Схема наблюдения в статистике обобщённых репьюнитных простых: калибровка объединённой проверки константы Ленстры — Померанса — Вагстаффа

Научная статья\\ УДК 511.3:519.234 abstract Эвристика Ленстры — Померанса — Вагстаффа (ЛПВ) предсказывает, что \(\#\{n\le x:\Rb(n)\ \text{просто}\}\sim(\eg/\ln b)\ln x\). С 1993 года эту универсальность проверяют через <<нормированную частоту встречаемости>>, получаемую регрессией \(\ln n_k\) на \(k\).

Во-первых, подозрение о смещении этой частоты правым цензурированием неверно: и концевая форма, и наклон МНК несмещены точно (предложение ); смещена лишь обратная величина — неравенство Йенсена. Дефект иной: варианты оценки расходятся до \(29{,}5\%\) — в \(1{,}7\) раза больше медианного отклонения от \(\emg\), — и ярлык <<удачливости>> основания переворачивается от смены формы.

Во-вторых, точное условное правдоподобие вместо регрессии объединяет \(B=15\) оснований в \(M=218\) событий против \(51\) у одних простых Мерсенна. Главное: пивот \(\kappa S\sim\Gam(M,1)\) точен лишь при наблюдении <<до \(N\)-го события>>, а данные получены при фиксированном фронте со случайным числом находок. При реальной схеме номинальный \(5\%\) критерий отвергает в \(16{,}2\%\) случаев, а верной объединённой оценкой оказывается \((M-B)/S\), а не \((M-1)/S\): условное правдоподобие стоит одного события на каждое основание. Отсюда \(\hat\kappa=1{,}838\) при \(95\%\) интервале \([1{,}61;\,2{,}13]\) и \(p=0{,}64\) против \(\eg\approx1{,}781\); сообщавшееся десятипроцентное превышение над ЛПВ есть артефакт схемы наблюдения.

В-третьих, выбор между двумя оценками определяется способом сбора данных, а не самими данными, и стоит \(7\%\); отсюда требование публиковать фронты \(L_b\). Наконец, критерий однородности (\(\Lambda=7{,}40\), \(p=0{,}92\)) различает лишь разброс \(\kappa_b\) свыше \(\pm34\%\), а объединённая выборка — отклонения от \(\eg\) свыше \(21\%\).

Ключевые слова: репьюнит-простые, обобщённые репьюниты, числа Мерсенна, гипотеза Ленстры — Померанса — Вагстаффа, постоянная Эйлера — Маскерони, схема наблюдения, цензурирование типа I, обратная выборка, пуассоновский точечный процесс, условное правдоподобие, достаточная статистика, смещение оценки, мощность критерия, вычислительная теория чисел

MSC 2020: Primary 11Y11; Secondary 11N05, 62F03, 62B05, 11N80.

Благодарности: автор благодарит проект Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) за предоставление данных о простых числах Мерсенна через открытый отчёт PrimeNet (); значения индексов Мерсенна получены оттуда 27 августа 2026 года. Автор признателен участникам OEIS, которые много лет поддерживают последовательности обобщённых репьюнитных простых.

Финансирование: исследование выполнено без внешнего финансирования. abstract

otherlanguageenglish

center The observation scheme in the statistics of generalized\\ repunit primes: calibrating the pooled test of the\\ Lenstra–Pomerance–Wagstaff constant

Timofei Sergeevich Dokuchaev

Independent researcher, Irkutsk, Russia,\\ timofei93@yandex.ru, center

abstract The Lenstra–Pomerance–Wagstaff (LPW) heuristic predicts \(\#\{n\le x: (b^n-1)/(b-1)\ \text{prime}\}\sim(e^{\gamma}/\ln b)\ln x\). Since 1993 it has been tested via a «normalised occurrence frequency» from regressing \(\ln n_k\) on \(k\).

First, the suspicion that right-censoring biases this frequency downwards is false: both the endpoint form and the OLS slope are exactly unbiased; only the reciprocal is biased — Jensen's inequality. The genuine defect is that competing forms of the estimator disagree by up to \(29.5\%\) on identical data, and the «lucky base» label flips between them.

Second, an exact conditional likelihood pools \(B=15\) bases into \(M=218\) events against \(51\) for Mersenne primes alone. The main result concerns the pivot: it is exact only under inverse sampling, whereas the data arise from a fixed frontier with a random number of finds. Under the latter the nominal \(5\%\) test rejects in \(16.2\%\) of cases, and the correct pooled estimator is \((M-B)/S\), not \((M-1)/S\): the conditional likelihood costs one event per base. This yields \(\hat\kappa=1.838\), \(95\%\) interval \([1.61,\,2.13]\), \(p=0.64\) against \(e^{\gamma}\approx1.781\); the reported ten-percent excess is an artefact of the scheme.

Third, the choice between the two estimators is settled by how the data were collected, not by the data, and costs \(7\%\); hence our call to publish the frontiers \(L_b\). Finally, the homogeneity test (\(\Lambda=7.40\), \(p=0.92\)) detects only a spread of \(\kappa_b\) above \(\pm34\%\), the pooled sample only deviations above \(21\%\).

Keywords: repunit primes, generalized repunits, Mersenne primes, Lenstra–Pomerance–Wagstaff conjecture, Euler–Mascheroni constant, observation scheme, Type-I censoring, inverse sampling, Poisson point process, conditional likelihood, sufficient statistic, estimator bias, statistical power, computational number theory

Acknowledgments: the author thanks the Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) project for providing the Mersenne prime data through the open PrimeNet report (); the Mersenne exponents were retrieved on 27 August 2026. The author is grateful to the OEIS contributors who have maintained the generalized repunit prime sequences for many years.

Funding: this research received no external funding. abstract otherlanguage

Введение

Для целого основания \(b\ge2\) обобщённый репьюнит есть \[\label{eq:Rb} \Rb(n)=\frac{b^{n}-1}{b-1},\] причём \(\Rb(n)\) может быть простым только при простом \(n\). При \(b=2\) это числа Мерсенна \(M_p=2^{p}-1\). Опираясь на эвристики Вагстаффа [wagstaff1983] и Померанса [pomerance1981], гипотеза ЛПВ утверждает, что \[\label{eq:LPW} \pi_b(x)=\#\{n\le x:\ \Rb(n)\ \text{простое}\}\ \sim\ \frac{\eg}{\ln b}\,\ln x,\] где \(\gamma\) — постоянная Эйлера — Маскерони; подробный вывод эвристики для \(b=2\) изложен в справочнике PrimePages [t5k]. Основание входит в лишь через множитель \(1/\ln b\): константа \(\eg\approx1{,}7811\) объявляется универсальной. Дабнер [dubner1993] предложил проверять эту универсальность эмпирически по разным основаниям, а Бурделэ [bourdelais2009] с тех пор ведёт текущие оценки нормированной частоты, публикуя их в комментариях к записям OEIS [oeis]. Родственные вопросы для одной лишь последовательности Мерсенна недавно обсуждались в [wagstaff2025]. Близка по духу и работа [dominguez2026], где у показателей Мерсенна ищут вторичную структуру, связанную с разложением \(p-1\); методически она устроена так же, как наш — стратифицированное условное правдоподобие плюс проверка значимости, — но проверяет структуру внутри одного основания, тогда как мы проверяем её между основаниями.

Вокруг этих оценок сложился интерпретационный фольклор. Основание 13 описывается как <<удачливое>>, основание 7 — как <<самое неудачливое>>; отмечается, что нормированные частоты лежат ниже предполагаемого предела \(\emg\approx0{,}5615\) и медленно сходятся к нему снизу. Настоящая работа разбирает эти утверждения, но приходит к выводам, отличным от тех, которых естественно ожидать.

Вклад работы

OL • Употребительная оценка частоты не смещена. Схема, при которой интервал подгонки заканчивается наибольшим известным индексом, действительно обусловливает оценку тем, что последнее наблюдение является событием, и достаточная статистика распределена как \(\Gam(N,\lambda_b)\) (предложение ). Но отсюда не следует смещение нормированной частоты: и концевая форма \(D/(N\ln b)\), и наклон МНК несмещены точно (предложение , таблица ). Смещена только обратная величина \(\hat\kappa=1/\hat G\), в \(N/(N-1)\) раз, и это неравенство Йенсена, а не цензурирование. Несмещённые оценки \(\kappa\) и \(1/\kappa\) не могут быть взаимно обратными; всякая <<поправка>>, чинящая одну, портит другую ( ).

• Настоящий дефект — неустойчивость к выбору формы оценки. В обращении несколько численно различных вариантов. На одних и тех же данных они расходятся до \(29{,}5\%\) (основание 18) — в \(1{,}7\) раза больше медианного отклонения оценок от \(\emg\) (\(17{,}6\%\)), которое и толкуют содержательно; у двух оснований из пятнадцати выбор формы весит больше, чем всё их отклонение от предсказания ЛПВ. Основание 18 при концевой форме — третье по <<неудачливости>> из пятнадцати, а при МНК — десятое, ниже медианы. Ярлык описывает выбор оценки, а не свойства простых ( ).

• Объединение оснований и его цена. Условное правдоподобие ( ) не требует знания недокументированных границ поиска \(L_b\) и позволяет объединить \(B=15\) оснований в \(M=218\) событий против \(51\) у одних Мерсенна. Точное нулевое распределение \(\Gam(M,1)\) делает симуляции ненужными.

• Главный результат: пивот не откалиброван под реальную схему наблюдения. Условное правдоподобие точно при схеме <<наблюдаем до \(N\)-го события>>, где \(N\) задано планом. Данные же получены при фиксированном фронте: поиск покрыл \((t_0,\ln L_b]\), а число находок случайно. При этой схеме номинальный \(5\%\) критерий отвергает в \(16{,}2\%\) случаев, а правильной объединённой оценкой оказывается \((M-B)/S\) (предложение ). Само различие схем классическое, а несмещённость \((N-1)/D\) при схеме A учебникова, и мы на неё не претендуем; новизна в том, что фронт не документирован, поэтому экспозицию приходится восстанавливать из самих находок, и поправка оказывается пропорциональна числу оснований (замечание ). Это даёт \(\hat\kappa=1{,}838\) при \(p=0{,}64\): превышение над ЛПВ исчезает ( ).

• Выбор схемы данными не решается. Оценки \((M-1)/S\) и \((M-B)/S\) построены на одних и тех же достаточных статистиках \((N_b,D_b)\) и различаются на \(7\%\); что из них верно, определяется не данными, а тем, как они собирались. Попытка обойти выбор через заведомо несмещённые по-основанию куски проваливается ( ). Единственный радикальный выход — публиковать фронты \(L_b\).

