Гипотеза гравитационного резонанса (ггр) релятивистская формулировка и феноменологическая верификация на каталоге sparc:osf

ГИПОТЕЗА ГРАВИТАЦИОННОГО РЕЗОНАНСА (ГГР): РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА И ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ ВЕРИФИКАЦИЯ НА КАТАЛОГЕ SPARC/OSF Бутылкин В.Г. Независимый исследователь. Кострома, Костромская область, Россия e-mail: vladimir307@mail.ru Кострома, 2026 Аннотация Представлена релятивистская формулировка ядра Гипотезы гравитационного резонанса (ГГР) и её феноменологическая верификация. Формулировка охватывает: релятивистский сектор гравитационного линзирования на основе локальной биметрической модели класса Хорндески/AeST [17] с дисформной связью метрик и кинетическим сектором K (A^μ ∂_μφ), гарантирующим уравнения ₂ поля второго порядка, выполнение предела скорости гравитационных волн c_T = c при условии |φ| ≲ 10 ¹ и пылевидное фоновое расширение w_φ → 0; точный интеграл восприимчивости Кубо—Мори— ⁻ ⁵ Боголюбова для релаксации когерентной подложки χ(Δ) = 1/[2γ(Δ + γ)]; спинодальный гистерезис когерентности как защиту холодного газа от паразитного возбуждения; сектор космологических возмущений с явным выражением для эффективной гравитационной постоянной G_eff(k, a) и постулируемую замыкающую функцию ν(y) = 1/(1 − exp(−√y)). Конвейер v4.1 применён к каталогу SPARC (175 галактик, 3391 точка кривых вращения) с раздельным фитингом старого и молодого звёздных населений диска. При замкнутой константе g† = 3260 (км/с)²/кпк распределение вердиктов — 50 LOCK_OK / 71 LOCK_SOFT / 54 LOCK_FAIL (декомпозиция R_med) и 49 / 58 / 68 (фотометрический масштаб R_d). Ключевая статистическая оговорка: лишь 11 из 175 галактик (6.3%) имеют полностью внутренние параметры свободного фита, у 87.4% параметр Υ_young выходит на границы априора, а у 39.4% (69 из 175) наблюдается инверсия Υ_young > Υ_old; пороги Δχ² носят описательный характер, а свободный фит (χ²_red ≈ 0.28) указывает на завышенность фиксированной внутренней дисперсии 0.13 dex. Внутри семейства замыкающих функций MOND-типа форма ν статистически неотличима от simple-функции Фамея—Бинни [13] (χ² 2293 против 2298) и умеренно лучше standard (2853); базовая линия ΛCDM/NFW с индивидуальными параметрами гало в рамках данного одномасштабного бенчмарка не фитировалась. EFE-квэнчинг согласован по направлению с независимыми оценками окружения и детекциями [16], однако при замкнутом g† статистическая детекция ограничена двумя кандидатами. Данные SPARC проверяют только квазистатическую замыкающую функцию ν(y), а не полное релятивистское действие модели. Ключевые слова: модифицированная гравитация; MOND; гравитационное линзирование; кривые вращения галактик; каталог SPARC; звёздные населения; модель Курамото; спинодальный гистерезис; биметрическая теория; теория AeST; космологические возмущения. Abstract We present the relativistic formulation of the Gravitational Resonance Hypothesis (GRH) and its phenomenological verification: a local Horndeski/AeST-class bimetric model [17] with disformally related metrics and a longitudinal kinetic sector K (A^μ ∂_μφ) ensuring second-order field equations, gravitational ₂ wave speed c_T = c under |φ| 10 ¹ , and dust-like background expansion w_φ → 0; an exact Kubo–Mori– ≲ ⁻ ⁵ Bogoliubov susceptibility integral; cosmological perturbations with explicit G_eff(k, a); and the postulated closure function ν(y) = 1/(1 − exp(−√y)). The pipeline v4.1 is applied to the SPARC catalogue (175 galaxies, 3391 rotation-curve points) with separate fitting of old and young disk populations. With the locked coupling constant g† = 3260 (km/s)²/kpc, the verdict distribution is 50 LOCK_OK / 71 LOCK_SOFT / 54 LOCK_FAIL (R_med) and 49/58/68 on the photometric scale R_d. Only 11 of 175 galaxies (6.3%) have fully interior free- fit parameters; in 87.4% Υ_young reaches the prior bounds, and 39.4% (69 of 175) exhibit an inverted mass- to-light ratio (Υ_young > Υ_old), so the Δχ² thresholds are descriptive and the free fit (χ²_red ≈ 0.28) shows the fixed intrinsic scatter of 0.13 dex is generous. Within the MOND closure family, ν is statistically indistinguishable from the simple Famaey–Binney function [13] (χ² 2293 vs. 2298) and moderately better than standard (2853); no ΛCDM/NFW dark-halo baseline was fitted in this single-scale closure benchmark. The EFE quenching direction agrees with independent environmental estimates and the detections of [16], but at the locked g† the standalone statistical detection is limited to two candidates. The SPARC data test only the quasi-static closure function ν(y), not the relativistic action (1.3). Keywords: modified gravity; MOND; gravitational lensing; galaxy rotation curves; SPARC catalogue; stellar populations; Kuramoto model; spinodal hysteresis; bimetric theory; AeST theory; cosmological perturbations. Введение Стандартная космологическая модель ΛCDM описывает наблюдаемые кривые вращения галактик только при добавлении тёмного вещества, распределение которого не следует за барионным. Альтернативная феноменология — модифицированная ньютоновская динамика (MOND) — связывает наблюдаемое ускорение с барионным через универсальный масштаб a [2]; наиболее наглядным её ₀ выражением является радиальное ускорительное соотношение (RAR), обнаруженное на каталоге SPARC [1, 3]. Точный вид переходной функции между ньютоновским и глубокомондовским режимами в классической MOND свободен; семейство интерполяционных функций standard [4], simple [13] и их расширения систематизированы в обзоре [12]. Настоящая работа вписывается в эту традицию, но отличается постановкой: замыкающая функция выводится не из подбора, а постулируется из динамики когерентной подложки и проверяется раздельно от релятивистского сектора. Гипотеза гравитационного резонанса (ГГР) дополняет MOND-феноменологию тремя элементами: релятивистским сектором в виде локальной биметрической модели класса Хорндески/AeST [17] с дисформной связью метрик и продольным кинетическим членом K (A^μ ∂_μφ), обеспечивающей ₂ отсутствие духов Остроградского, выполнение предела скорости гравитационных волн c_T/c_γ = e^φ = 1 (GW170817 [7]) при |φ| 10 ¹ и пылевидное фоновое расширение w_φ → 0 (в квазистатическом ≲ ⁻ ⁵ пределе редукция пространственного сектора воспроизводит алгебраическую simple-форму μ(x) = x/(1 + x)); постулированной замыкающей функцией ν(y) = 1/(1 − exp(−√y)), опирающейся на точное вычисление интеграла восприимчивости Кубо—Мори—Боголюбова для релаксации когерентной подложки; и конвейером верификации с раздельным фитингом двух звёздных населений диска при замкнутой константе связи и явным учётом выхода параметров на границы априора. От работ [2–4, 12] настоящая работа отличается не асимптотикой (она совпадает с общеромондовской), а связью локального релятивистского действия, аналитики и воспроизводимого конвейера с явной статистической оговоркой. Структура статьи такова. В разделе 1 сформулирован релятивистский биметрический сектор (локальное действие класса Хорндески/AeST, дисформный конус тензоров, условие c_T = c). Разделы 2–3 носят теоретико-мотивационный характер: в них представлены точный интеграл восприимчивости Кубо—Мори—Боголюбова и модель спинодального гистерезиса когерентной подложки, качественно обосновывающие устойчивость холодных газовых дисков, но не входящие напрямую в численный алгоритм фитинга. Разделы 4–5 посвящены космологическим возмущениям, эффективной постоянной G_eff(k, a) и постньютоновским ограничениям. В разделе 6 представлена феноменологическая верификация квазистатической замыкающей функции ν(y) на каталоге SPARC, включая бенчмарк внутри семейства MOND (раздел 6.4) и тест эффекта внешнего поля (раздел 6.5); выводы собраны в разделе 7. Приложения А–Е обеспечивают полную воспроизводимость расчётов. Сразу оговорим границы применимости: данные SPARC проверяют исключительно постулируемую квазистатическую функцию ν(y) и параметры барионной декомпозиции, но не полное релятивистское действие (1.3) и не термодинамический сектор разделов 2–3. 1. Релятивистский сектор гравитационного линзирования и локальное действие (c_T = c) Для объяснения наблюдаемого отклонения света в скоплениях галактик (на примере скопления Пуля (Bullet Cluster, 1E 0657−56)) без нарушения экспериментального предела скорости гравитационных волн c_T = c (событие GW170817 / GRB 170817A [7]) теория формулируется как локальная биметрическая скалярно-векторно-тензорная модель класса Хорндески/AeST [17]. Используется сигнатура метрики (−, +, +, +). Гравитационная метрика g_μν определяет распространение тензорных мод, а физическая метрика gŒ _μν, с которой минимально связана барионная материя и электромагнитное излучение, строится через дисформное преобразование вдоль единичного времениподобного векторного поля A^μ (g_μν A^μ A^ν = −1). Количественная оценка линзирующей массы скопления 1E 0657−56 в настоящей работе не проводится и остаётся предметом отдельного исследования: приведённый пример служит мотивацией релятивистского сектора, тогда как количественная верификация конвейера выполняется на кривых вращения каталога SPARC [1] (разделы 4–6). gŒ _μν = g_μν − (1 − e^(−2φ)) A_μ A_ν (1.1) 1.1. Локальное действие без высших производных Чтобы исключить духовые степени свободы Остроградского без привлечения феноменологических нелокальных функционалов, кинетический сектор скаляра когерентности φ разделяется на продольную (вдоль A^μ) и поперечную (пространственную) компоненты с помощью проектора h^μν ≡ g^μν + A^μ A^ν (конструкция класса Скордиса—Злоснике AeST [17]): Q ≡ A^μ ∂_μφ, Y ≡ h^μν ∂_μφ ∂_νφ, K = g^μν ∂_μφ ∂_νφ = −Q² + Y (1.2) Полное локальное действие, гарантирующее уравнения поля строго второго порядка, записывается в физических единицах в виде: S = ∫ d x √(−g) { (c / 16πG) [ R (g) − (B / 2) F_μν F^μν + K (Q) ] − λ(g_μν A^μ A^ν + 1) ⁴ ⁴ ₄ ₂ − (a ² / 8πG) f(η_ ) } + S_m[ gŒ _μν, ψ_m] ₀ ⊥ (1.3) Здесь F_μν = _μ A_ν − _ν A_μ — тензор напряжённости векторного поля (в безразмерной ∇ ∇ нормировке A^μ, где g_μν A^μ A^ν = −1, величина F_μν имеет размерность [L ¹], что согласует ⁻ слагаемое (B/2)F_μν F^μν со скаляром кривизны R (g) при безразмерной константе B > 0); η_ ≡ c Y / ₄ ⁴ ⊥ a ² — безразмерный пространственный градиентный инвариант (где a ≈ g† — масштаб ускорения ₀ ₀ MOND [2, 3]; в квазистатическом пределе Q → 0, поэтому η_ → η = c K / a ², что полностью ⊥ ⁴ ₀ сохраняет сферически-симметричную редукцию); f(η_ ) = η_ − ln(1 + η_ ) с производными f'(η_ ) ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ = η_ / (1 + η_ ) > 0 и f''(η_ ) = (1 + η_ ) ² > 0 при η_ > 0; K (Q) = α Q² + α (c²/a ) Q³ + … — ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⁻ ⊥ ₂ ₂ ₃ ₀ продольный кинетический потенциал когерентности (K ''(Q) > 0), отвечающий за космологическую ₂ динамику и пылевидное расширение. Множители c /16πG при кривизне и a ²/8πG при f(η_ ) ⁴ ₀ ⊥ согласованы по размерности плотности энергии [M L ¹ T ²]. Поскольку лагранжиан (1.3) зависит не ⁻ ⁻ более чем от первых производных полей φ и A_μ, уравнения Эйлера—Лагранжа имеют строго второй порядок, что исключает неустойчивость Остроградского. 1.2. Связь действия (1.3) с замыкающей функцией ν(y) В слабом квазистатическом поле (Q → 0) действие (1.3) задаёт эффективную биметрическую динамику, редуцирующуюся к монотонной функции безразмерного аргумента y = g_bar/g†: g_pred = g_bar·ν(y). Выбор ν(y) = 1/(1 − exp(−√y)) фиксируется тремя пределами: (i) ν ≥ 1 при y > 0 — усиление гравитации на низких ускорениях; (ii) ν → 1 при y 1 — восстановление ньютоновского режима; (iii) ≫ ν·√y → 1 при y → 0 — глубокомондовская асимптотика g_pred = √(g_bar·g†) [2]. По предельному поведению функция согласована с семейством простых μ-функций μ(x) = x/(1 + x), где x = g/a — ₀ полное ускорение в единицах a (в нормировке действия (1.3) ей отвечает f'(η_ ) = η_ /(1 + η_ )). ₀ ⊥ ⊥ ⊥ Редукция действия (1.3) в сферически-симметричном пределе воспроизводит именно алгебраическую simple-форму μ(x) = x/(1 + x), а не экспоненциальную ν(y): в наблюдаемом диапазоне галактических ускорений (0.01 y 10) расхождение между ними не превышает ~2% (см. раздел 6.4), что на ≲ ≲ порядок меньше внутренней дисперсии данных (σ_int = 0.13 dex). Прямой вывод ν(y) из редукции субстрата Отта—Антонсена [5] остаётся открытой задачей (см. раздел 2). Установим точную алгебраическую связь между кинетическим потенциалом f(η_ ) в локальном ⊥ действии (1.3) и постулируемой замыкающей функцией ν(y). В квазистатическом сферически- симметричном пределе (Q → 0) варьирование действия (1.3) по скалярному полю φ и метрике при минимальной связи материи с физической метрикой gŒ _μν приводит к модифицированному уравнению Пуассона, которое в сферически-симметричной конфигурации сводится к соотношению: f′(η_ ) · (c² | φ|) = g_bar ⊥ ∇ (1.3a) Вводя безразмерное барионное ускорение y ≡ g_bar / a и используя определение пространственного ₀ градиентного инварианта η_ ≡ c | φ|² / a ² (откуда c² | φ| / a = √η_ ), перепишем уравнение (1.3a) и ⊥ ⁴ ∇ ₀ ∇ ₀ ⊥ полное ускорение g = g_bar + c² | φ| в безразмерном виде: ∇ √η_ · f′(η_ ) = y, ν(y) ≡ g / g_bar = 1 + √η_ / y ⊥ ⊥ ⊥ (1.3b) Подстановка замыкающей функции ГГР ν(y) = 1 / (1 − exp(−√y)) в (1.3b) даёт явную зависимость градиентного инварианта η_ от безразмерного барионного ускорения u ≡ √y = √(g_bar / a ): ⊥ ₀ √η_ (u) = y [ν(y) − 1] = u² / (e^u − 1), η_ (u) = u / (e^u − 1)² ⊥ ⊥ ⁴ (1.3c) Интегрирование соотношения f′(η_ ) = y / √η_ по переменной u посредством интегрирования по ⊥ ⊥ частям позволяет представить кинетический потенциал f_ГГР(η_ ), точно воспроизводящий ⊥ экспоненциальную функцию ν(y), в замкнутом параметрическом виде через интеграл Дебая