Расчет характеристик ядер нуклидов: от легких до сверхтяжелых

УДК: 539. 142:539.143 РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК ЯДЕР НУКЛИДОВ : ОТ ЛЕГКИХ ДО СВЕРХТЯЖЕЛЫХ А.Н. Зарубин ООО Научно - производственное объединение ‘‘Центротех’’ 624130, Россия, Свердловская обл., Новоуральск e-mail: zarubin44@mail.ru Аннотация — Актуальность и цели . Представлены характеристические соотношения и параметри- ческие выражения для расчета основных характеристик (удельной энергии связи, объемной и численной плотности конфигурационной упаковки нуклонов, радиуса объема атомного ядра и соответствующего ра- диуса ячейки Вигнера - Зейтца, давления компактизации и уравнения состояния ядерной материи) ядер 1701 нуклида — от легких до сверхтяжелых. Материалы и методы . Подробное описание вывода парамет- рических выражений и условий для выделения первого класса эквивалентности, состоящего из 1701 нук- лида , приводятся в работе «Унифицированная математическая модель сферических атомных ядер», про- должением которой и является представленная работа. Расчет характеристик атомных ядер производится по значениям определяющего параметра — показателя эффективности нуклонов в атомном ядре. Резуль- таты . В данной работе приводится характеристическое соотношение в виде гладкой эмпирической кор- реляции для расчета значений показателя эффективности нуклонов в атомном ядре в зависимости от ко- личества нейтронов и протонов в его составе. В результате подстановки характеристического соотноше- ния в параметрические выражения получаются аналитические формулы для расчета значений основных характеристик ядер 1701 нуклида из первого класса эквивалентности. Сделан прогноз о существовании нейтронного аналога α - частицы в виде кластера из 99 нейтронов, показатель эффективности которых прак- тически не отличим от показателя эффективности нуклонов в α - частице. Выводы . Универсальность и адек- ватность аналитических формул вполне соответствует уровню универсальности и адекватности физиче- ских законов. Например, усреднённые значения удельной энергии связи атомных ядер по 1701 нуклиду вычисляются с абсолютной погрешностью 10.6482 КэВ и средней относительной погрешностью 0.1342% , что фактически очень близко к погрешности экспериментального измерения их энергии связи . Все расчеты в данной работе проводятся с использованием системы аналитических вычислений свободного программ- ного обеспечения Maxima. Ключевые слова : структура ядра, конфигурационная упаковка, давление компактизации, уравнение состояния, энергия связи, карта нуклидов, ядерная материя UDC: 539.142:539.143 Calculation of Nuclear Properties of Nuclides: From Light to Superheavy A.N. Zarubin CentroTech Research and Prodaction Association LLC Novouralsk, Sverdlovsk Reg., 624130, Russia e-mail: zarubin44@mail.ru Abstract — Background . Characteristic relations and parametric expressions are presented for calculating the fundamental properties of 1701 nuclides (ranging from light to superheavy nuclei), including specific binding energy, volumetric and numerical density of nucleon configurational packing, atomic nucleus volume radius and the corresponding Wigner-Seitz cell radius, compactization pressure, and the equation of state for nuclear matter. Materials and methods. A detailed derivation of the parametric expressions and the conditions for identifying the first equivalence class, comprising 1701 nuclides, is provided in the paper "A Unified Mathematical Model for Spherical Atomic Nuclei," of which the present work is a continuation. The calculation of atomic nucleus charac- teristics is performed based on the values of a defining parameter: the nucleon efficiency index within the atomic nucleus. Results. This paper presents a characteristic relation in the form of a smooth empirical correlation for calculating the nucleon efficiency index in an atomic nucleus as a function of the number of neutrons and protons. By substituting this characteristic relation into the parametric expressions, analytical formulas are derived to cal- culate the fundamental characteristics of the 1701 nuclides belonging to the first equivalence class. A prediction is made regarding the existence of a neutron analogue of the α -particle in the form of a 99-neutron cluster, whose efficiency index is virtually indistinguishable from that of nucleons in the α -particle. Conclusions. The universality and adequacy of the analytical formulas are consistent with the level of universality and adequacy of physical laws. For instance, the averaged values of the specific binding energy for the 1701 nuclides are calculated with an abso- lute error of 10.6482 KeV and a mean relative error of 0.1342%, which is remarkably close to the experimental measurement error of their binding energy. All calculations in this work were performed using the open-source computer algebra system Maxima. Keywords: nucleus structure, nucleon packing, compaction pressure, equation of state, binding energy, nu- clide chart, nuclear matter ВВЕДЕНИЕ Унифицированный расчет и прогноз значений характеристик атомных ядер от самых легких до сверхтяжелых нуклидов — актуальная задача ядерной физики. Такая задача особенно