением на $18$ множества всех двоичных палиндромов:

P2 = {1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 
100001, 101101, 110011, 111111, 1000001, 1001001, 1010101, 
1011101, 1100011, 1101011, 1110111, 1111111, 10000001, 10011001, 
10100101, 10111101, 11000011, 11011011, 11100111, 11111111, ...}

Коэффициент реверсивной устойчивости для последовательности $S_{18}$ равен $\frac 9 2$.

Теорема 2. Множество $A_2$ равно объединению двух непересекающихся реверсивно-устойчивых последовательностей: $S_{18} = 18 \cdot P2$ и $S_{4356} = 396 \cdot P91$ с коэффициентами реверсивной устойчивости $\frac 9 2$ и $\frac 3 2$ соответственно, то есть

$$ A_2 = S_{18} \cup S_{4356}. $$

Доказательство. Пусть множество $A_2$ задано формулой (3). Требуется доказать, что

$$ A_2 = A_{21} \cup A_{22}, $$

где

$$ A_{21} = \{n \in \mathbb N: \frac {rev(n)} n = \frac 9 2\}, \quad A_{22} = \{n \in \mathbb N: \frac {rev(n)} n = \frac 3 2\}, $$

причем $A_{21} = S_{18}$ и $A_{22} = S_{4356}$.

Для любого $n \in A_2$ имеем $n = 2k$ и $gcd(n, rev(n)) = k$. Отсюда, $rev(n)$ делится на $k$, то есть

$$ rev(n) = q \cdot k, \quad q \in \mathbb N. \tag{4} $$

При этом, $k = gcd(n, rev(n)) = gcd(2k, qk) = k \cdot gcd(2, q)$, следовательно, $gcd(2, q) = 1$, то есть $q$ - нечетное.

Далее,

$$ \frac {rev(n)} n = \frac {qk} {2k} = \frac q 2. $$

Таким образом, для каждого $n \in A_2$ существует нечетное $q$ такое, что

$$ 2 \cdot rev(n) = qn. \tag{5} $$

Можно считать, что $n$ и $rev(n)$ имеют одинаковую дляну (число разрядов). Если бы число $n$ оканчивалось на $0$, то $n = 10t \Rightarrow rev(n) = rev(t)$. При этом $n = 2k = 10t \Rightarrow k = 5t$. Подставляя найденные выражения в $(4)$, получим $rev(t) = q \cdot 5t = (5q) \cdot t$, а это противоречит теореме 1, согласно которой уравнение (2) имеет только три решения: $1, 9$ и $4$. $5q$ не может быть равно ни одному из этих чисел.

Очевидно, $rev(n) \lt 9n$ для любого $n \in \mathbb N$, так как минимальная первая цифра числа $n$ - единица, максимальная последняя цифра - девятка и они меняются местами после преобразования $rev(n)$. Поэтому,

$$ qn = 2 \cdot rev(n) \lt 2 \cdot 9n = 18n, $$

то есть $q \lt 18$. Учитывая, что $q$ нечетное, находим все возможные значения для $q$: $q \in \{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17\}$. И нам нужно доказать, что уравнение (5) разрешимо только при $q = 3$ и $q = 9$ и исключить все другие случаи.

Рассмотрим случай $q = 1$. Уравнение $(4)$ принимает вид: $2 \cdot rev(n) = n$. Предположим, что число $n$ начинается на цифру $a \; (1 \leq a \leq 9 )$ и оканчивается на цифру $b \; (1 \leq b \leq 9 )$. Тогда $rev(n)$ будет начинаться на $b$ и оканчиваться на $a$.

Последняя цифра $2 \cdot rev(n)$ равна $2a \bmod 10$, то есть

$$ b \equiv 2a \pmod {10}. \tag{6} $$

Первая цифра $2 \cdot rev(n)$ равна $2b$ или $2b+1$ (если был перенос единицы от предыдущего разряда). Поэтому, $a = 2b$ или $a = 2b+1$.

Поставим в $(6)$ найденные выражения для $a$: $b \equiv 4b \pmod {10} \Rightarrow 3b \equiv 0 \pmod {10}$ или $b \equiv 4b + 2 \pmod {10} \Rightarrow 3b + 2 \equiv 0 \pmod {10}$. Так как $b$ - цифра от $1$ до $9$, то $3b$ не может делиться на $10$, а $3b + 2$ делится на 10 только при $b = 6$. Но это противоречит равенствам $a = 2b$ или $a = 2b+1$ из которых следует, что $b \lt 5$.

