Схема наблюдения в статистике обобщённых репьюнитных простых: точный условный критерий константы Ленстры — Померанса — Вагстаффа

Научная статья УДК 511.3:519.234 Схема наблюдения в статистике обобщённых репьюнитных простых: точный условный критерий константы Ленстры — Померанса — Вагстаффа Тимофей Сергеевич Докучаев ∗ Независимый исследователь, Иркутск, Россия 24 сентября 2026 г. Аннотация Эвристика Ленстры — Померанса — Вагстаффа (ЛПВ) предсказывает, что{n x b(n)} ∼e γ /) ln. С 1993 года её проверяют по «нормированной ча- стоте встречаемости». Подозрение о смещении этой частоты цензурированием неверно: концевая форма и наклон МНК несмещены точно или с экспоненциально малой погреш- ностью. Настоящий дефект иной: формы оценки расходятся до,5%. Главный результат относится к объединениюM тий). Фронты поиска не записаны; это мешающие параметры Неймана — Скотта, и профильная оценка bдостаточ- но для фронта, и условно на нём b−λ bDb)M/S с интервалами в замкнутой форме:,, точный,59; 2,11],,67 против γ ≈,781. Сообщавшееся десятипроцентное превышение над ЛПВ создаётся в основном схемой наблюдения; старый критерий отвергает верную гипотезу в–17% случаев. Вывод опирается на допущение, что фронт выбирался без оглядки на находки; че- тыре документированных фронта опасного нарушения не показывают. Сама эвристика при конечныхκ/)(1+ b/t). Мы калибруем bпо фактической делимости b(p),67). С ним при,69–1,71 усечении, ЛПВ не отвергается (p,62–0,73), а «медленная сходимость снизу» получа- ет объяснение. Критерий однородности (p,935) уверенно различает лишь разброс κbс коэффициентом вариации свыше,37. Ключевые слова: потеза Ленстры — Померанса — Вагстаффа, постоянная Эйлера — Маскерони, схема наблюдения, цензурирование типа I, пуассоновский точечный процесс, условное прав- доподобие, мешающие параметры, задача Неймана — Скотта, достаточная статистика, смещение оценки, мощность критерия, вычислительная теория чисел MSC 2020: Благодарности: (GIMPS) за предоставление данных о простых числах Мерсенна через открытый отчёт PrimeNet (https://www.mersenne.org/); значения индексов Мерсенна получены оттуда 27 августа 2026 года. Автор признателен участникам OEIS, которые много лет под- держивают последовательности обобщённых репьюнитных простых. Автор благодарит Jaume Gotanegra (MathOverflow,) за замечание о том, что условное правдоподобие (12) получается также интегрированием по фронту с мерой b(замечание). Финансирование: ∗ ORCID:. Контактный адрес: 1

The observation scheme in the statistics of generalized repunit primes: an exact conditional test of the Lenstra–Pomerance–Wagstaff constant Timofei Sergeevich Dokuchaev Independent researcher, Irkutsk, Russia, timofei93@yandex.ru, Abstract The Lenstra–Pomerance–Wagstaff (LPW) heuristic predicts #{nb n −/(b 1) prime} ∼e γ /) ln, tested since 1993 via a Ωormalized occurrence frequency”. The suspected censoring bias of this frequency does not exist: the endpoint form and the OLS slope are unbiased exactly or up to an exponentially small term. The real defect: forms of the estimator disagree by up to 29.5%. The main result poolsM recorded; they are Neyman–Scott nuisance parameters, and the profile estimator inconsistent. The position bof the last find is sufficient for the frontier, and conditionally on it b−λ bDb) exactly. This gives the estimator (M/S intervals: ^.838, exact 95% interval [1.59,.11],.67 against γ ≈. reported ten-percent excess comes mainly from the observation scheme; the old test rejects a true hypothesis in 11–17% of cases. This assumes that the frontier was chosen without regard to the finds; four documented frontiers show no violation in the dangerous direction. The heuristic itself gives a finite-n intensity (κ/)(1 + b/t). We measure bdirectly from the divisibility of b(p) (mean 0.67); with it, for.69–1.71 at every truncation, LPW is not rejected (p.62–0.73), and the “slow convergence from below” is explained. The homogeneity test (p.935) detects only spreads of bwith coefficient of variation above 0.37. Keywords: Wagstaff conjecture, Euler–Mascheroni constant, observation scheme, Type-I censoring, Pois- son point process, conditional likelihood, nuisance parameters, Neyman–Scott problem, suf- ficient statistic, estimator bias, statistical power, computational number theory Acknowledgments: project for providing the Mersenne prime data through the open PrimeNet report (https: //www.mersenne.org/); the Mersenne exponents were retrieved on 27 August 2026. The author is grateful to the OEIS contributors who have maintained the generalized repunit prime sequences for many years, and Jaume Gotanegra (MathOverflow, flow.net/questions/514719) for pointing out that the conditional likelihood (12) is also obtained by integrating out the frontier against b(Remark). Funding: 1 Введение Для целого основания Rb(n) = b n − b , причём b(n). При на p= 2 p −. Опираясь на эвристики Вагстаффа [1] и Померанса [2], гипотеза ЛПВ утверждает, что πb(x) = #{n b(n)} ∼ e γ ln ln где справочнике PrimePages [3]. Основание входит в (2) лишь через множитель/: константа 2

e γ ≈,78114] предложил проверять эту универсаль- ность эмпирически по разным основаниям, а Бурделэ [5] с тех пор ведёт текущие оценки нормированной частоты, публикуя их в комментариях к записям OEIS [6]. Родственные вопросы для одной лишь последовательности Мерсенна недавно обсуждались в [7]. Близка по духу и работа [8], где у показателей Мерсенна ищут вторичную структуру, связанную с разложением; методически она устроена так же, как наш §8 ное условное правдоподобие плюс проверка значимости, — но проверяет структуру одного основания, тогда как мы проверяем её Вокруг этих оценок сложился интерпретационный фольклор. Основание 13 описывается как «удачливое», основание 7 — как «самое неудачливое»; отмечается, что нормированные частоты лежат ниже предполагаемого предела −γ ≈,5615 снизу. Настоящая работа разбирает эти утверждения, но приходит к выводам, отличным от тех, которых естественно ожидать. 1.1 Вклад работы 1. гонки заканчивается наибольшим известным индексом, действительно обусловливает оценку тем, что последнее наблюдение является событием, и достаточная статистика распределена какN, λ b) мированной частоты: и концевая форма(N) при схеме A и с точностью до множителя)e −µ при схеме B (предложение, таблица); при наблюдаемых b≥,73% вой формы и,3% ^/ ^ G, в(N неравенство Йенсена, а не цензурирование. Несмещённые оценки/κ быть взаимно обратными; всякая «поправка», чинящая одну, портит другую (§3). 2. несколько численно различных вариантов. На одних и тех же данных они расходятся до,5%,7 −γ (17,6%), которое и толкуют содержательно; у двух оснований из пятнадцати выбор формы весит больше, чем всё их отклонение от предсказания ЛПВ. Основание 18 при концевой форме — третье по «неудачливости» из пятнадцати, а при МНК — десятое, ниже медианы. Ярлык описывает выбор оценки, а не свойства простых (§3.4). 3. Gamma(M, Данные же получены при фиксированном фронте: поиск покрылt 0, b], а число находок случайно. Незаписанные ширины окон b— мешающие параметры, число которых растёт вместе с числом оснований; их совместная ОМП ^ Wb= bприводит к несостоятельной профильной оценке та [9]. Мы показываем (предложение), что bдостаточна для bпри фиксированной κ bвеличина b−λ bDb), причём bв это распределение не входит. ОтсюдаκS ский пивот, аM/S Андерсена [10], точно условно несмещённая; она же получается интегрированием по Wbс мерой b(замечание). Ни моментных приближений, ни экспоненциально ма- лых остатков, ни симуляционной инверсии интервалов не требуется (§4). Само разли- чие схем классическое, а несмещённостьN/D и мы на них не претендуем; новизна в том, что фронт экспозицию приходится восстанавливать из самих находок, и поправка оказывается пропорциональна числу оснований (замечание). 3

4.,838 [1,594; 2,109],672: превышение над ЛПВ сокращается с,3% незначимых,2%. Старый гамма-пивот при схеме B отвергает верную гипотезу в– 17%4.4); разброс зависит от того, как далеко ушёл фронт, и именно поэтому приводится диапазоном. 5. сплошного покрытия поиска (§2), вывод о схеме наблюдения держится на условии (A1): фронт выбирался без оглядки на находки. ОценкиM/SM/S построены на одних и тех же статистикахN b, Db),9%; какая из них верна, определяется не данными, а тем, как они собирались. Без (A1) строго держится лишь[M[S правиле остановки. Нижней границы нет: правило «прекратить поиск после долгой полосы без находок» смещает вверх иM/S, таблица). Попытка обойти выбор через заведомо несмещённые по-основанию куски проваливается (§4.6). Четыре документированных фронта (b,,,) дают первую эмпирическую проверку (A1). Фронты оказываются ближе к последним находкам, чем предсказывает (A1) (p,10). Если отклонение есть, оно скорее в сторону b<; тогдаM B/SM/S,965, хотя обе согласуются с ЛПВ. Малые bδbмогут отражать и момент публикации фронта, а не правило остановки (§4.5). Единственный радикальный выход — публиковать фронты Lb. 6. делает нулевое распределение критерия однородности точным (мультиномиальным), без апелляции к асимптотике 2 . Получаем,13 p,935. Но мощность такова, что критерий уверенно различает лишь разброс bс коэффициентом вариации порядка,375.3). Корректный вывод — «базоза- висимые частоты данными не требуются», а не «их не существует». 7. нечных b(t) = (κ/)(1 + b/t): делители b(p) не меньшеp. Точный условный вывод переносится на эту модель в замкнутой форме (§9). Положения находок bпочти не определяют, поэтому мы калибруем его по фактической делимости b(p): b= 0,43–1,11, в среднем,67, устойчиво по порогу; приём Вагстаффа даёт вдвое большие значения. Эти значения предсказываются из первых принципов — по простоте чиселkp ляция,976), — так что bзависит лишь от бесквадратной части. Метод проверен на модельных данных: он несмещён и даёт номинальное покрытие, тогда как модель постоянной интенсивности завышает–13%. С откалиброванным bоценка жается на–9% выбора схемы наблюдения. При,69–1,71 усечения, ЛПВ не отвергается (p,62–0,73), а тот же член объясняет фольклорную «медленную сходимость снизу». 8. личает отклонения от γ не менее,3%; одна последовательность Мерсенна — не менее,5%6). Конвенция критерия указана явно, поскольку односторонний вари- ант даёт заметно другой порог (18,7%). В §7 ции Мерсенна порождает на вид значимый отрицательный свободный член, который ока- зывается артефактом обусловливания. Мы включаем его как разобранный пример той же ошибки в ином обличье. 4