третьего порядка: f_ГГР(u) = 2 u / (e^u − 1) − 4 ∫ ^u [ t³ / (e^t − 1) ] dt ⁴ ₀ (1.3d) Анализ выражения (1.3c) выявляет принципиальное отличие экспоненциального замыкания ν(y) от алгебраической simple-формы μ(x) = x / (1 + x). Для simple-функции связь η_ (y) строго монотонна на ⊥ всей полуоси 0 ≤ y < ∞, а её кинетический потенциал выражается в элементарных функциях как f_simple(η_ ) = η_ − 2√η_ + 2 ln(1 + √η_ ) (в нормировке по градиенту поля). В случае же ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ функции ГГР зависимость η_ (u) в (1.3c) немонотонна: начинаясь с глубокомондовской асимптотики ⊥ η_ ≈ u² (при u 1, где f_ГГР(η_ ) ≈ (2/3) η_ ^(3/2)), инвариант η_ достигает глобального ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ≪ максимума η_ ,max ≈ 0.095 при u_max ≈ 3.92 (что соответствует y_max ≈ 15.4), после чего ⊥ экспоненциально затухает η_ ≈ u e^(−2u) → 0 при u → ∞. ⊥ ⁴ Отсюда следуют два важных вывода для согласования теории с наблюдениями. Во-первых, в сильных гравитационных полях (Солнечная система, y ~ 10 , u ~ 10 ) скалярный градиент в модели ν(y) ⁸ ⁴ подавляется автоматически за счёт экспоненциального фактора e^(−√y) 10^(−4000), обеспечивая ≪ выполнение постньютоновских ограничений и условия c_T = c (1.4). Во-вторых, ввиду двузначности функции y(η_ ) во всём интервале 0 < y < ∞, однозначный локальный лагранжиан (1.3) ⊥ формулируется через монотонную ветвь типа f(η_ ) = η_ − ln(1 + η_ ) (или f_simple), тогда как ⊥ ⊥ ⊥ функция ν(y) = 1 / (1 − exp(−√y)) выступает её эффективной феноменологической аппроксимацией на галактических масштабах каталога SPARC (0.01 y 10 < y_max), где обе функции лежат на ≲ ≲ монотонной ветви и различаются не более чем на ~2%. Интеграл Дебая в формуле (1.3d) раскрывается в явном аналитическом виде через полилогарифмы Li_s(e^(−u)) путём последовательного интегрирования по частям: ∫ ^u [ t³ / (e^t − 1) ] dt = π /15 − u³ ln(1 − e^(−u)) − 3u² Li (e^(−u)) − 6u Li (e^(−u)) − 6 ₀ ⁴ ₂ ₃ Li (e^(−u)) ₄ (1.3e) Итоговое замкнутое выражение для потенциала f_ГГР(u) при любом u > 0 имеет вид: f_ГГР(u) = 2u / (e^u − 1) − 4π /15 + 4u³ ln(1 − e^(−u)) + 12u² Li (e^(−u)) + 24u ⁴ ⁴ ₂ Li (e^(−u)) + 24 Li (e^(−u)) ₃ ₄ (1.3f) Проверка граничного условия при u → 0: учитывая, что Li (1) = ζ(4) = π /90, последнее слагаемое ₄ ⁴ равно 24 · (π /90) = 4π /15, что точно сокращает константу −4π /15 и обеспечивает корректную ⁴ ⁴ ⁴ нормировку f_ГГР(0) = 0. Согласование однородного космологического фона (t) с пределом скорости гравитационных волн φ̄ (формулы (4.2a) и (4.2b), выводимые из уравнений фоновой динамики (4.1)–(4.2)) приводится в разделе 4.1. 1.3. Строгий вывод условия c_T = c и механизм k-mouflage экранирования В системе покоя векторного поля A^μ = (1, 0) компоненты физической метрики (1.1) разделяются на временную и пространственную части: gŒ _00 = −e^(−2φ), gŒ _ij = g_ij. Поскольку дисформное слагаемое пропорционально A_μ A_ν, оно не затрагивает пространственную метрику g_ij, по которой распространяются поперечно-бесследовые тензорные гравитационные волны h_ij. Для фотонов и барионной материи, минимально связанных с gŒ _μν, интервал имеет вид d sŒ ² = −e^(−2φ) c² dt² + g_ij dx^i dx^j. Следовательно, отношение скорости тензорных мод c_T к локальной скорости света c_γ определяется амплитудой скалярного поля: c_T² / c_γ² = e^(2φ) ≈ 1 + 2φ (1.4) Из наблюдательного предела GW170817 (|c_T/c_γ − 1| < 10 ¹ [7]) вытекает условие на малость ⁻ ⁵ локального значения поля |φ| 10 ¹ , а не требование тождественного зануления его градиентов ∂_μφ ≲ ⁻ ⁵ ≈ 0. В галактиках характерный перепад поля составляет Δφ ~ v_flat²/c² ~ 10 –10 , тогда как в ⁻ ⁷ ⁻ ⁶ плотных астрофизических средах (Солнечная система, двойные пульсары, область слияния нейтронных звёзд) при η_ 1 нелинейность кинетической функции f(η_ ) реализует механизм k- ⊥ ⊥ ≫ mouflage экранирования, подавляя амплитуду поля до δφ_SS ~ 1.3 × 10 ¹² на орбите Земли и до |φ| ⁻ ≪ 10 ¹ вблизи компактных релятивистских объектов. ⁻ ⁵ 2. Интеграл КМБ-восприимчивости и термодинамика Δ(T) Релаксация когерентной подложки описывается интегралом восприимчивости Кубо—Мори— Боголюбова по спектральной плотности флуктуаций g(ω; Δ): χ(Δ) = ∫ ^∞ [ g(ω; Δ) / (ω² + γ²) ] dω, g(ω; Δ) = (Δ / π) / (ω² + Δ²) ₀ (2.1) Для стандартного лоренцева распределения при γ > 0 и Δ > 0 интеграл вычисляется аналитически в замкнутом виде: χ(Δ) = 1 / [ 2γ (Δ + γ) ] (2.1a) Отсюда в режиме широкой полосы (Δ γ) восприимчивость убывает строго как Δ ¹. Качественный ≫ ⁻ физический вывод сохраняется: горячая (спектрально широкая) подложка менее восприимчива к паразитному возбуждению, чем холодная (узкая). Энтропийная функция Δ(T), возникающая при усреднении по подложке, сохраняет монотонный характер релаксации (согласуется с энтропийными оценками градиентных потоков [6], используемыми здесь феноменологически): Δ(T) → const при T → ∞ и Δ(T) → 0 при T → 0. 3. Спинодальный гистерезис (П-Р) и защита холодной зоны Самосогласованность параметра порядка когерентности задаётся нелинейным уравнением состояния в обобщённой модели Курамото [11]; точки спинодали определяют верхнюю и нижнюю границы гистерезисной петли: K_down / K_c = 4m / (m + 1)², K_up / K_c = (m + 1)² / (4m) (3.1) Первая формула выведена алгебраически из условия экстремума S-образной кривой состояния (∂K/∂r = 0, точки спинодали, ограничивающие область неустойчивости), тогда как единственная точка перегиба (∂²K/∂r² = 0) задаёт критическую точку K_c. Вторая формула получена из того же нелинейного уравнения самосогласованности в обобщённой модели Курамото по мультипликативной симметрии m → 1/m; эта симметрия меняет местами K_down и K_up, поэтому ветвь гистерезиса с K_up > K_c > K_down реализуется строго при параметре нелинейности m > 1 (в частности, ширина петли K_up / K_down ≥ 1.7 достигается при m ≥ 3). Отношение порогов составляет K_up / K_down = (m + 1) / ⁴ (16m²); при m = 1.4 петля узкая (K_up / K_down ≈ 1.06, при этом K_up / K_c ≈ 1.03). Функционально гистерезис защищает холодный газ галактических дисков от паразитного разрушения когерентности: пока амплитуда внешнего возмущения не превышает K_up при росте нагрузки, когерентная фаза сохраняется, а обратный переход происходит лишь при падении возмущения ниже K_down. Это согласуется с устойчивостью холодных газовых дисков в карликовых галактиках каталога SPARC [1]. Границы применимости. Гистерезис (3.1) и энтропийная функция Δ(T) разделов 2–3 не входят в расчётное ядро конвейера SPARC (Приложение А): в фитинге используется статическая замыкающая функция ν(y) без памяти. Связь термодинамического сектора с вычислительным экспериментом разделов 4–6 носит исключительно качественный, мотивирующий характер; количественная реализация гистерезисной петли и зависимости Δ(T) в фитинге кривых вращения — задача следующего этапа. 4. Космологические возмущения, эффективная G_eff(k, a) и параметризация звёздных населений 4.1. Фоновая динамика, воспроизведение пылевидной тёмной материи и сшивка с пределом GW170817 Рассмотрим эволюцию однородного фона действия (1.3) на пространственно-плоской метрике Фридмана—Леметра—Робертсона—Уокера ds² = −dt² + a²(t)δ_ij dx^i dx^j (в единицах c = 1) с Ā_μ = (−1, 0) и = (t). На однородном фоне пространственные градиенты отсутствуют ( = 0, _ = 0, f(0) φ̄ φ̄ Ȳ η̄ ⊥ = 0), а продольная производная равна = d /dt. Варьирование действия (1.3) по g_00 и даёт Q̄ φ̄ φ̄ модифицированное уравнение Фридмана и интеграл движения когерентной подложки: 3 H² = 8πG (ρ_m + ρ_r + ρ_φ), a³ K '(d /dt) = J = const ₂ φ̄ ₀ (4.1) где эффективная плотность энергии и давление когерентного сектора выражаются через функцию K (Q) как ρ_φ = [2 Q K ′(Q) − K (Q)]/(16πG) и p_φ = K (Q)/(16πG). Разлагая K (Q) вблизи тривиального ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ вакуума Q = 0 (где K ′(0) = K (0) = 0) в виде K (Q) ≈ (M_coh² / 2) Q² с безразмерным параметром ₀ ₂ ₂ ₂ жёсткости M_coh > 0, из (4.1) получаем закон затухания продольной скорости d /dt = J / (M_coh² a³). φ̄ ₀ Подстановка этого решения в выражения для ρ_φ ≈ M_coh² (d /dt)² / (16πG) и p_φ показывает, что φ̄ когерентная подложка строго воспроизводит холодную пылевидную тёмную материю на космологическом фоне: ρ_φ a ³, w_φ ≡ p_φ / ρ_φ ∝ a ∝ ³ → 0 ⁻ ⁻ (4.2) Согласование космологического фона (t) с пределом скорости гравитационных волн. φ̄  Поскольку физическая метрика (1.1) в однородной и изотропной Вселенной имеет компоненты gŒ = −e^(−2 (t)) и ₀₀ φ̄ gŒ _ij = a²(t)δ_ij, отношение скорости тензорных возмущений c_T к фоновой скорости света c_γ(t) определяется формулой (1.4): c_T / c_γ(t) = e^ (t). Выбор тривиального вакуума Q = 0 необходим для φ̄ ₀ исключения линейного по времени дрейфа фона (t) Q t. Интегрирование уравнения d /dt = J / φ̄ ₀ φ̄ ₀ ∝ (M_coh² a³) на стадии доминирования материи (a(t) t^(2/3), H = 2/(3t)) даёт затухающую эволюцию ∝ фонового поля: (t) = _∞ − 2 J / [3 M_coh² H(t) a³(t)] = _∞ − [8 √(πG ρ_φ(t))] / [3 M_coh H(t)] φ̄ φ̄ ₀ φ̄ (4.2a) где константа интегрирования _∞ = 0 фиксируется сдвиговой симметрией действия (1.3) (φ → φ + φ̄ const при одновременной перенормировке единиц физического времени d τ̃ Œ = e^(− _∞) dt). Выражая φ̄ ρ_φ,0 через критическую плотность ρ_crit,0 = 3 H ² / (8πG) и долю тёмной материи Ω_φ,0 = ρ_φ,0 / ₀ ρ_crit,0 ≈ 0.26, получаем современное отклонение фона: | (t )| = (2 √(6 Ω_φ,0)) / (3 M_coh) ≈ 0.83 / M_coh φ̄ ₀ (4.2b) Отсюда наблюдательный предел события GW170817 (| (t )| 10 ¹ при z ≈ 0.01) накладывает прямую φ̄ ₀ ⁻ ⁵ ≲ нижнюю границу на жёсткость продольного кинетического сектора: M_coh 10¹ ∝ . При выполнении ⁵ этого условия отклонение космологического фона | (t)| остаётся ниже 10 ¹ на всей поздней стадии φ̄ ⁻ ⁵ эволюции Вселенной (z 10), обеспечивая строгую сшивку однородного космологического решения ≲ (4.1)–(4.2) с локальными асимптотически плоскими решениями в галактиках и Солнечной системе (разделы 1.3 и 5.1). 4.2. Линейные возмущения и критерии отсутствия неустойчивостей Для линейных скалярных возмущений в конформно-ньютоновской калибровке (ds² = −(1 + 2Ψ)dt² + a²(1 − 2Φ)δ_ij dx^i dx^j, φ = + δφ, A_μ = (−1 − Ψ, ∂_i u)) квадратичное действие (1.3) в коротковолновом φ̄ пределе k / (aH) 1 характеризуется кинетическим коэффициентом Q_s = (c / 16πG) K ''( ) > 0 и ≫ ⁴ Q̄ ₂ Q̄ квадратом скорости звука c_s² = 2 a ² f'( _ ) / K ''( ). Внутренняя согласованность модели ₀ η̄ ₂ Q̄ ⊥ обеспечивается выполнением трёх условий: (1) отсутствие духов (Q_s > 0) гарантируется выпуклостью K ''( ) = M_coh² > 0; (2) отсутствие градиентной неустойчивости (c_s² ≥ 0) выполняется тождественно ₂ Q̄ в силу f'(η_ ) = η_ /(1 + η_ ) ≥ 0 (на фоне _ = 0 имеем c_s² → 0, что соответствует холодной ⊥ ⊥ ⊥ η̄ ⊥ среде без джинсовского подавления роста структур); (3) сдвиговая симметрия φ → φ + const действия (1.3) обнуляет эффективную массу возмущений (m_eff² = 0), исключая тахионные неустойчивости на масштабах хаббловского времени H ¹. ⁻ 4.3. Модифицированное уравнение Пуассона и эффективная G_eff(k, a) Восстанавливая явные множители c в квазистатическом субгоризонтном приближении (k / (aH) 1, ≫ dΦ/dt ≈ 0), отметим: движение нерелятивистских барионов в физической метрике gŒ _μν определяется суммарным ньютоновским потенциалом ، = Φ + δφ (при малом анизотропном натяжении B 1, где Ψ ≪ ≈ Φ). Исключая возмущение δφ из системы уравнений Эйнштейна (k²/a²)Φ = −4πG(ρ_b δ_b + ρ_φ δ_φ) и уравнения поля (k²/a²)[f'(η_ )δφ] = (4πG/c²)ρ_b δ_b в пространстве Фурье, получаем ⊥ модифицированное уравнение Пуассона (k²/a²) ، = −4π G_eff(k, a) ρ_b δ_b с эффективной гравитационной постоянной: G_eff(k, a) = G [ 1 + (1 / f'(η_ )) · (1 + (ρ_φ δ_φ) / (ρ_b δ_b)) ¹ ] ⊥ ⁻ (4.3) На галактических масштабах (ρ_φ δ_φ ρ_b δ_b) соотношение (4.3) переходит в квазистатическую ≪ редукцию G_eff(g_bar) = G [1 + 1/f'(η_ )] = G μ ¹(x) ≈ G ν(g_bar/g†), которая проверяется конвейером ⊥ ⁻ SPARC. 4.4. Параметризация звёздных населений и диагностика фита При переходе к галактическим масштабам в конвейере SPARC (раздел 6 и Приложение Б) динамика барионной компоненты параметризуется эффективными отношениями масса/светимость (M/L на длине волны 3.6 мкм) для трёх морфологических подсистем: старого звёздного диска (Υ_old), молодого звездообразующего диска (Υ_young) и центрального балджа (Υ_bul = 0.70). Величины Υ_old и Υ_young имеют локальную астрофизическую природу (определяются историей звездообразования и начальной функцией масс IMF) и выступают в конвейере как свободные параметры внутри физически обоснованных априорных интервалов. Системная диагностика качества моделирования строится на разности статистик χ² между замковым фитом (при фиксированном ускорении g† = 3260 (км/с)²/кпк) и свободным трёхпараметрическим фитом: Δχ² = χ²_замок − χ²_свободный. Введены три классификационные зоны с порогами 0.4 и 5.0: LOCK_OK (Δχ² ≤ 0.4), LOCK_SOFT (0.4 < Δχ² ≤ 5.0) и LOCK_FAIL (Δχ² > 5.0); ярлыки нейтральны по отношению к физической интерпретации и описывают только согласие с замковым фитом. Поскольку у 87.4% галактик параметр Υ_young выходит на границы априора, распределение Δχ² не подчиняется стандартному распределению χ² с одной степенью свободы; пороги 0.4 и 5.0 носят описательный, классификационный характер (см. раздел 6.3). 5. Релятивистские ограничения биметрической модели Выполнение условия равенства скорости тензорных гравитационных волн скорости света (c_T = c_γ, что согласно (1.4) эквивалентно |φ| 10 ¹ ) является необходимым, но недостаточным условием ≲ ⁻ ⁵ жизнеспособности биметрической векторно-тензорной теории. Ниже зафиксированы три фундаментальных класса наблюдательных ограничений, определяющих границы применимости действия (1.3), а также приведены линейные оценки ППН-параметров в квазистатическом режиме.

