Применение методов теории вероятностей к теореме Ферма А втор : Челтыгмашев - Мамышев Евгений Гаврилович , г. Абакан . Е mail : evgeniy . ch eltygmashev @ yandex . ru Ключевые слова: теория вероятностей, теорема Ферма, случайное событие, распределение Пуассона, случайная величина, параметр распределения. Введение В этой работе проведена оценка теоремы Ферма с использованием методов теории вероятностей , которая выявила определенную зависимость для различных степеней n . Данная работа не претендует на строгое доказательство теоремы . В соответствии с т еорем ой Ферма для любого натурального числа n > 2 уравнение a n + b n = c n не имеет решений в целых ненулевых положительных числах . Данная теорема, как известно, уже доказана. Целью работы является оценк а возможности совпадения чисел c n и чис ел , которые можно представить в виде суммы чисел a n + b n , при различных степенях n . При этом в начале определя е тся вероятност ь случайн ого событи я их совпадений в зависимости от степени n . З атем находится вероятность случайной величины, которая определяет сколько раз мо гут появиться данны е совпадения на рассматриваем интервале в зависимости от степени n . Определение вероятностей случайных событий в зависимости от степени n. В ходе оценки теоремы с использованием теории вероятностей буд ем использовать множество натуральных чисел N , так они эквивалентны целы м ненулевы м положительны м числа м. Р ассмотрим некоторый достаточно большой ряд натуральных чисел N к (1, 2, 3, …, а к ). Выберем любое число а i ∈ N к . М ожно задаться вопросом , какова будет вероятность, что выбранное натуральное число а i окажется числом n - ой степени (событие А ) . Или, к акая будет вероятность того , что выбранное число а i окажется числом, которое можно представит в виде суммы двух чисел n - ой степени (событие В ) . И наконец, какая будет вероятность , что выбранное число а i одновременно окажется числом n - ой степени и числом, которое можно представит ь в виде суммы двух чисел n - ой степени (событие С) . Будем проводить испытания , заключающиеся в поочередном выборе чисел а i из ряда N к с целью определ ить , появится и ли не появится в каждом испытании событие А либо событие В . В ероятность события А для каждого испытания определяется как отношение количества чисел n - ой степени к числу а к . Количеств о чисел n - ой степени определ яется по формуле : [ √ а [формула] к ] Тогда вероятность события А определяется по формуле : Р(А) = [ √ а [формула] к ] / а к В результате проведенных расчетов получилось, что для N к в каждо м испытани и в ероятность Р(А) близка к нулю для всех n  2 . Если рассмотреть все множеств о натуральных чисел N , то п ри а к → ∞ вероятность Р(А) → 0 для всех n  2 . Вероятность события В для каждого испытания определяется как отношение количества чисел, котор ы е можно представит ь в виде суммы двух чисел в степени n , к числу а к . Формула для вычисления данных чисел более сложная и здесь не приводиться. Расчеты показали, что д ля n = 2 при каждом испытании для N к вероятность Р(В) уже не близка к нулю . П ри а к → ∞ вероятность Р(В ) лежит между 0,25 и 1 для всего множества N . Уже при а к = 10 9 вероятность Р(В) практически остается на одном уровне, примерно равным 0,3927. Если считать, что предел в ероятности события В равен этому числу, тогда п ри а к → ∞ ⇒ Р(В) ≈ 0,3927 . Таким образом количество натуральных чисел , которые можно представить в виде суммы двух квадратов , составляет около 39 % от всего множества натуральных чисел N . Для n  3 в ероятность Р(В) при каждом испытании для N к близка к нулю . Д ля всего множества натуральных чисел N п ри а к → ∞ вероятность Р(В) → 0 . Теперь определим, какие значения принимает вероятность события С . Вероятность события С , исходя из предположения, что события А и В независимы, определяется как произведение вероятностей событий А и В : Р(С) = Р(АВ) = Р(А)  Р(В) Д ля n = 2 : Р(С) = Р(А)  Р(В) = 0  0,3927 = 0 Для n  3 : Р(С) = Р(А)  Р(В) = 0  0 = 0 В итоге получается, что для всех n  2 для N к вероятность Р(С) в каждом испытани и близка к нулю , а д ля всего множества N п ри а к → ∞ вероятность Р(С) → 0 . Здесь необходимо отметить одну особенность, связанную с тем, что чем больше степень n , тем большими получаются числа n - ой степени, и тем реже они появляются на множестве N . Соответственно при увеличении степени n п лотность событи й А и В уменьша е тся , а вероятности Р(А) и Р(В) быстрее стремятся к нулю . Определение вероятностей случайной величины в зависимости от степени n. Далее