2 Модель и данные 2.1 Пуассоновская модель Положим. Эвристика (2) равносильна утверждению, что индексы обобщённых ре- пьюнитных простых по основанию на оси λb= κ ln , γ = 1,781072 Универсальность — это утверждение, что единственный параметр ваниями. Пуассоновская идеализация здесь — рабочее допущение, а не теорема: даже для обычных простых пуассоновский закон в коротких промежутках доказан лишь условно, при гипотезах Харди — Литтлвуда, и известно, что он разрушается при росте масштаба [11]. Мы принимаем () как модель и всюду рассматриваем вопрос «верна ли ЛПВ?» к однопараметрическому и делает основания объединяемыми. 2.2 Допустимые основания Основания, являющиеся точными степенями, исключаются: при m ,, число Rb(n) Поэтому основания,,, результатов: берутся, не являющиеся точными степенями, что даёт B; ни одно основание не исключено и не добавлено по величине его оценки. Каждое из них имеет не менее восьми известных индексов (минимум достигается при: восемь членов A133857). Подчеркнём, однако, что сама верхняя граница не следствие критерия «не менее восьми индексов»: этот критерий выполняется и дальше (A127996 для нарушается лишь при бранной, мы проверили её влияние прямо. Расширение набора до всех оснований, не являющихся точными степенями (добавляются,,,,; 2 исключает- ся алгебраически), даёт, M S = 1,9776, M S = 1,8285, то есть сдвигает основную оценку (20) на,5% схемы наблюдения (§4). Критерий однородности на расширенном наборе однородность не отвергает (Λ = 10,24,953; тег [S17]). Ни один вывод работы от границы Замечание. выбрана она в мире, где числа известных членов уже опубликованы, и это стоит проверить не риторически, а по знаку сдвига. Условный вывод § b≥ безобидно, поскольку находки есть у всех оснований; обусловливание же на b≥ ным не было бы и смещало бы. Снятие границы до основание, с,8381,8285. Знак сдвига тот, который предсказывает отбор по числу находок, а величина — на порядок меньше цены схемы наблюдения. Мы считаем это достаточным свидетельством того, что граница вывода не определяет. 2.3 Данные и их статус В таблице 2026 года (сверка — приложение). Четыре оговорки существенны. 5

Вероятно простые числа. простые, установленные тестом Ферма или сильным тестом Ферма после пробного деления. Счёт смещается вверх лишь в случае, если псевдопростое Ферма было принято за простое, что для чисел такого размера практически не встречается. Чувствительность проверена в §. Фронты проверки.12] публикует два фронта: все показатели ниже ver= 81 648 221 все показатели ниже ft= 141 308 443. Два наибольших показателя предварительны: между ними остаются непроверенные кандида- ты. Анализ §7, где фронт используется явно, ограничен Объединённый анализ к этому выбору нечувствителен (§5.4). Оба фронта — движущиеся величины, поэтому фиксируем момент считывания: отчёт PrimeNet Milestones, 27 августа 2026 г. Ни один вывод от точного значения verне зависит: достаточно того, что оно лежит между 50= 77 232 917 51= 82 589 933, а это верно для всех значений отчёта за 2026 год. Статус записи A000043. держал: порядок следующих показателей OEIS считает недоказанным до завершения двойной проверки. Показатели ны и документированы GIMPS (и упомянуты в комментариях к A000043), но формально в DATA не входили. После завершения двойной проверки ниже от 4.09.2026) этот показатель внесён в DATA как-й член (проверено 24.09.2026); на рас- чёты это не влияет, поскольку он и так учтён. Мы включаем оба показателя, поскольку статистика (13) использует лишь положение последнего события, а не его порядковый но- мер; в §5.4 показателями вывода не меняет. Границы поиска и полнота покрытия при. ный и атрибутированный фронт выше последней находки опубликован лишь при: «Search limit is 10800000, currently» (С. Баталов, комментарий к A004023, 1 июля 2021 г.). В расширенном наборе к нему добавляются 5 (Р. Прайс, коммен- тарии к A127997 и A127999, 2012 г.). Для остальных оснований записи OEIS содержат лишь даты находок, а участники распределённого поиска прямо пишут, что пределы поиска по большинству оснований неизвестны. Именно эта лакуна — предмет §4 главное препятствие к количественной проверке ЛПВ; четыре документированных фронта использованы в §4.5. Отметим отдельно: вся конструкция предполагает, что поиск покрыл (t0, b] иске это обычное дело, — то есть в ту же сторону, что и наш основной вывод. Проверить полноту покрытия по опублико- ванным данным в общем случае нельзя. Что пропуски реальны, показывает основание. В 2024 г. найдены вероятно простые 5(4 939 471) 5(5 154 509) сводные таблицы отмечают промежуток–4 939 471 условного вывода это существенно: закон () требует сплошного покрытияt 0, t0+ b). Поэтому мы сохраняем max= 3 300 593. Включение обоих чисел, допустимое лишь при сплошном покрытии, дало бы,852,838 пользу публикации не только фронтов, но и протоколов просеивания. 6

Таблица 1. Использованные последовательности. b— число событий строго правее 0= ln min, то есть на единицу меньше числа известных простых индексов: наименьший индекс задаёт начало отсчёта, а не событие; b= b− в (13). Столбец bприведён округлённым, но все вычисления используют точные b= ln max− min. В итоговой строке ∑︁ b Nb, ∑︁ b Db/; величина S b. Источник — записи OEIS, получено 27.08.2026; для показатели2). Table 1. bis the number of events strictly to the right of 0= ln min, that is, one less than the number of known prime indices: the smallest index sets the origin, not an event; b= b−13). The bcolumn is rounded, but all computations use exact b= ln max− min. In the last row ∑︁ b Nb, and ∑︁ b Db/; the quantity bcolumn. Source: OEIS entries, retrieved on 27 August 2026; for GIMPS (§2). b b Kbnmin nmax Db Db/ 2 A000043 52 51 50 2 136 279 841 18,0371 26,0220 3 A028491 23 22 21 3 8 530 117 14,8605 13,5266 5 A004061 19 18 17 3 3 300 593 13,9110 8,6434 6 A004062 17 16 15 2 3 360 347 14,3344 8,0002 7 A004063 10 9 8 5 1 264 699 12,4409 6,3934 10 A004023 11 10 9 2 8 177 207 15,2237 6,6116 11 A005808 13 12 11 17 1 868 983 11,6077 4,8408 12 A004064 14 13 12 2 769 543 12,8604 5,1754 13 A016054 13 12 11 5 1 503 503 12,6139 4,9178 14 A006032 11 10 9 3 1 724 417 13,2618 5,0252 15 A006033 10 9 8 3 639 833 12,2704 4,5311 17 A006034 12 11 10 3 1 990 523 13,4053 4,7315 18 A133857 8 7 6 2 1 270 141 13,3615 4,6228 19 A006035 11 10 9 19 209 359 9,3074 3,1610 20 A127995 9 8 7 3 984 349 12,7011 4,2397 всего,4423 3 Что смещено, а что нет 3.1 Употребительные оценки Дабнер [4] и Бурделэ [5] характеризуют основание сти, получаемой подгонкой прямой к зависимости kот ln. Согласно (3) ожидаемый наклон равен/λ b= ln, так что нормированная частота оценивает Gb= 1 κ , b= −γ = 0,5614595 В обращении несколько вариантов — обычный МНК со свободным членом, регрессия через начало координат и концевая форма ^ Gb= b/(Nbln), где b= Nb −0. Все они обла- дают одной структурной особенностью: интервал подгонки заканчивается на наибольшем известном индексе. 3.2 Точное распределение Предложение 1 пуассоновский процесс интенсивностиt 0,), и пусть 1< N— его первые N 0. Тогда N−0имеет распределениеN, λ) 7

λ N d N1 e −λd /(N. При условии как порядковые статистикиt 0, t0+). Доказательство. 1−0, . . . , tN−N1независимы и распределены по законуλ), а суммаN, λ). Условная рав- номерность есть свойство порядковых статистик пуассоновского процесса, применённое к (t0, t0+). Следствие 1. λ ^ λ E[ ^ λ] =[D −1 ] = N N λ, так как[D −1 ] =(NN, λ. Оценка ˜ λN/D точности несмещена. 3.3 Чего из следствия Естественно заключить, что раз ^ λ(N ^ Gbзанижена во столько же. Это неверно ни при одной из двух схем наблюдения, разобранных ниже. Предложение 2.: (i) [︃ D N ]︃ = 1 λ = b; (ii) kна[ ^ β/λ; (iii) ˜ Gb= N N1 ^ Gbсмещена(N 1) (b) Схема B. равными нулю, когда они не определены. Тогда E [︃ D N 1 {N1} ]︃ = [︁ ^ β01 {N1 ]︁ = 1 λ (︂ 1)e −µ )︂ , где ^ β0— наклон МНК по точкамk, t k),, . . . , N наклона ^ β1по точкам, . . . , N, E [︁ ^ β1 ⃓ ⃓N ]︁ = 1 λ · 1 (︁ 1 + 2 /2 )︁ e −µ 1)e −µ . Обе формы, таким образом, несмещены с точностью до экспоненциально малого по члена; при,73%6),25%7),05% и,23%. Доказательство.[DN, λ), откуда результат немедленно. (ii) Наклон МНК есть линейная статистика ^ β ∑︁ k wktkс весами k= (k ¯ k/ ∑︁ j (j ¯ k 2 , для которых ∑︁ k wk= 0 ∑︁ k wkk. Поскольку[ k] = 0+, получаем[ ^ β ∑︁ k wk(t0+) = 1/λ. (iii) непосредственно из (i). (b) При схеме B условно на nt 0, t0+, поэтомуn,[D 8

Таблица 2. Проверка предложения (зерно фиксировано, см., тег [S1]). Целевые значения: для[ ^ λ]/λ(N 1); для столбцов схемы B — столбец «теория» и (7,0000. В правой частиe −µ из (6) для ^ G. Столбец E[ ^ βλ ^ β1без начала отсчёта при условии, и его теоретическое значение даёт (7,9775,,9977,,,. Table 2., 60 000 replications per row (seed fixed, see analysisv2.py, tag [S1]). Target values:(N[ ^ λ]/λ; the column Ψheory” and (7) for the scheme B columns; 1.0000 for the rest. In the right-hand part Ψheory” gives the factor 1)e −µ of (6) for ^ G. The scheme B column ^ βλ slope ^ β1without the origin, conditional on7): 0.9775, 0.9977 and 1.0000 at,, схема A (Nµ N[ ^ λ]/λ N/(N[ ˜ λ]/λ[ ^ G]λ[ ^ βλ[ ^ G]λ[ ^ βλ 7 1,1655 1,1667 0,9990 1,0012 1,0020 0,9908 0,9927 0,9790 10 1,1103 1,1111 0,9992 1,0007 1,0018 0,9997 0,9995 0,9948 16 1,0650 1,0667 0,9985 1,0016 1,0017 0,9992 1,0000 0,9992 22 1,0462 1,0476 0,9987 1,0011 1,0006 0,9991 1,0000 0,9992 51 1,0206 1,0200 1,0006 0,9994 0,9992 0,9997 1,0000 0,9999 N(n, откуда[D/N] =(n. Усредняя поµ) учитывая, что, E [︂ D N ]︂ = ∑︂ n≥1 µ n e −µ n! (n = W µ ∑︂ n≥1 µ n+1 e −µ (n = W µ (︂ 1 −µ − −µ )︂ , что и есть (6[t k|] = 0+ kW/(n, . . . , n; поскольку наклон — линейная статистика с весами ∑︁ k wk= 0, ∑︁ k wkk, в обоих вариантах[ ^ β] =(n. Для ^ β0суммирование идёт по n ^ β1оно идёт по: ∑︁ n≥2 W n+1 µ n e −µ n! = W µ (︁ 1 µ 2 /2)e −µ )︁ , и деление наN)e −µ даёт (7). Содержательный смысл прост: несмещённые оценки/κ обратными, поскольку/x ^ Gb,b), где b= (Nb− b; но b̸= 1/ ^ Gb. Всякая единая «поправка на цензурирование», исправляющая одну величину, портит другую. Таблица обеих схемах. Замечание. работы. Ниже (§4) мы принимаем схему B как соответствующую способу получения данных; если бы пункт (a) был единственным, то весь §3 отвергает. Пункт (b) показывает, что вывод от выбора схемы не зависит: дефицит)e −µ при bсоставляет,73% b= 7,,05% b= 10 −6 при b= 16 (для МНК без начала отсчёта (7) —,25%,,23%,4 −5 ), тогда как обсуждаемые в литературе отклонения — десятки процентов. Замечание. противоречит интуиции: систематическое отклонение опубликованных частот вниз от −γ не порядка самой эвристики, bln ln нечных9); вклад в разрыв вносит и схема наблюдения (§4). 9