5.1. Постньютоновские параметры Солнечной системы (ППН)

В квазистатическом сферически- симметричном пределе продольная производная скалярного поля исчезает (Q = A^μ ∂_μφ → 0), поэтому пространственный кинетический инвариант η_ = c Y / a ² из (1.2) совпадает с полным ⊥ ⁴ ₀ градиентным инвариантом c ( φ)²/a ². Метрика g_μν разлагается по ньютоновскому потенциалу ⁴ ∇ ₀ Φ_N как g_00 = −(1 + 2Φ_N/c² + 2β_PPN Φ_N²/c ), g_ij = (1 − 2γ_PPN Φ_N/c²)δ_ij, а единичный ⁴ вектор выравнивается по времениподобному направлению A_μ = (−1 − Φ_N/c², 0). Из дисформного преобразования (1.1) следует, что пространственная часть физической метрики не модифицируется скалярным полем ( gw _ij = g_ij), тогда как временная компонента получает поправку gw _00 = g_00 − (1 − e^(−2φ))A_0². В режиме k-mouflage экранирования, обеспечиваемого нелинейностью кинетической функции f(η_ ) при η_ 1, градиент скалярного поля ⊥ ⊥ ≫ подавляется как | φ| √(a g_N)/c² (где g_N = G M_ / r² — ньютоновское ускорение свободного ∇ ∝ ₀ ⊙ падения). Это даёт оценку остаточного дисформного фактора на масштабах орбит планет Солнечной системы: δφ_SS ~ √(a G M_ ) / c² ≈ 1.3 × 10 ¹² ₀ ⁻ ⊙ (5.1) Отсюда отклонения ППН-параметров составляют |γ_PPN − 1| ~ O(B + δφ_SS) 2.3 × 10 (при ≪ ⁵ ⁻ константе векторной связи B 10 , стандартной для теории Эйнштейна—эфира) и |β_PPN − 1| ~ ≲ ⁻ ⁵ O(δφ_SS) 8 × 10 , что с запасом укладывается в экспериментальные ограничения миссии Cassini и ≪ ⁵ ⁻ лунной лазерной локации [8]. Ограничение на комбинацию B + δφ_SS входит линейно, без подавления гравитационным потенциалом: эта комбинация возникает после перенормировки гравитационной постоянной в компоненте gŒ _00 физической метрики, где сдвиг γ_PPN − 1 формируется вкладом константы связи B и следом скалярного возмущения уже в перенормированных уравнениях. Полноценный нелинейный расчёт ППН-коэффициентов действия (1.3) с учётом вклада продольного сектора K (Q) вблизи вращающихся тел (параметры α , α предпочтительной системы отсчёта) остаётся ₂ ₁ ₂ задачей следующего этапа.

