Фракталы в специальной теории относительности

Аннотация

В статье используются фрактальные функции для получения общего уравнения релятивистского движения частицы в инерциальной системе отсчета. В общем случае релятивистские выражения для закона движения, импульса, энергии, силы описываются фрактальными функциями. Показано, что релятивистское замедление времени и сокращение размеров при движении является следствием изменения характера взаимодействия элементов структуры движущегося тела. В то же время изменение расстояний и скорости хода координатных часов при переходе в другую систему отсчета возникает из-за различия эталонов длины и времени в этих системах отсчета. Применение фракталов в специальной теории относительности и полученные при этом результаты являются полностью оригинальными.

1 Введение

Если мы имеем математическое описание движения точки (частицы) в инерциальной системе отсчета (ИСО), то, применив преобразования Лоренца, мы можем получить соответствующий закон движения частицы в другой ИСО. Однако в общем случае такая задача решается только численными методами. Точного математического выражения закона движения частицы не получено. В статье данная задача решается с помощью фрактальных функций.
В статье используется релятивистская система единиц (релятивистское время), когда скорость света $c=1$, и векторная форма преобразований Лоренца

$$ t'(t)=\gamma_v[t-\mathbf{v\negmedspace\cdot\! r}(t)]\enspace \quad,\quad \text{где} \quad \gamma_v=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2}}\enspace,\enspace \tag{1.1} $$

$$ \mathbf{r}'(t)=\mathbf{r}(t)-\gamma_v\mathbf{v}t+\Gamma_v\mathbf{v}[\mathbf{v\negmedspace\cdot\! r}(t)]\enspace \quad,\quad \text{где} \quad \Gamma_v=\dfrac{\gamma_v-1}{v^2}=\dfrac{\gamma_v^2}{\gamma_v+1} \ \tag{1.2} $$

Фрактальные функции записываются в виде $\underline{\varphi} =\underline{f+g(\:)}$, где ( ) – пустые скобки обозначают место, в которое циклически подставляется все подчеркнутое выражение. В скобках, в общем случае, записывается аргумент функции g либо, в частном случае, сомножитель для g. Так фрактальная функция, развернутая на три шага имеет вид $\underline{\varphi}=f+g(f+g(f+g(\underline{f+g(\:)})))$. Подчеркивание функции $\underline{\varphi}$ либо любой другой функции $\underline{F}$ аргументом которой является $\underline{\varphi}$ указывает на то, что это не обычная, а фрактальная функция. Подчеркивание может не применяться, если и так ясно, что записана фрактальная функция. Простейшими примерами фрактальных функций являются следующие: $\varphi_1 =\underline{a+b\!\cdot\negmedspace(\:)}$ и $\varphi_2 =\underline{a+b\!\cdot\negmedspace(\:)+c\!\cdot\negmedspace(\:)}$. Их суммы равны

$$ \varphi_1=\dfrac{a}{1-b} \quad,\quad \text{при} \quad |b| \lt 1 \quad,\quad \varphi_2=\dfrac{a}{1-b-c} \quad,\quad \text{при} \quad |b+c| \lt 1 $$

2 Релятивистское равномерное движение

Пусть система отсчета S' движется относительно системы S с постоянной скоростью v. Уравнение движения частицы в системе S $\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\textbf{u}_0t$. Закон движения частицы в системе S'

$$ \mathbf{r}'=\mathbf{r}_0+\dfrac{\gamma_v\mathbf{u}_0-\Gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v(1-\mathbf{v\negmedspace\cdot\negmedspace u}_0)}(\mathbf{v\negmedspace\cdot\! r}_0)+\dfrac{\mathbf{u}_0-\gamma_v\mathbf{v}+\Gamma_v\mathbf{v}(\mathbf{v\negmedspace\cdot\negmedspace u}_0)}{\gamma_v(1-\mathbf{v\negmedspace\cdot\negmedspace u}_0)} t' \tag{2.1} $$

Правильность решения проверяется подстановкой в (2.1) прямого преобразования времени (1.1), в результате чего получаем уравнение прямого преобразования координат (1.2).
Введем обозначение

$$ \mathbf{r}'_0=\mathbf{r}_0+\dfrac{\gamma_v\mathbf{u}_0-\Gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v(1-\mathbf{v\negmedspace\cdot\negmedspace u}_0)}(\mathbf{v\negmedspace\cdot\! r}_0)\quad,\quad \mathbf{u}'_0=\dfrac{\mathbf{u}_0-\gamma_v\mathbf{v}+\Gamma_v\mathbf{v}(\mathbf{v\negmedspace\cdot\negmedspace u}_0)}{\gamma_v(1-\mathbf{v\negmedspace\cdot\negmedspace u}_0)} $$

тогда уравнение движения частицы с величинами из системы S' принимает вид $\mathbf{r}'=\mathbf{r}'_0+\mathbf{u}'_0 t'$ .
Введем следующие определения. Уравнение (2.1) называется переходной формой закона движения частицы в системе S'. Стандартный вид закона движения частицы должен включать начальное местоположение и начальную скорость из системы, в которой описывается движение частицы.

3 Общий случай релятивистского движения

3.1 Уравнение релятивистского движения без начальной скорости

В начальный момент времени точка находится в собственной системе отсчета $\mathbf{u}_0=0$. Скорость и ускорение частицы в системе S

$$ \mathbf{u}_f=\dfrac{\mathbf{u}_w}{\sqrt{1+u_w^2}} \quad,\quad \mathbf{a}_f=\dfrac{\dot{\mathbf{u}}_w}{\left( 1+u_w^2\right) ^{3/2}} \quad,\quad \text{где}\quad \mathbf{u}_w=\dfrac{1}{M}\int \mathbf{F}\,dt $$

Уравнение движения

$$ \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\int\mathbf{u}_f\, dt=\mathbf{r}_0+\mathbf{r}\!_f(t) \quad,\quad \text{где}\quad \mathbf{r}_0=const \quad,\quad \mathbf{r}\!_f=r\!_f(t)\,\mathbf{n} \tag{3.1} $$

Найдем закон движения частицы в системе S', движущейся со скоростью v относительно системы S. Решением преобразований Лоренца является уравнение

$$ \mathbf{r}'=\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\! r}_0)-\mathbf{v}t'+\left[\mathbf{n}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n})\right] R_f\negthickspace\left( \dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right) \tag{3.2} $$

$$ \text{где}\enspace \underline{\varphi}'=\underline{\mathbf{v\negmedspace \cdot\! r}_0+\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace R}_f\negthickspace\left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+(\:)\right)} \enspace,\enspace \mathbf{R}_f\negthickspace\left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+(\:)\right) - \text{функция } \mathbf{r}\!_f(t) \text{ с новым аргументом. } $$

Решение (3.2) проверяется подстановкой в него прямого преобразования времени (1.1). В результате получаем прямое преобразование координат (1.2).

Аналогично функции $\underline{\mathbf{R}}_f$ введем фрактальные величины $\underline{\mathbf{U}}_w$, $\underline{\mathbf{U}}_f$, $\underline{\mathbf{A}}_f$, получаемые из скоростей $\mathbf{u}_w~, \mathbf{u}_f$ и ускорения $\mathbf{a}_f$ путем замены аргумента. Продифференцируем по времени выражение (3.2) и найдем скорость и ускорение частицы

$$ \mathbf{u}'=\dfrac{\gamma_v\underline{\mathbf{U}}_f-\Gamma_v\mathbf{v}\!\left( \mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{U}}_f\right) }{\gamma_v^2\left(1-\mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{U}}_f \right) }-\mathbf{v}\quad,\quad \left( u'\right) ^2=1-\dfrac{\left(1-v^2 \right)\left(1-\underline{U}_f^2 \right) }{\left(1-\mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{U}}_f \right)} \lt 1 $$

$$ \mathbf{a}'=\dfrac{\gamma_v\underline{\mathbf{U}}_f-\Gamma_v\mathbf{v} }{\gamma_v^3\left(1-\mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{U}}_f \right)^3 } \left( \mathbf{v}\negmedspace \cdot\negthickspace\underline{\mathbf{A}}_f\right)+\dfrac{\underline{\mathbf{A}}_f }{\gamma_v^2\left(1-\mathbf{v}\negmedspace \cdot\negthickspace\underline{\mathbf{A}}_f \right)^2 } $$

В случае, когда $\left[\mathbf{v}\!\times\!\underline{\mathbf{R}}_f\right] =0$ выражение (3.2) принимает вид

$$ \mathbf{r}'=\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\! r}_0)-\mathbf{v}t'+\dfrac{1}{\gamma_v} \mathbf{R}_f\negthickspace\left( \dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right) \tag{3.3} $$

а когда $(\mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{R}}_f)=0$, то следующий

$$ \mathbf{r}'=\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\! r}_0)-\mathbf{v}t'+ \mathbf{R}_f\negthickspace\left( \dfrac{t'}{\gamma_v}+\mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0\right) \tag{3.4} $$

От векторной формы записи закона движения (3.2) можно перейти к координатной. При этом наиболее математически простые выражения получаются при переходе в прямолинейную косоугольную систему координат с ортами $\mathbf{e}_1 , \mathbf{e}_2 , \mathbf{e}_3$ косинусы углов между которыми равны

$$ \cos\left( \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\right)=-\gamma_{v_x} \gamma_{v_y} v_x v_y \quad,\quad \cos\left( \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_3\right)=-\gamma_{v_x} \gamma_{v_z} v_x v_z \quad,\quad \cos\left( \mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\right)=-\gamma_{v_y} \gamma_{v_z} v_y v_z $$

$$ \text{где}\quad \gamma_{v_x}=\dfrac{1}{\sqrt{1-v_x^2}} \quad,\quad\gamma_{v_y}=\dfrac{1}{\sqrt{1-v_y^2}} \quad,\quad\gamma_{v_z}=\dfrac{1}{\sqrt{1-v_z^2}} $$