3.4 Неустойчивость к выбору формы оценки Несмещённость не означает согласованности. В таблице ^ Gbи оценка по МНК ^ G OLS b на одних и тех же данных. Расхождения достигают,5%), 15,9%b) и,3%b). Сопоставим их с тем, что в литературе толкуют содержательно, — с отклонениями самих оценок от −γ . Последние по пятнадцати основаниям имеют медиану,,6% b,7%). Наибольшее расхождение форм,,5%, превышает эту медиану в,7,1%, то есть около четверти медианного отклонения. Но у двух оснований из пятнадцати (b и) выбор формы весит больше, чем всё их отклонение от предсказания ЛПВ, — и одно из них, основание 18, фольклор как раз и обсуждает. Следствие для фольклора прямое. Основание 18 при концевой форме имеет ^ G18= 0,6604 — третье по величине из пятнадцати (после,7104,6612), то есть уве- ренно входит в тройку «самых неудачливых»; при МНК ^ G OLS 18 = 0,4656 из пятнадцати, ниже медианы,4904, то есть оно уже «удачливое». Ярлык переворачива- ется без единого нового простого числа, от одной лишь смены формы оценки: основание перемещается с третьего места на десятое. К этому добавляется вторая, техническая трудность МНК: его стандартные ошибки в этой задаче неверны. Остатки суть отклонения порядковых статистик и сильно автокорре- лированы; для 1= 0,825, а ковариационная оценка Ньюи — Уэста с восемью лагами увеличивает стандартную ошибку свободного члена с,447,7327). Опубликованные точечные значения не сопровождаются интервалами, и это, а не смещение, — главная методологическая претензия к текущей практике. 3.5 Условное правдоподобие схемы A Предложение 0= ln minи принявN b, Db) за данные по основанию, получаем логарифмическое правдоподобие ℓA(κ) = ∑︂ b [︂ Nbln κ ln − κ ln Db ]︂ + const, распределение которого не зависит от границы поиска b. Это существенно практически: Lbв основном наборе документирована лишь при. Дифференцируя (8 полагая ∑︁ b Db/, получаем ^ M S , M S , M ∑︂ b Nb. Так как ∑︁ b λbDbесть сумма независимых величинN b,, то κSM,, то есть точная центральная статистика; доверительные интервалы и-значения получаются в замкнутой форме.4. Замечание. процессов по разным основаниям. Строго она не выполняется на малых индексах: семна- дцать значений индекса встречаются более чем в одном основании, причём поскольку b(3) = 2 +. Все такие совпадения лежат при. Существеннее, впрочем, не совпадение индексов (числа b(n) возможная общность алгебраических делителей; и то и другое затрагивает лишь малые, тогда как bопределяется верхним концом диапазона. Подраздел 10

отбрасывание всех индексов ниже 3 вывод не меняет. Отметим, что к условному мульти- номиальному критерию § зависимость искажает не среднее, а нулевое распределение статистики; та же проверка с усечением покрывает и его. 4 Две схемы наблюдения 4.1 В чём различие Пивот (10) выведен в предположении, что bзадано планом наблюдения: мы смотрим на процесс, пока не наберём bсобытий, и останавливаемся. Назовём это выборка, цензурирование типа II). Данные получены иначе. Для каждого основания вычислительный поиск покрыл ин- тервалt 0, b] находок b— случайная величина, а фиксирован фронт b. Назовём это. Замечание. ходит к теории надёжности, где схема A называется, а схема B — truncated13,]. ОценкаN/D (следствие), там учебниковая, и мы не претендуем на неё. Распределение ОМП среднего при цензурировании типа I изучено Бартоломью [15]. Отметим также элементарный факт: при схеме B с известным окном достаточной статистикой служитλW, а EfN ∑︁ n fn)e −µ µ n /n! с, имеющей полюс в нуле. Поэтому несмещённой оценки/λ не существует (для цензурированных по времени выборок из экспоненциального распреде- ления см. [16]); то же рассуждение применимо и условно на b. Предложение противоречит: оно даёт точную несмещённость оценки. Новым мы считаем другое. В классической постановке момент прекращения испытания известен bв основном наборе докумен- тирован лишь для4.5), поэтому полную экспозицию приходится не брать из протокола, а восстанавливать — через отсутствие последействия, из самих находок. Отсюда и берётся поправка, а не на выборку в целом: неизвестных фронтов столько же, сколько оснований. Обзор смещений, порождаемых краем окна наблюдения, но в непараметрической постановке и для формы распределения интервалов, а не для интен- сивности, дан в [17]. Двойственные задачи известны давно. В палеонтологии по находкам окаменелостей оце- нивают неизвестный конец стратиграфического интервала, и наблюдённый крайний уро- вень продлевают примерно на один средний промежуток между находками [18, логии по записям наблюдений вида оценивают неизвестный момент его вымирания [20]. Общая задача об оценке точки усечения рассмотрена в []. Там, однако, неизвестный ко- нец окна — параметр интереса. У нас он мешающий параметр, и оценивается интенсивность. Ближе всего по технике работа [22]: там окно наблюдения начинается с первого события, и правдоподобие факторизуется на пуассоновский множитель и множитель, не зависящий от интенсивности. Работ, где цензурирование типа I с незаписанным моментом цензуриро- вания рассматривалось бы как задача об объединённой оценке интенсивности по многим стратам, мы не нашли. Различие не косметическое. При схеме B, условно на b=, положения событий суть независимых равномерных величин наt 0, b], поэтому условное распределение bзави- сит от bи b: при фиксированном bвеличина bинформативна о фронте, а не об интенсивности. Точнее, при схеме B с известной шириной окна b= ln b−0правдоподобие основа- ния Nb b e −λbWb, а при неизвестной оно зависит от мешающего параметра b≥ b 11

и монотонно убывает по нему. Совместная ОМП поэтому ставит ^ Wb= b— фронт ровно на последнюю находку, — и выражение (8) оказывается мешающим параметрам 1, . . . , WB, а метров растёт вместе с числом оснований, и профильная ОМП несостоятельна: при и ограниченных bWbона сходится не к. Это классическая ситуация Неймана — Скотта [9] (обзор — [23]), и стандартный выход из неё — обусловливание на статистике, достаточной для мешающих параметров [24,]. Его и реализует §4.2. Заметим также, что §7 явно, построен именно на схеме B. Обе схемы в одной работе применять нельзя; ниже мы принимаем схему B как соответствующую способу получения данных и строим для неё точный вывод. 4.2 Точный условный закон схемы B Ключевое наблюдение состоит в том, что при схеме B обусловливание надо проводить не на числе событий, а на положении последнего из них. Тогда неизвестный фронт исчезает из задачи полностью. Требуется одно допущение. (A1) bне выбиралось по результатам поиска: вычислительный бюд- жет, а не находки, определяет, до какого Wb= ln b−0есть случайная величина с произвольным неизвестным распределением b (в частности, константа), и весь векторW b)bне зависит от совокупности процессов находок по всем основаниям. Для закона12) мости bот процесса по основанию; совместная независимость нужна для пункта (iii) и мультиномиального критерия §5.3. На языке анализа выживаемости (A1) есть требование ния: момент остановки не зависит от того, что процесс успел породить. Распределения b могут быть любыми и различаться по основаниям; они нигде не оцениваются. Предложение 3. соновский процесс интенсивности bнаблюдается наt 0, t0+ b], выполнено (A1), b≥ и b=Nb −0— расстояние от начала отсчёта до последнего найденного события. (i)N b, Db)n, d),,, факторизуется: p(n, d) = −λbd (λbd) n−1 (n ⏞ ⏟⏟ ⏞ ядро условного закона ·b ∫︂ [d,∞) e −λb(wd) πb(dw ⏞ ⏟⏟ ⏞ плотность b , так что при фиксированной bстатистика bдостаточна для b(и для всего распределения b). (ii) Kb:= b− ⃓ ⃓Db∼λ bDb), и это распределение не зависит ни от b, ни от b. (iii) K ⃓ ⃓(Db)b∼κS, S ∑︂ b Db ln , иB= (M/S но несмещённая:[^ B|Db)b] =. 12

Доказательство. b=N b= b∈d, d} 0t 0, t0+)t 0+ 0+ но, наt 0+, t 0+ его вероятность равна −λbd(λbd) n−1 (n−1)! ·bΔ −λb(wd) +(Δ), а при усреднение по bзатрагивает лишь последний множитель и даёт (11). Суммирование по11) есть маргинальная плотность b. (ii) Де- ление (11) на маргинальную плотность b. (iii) Сумма независимых пуассоновских величин пуассоновская; логарифм условного правдоподобия B(κ) = ∑︁ b [︁ Kbln b/ ]︁ + const максимизируется при[K Замечание. интегрированием правдоподобия по мешающему параметру. При фиксированном окне сов- местная плотность пропорциональна n b d n−1 e −λbWb1 {Wb≥d}, и ∫︁ ∞ d λ n b e −λbWbdWb= n−1 b e −λbd — ровно ядро (12). Это интегрированное правдоподобие в смысле [25] с несобственной рав- номерной мерой на b. Такая процедура сама по себе зависит от выбора меры: мера, равно- мерная по b= bWb, то есть b= bdWb, дала бы n b e −λbd и вернула бы несостоятельную оценку ным12), которое определено без всякой меры и инвариантно относительно перепараметризации b. Во-вторых, bвходит в (11) как параметр сдвига для b= b−b (с точностью до усечения b≤ b), и b— инвариантная мера группы сдвигов. В-третьих, при b(dw11) равен b ∫︁ ∞ d e −λb(wd) dw bне зависит. Значит, отбрасываемый при обусловливании множитель при неизвестном фронте не несёт информации о, которую можно было бы использовать, не задавая b. Замечание. имеет ту же природу, что потеря одной степени свободы на группу в классическом примере Неймана — Скотта [9]. При ij∼µ i, σ 2 ) 2 несостоятельна, а обуслов- ливание на i, достаточной для iпри фиксированной 2 , даёт ∑︁ j (yij− i) 2 ∼ 2 χ 2 ni−1 . В обоих случаях мешающий параметр группы одномерен и является параметром сдвига, а до- статочная для него статистика «поглощает» ровно одно наблюдение: среднее — одну степень свободы, последнее событие — одно событие. Общий механизм — условное правдоподобие при статистике, достаточной для мешающего параметра при фиксированном параметре интереса [24]. Его состоятельность при растущем числе страт в регулярных условиях уста- новлена Андерсеном [10], а оптимальность условной оценки в моделях смеси по мешающему параметру — Линдсеем [26]. Замечание. Если интенсивность b(t; bсобытия наt 0, t0+ b) образуют пуассоновский процесс той же интенсивности, и условный логарифм правдоподо- бия есть ℓB(θ ∑︂ b [︂Nb−1 ∑︂ i=1 ln b(ti; ∫︂ t0+Db t0 λb(t; ]︂ : последнее событие исключается из суммы, а интеграл обрывается на нём. Именно в таком виде следует оценивать модели §8 Практические следствия предложения няют почти все оговорки предыдущей редакции этой работы. 1 1. Гарвуда [28] [︂ 1 2S χ 2 α/2,K , 1 2S χ 2 1−α/2,K ]︂ , 1 Предыдущие редакции и их вычислительные скрипты открыто доступны в истории репозитория [27]; здесь и далее ссылки на «предыдущую» или «более раннюю» редакцию относятся к ним. 13