5.2. Дипольное гравитационное излучение двойных пульсаров

В скалярно-векторно-тензорных теориях с нарушением сильного принципа эквивалентности компактные релятивистские объекты (нейтронные звёзды) приобретают эффективный скалярный «заряд» (чувствительность), что приводит к потере орбитальной энергии за счёт дипольного излучения. Хронометрирование релятивистских двойных систем PSR B1913+16 и PSR J0737−3039A/B жёстко ограничивает константу векторной связи B и параметры кинетического сектора K (Q) [8, 9]. В то же время высокая компактность нейтронных ₂ звёзд усиливает режим k-mouflage экранирования (η_ 10² ), дополнительно подавляя остаточную ⊥ ⁰ ≫ амплитуду поля у поверхности звезды ниже порога |φ| 10 ¹ , требуемого соотношением (1.4). ≲ ⁻ ⁵

5.3. Гравитационное черенковское излучение

Наблюдение космических лучей сверхвысоких энергий (до 10² эВ) исключает существование в вакууме распространяющихся гравитационных ⁰ (скалярных или векторных) мод со скоростью меньше скорости света c_mode < c_γ, так как релятивистские частицы мгновенно теряли бы энергию на черенковское излучение [10]. Поскольку действие (1.3) относится к локальному классу Хорндески/AeST [17] и содержит только производные не выше первого порядка в лагранжиане, его спектр степеней свободы свободен от духов Остроградского, а требование c_mode ≥ c_γ накладывает прямые неравенства на параметры квадратичного действия α > ₂ 0 и B > 0. Вывод раздела: перечисленные релятивистские тесты составляют первоочередную программу аналитической и численной проверки модели; в настоящей работе получены линейные оценки ППН- экранирования (5.1), согласованные с условием (1.4), а точные нелинейные ограничения на параметры динамического сектора (α , B) сформулированы как обязательные граничные условия для следующего ₂ этапа развития теории. 6. Ограничения конвейера и статистики SPARC

6.1. Зависимость разложения диска от сетки наблюдений

В базовом конвейере v4.0 характерный радиус разделения старого и молодого звёздных населений задавался медианой радиусов точек кривой вращения: R_med = median(R). Такой рецепт вносит нежелательную систематическую зависимость параметров галактики от радиального охвата радиотелескопа. Переход к физически инвариантному фотометрическому радиальному масштабу диска R_d (из экспоненциального профиля поверхностной яркости Spitzer 3.6 мкм; в контрольном расчёте масштаб доступен для 174 из 175 галактик) в версии v4.1 перераспределяет вердикты минимум у 14 из 175 галактик при пороге 0.05 (распределение меняется с 50 / 71 / 54 в эталонной декомпозиции R_med на 49 / 58 / 68 при R_d). В скрипте Приложения А реализован переключаемый режим декомпозиции по фотометрическому масштабу R_d при его наличии во входном словаре rd_map; при отсутствии или нулевом R_d конвейер автоматически откатывается к R_med и фиксирует это в журнале расчёта. Отдельный вопрос — трактовка отрицательных скоростей газа. В стандартной декомпозиции SPARC отрицательные каталоговые значения V_gas (например, у DDO064) означают, что во внутренних областях градиент давления газа преобладает над гравитацией (сила направлена наружу), поэтому физически корректной и принятой в настоящей работе основной является знаковая форма sign(V_gas)·V²_gas. Упрощённая квадратичная форма V²_gas ≥ 0 служит тестом чувствительности: замковый χ² каталога для неё составляет 2292.6 против 2326.8 (+1.5%) для основной знаковой конвенции; максимальный пообъектный сдвиг Δχ² составляет 42.6 (UGC01281), сдвиг превышает порог 0.4 у 14 из 175 галактик, а классификация меняется лишь у одной (F583-1, LOCK_OK → LOCK_SOFT на границе порога) — основные выводы от выбора конвенции не зависят. Для воспроизводимости таблицы Е.1 все числовые результаты контрольного расчёта v4.1 (вердикты, бенчмарк раздела 6.4, сводные распределения) зафиксированы в квадратичной конвенции (GAS_SIGNED = False); переход на знаковую базу в следующей версии конвейера (v4.2) не меняет ни одного качественного вывода.

6.2. Шумовой аудит синтетических данных

Моделирование синтетических кривых вращения с реалистичным гауссовым шумом на уровне наблюдательных ошибок e_Vobs (20 реализаций для NGC4013 и F583-1 и 15 реализаций для IC2574) показало, что константа связи восстанавливается практически без систематического смещения: средние по реализациям оценки для двух модельных наборов составляют 3362 ± 668 и 3244 ± 658 (км/с)²/кпк, т.е. согласуются с замковым значением 3260 в пределах одного стандартного отклонения; относительное смещение ≤ 3.1%, статистический разброс по реализациям ~20%, медианные Δχ² — 0.15 и 0.08 по двум наборам. При этом даже при генерации данных из внутренних истинных значений параметр Υ_young выходит на границы априора в 10/20 и 3/15 случаях из-за вырождения с Υ_old и g†. Большой разброс (~20%) означает, что синтетический аудит подтверждает отсутствие систематического смещения, но не даёт точного восстановления g† по отдельному набору.

6.3. Границы априора и интерпретация вердиктов

В контрольном расчёте v4.1 (порог Υ_young ≥ 0.05) параметр Υ_young достигает границ априора [0.05, 0.40] у 153 из 175 галактик (87.4%): у 37 на нижней границе 0.05 и у 116 на верхней границе 0.40. Параметр Υ_old выходит на границы [0.20, 1.20] у 79 галактик (53 на нижней и 26 на верхней), а свободное ускорение g†_opt достигает границ сетки [200, 10000] у 26 галактик (7 на нижней и 19 на верхней). Полностью внутренние трёхпараметрические решения (все три параметра строго внутри границ априора) реализуются для 11 галактик (6.3%): DDO064, NGC0801, NGC2403, NGC2683, NGC2955, NGC3992, NGC4088, NGC5055, NGC5371, NGC5907 и NGC6195 (таблица Приложения Е). Внутренний оптимум свободного фита при этом не тождественен статусу LOCK_OK при замкнутом g†: NGC2403 (Δχ² = 15.253, вердикт LOCK_FAIL при g†_opt = 6571.5, Υ_old = 0.445, Υ_young = 0.257) и NGC5371 (Δχ² = 1.275, LOCK_SOFT) входят в этот список лишь потому, что их параметры формально лежат внутри границ сетки, а вердикты определяются значением Δχ² при замкнутом g† (таблица Е.1). Каталог SPARC предоставляет единый профиль светимости диска на 3.6 мкм, который конвейер разбивает на две компоненты весовой функцией w(R) = 1 − exp(−R/1.65 R_d): раздельный фитинг Υ_old и Υ_young не является разложением на физически различимые звёздные населения в строгом смысле. Молодое население в ближнем ИК- диапазоне обычно имеет меньшее отношение M/L, чем старое, поэтому систематическое стремление Υ_young к верхней границе 0.40 (иногда превышающей Υ_old) у большинства выборки фактически работает как эффективный радиальный градиент M/L, компенсирующий форму наблюдаемой кривой вращения, — это дополнительно подкрепляет статистическую оговорку о границах априора. Главный устойчивый результат фитинга — несмещённое восстановление универсального масштаба ускорения g† ≈ 3260 (км/с)²/кпк, а не абсолютная доля галактик в классе LOCK_OK. Отдельно об информативности трёхпараметрического фита: у части галактик каталога кривая вращения содержит лишь 4–6 точек (например, D512-2, F567-2, PGC51017); свободный фит сразу трёх вырожденных параметров (g†, Υ_old, Υ_young) на таких объектах склонен к переобучению и упиранию параметров в границы априора, поэтому низкие значения Δχ² у них отражают способность трёх параметров подстроиться под любую гладкую кривую, а не точность модели. То же относится к фиксированной внутренней дисперсии: при свободном трёхпараметрическом фите суммарный χ² (929–958 на 3391 точку, χ²_red ≈ 0.28) заметно ниже единицы — это указывает на то, что фиксированная систематика σ_int = 0.13 dex завышена для большинства точек. В настоящей версии σ_int зафиксирована для сопоставимости всех расчётов; её фитирование — следующий шаг, который изменит абсолютные значения χ², но не качественные выводы о границах априора и о несмещённом восстановлении g†. Количественным индикатором этого эффекта выступает флаг инверсии отношения масса/светимость Υ_young > Υ_old (imf_inverted в листинге Приложения А). В контрольном расчёте v4.1 (Таблица Е.1) инверсия Υ_young > Υ_old наблюдается у 69 из 175 галактик (39.4%), распределяясь по классам следующим образом: 19 из 50 в группе LOCK_OK (38.0%), 31 из 71 в LOCK_SOFT (43.7%) и 19 из 54 в LOCK_FAIL (35.2%). Почти равномерное присутствие инверсии во всех трёх классификационных зонах подтверждает, что двухкомпонентная параметризация диска поглощает систематику барионной декомпозиции и радиальных градиентов M/L, а не выделяет физически обособленное молодое звёздное население.

6.4. Сравнительный бенчмарк замыкающих функций

Замыкающая функция ν(y) = 1 / (1 − exp(−√y)) близка по аналитической форме и предельному поведению к simple-функции Фамея—Бинни (2005) [13], не тождественна ей: уже при y = 1 значения различаются на ~2% (1.582 против 1.618), а ньютоновские поправки имеют разный характер (ν − 1 ~ exp(−√y) против ~ 1/y). Для проверки, даёт ли форма ГГР измеримое преимущество, в расчёте v4.1 (декомпозиция по R_med, замок g† = 3260 (км/с)²/кпк, систематика 0.13 dex) вычислены два классических конкурента: simple-функция Фамея— Бинни [13] (μ(x) = x / (1 + x), в форме ν(y) = (y + √(y² + 4y)) / (2y)) и standard (ν(y) = √((1 + √(1 + 4/y²)) / 2)). Контрольный расчёт v4.1 (в квадратичной конвенции V²_gas, GAS_SIGNED = False листинга Приложения А) даёт базовый результат: χ²_замок = 2292.6, классификация 50 / 71 / 54 (таблица Е.1). Все числа настоящего бенчмарка соответствуют этой контрольной конвенции; в основной знаковой конвенции sign(V_gas)·V²_gas абсолютные значения замкового χ² выше на ~1.5% (2326.8 для ГГР), классификация меняется лишь у одной галактики на границе порога, а относительное сравнение замыкающих функций сохраняется (раздел 6.1). Функция ν(y) χ²_замок (на точку) χ²_свободный LOCK_OK / SOFT / FAIL мед. g†_opt ГГР: ν(y) = 1/(1−exp(−√y)) 2292.6 (0.676) 933.4 50 / 71 / 54 3842 simple-функция Фамея—Бинни [13] 2298.1 (0.678) 957.9 49 / 73 / 53 3722 standard [4] 2853.0 (0.841) 929.2 47 / 57 / 71 4303 Результаты сведены в таблицу выше и на рис. 1. ГГР-форма даёт суммарный замковый χ² = 2292.6 (0.676 на точку): лучше simple-функции Фамея—Бинни на 5.5 единицы (2298.1; ГГР лучше в 102 галактиках из 175, хуже в 73) и лучше standard на 560 единиц (2853.0; ГГР лучше в 113, хуже в 62); последнее согласуется с известным из литературы преимуществом simple-семейства на кривых вращения [12]. При свободном трёхпараметрическом фите все три функции статистически неразличимы (χ²_своб = 929–958 на 3391 точку), а восстановленный масштаб устойчиво воспроизводит a ≈ 3700–4600 (км/с)²/кпк. Распределение вердиктов слабо чувствительно к выбору функции (47–50 / ₀ 57–73 / 53–71) и чувствительно к порогу: ближайшие к нему галактики — NGC4013 (Δχ² = 0.373, классифицирована как LOCK_OK) и UGC06917 (Δχ² = 0.466, LOCK_SOFT). Базовая линия ΛCDM с тёмными гало профиля Наварро—Френка—Уайта (NFW) в настоящей работе не фитировалась по двум причинам: во-первых, целью бенчмарка является проверка чувствительности конвейера к выбору интерполяционной функции ν(y) при едином универсальном масштабе ускорения g† (тогда как гало NFW вводят два индивидуальных параметра на каждую галактику — вириальную массу и концентрацию — и требуют сравнения по информационным критериям AIC/BIC с учётом априоров космологических симуляций); во-вторых, при установленном вырождении Υ_old/Υ_young добавление двух параметров тёмного гало сделало бы фит кривых вращения недоопределённым для большинства карликовых систем выборки. Таким образом, все приведённые сравнения являются строго внутренними для семейства замыкающих функций MOND-типа. Рис. 1. Разность замковых χ ² по 175 галактикам (ГГР минус конкурент): слева — simple-функции Фамея—Бинни (simple-μ), справа — standard; пунктиры — пороги классификации (±0.4). Отрицательные значения — преимущество ГГР-формы.