Матрица М1 задает переход от декартовых координат уравнения (3.2) к контравариантным координатам уравнения (3.6)

$$ M1=\left( \begin{array}{ccc} \dfrac{\gamma_v}{\gamma_{v_x}}-\dfrac{\gamma_v^2\left(v_y^2+v_z^2 \right) }{\gamma_{v_x}\left(\gamma_v+1 \right) } & \dfrac{\gamma_v^2 v_x v_y }{\gamma_{v_x}\left(\gamma_v+1 \right) } & \dfrac{\gamma_v^2 v_x v_z }{\gamma_{v_x}\left(\gamma_v+1 \right) } \\ \dfrac{\gamma_v^2 v_x v_y }{\gamma_{v_y}\left(\gamma_v+1 \right) } & \dfrac{\gamma_v}{\gamma_{v_y}}-\dfrac{\gamma_v^2 \left(v_x^2+v_z^2 \right) }{\gamma_{v_y}\left(\gamma_v+1 \right) } & \dfrac{\gamma_v^2 v_y v_z }{\gamma_{v_y}\left(\gamma_v+1 \right) } \\ \dfrac{\gamma_v^2 v_x v_z }{\gamma_{v_z}\left(\gamma_v+1 \right) } & \dfrac{\gamma_v^2 v_y v_z }{\gamma_{v_z}\left(\gamma_v+1 \right) } & \dfrac{\gamma_v}{\gamma_{v_z}}-\dfrac{\gamma_v^2\left(v_x^2+v_y^2 \right) }{\gamma_{v_z}\left(\gamma_v+1 \right) } \end{array} \right) \tag{3.5} $$

$$ \begin{array}{rcl} \mathbf{r}'&=&\left[x_0-\gamma_v v_x t'+R_{f_x}\! \left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right)\right]\dfrac{\mathbf{e}_1}{\gamma_{v_x}}+ \left[y_0-\gamma_v v_y t'+R_{f_y}\! \left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right)\right]\dfrac{\mathbf{e}_2}{\gamma_{v_y}}+\\ &&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {}+\left[z_0-\gamma_v v_z t'+R_{f_z}\! \left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right)\right]\dfrac{\mathbf{e}_3}{\gamma_{v_z}} \end{array} \tag{3.6} $$

Матрица М2 задает переход от декартовых координат уравнения (3.2) к ковариантным координатам уравнения (3.8)

$$ M2=-\dfrac{1}{\gamma_v+1}\left( \begin{array}{ccc} \gamma_{v_x}\!\gamma_v v_x^2-\gamma_{v_x}\!\left(1+\gamma_v \right) &\gamma_{v_x}\! \gamma_v v_x v_y&\gamma_{v_x}\! \gamma_v v_x v_z\\ \gamma_{v_y}\! \gamma_v v_x v_y&\gamma_{v_y}\! \gamma_v v_y^2-\gamma_{v_y}\!\left(1+\gamma_v \right)&\gamma_{v_y}\! \gamma_v v_y v_z\\ \gamma_{v_z}\! \gamma_v v_x v_z&\gamma_{v_z}\! \gamma_v v_y v_z&\gamma_{v_z}\! \gamma_v v_z^2-\gamma_{v_z}\!\left(1+\gamma_v \right) \end{array} \right) \tag{3.7} $$

$$ \det M1\cdot\det M2=1 \quad,\quad M1\cdot M2^T=E $$

$$ \begin{array}{rcl} \mathbf{r}'&=&\gamma_{v_x}\left[x_0-v_x \mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0-\dfrac{v_x}{\gamma_v}t'+R_{f_x}\negthickspace\left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right)-v_x \mathbf{v} \negmedspace \cdot\!\mathbf{R}_{f_x}\negthickspace\left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right) \right] \mathbf{e}_1 + \\ &&+\gamma_{v_y}\left[y_0-v_y \mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0-\dfrac{v_y}{\gamma_v}t'+R_{f_y}\negthickspace\left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right)-v_y \mathbf{v} \negmedspace \cdot\negthickspace\mathbf{R}_{f_y}\negthickspace\left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right) \right] \mathbf{e}_2 + \\ &&+\gamma_{v_z}\left[z_0-v_z \mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0-\dfrac{v_z}{\gamma_v}t'+R_{f_z}\negthickspace\left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right)-v_z \mathbf{v} \negmedspace \cdot\negthickspace\mathbf{R}_{f_z}\negthickspace\left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right) \right] \mathbf{e}_3 \\ \end{array} \tag{3.8} $$

Рассмотрим частный случай закона движения (3.1), когда $\mathbf{r}\!_f=\mathbf{u}_0t$. Тогда закон движения в системе S' в соответствии с формулой (3.2) принимает вид

$$ \mathbf{r}'=\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0)-\mathbf{v}t'+\left[\mathbf{u}_0-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace u}_0)\right] \left(\; \underline{\dfrac{t'}{\gamma_v}+\mathbf{v\negmedspace \cdot\! r}_0+\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace (\:)}\;\right) $$

Суммируя фрактал получим формулу (2.1).

Преобразуем переходное уравнение движения (3.2) к стандартному виду, то есть когда оно будет включать в себя начальное местоположение и начальную скорость из системы S'. Так как частица движется в системе S' с постоянной скоростью $\mathbf{u}'_0 = - \mathbf{v}$, то вторая, переменная, составляющая скорости уже не может быть любой. Ее значение ограничивается величиной и направлением скорости $\mathbf{u}'_0$. Следовательно, стандартный вид закона движения частицы не может иметь привычный вид $\mathbf{r}'=\mathbf{r}'_0+\mathbf{u}'_0t'+\mathbf{r}'_f(t')$. Стандартный вид закона движения частицы имеет вид $\mathbf{r}'=\mathbf{r}'_0+\mathbf{u}'_0t'+K\!\left(u'_0 \right) R'_f(t')\,\mathbf{n}'$. Направление вектора $\mathbf{R}'_f$ задается ортом $\mathbf{n}'$

$$ \mathbf{n}'=\gamma_{v_n}\!\left[\mathbf{n}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n})\right] \quad,\quad \text{где} \quad \gamma_{v_n}\!=\dfrac{1}{\sqrt{1-(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n})^2 } } \tag{3.9} $$

Обратное преобразование ортов

$$ \mathbf{n}=\dfrac{\gamma_{u'_{\perp n'}}}{\gamma_{u'}}\left[\mathbf{n}'+\Gamma_{u'}\! \left(\mathbf{u}'_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{n}' \right)\!\mathbf{u}'_0 \right] \quad,\quad \text{где} \quad \gamma_{u'_{\perp n'}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(u'_0 \right)^2 +\left(\mathbf{u}'_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{n}' \right)^2} } \tag{3.10} $$

С учетом соотношений

$$ \underline{r}'_f=\dfrac{\gamma_{u'_{\perp n'}}}{\gamma_{u'}}\underline{R}_f \enspace,\enspace \mathbf{r}'_0=\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0) \enspace,\enspace \mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{R}}_f=-\gamma_{u'_{\perp n'}} \underline{R}_f \mathbf{u}'_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{n}' \enspace,\enspace \mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0=-\gamma_{u'} \mathbf{u}'_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{r}'_0 $$

получим стандартную форму релятивистского закона движения частицы (штрихи опускаем)

$$ \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{u}_0 t+\dfrac{\gamma_{u_{\perp n}}}{\gamma_u}R_f\negthickspace\left(\dfrac{t}{\gamma_u}-\underline{\varphi}\right) \mathbf{n} \quad,\quad \text{где} \quad \underline{\varphi}=\underline{\gamma_u \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{r}_0 + \gamma_{u_{\perp n}} \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{n}\: R_f\negthickspace\left(\dfrac{t}{\gamma_u}-(\:) \right)} \tag{3.11} $$

где $R_f (t)$ – функция движения в начально-собственной системе $\mathit{S}^*$, движущейся со скоростью $\mathbf{u}_0$.
В случае, когда $[\mathbf{u}_0\!\times\!\mathbf{n}] =0$ выражение (3.11) принимает вид

$$ \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{u}_0 t+\dfrac{1}{\gamma_u}\mathbf{R}_f\negthickspace\left(\dfrac{t}{\gamma_u}-\underline{\varphi}\right) \quad,\quad \text{где} \quad \underline{\varphi}=\underline{\gamma_u \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{r}_0 + \mathbf{u}_0 \negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{R}_f\negthickspace \left(\dfrac{t}{\gamma_u}-(\:) \right)} \quad , \tag{3.12} $$

а когда $(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n})=0$, то следующий

$$ \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{u}_0 t+\mathbf{R}_f\negthickspace\left(\dfrac{t}{\gamma_u}-\gamma_u \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{r}_0\right) \tag{3.13} $$

В этих двух частных случаях (3.12) - (3.13) направление вектора $\mathbf{R}_f$ совпадает с его направлением в начально-собственной системе отсчета.

Дифференцируя (3.11) находим стандартный вид скорости и ускорения частицы

$$ \mathbf{u}=\mathbf{u}_0+\dfrac{\gamma_{u_{\perp n}} \underline{U}_f \mathbf{n}}{\gamma_u^2 \left(1+\gamma_{u_{\perp n}}\underline{U}_f \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{n} \right) } \enspace,\enspace u^2=1-\dfrac{\left(1-u_0^2 \right) \left(1-\underline{U}_f^2 \right) }{\left( 1+\gamma_{u_{\perp n}} \underline{U}_f \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{n}\right)^2 } \lt 1 \quad \text{т.к.} \quad |\gamma_{u_{\perp n}} \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{n} |\leq u_0 $$

$$ \mathbf{a}=\dfrac{\gamma_{u_{\perp n}} \underline{A}_f \mathbf{n}}{\gamma_u^3 \left(1+\gamma_{u_{\perp n}}\underline{U}_f \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{n} \right)^3 } \quad,\qquad\qquad\qquad\qquad $$

где функции $\underline{U}_f , \underline{U}_w , \underline{A}_f$ - имеют аргумент $\left( \dfrac{t}{\gamma_u}-\underline{\varphi}\right)$.