в ведем случайную величину Х , которая определяет, что на рассматриваем интервале N к событие С может появиться m раз, при этом 0  m  а к . Здесь необходимо определиться , како й закон распределен ия целесообразно использовать для случайн ой величин ы Х . Так как при а к → ∞ ⇒ Р(С) → 0 для всех n  2 , то д ля оценки теоремы подходит распределение Пуассона , котор ое показал о интересные результаты. Как известно, вероятность распределения случайной величины по закону Пуассона определяется по формуле: Р ( m ) =  m  е -  / m ! где  - параметр распределения , который одновременно является математическим ожиданием и дисперсией . Необходимо отметить, что нам наиболее важно знать существуют или нет такие числа . В этом случае следует определить вероятность только для двух вариантов : m = 0 , когда отсутствуют такие числа, и m  1 , когда существует хотя бы одно такое число . Подставим m = 0 в формулу распределения Пуассона и получим : Р( m = 0) = е -  Т огда : Р( m  1) = 1 – Р( m = 0) = 1 – е -  . Теперь посмотрим , какие значения принимают Р( m = 0) и Р( m  1) для различных степеней n . О сновное внимание здесь уделено характеру поведения  в зависимости от степен и n . Применительно к теореме параметр распределения определяется по формуле:  = Р(С)  а к = Р(А)  Р(В)  а к Полученные расчеты показали следующие результаты. 1 ) Для степени n = 2 параметр распределения  > 1 . П ри а к → ∞ ⇒  → ∞ , следовательно : Р( m = 0) = е -  = 0, Р( m  1) = 1 – Р( m = 0) = 1 – 0 = 1. В результате можно сделать вывод о том, что на всем интервале натуральных чисе л N обязательно появится хотя бы один раз событие С и это есть достоверное событие , то есть существуют квадраты, которые можно разбить на два квадрата . Математическое ожидание стремиться к бесконечности Е[Х] =  → ∞ , что соответствует действительности , так как ф актически таких чисел бесконечное множество. 2 ) Для степен ей n  4 параметр распределения  < 1 . П ри а к → ∞ ⇒  → 0 , следовательно : Р( m = 0) = е -  = 1 , Р(m  1) = 1 – Р( m = 0) = 1 – 1 = 0. В результате можно сделать вывод, что при проведении испытаний на всем интервале натуральных чисел N для всех n  4 появление хотя бы одного события С невозможно. Математическое ожидание стремиться к нулю Е[Х] =  → 0, что соответствует действительности , так как фактически таких чисел нет. Здесь возникает вопрос сохраняется ли распределение Пуассона при  → ∞ и  → 0 . С математической точки зрения никаких ограничений на λ не накладывается: 0 <  < ∞ . Однако при больших  распределение Пуассона сильно меняет свою форму, становясь практически неотличимым от нормального распределения. При очень малом  распределение Пуассона становится сосредоточенным около нуля , и вероятность того, что произойдет какое - либо событие, становится очень мал енькой . 3 ) Для степени n = 3 нахождение параметр а распределения  показ ало интересные результаты. Для N к параметр распределения лежит в интервале 0 <  < 1. П ри а к → ∞ предел  лежит между 0,315 и 1. Уже при числе а к = 10 18 параметр распределения практически остается на одном уровне, примерно равным  ≈ 0,44166. Если считать, что предел параметра распределения равен этому числу, тогда: Р( m = 0) = е - 0,44166 = 0,643 Р(m  1) = 1 – Р( m = 0) = 1 – 0,643 = 0,357 Следовательно, д ля N с вероятностью 64,3 % можно говорить о том , что кубов, которые можно разбить на два куба, нет. Вместе с тем, с вероятностью 35,7 % не исключается возможность существования таких чисел. Математическое ожидание меньше единицы, но не равно нулю : Е[Х] =  ≈ 0,44166 . Фактически таких чис ел нет, это уже доказанный факт. Е сли бы для степени n = 3 количество событий А и В было бы чуть больше, чем на самом деле, то возможно существовало бы одно такое число или их ограниченное количество. Заключение Полученны е результаты оценки теоремы Ферма с использованием методов теории вероятностей показали, что они не противоречат и соответствуют доказательству данной теоремы, опубликованному в 1995 году. Можно рассмотреть возможность использовать для оценки теоремы другие законы распределения теории вероятностей . Также можно попытаться использовать методы теории вероятностей для оценки наличия или отсутствия таких чисел для общей гипотезы Эйлера (опровергнута для некоторых степеней) и общей гипотезы Ландера - Паркина - Селфриджа. Сама идея возникла еще в 2003 году, проведение расчетов было завершено в 2005 год у . О публиковать полученные результаты решил только сейчас. В интернете аналогичны х работ по применению теории вероятности к теореме Ферма не нашел .