Рассмотрим случай $q = 5$. Уравнение $(4)$ принимает вид: $2 \cdot rev(n) = 5n$. Уравнение $(6)$ здесь будет иметь вид $5b \equiv 2a \pmod {10}$, а условие равенства первых цифр: $5a = 2b$ или $5a = 2b+1$. Ограничения на $a$ и $b$ здесь усиливаются и проще доказать, что таких цифр $a$ и $b$ существовать не может.

Из первого равенства следует $(a,b) = (2,5)$, а из второго $(a,b) \in \{(1,2), (3,7)\}$ и все они не удовлетворяют сравнению.

Аналогично доказывается отсутствие решений для остальных случаев $q = 7, 11, 13, 15, 17$.

Рассмотрим теперь случай $q = 9$. Уравнение $(4)$ принимает вид: $2 \cdot rev(n) = 9n$. Число $n$ делится на $2$, положим $n = 2k$, тогда

$$ rev(2k) = 9k $$

Анализируя это уравнения (умножение $+$ индукция по $k$), приходим к выводу, что

$$ \{k: rev(2k) = 9k\} = 9 \cdot P2 $$

Таким образом,

$$ A_{21} = 18 \cdot P2 = S_{18} $$

Рассмотрим последний случай $q = 3$. Уравнение $(4)$ принимает вид: $2 \cdot rev(n) = 3n => \frac {rev(n)} n = \frac 3 2$.

Это реверсивно-устойчивая последовательность $S_{4356}$ с коэффициентом реверсивной устойчивости $\frac 3 2$ из работы $[1]$, то есть

$$ A_{22} = S_{4356} = 396 \cdot P91. $$

Теорема доказана.

2. Общий случай $m > 2.$

Приведем предположительные структуры некоторых множеств $A_m$ на основе вычислений их начальных элементов. Реверсивно-устойчивую последовательность будем обозначать $S \; (\frac x y)$, где $\frac x y$ - ее коэффициент реверсивной устойчивости.

$$ A_3 = S(\frac 8 3) \cup S(\frac {19} 3) \cup S(\frac {14} 3) \cup S(\frac 7 3) \cup S(\frac 2 3) \cup S(\frac 5 3), $$

где

S(8/3) = {27,297,2727,2997,27027,29997,270027,272727,297297, ...}
S(19/3) = {1107, 12177, 111807, 122877, 1108107, 1229877,  ...}
S(14/3) = {2079, 20979, 209979, 2099979, 20792079, 20999979, ...}
S(7/3) = {3267, 32967, 329967, 3299967, 32673267, 32999967, ...}
S(2/3) = {6534, 65934, 659934, 6599934, 65346534, 65999934, ...}
S(5/3) = {560439, 5609439, 56099439, 560999439, 5609999439, ...}

$$ A_4 = S(\frac 7 4) \cup S(\frac 1 4) \cup S(\frac {13} 4) \cup S(\frac 9 4) \cup S(\frac {33} 4), $$

где

S(7/4) = {12, 24, 36, 48, 132, 264, 396, 1212, 1332, 1452, ...}
S(1/4) = {8712, 87912, 879912, 8799912, 87128712, 87999912, ...}
S(13/4) = {21296, 214896, 212981296, 2129621296, 21296021296, ...}
S(9/4) = {36828, 3682836828, 36828036828, 368280036828, ...}
S(33/4) = {1070388, 1071340658388, ...}

$$ A_5 = S(\frac {17} 5) \cup S(\frac 6 5) \cup S(\frac 2 5) \cup S(\frac {14} 5) \cup S(\frac 3 5), $$

где

S(17/5) = {15, 165, 1515, 1665, 15015, 16665, 150015, 151515, ...}
S(6/5) = {[45, 495, 4545, 4995, 45045, 49995, 450045, 454545, ...}
S(2/5) = {21780, 219780, 2199780, 21999780, 217821780, 219999780, ...}
S(14/5) = {201465, 2016465, 2032965, 20166465, 20347965, 201666465,...}
S(3/5) = {934065, 9349065, 93499065, 934999065, 9349999065, ...}

$$ A_6 = S(\frac 5 6) \cup S(\frac {17} 6) \cup S(\frac {47} 6) \cup S(\frac {31} 6) \cup S(\frac 1 6), $$