3.2 Уравнение релятивистского движения с начальной скоростью

Для обозначения начальной скорости будем использовать символ $\mathbf{U}_b$. Скорость частицы в системе S

$$ \mathbf{u}=\mathbf{u}_f+\mathbf{u}_g \enspace,\enspace \mathbf{u}_f=\dfrac{\mathbf{u}_w}{\sqrt{1+\left(\mathbf{U}_b+\mathbf{u}_w \right)^2 }} \enspace,\enspace \mathbf{u}_g=\dfrac{\mathbf{U}_b}{\sqrt{1+\left(\mathbf{U}_b+\mathbf{u}_w \right)^2 }} \enspace,\enspace \mathbf{n}=\dfrac{\mathbf{u}_w}{u_w} \enspace,\enspace \mathbf{m}=\dfrac{\mathbf{U}_b}{U_b} $$

Уравнение движения частицы в системе S

$$ \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\int \dfrac{\mathbf{U}_b \: dt}{\sqrt{1+\left(\mathbf{U}_b+\mathbf{u}_w \right)^2 }}+\int \dfrac{\mathbf{u}_w \: dt}{\sqrt{1+\left(\mathbf{U}_b+\mathbf{u}_w \right)^2 }}=\mathbf{r}_0+\mathbf{r}_g(t)+\mathbf{r}\!_f(t) \tag{3.14} $$

Выполнив переход в систему S' движущуюся со скоростью v относительно данной системы S, получим уравнение движения частицы в ней

$$ \begin{aligned} \mathbf{r}'=\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_v \mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace r}_0) -\mathbf{v}t'+ \left[\mathbf{m}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace m})\right] R_g\negthickspace \left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right)+\\ +\left[\mathbf{n}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n})\right] R_f\negthickspace \left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right) \end{aligned} \tag{3.15} $$

$$ \quad \text{где} \quad \underline{\varphi}'=\underline{\mathbf{vr}_0 + \mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace R}_g\!\left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+(\:)\right) + \mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace R}_f\!\left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+(\:)\right) } \quad , $$

$$ \mathbf{R}_g\!\left(\dfrac{t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}'\right) - \quad \text{функция} \ \mathbf{r}_g(t) \text{с новым аргументом.} $$

От векторной формы закона движения (3.15) можно перейти к координатной. С помощью матрицы М1 (3.5) получаются контравариантные координаты, а с помощью матрицы М2 (3.7) ковариантные координаты.

Преобразуем переходной закон движения частицы (3.15) к стандартному виду и запишем входящие в него символы без штрихов. Получим общее выражение для закона движения частицы в ИСО

$$ \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{u}_0 t+\dfrac{\gamma_{u_{\perp m}}}{\gamma_u}R_g\!\left(\dfrac{t}{\gamma_u}-\underline{\varphi}\right) \mathbf{m}+\dfrac{\gamma_{u_{\perp n}}}{\gamma_u}R_f\!\left(\dfrac{t}{\gamma_u}-\underline{\varphi}\right) \mathbf{n} \quad, \qquad \quad \tag{3.16} $$

$$ \quad \text{где} \quad \underline{\varphi}=\underline{\gamma_u \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{r}_0 + \gamma_{u_{\perp m}} \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{m} \: R_g\negthickspace\left(\dfrac{t}{\gamma_u}-(\:) \right) +\gamma_{u_{\perp n}} \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{n} \: R_f\negthickspace \left(\dfrac{t}{\gamma_u}-(\:) \right)} $$

Направление векторов в системе S отличается от направления аналогичных векторов в начальной системе отсчета $\mathit{S}^*$ (которая движется со скоростью $\mathbf{u}_0$). Если n – направление вектора в данной системе S, а $\mathbf{n}^*$ – направление в системе $\mathit{S}^*$, то уравнения связи для ортов имеют вид (3.9) - (3.10). Аналогичными уравнениями связаны единичные вектора m и $\mathbf{m}^*$.

4 Релятивистское равноускоренное движение

Дифференциальное уравнение для релятивистского движения в постоянном электрическом поле имеет вид

$$ M\dfrac{d}{dt} \dfrac{\mathbf{u}_f}{\sqrt{1-u_f^2}}=q\mathbf{E}_0 \quad,\quad \mathbf{E}_0=const $$

4.1 Решение при нулевой начальной скорости

Скорость и ускорение движения частицы в системе S

$$ \mathbf{u}_f=\dfrac{\mathbf{W}t}{\sqrt{1+W^2 t^2}}\quad,\quad \mathbf{a}_f=\dfrac{\mathbf{W}}{\left(1+W^2 t^2\right)^{3/2} } \quad,\quad \text{где}\quad \mathbf{W}=\dfrac{q}{M} \mathbf{E}_0 $$

Уравнение движения частицы в системе S

$$ \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\dfrac{\mathbf{n}}{W}\left( \sqrt{1+W^2 t^2}-1\right) \quad,\quad \mathbf{n}=\dfrac{\mathbf{W}}{W} $$

Перейдем в систему S', движущуюся относительно S со скоростью v. Переходная форма закона движения частицы в системе S' получена в параграфе 3. Поэтому используя формулу (3.2), запишем

$$ \mathbf{r}'=\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace r}_0)-\mathbf{v}t'+\dfrac{1}{W}\left[\mathbf{n}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n})\right] \left[\sqrt{1+W^2 \left(\gamma_v^{-1} t'+\underline{\varphi}' \right)^2 }-1 \right] \tag{4.1} $$

$$ \quad \text{где}\quad \underline{\varphi}'=\underline{\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace r}_0+\dfrac{\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n}}{W}\left[\sqrt{1+W^2 \left(\gamma_v^{-1} t'+(\:) \right)^2 }-1 \right]} \qquad $$

Запишем стандартную форму закона релятивистского равноускоренного движения частицы, используя общую формулу (3.11)

$$ \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{u}_0 t+\dfrac{\gamma_{u_{\perp n}}\mathbf{n}}{\gamma_u W}\left[\sqrt{1+W^2 \left(\gamma_u^{-1} t-\underline{\varphi} \right)^2 }-1 \right] \qquad \tag{4.2} $$

$$ \text{где}\quad \underline{\varphi}=\underline{\gamma_u \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{r}_0 +\gamma_{u_{\perp n}} \dfrac{\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{n}}{W} \left[\sqrt{1+W^2 \left(\gamma_u^{-1} t-(\:) \right) }-1 \right] } $$

Фрактал квадратного корня суммируется к выражению в элементарных функциях

$$ \underline{\sqrt{1+\left(at+b+c\! \cdot\negmedspace (\:) \right)^2 }-1}= \dfrac{1}{1-c^2}\left[bc+act+\sqrt{1-c^2+(at+b-c)^2}-1 \right] $$

Выполняя суммирование фракталов, запишем полученные выше законы равноускоренного движения частицы в обычном виде. Переходная форма закона равноускоренного движения частицы (4.1) принимает вид

$$ \begin{aligned} \mathbf{r}'=\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace r}_0)+\gamma_v (\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace r}_0)(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n}')\mathbf{n}'-\left[\mathbf{v}-(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n}')\mathbf{n}'\right]t'+ \\ +\dfrac{\mathbf{n}'}{W}\left[\sqrt{1+\gamma_{v_n}^2\! \left(\gamma_v^{-1}Wt'+W\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace r}_0-\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n} \right)^2 }-\gamma_{v_n} \right] \qquad \end{aligned} \tag{4.3} $$

где $\mathbf{n}'$ находится по формуле (3.9).
Просуммируем фрактал в уравнении движения (4.2) и получим следующее выражение

$$ \begin{aligned} \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\gamma_u^2\, (\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\!\mathbf{r}_0)(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n})\mathbf{n}+\left[\mathbf{u}_0 -(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n})\mathbf{n}\right]t+\\ +\dfrac{\mathbf{n}}{W}\left[\sqrt{1+\left(\gamma_{u_{\perp n}}^{-1} Wt-\gamma_{u_{\perp n}}^{-1}\gamma_u^2\, W \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\!\mathbf{r}_0+\gamma_u \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} \right)^2 }-\dfrac{\gamma_u}{\gamma_{u_{\perp n}}} \right] \qquad \end{aligned} \tag{4.4} $$

Введем обозначение $\mathbf{r}_0^*$ для начального местоположения частицы, которое равно
$\mathbf{r}_0^*=\mathbf{r}_0+\gamma_u^2(\mathbf{u}_0\mathbf{r}_0)(\mathbf{u}_0\mathbf{n})\mathbf{n}$. Заменим в (4.4) вектор $\mathbf{r}_0$ на $\mathbf{r}_0^*$ и отбросив звездочки получим стандартную форму закона движения частицы

$$ \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\left[\mathbf{u}_0 -(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n})\mathbf{n}\right]t+ \dfrac{\mathbf{n}}{W}\left[\sqrt{1+\left(\gamma_{u_{\perp n}}^{-1} Wt-\gamma_{u_{\perp n}} W \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\!\mathbf{r}_0+\gamma_u \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} \right)^2 }-\dfrac{\gamma_u}{\gamma_{u_{\perp n}}} \right] \tag{4.5} $$

Скорость и ускорение частицы

$$ \mathbf{u}=\mathbf{u}_0-(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n})\mathbf{n}+\dfrac{\left(\gamma_{u_{\perp n}}^{-1} Wt-\gamma_{u_{\perp n}} W \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\!\mathbf{r}_0+\gamma_u \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} \right) \mathbf{n}}{\gamma_{u_{\perp n}}^2 \sqrt{1+\left(\gamma_{u_{\perp n}}^{-1} Wt-\gamma_{u_{\perp n}} W \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\!\mathbf{r}_0+\gamma_u \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} \right)^2}} $$

$$ u^2=1-\dfrac{1}{\gamma_{u_{\perp n}}^2\!\left[1+\left(\gamma_{u_{\perp n}}^{-1} Wt-\gamma_{u_{\perp n}} W \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\!\mathbf{r}_0+\gamma_u \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} \right)^2 \right] } \lt 1 $$

$$ \mathbf{a}=\dfrac{W\mathbf{n}}{\gamma_{u_{\perp n}}^2\!\left[1+\left(\gamma_{u_{\perp n}}^{-1} Wt-\gamma_{u_{\perp n}} W \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\!\mathbf{r}_0+\gamma_u \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} \right)^2 \right]^{3/2}} $$

При условии $[\mathbf{u}_0\!\times\!\mathbf{n}] =0$ выражение (4.5) принимает вид

$$ \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\dfrac{\mathbf{n}}{W}\left[\sqrt{1+\left(Wt-W\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\!\mathbf{r}_0+\gamma_u\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} \right)^2 }-\gamma_u \right] $$

а когда $(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n})=0$ следующий

$$ \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{u}_0t+\dfrac{\mathbf{n}}{W}\left[\sqrt{1+W^2\left(\gamma_u^{-1}t-\gamma_u\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\!\mathbf{r}_0 \right)^2 }-1 \right] $$