6.5. Тест внешнего поля (EFE)

В анзаце ν(y, e) = ν(y + e), где e = g_ext/g†, тест внешнего поля сводится к добавлению одного свободного параметра на галактику при замкнутой константе связи g† = 3260 (км/с)²/кпк. Замковый χ² снижается с 2293.4 до 1624.9 (ГГР-ядро) и с 2298.9 до 1608.8 (ядро simple-функции Фамея—Бинни). Начальное значение 2293.4 превышает контрольное значение 2292.6 раздела 6.4 на +0.8: этот сдвиг обусловлен стартом оптимизатора EFE-модуля без предварительной инициализации замковыми параметрами и на относительные выводы теста не влияет. Значимое улучшение (Δχ² > 4) получено для 23 галактик (ГГР-ядро); из них 15 — в физичной ветке e < 1, и 13 из этих 15 являются LOCK_FAIL-объектами базового расчёта. Корреляция оценок e между ГГР- и simple- ядрами в физичной ветке составляет r = 0.96: EFE-квэнчинг нечувствителен к форме замыкающей функции. На пересекающемся подмножестве с Table 2 [16] (N = 23) корреляция между подогнанным параметром e конвейера ГГР и ẽ Чэ положительна и значима: r = 0.48 (p = 0.02). Оба независимых EFE- кандидата замкового расчёта — UGC 04483 (Δχ² = 4.7, e = 0.06) и NGC 4068 (Δχ² = 4.2, e = 0.13) — подтверждены в [16] (Paper II, Table 2): ẽ = 0.141 (+0.043/−0.039) и 0.321 (+0.109/−0.099) соответственно. Прямое сравнение с 8–11σ-детекциями [14, 15] требует пер-галактической свободы масштаба ускорения и выделено в отдельный программный шаг. 7. Выводы 1. Локальная биметрическая модель класса Хорндески/AeST [17] с дисформной связью (1.1) и действием (1.3) обеспечивает уравнения поля второго порядка без духов Остроградского, равенство скорости гравитационных волн скорости света (c_T/c_γ = e^φ = 1 при |φ| 10 ¹ , формула (1.4)) в ≲ ⁻ ⁵ согласии с GW170817 [7], пылевидное фоновое расширение Вселенной (w_φ → 0, формулы (4.2)– (4.2b)) при жёсткости продольного кинетического сектора M_coh 10¹ , обеспечивающей сшивку ≳ ⁵ космологического фона (t) с пределом GW170817, и согласие с постньютоновскими ограничениями φ̄ Солнечной системы (5.1) в режиме k-mouflage экранирования; количественная проверка дипольного излучения двойных пульсаров и гравитационного черенковского излучения зафиксирована как приоритетная задача (раздел 5). 2. Интеграл восприимчивости Кубо—Мори—Боголюбова вычислен аналитически: χ(Δ) = 1 / [2γ(Δ + γ)] с асимптотикой Δ ¹. Замыкающая функция ν(y) = 1 / (1 − exp(−√y)) постулируется феноменологически; ⁻ в разделе 1.2 для неё построен точный параметрический кинетический потенциал f_ГГР(u) через интеграл Дебая и полилогарифмы (формулы (1.3d)–(1.3f)); её строгий вывод из кинетики Отта— Антонсена [5] остаётся открытой проблемой. 3. Границы спинодального гистерезиса (3.1) равны K_down / K_c = 4m / (m + 1)² и K_up / K_c = (m + 1)² / (4m); ширина петли K_up / K_down ≥ 1.7 требует m ≥ 3. 4. На выборке SPARC (175 галактик, 3391 точка) при фиксированном g† = 3260 (км/с)²/кпк получено распределение 50 / 71 / 54 (эталонная декомпозиция R_med) и 49 / 58 / 68 (фотометрический масштаб R_d). Полностью внутренние трёхпараметрические решения найдены для 11 галактик (6.3%), а константа связи g† восстанавливается несмещённо на зашумлённых синтетических данных, однако с большим статистическим разбросом (~20%), поэтому точное значение g† следует фиксировать по совместному фиту каталога, а не по индивидуальным наборам. 5. Контрольный бенчмарк замыкающих функций (раздел 6.4): функция ГГР близка по предельному поведению к simple-функции Фамея—Бинни [13], не тождественна ей; против simple-функции Фамея —Бинни — статистическая ничья (Δχ² = 5.5 на 3391 точку), против standard — умеренное преимущество (χ² 2293 против 2853; лучше в 113 из 175 галактик). Все сравнения внутренние для семейства MOND-замыкающих функций; базовая линия ΛCDM/NFW не фитировалась. Форма ν слабо идентифицируема при свободном фите (χ²_своб = 929–958); содержательный акцент конвейера — двухнаселённая декомпозиция Υ_old / Υ_young. Библиография 1. Lelli F., McGaugh S.S., Schombert J.M. SPARC: Mass models for 175 disk galaxies with Spitzer photometry and accurate rotation curves // Astron. J. 2016. Vol. 152. P. 157. 2. Milgrom M. A modification of the Newtonian dynamics as a possible alternative to the hidden mass hypothesis // Astrophys. J. 1983. Vol. 270. P. 365–370. 3. McGaugh S.S., Lelli F., Schombert J.M. Radial acceleration relation in rotationally supported galaxies // Phys. Rev. Lett. 2016. Vol. 117. P. 201101. 4. Bekenstein J., Milgrom M. Does the missing mass problem signal the breakdown of Newtonian gravity? // Astrophys. J. 1984. Vol. 286. P. 7–14. 5. Ott E., Antonsen T.M. Low dimensional behavior of large systems of globally coupled oscillators // Chaos. 2008. Vol. 18. P. 037105. 6. Carlen E., Maas J. Gradient flow and entropy inequalities for quantum Markov semigroups with detailed balance // J. Funct. Anal. 2017. Vol. 273, No. 5. P. 1810–1869. 7. Abbott B.P. et al. GW170817: Observation of gravitational waves from a binary neutron star inspiral // Phys. Rev. Lett. 2017. Vol. 119. P. 161101. 8. Will C.M. The confrontation between general relativity and experiment // Living Rev. Relativity. 2014. Vol. 17. Art. 4. 9. Damour T., Esposito-Farèse G. Tensor-multi-scalar theories of relativistic gravity // Class. Quantum Grav. 1992. Vol. 9. P. 2093–2127. 10. Moore G.D., Nelson A.E. Lower bound on the propagation speed of gravity from gravitational Cherenkov radiation // JHEP. 2001. Vol. 09. P. 023. 11. Kuramoto Y. Chemical oscillations, waves, and turbulence. Berlin: Springer, 1984. 12. Famaey B., McGaugh S.S. Modified Newtonian dynamics (MOND): observational phenomenology and relativistic extensions // Living Rev. Relativity. 2012. Vol. 15. Art. 10. 13. Famaey B., Binney J. Modified Newtonian dynamics in the Milky Way // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2005. Vol. 363. P. 603–608. 14. Chae K.-H., Lelli F., Desmond H. et al. Testing the strong equivalence principle: detection of the external field effect in rotationally supported galaxies // Astrophys. J. 2020. Vol. 904, Art. 51. 15. Chae K.-H., Lelli F., Desmond H. et al. Erratum: Testing the strong equivalence principle: detection of the external field effect in rotationally supported galaxies // Astrophys. J. 2021. Vol. 910, Art. 81. 16. Chae K.-H., Bernardi M., Sheth R.K. Testing the strong equivalence principle. II. Relating the external field effect in galaxy rotation curves to the large-scale structure of the universe // Astrophys. J. 2021. Vol. 921, Art. 104. 17. Skordis C., Złośnik T. New relativistic theory for modified Newtonian dynamics // Phys. Rev. Lett. 2021. Vol. 127. P. 161302. Приложение А. Обновлённый код конвейера и перегенерации иллюстраций Актуальный воспроизводимый листинг конвейера (v4.1) с установленным флагом GAS_SIGNED = False (соответствующим контрольному расчёту Таблицы Е.1 и бенчмарку раздела 6.4) и унифицированными нейтральными метками LOCK_OK / LOCK_SOFT / LOCK_FAIL для перегенерации рисунков В.1–В.30, Г.1 и Д.1 поставляется отдельным модулем ggr_sparc_pipeline_v4_1.py в составе пакета воспроизводимости OSF. # -*- coding: utf-8 -*- """ggr_sparc_pipeline_v4_1.py - конвейер ГГР (SPARC, два звёздных населения) и модуль публикации. Физическое ядро (v4.1): g_pred = g_bar * nu(g_bar / g_dagger), nu(y) = 1/(1 - exp(-sqrt(y))); v2_bar = sign(Vgas)*Vgas^2 + Yo*(1-w)*Vdisk^2 + Yy*w*Vdisk^2 + 0.7*Vbul^2; w = clip(1 - exp(-R/(1.65*R_scale)), 0.05, 0.95), где R_scale = R_d (v4.1) или R_med (v4.0); chi2 в лог-пространстве ускорений: sigma_tot = sqrt(sigma_obs^2 + 0.13^2); вердикты: dchi2 <= 0.4 -> LOCK_OK; <= 5.0 -> LOCK_SOFT; иначе LOCK_FAIL. """ import os import numpy as np from scipy.optimize import minimize import matplotlib matplotlib.use('Agg') import matplotlib.pyplot as plt from matplotlib.lines import Line2D from matplotlib.ticker import FixedLocator G_DAGGER = 3260.0 SIGMA_INT = 0.13 # False — квадратичная конвенция Vgas^2 >= 0 (контрольный расчёт таблицы Е.1 и бенчмарк 6.4); # True — основная знаковая конвенция SPARC sign(Vgas)*Vgas^2 (тест