востре- бована в настоящее время в связи с обширными исследования как в области сверхтяжелых нук- лидов, так и в области радиоактивных ядер - изобар вдали от линии стабильности [1-8]. Общепринятые теоретические подходы к объяснению структуры атомных ядер и расчету значений их характеристик основываются на гипотетических силах сильного взаимодействия, действующих между нуклонами [ 9; 10]. Современный анализ теоретических подходов к расчету основных характеристик атомных ядер дается в [ 11 ]. Согласно проведенному в [ 11 ] анализу , про- блема теоретического описания структуры и расчета значений основных характеристик атомных ядер по всей карте нуклидов ( от самых легких до сверхтяжелых ) в настоящее время далека от ее решения. Отсутствие адекватного выражения для расчета сильного взаимодействия, справедливого на всей карте нуклидов, способствовало развитию модельного подхода к расчету характеристик атомных ядер. Появление многочисленных математических моделей структуры атомных ядер опиралось на экспериментально выявленные особенности их характеристик, таких как энергия связи, геометрические размеры, объемная и численная плотность заполнения, период полурас- пада и т.п. Использование модельного подхода позволило провести достаточно точные вычисле- ния значений различных характеристик атомных ядер, но только на локальных областях карты нуклидов [12; 13] . Подробный анализ достоинств и недостатков известных в настоящее время математических моделей структуры атомных ядер (капельно - жидкостной модели, оболочечной модели, обобщенной модели, кластерной модели, решетчатой модели и т.д.) приводится в [ 14; 15]. Важнейшей характеристикой атомных ядер, получаемой на основе измерения их масс, вы- ступает энергия связи ядра B(N, Z): [формула] ([формула] , [формула] ) = [[формула] ∙ [формула] + [формула] ∙ [формула] − [формула] ([формула] , [формула] )][формула] 2 , где [формула] , [формула] , [формула] ([формула] , [формула] ) — масса протона, нейтрона и атомного ядра, состоящего из Z протонов и N нейтронов; с — скорость света. В настоящее время наиболее известным соотношением для расчета значений энергии связи атомных ядер является полуэмпирическая формула Вайцзеккера - Бете [9; 10] , полученная на ос- нове капельно - жидкостной модели: [формула] ([формула] , [формула] ) = [формула] vol ∙ [формула] − [формула] surf ∙ [формула] 2 3 ⁄ − [формула] coul [формула] ([формула] −1) [формула] 1 3 ⁄ − [формула] sym ([формула] −[формула] ) 2 [формула] + [формула] pair 1−[формула] ([формула] ,2)−[формула] ([формула] ,2) [формула] 3 4 ⁄ , где a vol —коэффициент объемной энергии; a surf —коэффициент поверхностной энергии; a coul — коэффициент кулоновской энергии; a sym —коэффициент энергии симметрии состава ядра; a pair — коэффициент энергии разрыва нуклонной пары; mod(x, 2) —число x по модулю 2; A=Z+N — массовое число ядра; Z —число протонов в ядре; N —число нейтронов в ядре. Согласно предложенной в [1 6] математической модели, значение энергии связи атомного ядра пропорционально значению кулоновской энергии отталкивания двух шаров, каждый из ко- торых содержит половину количества протонов атомного ядра. Утверждается, что полученная модель для оценки энергии связи атомных ядер является адекватной и в целом более точной, чем полуэмпирическая формула Вайцзеккера - Бете. Для 165 нуклидов с массовыми числами от А=24 до А=254 среднее значение модуля относительного отклонения энергии связи атомных ядер со- ставило 0.84% (для полуэмпирической формулы Вайцзеккера - Бете в этом случае получилось 1.067%). Зависимость энергии связи атомного ядра не только от заряда ядра и числа нейтронов, но и от деформации его объема учтена в модели FRDM [17 ]. С помощью известных эксперименталь- ных значений масс атомных ядер определялись значения 10 независимых параметров модели FRDM . Среднее по 2194 ядрам нуклидов ( от 16 О до 264 108 Hs) значение погрешности расчета масс ядер составило 0.56 МэВ, причем для ядер нуклидов с числом нейтронов более 64 погрешность расчета получилась 0.35 МэВ. За последние десять лет было предпринято большое число попыток использовать статисти- ческие методы искусственного интеллекта и машинного обучения (ИИ&МО) для прямого про- гнозирования значений различных характеристик атомных ядер. Однако из - за скудного обучаю- щего набора данных результаты экстраполирования методами ИИ&МО как правило плохо со- гласуются со значениями характеристик атомных ядер, полученными экспериментально. Более перспективным оказалось использование методов ИИ&МО либо для обучения большого числа искусственных нейронных сетей с последующим отбором наиболее успешных [18] , либо для корректировки результатов работы имеющихся в настоящее время математических моделей атомных ядер [19]. Прямое математическое моделирование значений характеристик нуклидов в зависимости от количества нейтронов и протонов в составе их ядер сдерживается, в частности, эффектом появ- ления скачков в значениях характеристик ядер нуклидов при небольшом изменении их массового числа. Однако было обнаружено, что эффект появления скачков в значениях характеристик атом- ных ядер частично компенсируется после перехода к так называемой остаточной энергии нейтрон - протонного