где

S(5/6) = {15, 165, 1515, 1665, 15015, 16665, 150015, 151515, ...}
S(17/6) = {45, 495, 4545, 4995, 45045, 49995, 450045, 454545, ...}
S(47/6) = {21780, 219780, 2199780, 21999780, 217821780, 219999780, ...}
S(31/6) = {201465, 2016465, 2032965, 20166465, 20347965, 201666465,...}
S(1/6) = {934065, 9349065, 93499065, 934999065, 9349999065, ...}

$$ A_7 = S(\frac 4 7) \cup S(\frac {31} 7) \cup S(\frac {13} 7) \cup S(\frac 3 7) \cup S(\frac {22} 7) \cup S(\frac {51} 7 \cup S(\frac {43} 7) \cup S(\frac {26} 7), $$

где

S(4/7) = {21, 42, 63, 84, 231, 462, 693, 2121, 2331, 2541, 2751, ...}
S(31/7) = {1617, 17787, 1618617, 16171617, 161701617, 177887787, ...}
S(13/7) = {3927, 39273927, 392703927, 3927003927, 39270003927, ...}
S(3/7) = {7623, 76923, 769923, 7699923, 76237623, 76999923, ...}
S(22/7) = {22407, 246477, 22429407, 224092407, 2240722407, ...}
S(51/7) = {103257, 1041957, 10428957, 104298957, 10325803257 ...}
S(43/7) = {147609, 147609147609, 1476090147609, 14760900147609, ...}
S(26/7) = {246519, 246519246519, 246530586519, 2465190246519,...}

$$ A_{18} = S(\frac {29} {18}) \cup S(\frac {19} {18}) \cup S(\frac {73} {18}), $$

где

S(29/18) = {162, 1782, 16362, 17982, 162162, 179982, 1620162,...}
S(19/18) = {19602, 197802, 1979802, 19799802, 196039602, ...}
S(73/18) = {1492506, 14938506, 149398506, 1493998506, ...}

Теорема 3. Для любого натурального $m$ множество $A_m$ равно объединению конечного числа реверсивно-устойчивых последовательностей:

$$ A_m=\bigcup_{i=1}^{r} S(x_i/m), $$

где $x_i\in\mathbb N, \; gcd(x_i,m)=1.$

Доказательство. Пусть $n\in A_m$. Тогда, по определению $A_m$, $n=mk$ и $gcd(mk,rev(mk))=k$. Отсюда $rev(mk)=qk$ для некоторого $q\in\mathbb N$, причём $\gcd(q,m)=1$. Следовательно,

$$ \frac {rev(n)} n = \frac q m \tag{7} $$

Кроме того, так как $rev(n) \lt 10n$, то

$$ 1 \le q \lt 10m. $$

Для данного $m$ и каждого фиксированного $q$ уравнение $(7)$ задает реверсивно-устойчивую последовательность $S(q/m)$ с коэффициентом реверсивной устойчивости $q/m$. Для каждого $m$ число таких последовательностей конечно, так как $q \lt 10m$.

Теорема доказана.

Каждое из приведенных выше, а также любых других представлений $A_m$ в виде объединения конечного числа реверсивно-устойчивых последовательностей может быть строго доказано таким же способом, каким в теореме $2$ было доказано подобное представление для $A_2$.

Список литературы

  1. Гуляев Георгий Михайлович Двоичные палиндромы и реверсивно-устойчивые последовательности // ArxivOrg.Ru. — 2026. — URL: https://arxivorg.ru/a/AX-134223.
  2. R. Webster and G. Williams, On the Trail of Reverse Divisors: 1089 and All that Follow, Mathematical Spectrum, 45 (2012/2013), 96–102.
  3. https://oeis.org/A008918
  4. Sloane, N. J. A. 2178 and all that [Электронный ресурс] / N. J. A. Sloane // The Fibonacci Quarterly. — 2014. — Vol. 52, no. 2. — P. 99–105. — https://www.fq.math.ca/Papers1/52-2/Sloan10242013.pdf