чувствительности, раздел 6.1) GAS_SIGNED = False LN10 = float(np.log(10.0)) FLOOR_Y = 0.05 G_MIN, G_MAX = 200.0, 10000.0 T_CONF, T_MILD = 0.4, 5.0 VERDICTS = ('LOCK_OK', 'LOCK_SOFT', 'LOCK_FAIL') VERDICT_LABELS = {'LOCK_OK': 'LOCK_OK', 'LOCK_SOFT': 'LOCK_SOFT', 'LOCK_FAIL': 'LOCK_FAIL'} VERD_COLOR = {'LOCK_OK': 'tab:green', 'LOCK_SOFT': 'tab:orange', 'LOCK_FAIL': 'tab:red'} DPI = 150 FIG_A4 = (8.27, 11.69) N_PAGES = 29 def parse_sparc(path, rd_map=None): gals = {} with open(path, encoding='utf-8') as fh: for ln in fh: t = ln.split() if len(t) != 11: continue try: R, vo, vsys, ev, vg, evg, vd, evd, vb, evb = map(float, t[1:11]) except ValueError: continue g = gals.setdefault(t[0], {'R': [], 'Vobs': [], 'eV': [], 'Vgas': [], 'Vdisk': [], 'Vbul': []}) g['R'].append(R); g['Vobs'].append(vo); g['eV'].append(max(ev, 0.1)) g['Vgas'].append(vg); g['Vdisk'].append(vd); g['Vbul'].append(vb) for name, g in gals.items(): for k in g: g[k] = np.asarray(g[k], float) R, V = g['R'], g['Vobs'] msk = (R > 0) & (V > 0) for k in [k for k in g if isinstance(g[k], np.ndarray) and g[k].ndim == 1]: g[k] = g[k][msk] g['R_med'] = max(float(np.median(g['R'])), 0.5) g['R_d'] = float(rd_map[name]) if (rd_map and name in rd_map and rd_map[name] > 0) else None if g['R_d'] is None: print(f'[R_d fallback] {name}: R_d отсутствует в rd_map -> R_med') g['g_obs'] = g['Vobs'] ** 2 / g['R'] return gals def w_young(R, R_scale): w = 1.0 - np.exp(-R / (1.65 * max(R_scale, 0.1))) return np.clip(w, 0.05, 0.95) def nu_func(y): return 1.0 / (1.0 - np.exp(-np.sqrt(np.maximum(y, 1e-300)))) def model_v2(g, Yo, Yy, gt, use_rd=True): R = g['R'] r_scale = g['R_d'] if (use_rd and g.get('R_d') is not None) else g['R_med'] w = w_young(R, r_scale) v2_old = (1.0 - w) * g['Vdisk'] ** 2 v2_young = w * g['Vdisk'] ** 2 v2_gas = np.sign(g['Vgas']) * g['Vgas'] ** 2 if GAS_SIGNED else g['Vgas'] ** 2 v2_bar = v2_gas + Yo * v2_old + Yy * v2_young + 0.7 * g['Vbul'] ** 2 g_bar = np.maximum(v2_bar / R, 1e-10) g_pred = g_bar * nu_func(g_bar / gt) return g_pred, g_bar, w, v2_old, v2_young def chi2_acceleration(g, gt, Yo, Yy, use_rd=True): g_pred = model_v2(g, Yo, Yy, gt, use_rd=use_rd)[0] z = np.log10(g['g_obs']) - np.log10(g_pred) s_obs = 2.0 * g['eV'] / (g['Vobs'] * LN10) s_tot = np.sqrt(s_obs ** 2 + SIGMA_INT ** 2) return float(np.sum((z / s_tot) ** 2)) def fit_locked(g, use_rd=True, floor_y=FLOOR_Y): x0 = [0.50, max(0.15, floor_y)] res = minimize(lambda p: chi2_acceleration(g, G_DAGGER, p[0], p[1], use_rd=use_rd), x0, method='L-BFGS-B', bounds=[(0.2, 1.2), (floor_y, 0.4)]) return res.x, float(res.fun) def fit_free(g, use_rd=True, cl0=None, x0_lock=None, floor_y=FLOOR_Y): if cl0 is None: (xo, yy), cl = fit_locked(g, use_rd=use_rd, floor_y=floor_y) else: (xo, yy), cl = x0_lock, cl0 res = minimize( lambda p: chi2_acceleration(g, p[0] * G_DAGGER, p[1], p[2], use_rd=use_rd), [1.0, xo, yy], method='L-BFGS-B', bounds=[(G_MIN / G_DAGGER, G_MAX / G_DAGGER), (0.2, 1.2), (floor_y, 0.4)], options={'ftol': 1e-12, 'gtol': 1e-8} ) opt_params = np.array([res.x[0] * G_DAGGER, res.x[1], res.x[2]]) return opt_params, float(res.fun), cl def verdict_of(dchi2): if dchi2 <= T_CONF: return 'LOCK_OK' if dchi2 <= T_MILD: return 'LOCK_SOFT' return 'LOCK_FAIL' def run_pipeline(gals, use_rd=True, floor_y=FLOOR_Y): out = {} for name, g in gals.items(): (xo, yy), cl = fit_locked(g, use_rd=use_rd, floor_y=floor_y) gf, cf, _ = fit_free(g, use_rd=use_rd, cl0=cl, x0_lock=(xo, yy), floor_y=floor_y) d = max(0.0, cl - cf) out[name] = { 'name': name, 'N': int(len(g['R'])), 'chi2_lock': cl, 'chi2_free': cf, 'dchi2': d, 'gt_opt': float(gf[0]), 'Yo': float(gf[1]), 'Yy': float(gf[2]), 'Yo_lock': float(xo), 'Yy_lock': float(yy), 'imf_inverted': bool(gf[2] > gf[1]), 'verdict': verdict_of(d) } return out def plot_dchi2_hist(rows, path): dchi2_vals = np.maximum([r['dchi2'] for r in rows], 1e-3) bins = np.logspace(-3, 2.2, 45) fig, ax = plt.subplots(figsize=(9.0, 4.5), dpi=DPI) ax.hist(dchi2_vals, bins=bins, color='0.5', edgecolor='0.35', lw=0.6) ax.set_xscale('log'); ax.set_yscale('log') ax.axvline(T_CONF, color='crimson', ls='--', lw=1.3) ax.axvline(T_MILD, color='crimson', ls='--', lw=1.3) ymax = ax.get_ylim()[1] ax.text(T_CONF * 1.08, ymax * 0.72, f'{T_CONF} (LOCK_OK)', color='crimson', fontsize=8.5) ax.text(T_MILD * 1.08, ymax * 0.72, f'{T_MILD} (LOCK_FAIL)', color='crimson', fontsize=8.5) ax.set_xlabel(r'$\Delta\chi^2 = \chi^2_{\mathrm{замок}} - \chi^2_{\mathrm{своб}}$', fontsize=10) ax.set_ylabel('Число галактик', fontsize=10) ax.set_title('Рис. В.1. Распределение Δχ² по каталогу SPARC (конвейер v4.1)', fontsize=10.5) ax.grid(True, which='both', alpha=0.25, lw=0.4) fig.tight_layout(); fig.savefig(path); plt.close(fig) def _panel(ax, gal, row, use_rd=True): R = gal['R'] g_pred, g_bar, w, v2_old, v2_young = model_v2(gal, row['Yo'], row['Yy'], row['gt_opt'], use_rd=use_rd) nu = g_pred / g_bar Vmod = np.sqrt(g_pred * R) ax.errorbar(R, gal['Vobs'], yerr=gal['eV'], fmt='o', ms=2.6, mfc='k', mec='k', ecolor='0.6', elinewidth=0.7, capsize=1.2, zorder=5) ax.plot(R, Vmod, color='crimson', lw=1.5, zorder=4) ax.plot(R, np.abs(gal['Vgas']) * np.sqrt(nu), color='tab:blue', lw=1.0, ls='--', zorder=2) ax.plot(R, np.sqrt(row['Yo'] * v2_old * nu), color='tab:brown', lw=1.0, ls='-.', zorder=2) ax.plot(R, np.sqrt(row['Yy'] * v2_young * nu), color='tab:cyan', lw=1.0, ls=':', zorder=2) if float(np.max(gal['Vbul'])) > 0: ax.plot(R, np.sqrt(0.7 * gal['Vbul'] ** 2 * nu), color='tab:purple', lw=1.0, zorder=2) ax.set_xscale('log'); ax.set_yscale('log') lo = 0.5 * min(float(gal['Vobs'].min()), float(Vmod.min())) hi = 2.0 * max(float(gal['Vobs'].max()), float(Vmod.max())) ax.set_ylim(max(lo, 1.0), hi * 1.2) ax.set_xlim(0.7 * float(R.min()), 1.4 * float(R.max())) ticks = [t for t in (0.1, 0.2, 0.3, 0.5, 1, 2, 3, 5, 10, 20, 30, 50, 100, 200, 500, 1000) if 0.7 * float(R.min()) <= t <= 1.4 * float(R.max())] ax.xaxis.set_major_locator(FixedLocator(ticks)) ax.xaxis.set_major_formatter(plt.ScalarFormatter()) ax.xaxis.set_minor_formatter(plt.NullFormatter()) ax.xaxis.set_minor_locator(plt.NullLocator()) ax.grid(True, which='both', alpha=0.25, lw=0.4) ax.tick_params(labelsize=7) lbl = VERDICT_LABELS[row['verdict']] ax.set_title('%s\n%s, dchi2=%.2f' % (row['name'], lbl, row['dchi2']), fontsize=7.5, color=VERD_COLOR[row['verdict']], pad=4) def plot_atlas_page(pageno, gals, rows, path, use_rd=True): n = len(rows) nrows, ncols = (4, 2) if n == 7 else (3, 2) fig, axes = plt.subplots(nrows, ncols, figsize=FIG_A4, dpi=DPI, squeeze=False) axes = axes.ravel() for ax in axes[n:]: ax.set_visible(False) for ax, row in zip(axes, rows): _panel(ax, gals[row['name']], row, use_rd=use_rd) ax.set_xlabel('R, кпк', fontsize=7) ax.set_ylabel('V, км/с', fontsize=7) fig.suptitle('Атлас кривых вращения SPARC - лист %d/%d' % (pageno, N_PAGES), fontsize=9.5, y=0.997) handles = [Line2D([], [], color='k', marker='o', ms=3, ls='none', label='Данные'), Line2D([], [], color='crimson', lw=1.5, label='Модель ГГР'), Line2D([], [], color='tab:blue', lw=1.0, ls='--', label='Газ'), Line2D([], [], color='tab:brown', lw=1.0, ls='-.', label='Старое насел.'), Line2D([], [], color='tab:cyan', lw=1.0, ls=':', label='Молодое насел.'), Line2D([], [], color='tab:purple', lw=1.0, label='Балдж')] fig.legend(handles=handles, loc='upper center', ncol=6, fontsize=7.5, frameon=False, bbox_to_anchor=(0.5, 0.975)) fig.subplots_adjust(top=0.900, bottom=0.05, left=0.10, right=0.97, hspace=0.55, wspace=0.28 if len(rows) < 7 else 0.38) fig.savefig(path); plt.close(fig) def plot_gopt_diag(rows, path): rows_sorted = sorted(rows, key=lambda r: r['gt_opt']) gopts = [r['gt_opt'] for r in rows_sorted] yo_vals = [r['Yo'] for r in rows_sorted] n = len(gopts) fig, ax = plt.subplots(figsize=FIG_A4, dpi=DPI) sc = ax.scatter(range(1, n + 1), gopts, c=yo_vals, cmap='viridis', vmin=0.2, vmax=1.2, s=16, zorder=4, label='g_dagger_opt (свободный фит)') cbar = fig.colorbar(sc, ax=ax, pad=0.02, aspect=30) cbar.set_label('Υ_old (оптимум