взаимодействия за счет учета четности - нечетности чисел протонов и нейтронов в атомном ядре: Δ 4 (N,Z) = B(N,Z) – B(N-1,Z) – B(N,Z-1) + B(N-1,Z-1); Δ 2 (N,Z) = B(N,Z) – B(N-2,Z) — для четно - четных нуклидов. Значения остаточной энергии нейтрон - протонного взаимодействия вычисляются для всего массива нуклидов по известным значениям энергии связи B(N,Z). В работе [ 20 ] остаточное нейтрон - протонное взаимодействие Δ 4 (N,Z ) использовалось для расчета значений энергии связи ядер изотопов с количеством протонов от Z =107 до Z =110 и ко- личеством нейтронов от N =152 до N =161. Утверждается, что качество предсказаний по методу локальных массовых соотношений Δ 4 (N,Z ) сравнимо с погрешностью расчетов в AME 2016 на уровне ~150 КэВ. В работе [ 21 ] проведено статистическое исследование поведения Δ 4 (N,Z ) для 2498 атомных ядер и получены байесовские оценки Δ 4 (N,Z ) как функции от массового числа атомных ядер. Число параметров в полученной статистической модели равнялось 476, что позволило рассчи- тать таблицу масс ядер, у которых массовое число A > 20. Результаты прогнозирования значений массы ядер с использованием Δ 4 (N,Z ) оказались не хуже, чем результаты аналогичных расчетов по более сложным теоретическим моделям. Среднеквадратическая ошибка предсказания значе- ния массы 65 проверочных ядер нуклидов изменялась от 361.9 до 367.5 КэВ в зависимости от набора обучающих ядер нуклидов. В работе [ 22 ] проведено статистическое исследование поведения Δ 2 (N,Z ) для 2644 четно - четных атомных ядер с использованием байесовской модели смешивания восьми моделей, полу- ченных на основе аксиально - симметричных решений уравнения Хартри - Фока - Боголюбова с псевдопотенциалом Скирма. Было задействовано четыре типа модели байесовского смешивания. Таблицы масс ядер нуклидов были вычислены для всех четно - четных ядер, когда их зарядовое число изменялось от Z =2 до Z =120. Среднеквадратическая ошибка вычисления значений массы 624 проверочных четно - четных ядер составила около 500 КэВ. В работе [ 23 ] представлена математическая модель, предназначенная для расчета и прогноза значений основных характеристик как атомных ядер, так и бесконечной ядерной материи. Про- веден расчет характеристик атомных ядер 3149 нуклидов с максимальным значением массового числа A max =292 . Расчет проведен с использованием показателя эффективности нуклонов, значе- ния которого определялись по экспериментальным данным удельной энергии связи атомных ядер. Введение в расчеты значений показателя эффективности нуклонов позволило исключить влияние взаимодействия между нуклонами и получить параметрические выражения для расчета значений основных характеристик атомных ядер. Параметрические выражения для расчета и прогноза значений основных характеристик атомных ядер выглядят следующим образом [ 23]: [формула] = [формула] α [формула] ∙[формула] α ∙[формула] α ( [формула] α [формула] ) 3 — параметрическое выражение для расчета объемной плотности конфигура- ционной упаковки нуклонов в атомном ядре; [формула] = [формула] α ( [формула] ∙[формула] α ∙[формула] α ( [формула] α [формула] ) 3 ) 2 — параметрическое выражение для расчета удельной энергии связи атом- ного ядра, МэВ/нуклон; [формула] 0 = [формула] 0α [формула] α ( [формула] α ∙[формула] α [формула] ∙[формула] ) 1 3 ⁄ — параметрическое выражение для расчета радиуса ячейки Вигнера - Зей- тца в атомном ядре, фм; [формула] = [формула] α ( [формула] ∙[формула] α ∙[формула] ( [формула] α [формула] ) 3 ) 3 = [формула] α ( [формула] ) 3 = [формула] α ( [формула] 0[формула] 0 ) 9 — параметрическое выражение для расчета давле- ния компактизации нуклонов в объеме атомного ядра (уравнение состояния ядерной материи), МэВ/фм 3 ; [формула] = 3 4[формула] ∙[формула] 0 3 = [формула] ∙[формула] ∙[формула] ( [формула] ) 3 — параметрическое выражение для расчета численной плотности конфигурационной упаковки нуклонов в атомном ядре, фм -3 ; [формула] = [формула] 0 ∙ [формула] 1 3 ⁄ = [формула] ( [формула] ) 1 3 ⁄ — параметрическое выражение для расчета радиуса объема атом- ного ядра, полученное на основе эмпирической корреляции Р. Хофстадтера [2 4], фм ; A — массовое число атомного ядра; [формула] — показатель эффективности нуклонов в атомном ядре (определяющий параметр атомного ядра); [формула] = [формула] 0 ∙([формула] ∙[формула] ) 1 3 ⁄ [формула] p — индекс эффективного размера атомного ядра; [формула] p = 0.84075 ± 0.00064 фм — среднеквадратичное значение зарядового радиуса протона [ 25]; [формула] = 4 — массовое число α - частицы; [формула] α = 1 — показатель эффективности нукло- нов в α - частице; [формула] α = 2.1547 — индекс эффективного размера α - частицы; [формула] α = 7.073916 МэВ/ нуклон — удельная энергия связи нуклонов в α - частице, измеренная с погрешностью <0.5 эВ [26]; [формула] α = [формула] α ∙[формула] α [формула] 3 = 0.39985196 — объемная плотность конфигурационной упаковки нуклонов в α - частице; [формула] 0α = [формула] ∙[формула] ([формула] α ∙[формула] ) 1 3 ⁄ = 1.1412138 фм — радиус ячейки Вигнера - Зейтца для α - частицы; [формула] = 3 4[формула] ∙[формула] 0[формула] 3 = 0.160624 фм −3 — численная плотность конфигурационной упаковки нуклонов в α - частице; [формула] α = [формула] ∙ [формула] = 1.136241 МэВ/фм 3 — давление компактизации нуклонов в α - частице; [формула] α = [формула] p ∙[формула] α [формула] α 1 3 ⁄ = 1.811564 фм — радиус объема α - частицы. Цель данной работы — продолжить работу, начатую в [23] , и представить характеристиче- ское соотношение и параметрические выражения для проведения расчета основных характери- стик атомных ядер 1701 нуклида из первого класса эквивалентности, расположенных на карте нуклидов от области самых легких до области сверхтяжелых нуклидов, Рис. 1. Рис. 1 Местоположение атомных ядер 1701 нуклида из первого класса эквивалентности на карте нукли- дов (1 — область β + - нестабильных нуклидов; 2 — область β - - нестабильных нуклидов; 3 — нуклиды с максимальным значением удельной энергии связи; 4 — линия стабильности из полуэмпирической фор- мулы Вайцзеккера - Бете Z=A/(1.98+0.015A 2/3 )) Характеристическое соотношение для нуклонов в ядрах нуклидов из первого класса эквивалентности В рамках унифицированной математической модели сферических атомных ядер все нук- лиды из первого класса эквивалентности имеют одинаковое значение индекса их эффективных размеров, равное [формула] = 1 [23 ]. Значения радиуса ячейки Вигнера - Зейтца для атомных ядер опре- деляются после подстановки экспериментальных значений удельной энергии связи [27] в следу- ющее параметрическое выражение [23]: [формула] 0 = [формула] 0[формула] ( [формула] ) 1 6 ⁄ , где [формула] 0max = [формула] p [формула] max 1 3 ⁄ = 0.96242 фм — радиус ячейки Вигнера - Зейтца для бесконечной нуклонной ядер- ной материи [23]; [формула] max = 2 3 — значение объемной плотности конфигурационной упаковки нуклонов в бесконечной нуклонной ядерной материи [23]; [формула] max = [формула] α ( [формула] max ∙  α 3 [формула] α ∙[формула] α ) 2 = 19.66429 МэВ/нуклон — удельная энергия связи бесконечной нуклон- ной ядерной материи [23]. Согласно определению показателя эффективности нуклонов (ξ) ядро нуклида с массовым числом А в среднем имеет ξ· A эффективных нуклонов, для которых условие конфигурационной упаковки по Z- алгоритму выглядит следующим образом [ 23]: [формула] ([формула] ) = [формула] ∙ [формула] , где (1) [формула] ([формула] ) = { 0, если [формула] < 1 1, если 1 ≤ [формула] < 2 1+∑ [формула] j ([формула] ), если [формула] −1−2[формула] max <1 [формула] −1 [формула] =0 ∑ [формула] j ([формула] j ), если [формула] −1−2[формула] max ≥1 [формула] =0 — суммарное число нуклонов в сферическом атомном ядре с индексом эффективного размера [формула] ; [формула] j ([формула] ) = ⌊2[формула] j 2 (1 + √1 − [формула] j −2 )⌋ — максимальное число нуклонов в j - ом слое атомного ядра; [формула] j = [формула] − 1 − 2[формула] , [формула] = 0, … [формула] max ; [формула] max = ⌊([формула] − 1)/2⌋ — максимальное значение номера слоя нуклонов в атомном ядре с индек- сом эффективного размера [формула] ; ⌊х⌋ — целочисленная часть числа х. Поиск значений показателя эффективности нуклонов ξ производится методом дихотомии с помощью функции find-root из системы аналитических вычислений СПО Maxima с постоянным начальным интервалом поиска [10 -5 ; 2]. Выбор метода дихотомии для поиска ξ, значение кото- рого минимизирует невязку уравнения (1), объясняется тем, что ступенчатую функцию [формула] ([формула] ) невозможно продифференцировать. Результаты поиска значений показателя эффективности нуклонов в ядрах 1701 нуклида из первого класса эквивалентности приводятся на Рис. 2. Гладкая зависимость расчетных значений показателя эффективности нуклонов в ядрах нуклидов из первого класса эквивалентности от со- ответствующих значений их массового числа аппроксимировалась следующим наиболее адек- ватным характеристическим соотношением [формула] = [формула] + [формула] + [формула] 2 + [формула] 3 + [формула] 4 + [формула] 5 . (2) Соответствующие значения параметров характеристического соотношения (2) и значения критериев качества аппроксимации расчетных данных представлены в Табл.1. Сравнение значе- ний показателя эффективности нуклонов в ядрах 1701 нуклида из первого класса эквивалентно- сти с результатами расчетов по характеристическому соотношению (2) выявило, что максималь- ный уровень отклонения в области легких нуклидов менее 3%, Рис. 3. Рис. 2 Значения показателя эффективности нуклонов в ядрах 1701 нуклида из первого класса эквивалент- ности в зависимости от их массового числа 0 100 200 300 A 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025  0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025  Рис. 3 Относительное отклонение показателя эффективности нуклонов ядер 1701 нуклида из первого класса эквивалентности ξ exp от аналогичных результатов ξ calc , рассчитанных по характеристическому со- отношению (2) Таблица 1. Критерии качества отображения зависимости значений показателя эффективности нуклонов в ядрах нуклидов из первого класса эквивалентности наиболее адекватной математической моделью №6503 по каталогу программы Table Curve 2d: [формула] = [формула] + [формула] + [формула] 2 + [формула] 3 + [формула] 4 + [формула] 5 Коэффициент детермина- ции Скорректиро- ванный коэф- фициент де- терминации Стандартная ошибка Критерий Фишера 0.9996668634 0.9996656835 2.28609e-05 1017261.6928 