Для равноускоренного движения функциональная зависимость от времени уменьшается на коэффициент $1/\gamma_{u_{\perp n}}$, то есть замедление зависит только от составляющей начальной скорости перпендикулярной к направлению ускоренного движения. Перпендикулярная к вектору n составляющая скорости частицы остается постоянной во времени, в то время как продольная составляющая изменяется. В уравнении (4.5) продольная составляющая начальной скорости $(\mathbf{u}_0\mathbf{n})\mathbf{n}$ оказывается включенной в подкоренное выражение описывающее равноускоренное движение. Это легко показать, если взять предел от этой функции при $W\rightarrow0$

$$ \lim_{W \to 0} \dfrac{\mathbf{n}}{W}\left[\sqrt{1+\left(\gamma_{u_{\perp n}}^{-1} Wt-\gamma_{u_{\perp n}} W \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\!\mathbf{r}_0+\gamma_u \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} \right)^2 }-\dfrac{\gamma_u}{\gamma_{u_{\perp n}}} \right]=(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n})\mathbf{n}t-\gamma_{u_{\perp n}}^2(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\!\mathbf{r}_0)\mathbf{n} $$

либо если перейти в начально-собственную систему $\mathit{S}'$, то есть в систему, которая движется относительно данной со скоростью $\mathbf{u}_0$, а не со скоростью $[\mathbf{u}_0-(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n})\mathbf{n}]$, как может показаться из уравнения (4.5). Закон движения частицы в системе S' имеет вид

$$ \mathbf{r}'=\mathbf{r}_0+\gamma_{u_{\perp n}}^2(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\!\mathbf{r}_0)\!\left[\dfrac{\mathbf{u}_0}{\gamma_u+1}-(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n})\mathbf{n} \right] +\dfrac{\gamma_{u_{\perp n}}}{\gamma_u W} \left[\mathbf{n}+\Gamma_u \mathbf{u}_0 (\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}) \right] \left[\sqrt{1+(Wt')^2}-1 \right] $$

4.2 Решение при не нулевой начальной скорости

Для обозначения начальной скорости используем символ $\mathbf{U}_b$. Скорость и закон движения частицы в системе S

$$ \mathbf{u}=\dfrac{\mathbf{U}_b+\mathbf{W}t}{\sqrt{1+(\mathbf{U}_b+\mathbf{W}t)^2}} $$

$$ \begin{aligned} \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\dfrac{\mathbf{n}}{\gamma_{b_n}W}\left[\sqrt{1+\left(\gamma_{b_n} Wt+\gamma_{b_n}\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} \right)^2 } -\gamma_{b_n}\gamma_b\right]+\\ +\dfrac{1}{W}\left[\mathbf{U}_b-\left( \mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}\right) \mathbf{n} \right] \mathrm{ash}\!\left(\gamma_{b_n}Wt+\gamma_{b_n}\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} \right) \end{aligned} \tag{4.6} $$

$$ \quad \text{где}\quad n=\dfrac{\mathbf{W}}{W} \quad,\quad \gamma_{b_n}=\dfrac{1}{\sqrt{1+U_b^2-(\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n})^2}} \quad,\quad \gamma_b=\sqrt{1+U_b^2} $$

Выполним переход в систему S' движущуюся со скоростью v относительно данной системы S. Получим уравнение движения частицы в системе S'

$$ \begin{aligned} \mathbf{r}'=\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace r}_0) -\mathbf{v}t' +\dfrac{1}{W}\left[\mathbf{U}_{b_{\perp n}}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}\left(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace U}_{b_{\perp n}} \right) \right] \mathrm{ash}\!\left(\dfrac{\gamma_{b_n}}{\gamma_v}Wt'+\gamma_{b_n}\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}+\underline{\varphi}' \right)+\\ +\dfrac{1}{\gamma_{b_n}W}\left[\mathbf{n}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n})\right]\left[\sqrt{1+\left(\gamma_v^{-1}\gamma_{b_n}Wt'+\gamma_{b_n}\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}+\underline{\varphi}' \right)^2 }-\gamma_b\gamma_{b_n} \right] \end{aligned} \tag{4.7} $$

$$ \begin{aligned} \text{где}\quad \underline{\varphi}'=\underline{\gamma_{b_n}W\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace r}_0+\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n}\left[\sqrt{1+\left(\gamma_v^{-1}\gamma_{b_n}Wt'+\gamma_{b_n}\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} +(\:) \right)^2}-\gamma_b\gamma_{b_n} \right]+} \\ \underline{+\gamma_{b_n}\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace U}_{b_{\perp n}}\mathrm{ash}\!\left(\gamma_v^{-1}\gamma_{b_n}Wt'+\gamma_{b_n}\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} +(\:) \right)}\quad,\quad \mathbf{U}_{b_{\perp n}}=\mathbf{U}_b-(\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n})\mathbf{n} \end{aligned} $$

Скорость и ускорение частицы

$$ \mathbf{u}'=\dfrac{\gamma_v\underline{\mathbf{U}}-\Gamma_v\mathbf{v}\!\left( \mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{U}}\right) }{\gamma_v^2\left(1-\mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{U}} \right) }-\mathbf{v}\quad,\quad \text{где}\quad \underline{\mathbf{U}}=\dfrac{\gamma_{b_n}\mathbf{U}_b+\left(\gamma_v^{-1}\gamma_{b_n}Wt' +\underline{\varphi}' \right)\mathbf{n}}{\left[1+\left(\gamma_v^{-1}\gamma_{b_n}Wt'+\gamma_{b_n}\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} +\underline{\varphi}' \right)^2 \right]^{1/2} } $$

$$ \mathbf{a}'=\dfrac{\gamma_v\underline{\mathbf{U}}-\Gamma_v\mathbf{v} }{\gamma_v^3\left(1-\mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{U}} \right)^3 } \left( \mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{A}}\right)+\dfrac{\underline{\mathbf{A}} }{\gamma_v^2\left(1-\mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{A}} \right)^2 } $$

$$ \text{где} \ \underline{\mathbf{A}}=\dfrac{\gamma_{b_n}\!\mathbf{W}-\gamma_{b_n}^2W\left(\gamma_v^{-1}\gamma_{b_n}Wt'+\gamma_{b_n}\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} +\underline{\varphi}' \right)\mathbf{U}_{b_{\perp_n}}}{\left[1+\left(\gamma_v^{-1}\gamma_{b_n}Wt'+\gamma_{b_n}\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} +\underline{\varphi}' \right)^2 \right]^{3/2} } $$

При условии, что $[\mathbf{U}_b \!\times\!\mathbf{n}]=0$ закон движения в системе S (4.6) преобразуется к виду

$$ \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\dfrac{\mathbf{n}}{W}\left[\sqrt{1+(Wt+U_b)^2}-\gamma_b \right] $$

а в системе S' закон движения (4.7) имеет вид

$$ \mathbf{r}'=\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0)-\mathbf{v}t'+\dfrac{1}{W}\left[\mathbf{n}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n})\right]\left[\sqrt{1+\left(\gamma_v^{-1}Wt'+U_b+\underline{\varphi}' \right)^2 }-\gamma_b \right] $$

$$ \text{где}\quad \underline{\varphi}'=\underline{W\mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0+\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n} \left[\sqrt{1+\left(\gamma_v^{-1}Wt'+U_b+(\:) \right)^2 }-\gamma_b \right]} $$

При условии $(\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{n})=0$ закон движения в системе S (4.6) равен

$$ \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\dfrac{\gamma_b \mathbf{n}}{W}\left[\sqrt{1+(\gamma_b^{-1}Wt)^2}-1 \right] $$

а в системе S' закон движения (4.7) имеет вид

$$ \begin{aligned} \mathbf{r}'=\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0) -\mathbf{v}t'+\dfrac{\gamma_b}{W}\left[\mathbf{n}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n})\right]\left[\sqrt{1+\left(\gamma_v^{-1}\gamma_b^{-1}Wt'+\underline{\varphi}' \right)^2 }-1 \right]+\\ +\dfrac{1}{W}\left[\mathbf{U}_b-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}\left(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace U}_b \right) \right] \mathrm{ash}\!\left(\gamma_v^{-1}\gamma_b^{-1}Wt'+\underline{\varphi}' \right) \quad,\quad \end{aligned} $$

$$ \text{где}\quad \underline{\varphi}'=\underline{\dfrac{W}{\gamma_b}\mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0+\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n}\left[\sqrt{1+\left(\gamma_v^{-1}\gamma_b^{-1}Wt'+(\:) \right)^2}-1 \right]+\dfrac{\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace U}_b}{\gamma_b}\mathrm{ash}\!\left(\gamma_v^{-1}\gamma_b^{-1}Wt'+(\:) \right)} $$

Преобразуем переходную форму закона движения частицы (4.7) в стандартную, величины которой записываем без штрихов.

$$ \begin{aligned} \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{u}_0t+\dfrac{\gamma_{u_{\perp n}}\mathbf{n}}{\gamma_{b_n\!*}\gamma_uW}\left[\sqrt{1+\left(\gamma_u^{-1}\gamma_{b_n\!*}Wt+\gamma_{b_n\!*}\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}^* -\underline{\varphi} \right)^2 }-\gamma_b\gamma_{b_n\!*} \right]+ \\ +\dfrac{1}{\gamma_uW}\left[\gamma_{u_{\perp m}}U_b\mathbf{m}-\gamma_{u_{\perp n}}(\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}^*)\mathbf{n} \right] \mathrm{ash}\!\left(\gamma_u^{-1}\gamma_{b_n\!*}Wt+\gamma_{b_n\!*}\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}^*-\underline{\varphi} \right) \qquad \end{aligned} \tag{4.8} $$

$$ \begin{aligned} \text{где}\quad \underline{\varphi}=\underline{\gamma_{b_n\!*}\gamma_uW\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{r}_0+\gamma_{u_{\perp n}}\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}\left[\sqrt{1+\left(\gamma_u^{-1}\gamma_{b_n\!*}Wt+\gamma_{b_n\!*}\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}^* -(\:) \right)^2}-\gamma_b\gamma_{b_n\!*} \right]+} \\ \underline{+\gamma_{b_n\!*}\left[\gamma_{u_{\perp m}}U_b\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{m}-\gamma_{u_{\perp n}}(\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}^*)\mathbf{n} \right] \mathrm{ash}\!\left(\gamma_u^{-1}\gamma_{b_n\!*}Wt+\gamma_{b_n\!*}\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}^*-(\:) \right) } \end{aligned} $$

$$ \gamma_{b_n\!*}=\dfrac{1}{\sqrt{1+U_b^2-(\mathbf{U}_b\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}^*)^2}} \qquad,\qquad \mathbf{U}_b \ , \ \mathbf{n}^* - \text{величины из начальной системы}~ {S}^* . $$