• Удачливые основания: чего критерий не может. Критерий отношения правдоподобий даёт \(\Lambda=7{,}40\) при \(14\) степенях свободы, \(p=0{,}92\). Но его мощность такова, что он различает лишь разброс \(\kappa_b\) порядка \(\pm34\%\) ( ). Корректный вывод — <<базозависимые частоты данными не требуются>>, а не <<их не существует>>.

• Явный расчёт мощности. Объединённая выборка различает отклонения от \(\eg\) не менее \(21{,}2\%\); одна последовательность Мерсенна — не менее \(49{,}8\%\) ( ). /OL

В разобран более частный, но поучительный сюжет: наивная регрессия счётной функции Мерсенна порождает на вид значимый отрицательный свободный член, который оказывается артефактом обусловливания. Мы включаем его как разобранный пример той же ошибки в ином обличье.

Модель и данные

Пуассоновская модель

Положим \(t=\ln n\). Эвристика равносильна утверждению, что индексы обобщённых репьюнитных простых по основанию \(b\) образуют однородный пуассоновский точечный процесс на оси \(t\) с постоянной интенсивностью \[\label{eq:lam} \lambda_b=\frac{\kappa}{\ln b},\qquad \text{ЛПВ:}\ \ \kappa=\eg=1{,}781072\ldots\] Универсальность — это утверждение, что единственный параметр \(\kappa\) управляет всеми основаниями. Пуассоновская идеализация здесь — рабочее допущение, а не теорема: даже для обычных простых пуассоновский закон в коротких промежутках доказан лишь условно, при гипотезах Харди — Литтлвуда, и известно, что он разрушается при росте масштаба [jha2026]. Мы принимаем как модель и всюду рассматриваем \(\kappa\) как оцениваемую величину; это сводит вопрос <<верна ли ЛПВ?>> к однопараметрическому и делает основания объединяемыми.

Допустимые основания

Основания, являющиеся точными степенями, исключаются: при \(b=c^{m}\), \(m>1\), число \(\Rb(n)\) допускает алгебраическую факторизацию, и процесс не имеет предполагаемого вида. Поэтому основания \(4,8,9,16\) опущены. Внутри объявленного диапазона отбор не зависит от результатов: берутся все основания \(2\le b\le20\), не являющиеся точными степенями, что даёт \(B=15\); ни одно основание не исключено и не добавлено по величине его оценки. Каждое из них имеет не менее восьми известных индексов (минимум достигается при \(b=18\): восемь членов A133857).

Подчеркнём, однако, что сама верхняя граница \(b\le20\) — условная круглая величина, а не следствие критерия <<не менее восьми индексов>>: этот критерий выполняется и дальше (A127996 для \(b=21\) содержит восемь членов, A127997 для \(b=22\) — девять) и впервые нарушается лишь при \(b=23\) (A204940, шесть членов). Чтобы граница не выглядела подобранной, мы проверили её влияние прямо. Расширение набора до всех оснований \(b\le26\), не являющихся точными степенями (добавляются \(b=21,22,23,24,26\); \(b=25=5^2\) исключается алгебраически), даёт \(B=20\), \(M=253\) и \[\frac{M-1}{S}=1{,}9776,\qquad \frac{M-B}{S}=1{,}8285,\] то есть сдвигает основную оценку на \(0{,}5\%\) — вчетверо меньше цены выбора схемы наблюдения ( ). Критерий однородности на расширенном наборе даёт \(\Lambda=10{,}27\) при \(19\) степенях свободы, \(p=0{,}95\). Ни один вывод работы от границы \(b\le20\) не зависит; мы сохраняем её как заранее объявленную.

Данные и их статус

В таблице перечислены использованные последовательности, полученные 27 августа 2026 года (сверка — приложение ). Три оговорки существенны.

Вероятно простые числа. Для больших индексов большинство элементов — вероятно простые, установленные тестом Ферма или сильным тестом Ферма после пробного деления. Счёт смещается вверх лишь в случае, если псевдопростое Ферма было принято за простое, что для чисел такого размера практически не встречается. Чувствительность проверена в .

Фронты проверки. Для \(b=2\) проект GIMPS [gimps] публикует два фронта: все показатели ниже \(X_{\mathrm{ver}}=81\,648\,221\) проверены дважды, что даёт ровно \(50\) простых Мерсенна, тогда как все показатели ниже \(X_{\mathrm{ft}}=141\,308\,443\) проверены хотя бы однократно, что даёт \(52\). Два наибольших показателя предварительны: между ними остаются непроверенные кандидаты. Анализ , где фронт используется явно, ограничен \(50\) проверенными показателями. Объединённый анализ к этому выбору нечувствителен ( ).

Оба фронта — движущиеся величины, поэтому фиксируем момент считывания: отчёт PrimeNet Milestones, 27 августа 2026 г. Ни один вывод от точного значения \(X_{\mathrm{ver}}\) не зависит: достаточно того, что оно лежит между \(M_{50}=77\,232\,917\) и \(M_{51}=82\,589\,933\), а это верно для всех значений отчёта за 2026 год.

Статус записи A000043. Раздел DATA этой записи содержит \(50\) членов и обрывается на \(77\,232\,917\): порядок следующих показателей OEIS считает недоказанным до завершения двойной проверки. Показатели \(82\,589\,933\) и \(136\,279\,841\) известны и документированы GIMPS (и упомянуты в комментариях к A000043), но формально не входят в DATA. Мы включаем их, поскольку статистика использует лишь положение последнего события, а не его порядковый номер; в проверено, что ограничение основания 2 пятьюдесятью дважды проверенными показателями вывода не меняет.

Границы поиска при \(b>2\). Для прочих оснований сопоставимого фронта не публикуется. Именно эта лакуна — предмет и, как мы полагаем, главное препятствие к количественной проверке ЛПВ.

table[t] Использованные последовательности. \(N_b\) — число событий строго правее \(t_0=\ln n_{\min}\), то есть на единицу меньше числа известных простых индексов: наименьший индекс задаёт начало отсчёта, а не событие. Источник — записи OEIS, получено 27.08.2026. Sequences used. \(N_b\) is the number of events strictly to the right of \(t_0=\ln n_{\min}\), that is, one less than the number of known prime indices: the smallest index sets the origin, not an event. Source: OEIS entries, retrieved 27.08.2026.

tabularrlrrrrr \(b\) & OEIS & простых & \(N_b\) & \(n_{\min}\) & \(n_{\max}\) & \(D_b\)\\ 2 & A000043 & 52 & 51 & 2 & 136\,279\,841 & 18,0371\\ 3 & A028491 & 23 & 22 & 3 & 8\,530\,117 & 14,8605\\ 5 & A004061 & 19 & 18 & 3 & 3\,300\,593 & 13,9110\\ 6 & A004062 & 17 & 16 & 2 & 3\,360\,347 & 14,3344\\ 7 & A004063 & 10 & 9 & 5 & 1\,264\,699 & 12,4409\\ 10 & A004023 & 11 & 10 & 2 & 8\,177\,207 & 15,2237\\ 11 & A005808 & 13 & 12 & 17 & 1\,868\,983 & 11,6077\\ 12 & A004064 & 14 & 13 & 2 & 769\,543 & 12,8604\\ 13 & A016054 & 13 & 12 & 5 & 1\,503\,503 & 12,6139\\ 14 & A006032 & 11 & 10 & 3 & 1\,724\,417 & 13,2618\\ 15 & A006033 & 10 & 9 & 3 & 639\,833 & 12,2704\\ 17 & A006034 & 12 & 11 & 3 & 1\,990\,523 & 13,4053\\ 18 & A133857 & 8 & 7 & 2 & 1\,270\,141 & 13,3615\\ 19 & A006035 & 11 & 10 & 19 & 209\,359 & 9,3074\\ 20 & A127995 & 9 & 8 & 3 & 984\,349 & 12,7011\\ 3lвсего & \(M=218\) & & & \(S=110{,}4423\)\\ tabular table

Что смещено, а что нет

Употребительные оценки

Дабнер [dubner1993] и Бурделэ [bourdelais2009] характеризуют основание \(b\) нормированной частотой встречаемости, получаемой подгонкой прямой к зависимости \(\ln n_k\) от \(k\) с последующим делением на \(\ln b\). Согласно ожидаемый наклон равен \(1/\lambda_b=\ln b/\kappa\), так что нормированная частота оценивает \[\label{eq:G} G_b=\frac{1}{\kappa},\qquad\text{ЛПВ:}\ \ G_b=\emg=0{,}5614595\ldots\] В обращении несколько вариантов — обычный МНК со свободным членом, регрессия через начало координат и концевая форма \(\hat G_b=D_b/(N_b\ln b)\), где \(D_b=t_{N_b}-t_0\). Все они разделяют структурную особенность: интервал подгонки заканчивается на наибольшем известном индексе.

Точное распределение

proposition[Условный закон правого конца] Пусть события образуют однородный пуассоновский процесс интенсивности \(\lambda\) на \((t_0,\infty)\), и пусть \(t_1<\dots<t_N\) — его первые \(N\) событий после \(t_0\). Тогда \(D:=t_N-t_0\) имеет распределение \(\Gam(N,\lambda)\) с плотностью \(\lambda^{N}d^{N-1}e^{-\lambda d}/(N-1)!\). При условии \(D=d\) предшествующие \(N-1\) событий распределены как порядковые статистики \(N-1\) независимых равномерных величин на \((t_0,d)\). proposition

proof Времена ожидания \(t_1-t_0,\dots,t_N-t_{N-1}\) независимы и распределены по закону \(\mathrm{Exp}(\lambda)\), а сумма \(N\) таких величин распределена как \(\Gam(N,\lambda)\). Условная равномерность есть свойство порядковых статистик пуассоновского процесса, применённое к \((t_0,d)\). proof

corollary[Смещение обратной величины] Оценка максимального правдоподобия для \(\lambda\) по одному лишь \(D\) равна \(\hat\lambda=N/D\), причём \[\label{eq:bias} \mathbb E[\hat\lambda]=N\,\mathbb E[D^{-1}]=\frac{N}{N-1}\,\lambda,\] так как \(\mathbb E[D^{-1}]=\lambda/(N-1)\) для \(D\sim\Gam(N,\lambda)\). Оценка \(\tilde\lambda=(N-1)/D\) в точности несмещена. corollary

Чего из следствия

Естественно заключить, что раз \(\hat\lambda\) завышена в \(N/(N-1)\) раз, то частота \(\hat G_b\) занижена во столько же. Это неверно.

proposition[Несмещённость частоты] В условиях предложения :