покрытие которого никогда не ниже номинала. При нашем,9540 κ γ и лежит в пределах,950–0,958,5; 2,2] эффект дискретности). 2. без находок: обусловливание на b≥ b определено только тогда. Основание без единой находки в условное правдоподобие не входит. 3. b, в () не входит вовсе — при условии (A1). 4. B) = √︁ κ/S, √︁ κ/Sfull= 0,1224 известных фронтах, стоящих на своём ожидаемом месте, full≈ жение). Отказ от знания bувеличивает стандартное отклонение на,7%, или,1% фишеровской информации:, то есть примерно фронтов нужно не столько для точности, сколько для проверки (A1) (§4.5). При нарушении (A1) обусловливание на bперестаёт быть безобидным. Если поиск прекра- щается ровно на находке, то bи есть момент остановки, b= 0, и возвращается схема A. Если же поиск прекращается после достаточно долгой полосы без находок, то сама останов- ка несёт информацию о процессе до b, и закон (12) перестаёт быть верным (замечание). 4.3 Сколько стоит незнание фронта Помимо замечания, величину поправки поясняет прямой моментный расчёт. Мы сохраня- ем его как содержательное толкование и как основу анализа нарушений (A1) в замечании. Предложение 4.t 0, b], ширина окна Wb= ln b−0фиксирована (при (A1) — условно на b), а b= ln b−Nb — расстояние от фронта до последнего найденного события (при b= 0 b= b). Тогда Pr(δb> x) = −λbx (0 b),δ b= b) = −λbWb , то есть bесть экспоненциальная величина с параметром b, усечённая на b, и E[δb] = 1 −λbWb λb ≤ 1 λb . Полная экспозиция есть full= ∑︁ b δb/ ∑︁ b Wb/, причём[M fullтожде- ственно, а E [︂ κ ∑︂ b δb/ ]︂ = ∑︂ b e −λbWb . Доказательство.δ b> x} bозначает, что на интервале b− b] длины −λbx . При − b остаётся случай «событий нет вовсе», что и даёт атом в (16). Интегрируя хвост,[δ b] = ∫︁ Wb 0 e −λbx dx −λbWb)/λb, откуда (17), и неравенство очевидно. Далее, fullне случайна: по построению b+b= b, поэтому full= ∑︁ b λbWb=[M моментов. Наконец,[δ b]/ bE[δb] = 1 −λbWb, и суммирование по18 Иными словами, незнание фронта стоит информации, эквивалентной одному событию на каждое основание, — а формула (9) вычитает одно событие. При составляет четырнадцать событий, то есть,9%: M S = 1,9648 M S = 1,8381. 14

Отбрасываемый в (18) остаток ∑︁ b e −λbWbесть ожидаемое число оснований, у которых поиск не дал ни одной находки; в наших данных bWb≈ b≥, так что он не превосходит −3 против. Подчеркнём, что в точной формулировке (12) этот остаток не возникает вовсе: моментный расчёт нужен здесь только для интерпретации. Замечание. (M)/S,M/S,M/S. Это утверждение, и мы его отзываем. Неравенство (17) выведено при фиксированном (или независимом от процесса) окне, то есть именно при (A1), а тогда вилка не нужна: верна оценкаM/S b= bE[δb]: при (A1) b= 1 −λbWb≈, остановка «на находке» даёт b= 0, остановка «после засухи» — b>. Если (A1) нарушено, то b может быть любым неотрицательным числом. Строго сохраняется лишь тельно истории поиска (решение прекратить поиск не заглядывает вперёд), то по тожде- ству Вальда для пуассоновского процесса[N b] = bE[Wb] E[Wb]. Поскольку b= b+b≥ b, получаем[M[S: в смысле моментов ограничивает после полосы длиной bδb≥ ожидание такой полосы уплотняет события перед b, так что закон (12) перестаёт быть верным. ТаблицаM/S 6,7%, а точный критерий предложения 5%. Правило «остановиться на следующей находке» (δ b= 0) смещаетM/S 6,4%, и тогда правильна оценкаM/S Поэтому точная формулировка такова. При (A1) основной результат (20) точен. При остановке «на находке» правильна оценка (21). Верхнюю границу в смысле моментов при любом правиле даёт21) лишь на/S есть примерно на,5%, но сама оценка (21) такой границей не является: при остановке «на находке» её среднее равно,996). При остановке «после засухи» истинное κM/S γ или ниже его. Ни одно из нарушений (A1) не создаёт превышения над ЛПВ, которое данные требовали бы объяснять. Но величина неопределённости без документированных фронтов не ограничена снизу: это довод в пользу публикации bсильнее того, что приводился раньше. 4.4 Калибровка старого пивота Насколько плох гамма-пивот (10), если данные порождены схемой B, зависит от того, как далеко ушёл фронт, — и это стоит приводить диапазоном, а не одним числом. Таблица даёт обе величины сразу: ошибку I рода старого критерия и относительное смещение обеих объединённых оценок. Три вывода из таблицы. Во-первых, номинальный верную гипотезу в–17% причём тем сильнее, чем ближе фронт к последней находке. Во-вторых, оценкаM/S смещена вверх на–7%M/S шума Монте-Карло при всех правилах — что и предсказывает предложение, поскольку условная несмещённость влечёт безусловную. В-третьих, само число «16,2%», фигуриро- вавшее в более ранней редакции, есть значение при одном конкретном сценарии; корректно приводить диапазон. Все семь правил таблицы есть удовлетворяют (A1); правила, нарушающие (A1), разобраны в замечании. 4.5 Документированные фронты: эмпирическая проверка (A1) Датированный и атрибутированный фронт выше последней находки удалось найти для четырёх оснований (проверено 24.09.2026): 15

Таблица 3. Схема B при различных правилах остановки поиска: относительное среднее двух объединённых оценок, отношение[M/(κE[S правиле) и ошибка I рода точного двустороннего пуассоновского критерия (13) на уровне 5%. Бюджет 0 b = b/λb; «засуха пока не пройдёт bбез находок.0,05% средним и0,003, тег [S13], зерно). Table 3. the ratio[M/(κE[S the exact two-sided Poisson test (13) at the 5% level. Budget 0 b = b/λb; “drought the budget is spent the search continues until bpasses without a find. 20 000 replications per row, accuracy about0.05% for the means and0.003 for the level (script rules.py, tag [S13], seed 20260924). Правило остановки[(M1)/S/κ[(MB/S/κ E[M κE[S ошибка I рода (A1): фронт 0 b 1,0688 0,9999 1,0737 0,046 (A1): фронт 0 b ,,5; 2) остановка на находке 0,9963 0,9362 1,0003 0,165 засуха,5 засуха засуха •: отчёт GIMPS на момент считывания данных, ver= 81 648 221 Xft= 141 308 4432); •: «Search limit is 10800000, currently» (С. Баталов, A004023, 1.07.2021); •: «No other terms < 100000» (Р. Прайс, A127997, A127999, 2012 г.; последние находки Остальные упоминания пределов поиска либо устарели и лежат далеко ниже max, либо совпадают с последней находкой и отмечают её, а не поиск. При (A1) величины bδbнезависимы и распределены как bздесь пренебрежимо), так что их сумма поk,. Ма- лые значения указывают на остановку «на находке» (m <), большие — на остановку «после засухи» (, замечание). Наблюдаются значения,143b ver;,093 Xft),,215b),,737b) и,722b). Среднее равно,44–0,45 единице. Вероятность столь малой суммы при (A1) равна,10–0,11 Выводы осторожны: наблюдений четыре, фронт вания входят лишь в расширенный набор. Тем не менее это первая проверка (A1) по данным, и её результат информативен по. Документированные фронты расположены не дальше, а ближе к последним находкам, чем предсказывает (A1). Нарушение, опасное для вывода о согласии с ЛПВ, — остановка «после засухи», смещающаяM/S — данными не поддерживается: вероятность верхнего хвоста равна,89–0,90. Оговорка: ма- лые bδbмогут отражать и момент, когда фронт был сообщён, а не правило остановки (для b положном направлении, то есть b≤, то[M[S[M, и в смысле моментовM/Sp,10) на такое направление лишь указывают, но не доказывают его. Документированные фронты можно и использовать напрямую. Для оснований с извест- ным фронтом применимо полное правдоподобие: b∼λ bWb) ми и полным окном. Для остальных применим условный закон (12). Сумма снова точно 16

Таблица 4. Схема B при семи правилах расположения фронта: ошибка I рода номинального 5%10 нённых оценок. Правила заданы через ширину окна b= ln b−0: «E[#] есть b= b/λb; «+s b= (N b+)/λ b; «в» — b= bс наблюдённым b.0,003 уровню и0,1% Table 4. the Gamma pivot (10), and the relative bias of the two pooled estimators. The rules are stated through the window width b= ln b−0: “E[#] = observed” is b= b/λb; “+s intervals” is b= (N b+)/λ b; “c” is b= bwith the observed b. 50 000 replications per row, accuracy about.003 for the level and0.1% for the means (tag [S10]). Правило для фронта ошибка I рода[(M1)/S/κ[(MB/S/κ E[#событий] фронт,5 фронт фронт фронт фронт в, фронт вдвое дальше по A (контроль) 0,0492 — — пуассоновская. Гибридная оценка с известными фронтамиX ft) и ^,853,608; 2,125],588 γ . Она отличает- ся отM/S,838,8%, и основной вывод не меняется. 4.6 Данные не выбирают схему за нас Подчеркнём, чтоM/SM/S (Nb, Db). Никакая обработка самих находок не скажет, какая из них верна: выбор опреде- ляется тем, как данные собирались, и цена его составляет,9% остаточный разрыв с ЛПВ (3,2%). Естественная попытка обойти выбор — строить объединённую оценку из заведомо несме- щённых кусков. Оценка по одному основанию b= (N b− bнесмещена при схеме A (следствие) и несмещена при схеме B с точностью до экспоненциально малого члена. Дей- ствительно, при b= b/Wbраспределено какn,, и тождество E[1/Beta(α, βα/(α[ ˜ λb|b=] = b; при0,} нулю. Усреднение поλ bWb) b, а E[ ˜ λb] = b− Pr(N b= 1) Wb = b (︂ 1 −λbWb )︂ , то есть тот же экспоненциально малый дефицит: при bWb≈ b≥ 0,1%. Тем не менее взвешенное среднее κ∗= ∑︂ b (Nb− b /︂∑︂ b (Nb− с обратно-дисперсионными весами даёт при схеме A смещение,0%, а при схеме B —,5%, то есть практически то же, что иM/S тий — при схеме B случайны и положительно коррелируют с оценками; несмещённость каждого слагаемого не переносится на отношение сумм. Правильный способ объединения 17