5 Релятивистское периодическое движение

Дифференциальное уравнение для релятивистского эллипсоидального вращения имеет вид

$$ M\dfrac{d}{dt}\dfrac{\mathbf{u}_f}{\sqrt{1-u_f^2}}=q\mathbf{E}_1\cos\omega t+q\mathbf{E}_2\sin\omega t \quad,\quad (\mathbf{E}_1\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{E}_2)=0 \quad,\quad |\mathbf{E}_1|\neq |\mathbf{E}_2| $$

Скорость и ускорение частицы в системе S при $\mathbf{u}_0=0$

$$ \mathbf{u}_f=\dfrac{\mathbf{U}_1\sin\omega t-\mathbf{U}_2\cos\omega t}{\sqrt{1+\left(U_1\sin\omega t \right) ^2+\left(U_2\cos\omega t \right)^2 }} \quad,\quad \text{где}\quad \mathbf{U}_1=\dfrac{q}{M\omega}\mathbf{E}_1 \quad,\quad \mathbf{U}_2=\dfrac{q}{M\omega}\mathbf{E}_2 $$

$$ \mathbf{a}_f=\dfrac{\mathbf{U}_1\omega (1+U_2^2)\cos\omega t+\mathbf{U}_2\omega (1+U_1^2)\sin\omega t}{\left[1+\left(U_1\sin\omega t \right) ^2+\left(U_2\cos\omega t \right)^2 \right]^{3/2} } $$

Уравнение движения частицы в системе S

$$ \mathbf{r}=\mathbf{r}_0-\dfrac{\mathbf{U}_1}{\omega U_{12}}\arcsin\!\left(\dfrac{U_{12}}{\sqrt{1+U_1^2}}\cos\omega t \right)- \dfrac{\mathbf{U}_2}{\omega U_{21}}\arcsin\!\left(\dfrac{U_{21}}{\sqrt{1+U_2^1}}\sin\omega t \right) $$

$$ \text{где}\quad U_{12}=\sqrt{U_1^2-U_2^2} \quad,\quad U_{21}=\sqrt{U_2^2-U_1^2} \quad,\quad \mathbf{n}=\dfrac{\mathbf{U}_1}{U_1} \quad,\quad \mathbf{m}=\dfrac{\mathbf{U}_2}{U_2} $$

Используя формулу (3.2), запишем переходную форму закона релятивистского вращения и равномерного перемещения

$$ \begin{aligned} \mathbf{r}'=\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0)-\mathbf{v}t'-\dfrac{U_1}{\omega U_{12}} \left[\mathbf{n}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n})\right] \arcsin\! \left[\dfrac{U_{12}}{\sqrt{1+U_1^2}}\cos\!\left(\dfrac{\omega t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}' \right) \right] - \\ -\dfrac{U_2}{\omega U_{21}} \left[\mathbf{m}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace m})\right] \arcsin\! \left[\dfrac{U_{21}}{\sqrt{1+U_2^2}}\sin\!\left(\dfrac{\omega t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}' \right) \right] \qquad \qquad \end{aligned} \tag{5.1} $$

$$ \begin{aligned} \text{где}\quad \underline{\varphi}'=\underline{\omega \mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0-\dfrac{U_1}{\omega U_{12}}\arcsin\! \left[\dfrac{U_{12}}{\sqrt{1+U_1^2}}\cos\!\left(\dfrac{\omega t'}{\gamma_v}+(\:) \right) \right]-}\\ \underline{-\dfrac{U_2}{\omega U_{21}}\arcsin\! \left[\dfrac{U_{21}}{\sqrt{1+U_2^2}}\sin\!\left(\dfrac{\omega t'}{\gamma_v}+(\:) \right) \right]} \qquad \end{aligned} $$

Используя формулу (3.11), запишем закон релятивистского вращения в стандартном виде

$$ \begin{aligned} \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{u}_0t-\dfrac{\gamma_{u_{\perp n}} U_1\mathbf{n}}{\gamma_u\omega U_{12}} \arcsin\! \left[\dfrac{U_{12}}{\sqrt{1+U_1^2}}\cos\!\left(\dfrac{\omega t}{\gamma_u}-\underline{\varphi} \right) \right] - \\ -\dfrac{\gamma_{u_{\perp m}} U_2 \mathbf{m}}{\gamma_u\omega U_{21}} \arcsin\! \left[\dfrac{U_{21}}{\sqrt{1+U_2^2}}\sin\!\left(\dfrac{\omega t'}{\gamma_u}-\underline{\varphi} \right) \right] \qquad \qquad \end{aligned} \tag{5.2} $$

$$ \begin{aligned} \text{где}\quad \underline{\varphi}=\underline{\gamma_u\omega \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{r}_0-\gamma_{u_{\perp n}} \dfrac{U_1}{U_{12}}\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}\arcsin\! \left[\dfrac{U_{12}}{\sqrt{1+U_1^2}}\cos\!\left(\dfrac{\omega t}{\gamma_u}-(\:) \right) \right]-} \\ \underline{-\gamma_{u_{\perp m}}\dfrac{U_2}{U_{21}}\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{m}\arcsin\! \left[\dfrac{U_{21}}{\sqrt{1+U_2^2}}\sin\!\left(\dfrac{\omega t}{\gamma_u}-(\:) \right) \right]} \quad \end{aligned} $$

Для векторов n и m из (5.2) выполняется соотношение: $\mathbf{n\negmedspace \cdot\negmedspace m}+\gamma_u^2(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n})(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{m})=0$. Скорость частицы

$$ \begin{aligned} \mathbf{u}=\dfrac{\underline{\mathbf{U}}_f}{\gamma_u^2\left(1+\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{U}}_f \right) }+\mathbf{u}_0 \qquad,\qquad u^2=1-\dfrac{1-\gamma_u^{-2} \underline{U}_f^2-\left(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{U}}_f \right)^2 }{\gamma_u^2\left(1+\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{U}}_f \right)^2} \lt 1 \\ \quad \text{где}\quad \underline{\mathbf{U}}_f=\dfrac{\gamma_{u_{\perp n}}U_1\sin\!\left(\gamma_u^{-1}\omega t-\underline{\varphi}\right)\mathbf{n} - \gamma_{u_{\perp m}}U_2\cos\!\left(\gamma_u^{-1}\omega t-\underline{\varphi} \right)\mathbf{m} }{\sqrt{1+\left[U_1\sin\!\left(\gamma_u^{-1}\omega t-\underline{\varphi}\right) \right]^2+\left[U_2\cos\!\left(\gamma_u^{-1}\omega t-\underline{\varphi}\right)\right]^2 }} \end{aligned} $$

Ускорение частицы

$$ \mathbf{a}=\dfrac{\underline{\mathbf{A}}_f}{\gamma_u^3\left(1+\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{U}}_f \right)^2}-\dfrac{\underline{\mathbf{U}}_f\left(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{A}}_f \right) }{\gamma_u^3\left(1+\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{U}}_f \right)^3} $$

$$ \quad \text{где}\quad \underline{\mathbf{A}}_f=\dfrac{\gamma_{u_{\perp n}}\omega U_1\left(1+U_2^2 \right) \cos\!\left(\gamma_u^{-1}\omega t-\underline{\varphi}\right)\mathbf{n} + \gamma_{u_{\perp m}}\omega U_2\left(1+U_1^2 \right) \sin\!\left(\gamma_u^{-1}\omega t-\underline{\varphi} \right)\mathbf{m} }{\left\lbrace1+\left[U_1\sin\!\left(\gamma_u^{-1}\omega t-\underline{\varphi}\right) \right]^2+\left[U_2\cos\!\left(\gamma_u^{-1}\omega t-\underline{\varphi}\right) \right]^2 \right\rbrace^{3/2} } $$

В уравнение (5.2) время входит с замедляющим коэффициентом $1/\gamma_u$. Фрактальная фаза $\underline{\varphi}$ состоит из постоянной и периодической части. Последняя не превышает по модулю значение $\arcsin(0.5)$ и не влияет на величину основного периода колебаний, а приводит к искажению формы и появления бесконечного числа высших гармоник.

Релятивистский закон вращения частицы (5.2) можно преобразовать к виду с взаимно перпендикулярными векторами n и $\mathbf{n}_\perp$

$$ \begin{aligned} \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{u}_0t-\dfrac{\gamma_{u_{\perp n}} U_1\mathbf{n}}{\gamma_u\omega U_{12}} \arcsin\! \left[\dfrac{U_{12}}{\sqrt{1+U_1^2}}\cos\!\left(\dfrac{\omega t}{\gamma_u}-\underline{\varphi} \right) \right] - \\ -\dfrac{\gamma_{u_{\perp m}} U_2 }{\gamma_u\omega U_{21}}\left\lbrace \mathbf{(m\negmedspace \cdot\negmedspace n)n}-\left[\mathbf{n}\!\times\!\left[\mathbf{n}\!\times\!\mathbf{m} \right] \right]\right\rbrace \arcsin\! \left[\dfrac{U_{21}}{\sqrt{1+U_2^2}}\sin\!\left(\dfrac{\omega t'}{\gamma_u}-\underline{\varphi} \right) \right] \qquad \qquad \end{aligned} \tag{5.3} $$