1. [ (i)] концевая оценка несмещена точно: \(\mathbb E\!\left[\dfrac{D}{N\ln b}\right]=\dfrac{1}{\lambda\ln b}=G_b\);
2. [ (ii)] наклон МНК регрессии \(t_k\) на \(k\) несмещён точно: \(\mathbb E[\hat\beta]=1/\lambda\);
3. [ (iii)] следовательно, <<исправленная>> величина \(\tilde G_b=\frac{N}{N-1}\hat G_b\) смещена вверх ровно в \(N/(N-1)\) раз.

proposition

proof (i) \(\mathbb E[D]=N/\lambda\) для \(D\sim\Gam(N,\lambda)\), откуда результат немедленно. (ii) Наклон МНК есть линейная статистика \(\hat\beta=\sum_k w_k t_k\) с весами \(w_k=(k-\bar k)/\sum_j(j-\bar k)^2\), для которых \(\sum_k w_k=0\) и \(\sum_k w_k k=1\). Поскольку \(\mathbb E[t_k]=t_0+k/\lambda\), получаем \(\mathbb E[\hat\beta]=\sum_k w_k\,(t_0+k/\lambda)=1/\lambda\). (iii) непосредственно из (i). proof

Содержательный смысл прост: несмещённые оценки \(\kappa\) и \(1/\kappa\) не могут быть взаимно обратными, поскольку \(x\mapsto1/x\) строго выпукло. Несмещённая пара — это \((\hat G_b,\ \tilde\kappa_b)\), где \(\tilde\kappa_b=(N_b-1)\ln b/D_b\); но \(\tilde\kappa_b\ne1/\hat G_b\). Всякая единая <<поправка на цензурирование>>, исправляющая одну величину, портит другую. Таблица подтверждает предложение симуляцией.

table[t] Проверка предложений методом Монте-Карло, \(200\,000\) реализаций на строку (зерно генератора фиксировано, см.\ analysis.py). Целевое значение всех столбцов, кроме второго, равно \(1{,}0000\). Monte Carlo check of the propositions, \(200\,000\) replications per row (generator seed fixed, see analysis.py). The target value of every column except the second is \(1.0000\).

tabularrrrrrrr \(N\) & \(\mathbb E[\hat\lambda]/\lambda\) & \(N/(N-1)\) & \(\mathbb E[\tilde\lambda]/\lambda\) & \(\mathbb E[\hat G]\lambda\) & \(\mathbb E[\tilde G]\lambda\) & \(\mathbb E[\hat\beta]\lambda\)\\ 7 & 1,1665 & 1,1667 & 0,9998 & 1,0002 & 1,1669 & 1,0002\\ 10 & 1,1115 & 1,1111 & 1,0004 & 0,9998 & 1,1109 & 0,9997\\ 16 & 1,0672 & 1,0667 & 1,0005 & 0,9994 & 1,0660 & 0,9994\\ 22 & 1,0481 & 1,0476 & 1,0004 & 0,9996 & 1,0472 & 0,9997\\ 51 & 1,0202 & 1,0200 & 1,0002 & 0,9999 & 1,0199 & 0,9998\\ tabular table

remark Отрицательный результат этого параграфа стоит подчеркнуть, поскольку он противоречит интуиции: систематическое отклонение опубликованных частот вниз от \(\emg\) не объясняется схемой подгонки. Его источник — либо реальное превышение \(\kappa\) над \(\eg\), либо, как показывает , схема наблюдения, но не арифметика оценки. remark

Неустойчивость к выбору формы оценки

Несмещённость не означает согласованности. В таблице приведены концевая форма \(\hat G_b\) и оценка по МНК \(\hat G_b^{\mathrm{OLS}}\) на одних и тех же данных. Расхождения достигают \(29{,}5\%\) (\(b=18\)), \(15{,}9\%\) (\(b=13\)) и \(10{,}3\%\) (\(b=11\)).

Сопоставим их с тем, что в литературе толкуют содержательно, — с отклонениями самих оценок от \(\emg\). Последние по пятнадцати основаниям имеют медиану \(17{,}6\%\) (от \(5{,}6\%\) при \(b=20\) до \(43{,}7\%\) при \(b=19\)). Наибольшее расхождение форм, \(29{,}5\%\), превышает эту медиану в \(1{,}7\) раза. В среднем выбор формы, разумеется, дешевле: медиана расхождений равна \(4{,}1\%\), то есть около четверти медианного отклонения. Но у двух оснований из пятнадцати (\(b=18\) и \(b=13\)) выбор формы весит больше, чем всё их отклонение от предсказания ЛПВ, — и именно эти основания фольклор и обсуждает.

Следствие для фольклора прямое. Основание 18 при концевой форме имеет \(\hat G_{18}=0{,}6604\) — третье по величине из пятнадцати (после \(b=7\) с \(0{,}7104\) и \(b=10\) с \(0{,}6612\)), то есть уверенно входит в тройку <<самых неудачливых>>; при МНК \(\hat G_{18}^{\mathrm{OLS}}=0{,}4656\) — десятое место из пятнадцати, ниже медианы \(0{,}4904\), то есть оно уже <<удачливое>>. Ярлык переворачивается без единого нового простого числа, от одной лишь смены формы оценки: основание перемещается с третьего места на десятое.

К этому добавляется вторая, техническая беда МНК: его стандартные ошибки в этой задаче неверны. Остатки суть отклонения порядковых статистик и сильно автокоррелированы; для \(b=2\) мы получаем \(\rho_1=0{,}825\), а ковариационная оценка Ньюи — Уэста с восемью лагами увеличивает стандартную ошибку свободного члена с \(0{,}447\) до \(0{,}732\) ( ). Опубликованные точечные значения не сопровождаются интервалами, и это, а не смещение, — главная методологическая претензия к текущей практике.

Условное правдоподобие

Предложение даёт больше, чем разбор смещения. Полагая \(t_0=\ln n_{\min}\) и приняв \((N_b,D_b)\) за данные по основанию \(b\), получаем логарифмическое правдоподобие \[\label{eq:loglik} \ell(\kappa)=\sum_b\Bigl[N_b\ln\frac{\kappa}{\ln b}-\frac{\kappa}{\ln b}D_b\Bigr]+\mathrm{const},\] распределение которого не зависит от границы поиска \(L_b\). Это существенно практически: \(L_b\) хорошо документирована лишь при \(b=2\). Дифференцируя и полагая \(S=\sum_b D_b/\ln b\), получаем \[\label{eq:mle} \hat\kappa=\frac{M}{S},\qquad \tilde\kappa=\frac{M-1}{S},\qquad M=\sum_b N_b .\] Так как \(\kappa S=\sum_b\lambda_bD_b\) есть сумма независимых величин \(\Gam(N_b,1)\), то \[\label{eq:pivot} \kappa S\sim\Gam(M,1),\] то есть точная центральная статистика; доверительные интервалы и \(p\)-значения получаются в замкнутой форме. Ровно это утверждение и требует ревизии — см. .

remark[Независимость по основаниям] Объединение предполагает независимость процессов по разным основаниям. Строго она не выполняется на малых индексах: семнадцать значений индекса встречаются более чем в одном основании, причём \(n=3\) — в девяти, поскольку \(\Rb(3)=b^2+b+1\) просто для многих \(b\). Все такие совпадения лежат при \(n\le317\). Существеннее, впрочем, не совпадение индексов (числа \(\Rb(n)\) при разных \(b\) различны), а возможная общность алгебраических делителей; и то и другое затрагивает лишь малые \(n\), тогда как \(D_b\) определяется верхним концом диапазона. Раздел подтверждает, что отбрасывание всех индексов ниже \(10^3\) вывод не меняет. remark

Две схемы наблюдения

В чём различие

Пивот выведен в предположении, что \(N_b\) задано планом наблюдения: мы смотрим на процесс, пока не наберём \(N_b\) событий, и останавливаемся. Назовём это схемой A (обратная выборка, цензурирование типа II).

Данные получены иначе. Для каждого основания вычислительный поиск покрыл интервал \((t_0,\ln L_b]\) целиком, и найденными оказались все события, попавшие внутрь; число находок \(N_b\) — случайная величина, а фиксирован фронт \(L_b\). Назовём это схемой B.

remark[Что здесь классика, а что нет] Само различие схем классическое и восходит к теории надёжности, где схема A называется failure-truncated, а схема B — time-truncated испытанием на долговечность [epstein1954trunc,epsteinsobel1954]. Оценка \((N-1)/D\), несмещённая при схеме A (следствие ), там учебниковая, и мы не претендуем на неё. Более того, при схеме B точно несмещённой оценки среднего не существует [bartholomew1963,basu1964]: экспоненциально малый остаток в не небрежность, а лучшее, что здесь достижимо в принципе.

Новым мы считаем другое. В классической постановке момент прекращения испытания известен: время \(T\) назначает экспериментатор. Здесь фронт \(L_b\) не документирован ни для одного основания, кроме \(b=2\), поэтому полную экспозицию приходится не брать из протокола, а восстанавливать — через отсутствие последействия, из самих находок. Отсюда и берётся поправка на каждое основание, а не на выборку в целом: неизвестных фронтов столько же, сколько оснований. Обзор смещений, порождаемых краем окна наблюдения, но в непараметрической постановке и для формы распределения интервалов, а не для интенсивности, дан в [kivela2015]. remark

Различие не косметическое. При схеме B, условно на \(N_b=n\), положения событий суть \(n\) независимых равномерных величин на \((t_0,\ln L_b]\), поэтому условное распределение \(D_b\) зависит от \(L_b\) и не зависит от \(\lambda_b\): при фиксированном \(N_b\) величина \(D_b\) информативна о фронте, а не об интенсивности. Правдоподобие при схеме B не является правдоподобием.

Заметим также, что настоящей работы, где для \(b=2\) фронт известен и используется явно, построен именно на схеме B. Обе схемы в одной работе применять нельзя; ниже мы принимаем схему B как соответствующую способу получения данных и калибруем под неё результаты схемы A.