Таблица 5. Оценки по основаниям. ^ Gb= b/(Nbln) ^ G OLS b — наклон МНК kна; обе несмещены (предложение). b= b/(Db/) условная оценка схемы B с точным интервалом Гарвуда (15) изκD b/). Послед- ний столбец — mid-PIT пуассоновского распределения при γ : значения вблизи единицы отвечают основаниям с b(ориентация обратна гамма-PIT прежней редак- ции). ЛПВ предсказывает −γ = 0,5615 γ = 1,7811. Table 5. ^ Gb= b/(Nbln) is the endpoint form; ^ G OLS b is the OLS slope of ln kon; both are unbiased (Proposition). ^ b= b/(Db/) is the scheme B conditional estimator with the exact Garwood interval (15) from Poisson(κD b/). The last column is the Poisson mid-PIT at γ : values near one correspond to bases with a b (orientation opposite to the Gamma PIT of the earlier version). LPW predicts −γ = 0.5615 and γ = 1.7811. b NbKb ^ Gb ^ G OLS b разн., % b95% ДИ (Гарвуд) mid-PIT 2 51 50 0,5102 0,5309,1 3 22 21 0,6148 0,60811,1 5 18 17 0,4802 0,46662,8 6 16 15 0,5000 0,49041,9 7 9 8 0,7104 0,7371,8 10 10 9 0,6612 0,6746 11 12 11 0,4034 0,361710,3 12 13 12 0,3981 0,37964,7 13 12 11 0,4098 0,344815,9 14 10 9 0,5025 0,5386 15 9 8 0,5035 0,5054,4 17 11 10 0,4301 0,4353,2 18 7 6 0,6604 0,465629,5 19 10 9 0,3161 0,2971 20 8 7 0,5300 0,5713,8 — не взвешивать по-основанные оценки, а суммировать достаточные статистики, как это делает (13). Отсюда мы делаем узкий, но, как нам кажется, важный вывод: объединения оснований неотделим от предположения о схеме наблюдения. Единственный радикальный выход — документировать фронты поиска b, как это делает GIMPS для. Мы обращаемся с этим к участникам соответствующих поисковых проектов. 5 Результаты 5.1 Оценки по основаниям Ниже −γ лежат разные −γ , а при МНК ниже, основание 20 — наоборот. Иными словами, даже знак отклонения не вполне устойчив к выбору формы; устойчиво лишь их. Это тот же эффект, что и в §, и затрагивает он ровно те два основания, у которых выбор формы весит больше самого отклонения. Все пятнадцать mid-PIT-квантилей лежат внутри центральной —,911,160. Основание 13, «удачливое», находится на 0,780, что ничем не примечательно для одного из пятнадцати. Все пятнадцать интервалов Гарвуда накрывают γ . 18

5.2 Объединённая оценка Точный условный вывод схемы B (предложение) даёт ^B= M S = 1,8381,,5939; 2,1091], p,672, где интервал есть (15) при,,4423, а-значение получено по конвенции удвоенного минимального хвоста дляe γ S, γ S,71; при mid-p-конвенции p,647. Точное покрытие интервала (20) равно,9540 γ и не опускается ниже 0,950. Для сравнения, схема A через ()–(10) даёт ˜,9648,,7205; 2,2444], p,142. Точечная оценка (21) на,3% γ , и именно это превышение прежде интерпрети- ровалось как след опущенного эвристикой фактора. При переходе к схеме B превышение сокращается до,2%, а-значение растёт с,14,67. Мы полагаем, что схема B ближе к способу получения данных, и потому считаем (20) основным результатом. Оценка (21) отвечает остановке поиска ровно на находке; при любом правиле остановки,974, лишь на,5%21) (замечание). При остановке «после засухи» истинное значение лежит ниже (20). Проверить (A1) по самим находкам нельзя; для четырёх оснований с документи- рованными фронтами это сделано в §4.5. Обе оценки согласуются с ЛПВ; различаются они тем, требуют ли данные объяснения для остаточного превышения. Мы заключаем, что не требуют; остаток к тому же объясняется членом второго порядка самой эвристики (§9). Кар- тина в целом показана на рис.: доверительный интервал каждого основания накрывает и γ , и обе объединённые оценки. 5.3 Однородность и её мощность Пусть 0— модель с единой, а 1— модель со свободными b. Из условного правдопо- добия предложения, поскольку ∑︁ b ^bDb/ BS подобий сводится к Λ = 2 ∑︂ b Kbln ^b ^B = 2 ∑︂ b Kbln Kb K sb/S , sb= Db ln . Существенно, что её нулевое распределение здесь ∑︁ b Kb превращает (13) в мультиномиальную модельK b)K b/S, и апелли- ровать к асимптотике 2 B1 не нужно. Мы получаем,127, точное,9352 6 мультиномиальных реализаций,0,0003); асимптотическое приближение да- ёт,930 Однако неотвержение информативно ровно настолько, насколько мощен критерий, и здесь следует применить к себе то же требование, что и к литературе. Мы симулировали альтернативы, в которых bлогнормально рассеяны вокруг γ с коэффициентом вариации cv cv мощность 0,059 0,097 0,184 0,326 0,484 0,645 0,774 0,851 0,948 Мощности,3712 000 сетки, точность по мощности около0,004). Следовательно,,935 требуют базозависимых частот, но и не исключают разброса bс коэффициентом вариации 19

2 3 5 6 7 10 11 12 13 14 15 17 18 19 20 основание b 1 2 3 4 5 ̂κb=Kblnb/Db e γ схема A: (M−1)/S схема B: (M−B)/S Рис. 1. Оценки bпо основаниям с точными15); площадь мар- кера пропорциональна b. Штриховая линия — значение ЛПВ γ ; зелёная с полосой — объединённая оценка схемы B и её интервал; синяя штрихпунктирная — оценка схемы A (M/S Figure 1. bwith exact 95% Garwood intervals (15); marker area is propor- tional to b. Dashed line: the LPW value γ ; green with a band: the pooled scheme B estimate and its interval; blue dash-dotted: the scheme A estimate (M/S compatible with a universal constant. вплоть до трети. Утверждение «удачливых оснований не существует» из имеющихся дан- ных не следует; следует более слабое — «их существование данными не поддерживается, а разброс с коэффициентом вариации меньше,37 80%». 5.4 Устойчивость Нижнее усечение. тотический режим (эвристика (2) асимптотична, тогда как модель постоянной интенсивно- сти стартует от). Результаты в таблице. Оценка схемы A растёт с,965,099 строго монотонно (при 2 она отступает с,019,012), но систематически: рост со- ставляет,8% и тех же данных. Это тренд, а не шум. Оценка схемы B восходящего тренда не показывает и остаётся вблизи γ , в пределах,789–1,871 b≥ — в пределах,757–1,871), а её-значения на всех уровнях усечения лежат между,53 1,00. Причина видна из (): усечение уменьшает ет единицу независимо от объёма выборки. Мы считаем это подтверждением диагноза §4: восходящий тренд был свойством оценки, а не данных. Начиная с напротив, монотонно1,871,789). Именно этого требует член второго порядка самой эвристики, и при его учёте убывание исчезает (§9). Обе кривые приведены на рис.. Исключение по одному основанию. B в пределах,808; 1,878]) и точные p-значения в пределах,49; 0,85]; ни одно основание не определяет вывод. 20

Таблица 6. Устойчивость к нижнему усечению. Основание остаётся в выборке, если после усечения у него сохраняется не менееN b≥); при 4 этому критерию перестаёт удовлетворять основание 19, откуда. Критерий существен: при более слабом требовании b≥ строго согласована с предложением b≥ Kb≥). Интервал и B— точные, схемы B; последний столбец (p A, гамма-пивот схемы A) приведён для сравнения со старой практикой. Table 6. truncation (N b≥ 4 base 19 no longer meets this criterion, whence criterion matters: under the weaker requirement b≥ row; only that row is strictly consistent with Proposition, since selecting on b≥ selecting on b≥). The interval and Bare exact, scheme B; the last column (p A, the scheme A Gamma pivot) is given for comparison with the old practice. усечениеM/SM/S B pA нет 15 218 1,9648 1,8381 [1,594; 2,109] 0,672 0,142 n > n > 2 15 156 2,0116 1,8299 [1,540; 2,158] 0,771 0,124 n > 3 15 125 2,0551 1,8231 [1,498; 2,197] 0,832 0,106 n > 4 14 89 2,0990 1,7889 [1,407; 2,242] 1,000 0,116 n > 4 , b≥ Статус данных. зателями переводит оценку схемы B с,838,834,965,,142 ˜,961,,151). Исключение всех индексов 6 , где статус элементов — PRP, даёт MM/S,800,951). В наихудшем сценарии, когда последний извест- ный PRP какого-либо основания оказывается составным, наибольший сдвиг даёт: (M/S,848,977). Все варианты лежат внутри как интервала (21), так и интервала (20), поэтому возможные псевдопростые на вывод не влияют. 6 Статистическая мощность Согласно (13) мощность против истинной константы γ на уровне той форме (таблица). Конвенцию необходимо оговаривать: всюду в этой работе критерий двусторонний, с конвенцией удвоенного минимального хвоста,,05. Односторонний вариант того же критерия даёт заметно другие числа, и они приведены в правой части таблицы для сопоставимости с работами, где конвенция не указана. При мощности ния в,5%,3% носторонний вариант — до,7%). Достижение мощности требует экспозиции, то естьM) при γ (при истинной константе, на); против и. Функция мощности дискретного критерия немонотонна по поэтому приведены значения, начиная с которых мощность уже не опускается ниже (найдены сплошным просмотром по,01). Эти рубежи вычислительно недостижимы, и стоит сказать насколько. Поскольку тёт логарифмически по фронту поиска, удвоение фронтов добавляет к экспозиции ∑︁ b 1/,41, то есть в среднем γ ·,41 = 9,64 события. Чтобы довести экспозицию с,4, нужно,4)/5,41,4 21