В случае $(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n})=u_0$ и ${(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n}_\perp)=0}$ закон движения (5.3) принимает вид

$$ \begin{aligned} \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{u}_0t-\dfrac{ U_1\mathbf{n}}{\gamma_u\omega U_{12}} \arcsin\! \left[\dfrac{U_{12}}{\sqrt{1+U_1^2}}\cos\!\left(\dfrac{\omega t}{\gamma_u}-\underline{\varphi} \right) \right]-\\ - \dfrac{ U_2\mathbf{n}_\perp}{\omega U_{21}} \arcsin\! \left[\dfrac{U_{21}}{\sqrt{1+U_2^2}}\sin\!\left(\dfrac{\omega t}{\gamma_u}-\underline{\varphi} \right)\right] \end{aligned} \tag{5.4} $$

$$ \text{где}\quad \underline{\varphi}=\underline{\gamma_u\omega \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{r}_0-\dfrac{u_0 U_1}{U_{12}}\arcsin\! \left[\dfrac{U_{12}}{\sqrt{1+U_1^2}}\cos\!\left(\dfrac{\omega t}{\gamma_u}-(\:) \right) \right]} $$

То есть амплитуда колебаний частицы вдоль направления скорости $\mathbf{u}_0$ уменьшается на коэффициент $1/\gamma_u$.
В случае кругового вращения переходный закон движения (5.1) принимает вид

$$ \begin{aligned} \mathbf{r}'=\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0)-\mathbf{v}t'-\dfrac{U_w}{\omega \sqrt{1+U_w^2}} \left[\mathbf{n}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n})\right] \cos\!\left(\dfrac{\omega t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}' \right) - \\ -\dfrac{U_w}{\omega \sqrt{1+U_w^2}} \left[\mathbf{m}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace m})\right] \sin\!\left(\dfrac{\omega t'}{\gamma_v}+\underline{\varphi}' \right)\qquad \qquad \end{aligned} $$

$$ \text{где}\quad \underline{\varphi}'=\underline{\omega \mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_0-\dfrac{U_w\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n}}{\sqrt{1+U_w^2}}\cos\!\left(\dfrac{\omega t'}{\gamma_v}+(\:) \right) -\dfrac{U_w\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace m}}{\sqrt{1+U_w^2}}\sin\!\left(\dfrac{\omega t'}{\gamma_v}+(\:) \right) } \qquad $$

Стандартная форма закона релятивистского кругового вращения и равномерного перемещения

$$ \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{u}_0t-\dfrac{\gamma_{u_{\perp n}} U_w\mathbf{n}}{\gamma_u\omega \sqrt{1+U_w^2}} \cos\!\left(\dfrac{\omega t}{\gamma_u}-\underline{\varphi} \right) -\dfrac{\gamma_{u_{\perp m}} U_w\mathbf{m}}{\gamma_u\omega \sqrt{1+U_w^2}} \sin\!\left(\dfrac{\omega t}{\gamma_u}-\underline{\varphi} \right) \qquad $$

$$ \qquad\text{где}\quad \underline{\varphi}=\underline{\gamma_u\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{r}_0-\dfrac{\gamma_{u_{\perp n}} U_w}{\sqrt{1+U_w^2}}\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{n} \cos\!\left(\dfrac{\omega t}{\gamma_u}-(\:) \right) -\dfrac{\gamma_{u_{\perp m}} U_w}{\sqrt{1+U_w^2}}\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{m} \sin\!\left(\dfrac{\omega t}{\gamma_u}-(\:) \right)} $$

6 Преобразование векторов при переходе в новую систему отсчета

Пусть закон движения частицы в системе S имеет вид (3.1) или (3.16). Импульс p и энергия $\mathit{E}_e$ в системе S равны

$$ \mathbf{p}(t)=M(\mathbf{u}_w+\mathbf{U}_b)=\mathbf{p}_w+\mathbf{p}_b \quad,\quad E_e(t)=M\sqrt{1+(\mathbf{u}_w+\mathbf{U}_b)^2} $$

Введем вспомогательные величины для всех величин из системы S, изменяющихся во времени, путем замены в них времени t на фрактальное выражение от времени t'

$$ t \quad \longrightarrow \quad \left(\gamma_v^{-1}t'+\underline{\varphi}' \right) \tag{6.1} $$

Найдем формулы для импульса, энергии, силы в системе S', включающие вспомогательные величины. Используя обозначения $\underline{\mathbf{p}}=\underline{\mathbf{p}}_w+\underline{\mathbf{p}}_b=\underline{p}_w\mathbf{n}+\underline{p}_b\mathbf{m}$, где n и m - вектора из системы S, получим

$$ \underline{\mathbf{p}}'(t')=\underline{\mathbf{p}}+\Gamma_v \mathbf{v(v\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{p})}-\gamma_v \underline{E}_e\mathbf{v} \quad,\quad \underline{E}'_e(t')=\gamma_v\!\left(\underline{E}_e-\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{p}} \right) $$

$$ \underline{\mathbf{F}}'(t')=\dfrac{\underline{\mathbf{F}}-\gamma_v\left[\underline{\mathbf{F}}\negmedspace \cdot\negmedspace\left( \underline{\mathbf{U}}_f+\underline{\mathbf{U}}_g\right) \right]\mathbf{v}+\Gamma_v \mathbf{v}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{F}}) }{\gamma_v(1-\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{U}}_f-\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{U}}_g)}=\gamma_v \underline{\mathbf{F}}-\Gamma_v \mathbf{v}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{F}})-\gamma_v \left[\underline{\mathbf{u}}'\!\times\![\mathbf{v}\!\times\!\underline{\mathbf{F}}] \right] $$

$$ \underline{\mathbf{E}}'(t')=\gamma_v\underline{\mathbf{E}}-\Gamma_v\mathbf{v}(\mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{E}})+\gamma_v[\mathbf{v}\!\times\!\underline{\mathbf{H}}] \quad,\quad \underline{\mathbf{H}}'(t')=\gamma_v\underline{\mathbf{H}}-\Gamma_v\mathbf{v}(\mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{\mathbf{H}})-\gamma_v[\mathbf{v}\!\times\!\underline{\mathbf{E}}] $$

где $\underline{\mathbf{E}}$ и $\underline{\mathbf{H}}$ - напряженности электрического и магнитного полей с фрактальным аргументом (6.1)
Возьмем в качестве единичных вектора $\mathbf{n}'$ и $\mathbf{m}'$ из системы S' (3.9). Тогда используя обозначения $\underline{\mathbf{p}}_n$ и $\underline{\mathbf{U}}_n$ получим

$$ \underline{\mathbf{p}}_n=\gamma_{v_{\perp n'}}\underline{p}_w\mathbf{n}'+ \gamma_{v_{\perp m'}}p_b\mathbf{m}' \quad,\quad \underline{\mathbf{U}}_n=\dfrac{\gamma_{v_{\perp n'}}\underline{U}_w\mathbf{n}'+ \gamma_{v_{\perp m'}}U_b\mathbf{m}'}{\sqrt{1+\left(\underline{U}_w\mathbf{n}+U_b\mathbf{m} \right)^2 }} $$

$$ \underline{\mathbf{p}}'(t')=\gamma_v\left\lbrace \underline{\mathbf{p}}_n+\left[ \mathbf{v}\!\times\![\mathbf{v}\!\times\!\underline{\mathbf{p}}_n]\right] -\underline{E}_e\mathbf{v}\right\rbrace \quad,\quad \underline{E}'_e(t')=\gamma_v\left(\underline{E}_e-\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{p}}_n \right) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $$

$$ \begin{aligned} \underline{\mathbf{F}}'(t')=\gamma_{v_{\perp n'}} \underline{F}\left\lbrace \mathbf{n}'-\left[\underline{\mathbf{u}}'\!\times\![\mathbf{v}\!\times\!\mathbf{n}'] \right] \right\rbrace=\\ =\dfrac{\gamma_{v_{\perp n'}} \underline{F}}{1-\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace\underline{U}}_n}\left\lbrace \mathbf{n}'+\left[ \mathbf{v}\!\times\![\mathbf{v}\!\times\!\mathbf{n}']\right] -\left(\mathbf{\underline{U}}_n\negmedspace \cdot\negmedspace \mathbf{n}' \right)\mathbf{v}-\left\lbrace \left[ \mathbf{\underline{U}}_n\!\times\!\mathbf{v}\right]\negmedspace \cdot\negmedspace\left[ \mathbf{v}\!\times\!\mathbf{n}'\right]\right\rbrace \mathbf{v} \right\rbrace \end{aligned} $$

$$ \mathbf{\underline{E}}'(t')=\gamma_{v_{\perp n'}} \underline{E}\mathbf{n}'+\gamma_{v_{\perp m'}} \underline{H} \left[\mathbf{v}\!\times\!\mathbf{m}' \right] \quad,\quad \mathbf{\underline{H}}'(t')=\gamma_{v_{\perp m'}} \underline{H}\mathbf{m}'+\gamma_{v_{\perp n'}} \underline{E} \left[\mathbf{v}\!\times\!\mathbf{n}' \right] $$

7 Преобразование сил при равномерном движении

Пусть в системе отсчета S частицы 1 и 2 движутся равномерно: $\mathbf{R}_1=\mathbf{r}_1+\mathbf{u}_1t$, $\mathbf{R}_2=\mathbf{r}_2+\mathbf{u}_2t$. Расстояние между частицами $\mathbf{R}_{21}=\mathbf{R}_1-\mathbf{R}_2$. Система S' движется относительно системы S со скоростью v. Закон движения частицы 1 в системе S'

$$ \mathbf{R}'_1=\mathbf{r}_1+\dfrac{\gamma_v\mathbf{u}_1-\Gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v(1-\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace u}_1)}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_1)+\mathbf{u}'_1t' \quad,\quad \mathbf{u}'_1=\dfrac{\mathbf{u}_1-\gamma_v\mathbf{v}+\Gamma_v\mathbf{v}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace u}_1)}{\gamma_v(1-\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace u}_1)} \tag{7.1} $$

Закон движения частицы 2 в системе S' задается аналогичным уравнением. Сила действия частицы 2 на частицу 1 в системе S равна

$$ \mathbf{F}_{21}=\dfrac{\alpha \left(1-u_2^2 \right) }{\left[ R_{21}^2 \left(1-u_2^2 \right) +\left(\mathbf{R}_{21}\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{u}_2 \right)^2 \right]^{3/2} } \left\lbrace\mathbf{R}_{21}+\left[ \mathbf{u}_1\!\times\![\mathbf{u}_2\!\times\! \mathbf{R}_{21}]\right] \right\rbrace \tag{7.2} $$