Правильная объединённая оценка при схеме B

Смещение имеет замкнутую форму, и она поучительна.

proposition Пусть при схеме B поиск по основанию \(b\) покрыл \((t_0,\ln L_b]\), ширина окна есть \(W_b=\ln L_b-t_0\), а \(\delta_b=\ln L_b-t_{N_b}\) — расстояние от фронта до последнего найденного события (при \(N_b=0\) полагаем \(\delta_b=W_b\)). Тогда \[\label{eq:delta} \Pr(\delta_b>x)=e^{-\lambda_b x}\ \ (0\le x<W_b),\qquad \Pr(\delta_b=W_b)=e^{-\lambda_b W_b},\] то есть \(\delta_b\) есть экспоненциальная величина с параметром \(\lambda_b\), усечённая на \(W_b\), и \[\label{eq:Edelta} \mathbb E[\delta_b]=\frac{1-e^{-\lambda_b W_b}}{\lambda_b}.\] Полная экспозиция есть \(S_{\mathrm{full}}=S+\sum_b\delta_b/\ln b=\sum_b W_b/\ln b\), причём \(\mathbb E[M]=\kappa S_{\mathrm{full}}\) тождественно, а \[\label{eq:EBd} \mathbb E\Bigl[\kappa\sum_b\delta_b/\ln b\Bigr]=B-\sum_b e^{-\lambda_b W_b}.\] Приравнивая \(\kappa S_{\mathrm{full}}\) к \(M\) и отбрасывая экспоненциально малый остаток, получаем моментную оценку \[\label{eq:MBS} \hat\kappa_{\mathrm B}=\frac{M-B}{S}.\] proposition

proof Событие \(\{\delta_b>x\}\) при \(x<W_b\) означает, что на интервале \((\ln L_b-x,\ln L_b]\) длины \(x\) нет ни одного события процесса; вероятность этого равна \(e^{-\lambda_b x}\). При \(x\to W_b^-\) остаётся случай <<событий нет вовсе>>, что и даёт атом в . Интегрируя хвост, \(\mathbb E[\delta_b]=\int_0^{W_b}e^{-\lambda_b x}\,dx=(1-e^{-\lambda_b W_b})/\lambda_b\), откуда . Далее, \(S_{\mathrm{full}}\) не случайна: по построению \(D_b+\delta_b=W_b\), поэтому \(\kappa S_{\mathrm{full}}=\sum_b\lambda_b W_b=\mathbb E[M]\) — это в точности уравнение моментов. Наконец, \(\kappa\,\mathbb E[\delta_b]/\ln b=\lambda_b\mathbb E[\delta_b]=1-e^{-\lambda_b W_b}\), и суммирование по \(b\) даёт . proof

remark Отбрасываемый в остаток \(\sum_b e^{-\lambda_b W_b}\) есть ожидаемое число оснований, у которых поиск не дал ни одной находки. В наших данных находки есть у всех, а \(\lambda_b W_b\approx N_b\ge7\), так что остаток не превосходит \(\sum_b e^{-N_b}<3\cdot10^{-3}\) против \(B=15\) — относительная поправка порядка \(0{,}02\%\). Именно её и показывает первая строка таблицы . Подчеркнём, что без этого усечения утверждение \(\delta_b\sim\mathrm{Exp} (\lambda_b)\) было бы неверным: у процесса нет событий левее \(t_0\), поэтому \(\delta_b\le W_b\) по построению, и ссылка на отсутствие последействия здесь недостаточна. remark

Иными словами, условное правдоподобие стоит информации, эквивалентной одному событию на каждое основание, — а формула вычитает одно событие всего. При \(B=15\) разница составляет четырнадцать событий, то есть \(7\%\): \[\frac{M-1}{S}=1{,}9648\qquad\text{против}\qquad\frac{M-B}{S}=1{,}8381 .\] Прямая симуляция схемы B подтверждает: оценка имеет смещение \(+0{,}02\%\), тогда как \((M-1)/S\) — смещение \(+6{,}9\%\) (таблица ).

Существенно, что вывод предложения опирается только на равенство , которое верно для любого положения фронта: в него входит лишь ширина окна \(W_b\), а она сокращается вместе с экспоненциально малым остатком (замечание ). Поэтому оценка не содержит свободного параметра и не требует знания того, насколько далеко ушёл фронт. Таблица подтверждает это симуляцией при семи различных правилах расположения фронта, включая случайные и различные по основаниям.

table[t] Несмещённость двух объединённых оценок при различном расположении фронта. Истинное значение \(\eg=1{,}7811\); \(15\,000\) реализаций на строку. Правила заданы через ширину окна \(W_b=\ln L_b-t_0\): <<\(\mathbb E[\#]\) = наблюдённое>> есть \(W_b=N_b/\lambda_b\); <<\(+s\) средних интервалов>> — \(W_b=(N_b+s)/\lambda_b\); <<в \(c\) раз дальше по \(t\)>> — \(W_b=c\,D_b\) с наблюдённым \(D_b\); <<случайные>> — \(W_b=(N_b/\lambda_b)\,U\) с независимой \(U\sim\mathrm{Unif}(0{,}7;\,1{,}8)\), своей у каждого основания и каждой реализации. Unbiasedness of the two pooled estimators under different frontier placements. True value \(\eg=1.7811\); \(15\,000\) replications per row. The rules are stated through the window width \(W_b=\ln L_b-t_0\): «\(\mathbb E[\#]\) = observed» is \(W_b=N_b/\lambda_b\); «\(+s\) mean intervals» is \(W_b=(N_b+s)/\lambda_b\); «\(c\) times further in \(t\)» is \(W_b=c\,D_b\) with the observed \(D_b\); «random» is \(W_b=(N_b/\lambda_b)\,U\) with independent \(U\sim\mathrm{Unif}(0.7,\,1.8)\), drawn separately for each base and each replication.

tabularlrrrr Правило для фронта & \(\mathbb E[(M{-}B)/S]\) & откл. & \(\mathbb E[(M{-}1)/S]\) & откл.\\ \(\mathbb E[\#\text{событий}]\) = наблюдённое & 1,7814 & \(+0{,}02\%\) & 1,9043 & \(+6{,}92\%\)\\ фронт \(+0{,}5\) среднего интервала & 1,7816 & \(+0{,}03\%\) & 1,9001 & \(+6{,}68\%\)\\ фронт \(+2\) средних интервала & 1,7820 & \(+0{,}05\%\) & 1,8891 & \(+6{,}07\%\)\\ фронт \(+5\) средних интервалов & 1,7820 & \(+0{,}05\%\) & 1,8717 & \(+5{,}09\%\)\\ фронт в \(1{,}5\) раза дальше по \(t\) & 1,7825 & \(+0{,}08\%\) & 1,8716 & \(+5{,}08\%\)\\ фронт вдвое дальше по \(t\) & 1,7816 & \(+0{,}03\%\) & 1,8475 & \(+3{,}73\%\)\\ фронты случайные, разные по основаниям & 1,7812 & \(+0{,}01\%\) & 1,8788 & \(+5{,}49\%\)\\ tabular table

Единственное допущение. Требуется лишь следующее.

(A1) Положение фронта \(L_b\) не выбиралось по результатам поиска: вычислительный бюджет, а не находки, определяет, до какого \(n\) доведено просеивание.

Если (A1) нарушено в крайней форме — поиск по каждому основанию прекращался сразу после находки, — то \(\delta_b=0\) и мы возвращаемся к схеме A. Общий вид оценки при \(\delta_b=m/\lambda_b\) есть \(\hat\kappa=(M-Bm)/S\), так что весь диапазон, порождаемый неопределённостью в (A1), есть отрезок между \(1{,}838\) (\(m=1\), фронт независим от находок) и \(1{,}974\) (\(m=0\), поиск останавливается на находке). ( При \(m=0\) моментное приравнивание даёт ровно \(M/S=1{,}9739\), тогда как точная несмещённая оценка схемы A из следствия есть \((M-1)/S=1{,}9648\) (различие — одно событие из \(218\), то есть \(0{,}5\%\); это обычная разница между моментной оценкой и оценкой, исправленной по Йенсену). В и всюду далее мы приводим \((M-1)/S\); здесь для однородности семейства \((M-Bm)/S\) выписан предел моментной формы.) Реальная практика распределённых вычислений явно ближе к первому: просеивание ведётся сплошными интервалами, а находки объявляются по ходу. Существенно, что оба конца отрезка совместимы с ЛПВ ( ), так что вывод работы от (A1) не зависит; от (A1) зависит лишь величина остаточного разрыва.

table[t] Калибровка пивота при схеме B. <<Сдвиг фронта>> — на сколько средних интервалов \(\ln L_b\) отнесён дальше ожидаемого последнего события. \(20\,000\) реализаций на строку; точность Монте-Карло около \(\pm0{,}005\) (биномиальная при наблюдаемом уровне \(0{,}16\); разброс по пяти зёрнам генератора — \(0{,}162\)–\(0{,}169\)). Calibration of pivot under scheme B. «Frontier shift» is how many mean intervals beyond the expected last event \(\ln L_b\) is placed. \(20\,000\) replications per row; Monte Carlo accuracy about \(\pm0.005\) (binomial at the observed level \(0.16\); the spread across five generator seeds is \(0.162\)–\(0.169\)).

tabularlrr Схема & ошибка I рода (номинал \(0{,}05\)) & \(\mathbb E[\tilde\kappa]/\kappa=c\)\\ B, сдвиг \(0\) & 0,1616 & 1,0688\\ B, сдвиг \(0{,}5\) & 0,1600 & 1,0664\\ B, сдвиг \(1\) & 0,1558 & 1,0641\\ B, сдвиг \(2\) & 0,1491 & 1,0595\\ A (контроль) & 0,0504 & 0,9997\\ tabular table

Два вывода из таблицы . Во-первых, номинальный \(5\%\) критерий при схеме B отвергает верную гипотезу в \(16{,}2\%\) случаев: заявленная точность интервалов завышена примерно втрое. Во-вторых, оценка при схеме B практически несмещена, так что дело не в неустранимом искажении, а в неверно выбранной схеме.

Единственная прямая проверка возможна для \(b=2\): там \(\delta_2=\ln(X_{\mathrm{ver}}/n_{\max})=0{,}056\) при среднем интервале \(\ln 2/\eg=0{,}389\), предсказанном ЛПВ. Это одна реализация экспоненциальной величины с единичным средним, и такое значение не редкость: \(\Pr(\delta\lambda<0{,}143)=0{,}13\). (Если брать не предсказанный, а оценённый средний интервал \(1/\hat\lambda=0{,}358\), то \(\delta\lambda=0{,}155\) и \(\Pr=0{,}14\); вывод тот же.) Отметим, что несмещённость оценки от этой реализации не зависит — она усредняет по всем пятнадцати основаниям, — а сама изменчивость \(\delta_b\) учтена в доверительном интервале , полученном инверсией симуляции схемы B.

Данные не выбирают схему за нас

Подчеркнём, что \((M-1)/S\) и \((M-B)/S\) — функции одних и тех же достаточных статистик \((N_b,D_b)\). Никакая обработка имеющихся данных не скажет, какая из них верна: выбор определяется тем, как данные собирались, и цена его составляет \(7\%\) — вдвое больше, чем весь остаточный разрыв с ЛПВ.

