УДК 511.12 Доказательство бесконечности регулярных кортежей в системе альтернативных числовых множеств В. П. Воеводов Аннотация В работе предлагается новый подход к исследованию структуры множества на- туральных чисел на основе концепции альтернативных числовых множеств, од- ним из которых является множество простых чисел. Использование монолит- ной связки всех этих равноправных множеств позволяет свести доказательство к чистой логике. Ключевые слова: простые близнецы, простые кортежи, альтернативные мно- жества, связующий код, короткое доказательство, общее доказательство. 1 Введение В рамках данной теории множество простых чисел перестаёт быть изолированной аномалией: оно оказывается лишь частным случаем широкого класса альтернатив- ных множеств, подчиняющихся единым фундаментальным законам плотности. Если традиционный анализ сфокусирован преимущественно на простых числах, то аль- тернативные множества остаются менее заметными, хотя также определяют общую структуру множества натуральных чисел. Необычное поведение простых чисел объ- ясняется тем, что в основе их распределения лежит динамика взаимодействия с си- стемой альтернативных множеств. 2 Концепция альтернативных множеств Каждое натуральное число при своем вхождении в числовой ряд однозначно про- ецируется на бесконечную систему вычетов по всем натуральным модулям. Определение 1 (Связующий код числа) . Связующим кодом (CK) натурального числа x называется бесконечная последовательность его вычетов по модулю всех натуральных чисел, взятых в порядке их возрастания: CK ( x ) = ( r 1 , r 2 , r 3 , . . . ) , (1) где r n ≡ x (mod n ) для каждого натурального модуля n = 1 , 2 , 3 , . . . . При этом вычет r 1 ≡ 0 (mod 1) задает начальную координату, а вычет r x ≡ 0 (mod x ) определяет пространственную координату самого числа x . 1 Выбор CK в пользу натуральных чисел позволяет дать равные условия простым и составным числам при делении на самих себя. Определение 2. Пересечение двух связующих кодов CK ( A ) = ( a n ) и CK ( B ) = ( b n ) не является пустым тогда и только тогда, когда существует хотя бы один общий индекс n ∈ N , для которого значения координат совпадают: CK ( A ) ∩ CK ( B ) ̸ = ∅ ⇐⇒ ∃ n ∈ N : ( a n = b n ) (2) Простые числа отличаются лишь тем, что их СК пересекается с CK (0) , состоящего из одних нулей, только в двух базовых координатах. Однако такому множеству про- тивостоит бесконечный класс множеств, чьи CK пересекаются с любым(произвольно выбранным) СК только в двух координатах(включая начальную). Назовём связующй код CK(0) – альтернативой(CK–ограничителем) множества простых чисел Так как все CK пересекают CK (0) в двух базовых точках, то эти пересечения в большинстве случаев можно игнорировать Определение 3. (СК множества) Связующий код множества A (обозначает- ся как CK ( A ) ) представляет собой множество, состоящее из связующих кодов отдельных элементов этого множества: CK ( A ) = { CK ( x ) | x ∈ A } (3) Определение 4. ( Условие пересечения СК множества и СК числа ). Свя- зующий код множества A пересекается со связующим кодом конкретного числа ω , если в множестве A существует по крайней мере один элемент a n , индивидуаль- ный связующий код которого имеет непустое пересечение с кодом числа ω : CK ( A ) ∩ CK ( ω ) ̸ = ∅ ⇐⇒ ∃ a n ∈ A : ( CK ( a n ) ∩ CK ( ω ) ̸ = ∅ ) (4) Определение 5. ( Альтернативные множества ). Числовые множества на- зываются альтернативными, если их связующие коды определены в общей области СК, обладают равными пространствами вариантов, но ограничены индивидуаль- ными для каждого множества CK-альтернативами: CK ( A ) ∩ CK ( ω ) = ∅ , где CK ( ω ) — альтернатива множества A. (5) Так как каждое число натурального ряда имеет свой индивидуальный СК, который задаёт своё альтернативное множество, то весь натуральный ряд состоит из этих равноправных множеств, плотности которых равны на всей их протяжённости. 2 3 Глобальная теорема о простых близнецах Теорема 1. (В. П. Воеводов). Для любого упорядоченного кортежа из n произволь- но выбранных простых чисел(или из чисел конкретного заданного альтернативного множества), удовлетворяющего условию n < P 1 < P 2 < · · · < P n , задаваемый им фиксированный шаблон расстояний повторяется в множестве простых чисел бес- конечное число раз. Доказательство. Допустим, что заданный регулярный кортеж имеет лишь конеч- ное число подобных себе кортежей. В силу конечности этого подмножества, число альтернативных кортежей с подобной конфигурацией в каждом альтернативном мно- жестве также будет конечным. Поскольку пространство комбинаторных вариантов и плотность распределения связующих кодов инвариантны для всего семейства аль- тернативных множеств, ограничение на существование кортежей с фиксированной конфигурацией накладывает единую верхнюю грань на координаты таких кортежей во всех множествах . Таким образом, существует единая верхняя граница (коорди- ната) на числовой оси, выше которой данные кортежи отсутствуют во всей системе альтернативных множеств. Рассмотрим дискретный шаг трансляции исходного кортежа в сторону увеличения координат на единицу ( x → x +1 ). Данное преобразование индуцирует динамическую перестройку всей системы: смещение элементов кортежа влечет за собой синхронный сдвиг его связующего кода, что приводит к трансформации соответствующей СК- альтернативы. Поскольку объём комбинаторного пространства на конечном интервале V = const, а объём связующего кода кортежа на данном интервале V ( CK ) = const, разность V − V ( CK ) = const также является инвариантной. Из условия n < P 1 следует, что на оставшемся бесконечном пространстве вариантов мощность множества свободных позиций строго положительна. Таким образом, при операторе сдвига всегда суще- ствует непустое вакантное пространство для трансформированной СК-альтернативы. Наличие данной альтернативы гарантированно определяет своё альтернативное мно- жество, содержащее трансформированный кортеж, так как связующий код кортежа и СК-альтернативы не пересекаются. В результате мы получили кортеж с заданны- ми параметрами за пределами установленной верхней границы, что противоречит предположению о его максимальности во всей системе альтернативных множеств. Полученное противоречие доказывает ложность предположения о конечности числа кортежей. Следовательно, мощность множества кортежей с заданным числом эле- ментов n и фиксированной конфигурацией бесконечна. Данное утверждение инва- риантно для любого альтернативного множества, включая множество простых чисел. 3 Список литературы [1] Яковлев В. И., Скачкова Е. А. Введение в комбинаторику и теорию множеств: Учебное пособие. — Пермь: Пермский государственный национальный исследо- вательский университет (ПГНИУ), 2012. — 114 с. References Список литературы [1] V. I. Yakovlev, E. A. Skachkova, Vvedenie v kombinatoriku i teoriyu mnozhestv: Uchebnoe posobie [Introduction to Combinatorics and Set Theory: A Textbook], Perm: Perm State University, 2012, 114 p. (in Russian). 4