где $\alpha$ - зарядовый коэффициент.
В момент времени t на частицу 1 действует сила $\mathbf{F}_{21}$ (событие А), а на частицу 2 действует сила $\mathbf{F}_{12}$ (событие В). В системе S' событие А происходит в момент времени $t'_1=\gamma_v\left[t-\mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace(\mathbf{r}_1+\mathbf{u}_1t) \right]$, когда расстояние между частицами

$$ \mathbf{R}'_{21}=\mathbf{R}'_1(t'_1)-\mathbf{R}'_2(t'_1)=\mathbf{R}_{21}+\dfrac{\gamma_v\mathbf{u}_2-\Gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v(1-\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace u}_2)}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace R}_{21}) $$

Аналогично, событие В происходит в момент времени $t'_2$, когда расстояние между частицами $\mathbf{R}'_{12}(t'_2)$. Найдем закон действия частицы 2 на частицу 1 в системе S'. Выразим величины из системы S через величины из системы S'

$$ \mathbf{R}_{21}=\mathbf{R}'_{21}-\dfrac{\gamma_v\mathbf{u}'_2+\Gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v(1+\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace u}'_2)}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace R}'_{21}) \quad,\quad \mathbf{u}_2=\dfrac{\mathbf{u}'_2+\gamma_v\mathbf{v}+\Gamma_v\mathbf{v}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace u}'_2)}{\gamma_v(1+\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace u}'_2)} \quad,\quad $$

$$ R_{21}^2=\left( R'_{21}\right) ^2-\dfrac{2\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace R}'_{21}}{1+\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace u}'_2}\left(\mathbf{u}'_2\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{R}'_{21} \right) -\dfrac{1-\left( u'_2\right) ^2}{\left(1+\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace u}'_2 \right)^2 }\left(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace R}'_{21} \right)^2 \quad,\quad \mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace R}_{21}=\dfrac{\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace R}'_{21}}{\gamma_v\!\left(1+\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace u}'_2 \right) } $$

и подставим их в преобразования Лоренца для силы $\mathbf{F}'_{21}$ (7.3)

$$ \mathbf{F}'_{21}=\dfrac{\mathbf{F}_{21}-\gamma_v\mathbf{v}\!\left(\mathbf{u}_1\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{F}_{21}\right) +\Gamma_v\mathbf{v}\!\left(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace F}_{21} \right)}{\gamma_v(1-\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace u}_1)} \tag{7.3} $$

В результате получим уравнение (7.2) в штрихованных величинах.
Таким образом, сила $\mathbf{F}_{12}$ и сила $\mathbf{F}_{21}$ одновременные в первой системе отсчета S становятся разновременными во второй системе S'.

8 Вычисление запаздывающих расстояний

Пусть закон движения частицы задан функцией $\mathbf{R} = \mathbf{R}(t)$, а r – расстояние от этой частицы до произвольной частицы пространства. Тогда запаздывающее расстояние $\mathbf{r}_{p}$ задается уравнением $\mathbf{r}_{p}=\mathbf{r}+\mathbf{R}(t)-\mathbf{R}(t-r_{p})$. Модуль $r_{p}$ вычисляется с помощью фрактальной функции

$$ \underline{r}_{p}=\underline{\sqrt{{r}^2+2\mathbf{r\negmedspace \cdot\negmedspace R}(t)+{R}^2(t)-2\mathbf{r\negmedspace \cdot\negmedspace R}\!\left( t-(\:)\right)-2\mathbf{R}(t)\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{R}\!\left( t-(\:)\right)+{R}^2\!\left( t-(\:)\right) }} \tag{8.1} $$

$$ \text{при }\quad r\gg |\mathbf{R}(t)-\mathbf{R}(t-r_{p})| \qquad \text{получим } \quad \underline{r}_{p}\cong \underline{r+\dfrac{\mathbf{r}}{r} \left[\mathbf{R}(t)-\mathbf{R}(t-(\:)) \right]} $$

Если функция движения $\mathbf{R}(t)$, в момент времени t нахождения запаздывающего расстояния $\mathbf{r}_{p}$, соответствует условию $\mathbf{R}(t)=0$ ,то выражение (8.1) существенно упростится

$$ \mathbf{r}_{p}=\mathbf{r}-\mathbf{R}\!\left(t-r_{p} \right) \quad,\quad \underline{r}_{p}=\underline{\sqrt{{r}^2-2\mathbf{r\negmedspace \cdot\negmedspace R}\!\left( t-(\:)\right)+{R}^2\!\left( t-(\:)\right) }} \tag{8.2} $$

Таким образом, функции с запаздывающим временем можно преобразовывать к фрактальному виду и с помощью вычислительной техники находить их значения.
Рассмотрим простейший пример нахождения запаздывающего расстояния, когда частица движется равномерно. По формуле (8.2) запишем фрактальную функцию для $\underline{r}_{p}$

$$ \mathbf{r}_{p}=\mathbf{r}+r_{p}\mathbf{u}_0 \quad,\quad r_{p}=\underline{\sqrt{{r}^2+2\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{r}\negmedspace \cdot\negmedspace(\:)+{u}_0^2\! \cdot\negmedspace(\:)^2}} $$

которая суммируется к функции (8.3), являющейся решением квадратного уравнения для ${r}_{p}$

$$ r_{p}=\dfrac{1}{1-u_0^2}\left[ \mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{r}+\sqrt{r^2\!\left(1-u_0^2 \right)+(\mathbf{u}_0\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{r})^2 }\right] \tag{8.3} $$

9 Преобразование сил при релятивистском равноускоренном движении

При ускоренном движении электромагнитные силы зависят от запаздывающих расстояний, а также скорости и ускорения в запаздывающие моменты времени. Метод вычисления запаздывающих расстояний был рассмотрен в предыдущем параграфе.
Пусть в системе отсчета S частица 1 движется с постоянной скоростью $\mathbf{u}_1$, а частица 2 движется релятивистски равноускорено. Система S' движется относительно системы S со скоростью v. Закон движения частицы 1 в системе S: $\mathbf{R}_1=\mathbf{r}_1+\mathbf{u}_1t$. Закон движения частицы 2 в системе S:

$$ \mathbf{R}_2=\mathbf{r}_2+\dfrac{\mathbf{n}}{W}\left(\sqrt{1+W^2t^2}-1 \right) $$

Сила действия частицы 1 на частицу 2 в системе S находится по формуле (7.2), а силу действия частицы 2 на частицу 1 в системе S получаем, используя формулу из электродинамики для электромагнитного поля произвольно движущегося заряда, в которой модуль запаздывающего расстояния вычисляем по формуле (8.2).
В системе S' закон движения частицы 1 задается уравнением (7.1), а закон движения частицы 2 равен

$$ \begin{aligned} \mathbf{R}'_2=\mathbf{r}_2-\dfrac{\gamma_v\mathbf{v}}{\gamma_v+1}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_2)+\gamma_{v_n}\!\left(\mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_2 \right)\left(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n} \right)\mathbf{n}'-\left[\mathbf{v}-\dfrac{\gamma_{v_n}}{\gamma_v}(\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n})\mathbf{n}' \right]t'+ \\ +\dfrac{\mathbf{n}'}{W}\left[\sqrt{1+\gamma_{v_n}^2\!\left( \gamma_v^{-1}Wt'+W\mathbf{v\negmedspace \cdot\!r}_2-\mathbf{v\negmedspace \cdot\negmedspace n}\right)^2 }-\gamma_{v_n} \right] \qquad \end{aligned} $$

Силе действия частицы 2 на частицу 1 в системе S соответствует сила в системе S' в момент времени $t'_1=\gamma_v\left[t-\mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{R}_1(t) \right]$. Расстояние между частицами равно $R'_{21}=R'_1\left(t'_1 \right)-R_2\left(t'_1 \right)$. Для данного расстояния силу действия частицы 2 на частицу 1 в системе S' находим по формулам из электродинамики (решение Лиенара-Вихерта уравнений Максвелла). Значение силы $\mathbf{F}'_{21}(t)$ совпадает со значением силы $\mathbf{F}'_{21}(t)$ рассчитанной из преобразований Лоренца для сил (7.3). Аналогичное вычисление силы $\mathbf{F}'_{12}(t)$ в системе S' в момент времени $t'_2=\gamma_v\left[t-\mathbf{v}\negmedspace \cdot\negmedspace\mathbf{R}_2(t) \right]$ совпадает со значением вычисленным по формуле лоренцевого преобразования сил.

10 Метрологический смысл преобразований Лоренца

Для математического описания физических явлений вводится система отсчета, в которой выбираются эталоны длины и времени. С каждой системой отсчета связано свое координатное пространство, состоящее из неподвижных в данной системе отсчета точек. Координатные точки не взаимодействуют как друг с другом, так и со всеми другими движущимися в системе отсчета частицами. Это является идеализацией для реальных материальных точек, но она принимается в качестве одного из основных положений при введении системы отсчета и координатного пространства. Измерение расстояния до движущейся частицы в произвольный момент времени происходит методом проецирования положения частицы на координатное пространство и отождествления расстояния до координатной точки с расстоянием до движущейся частицы. Расстояние между двумя движущимися частицами получается аналогично – проецированием и отождествлением проекции с реальным расстоянием.
Возьмем две инерциальные системы отсчета. Пусть система S' движется со скоростью v вдоль оси Х системы S. Каждая из систем отсчета имеет свое координатное пространство. В системе S собственные координатные точки неподвижны, а координатные точки из системы S' движутся со скоростью v. Расстояние между движущимися координатными точками $x'_1$ и $x'_2$ из системы S' можно измерить найдя проекцию этих точек на координатное пространство системы S. Длина проекции $(x'_1 x'_2)_p$ отождествляется с расстоянием между движущимися точками $x'_1$ и $x'_2$. Второй метод измерения это использование движущегося со скоростью v эталона длины. Неподвижный эталон больше движущегося на величину $\gamma_v$. Следовательно, расстояние $x'_1x'_2$ измеренное с помощью движущегося эталона будет в $\gamma_v$ – раз больше его проекции на координатное пространство системы S. Этот факт отображается в преобразованиях Лоренца для x - координаты: $x'=\gamma_v (x-vt)$, где $(x-vt)$ - это координата частицы в системе S' с точки зрения наблюдателя из системы S. Соотношение между эталонами длины систем S и S' различно для различных направлений. В данном случае вдоль оси x эталон длины системы S' меньше в $\gamma_v$ - раз, а вдоль осей y и z эталоны из S и S' совпадают.