ет >10 >10 2 >10 3 >10 4 нижнее усечение по n 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 ̂κ схема A: (M−1)/S схема B: (M−B)/S схема B, c=ln2: K/S(c) (§9) e γ Рис. 2. Объединённая оценка при нижнем усечении:M/SM/S ма B) иc). Восходящий тренд схемы A при переходе к схеме B исчезает; остаточное убывание схемы B исчезает при учёте члена вто- рого порядка. Figure 2.M/SM/S (scheme B) andc§9). The upward trend of scheme A disappears under scheme B; the residual decline of scheme B disappears once the second-order term is included. ния, то есть рост фронтов примерно в 66,4 ≈ 20 раз; для чувствительности в 316 95 . Речь идёт не о десятилетиях, а о величи- нах, лежащих вне досягаемости любых мыслимых вычислений. Обе кривые мощности как функции истинного отклонения показаны на рис.. Отсюда правило чтения для этой литературы. Сообщение о том, что данные согласу- ются с ЛПВ с точностью до нескольких процентов, не есть свидетельство в пользу ЛПВ на уровне нескольких процентов; оно совместимо с константой, ошибочной в полтора раза. Объединённый анализ устанавливает, однако, настоящую границу: универсальная констан- та, если она существует, лежит примерно в,59; 2,11] в,47; 1,98]9); ни одно основание от неё различимо не отклоняется. 7 Та же ошибка в ином обличье Счётная функция Мерсенна провоцирует родственную ошибку, которую мы приводим как разобранный пример. Регрессия 2(t) показателям (нумерация, . . . , N: наименьший показатель есть начало отсчёта, а не со- бытие) даёт наклон,2,9627,4469, на вид значимый и наводящий на мысль о вторичном члене в (2). Ничего подобного. Складываются два дефекта. Остатки кумулятивного счёта сильно автокоррелированы, здесь 1= 0,825; ковариационная оценка Ньюи — Уэста с восемью лагами увеличивает стандартную ошибку до,7315. Существеннее то, что регрессия использует только точ- ки событий и тем самым отбрасывает пустой интервал между последним показателем и фронтом поиска. Корректная нулевая модель удерживает интервалt 0, T где ver, и обусловливается ровно 0, что по 22

Таблица 7. Мощность на уровне,05 γ , когда истинная константа превышает его в указанное число раз. Экспозиции: 2= 26,02K) для одного основа- ния 2 и,44K) для объединения. Table 7..05 for rejecting γ when the true constant exceeds it by the stated factor. Exposures: 2= 26.02 (K.44 (K the pooled sample. двусторонний односторонний κ/e γ только Мерсенн объединение только Мерсенн объединение 1,05 0,060 0,099 0,082 0,165 1,10 0,099 0,266 0,147 0,386 1,15 0,164 0,514 0,235 0,644 1,20 0,253 0,752 0,343 0,844 1,30 0,479 0,972 0,581 0,988 1,50 0,861 1,000 0,910 1,000 свойству порядковых статистик пуассоновского процесса при заданном числе событий (ср. доказательство предложения(b)) означаетt 0, T По1,529–95% [−5,99; 2,20], что даёт двусторонний,570 член есть артефакт обусловливания. 7.1 Три следствия одного и того же обусловливания (i) Бутстрэп не спасает. ошибку МНК — бутстрэп по точкам событий. На данных основания 2 бутстрэп по 20 0002,948, стандартное отклонение,385 [−3,809;2,300], целиком лежащий ниже нуля; доля отрицательных значений равна 100%. Это не подтверждение, а повторение той же ошибки: ресемплинг наблюдённых точек воспроизводит изменчивость внутри реализованной конфигурации и не может восстановить изменчивость самого процесса, породившего эту конфигурацию. Корректное нулевое распределение имеет стандартное отклонение,499,6 ошибки МНК,447), то есть в,5 (по ширине-интервала — также в,5 (ii) Мнимая недодисперсия. i|ri|,347, где i= ^ λ(ti−0), с симуляцией счётная функция «глаже пуассоновской». Против корректного нулевого распределения — с обусловливанием на,117, а двусторонний уровень значимости составляет,529. Наблюдение совершенно рядовое. (iii) «Серединный дефицит». токrt 0) = N) = 0 его траекторию в аналог броуновского моста, для которого отрицательная экскурсия в сере- дине диапазона возникает сама собой. Наблюдённая средняя экскурсия на средней половине диапазона равна3,130,012,272; доля реализаций с от- рицательной средней экскурсией составляет,502, то есть систематического дефицита нет. Сама траектория остаточного процесса вместе с полосой симуляций приведена на рис.. 23

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 κ/e γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 о
 только Мерсенн (K=50) объединение (K=203) Рис. 3. Мощность двустороннего отвержения γ на уровне,05. Горизонтальная линия отмечает мощность. Figure 3. γ at level.05. The horizontal line marks 80% power. 7.2 Основание 2 на известном фронте Основание 2 — одно из двух оснований основного набора с опубликованным фронтом (вто- рое —, §4.5); для него возможен анализ по схеме B позиции, а не только условной. С verполучаем ^ λ(T 0) = 2,7960 e γ /,5695, то есть 2= 1,9381,434; 2,562] пуассоновском,593p-конвенции,545 необходимо оговаривать, поскольку различие ощутимо). Условная оценка данных,9046; различие невелико, поскольку последний показатель этого среза фронту. (Для сравнения, условная оценка по всем приведённая в таблице, равна,9215; сопоставлять её с 2нельзя — это другая выборка.) Это совпадение одной реализации, а не свойство метода: поправка §4.3 по положению последнего события относительно фронта. Отметим попутно, что описанный здесь режим — ровно тот, к которому мы призываем перейти для всех оснований: при известном bусловное обусловливание на bстановится ненужным, и точность растёт на те самые,7%4.2. 7.3 Знак свободного члена ничего не доказывает В предыдущей редакции здесь приводился «независимый довод»: будто теоретический вто- ричный член,e γ /M,672,26150, имеет знак, противоположный наблюдаемому2,963. Этот довод неверен, и мы его отзы- ваем: в нём учтена лишь одна из двух теорем Мертенса. Суммирование (24) по простым p ∑︁ p≤x ln(1),1,3326, и ∑︁ p≤x 1/p(1) π2(x) e γ ln 2 (︁ ln 2ln ln )︁ + 0, C 0= e γ ln 2 (︁ E 2M )︁ . При откалиброванном 2= 0,969) получаем 0=2,78; прямое суммирование по 8 даёт то же значение. С учётом нумерации событий от нуля (−1) и линейной аппроксимации члена 2ln ln+1,80) ожидаемый свободный член близок к1,98 24

0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5 t=lnn − − − 0 2 4 6 r(t) 5--95%  а b=2 Рис. 4. Остаточный процессt)–95% симуляций и медианой симуляций. Траектория лежит внутри полосы. Figure 4.t) for base the simulations and the simulation median. The trajectory stays inside the band. — того же знака, что и наблюдаемый (тег [S22]). Величина 0к тому же определяется малыми, где эвристика неприменима. Поэтому о структуре свидетельствует не знак 1, а лишь корректное нулевое распределение (§7,,57): свободный член 1— параметр аппроксимации, и содержательной трактовки не требует. 8 Структурные поправки Рассмотрим более общую параметризацию интенсивности b= (κ/) bи четыре модели множителя: I: b= 1; II: b= ∏︂ p|b−1, p̸=2 (︂ p p−1 )︂ α∏︂ p|b+1, p̸=2 (︂ p p−2 )︂ β ; III: b= ∏︂ p|b 2 −1 (︂ p p−1 )︂ η ; IV: b= exp (︁ θ1ωb 2ωb 3ln )︁ . Модели занумерованы римскими цифрами, чтобы не смешивать их со схемами наблюде- ния A и B; показатель в модели III обозначен через Эйлера и с расстоянием до фронта b. Правдоподобие здесь — ложения, B= ∑︁ b [︁ Kbln b− b− b! ]︁ с b= bDb/; в предыдущей редакции использовалось правдоподобие (8) схемы A, что несовместимо с §4. Результаты в таблице. Ни одна параметризация не даёт значимого улучшения; байесовские факторы по BIC при n Замечание. неочевиден: правдоподобие имеет тёт как. При,661,080,229 /,030, при,906,,085,001. Вывод в пользу модели I при обо- 25

Таблица 8. Сравнение структурных моделей под условным пуассоновским правдоподобием предложения b!); LR и лен при. Table 8. tion b!); LR and n Модель параметровмодель) I 135,753 II 335,162 III 235,458 IV 434,797 их выборах, но при соответствующему числу независимых условных событий. Фиксированная арифметическая поправка. рованным fix b = ∏︁ p|b−1,p̸=2 p p−1 ∏︁ p|b+1,p̸=2 p p−2 , среднее значе- ние которого по пятнадцати основаниям равно,462. Она даёт,759. Подчеркнём, что сравнивать это значение с γ бессмысленно: в перепараметризованной модели масштаб, и такой «критерий согласия» проверял бы лишь равенство среднего bединице. Поскольку модели I и fix ненестированы и имеют одинаковое число свободных параметров, корректное сравнение — прямо по правдоподобию:51,5335,75, разность −15,78. Фиксированная поправка решительно отвергается. Логарифмические поправки. λb(t) = ()(1 + 1/t 2/t 2 ), использованная в предыдущей редакции, допустимой интенсивностью 1= +0,108, 2=0,826 множитель обращается в нуль при,8564,355; в частности, при 0= ln 20,5634. Основания с min= 2b,,,,) интегрируют интенсивность по области, где она отрицательна, и мера ∫︁ λ dt отрицательна. То, что правдоподобие всё же вычислялось, — случайность: наименьший индекс, являющийся событием, равен, то есть,0986,8564, так что под логарифм отрицательные значения не попали. Правильная параметризация того же семейства — λb(t) = κ ln exp (︂ c1 t + c2 t 2 )︂ , положительная тождественно и вкладывающаяся в нулевую модель при 1= 2= 0. Она оценивается условным правдоподобием точечного процесса (14): сумма ∑︁ ln(t i) по событиям, а интеграл ∫︁ λ 0до последнего события 0+ b, а не до неизвестного фронта (замечание; правдоподобие одного лишь счёта здесь недопустимо: оно отбрасывает положения событий, которыми только и определяются 1, c2). Результат: ^,, 1= 0,75, 2=1,44; отношение правдоподобий против 1= 2= 0 2,03,36 1 здесь сильно коррелирована с 2и сама по себе не информативна: однопараметрическая модель (25) на тех же данных даёт0,409). 26

9 Член второго порядка самой эвристики До сих пор проверялась модель постоянной интенсивности (3). Но сама эвристика ЛПВ предсказывает интенсивность,, и это меняет смысл сравне- ния γ . Вывод., и b(p). Тогда p b(p)p). Значит, у Rb(p)p, и по теореме Мертенса вероятность простоты увеличивается в ∏︁ q<2p (1/q −1 ≈ γ ln(2p) же величины. Это и есть вывод [1,]: Pr (︁ Rb(p) )︁ ≈ e γ ln(abp) p . Уточнение Вагстаффа для1 (mod 8), и даёт (mod 4). Умножая (24) на плотность простых/ к, получаем λb(t) = κ ln (︂ 1 + cb t )︂ , cb=ln b⟩, κ γ , а для счётной функции — b(x)e γ /) (ln bln ln). Асимптотика (2) от этого не меняется, но при–18 b/t сколько обсуждаемые в работе эффекты. Калибровка b. bнаименьшим допустимым кандидатом в делители — груб, и мы оцениваем bпо фактической делимости b(p) эвристики Мертенса. Для случайного числа Pr(N γ ln ПоэтомуR b(p)) b(p, Y γ ln(p), где b(p, Y Rb(p)24) даёт cb(Y ⟨︁ Fb(p, Y ⟩︁ p . Индикатор bвычисляется. При b(p) тогда и только тогда, когда p ≡kp Действительно, простые делители такого, сравнимы с делят b(p); часть, по лемме о подъёме показателя делит b), поэтому равна. Для 4 , 5 ) иp,p,p b, устойчивые по ошибки,05, тег [S19]; значения при разных и том же набореp,43b) до,11b), в среднем,67. У десяти оснований из пятнадцати оценка bниже 0,693 qp); следовательно, b. Приём Вагстаффа (усреднение bс учётом того, что даёт систематически большие значения, от,23,74 1,242 = 1 2 (ln 2 + ln 6),96,05. К тому же этот приём неоднозначен: кандидаты, делящиеся на простой делитель, отбрасываются, а делящиеся на прочие малые простые — нет; так, при, но 18= 1,646 c2= 1,242. Ниже основной считается калибровка b(26), а вариант Вагстаффа приводится лишь для сравнения. 27