Естественная попытка обойти выбор — строить объединённую оценку из заведомо несмещённых кусков. Оценка по одному основанию \(\tilde\kappa_b=(N_b-1)\ln b/D_b\) несмещена при схеме A (следствие ) и несмещена при схеме B с точностью до экспоненциально малого члена. Действительно, при \(N_b=n\ge2\) отношение \(D_b/W_b\) распределено как \(\mathrm{Beta}(n,1)\), и тождество \(\mathbb E[1/\mathrm{Beta}(\alpha,\beta)]=(\alpha+\beta-1)/(\alpha-1)\) даёт \(\mathbb E[\tilde\lambda_b\mid N_b=n]=n/W_b\); при \(n\in\{0,1\}\) оценка равна нулю. Усреднение по \(n\sim\mathrm{Pois}(\lambda_bW_b)\) поэтому даёт не \(\lambda_b\), а \[\mathbb E[\tilde\lambda_b]=\lambda_b-\frac{\Pr(N_b=1)}{W_b} =\lambda_b\Bigl(1-e^{-\lambda_bW_b}\Bigr),\] то есть тот же экспоненциально малый дефицит, что и в : при \(\lambda_bW_b\approx N_b\ge7\) он не превосходит \(0{,}1\%\). Симуляция подтверждает: по каждому из пятнадцати оснований среднее \(\tilde\kappa_b\) лежит в пределах \(1{,}774\)–\(1{,}790\) при истинном \(1{,}781\) (оценка имеет бесконечную дисперсию при \(N_b=2\), поэтому выборочное среднее сходится медленно; остаточный разброс по основаниям — шум Монте-Карло).

Тем не менее взвешенное среднее \[\kappa_\ast=\sum\nolimits_b(N_b-2)\tilde\kappa_b\Big/\sum\nolimits_b(N_b-2)\] с обратно-дисперсионными весами даёт при схеме A смещение \(+0{,}05\%\), а при схеме B — \(+7{,}51\%\), то есть практически то же, что и \((M-1)/S\). Причина в том, что веса — сами числа событий — при схеме B случайны и положительно коррелируют с оценками; несмещённость каждого слагаемого не переносится на отношение сумм.

Отсюда мы делаем узкий, но, как нам кажется, важный вывод: выигрыш в точности от объединения оснований неотделим от предположения о схеме наблюдения. Единственный радикальный выход — документировать фронты поиска \(L_b\), как это делает GIMPS для \(b=2\). Мы обращаемся с этим к участникам соответствующих поисковых проектов.

Результаты

Оценки по основаниям

table[t] Оценки по основаниям. \(\hat G_b=D_b/(N_b\ln b)\) — концевая форма; \(\hat G_b^{\mathrm{OLS}}\) — наклон МНК \(\ln n_k\) на \(k\), делённый на \(\ln b\); обе несмещены (предложение ). \(\tilde\kappa_b=(N_b-1)\ln b/D_b\) — несмещённая оценка константы, ДИ точный из \(\Gam(N_b,1)\). Последний столбец — вероятностное интегральное преобразование \(\Gam(N_b,1)\), применённое к \(\eg D_b/\ln b\). ЛПВ предсказывает \(G=\emg=0{,}5615\) и \(\kappa=\eg=1{,}7811\). Per-base estimates. \(\hat G_b=D_b/(N_b\ln b)\) is the endpoint form; \(\hat G_b^{\mathrm{OLS}}\) is the OLS slope of \(\ln n_k\) on \(k\) divided by \(\ln b\); both are unbiased (Proposition ). \(\tilde\kappa_b=(N_b-1)\ln b/D_b\) is the unbiased estimator of the constant, with an exact interval from \(\Gam(N_b,1)\). The last column is the probability integral transform of \(\Gam(N_b,1)\) applied to \(\eg D_b/\ln b\). LPW predicts \(G=\emg=0.5615\) and \(\kappa=\eg=1.7811\).

tabularrrrrrrrl r \(b\) & \(N_b\) & \(\hat G_b\) & \(\hat G_b^{\mathrm{OLS}}\) & разн., % & \(\hat\kappa_b\) & \(\tilde\kappa_b\) & 95% ДИ & PIT\\ 2 & 51 & 0,5102 & 0,5309 & \(+4{,}1\) & 1,960 & 1,921 & [1,459; 2,533] & 0,266\\ 3 & 22 & 0,6148 & 0,6081 & \(-1{,}1\) & 1,626 & 1,552 & [1,019; 2,373] & 0,693\\ 5 & 18 & 0,4802 & 0,4666 & \(-2{,}8\) & 2,083 & 1,967 & [1,234; 3,149] & 0,285\\ 6 & 16 & 0,5000 & 0,4904 & \(-1{,}9\) & 2,000 & 1,875 & [1,143; 3,092] & 0,355\\ 7 & 9 & 0,7104 & 0,7371 & \(+3{,}8\) & 1,408 & 1,251 & [0,644; 2,466] & 0,801\\ 10 & 10 & 0,6612 & 0,6746 & \(+2{,}0\) & 1,512 & 1,361 & [0,725; 2,584] & 0,737\\ 11 & 12 & 0,4034 & 0,3617 & \(-10{,}3\) & 2,479 & 2,272 & [1,281; 4,066] & 0,162\\ 12 & 13 & 0,3981 & 0,3796 & \(-4{,}7\) & 2,512 & 2,319 & [1,337; 4,050] & 0,141\\ 13 & 12 & 0,4098 & 0,3448 & \(-15{,}9\) & 2,440 & 2,237 & [1,261; 4,002] & 0,174\\ 14 & 10 & 0,5025 & 0,5386 & \(+7{,}2\) & 1,990 & 1,791 & [0,954; 3,400] & 0,406\\ 15 & 9 & 0,5035 & 0,5054 & \(+0{,}4\) & 1,986 & 1,766 & [0,908; 3,479] & 0,417\\ 17 & 11 & 0,4301 & 0,4353 & \(+1{,}2\) & 2,325 & 2,114 & [1,161; 3,887] & 0,229\\ 18 & 7 & 0,6604 & 0,4656 & \(-29{,}5\) & 1,514 & 1,298 & [0,609; 2,825] & 0,714\\ 19 & 10 & 0,3161 & 0,2971 & \(-6{,}0\) & 3,164 & 2,847 & [1,517; 5,405] & 0,061\\ 20 & 8 & 0,5300 & 0,5713 & \(+7{,}8\) & 1,887 & 1,651 & [0,815; 3,402] & 0,483\\ tabular table

Ниже \(\emg\) лежат \(11\) оснований из \(15\) — одинаково при обеих формах оценки, так что знак отклонения устойчив к её выбору, в отличие от порядка оснований между собой. Все пятнадцать PIT-квантилей лежат внутри центральной \(95\%\) области; крайние — \(b=19\) на квантиле \(0{,}061\) и \(b=7\) на \(0{,}801\). Основание 13, <<удачливое>>, находится на \(0{,}174\), что ничем не примечательно для одного из пятнадцати.

Объединённая оценка

При схеме A формулы – дают \[\label{eq:resA} \tilde\kappa=1{,}9648,\qquad 95\%\ \text{ДИ}=[1{,}7205;\,2{,}2444],\qquad p=0{,}142 .\] Точечная оценка на \(10\%\) выше \(\eg\), и именно это превышение прежде интерпретировалось как след опущенного эвристикой фактора.

Оценка для схемы B даёт (интервал и \(p\)-значение получены инверсией симуляции схемы B: для сетки значений \(\kappa\) симулируется схема B с наблюдённым расположением фронта и отыскиваются те \(\kappa\), при которых наблюдённая статистика \((M-B)/S\) попадает на квантили \(0{,}025\) и \(0{,}975\) симулированного распределения; \(20\,000\) реализаций на точку) \[\label{eq:resB} \hat\kappa_{\mathrm B}=\frac{M-B}{S}=1{,}8381,\qquad 95\%\ \text{ДИ}=[1{,}613;\,2{,}130],\qquad p=0{,}639 .\] Превышение сокращается с \(10{,}3\%\) до \(3{,}2\%\), а \(p\)-значение — с \(0{,}14\) до \(0{,}64\). Мы полагаем, что схема B ближе к способу получения данных, и потому считаем основным результатом, а — верхней границей: она отвечает предположению \(m=0\), то есть остановке поиска ровно на находке. Истина лежит между ними, и без публикации \(L_b\) сузить этот промежуток нельзя. Обе оценки согласуются с ЛПВ; различаются они тем, требуют ли данные объяснения для остаточного превышения. Мы заключаем, что не требуют. Картина в целом показана на рис. : доверительный интервал каждого основания накрывает и \(\eg\), и обе объединённые оценки.

figure[t] Оценки \(\tilde\kappa_b\) по основаниям с точными \(95\%\) доверительными интервалами из \(\Gam(N_b,1)\); площадь маркера пропорциональна \(N_b\). Штриховая линия — значение ЛПВ \(\eg\); синяя — объединённая оценка при схеме A; зелёная с полосой — калиброванная на схему B оценка и её интервал. Каждое основание по отдельности совместимо с универсальной константой. Per-base estimates \(\tilde\kappa_b\) with exact \(95\%\) confidence intervals from \(\Gam(N_b,1)\); marker area is proportional to \(N_b\). Dashed line: the LPW value \(\eg\); blue dash-dotted: the pooled estimate under scheme A; green with a hatched band: the estimate calibrated to scheme B and its interval. Each base separately is compatible with a universal constant.

figure

Однородность и её мощность

Пусть \(H_0\) — модель с единой \(\kappa\), а \(H_1\) — модель со свободными \(\kappa_b\). Из , поскольку \(\sum_b\hat\kappa_bD_b/\ln b=M=\hat\kappa S\), статистика отношения правдоподобий сводится к \[\Lambda=2\sum_b N_b\ln\frac{\hat\kappa_b}{\hat\kappa}\ \overset{H_0}{\sim}\ \chi^2_{B-1}.\] Мы получаем \(\Lambda=7{,}40\) при \(14\) степенях свободы, \(p=0{,}92\).

Однако неотвержение информативно ровно настолько, насколько мощен критерий, и здесь следует применить к себе то же требование, что и к литературе. Мы симулировали альтернативы, в которых \(\kappa_b\) логнормально рассеяны вокруг \(\eg\) с коэффициентом вариации \(cv\):

center tabularlrrrrrrrrr \(cv\) & 0,05 & 0,10 & 0,15 & 0,20 & 0,25 & 0,30 & 0,35 & 0,40 & 0,50\\ мощность & 0,061 & 0,120 & 0,212 & 0,363 & 0,535 & 0,693 & 0,817 & 0,893 & 0,965\\ tabular center

Мощности \(80\%\) критерий достигает лишь при \(cv\approx0{,}34\) (\(5000\) реализаций на точку сетки, точность по мощности около \(\pm0{,}01\)). Следовательно, \(p=0{,}92\) означает: данные не требуют базозависимых частот, но и не исключают разброса \(\kappa_b\) величиной до трети от значения константы. Утверждение <<удачливых оснований не существует>> из имеющихся данных не следует; следует более слабое — <<их существование данными не поддерживается, а различия менее \(\pm34\%\) принципиально неразличимы>>.