Скорость хода опорных часов (часы в начале координат) в системе S' замедляется по сравнению с системой S на коэффициент $1/\gamma_v$. Это можно рассматривать как переход к новому эталону времени в системе S'. В преобразованиях Лоренца для времени

$$ t'(t)=\dfrac{t}{\gamma_v}-v\gamma_v (x-vt)=\gamma_v(t-vx) $$

слагаемое $t/\gamma_v$ отражает этот факт, а слагаемое $v\gamma_v (x-vt)=vx'(t)$ - факт возникновения рассогласования времени событий при переходе в систему S'. Чтобы увидеть, что происходит в системе S' в момент времени $t'$ необходимо собрать "пазл" из различных моментов времени и соответствующих событий из системы S. В результате такой сборки метрологический эффект от перехода в системе S' к эталону длины в $\gamma_v$ - раз меньшему чем в системе S существенно изменяется. В общем, изменение скоростей хода часов, величин и направления расстояний при переходе в другую систему отсчета является метрологическим эффектом. В определенном смысле это не физический, а идеальный эффект, эффект связанный с использованием новых эталонов времени и длины вместо старых. При этом взаимосвязь и соотношение старых и новых эталонов строго физически обусловлена.

Наблюдатель в системе S' не фиксирует замедление хода опорных часов, так же он ни какими физическими измерениями не сможет обнаружить различие эталонов длины по разным направлениям. Для него эталоны длины и скорость хода времени вводятся по тем же соглашениям и численно будут такими же, как и для наблюдателя из системы S. Различие эталонов возникает только когда рассматриваются две движущиеся друг относительно друга системы.

11 Следствия преобразований Лоренца

11.1 Динамическое сжатие тел

Пусть вдоль оси Х из состояния покоя начинают ускоренно двигаться две частицы. Через какой-то промежуток времени их скорости достигают порогового значения $u_0$, на котором стабилизируются. Из-за синхронности движения точек и вследствие отсутствия их взаимодействия расстояния между ними сохраняется неизменным все время. То есть эффекта сокращения расстояния между независимыми частицами при их одновременном движении с релятивистскими скоростями не существует. Запишем далее закон релятивистского вращения и перемещения с постоянной скоростью, когда скорость $\mathbf{u}_0$ параллельна орту $\mathbf{n}_1$ (5.4). Из закона движения следует, что по линии постоянной скорости $\mathbf{u}_0$ траектория вращения сжимается на коэффициент $1/\gamma_u$. Это происходит вследствие того, что источник силы вызывающий вращение в начально-собственной системе отсчета, в текущей системе движется с постоянной скоростью $\mathbf{u}_0$ и соответственно по-другому взаимодействует с так же движущимся зарядом. А именно таким образом, что траектория его вращения сжимается. Аналогичный вывод можно сделать и из общего уравнения движения частицы с постоянной скоростью $\mathbf{u}_0$ (3.12) - (3.13). Таким образом, можно предполагать, что твердое тело будет сжиматься по линии движения с постоянной скоростью $\mathbf{u}_0$ в $\gamma_u$ - раз. То есть сжатие движущихся твердых тел это динамический, определяемый изменением взаимодействия зарядов, эффект. В свое время Г.Лоренц [1] делал аналогичный вывод, исходя из превращения шаровой эквипотенциальной поверхности электростатического поля неподвижного электрона в эллипсообразную у движущегося.

11.2 Динамическое замедление времени движущихся тел

Собственное время движущейся частицы характеризует скорость протекания внутренних процессов. Собственное время движущейся частицы показывают часы, связанные с ней. В качестве часов можно использовать любое периодическое движение сопутствующее основному движению частицы. Например, закон движения (5.2) можно рассматривать, как равномерное движение частицы и описание хода связанных с ней часов. Если записать закон движения частицы, состоящий из произвольного движения ее центра масс $\mathbf{r}\!_f$ и периодических колебаний относительно центра масс, то колебания будут характеризовать течение собственного времени при движении частицы по закону $\mathbf{r}\!_f$. Замедление хода движущихся часов по сравнению с координатными часами является следствием изменения характера внутренних взаимодействий у движущейся частицы. Это такой же динамический эффект, как и сокращение длины движущегося с постоянной скоростью тела. Аналогичное объяснение замедления собственного времени у движущихся частиц давал в свое время А.Эйнштейн [2]. Он при этом опирался на экспериментальные данные об уменьшении частоты излучения, связанного с внутренними процессами, у движущихся частиц. В данной статье математически доказано существование такого замедления (3.11).

11.3 Метрологическое изменение расстояния

Рассмотрим теперь изменение расстояния между синхронно равномерно движущимися частицами из системы S при переходе в систему S', движущуюся вдоль оси X с постоянной скоростью v. Пусть в системе S две частицы движутся вдоль оси X с постоянной скоростью u: $X_1=x_1+ut \ , \ X_2=x_2+ut$. В системе S' законы их движения имеют вид

$$ X'_1=\dfrac{x_1}{\gamma_v (1-vu)}+\dfrac{u-v}{1-vu}t' \quad,\quad X'_2=\dfrac{x_2}{\gamma_v (1-vu)}+\dfrac{u-v}{1-vu}t' \quad,\quad X'_{12}=\dfrac{x_{12}}{\gamma_v (1-vu)} \tag{11.1} $$

Следовательно, можно сделать вывод, что расстояние между частицами 1 и 2 наибольшее, когда они неподвижны в системе отсчета, а движущееся расстояние всегда имеет меньшую длину. При переходе из системы S в систему S', в зависимости от того как изменяется модуль скорости движения расстояния, само расстояние может либо увеличиваться либо уменьшаться. Преобразование расстояний (11.1) справедливо как для двух не взаимодействующих частиц, так и для сильно взаимодействующих частиц (для твердого тела). Это является следствием того, что изменения расстояний и времени при переходе в другую систему отсчета не связаны с какими-то физическими процессами – это чисто метрологический эффект, эффект перехода к другим эталонам длины и времени. С точки зрения преобразований Лоренца (чисто математический взгляд) формула (11.1) связывает длины различных расстояний. Расстоянию между точками в системе S соответствует расстояние с разновременными началом и концом в системе S'. С точки зрения физической реальности в уравнение (11.1) входит одно и тоже расстояние между частицами 1 и 2, но в разных ИСО. Ввиду множества экспериментальных подтверждений формула (11.1) является верной [3].

11.4 Общий случай метрологического изменения расстояния

Рассмотрим теперь случай расстояния между синхронно ускоряющимися частицами. Пусть в системе S две независимые (невзаимодействующие) частицы начинают синхронно двигаться по закону

$$ X_1=x_1+\dfrac{1}{W}\left( \sqrt{1+W^2t^2}-1\right) \quad,\quad X_2=x_2+\dfrac{1}{W}\left( \sqrt{1+W^2t^2}-1\right) $$

Так как движение синхронное, то расстояние между частицами в системе S сохраняется постоянным в любой момент времени и при любой их общей скорости. Выполним переход в движущуюся вдоль оси X со скоростью v систему S'. Из уравнения (4.3) получим, что расстояние между частицами в системе S' задается формулой

$$ X'_{12}=\gamma_v x_{12}+\dfrac{1}{W}\left(\sqrt{1+\left(Wt'+\gamma_v Wvx_2-\gamma_v v \right)^2 }-\sqrt{1+\left(Wt'+\gamma_v Wvx_1-\gamma_v v \right)^2 } \right) \quad,\quad $$

$$ \lim_{W \to 0} X'_{12}=\dfrac{x_{12}}{\gamma_v} $$

График зависимости $X'_{12}(t')$ построен для следующих значений: $W=0,1$; $v=0,4$ $x_1=1$; $x_2=4$. То есть, постоянное расстояние между синхронно ускоряющимися частицами в системе S при переходе в систему S' может как увеличиваться, так и уменьшаться. Эффект изменения расстояния между частицами 1 и 2 при переходе в систему S' является чисто метрологическим. Переход к другим эталонам в системе S' изменяет расстояние между частицами, моменты времени, а также силы вызывающие их ускоренное движение.

12 Заключение

В статье получено общее выражение для релятивистского закона движения частицы (3.11) и (3.16). Рассмотрены частные случаи релятивистского движения частицы: равноускоренное с равномерным перемещением и периодическое с равномерным перемещением. Релятивистские выражения для закона движения, импульса, энергии, силы в общем случае имеют фрактальный вид. Очевидно, что внутренние процессы в частице, определяемые электромагнитным взаимодействием элементов структуры, изменяются при изменении характеристик движения частицы. Уравнения движения, соответствующее такому случаю показывают, что силы изменяются таким образом, что возникают два релятивистских эффекта. Во-первых, периодическое движение замедляется на коэффициент $1/\gamma_u$ или можно сказать, что движущиеся с постоянной скоростью $\mathbf{u}_0$ часы начинают идти медленнее. Во-вторых, движущееся с постоянной скоростью $\mathbf{u}_0$ тело сплющивается (сокращается) в $\gamma_u$ - раз по направлению скорости $\mathbf{u}_0$ (5.4). С другой стороны существует метрологический эффект изменения расстояния и замедления времени, существующий только при переходе из одной ИСО в другую. В статье применен метод вычисления запаздывающих расстояний (электродинамика) с использованием фрактальных функций. Это позволяет для любого случая движения заряженных точек пересчитывать их электромагнитное взаимодействие при переходе в другую систему отсчета.
Полученные результаты показывают возможность применения фрактальных функций в других разделах физики и математики. В настоящее время фракталы воспринимаются как чисто геометрические облъекты. Метрологическое понимание преобразований Лоренца позволяет приступить к созданию теории неинерциальных систем отсчета. Общая теория относительности А.Эйнштейна является теорией гравитации.

Список литературы

1. Г. А. Лорентц, Теория электронов, ГИТТЛ, Москва (1956)
2. А. Эйнштейн, Сборник научных трудов, т.1, стр.138-164, Наука, Москва (1965)
3. S. S. Stepanov, Relativistic world, v.1, Berlin, Boston: De Gruyter (2018), http://synset.com