Параметры модели Параметр Значение пара- метра Ошибка t- критерий Доверительные пределы 99.9% a -0.00014116 6.71845e-06 -21.0114405 -0.00016331 -0.00011902 b 0.434729525 0.002380813 182.5971236 0.426881712 0.442577338 c 3.881765184 0.261791030 14.82772419 3.018829917 4.744700451 d -251.980472 10.09159976 -24.9693287 -285.245161 -218.715782 e 2463.574584 101.0183461 24.38739772 2130.590319 2796.558849 f -6919.85865 295.6114391 -23.4086295 -7894.27529 -5945.44201 Дисперсионный анализ Источник из- менчивости Сумма квадра- тов Степени сво- боды Средний квад- рат Критерий Фишера Фактор 0.0026582239 5 0.00053164479 1.01726e+06 Ошибка 8.858467e-07 1695 5.2262342e-10 Сумма 0.0026591098 1700 Дальнейшее повышение точности аппроксимации значений показателя эффективности нук- лонов ядер 1701 нуклида из первого класса эквивалентности достигается за счет увеличения числа независимых факторов в характеристическом соотношении за счет перехода от массовых чисел (А) к числу протонов ( Z ) и числу нейтронов ( N ) в составе этих ядер. Найдено, что наиболее точной аппроксимацией среди эмпирических корреляций с 10 параметрами оказалось следую- щее выражение [формула] = √[формула] ([формула] ,[формула] ) [формула] +[формула] , где (4) [формула] ([формула] , [формула] ) = [формула] + [формула] ∙ ln([формула] ) + [формула] ∙ [формула] ([формула] ) + [формула] ∙ [формула] ([формула] ) 2 + [формула] ∙ [формула] ([формула] ) 2 + [формула] ∙ [формула] ([формула] ) ∙ [формула] ([формула] ) + [формула] ∙ [формула] ([формула] ) 3 + ℎ ∙ [формула] ([формула] ) 3 + [формула] ∙ [формула] ([формула] ) 2 ∙ [формула] ([формула] ) + [формула] ∙ [формула] ([формула] ) ∙ [формула] ([формула] ) 2 . Соответствующие значения параметров характеристического соотношения (4) и значения критериев качества аппроксимации расчетных данных представлены в Табл. 2. Графическое отображение зависимости значений показателя эффективности нуклонов в ядрах нуклидов из первого класса эквивалентности от числа нейтронов и числа протонов в их составе приводится на Рис. 4. На Рис. 5 приводятся значения относительного отклонения показателя эффективности нук- лонов ядер 1701 нуклида из первого класса эквивалентности ξ exp от аналогичных результатов ξ calc , рассчитанных по характеристическому соотношению (4). Рис. 4 Показатель эффективности нуклонов в ядрах 1701 нуклида из первого класса эквивалентности Рис. 5 Относительное отклонение показателя эффективности нуклонов ядер 1701 нуклида из первого класса эквивалентности ξ exp от аналогичных результатов ξ calc , рассчитанных по характеристическому со- отношению (4) Таблица 2. Критерии качества отображения зависимости значений показателя эффективности нуклонов в ядрах нуклидов из первого класса эквивалентности наиболее точной эмпирической корреляцией с 10 па- раметрами, найденными с помощью программы Table Curve 3d Коэффициент детермина- ции Скорректиро- ванный коэф- фициент де- терминации Стандартная ошибка Критерий Фишера 0.9999907747 0.9999907201 3.80878e-06 2.036653e+07 Параметры модели Параметр Значение пара- метра Ошибка t- критерий Доверительные пределы 95% a 0.029237694 0.009596287 3.046771505 0.010415845 0.048059542 b 0.029237694 0.002007351 18.94375457 0.034089612 0.041963919 c 0.029237694 0.007263963 6.397683291 0.032225233 0.060719842 d 0.029237694 0.004214212 -10.6783031 -0.05326625 -0.03673501 e 0.029237694 0.002845748 -21.6609058 -0.06722304 -0.05605992 f 0.029237694 0.008069359 12.47591845 0.084845681 0.116499643 g 0.029237694 0.000993415 -43.8908445 -0.04555029 -0.04165339 h 0.029237694 0.001632702 11.36716267 0.015356857 0.021761515 i 0.029237694 0.003813798 25.14760015 0.088427615 0.103388138 j 0.029237694 0.004549475 -15.8886649 -0.08120828 -0.06336189 Дисперсионный анализ Источник из- менчивости Сумма квадра- тов Число сте- пени сво- боды Средний квад- рат Критерий Фишера Фактор 0.0026590852 9 0.00029545392 2.036653e+07 Ошибка 2.4531064e-08 1691 1.4506839e-11 Сумма 0.0026591098 1700 Определение значений параметров характеристического соотношения (4) производится с использованием автоматического смещения числа нейтронов и числа протонов за счет прибав- ления к ним машинного нуля ( [формула] 0 = 10 −32 ), что позволяет исключить появление ошибки из - за передачи нуля в логарифмическую функцию. Дальнейшее уменьшение значения [формула] 0 не изменяет вид функции и значения параметров характеристического соотношения (4). Вид функции и зна- чения параметров характеристического соотношения (4) оказались таковы, что появилась воз- можность исследования значений показателя эффективности различных нейтронных кластеров при отсутствии в их составе протонов. Появление хотя бы одного протона в составе нейтронного кластера резко снижает значение показателя эффективности нуклонов, Рис. 4. Характеристиче- ское соотношение (4) исключает существование кластеров, состоящих только из протонов. Согласно Рис. 4 можно спрогнозировать существование нейтронного аналога α - частицы ( [формула] α = 1 ) в виде экстремального нейтронного кластера из 99 нейтронов с показателем эффектив- ности близкого к единице [формула] = 0.99422551 . Увеличение числа нейтронов в составе нейтронного кластера более 99 приводит к постепенному