Устойчивость

Нижнее усечение. Мы варьировали нижнюю точку усечения, чтобы прощупать асимптотический режим (эвристика асимптотична, тогда как модель постоянной интенсивности стартует от \(n=2\)). Результаты в таблице . Оценка схемы A растёт с \(1{,}965\) до \(2{,}099\) — не строго монотонно (при \(n>10^{2}\) она отступает с \(2{,}019\) до \(2{,}012\)), но систематически: рост составляет \(6{,}8\%\) при том, что все пять значений получены на вложенных подвыборках одних и тех же данных. Это тренд, а не шум. Оценка схемы B тренда не показывает и колеблется вокруг \(\eg\) в пределах \(1{,}79\)–\(1{,}87\) (при более слабом критерии выбытия \(N_b\ge1\) — в пределах \(1{,}76\)–\(1{,}87\), по-прежнему без тренда). Причина видна из : усечение уменьшает \(M\), но не \(B\), тогда как схема A вычитает единицу независимо от объёма выборки. Мы считаем это независимым подтверждением диагноза : тренд был свойством оценки, а не данных. Обе кривые приведены на рис. .

table[t] Устойчивость к нижнему усечению. Основание остаётся в выборке, если после усечения у него сохраняется не менее двух событий (\(N_b\ge2\)); при \(n>10^4\) этому критерию перестаёт удовлетворять основание 19, откуда \(B=14\). Критерий существен: при более слабом требовании \(N_b\ge1\) основание 19 сохраняется, и последняя строка принимает вид \(B=15\), \(M=90\), \((M-1)/S=2{,}0848\), \((M-B)/S=1{,}7569\), \(p=0{,}128\). Robustness to lower truncation. A base is retained if at least two events survive the truncation (\(N_b\ge2\)); at \(n>10^4\) base 19 no longer meets this criterion, whence \(B=14\). The criterion matters: under the weaker requirement \(N_b\ge1\) base 19 is retained and the last row becomes \(B=15\), \(M=90\), \((M-1)/S=2.0848\), \((M-B)/S=1.7569\), \(p=0.128\).

tabularlrrrrr усечение & \(B\) & \(M\) & \((M-1)/S\) & \((M-B)/S\) & \(p\) (схема A)\\ нет & 15 & 218 & 1,9648 & 1,8381 & 0,142\\ \(n>10\) & 15 & 192 & 2,0192 & 1,8712 & 0,080\\ \(n>10^2\) & 15 & 156 & 2,0116 & 1,8299 & 0,124\\ \(n>10^3\) & 15 & 125 & 2,0551 & 1,8231 & 0,106\\ \(n>10^4\) & 14 & 89 & 2,0990 & 1,7889 & 0,116\\ tabular table

figure[t] Объединённая оценка при нижнем усечении: \((M-1)/S\) (схема A) и \((M-B)/S\) (схема B). Тренд оценки схемы A при переходе к схеме B исчезает. The pooled estimate under lower truncation: \((M-1)/S\) (scheme A) and \((M-B)/S\) (scheme B). The trend of the scheme A estimate disappears under scheme B.

figure

Исключение по одному основанию. Анализ с исключением одного основания даёт \(\tilde\kappa\) в пределах \([1{,}930;\,2{,}012]\) и \(p\) от \(0{,}086\) до \(0{,}237\); ни одно основание не определяет вывод, а наиболее влиятельное, \(b=3\), при удалении сдвигает \(p\) лишь до \(0{,}086\).

Статус данных. Ограничение основания 2 пятьюдесятью дважды проверенными показателями переводит результат с \(\tilde\kappa=1{,}965\), \(p=0{,}142\) на \(\tilde\kappa=1{,}961\), \(p=0{,}151\). Исключение всех индексов \(n>10^6\), где статус элементов — PRP, даёт \(\tilde\kappa=1{,}951\) при \(M=182\). В наихудшем сценарии, когда последний известный PRP какого-либо основания оказывается составным, наибольший сдвиг даёт \(b=17\): \(\tilde\kappa=1{,}977\). Все варианты лежат внутри интервала , поэтому возможные псевдопростые на вывод не влияют.

Статистическая мощность

Согласно мощность против истинной константы \(\kappa=r\eg\) на уровне \(\alpha\) доступна в замкнутой форме (таблица ).

table[t] Мощность на уровне \(\alpha=0{,}05\) для отвержения \(\kappa=\eg\), когда истинная константа превышает его в указанное число раз. Power at level \(\alpha=0.05\) for rejecting \(\kappa=\eg\) when the true constant exceeds it by the stated factor.

tabularlrr \(\kappa/\eg\) & только Мерсенн (\(M=51\)) & объединение (\(M=218\))\\ 1,05 & 0,060 & 0,106\\ 1,10 & 0,095 & 0,277\\ 1,15 & 0,152 & 0,523\\ 1,20 & 0,229 & 0,755\\ 1,30 & 0,427 & 0,972\\ 1,50 & 0,802 & 1,000\\ tabular table

При мощности \(80\%\) одна последовательность Мерсенна обнаруживает только отклонения в \(49{,}8\%\) и более; объединение пятнадцати оснований снижает этот порог до \(21{,}2\%\). Достижение мощности \(80\%\) против отклонения в \(10\%\) требует \(M\approx875\) событий, против \(5\%\) — \(M\approx3319\).

Эти рубежи вычислительно недостижимы, и стоит сказать насколько. Поскольку \(M\) растёт логарифмически по фронту поиска, удвоение фронтов по всем пятнадцати основаниям даёт около \(9{,}6\) дополнительных событий на всю объединённую выборку. Чтобы набрать недостающие \(657\) событий, нужно \(657/9{,}6\approx68\) удвоений, то есть рост фронтов в \(2^{68{,}2}\approx3\cdot10^{20}\) раз. Речь идёт не о десятилетиях, а о величине, лежащей вне досягаемости любых мыслимых вычислений. Обе кривые мощности как функции истинного отклонения показаны на рис. .

figure[t] Мощность отвержения \(\kappa=\eg\) на уровне \(\alpha=0{,}05\). Горизонтальная линия отмечает мощность \(80\%\). Power of rejecting \(\kappa=\eg\) at level \(\alpha=0.05\). The horizontal line marks \(80\%\) power.

figure

Отсюда правило чтения для этой литературы. Сообщение о том, что данные согласуются с ЛПВ с точностью до нескольких процентов, не есть свидетельство в пользу ЛПВ на уровне нескольких процентов; оно совместимо с константой, ошибочной в полтора раза. Объединённый анализ устанавливает, однако, настоящую границу: универсальная константа, если она существует, лежит примерно в \([1{,}61;\,2{,}13]\), и ни одно основание от неё различимо не отклоняется.

Та же ошибка в ином обличье

Счётная функция Мерсенна провоцирует родственную ошибку, которую мы приводим как разобранный пример. Регрессия \(\pi_2(t)\) на \(t\) в точках событий по \(50\) дважды проверенным показателям (нумерация \(0,\dots,N-1\): наименьший показатель есть начало отсчёта, а не событие) даёт наклон \(2{,}6391\) и свободный член \(-2{,}9627\) при стандартной ошибке МНК \(0{,}4469\), на вид значимый и наводящий на мысль о вторичном члене в . Ничего подобного.

Складываются два дефекта. Остатки кумулятивного счёта сильно автокоррелированы, здесь \(\rho_1=0{,}825\); ковариационная оценка Ньюи — Уэста с восемью лагами увеличивает стандартную ошибку до \(0{,}7315\). Существеннее то, что регрессия использует только точки событий и тем самым отбрасывает пустой интервал между последним показателем и фронтом поиска. Корректная нулевая модель удерживает интервал \([t_0,T]\) фиксированным, где \(T=\ln X_{\mathrm{ver}}\), и обусловливается ровно \(N-1=49\) событиями строго правее \(t_0\), что по предложению означает \(49\) независимых равномерных точек на \((t_0,T]\). По \(20\,000\) таким реализациям свободный член имеет медиану \(-1{,}498\) и \(5\)–\(95\%\) диапазон \([-5{,}99;\,2{,}20]\), что даёт \(p=0{,}562\) для наблюдённого значения. Вторичный член есть артефакт обусловливания.

Три следствия одного и того же обусловливания

(i) Бутстрэп не спасает. Естественная реакция на подозрительно малую стандартную ошибку МНК — бутстрэп по точкам событий. На данных основания 2 бутстрэп по \(20\,000\) ресемплам даёт медиану \(-2{,}949\), стандартное отклонение \(0{,}387\) и \(95\%\) интервал \([-3{,}822;\,-2{,}300]\), целиком лежащий ниже нуля; доля отрицательных значений равна \(100\%\). Это не подтверждение, а повторение той же ошибки: ресемплинг наблюдённых точек воспроизводит изменчивость внутри реализованной конфигурации и не может восстановить изменчивость самого процесса, породившего эту конфигурацию. Корректное нулевое распределение примерно в шесть с половиной раз шире бутстрэпного.

(ii) Мнимая недодисперсия. Сравнение наблюдённого \(\max_i|r_i|=6{,}347\), где \(r_i=i-\hat\lambda(t_i-t_0)\), с симуляцией необусловленного пуассоновского процесса наводит на вывод, что счётная функция <<глаже пуассоновской>>. Против корректного нулевого распределения — с обусловливанием на \(N-1\) событий и оценкой \(\lambda\) по последнему из них — медиана равна \(5{,}134\), а двусторонний уровень значимости составляет \(0{,}539\). Наблюдение совершенно рядовое.