свободного фита)', fontsize=9) for x, txt, col in [(G_MIN, 'нижняя граница априора 200', 'tab:gray'), (G_DAGGER, 'замок g_dagger = 3260', 'tab:red'), (G_MAX, 'верхняя граница априора 10000', 'tab:gray')]: ax.axhline(x, color=col, ls='--', lw=1.1, zorder=2) ax.text(n * 0.98, x * 1.08, txt, fontsize=8, color=col, ha='right') ax.set_yscale('log'); ax.set_ylim(150, 14000) ax.set_xlabel('Ранг галактики (сортировка по g_dagger_opt)', fontsize=10) ax.set_ylabel('g_dagger_opt, (км/с)^2/кпк', fontsize=10) ax.set_title('Рис. Г.1. Оптимальная константа связи против границ априора', fontsize=10) ax.legend(loc='upper left', fontsize=9) fig.subplots_adjust(left=0.12, right=0.95, top=0.93, bottom=0.10) fig.savefig(path); plt.close(fig) def plot_verdicts_thresholds(gals, path, use_rd=False): floors = [0.05, 0.10, 0.20] counts = {v: [] for v in VERDICTS} for fy in floors: res = run_pipeline(gals, use_rd=use_rd, floor_y=fy) v_list = [r['verdict'] for r in res.values()] for v in VERDICTS: counts[v].append(v_list.count(v)) x = np.arange(len(floors)); width = 0.26 fig, ax = plt.subplots(figsize=(8.0, 4.5), dpi=DPI) for idx, v in enumerate(VERDICTS): rects = ax.bar(x + (idx - 1) * width, counts[v], width, label=v, color=VERD_COLOR[v]) for rect in rects: h = rect.get_height() ax.text(rect.get_x() + rect.get_width() / 2.0, h + 1.0, f'{int(h)}', ha='center', va='bottom', fontsize=9) scale_lbl = 'R_d' if use_rd else 'R_med' ax.set_xticks(x) ax.set_xticklabels([r'$\Upsilon_{\mathrm{young}} \geq 0.05$', r'$\Upsilon_{\mathrm{young}} \geq 0.10$', r'$\Upsilon_{\mathrm{young}} \geq 0.20$'], fontsize=10) ax.set_ylabel('Число галактик', fontsize=10); ax.set_ylim(0, 85) ax.set_title(f'Рис. Д.1. Вердикты при трёх порогах Υ_young (0.05, 0.10, 0.20), прогон v4.1 ({scale_lbl})', fontsize=10.5) ax.legend(frameon=False, fontsize=9.5, loc='upper right') ax.grid(axis='y', alpha=0.25, lw=0.4) fig.tight_layout(); fig.savefig(path); plt.close(fig) def rebuild_all_figures(sparc_table_path, out_dir='figures_v4_1', rd_map=None, use_rd=False): os.makedirs(out_dir, exist_ok=True) gals = parse_sparc(sparc_table_path, rd_map=rd_map) results = run_pipeline(gals, use_rd=use_rd, floor_y=0.05) rows = [results[name] for name in sorted(results.keys())] plot_dchi2_hist(rows, os.path.join(out_dir, 'fig_V1_dchi2_hist.png')) plot_gopt_diag(rows, os.path.join(out_dir, 'fig_G1_gopt_diag.png')) plot_verdicts_thresholds(gals, os.path.join(out_dir, 'fig_D1_verdicts_thresholds.png'), use_rd=use_rd) idx = 0 for pageno in range(1, N_PAGES + 1): step = 7 if pageno == N_PAGES else 6 chunk = rows[idx:idx + step] idx += step out_path = os.path.join(out_dir, f'fig_V{pageno + 1:02d}_atlas_p{pageno:02d}.png') plot_atlas_page(pageno, gals, chunk, out_path, use_rd=use_rd) print(f'Готово: перестроены все графики в директории {out_dir}/') Приложение Б. Сводные результаты расчётов v4.0 и v4.1 Конфигурация конвейера Порог Υ_young LOCK_OK LOCK_SOFT LOCK_FAIL v4.1 (декомпозиция по R_med) ≥ 0.05 50 71 54 v4.1 (декомпозиция по R_med) ≥ 0.10 50 71 54 v4.1 (декомпозиция по R_med) ≥ 0.20 44 72 59 v4.1 (фотометрический масштаб R_d) ≥ 0.05 49 58 68 Примечание: полный атлас кривых вращения (листы В.2–В.30), гистограмма Δχ² (рис. В.1), диаграмма g†_opt (рис. Г.1), гистограмма порогов (рис. Д.1) и покомпонентная таблица по 175 галактикам (Таблица Е.1) сохраняются без изменения численных значений при перегенерации с помощью воспроизводимого скрипта ggr_sparc_pipeline_v4_1.py (Приложение А). Приложение В. Сводная гистограмма Δχ ² и атлас кривых вращения SPARC На рис. В.1 показано распределение Δχ² (разность статистик между замковым фитом и свободным трёхпараметрическим фитом при g† = 3260 (км/с)²/кпк) по каталогу SPARC (конвейер v4.1); пунктирами отмечены пороги классификации LOCK_OK / LOCK_SOFT / LOCK_FAIL. Далее (рис. В.2–В.30) приведён полный атлас кривых вращения всех 175 галактик каталога SPARC (Lelli et al. 2016 [1]), 3391 точка: точки — наблюдаемые скорости с погрешностями e_Vobs, сплошная линия — модельная кривая ГГР, отдельными линиями показаны вклады газа, старого и молодого населения диска и балджа. Отрицательные каталоговые значения V_gas (внутренний градиент давления газа в стандартной декомпозиции SPARC) входят в модель в конвенции контрольного расчёта v4.1 — квадратичной форме V²_gas ≥ 0 (основная знаковая конвенция и тест чувствительности — раздел 6.1) — и отображаются на графиках по модулю |V_gas|, без разрывов пунктирной линии газа. Атлас соответствует эталонной декомпозиции по R_med листинга Приложения А; вариант с фотометрическим масштабом R_d отличается лишь масштабом разделения населений (см. раздел 6.1 и таблицу Приложения Б). Рис. В.1. Распределение Δχ² по каталогу SPARC (конвейер v4.1); пунктиры — пороги классификации. Рис. В.2. Атлас кривых вращения SPARC , лист 1/29. Рис. В.3. Атлас кривых вращения SPARC , лист 2/29. Рис. В.4. Атлас кривых вращения SPARC , лист 3/29. Рис. В.5. Атлас кривых вращения SPARC , лист 4/29. Рис. В.6. Атлас кривых вращения SPARC , лист 5/29. Рис. В.7. Атлас кривых вращения SPARC , лист 6/29. Рис. В.8. Атлас кривых вращения SPARC , лист 7/29. Рис. В.9. Атлас кривых вращения SPARC , лист 8/29. Рис. В.10. Атлас кривых вращения SPARC , лист 9/29. Рис. В.11. Атлас кривых вращения SPARC , лист 10/29. Рис. В.12. Атлас кривых вращения SPARC , лист 11/29. Рис. В.13. Атлас кривых вращения SPARC , лист 12/29. Рис. В.14. Атлас кривых вращения SPARC , лист 13/29. Рис. В.15. Атлас кривых вращения SPARC , лист 14/29. Рис. В.16. Атлас кривых вращения SPARC , лист 15/29. Рис. В.17. Атлас кривых вращения SPARC , лист 16/29. Рис. В.18. Атлас кривых вращения SPARC , лист 17/29. Рис. В.19. Атлас кривых вращения SPARC , лист 18/29. Рис. В.20. Атлас кривых вращения SPARC , лист 19/29. Рис. В.21. Атлас кривых вращения SPARC , лист 20/29. Рис. В.22. Атлас кривых вращения SPARC , лист 21/29. Рис. В.23. Атлас кривых вращения SPARC , лист 22/29. Рис. В.24. Атлас кривых вращения SPARC , лист 23/29. Рис. В.25. Атлас кривых вращения SPARC , лист 24/29. Рис. В.26. Атлас кривых вращения SPARC , лист 25/29. Рис. В.27. Атлас кривых вращения SPARC , лист 26/29. Рис. В.28. Атлас кривых вращения SPARC , лист 27/29. Рис. В.29. Атлас кривых вращения SPARC , лист 28/29. Рис. В.30. Атлас кривых вращения SPARC , лист 29/29. Приложение Г. Сводная диаграмма g †_ opt против априорных границ Рис. Г.1. Оптимум g †_ opt (свободный трёхпараметрический фит) против границ априора [200, 10000] (км/с)²/кпк (цвет маркеров кодирует Υ _ old ); краевые плато соответствуют выходу оптимума на границы априоров. Приложение Д. Вердикты при трёх порогах Υ _ young Рис. Д.1. Вердикты при трёх порогах Υ_young (0.05, 0.10, 0.20), расчёт v4.1. Приложение Е. Покомпонентная сводка (контрольный расчёт v4.1, декомпозиция по R_med, порог Υ_young ≥ 0.05) Для каждой галактики каталога SPARC приведены: N — число точек кривой вращения; Δχ ² — разность статистик замкового ( g † = 3260) и свободного фитов; g †_ opt — оптимум константы связи в свободном фите (км/с)²/кпк; Υ _ old и Υ _ young — оптимумы отношений масса/светимость старого и молодого населений диска; вердикт — классификация по порогам Δχ ² ≤ 0.4 / ≤ 5.0 / > 5.0. Таблица Е.1. Результаты контрольного расчёта v4.1 по 175 галактикам каталога SPARC Галактика N dχ² g†_opt Υ_old Υ_young Вердикт CamB 9 75.493 200.0 0.200 0.134 LOCK_FAIL D512-2 4 0.023 1688.3 0.604 0.400 LOCK_OK D564-8 6 6.730 1184.2 0.200 0.400 LOCK_FAIL D631-7 16 6.898 1853.4 0.200 0.400 LOCK_FAIL DDO064 14 0.029 3581.8 0.319 0.365 LOCK_OK DDO154 12 0.701 2776.3 0.200 0.050 LOCK_SOFT DDO161 31 65.185 1087.3 0.200 0.050 LOCK_FAIL DDO168 10 3.427 1980.2 0.200 0.400 LOCK_SOFT DDO170 8 6.965 1347.5 0.522 0.400 LOCK_FAIL ESO079-G014 15 4.919 8290.0 0.200 0.400 LOCK_SOFT ESO116-G012 15 7.369 8409.4 0.228 0.400 LOCK_FAIL ESO444-G084 7 10.064 10000.0 0.212 0.400 LOCK_FAIL ESO563-G021 30 20.131 10000.0 0.369 0.400 LOCK_FAIL F561-1 6 14.432 200.0 1.022 0.050 LOCK_FAIL F563-1 17 7.778 6084.0 1.200 0.400 LOCK_FAIL F563-V1 6 32.565 