Таблица 9. Член второго порядка b: калибровка по фактической делимости (формула (26), тег [S19]) и прогноз (27) по простотеkpb/q статистика разности; 4 , 5 ),p. Table 9. b: calibration from the actual divisibility (equation (26), tag [S19]) and the prediction (27) from the primality of 2kpb/q z 4 , 5 ),p. b калибровка 0,96 0,44 1,06 0,59 0,49 0,55 0,47 0,43 0,67 0,53 0,54 0,76 0,86 0,54 1,10 прогноз 0,84 0,46 1,01 0,50 0,51 0,52 0,53 0,46 0,75 0,51 0,52 0,71 0,84 0,54 1,01 z,60,4 +1,1 +2,00,5 +0,71,30,81,8 +0,4 +0,3 +1,0 +0,40,,0 Откуда берутся значения b. p mod (скрипт, тег [S23]). Простоеkp b(p) когдаk ∗ q. Для этого необходимо, чтобы квадратичным вычетом по модулюb/q. Внут- ри подгруппы вычетов естественная эвристика — равномерность, и она даёт вероятность 2/(2k/k, что и есть классический случайp pпри. Отсюда прогноз F th b (p, Y ∏︂ k<Y /(2p):kp+1, (b/q (︂ 1 1 k )︂ , c th b = ⟨︁ F th b (p, Y ⟩︁ p , использующий лишь простоту чиселkp. Таблица вает его с калибровкой на тех же. Корреляция равна,976, средняя раз- ность,017. Парный критерий по каждому ∑︁ z 2 b = 23,5 p,074. Прогноз объясняет bмежду основаниями. Наибольшее отклонение — у+0,12,,6); его естественный источник — не учтённый моделью биквадра- тичный характер двойки (критерий Гаусса). Из (27) следует и структурный вывод: в этом приближении bзависит лишь от бесквадратной части. Пары,, одинаковый прогноз, и калибровка подтверждает это в пределах погрешности. Тем самым значения b— и то, что приём Вагстаффа их завышает, — объясняются распределением простых видаkp Точный условный вывод при заданном. bвнутренние события образуют пуассоновский процесс интенсивности (25) наt 0, t0+ b). Поскольку ∫︁ t0+Db t0 (1 +) b+ (︁ (t0+ b)/t0 )︁ , предложение KD b)b∼ (︁ κSc) )︁ , Sc) = ∑︂ b Db+bln (︁ (t0+ b)/t0 )︁ ln , оценка естьc), и интервал Гарвуда (15) применим с заменойc). Результаты. (i) Внутри последовательностей член второго порядка почти не определяется. фильная ОМП общего14) на всех данных равна0,40 95%−0,69; 0,44] 0>). Этот интервал исключает,017), но резуль- тат определяется индексами, см. (iii). Уже при [−1,68; 2,48], а при 3 — до−5,3; 20]. Поэтому bнужно брать извне — из теории или, как здесь, из калибровки (26). 28

Таблица 10. Точный условный вывод при разных значениях члена второго порядка (25): оценкаc)28) и точное двустороннее γ . «Калибр.» — откалибро- ванные b(тег [S19]), «В» — bпо приёму Вагстаффа. Усечение, как в таблице. Теги [S16], [S20]. Table 10.25): the estimate ^c) from (28) and the exact two-sided γ . “Meas.” are the measured b(tag [S19]); “W” is Wagstaff’s device. Truncation as in Table. Tags [S16], [S20]. ^ усечение=0= ln 2=0 нет 203 1,838 1,625 1,620 1,453 0,672 0,185 0,003 n > n > 2 141 1,830 1,704 1,703 1,595 0,771 0,632 0,201 n > 3 110 1,823 1,715 1,713 1,620 0,832 0,729 0,344 n > 4 75 1,789 1,695 1,690 1,612 1,000 0,702 0,421 (ii) Вывод о от bснижает оценку на–9%,6%,5% n > 4 ), на полной выборке — на,9%. Это сравнимо с ценой выбора схемы наблюдения (6,9%, §4.3) и больше остаточного разрываM/S γ (3,2%,1% при). Сравнение оценки модели постоянной интенсивности с γ — не проверка ЛПВ при конечных: сама ЛПВ предсказывает, что такая оценка γ . (iii) ЛПВ со своим откалиброванным членом второго порядка согласуется с данными. При откалиброванных bи,62–0,73, на полной выборке оно равно,185. При завышенных значениях Вагстаффа получается,11–0,42 10,003, где разложение (25) бессмысленно: при, а сами индексы 2,,, при. (iv) Тренд при усечении объясняется членом второго порядка. тонно убывает с ростом нижней границы, с,871,789 4 (−4,4%). Именно этого ожидают от (25): среднее/t 0. При откалиб- рованных bте же четыре оценки лежат в пределах,690–,713,4%). Подвыборки вложены, поэтому это наблюдение иллюстративно, а не является отдельным критерием. (v) Погрешность bи проверка метода на модельных данных. (±0,045 отклонение,003–0,004,12. Совместный вен,41; 1,86],47; 1,97], почти как у Гарвуда. Прогноз th b вместо калибровки даёт,631,717 ных с известными γ иb(тег [S25],25) строился на реальных 0с фронтом на средний интервал дальше реальной последней на- ходки, и к нему применялся тот же анализ. Оценкаc)[^]/κ,999–1,009 при усечении до 3 . Покрытие интервала Гарвуда равно,955–0,960. Модель посто- янной интенсивности на тех же данных завышает), и её интервал накрывает истинное значение лишь в n > 4 оценкаc),6%; это отбор оснований по b≥, о котором предупреждает подпись таблицы Следствие для фольклора. bln ln с которого начиналась работа: нормированные частоты лежат ниже −γ и медленно сходят- 29

ся к нему снизу. При (25) наклон kпо −γ ln(1 + b⟨1/t⟩), так что нормированная частота занижена в b⟨1/t⟩1/t⟩t N/t0)/(tN−0). При фиксированном начале отсчёта это убывает как, и частота стремится к −γ как медленнее, чем/:1/t⟩,183/t N= 0,053). В §3 подгонка к правому концу эффекта не создаёт; здесь видно, откуда он берётся: из самой эвристики, а не из= γ . Итог. κ γ , и о члене второго порядка, b. Второй почти не определяется положениями находок, но его можно откалибровать по фактической делимости b(p)26). С откалиброванными cbи при,–1,71–5% γ ) с точным,62–0,73 не зависит от нижней границы усечения: ЛПВ не отвергается. Сами значения bпредска- зываются из первых принципов — по простоте чиселkp b27) — с корреляцией,976; метод проверен на модельных данных. Открытыми остаются замкнутая формула для bи поправка высших степенных характеров (заметная у). 10 Заключение 1. не схеме A и с экспоненциально малой по,73% для концевой формы и,3%). Смещена лишь обратная величина, и это следствие выпуклости. Расхожее объяснение «медленной сходимости снизу» через цензурирование несостоятельно при обеих схемах; настоящее её объяснение — член второго порядка самой эвристики (п. 7). 2. расходятся до,5%, а точечные значения публикуются без доверительных интерва- лов при том, что стандартные ошибки МНК в этой задаче занижены: поправка Ньюи — Уэста увеличивает их в,6 номинального в,67). Классификация оснований на «удачливые» и «неудач- ливые» переворачивается от смены формы оценки на неизменных данных; у двух оснований из пятнадцати переворачивается даже знак отклонения от −γ . 3. суть мешающие параметры Неймана — Скотта, и профильная оценка тельна. Положение последнего события bдостаточно для фронта, и условно на нём величина b−λ bDb) правиле выбора фронта. Тот же результат даёт интегрирование по фронту с инва- риантной мерой b. ОтсюдаκS: правильным пивотом при фиксированном фронте является пуассоновский, а неM,, правильной объ- единённой оценкой —M/SM/S ются в замкнутой форме без симуляционной инверсии. Условное правдоподобие стоит одного события на каждое основание, а не одного события в сумме, — точный аналог потери одной степени свободы на группу в примере Неймана — Скотта. Различение таких схем восходит к теории надёжности; новым здесь является случай недокумен- тированного фронта, когда экспозицию нельзя взять из протокола и её приходится восстанавливать из находок (замечание). 4.,838,594; 2,109],672 γ . Сообщавшееся десятипроцентное превышение над ЛПВ, включая наше собственное в более ранней редакции этой работы, создаётся в основном схемой наблюдения: переход 30

к схеме B сокращает его до,2%, а остаток объясняется членом второго порядка самой эвристики (п. 7). Старый гамма-пивот при схеме B отвергает верную гипотезу в– 17% при усечении по min; остающееся убывание (1,871,789) снимается членом второго порядка. 5. ния держится на допущении (A1): фронт выбирался без оглядки на находки. По самим находкам его проверить нельзя:M/SM/S статистик и различаются на,9%. Без (A1) строго сохраняется лишь верхняя граница M/S смещает вверх иM/S ванных фронта позволяют проверить (A1) по данным и указывают, если на что-то, на остановку вблизи находки, а не «после засухи»; при таком отклонении верная оцен- ка лежит междуM/S оценка с известными фронтами,853. Практическое следствие — необходимость публиковать фронты поиска b(а вместе с ними и протоколы полноты просеивания), как это делает GIMPS для. Пример основания, где найденные в 2024 г. вероятно простые лежат за непройденным промежутком, показывает, что это не формальность. 6. требуются. Но и то и другое — утверждения о низкой чувствительности критериев: условный мультиномиальный критерий однородности различает лишь разброс bс коэффициентом вариации порядка,37, а объединённый критерий — отклонения кон- станты не менее,3% потребовало бы роста фронтов поиска примерно в 20 раз. 7.κ/)(1+ b/t), и сравнение оценки модели постоянной интенсивности с γ не является проверкой ЛПВ. Положения находок bпочти не определяют, но его можно откалибровать по факти- ческой делимости b(p): b= 0,43–1,11, в среднем,67, тогда как приём Вагстаффа даёт вдвое большие значения. С откалиброванным bпри,69– 1,71p,62–0,73), а «медленная сходимость снизу» получает объяснение. Сами bпредсказываются по простоте чисел 2kp,976) и зависят лишь от бесквадратной части; модельная проверка подтверждает несмещённость метода. Открыты замкнутая формула для bи поправка высших степенных характеров. A Верификация исходных данных Все двадцать последовательностей (пятнадцать основного набора и пять из проверки грани- цы отбора) сверены с записями OEIS 27 августа 2026 г. Поскольку в объединённый анализ входят только тройкиN b, nmin, nmax), в таблице ло известных простых, из которого bполучается вычитанием единицы, и оба крайних индекса; полные списки индексов содержатся в скрипте. Отдельно предупредим читателя, сверяющего данные по вторичным источникам: свод- ные таблицы (страница «Repunit primes» в OEIS Wiki, статья «List of repunit primes» в Википедии) обновляются с запаздыванием и на момент написания работы отставали от са- мих записей OEIS на один член у оснований,,,,. Авторитетным источником следует считать записи OEIS. 31

