## В. П. Воеводов
Аннотация
В работе предлагается новый подход к исследованию структуры множества натуральных чисел на основе концепции альтернативных числовых множеств, одним из которых является множество простых чисел. В итоге получаем самое короткое и простое общее доказательство бесконечности множества простых близнецов произвольной длины и конфигурации.
Ключевые слова: простые близнецы, простые кортежи, альтернативные множества, связующий код, короткое доказательство, общее доказательство.
Keywords: twin primes, prime tuples, alternative sets, binding code, short proof, general proof.
1 Введение
В рамках этой теории множество простых чисел перестаёт быть изолированной аномалией: оно оказывается лишь частным случаем широкого класса альтернативных множеств, подчиняющихся единым фундаментальным законам плотности. Если наш взгляд прикован к простым числам, то альтернативные множества менее заметны, но также активно проявляют себя в общем мире натуральных чисел. Причём, эти множества включают множество простых чисел как единичную составляющую всего своего массива, образующего единую гармонию натурального ряда.
2 Концепция альтернативных множеств
Каждое натуральное число при своем вхождении в числовой ряд однозначно проецируется на бесконечную систему вычетов по всем простым модулям.
Определение 1. Связующим кодом (CK) натурального числа x называется бесконечная последовательность его вычетов по модулю всех простых чисел, взятых в порядке их возрастания:
$$CK(x) = (r_1, r_2, r_3, \dots),$$ (1)
где $r_i \equiv x \pmod{p_i}$ , а $p_i - i$ -е простое число $(p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, \dots)$ .
Определение 2. Пересечение двух связующих кодов
$CK(A) = (a_i)$ и $CK(B) = (b_i)$ не является пустым тогда и только тогда, когда существует хотя бы один общий индекс $i \in \mathbb{N}$ , для которого значения координат совпадают:
$$CK(A) \cap CK(B) \neq \emptyset \iff \exists i \in \mathbb{N} : (a_i = b_i)$$ (2)
Простые числа отличаются лишь тем, что их СК не пересекается с CK(0), состоящего из одних нулей. Однако такому множеству противостоит бесконечный класс множеств, чьи СК не пересекаются с любым(произвольно выбранным) СК.
Определение 3. (СК множества) Связующий код множества A (обозначается как CK(A)) представляет собой множество, состоящее из связующих кодов отдельных элементов этого множества:
$$CK(A) = \{CK(x) \mid x \in A\}$$ (3)
Определение 4. (Условие пересечения CK множества и CK числа). Связующий код множества A пересекается со связующим кодом конкретного числа $\omega$ , если в множестве A существует по крайней мере один элемент $a_i$ , индивидуальный связующий код которого имеет непустое пересечение с кодом числа $\omega$ :
$$CK(A) \cap CK(\omega) \neq \emptyset \iff \exists a_i \in A : (CK(a_i) \cap CK(\omega) \neq \emptyset)$$ (4)
Определение 5. (Альтернативные множества). Числовые множества называются альтернативными, если их связующие коды определены в общей области СК, они обладают равными асимптотическими плотностями, но их структуры ограничены условиями непересечения с различными связующими кодами чисел (альтернативами):
Теорема 1. (В. П. Воеводов). Для любого упорядоченного кортежа из n произвольно выбранных простых чисел (или из чисел конкретного заданного альтернативного множества), удовлетворяющего условию $n < P_1 < P_2 < \cdots < P_n$ , задаваемый им фиксированный шаблон расстояний повторяется в натуральном ряду бесконечное число раз.
Доказательство. Применим метод доказательства от противного. Допустим, что для некоторого фиксированного числа элементов n заданный регулярный кортеж имеет лишь конечное число точных копий (двойников) в натуральном ряду. В силу конечности этого подмножества, число альтернативных кортежей с подобной конфигурацией в каждом альтернативном множестве также будет конечным. Это вытекает из равенства плотностей альтернативных множеств и равенства комбинаторных вариантов для образования альтернативных кортежей. Тогда существует один самый удалённый кортеж из всех кортежей альтернативных множеств.
Рассмотрим дискретный шаг трансляции этого кортежа в сторону увеличения на одну единицу. Этот процесс индуцирует динамическую перестройку всей системы: смещение элементов кортежа влечет за собой синхронный сдвиг его связующего кода, что приводит к трансформации СК-альтернативы. Так как объём комбинаторного пространства V = const и объём связующего кода кортежа V(CK) = const, то V - V(CK) = const. Таким образом, при нашей трансформации СК кортежа всегда остаётся вакантное пространство для трансформированного СК-альтернативы.
Получив альтернативу, мы гарантированно получаем другое альтернативное множество, частью которого является наш полученный кортеж. В итоге мы получили кортеж с заданными параметрами за пределами допустимой границы, который принадлежит одному из альтернативных множеств.
Наше предположение о конечности количества кортежей оказалось ложным. Следовательно, число кортежей с заданным числом n и с заданной конфигурацией бесконечное множество. Это утверждение верно для любого альтернативного множества(включая множество простых чисел).