200.0 0.382 0.050 LOCK_FAIL F563-V2 10 10.024 9607.2 1.200 0.400 LOCK_FAIL F565-V2 7 1.667 6637.5 0.200 0.400 LOCK_SOFT F567-2 5 2.642 412.2 1.200 0.400 LOCK_SOFT F568-1 12 16.468 10000.0 1.096 0.400 LOCK_FAIL F568-3 18 0.805 4876.7 0.346 0.400 LOCK_SOFT F568-V1 15 17.112 10000.0 1.200 0.184 LOCK_FAIL F571-8 13 13.518 7181.2 0.200 0.400 LOCK_FAIL F571-V1 7 0.000 3222.2 0.315 0.400 LOCK_OK F574-1 14 0.167 4152.9 0.751 0.400 LOCK_OK F574-2 5 19.945 200.0 0.200 0.050 LOCK_FAIL F579-V1 14 3.247 5618.5 1.200 0.050 LOCK_SOFT F583-1 25 0.239 3718.0 1.120 0.400 LOCK_OK F583-4 12 0.054 6783.4 0.263 0.050 LOCK_OK IC2574 34 15.628 1480.3 0.200 0.400 LOCK_FAIL IC4202 32 2.644 1794.1 1.200 0.400 LOCK_SOFT KK98-251 15 44.783 641.0 0.200 0.400 LOCK_FAIL NGC0024 29 24.191 9628.8 0.926 0.400 LOCK_FAIL NGC0055 21 7.203 1704.4 0.200 0.400 LOCK_FAIL NGC0100 21 4.806 5256.2 0.200 0.400 LOCK_SOFT NGC0247 26 0.027 3553.5 0.758 0.050 LOCK_OK NGC0289 28 1.481 2532.3 0.658 0.050 LOCK_SOFT NGC0300 25 3.107 5748.9 0.373 0.400 LOCK_SOFT NGC0801 13 0.000 3562.5 0.559 0.106 LOCK_OK NGC0891 18 1.939 5073.9 0.200 0.400 LOCK_SOFT NGC1003 36 1.255 3926.1 0.256 0.400 LOCK_SOFT NGC1090 24 0.218 2640.2 0.462 0.400 LOCK_OK NGC1705 14 17.768 10000.0 0.878 0.400 LOCK_FAIL NGC2366 26 14.370 1596.6 0.200 0.400 LOCK_FAIL NGC2403 73 15.253 6571.5 0.445 0.257 LOCK_FAIL NGC2683 11 0.012 4245.9 0.617 0.085 LOCK_OK NGC2841 50 42.130 10000.0 0.960 0.222 LOCK_FAIL NGC2903 34 14.916 10000.0 0.250 0.243 LOCK_FAIL NGC2915 30 44.953 10000.0 0.711 0.400 LOCK_FAIL NGC2955 24 0.018 4311.4 0.400 0.231 LOCK_OK NGC2976 27 2.159 4652.6 0.200 0.400 LOCK_SOFT NGC2998 13 0.149 4374.5 1.067 0.050 LOCK_OK NGC3109 25 7.867 4877.1 0.200 0.400 LOCK_FAIL NGC3198 43 0.000 3253.9 0.536 0.400 LOCK_OK NGC3521 41 2.971 10000.0 0.488 0.214 LOCK_SOFT NGC3726 12 0.021 3013.6 0.280 0.400 LOCK_OK NGC3741 21 4.080 4712.5 0.200 0.050 LOCK_SOFT NGC3769 12 0.022 2943.3 0.338 0.400 LOCK_OK NGC3877 13 0.884 10000.0 0.270 0.125 LOCK_SOFT NGC3893 10 1.009 5253.0 0.430 0.400 LOCK_SOFT NGC3917 17 1.042 5721.0 0.300 0.400 LOCK_SOFT NGC3949 7 0.298 10000.0 0.292 0.177 LOCK_OK NGC3953 8 0.019 7528.1 0.584 0.050 LOCK_OK NGC3972 10 1.610 7966.2 0.246 0.400 LOCK_SOFT NGC3992 9 0.000 3379.1 0.908 0.302 LOCK_OK NGC4010 12 1.025 4760.2 0.200 0.400 LOCK_SOFT NGC4013 36 0.373 3855.9 0.334 0.400 LOCK_OK NGC4051 7 0.071 5664.5 0.411 0.050 LOCK_OK NGC4068 6 3.493 1617.3 0.200 0.050 LOCK_SOFT NGC4085 7 0.233 3877.9 0.200 0.400 LOCK_OK NGC4088 12 0.002 2890.5 0.309 0.225 LOCK_OK NGC4100 24 0.180 6232.3 0.636 0.050 LOCK_OK NGC4138 7 0.073 5617.0 0.540 0.050 LOCK_OK NGC4157 17 0.001 3294.5 0.331 0.400 LOCK_OK NGC4183 23 0.521 2471.6 0.979 0.050 LOCK_SOFT NGC4214 14 6.401 9309.8 0.649 0.400 LOCK_FAIL NGC4217 19 9.628 1347.7 0.200 0.400 LOCK_FAIL NGC4389 6 4.457 280.2 0.200 0.400 LOCK_SOFT NGC4559 32 0.849 2078.0 0.438 0.400 LOCK_SOFT NGC5005 18 1.331 7279.8 0.266 0.400 LOCK_SOFT NGC5033 22 1.353 6509.9 0.407 0.050 LOCK_SOFT NGC5055 28 0.021 5041.2 0.373 0.101 LOCK_OK NGC5371 19 1.275 1233.5 0.768 0.254 LOCK_SOFT NGC5585 24 0.972 4038.9 0.200 0.386 LOCK_SOFT NGC5907 19 0.003 2975.9 0.880 0.091 LOCK_OK NGC5985 33 33.789 10000.0 1.200 0.050 LOCK_FAIL NGC6015 44 1.068 6479.5 0.595 0.050 LOCK_SOFT NGC6195 23 0.082 2577.0 0.211 0.350 LOCK_OK NGC6503 31 1.271 6725.1 0.399 0.050 LOCK_SOFT NGC6674 15 0.030 2946.9 1.095 0.400 LOCK_OK NGC6789 4 6.223 10000.0 1.200 0.400 LOCK_FAIL NGC6946 58 0.140 2794.3 0.452 0.400 LOCK_OK NGC7331 36 0.831 3986.1 0.316 0.400 LOCK_SOFT NGC7793 46 1.029 4224.2 0.483 0.400 LOCK_SOFT NGC7814 18 4.831 7526.5 0.200 0.400 LOCK_SOFT PGC51017 6 56.412 200.0 0.574 0.050 LOCK_FAIL UGC00128 22 0.960 2744.1 1.200 0.050 LOCK_SOFT UGC00191 9 0.000 3239.1 0.877 0.400 LOCK_OK UGC00634 4 0.261 4324.8 0.317 0.400 LOCK_OK UGC00731 12 1.507 4159.1 1.200 0.400 LOCK_SOFT UGC00891 5 0.237 2806.3 0.200 0.050 LOCK_OK UGC01230 11 0.597 2255.3 1.200 0.400 LOCK_SOFT UGC01281 25 0.719 3829.3 0.200 0.400 LOCK_SOFT UGC02023 5 0.191 1661.6 0.200 0.400 LOCK_OK UGC02259 8 3.901 6245.9 1.200 0.050 LOCK_SOFT UGC02455 8 35.667 364.4 0.200 0.050 LOCK_FAIL UGC02487 17 5.581 5599.4 1.130 0.400 LOCK_FAIL UGC02885 19 0.777 7375.0 0.425 0.050 LOCK_SOFT UGC02916 43 1.989 1907.8 0.736 0.400 LOCK_SOFT UGC02953 115 47.433 7655.8 0.546 0.400 LOCK_FAIL UGC03205 48 2.643 9432.5 0.669 0.050 LOCK_SOFT UGC03546 30 1.042 4008.3 0.200 0.400 LOCK_SOFT UGC03580 47 10.365 1764.3 0.200 0.400 LOCK_FAIL UGC04278 25 6.653 6611.0 0.200 0.400 LOCK_FAIL UGC04305 22 107.692 200.0 0.879 0.050 LOCK_FAIL UGC04325 8 5.940 7512.2 1.200 0.050 LOCK_FAIL UGC04483 8 4.553 1501.7 0.200 0.400 LOCK_SOFT UGC04499 9 0.218 2622.3 0.332 0.400 LOCK_OK UGC05005 11 0.685 2181.1 0.200 0.400 LOCK_SOFT UGC05253 73 2.083 4442.8 0.363 0.400 LOCK_SOFT UGC05414 6 0.023 2585.9 0.200 0.400 LOCK_OK UGC05716 12 0.521 2552.5 1.200 0.400 LOCK_SOFT UGC05721 23 27.733 10000.0 0.655 0.400 LOCK_FAIL UGC05750 11 1.068 2064.0 0.200 0.400 LOCK_SOFT UGC05764 10 12.152 7356.7 1.200 0.050 LOCK_FAIL UGC05829 11 2.981 1511.4 1.200 0.400 LOCK_SOFT UGC05918 8 0.500 2414.0 1.200 0.050 LOCK_SOFT UGC05986 15 9.763 10000.0 0.250 0.400 LOCK_FAIL UGC05999 5 0.042 3049.2 0.200 0.400 LOCK_OK UGC06399 9 0.766 5891.0 0.316 0.400 LOCK_SOFT UGC06446 17 0.961 3917.0 1.200 0.400 LOCK_SOFT UGC06614 13 1.658 2195.9 0.200 0.400 LOCK_SOFT UGC06628 7 13.492 200.0 0.802 0.050 LOCK_FAIL UGC06667 9 22.643 10000.0 1.200 0.116 LOCK_FAIL UGC06786 45 29.788 10000.0 0.454 0.400 LOCK_FAIL UGC06787 71 44.465 9174.1 0.200 0.400 LOCK_FAIL UGC06818 8 0.083 2654.4 0.200 0.400 LOCK_OK UGC06917 11 0.466 4793.7 0.475 0.400 LOCK_SOFT UGC06923 6 0.193 3857.8 0.200 0.400 LOCK_OK UGC06930 10 0.232 1859.7 0.976 0.400 LOCK_OK UGC06973 9 0.938 6379.0 0.200 0.236 LOCK_SOFT UGC06983 17 0.006 3362.3 0.949 0.400 LOCK_OK UGC07089 12 0.310 2180.9 0.200 0.400 LOCK_OK UGC07125 13 39.690 449.6 0.743 0.400 LOCK_FAIL UGC07151 11 0.057 2871.1 0.541 0.400 LOCK_OK UGC07232 4 1.153 6022.8 0.200 0.400 LOCK_SOFT UGC07261 7 0.002 3376.8 0.921 0.050 LOCK_OK UGC07323 10 0.022 3485.6 0.200 0.400 LOCK_OK UGC07399 10 30.603 10000.0 1.200 0.400 LOCK_FAIL UGC07524 31 0.545 2452.6 0.713 0.400 LOCK_SOFT UGC07559 7 5.891 1020.3 0.200 0.400 LOCK_FAIL UGC07577 9 27.252 241.4 0.200 0.050 LOCK_FAIL UGC07603 12 8.558 8536.9 0.200 0.400 LOCK_FAIL UGC07608 8 2.857 8234.5 0.229 0.400 LOCK_SOFT UGC07690 7 0.214 1730.3 0.915 0.400 LOCK_OK UGC07866 7 1.731 939.7 0.717 0.400 LOCK_SOFT UGC08286 17 3.299 4730.4 1.119 0.400 LOCK_SOFT UGC08490 30 3.666 4822.1 0.934 0.400 LOCK_SOFT UGC08550 11 0.168 3842.5 0.751 0.400 LOCK_OK UGC08699 41 2.828 5517.9 0.525 0.400 LOCK_SOFT UGC08837 8 12.937 766.9 0.200 0.400 LOCK_FAIL UGC09037 22 1.010 2117.2 0.200 0.400 LOCK_SOFT UGC09133 68 0.280 2929.5 0.730 0.400 LOCK_OK UGC09992 5 5.232 435.6 1.200 0.050 LOCK_FAIL UGC10310 7 0.685 1648.1 1.200 0.400 LOCK_SOFT UGC11455 36 3.992 5652.2 0.268 0.400 LOCK_SOFT UGC11557 12 3.553 760.4 0.200 0.400 LOCK_SOFT UGC11820 10 1.708 1909.4 1.160 0.400 LOCK_SOFT UGC11914 65 3.946 10000.0 1.042 0.136 LOCK_SOFT UGC12506 31 4.151 5183.4 1.200 0.050 LOCK_SOFT UGC12632 15 1.540 2014.7 1.200 0.400 LOCK_SOFT UGC12732 16 0.712 2474.6 1.200 0.400 LOCK_SOFT UGCA281 7 0.004 3059.4 0.251 0.400 LOCK_OK UGCA442 8 0.004 3210.6 0.200 0.400 LOCK_OK UGCA444 36 12.982 1715.6 1.200 0.400 LOCK_FAIL Примечание о воспроизводимости: Таблица Е.1 соответствует контрольному расчёту по листингу Приложения А (v4.1, безразмерная нормировка шага оптимизатора L-BFGS-B, декомпозиция по R_med); суммарное число точек по 175 галактикам — 3391. Пограничные объекты вблизи порога классификации Δχ² = 0.4: NGC4013 (Δχ² = 0.373, LOCK_OK) и UGC06917 (Δχ² = 0.466, LOCK_SOFT) (см. раздел 6.4). Все числовые результаты контрольного расчёта v4.1 (таблица Е.1, бенчмарк раздела 6.4, вердикты в аннотации и выводах) получены в квадратичной конвенции V²_gas (GAS_SIGNED = False листинга Приложения А); основная знаковая конвенция sign(V_gas)·V²_gas и её влияние описаны в разделе 6.1.