Таблица 11. Сверка с OEIS. Столбец «последнее пополнение» указывает происхождение наибольшего известного индекса; для Table 11. largest known index; for b min nmaxпоследнее пополнение 2 A000043 52 2 136 279 841 GIMPS, окт. 2024 3 A028491 23 3 8 530 117 P. Bourdelais 5 A004061 19 3 3 300 593 P. Bourdelais 6 A004062 17 2 3 360 347 P. Bourdelais 7 A004063 10 5 1 264 699 P. Bourdelais 10 A004023 11 2 8 177 207 Propper и Batalov, май 2021 11 A005808 13 17 1 868 983 P. Bourdelais 12 A004064 14 2 769 543 P. Bourdelais, дек. 2014 13 A016054 13 5 1 503 503 P. Bourdelais 14 A006032 11 3 1 724 417 P. Bourdelais, 13.07.2026 15 A006033 10 3 639 833 P. Bourdelais, 22.04.2019 17 A006034 12 3 1 990 523 P. Bourdelais, 03.08.2020 18 A133857 8 2 1 270 141 P. Bourdelais 19 A006035 11 19 209 359 P. Bourdelais, 27.08.2010 20 A127995 9 3 984 349 P. Bourdelais Независимый пересчёт префиксов Сверка с OEIS подтверждает, что перечисленные индексы дают простое, но не гарантирует полноты b, а с ним и обе объединённые оценки. Этот пробел мы закрыли прямым пересчётом. Для каждого из двадцати оснований, не являющихся точными степенями, независимой реализацией 2 проверены 4 подряд, а не только перечисленные в OEIS. Каждый отрицательный вердикт пересчитан вторым, независимым бэкендом (сплошной double-check, как в GIMPS), чтобы исключить потерянную находку. Результат: бэкендами нет — по всем двадцати основаниям. Покрытие по основаниям неравномерно (от одного члена при): на основной набор 128 4 полный пересчёт вычислительно недоступен, и там мы по-прежнему опираемся на OEIS. Отметим, что этот пересчёт не был формальностью: в первом прогоне независимая ре- ализация объявила 23(3181) самой реализации — всплеск ошибки округления FFT на последней итерации, после по- следней периодической проверки, — а не в данных OEIS. После исправления расхождений не осталось. Мы приводим этот эпизод как иллюстрацию к тезису §2 ложное «составное» невидимо без повторного счёта, и именно поэтому фронты и протоколы проверки должны публиковаться. Доступность данных и кода Все использованные последовательности приведены в таблице. Данные. вательностей основного набора,, исполь- 2 Гибридный CPU/GPU поисковик: сегментное сито по малым делителям, trial factoring в арифметике Монтгомери, PRP через GMP и GWNUM/IBDWT. Исходный код и протокол прогонов — в том же репози- тории, скрипты. 32

зованных в проверке границы отбора (§2.2). Загруженные файлы включены в репозиторий, так что анализ воспроизводится без обращения к сети. Анализ. разделу или таблице, в выводе одного из скриптов (results_v2.txt). Основной скрипт — доверительные интервалы, критерий однородности, расчёты мощности и структурные модели зависят только от троекN b, nmin, nmax); полные списки индексов нужны лишь для столбца ^ G OLS b таблицы, для §7, для усечения и для моделей с переменной интенсивностью. Скрипт читает их из b-файлов каталога Генератор случайных чисел инициализирован фиксированным зерном (20260914), поэтому все величины Монте-Карло воспроизводятся побитово. Скрипт также строит все четыре рисунка (каталог, английские подписи —). Таблицу остановки, нарушающие (A1)) строит отдельный скрипт зерно). Член второго порядка (§9), модель (23) и критерий однородности при b— cb_empirical.py прогноз — bи модельную проверку метода — sim_second_order.py и гибридную оценку — скрипте). Вывод этих скриптов сохранён в. Скрипты и Независимый пересчёт последовательностей. вик по всем индексам 4 для каждого основания, с b-файлами OEIS и возвращает ненулевой код при любом расхождении (приложение). Оговорка о величинах Монте-Карло.20), интервалы таблицы, таблица распределения и от генератора случайных чисел не зависят. От симуляции зависят лишь таблицы,-значение критерия однородности и кривая его мощности, а также нулевые распределения §7; их точность указана на месте. Это отличие от предыдущей редакции существенно: там симуляционной была и сама основная оценка интервала. Репозиторий:. Дерево файлов и порядок запуска описаны в. Список источников [1] Vol. 40, № 161. P. 385–397. DOI: 10.1090/S0025-5718-1983-0679454-X. [2] 1981. Vol. 3, № 3. P. 97–105. DOI: 10.1007/BF03022861. [3] PrimePages: prime number research and records. URL: euristic.html [4] P. 927–930. DOI: 10.1090/S0025-5718-1993-1185243-9. [5] mailing list. 25 June 2009. URL: RTHRY;417ab0d6.0906 33

[6] Inc. URL: [7] Integer Sequences. 2025. Vol. 28. Article 25.7.2. URL: ls/JIS/VOL28/Wagstaff/wag14.html [8] divisor structure of https://arxiv.org/abs/2603.08994 [9] Econometrica. 1948. Vol. 16, № 1. P. 1–32. DOI: 10.2307/1914288. [10] Journal of the Royal Statistical Society. Series B. 1970. Vol. 32, № 2. P. 283–301. DOI: 10.1111/j.2517-6161.1970.tb00842.x. [11] // arXiv. 2026. arXiv:2605.23014. URL: обращения: 27.08.2026). [12] граммное обеспечение Prime95/MPrime, версия 30.8. URL: (дата обращения: 27.08.2026; отчёт [13] Statistics. 1954. Vol. 25, № 3. P. 555–564. DOI: 10.1214/aoms/1177728723. [14] distribution // The Annals of Mathematical Statistics. 1954. Vol. 25, № 2. P. 373–381. DOI: 10.1214/aoms/1177728793. [15] Technometrics. 1963. Vol. 5, № 3. P. 361–374. DOI: 10.1080/00401706.1963.10490104. [16] exponential life distribution using time censored sample data // Statistics & Probability Letters. 2009. Vol. 79, № 7. P. 899–906. DOI: 10.1016/j.spl.2008.11.026. [17] periods in communication networks // Physical Review E. 2015. Vol. 92, № 5. Article 052813. DOI: 10.1103/PhysRevE.92.052813. [18] for ends of local taxon ranges // Mathematical Geology. 1989. Vol. 21, № 4. P. 411–427. DOI: 10.1007/BF00897326. [19] № 1. P. 1–10. DOI: 10.1017/S0094837300009672. [20] 964. DOI: 10.2307/1940821. [21] № 1–2. P. 33–39. DOI: 10.1093/biomet/51.1-2.33. 34

[22] crowdsourcing // Nature Computational Science. 2024. Vol. 4, № 1. P. 57–65. DOI: 10.1038/s43588-023-00572-6. [23] Vol. 95, № 2. P. 391–413. DOI: 10.1016/S0304-4076(99)00044-5. [24] numbers of parameters (with discussion) // Journal of the Royal Statistical Society. Series B. 1970. Vol. 32, № 2. P. 175–208. DOI: 10.1111/j.2517-6161.1970.tb00830.x. [25] parameters // Statistical Science. 1999. Vol. 14, № 1. P. 1–28. DOI: 10.1214/ss/1009211804. [26] estimators // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. 1980. Vol. 296, № 1427. P. 639–662. DOI: 10.1098/rsta.1980.0197. [27] ский анализ [Электронный ресурс] // GitHub. 2026. URL: 93/repunit-hunt [28] P. 437–442. DOI: 10.1093/biomet/28.3-4.437. References 1., 1983, vol. 40, no. 161, pp. 385–397. DOI: 10.1090/S0025-5718-1983-0679454-X 2., 1981, vol. 3, no. 3, pp. 97–105. DOI: 10.1007/BF03022861 3. research and records (accessed 27.08.2026). 4., 1993, vol. 61, no. 204, pp. 927–930. DOI: 10.1090/S0025-5718-1993-1185243-9 5., 25 June 2009. Available at: .0906 6.. Available at: https://oeis.org 7., 2025, vol. 28, article 25.7.2. Available at: agstaff/wag14.html 8. divisor structure of, 2026, arXiv:2603.08994. Available at: org/abs/2603.08994 9. Econometrica, 1948, vol. 16, no. 1, pp. 1–32. DOI: 10.2307/1914288 35

10. Journal of the Royal Statistical Society. Series B, 1970, vol. 32, no. 2, pp. 283–301. DOI: 10.1111/j.2517-6161.1970.tb00842.x 11., 2026, arXiv:2605.23014. Available at: 27.08.2026). 12.. Prime95/MPrime software, version

30.8. Available at: 13

Statistics, 1954, vol. 25, no. 3, pp. 555–564. DOI: 10.1214/aoms/1177728723 14. bution., 1954, vol. 25, no. 2, pp. 373–381. DOI: 10.1214/aoms/1177728793 15. nometrics, 1963, vol. 5, no. 3, pp. 361–374. DOI: 10.1080/00401706.1963.10490104 16. exponential life distribution using time censored sample data. Letters, 2009, vol. 79, no. 7, pp. 899–906. DOI: 10.1016/j.spl.2008.11.026 17. periods in communication networks., 2015, vol. 92, no. 5, article 052813. DOI: 10.1103/PhysRevE.92.052813 18. for ends of local taxon ranges., 1989, vol. 21, no. 4, pp. 411–427. DOI: 10.1007/BF00897326 19., 1990, vol. 16, no. 1, pp. 1–10. DOI: 10.1017/S0094837300009672 20., 1993, vol. 74, no. 3, pp. 962– 964. DOI: 10.2307/1940821 21., 1964, vol. 51, no. 1–2, pp. 33–39. DOI: 10.1093/biomet/51.1-2.33 22. dent crowdsourcing., 2024, vol. 4, no. 1, pp. 57–65. DOI: 10.1038/s43588-023-00572-6 23., 2000, vol. 95, no. 2, pp. 391–413. DOI: 10.1016/S0304-4076(99)00044-5 24. large numbers of parameters (with discussion). Series B, 1970, vol. 32, no. 2, pp. 175–208. DOI: 10.1111/j.2517-6161.1970.tb00830.x 25. ing nuisance parameters., 1999, vol. 14, no. 1, pp. 1–28. DOI: 10.1214/ss/1009211804 26. estimators., 1980, vol. 296, no. 1427, pp. 639–662. DOI: 10.1098/rsta.1980.0197 36

27. sis., 2026. Available at: (accessed 24.09.2026). 28., 1936, vol. 28, no. 3–4, pp. 437–442. DOI: 10.1093/biomet/28.3-4.437 Информация об авторе Тимофей Сергеевич Докучаев timofei93@yandex.ru, Information about the author Timofei Sergeevich Dokuchaev timofei93@yandex.ru, Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов. The author declares no conflict of interest. 37