(iii) <<Серединный дефицит>>. Оценивание \(\lambda\) по последнему событию обращает остаток \(r\) в нуль на обоих концах (\(r(t_0)=r(t_N)=0\) при правильной нумерации), превращая его траекторию в аналог броуновского моста, для которого отрицательная экскурсия в середине диапазона возникает сама собой. Наблюдённая средняя экскурсия на средней половине диапазона равна \(-3{,}13\) при медиане симуляций \(-0{,}001\) и \(p=0{,}280\); доля реализаций с отрицательной средней экскурсией составляет \(0{,}500\), то есть систематического дефицита нет. Сама траектория остаточного процесса вместе с полосой симуляций приведена на рис. .

figure[t] Остаточный процесс \(r(t)\) для основания \(b=2\) вместе с полосой \(5\)–\(95\%\) квантилей \(20\,000\) симуляций и медианой симуляций. Траектория лежит внутри полосы. The residual process \(r(t)\) for base \(b=2\) together with the \(5\)–\(95\%\) quantile band of \(20\,000\) simulations and the simulation median. The trajectory stays inside the band.

figure

Основание 2 на известном фронте

Основание 2 — единственное, где фронт опубликован, и потому единственное, где возможен анализ по схеме B без всяких предположений. С \(T=\ln X_{\mathrm{ver}}\) получаем \(\hat\lambda=(N-1)/(T-t_0)=2{,}796\) против \(\eg/\ln2=2{,}570\), то есть \(\hat\kappa_2=1{,}938\) при точном \(95\%\) интервале Гарвуда \([1{,}434;\,2{,}562]\) и пуассоновском \(p=0{,}59\) (удвоенный хвост; при mid-\(p\)-конвенции \(0{,}54\) — конвенцию здесь необходимо оговаривать, поскольку различие ощутимо). Условная оценка того же среза данных — те же \(50\) дважды проверенных показателей — даёт \(\tilde\kappa_2=1{,}905\); различие невелико, поскольку последний показатель этого среза \(77\,232\,917\) случайно оказался очень близко к фронту \(81\,648\,221\). (Для сравнения, условная оценка по всем \(52\) известным показателям, приведённая в таблице , равна \(1{,}921\); сопоставлять её с \(\hat\kappa_2\) нельзя — это другая выборка.) Это совпадение одной реализации, а не свойство метода: смещение относится к среднему по положению последнего события относительно фронта.

Теоретический вторичный член имеет противоположный знак

Существует независимый довод против содержательной трактовки свободного члена \(C_1\). Если вторичный член в происходит из постоянной Мертенса \(\mathfrak M=0{,}26150\ldots\), то естественная его величина есть \((\eg/\ln2)\mathfrak M=+0{,}672\): знак положительный, тогда как наблюдается \(-2{,}963\). Ближайшие теоретические кандидаты не просто не воспроизводят наблюдаемую величину, а предсказывают противоположный знак. Это независимо от предыдущего подтверждает, что \(C_1\) — параметр аппроксимации, а не структуры.

Структурные поправки

Рассмотрим более общую параметризацию интенсивности \(\lambda_b=(\kappa/\ln b)\,C_b\) и четыре модели множителя: \[\text{A:}&\quad C_b=1;\\ \text{B:}&\quad C_b=\prod_{p\mid b-1,\ p\ne2}\Bigl(\tfrac{p}{p-1}\Bigr)^{\alpha} \prod_{p\mid b+1,\ p\ne2}\Bigl(\tfrac{p}{p-2}\Bigr)^{\beta};\\ \text{C:}&\quad C_b=\prod_{p\mid b^2-1}\Bigl(\tfrac{p}{p-1}\Bigr)^{\delta};\\ \text{D:}&\quad C_b=\exp\bigl(\theta_1\omega(b-1)+\theta_2\omega(b+1)+\theta_3\ln b\bigr).\] Показатель в модели C обозначен через \(\delta\), а не \(\gamma\), чтобы не смешивать его с постоянной Эйлера. Результаты в таблице . Ни одна параметризация не даёт значимого улучшения; байесовские факторы по BIC при \(n=M=218\) подавляюще поддерживают базовую модель.

table[t] Сравнение структурных моделей. Правдоподобие — условное с множителем \(C_b\); LR и \(p\) даны относительно модели A; BIC вычислен при \(n=M=218\). Comparison of structural models. The likelihood is the conditional one with factor \(C_b\); LR and \(p\) are relative to model A; BIC is computed with \(n=M=218\).

tabularlrrrrrrr Модель & параметров & \(\ln L\) & LR & \(p\) & AIC & BIC & \(P(\text{модель}\mid\text{данные})\)\\ A & 1 & \(-176{,}129\) & — & — & 354,26 & 357,64 & 0,893\\ B & 3 & \(-175{,}494\) & 1,27 & 0,530 & 356,99 & 367,14 & 0,008\\ C & 2 & \(-175{,}647\) & 0,96 & 0,326 & 355,29 & 362,06 & 0,098\\ D & 4 & \(-174{,}925\) & 2,41 & 0,492 & 357,85 & 371,39 & 0,001\\ tabular table

remark[Чувствительность BIC] Выбор эффективного объёма выборки для BIC неочевиден: правдоподобие имеет \(B=15\) независимых слагаемых, но информация растёт как \(M=218\). При \(n=15\) апостериорные вероятности составляют \(0{,}624\) / \(0{,}079\) / \(0{,}261\) / \(0{,}036\), при \(n=218\) — \(0{,}893\) / \(0{,}008\) / \(0{,}098\) / \(0{,}001\). Вывод в пользу модели A при обоих выборах, но при \(n=218\) он существенно сильнее. Мы отчитываемся по \(n=M\) как соответствующему числу независимых событий. remark

Фиксированная арифметическая поправка. Отдельно рассмотрена модель с фиксированным (не оцениваемым) множителем \(C^{\mathrm{fix}}_b=\prod_{p\mid b-1,p\ne2}\frac{p}{p-1}\prod_{p\mid b+1,p\ne2}\frac{p}{p-2}\), для которого \(\overline{C_b}=2{,}46\). Она даёт \(\hat\kappa=0{,}815\). Подчеркнём, что сравнивать это значение с \(\eg\) бессмысленно: в перепараметризованной модели \(\kappa\) имеет иной масштаб, и такой <<критерий согласия>> проверял бы лишь равенство среднего \(C_b\) единице. Поскольку модели A и \(C^{\mathrm{fix}}\) ненестированы и имеют одинаковое число свободных параметров, корректное сравнение — прямо по правдоподобию: \(\ln L=-193{,}55\) против \(-176{,}13\), разность \(-17{,}42\). Фиксированная поправка решительно отвергается.

Логарифмические поправки. Модель \(\lambda_b(t)=(\kappa/\ln b)(1+c_1/t+c_2/t^2)\) оценивается полным правдоподобием точечного процесса \(\sum_i\ln\lambda(t_i)-\int\lambda\) (правдоподобие одного лишь счёта здесь недопустимо: оно отбрасывает положения событий, которыми только и определяются \(c_1,c_2\)). Получаем \(\hat\kappa=2{,}049\), \(\hat c_1=+0{,}108\), \(\hat c_2=-0{,}826\), \(\mathrm{LR}=3{,}53\) при двух степенях свободы, \(p=0{,}171\). Незначимо.

Заключение

OL • Употребительные оценки нормированной частоты обобщённых репьюнитных простых не смещены схемой подгонки: и концевая форма, и наклон МНК несмещены точно. Смещена лишь обратная величина, и это следствие выпуклости. Ходовое объяснение <<медленной сходимости снизу>> через цензурирование несостоятельно.

• Настоящий дефект употребительной практики — в том, что различные формы оценки расходятся до \(29{,}5\%\), а точечные значения публикуются без доверительных интервалов при том, что стандартные ошибки МНК в этой задаче занижены примерно в \(1{,}6\) раза. Классификация оснований на <<удачливые>> и <<неудачливые>> переворачивается от смены формы оценки на неизменных данных.

• Объединение \(B=15\) оснований даёт \(M=218\) событий и точный пивот \(\kappa S\sim\Gam(M,1)\), но этот пивот откалиброван под схему наблюдения <<до \(N\)-го события>>, тогда как данные получены при фиксированном фронте поиска. При реальной схеме номинальный \(5\%\) критерий отвергает в \(16{,}2\%\) случаев, а правильной объединённой оценкой оказывается \((M-B)/S\): условное правдоподобие стоит одного события на каждое основание, а не одного события в сумме. Различение таких схем восходит к теории надёжности; новым здесь является случай недокументированного фронта, когда экспозицию нельзя взять из протокола и её приходится восстанавливать из находок (замечание ).

• Это даёт \(\kappa=1{,}838\) при \(95\%\) интервале \([1{,}61;\,2{,}13]\) и \(p=0{,}639\) против \(\eg\). Сообщавшееся десятипроцентное превышение над ЛПВ, включая наше собственное в более ранней редакции этой работы, есть артефакт схемы наблюдения. Переход к схеме B независимо устраняет и систематический тренд объединённой оценки при усечении по \(n_{\min}\).

• Выбор между \((M-1)/S\) и \((M-B)/S\) не решается данными: обе оценки суть функции одних и тех же достаточных статистик и различаются на \(7\%\). Практическое следствие — необходимость публиковать фронты поиска \(L_b\), как это делает GIMPS для \(b=2\). До тех пор любой объединённый анализ этих последовательностей несёт неустранимую неопределённость порядка \(7\%\) — вдвое больше остаточного разрыва с ЛПВ.

• Гипотеза ЛПВ имеющимися данными не отвергается, а базозависимые поправки не требуются. Но и то и другое — утверждения о низкой чувствительности критериев: критерий однородности различает лишь разброс \(\kappa_b\) порядка \(\pm34\%\), а объединённый критерий — отклонения константы не менее \(21\%\). Достижение чувствительности в \(10\%\) потребовало бы роста фронтов поиска примерно в \(3\cdot10^{20}\) раз. /OL

Верификация исходных данных

Все двадцать последовательностей (пятнадцать основного набора и пять из проверки границы отбора) сверены с записями OEIS 27 августа 2026 г. Поскольку в объединённый анализ входят только тройки \((N_b,n_{\min},n_{\max})\), в таблице приведены число известных простых, из которого \(N_b\) получается вычитанием единицы, и оба крайних индекса; полные списки индексов содержатся в скрипте analysis.py.

table[h] Сверка с OEIS. Столбец <<последнее пополнение>> указывает происхождение наибольшего известного индекса. Cross-check against OEIS. The column «last addition» gives the provenance of the largest known index.

tabularrlrrrl \(b\) & OEIS & простых & \(n_{\min}\) & \(n_{\max}\) & последнее пополнение\\ 2 & A000043 & 52 & 2 & 136\,279\,841 & GIMPS, окт.\ 2024\\ 3 & A028491 & 23 & 3 & 8\,530\,117 & P. Bourdelais\\ 5 & A004061 & 19 & 3 & 3\,300\,593 & P. Bourdelais\\ 6 & A004062 & 17 & 2 & 3\,360\,347 & P. Bourdelais\\ 7 & A004063 & 10 & 5 & 1\,264\,699 & P. Bourdelais\\ 10 & A004023 & 11 & 2 & 8\,177\,207 & Propper и Batalov, май 2021\\ 11 & A005808 & 13 & 17 & 1\,868\,983 & P. Bourdelais\\ 12 & A004064 & 14 & 2 & 769\,543 & P. Bourdelais, дек.\ 2014\\ 13 & A016054 & 13 & 5 & 1\,503\,503 & P. Bourdelais\\ 14 & A006032 & 11 & 3 & 1\,724\,417 & P. Bourdelais, 13.07.2026\\ 15 & A006033 & 10 & 3 & 639\,833 & P. Bourdelais, 22.04.2019\\ 17 & A006034 & 12 & 3 & 1\,990\,523 & P. Bourdelais, 03.08.2020\\ 18 & A133857 & 8 & 2 & 1\,270\,141 & P. Bourdelais\\ 19 & A006035 & 11 & 19 & 209\,359 & P. Bourdelais, 27.08.2010\\ 20 & A127995 & 9 & 3 & 984\,349 & P. Bourdelais\\ tabular table

Отдельно предупредим читателя, сверяющего данные по вторичным источникам: сводные таблицы (страница <<Repunit primes>> в OEIS Wiki, статья <<List of repunit primes>> в Википедии) обновляются с запаздыванием и на момент написания работы отставали от самих записей OEIS на один член у оснований \(b=14,15,17,18,20\). Авторитетным источником следует считать записи OEIS.