снижению значения показателя эффективности нук- лонов, Рис. 4 . Согласно параметрическим выражениям, экстремальный нейтронный кластер, со- стоящий из [формула] = 99 нейтронов, [формула] = 0 протонов и [формула] = 99 нуклонов, имеет следующие значе- ния его характеристик: [формула] = [формула] α ( [формула] ∙[формула] α ∙[формула] α ( [формула] α [формула] ) 3 ) 2 = 4.28648 ∙ 10 5 МэВ нуклон — удельная энергия связи экстремального нейтронного кластера ; [формула] 0n = [формула] 0α [формула] α ( [формула] α ∙[формула] α [формула] ∙[формула] ) 1 3 ⁄ = 0.1820931 фм — радиус ячейки Вигнера - Зейтца в экстремальном нейтронном кластере ; [формула] = [формула] α ( [формула] ∙[формула] α ∙[формула] ( [формула] α [формула] ) 3 ) 3 = 1.694853 ∙ 10 7 МэВ фм 3 — давление компактизации нуклонов в объеме экстремального нейтронного кластера; [формула] = [формула] 0n ∙ [формула] 1 3 ⁄ = 0.84237454 фм — радиус объема экстремального нейтронного кластера . Экстремальное значение давления компактизации [формула] сжало кластер из 99 нейтронов до раз- мера одного нуклона, что не позволяет использовать параметрические выражения для расчета объемной и численной плотности конфигурационной упаковки нейтронов в объеме экстремаль- ного кластера. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК ЯДЕР НУКЛИДОВ ИЗ ПЕРВОГО КЛАССА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ Расчет значений основных характеристик ядер 1701 нуклида из первого класса эквивалент- ности становится возможным после подстановки характеристического соотношения (4) в соот- ветствующие параметрические выражения, полученные в рамках унифицированной математи- ческой модели сферических атомных ядер. Выражение для расчета значений удельной энергии связи (МэВ/нуклон) ядер 1701 нуклида из первого класса эквивалентности получается из следующего параметрического соотношения [23]: [формула] = [формула] [ [формула] ∙[формула] ∙[формула] ( [формула] ) 3 ] 2 = [формула] 6 [формула] ([формула] , [формула] ) , где (5) [формула] = [формула] [ [формула] 3 [формула] ∙[формула] ] 2 = 44.2447 МэВ/нуклон — предельное значение удельной энергии связи бес- конечной кварк - глюонной материи [ 23]. На Рис. 6 приводятся значения относительного отклонения экспериментальных значений удельной энергии связи ядер 1701 нуклида из первого класса эквивалентности ε exp от аналогич- ных результатов ε calc , рассчитанных по соотношению (5). Изолинии с постоянным значением удельной энергии связи атомных ядер нуклидов из первого класса эквивалентности приводятся на Рис. 7. Рис. 6 Относительное отклонение экспериментальных значений удельной энергии связи ядер 1701 нук- лида из первого класса эквивалентности ε exp от аналогичных результатов ε calc , рассчитанных по соотно- шению (5) Рис. 7 Контурный график удельной энергии связи атомных ядер на карте нуклидов с указанием местопо- ложения 1701 нуклида из первого класса эквивалентности ( a — область β + - нестабильных нуклидов; b — область β - - нестабильных нуклидов; c — нуклиды с максимальным значением удельной энергии связи (хребетная линия) ; d — линия стабильности из полуэмпирической формулы Вайцзеккера - Бете Z=A/(1.98+0.015A 2/3 ) ; числа от 7.064 до 8.532 — обозначают изолинии с соответствующим постоянным значением ε, МэВ/нуклон ) Оценка точности расчета значений удельной энергии связи ядер 1701 нуклида из первого класса эквивалентности производится с помощью следующих показателей: нижней (∆ − ) и верхней (∆ + ) границ диапазона изменения погрешности расчета характери- стики атомного ядра ∆ − = min [формула] 1 ([формула] − [формула] ) и ∆ + = max [формула] 1 ([формула] − [формула] ) , где [формула] 1 — множество нуклидов из первого класса эквивалентности и [формула] , y — соответствующие экспериментально измеренные и расчетные значения характеристики атомного ядра; среднего значения абсолютной 〈∆ [формула] 〉 и среднего значения относительной 〈[формула] 〉 погрешности рас- чета удельной энергии связи по всем 1701 нуклидам из первого класса эквивалентности 〈∆ [формула] 〉 = 1 1701 ∑ |[формула] − [формула] | [формула] 1 и 〈[формула] 〉 = 100% 1701 ∑ |[формула] −[формула] | [формула] 1 . В случае соотношения (5) получились следующие показатели оценки точности расчета удельной энергии связи ядер нуклидов из первого класса эквивалентности: ∆ − = −63.9294 КэВ нуклон ; ∆ + = 107.5262 КэВ нуклон ; 〈∆ [формула] 〉 = 10.6482 КэВ нуклон ; 〈[формула] 〉 = 0.1342% . Выражение для расчета значений объемной плотности конфигурационной упаковки нукло- нов в ядрах 1701 нуклида из первого класса эквивалентности получается из следующего пара- метрического соотношения [23] [формула] = [формула] α [формула] ∙[формула] α ∙[формула] α ( [формула] α [формула] ) 3 = √[формула] ([формула] ,[формула] ) [формула] 3 . (6) На Рис. 8 приводятся значения относительного отклонения значений объемной плотности конфигурационной упаковки нуклонов в ядрах 1701 нуклида из первого класса эквивалентности σ exp от аналогичных результатов σ calc , рассчитанных по соотношению (6). Изолинии с постоян- ным значением объемной плотности конфигурационной упаковки нуклонов в атомных ядрах нуклидов из первого класса эквивалентности приводятся на Рис. 9. Рис. 8 Относительное отклонение значений объемной плотности конфигурационной упаковки нуклонов в ядрах 1701 нуклида из первого класса эквивалентности σ exp от аналогичных результатов σ calc , рассчи- танных по соотношению (6) Рис. 9 Контурный график объемной плотности конфигурационной упаковки нуклонов в атомных ядрах на карте нуклидов с указанием местоположения 1701 нуклида из первого класса эквивалентности ( a — область β + - нестабильных нуклидов; b — область β - - нестабильных нуклидов; c — нуклиды с максималь- ным значением удельной энергии связи (хребетная линия) ; d — линия стабильности из полуэмпириче- ской формулы Вайцзеккера - Бете Z=A/(1.98+0.015A 2/3 ) ; числа от 0. 