Независимый пересчёт префиксов

Сверка с OEIS подтверждает, что перечисленные индексы дают простое, но не гарантирует полноты: пропущенный член сдвинул бы \(N_b\), а с ним и обе объединённые оценки. Этот пробел мы закрыли прямым пересчётом. Для каждого из двадцати оснований \(2\le b\le26\), не являющихся точными степенями, независимой реализацией (Гибридный CPU/GPU поисковик: сегментное сито по малым делителям, trial factoring в арифметике Монтгомери, PRP через GMP и GWNUM/IBDWT. Исходный код и протокол прогонов — в том же репозитории, скрипты verify_sequences.sh и compare_verify.py.) проверены все индексы \(n<10^4\) подряд, а не только перечисленные в OEIS. Каждый отрицательный вердикт пересчитан вторым, независимым бэкендом (сплошной double-check, как в GIMPS), чтобы исключить потерянную находку.

Результат: \(153\) члена подтверждены, лишних нет, пропущенных нет, расхождений между бэкендами нет — по всем двадцати основаниям. Покрытие по основаниям неравномерно (от одного члена при \(b=18\) до двадцати двух при \(b=2\)): на основной набор \(b\le20\) приходится \(128\) подтверждённых индексов из \(233\) известных. Выше \(10^4\) полный пересчёт вычислительно недоступен, и там мы по-прежнему опираемся на OEIS.

Отметим, что этот пересчёт не был формальностью: в первом прогоне независимая реализация объявила \(R_{3181}(23)\) составным, разойдясь с A204940. Разбор показал ошибку в самой реализации — всплеск ошибки округления FFT на последней итерации, после последней периодической проверки, — а не в данных OEIS. После исправления расхождений не осталось. Мы приводим этот эпизод как иллюстрацию к тезису : ложное <<составное>> невидимо без повторного счёта, и именно поэтому фронты и протоколы проверки должны публиковаться.

Доступность данных и кода

Все использованные последовательности приведены в таблице .

Данные. Скрипт fetch_data.sh загружает b-файлы OEIS для всех пятнадцати последовательностей основного набора, fetch_extra.sh — для пяти оснований \(21\le b\le26\), использованных в проверке границы отбора ( ). Загруженные файлы включены в репозиторий, так что анализ воспроизводится без обращения к сети.

Анализ. Один самодостаточный скрипт analysis.py (numpy, scipy, matplotlib); каждое число настоящей работы помечено в его выводе (results.txt) тегом соответствующей таблицы или раздела и воспроизводится одним запуском. Генератор случайных чисел инициализирован фиксированным зерном, поэтому все величины Монте-Карло воспроизводятся побитово. Скрипт также строит все четыре рисунка. Полный прогон занимает несколько минут.

Независимый пересчёт последовательностей. verify_sequences.sh запускает поисковик по всем индексам \(n<10^4\) для каждого основания, compare_verify.py сверяет результат с b-файлами OEIS и возвращает ненулевой код при любом расхождении (приложение ).

Оговорка о величинах Монте-Карло. Концы интервала зависят от процедуры инверсии, а таблицы , и — от правил расположения фронта. И то и другое описано в тексте и реализовано в analysis.py; все приведённые в работе значения — в точности вывод этого скрипта при зерне, зафиксированном в нём. Точность симуляций: для уровня значимости в таблице около \(\pm0{,}003\), для средних в таблице — около \(\pm0{,}3\%\).

Репозиторий: — каталог paper/. Дерево файлов и порядок запуска описаны в paper/README.md.

Список источников thebibliography9

wagstaff1983 Wagstaff S. S., Jr. Divisors of Mersenne numbers // Mathematics of Computation. 1983. Vol. 40, № 161. P. 385–397. DOI: 10.1090/S0025-5718-1983-0679454-X.

pomerance1981 Pomerance C. On the distribution of pseudoprimes // Mathematics of Computation. 1981. Vol. 37, № 156. P. 587–593. DOI: 10.1090/S0025-5718-1981-0628717-0.

t5k Heuristics: deriving the Wagstaff Mersenne conjecture [Электронный ресурс] // The PrimePages: prime number research and records. URL: (дата обращения: 27.08.2026).

dubner1993 Dubner H. Generalized repunit primes // Mathematics of Computation. 1993. Vol. 61, № 204. P. 927–930. DOI: 10.1090/S0025-5718-1993-1185243-9.

bourdelais2009 Bourdelais P. A generalized repunit conjecture [Электронный ресурс] // NMBRTHRY mailing list. 25 June 2009. URL: (дата обращения: 25.08.2026).

oeis The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences [Электронный ресурс] / OEIS Foundation Inc. URL: (дата обращения: 27.08.2026).

wagstaff2025 Wagstaff S. S., Jr. Two conjectures about Mersenne primes [Электронный ресурс] // Journal of Integer Sequences. 2025. Vol. 28. Article 25.7.2. URL: (дата обращения: 25.08.2026).

dominguez2026 Dominguez J. Arithmetic bias in the distribution of Mersenne prime exponents and the divisor structure of \(p-1\) [Электронный ресурс] // arXiv. 2026. arXiv:2603.08994. URL: (дата обращения: 27.08.2026).

jha2026 Jha A. The Poisson tail conjecture for primes in short intervals [Электронный ресурс] // arXiv. 2026. arXiv:2605.23014. URL: (дата обращения: 27.08.2026).

gimps PrimeNet [Электронный ресурс] / Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS). Программное обеспечение Prime95/MPrime, версия 30.8. URL: (дата обращения: 27.08.2026; отчёт Milestones считан 27.08.2026 04:30 UTC).

epstein1954trunc Epstein B. Truncated life tests in the exponential case // The Annals of Mathematical Statistics. 1954. Vol. 25, № 3. P. 555–564. DOI: 10.1214/aoms/1177728723.

epsteinsobel1954 Epstein B., Sobel M. Some theorems relevant to life testing from an exponential distribution // The Annals of Mathematical Statistics. 1954. Vol. 25, № 2. P. 373–381. DOI: 10.1214/aoms/1177728793.

bartholomew1963 Bartholomew D. J. The sampling distribution of an estimate arising in life testing // Technometrics. 1963. Vol. 5, № 3. P. 361–374.

basu1964 Basu A. P. Estimates of reliability for some distributions useful in life testing // Technometrics. 1964. Vol. 6, № 2. P. 215–219.

kivela2015 Kivel\"a M., Porter M. A. Estimating interevent time distributions from finite observation periods in communication networks // Physical Review E. 2015. Vol. 92, № 5. Article 052813. DOI: 10.1103/PhysRevE.92.052813.

thebibliography

otherlanguageenglish

References

OL 2pt • Wagstaff S. S., Jr. Divisors of Mersenne numbers. Mathematics of Computation, 1983, vol. 40, no. 161, pp. 385–397. DOI: 10.1090/S0025-5718-1983-0679454-X

• Pomerance C. On the distribution of pseudoprimes. Mathematics of Computation, 1981, vol. 37, no. 156, pp. 587–593. DOI: 10.1090/S0025-5718-1981-0628717-0

• Heuristics: deriving the Wagstaff Mersenne conjecture. The PrimePages: prime number research and records. Available at: (accessed 27.08.2026).

• Dubner H. Generalized repunit primes. Mathematics of Computation, 1993, vol. 61, no. 204, pp. 927–930. DOI: 10.1090/S0025-5718-1993-1185243-9

• Bourdelais P. A generalized repunit conjecture. NMBRTHRY mailing list, 25 June 2009. Available at:

(accessed 25.08.2026).

• OEIS Foundation Inc. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Available at: (accessed 27.08.2026).

• Wagstaff S. S., Jr. Two conjectures about Mersenne primes. Journal of Integer Sequences, 2025, vol. 28, article 25.7.2. Available at:

(accessed 25.08.2026).

• Dominguez J. Arithmetic bias in the distribution of Mersenne prime exponents and the divisor structure of \(p-1\). arXiv, 2026, arXiv:2603.08994. Available at: (accessed 27.08.2026).

• Jha A. The Poisson tail conjecture for primes in short intervals. arXiv, 2026, arXiv:2605.23014. Available at: (accessed 27.08.2026).

• Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS). PrimeNet. Prime95/MPrime software, version 30.8. Available at: (accessed 27.08.2026).

• Epstein B. Truncated life tests in the exponential case. The Annals of Mathematical Statistics, 1954, vol. 25, no. 3, pp. 555–564. DOI: 10.1214/aoms/1177728723

• Epstein B., Sobel M. Some theorems relevant to life testing from an exponential distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 1954, vol. 25, no. 2, pp. 373–381. DOI: 10.1214/aoms/1177728793

• Bartholomew D. J. The sampling distribution of an estimate arising in life testing. Technometrics, 1963, vol. 5, no. 3, pp. 361–374.

• Basu A. P. Estimates of reliability for some distributions useful in life testing. Technometrics, 1964, vol. 6, no. 2, pp. 215–219.

• Kivel\"a M., Porter M. A. Estimating interevent time distributions from finite observation periods in communication networks. Physical Review E, 2015, vol. 92, no. 5, article 052813. DOI: 10.1103/PhysRevE.92.052813 /OL

otherlanguage

Информация об авторе

Тимофей Сергеевич Докучаев — независимый исследователь, Иркутск, Россия, timofei93@yandex.ru,

otherlanguageenglish

Information about the author

Timofei Sergeevich Dokuchaev — independent researcher, Irkutsk, Russia, timofei93@yandex.ru, otherlanguage

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

otherlanguageenglish The author declares no conflicts of interests. otherlanguage