3957 до 0.442 — обозначают изолинии с соответствующим постоянным значением σ , доля объема атомного ядра ) Выражение для расчета значений радиуса ячейки Вигнера_Зейтца в ядрах 1701 нуклида из первого класса эквивалентности получается из следующего параметрического соотношения [23] [формула] 0 = [формула] 0α [формула] α ( [формула] α ∙[формула] α [формула] ∙[формула] ) 1 3 ⁄ = [формула] ([формула] ,[формула] ) 1 6 ⁄ . (7) На Рис. 10 приводятся значения относительного отклонения значений радиуса ячейки Вигнера - Зейтца в ядрах 1701 нуклида из первого класса эквивалентности r 0exp от аналогичных результатов r 0calc , рассчитанных по соотношению ( 7). Изолинии с постоянным значением радиуса ячейки Вигнера - Зейтца в атомных ядрах нуклидов из первого класса эквивалентности приво- дятся на Рис. 1 1. Рис. 10 Относительное отклонение значений радиуса ячейки Вигнера - Зейтца в ядрах 1701 нуклида из первого класса эквивалентности r 0exp от аналогичных результатов r 0calc , рассчитанных по соотношению (7) Рис. 11 Контурный график радиуса ячейки Вигнера - Зетца в атомных ядрах на карте нуклидов с указа- нием местоположения 1701 нуклида из первого класса эквивалентности ( a — область β + - нестабильных нуклидов; b — область β - - нестабильных нуклидов; c — нуклиды с максимальным значением удельной энергии связи (хребетная линия) ; d — линия стабильности из полуэмпирической формулы Вайцзеккера - Бете Z=A/(1.98+0.015A 2/3 ) ; числа от 1.1 06 до 1. 146 — обозначают изолинии с соответствующим постоян- ным значением r 0 , фм ) Выражение для расчета значений давления компактизации в ядрах 1701 нуклида из первого класса эквивалентности получается из следующего параметрического соотношения [23] [формула] = [формула] α ( [формула] ∙[формула] α ∙[формула] ( [формула] α [формула] ) 3 ) 3 = [формула] 9 [формула] ([формула] , [формула] ) 3 2 ⁄ , где (8) [формула] = [формула] α ( [формула] α 3 [формула] α ∙[формула] ) 3 = 17.7735 МэВ/фм 3 — предельное значение давления компактизации в бес- конечной кварк - глюонной материи [23]. На Рис. 12 приводятся значения относительного отклонения давления компактизации в яд- рах 1701 нуклида из первого класса эквивалентности P exp от аналогичных результатов P calc , рас- считанных по соотношению ( 8). Изолинии с постоянным значением давления компактизации в атомных ядрах нуклидов из первого класса эквивалентности приводятся на Рис. 1 3. Рис.1 2 Относительное отклонение значений давления компактизации в ядрах 1701 нуклида из первого класса эквивалентности P exp от аналогичных результатов P calc , рассчитанных по соотношению (8) Рис. 13 Контурный график давления компактизации в атомных ядрах на карте нуклидов с указанием ме- стоположения 1701 нуклида из первого класса эквивалентности ( a — область β + - нестабильных нукли- дов; b — область β - - нестабильных нуклидов; c — нуклиды с максимальным значением удельной энергии связи (хребетная линия) ; d — линия стабильности из полуэмпирической формулы Вайцзеккера - Бете Z=A/(1.98+0.015A 2/3 ) ; числа от 1.142 до 1. 425 — обозначают изолинии с соответствующим постоянным значением P , МэВ/фм 3 ) Выражение для расчета значений радиуса объема ядер 1701 нуклида из первого класса эк- вивалентности получается из следующего параметрического соотношения [23] [формула] = [формула] ( [формула] ) 1 3 ⁄ = [формула] ∙ [формула] [ [формула] +[формула] √[формула] ([формула] ,[формула] ) ] 1 3 ⁄ . (9) На Рис.1 4 приводятся значения относительного отклонения радиуса объема ядер 1701 нук- лида из первого класса эквивалентности R exp от аналогичных результатов R calc , рассчитанных по соотношению ( 9). Изолинии с постоянным значением радиуса объема атомных ядер нуклидов из первого класса эквивалентности приводятся на Рис. 1 5. Рис.1 4 Относительное отклонение значений радиуса объема ядер 1701 нуклида из первого класса эквива- лентности R exp от аналогичных результатов R calc , рассчитанных по соотношению (9) Рис. 15 Контурный график радиуса объема атомных ядер на карте нуклидов с указанием местоположения 1701 нуклида из первого класса эквивалентности ( a — область β + - нестабильных нуклидов; b — область β - - нестабильных нуклидов; c — нуклиды с максимальным значением удельной энергии связи (хребетная линия) ; d — линия стабильности из полуэмпирической формулы Вайцзеккера - Бете Z=A/(1.98+0.015A 2/3 ); числа от 4.643 до 7.56 3 — обозначают изолинии с соответствующим постоянным значением R , фм) ЗАКЛЮЧЕНИЕ В работе представлено характеристическое соотношение в виде двумерного кубического полинома в логарифмических координатах от числа протонов и числа нейтронов в составе ядер 170 1 нуклида, определенных ранее в [23 ] как первый из восьми классов эквивалентности. Нук- лиды из первого класса эквивалентности располагаются на карте нуклидов от области самых легких до области сверхтяжелых нуклидов. Характеристическое соотношение служит для вы- числения значений определяющего параметра (показателя эффективности нуклонов в атомных ядрах) с коэффициентом детерминации 0. 99999077 и относительной погрешностью не более 0.75%. Подстановка характеристического соотношения в параметрические выражения, получен- ные ранее в рамках унифицированной математической модели сферических атомных ядер [ 23], позволила в данной работе получить аналитические соотношения для расчета с высокой степе- нью точности основных характеристик ядер 1701 нуклида — удельной энергии связи, объемной и численной плотности конфигурационной упаковки нуклонов, радиуса объема атомных ядер и соответствующего радиуса ячейки Вигнера - Зейтца, давления компактизации и уравнения состо- яния ядерной материи. Например, среднее значение абсолютной погрешности расчета удельной энергии связи ядер 1701 нуклида, от самых легких до сверхтяжелых, равно 10.6482 КэВ при сред- нем значении относительной погрешности 0.1342%. Найденная в данной работе степень согла- сованности результатов расчета значений основных характеристик ядер 1701 нуклида из первого класса эквивалентности со значениями аналогичных экспериментальных данных практически соответствует точности расчетов по физическим законам. На основе представленного в работе характеристического соотношения сделан прогноз о необходимых условиях существования кла- стеров из нейтронов: в составе кластера не должно быть протонов и число нейтронов в кластере должно быть не менее 99. Произведен расчет значений характеристик минимально возможного кластера из 99 нейтронов, который по уровню показателя эффективности его нейтронов анало- гичен α - частице. Конфликт интересов Автор данной работы заявляет, что он не имеет конфликта интересов. Список литературы 1. О.П. Бадаев, С.Д. Кургалин, Ю.М. Чувильский, В. Шайд. Энергия связи и времена жизни сверхтяжелых ядер // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2007. №2. С.5 -19. 2. А. Собичевски . Теоретическое описание и предсказания свойств сверхтяжелых ядер // Успехи химии 78(12)2009. С.1200 -1210. 3. А.В. Карпов, В.А. Рачков, В.В. Сайко. Получение нейтронообогащенных тяжелых и сверхтя- желых ядер в реакциях слияния // Письма в ЭЧАЯ. 2018.т.15. №3(215). С.196 -209. 4. Ю.Ц. Оганесян, С.Н. Дмитриев. Сверхтяжелые элементы Периодической системы Д.И. Менделеева // Успехи химии 78(12)2009. С.1165 -1176. 5. Б.С. Ишханов, Т.Ю. Третьякова. Путь к сверхтяжелым элементам // ВМУ Серия 3. Физика. Астрономия. 2017. №3. С.3 -20. 6. Е.В. Владимирова, Б.С. Ишханов, М.В. Симонов, Т.Ю. Третьякова. Оценка энергий связи сверхтяжелых ядер на основе массовых соотношений для остаточного np- взаимодействия // Ученые записки физического факультета Московского университета №3. 1930409(2019). С.1 -4. 7. Н.Н. Колесников. Энергия связи и стабильность тяжелых и сверхтяжелых ядер // ВМУ. Се- рия 3. Физика. Астрономия. 2016. №4. С.42 -49. 8. В.С. Окунев . Исследование эффектов стабилизации и влияния перегруженности протонами на ядерно - физические свойства тяжелых нуклидов // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2011. №4. С.81 -98. 9. Ю. М. Широков, Н. П. Юдии Ядерная физика. (Наука, Москва, 1972) . 10. Бор А., Моттельсон Б. Структура атомного ядра. М .: Мир , 1971. Т .1. 11. Джолос Р.В. Нуклон - нуклонное взаимодействие как основа для исследования структуры тяжелых ядер // Ядерная физика, 2023, том 86, №2, с337 -344. 12. Ghahramany N., Gharaat Sh., and Ghanaatian M., New Approach to Nuclear Binding Energy in Integrated Nuclear Model // Physics of Particles and Nuclei Letters 8 , No2 (165), 169- 181 (2011). 13. П. Б. Кац, С. М. Удовенко, Формула Бете - Вайцзеккера. Обзор и подбор коэффициен- тов // Весн i к Брэсцкага ун i верс i тэта. Серыя 4: Ф i з i ка . Матэматыка, №2, 26 -45 (2021). 14. Джолос Р.В., Колганова Е.А. Структура атомного ядра: вчера и сегодня // Физика элемен- тарных частиц и атомного ядра, 2024, Т.55, вып.5, С.1399 -1424. 15. Norman D. Cook Models of the Atomic Nucleus. Unification through a Lattice of Nucleous. Second Edition. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010, p.324. 16. Н.Д. Минченков. Новый метод расчета энергии связи атомных ядер // Вестник молодого уче- ного УГНТУ №3. 2023. С.115 -122. 17. P . Möller, W.D. Myers, and W.J. Swiatecki, J. Treiner. Nuclear Mass Formula with a Finite-Range Droplet Model and a Folded-Yukawa Single-Particle Potential // At. Data and Nucl. Data Tables, 1988. 39, pp. 225-233. 18. А.О. Белозеров, А.И. Мазур. Машинное обучение для задач экстраполяции с малым объемом данных // Системы и средства информатики. 2022. Т.32. №2. С.13 -22. 19. Н.А. Блинов . Возможности машинного обучения для нахождения энергии связи и дефекта массы атомного ядра // https://elibrary.ru/58801093_86427438.pdf 20. М.В. Симонов, У.В. Владимирова, Т.Ю. Третьякова, Б.С. Ишханов. Феноменологический подход к вычислению энергий связи для сверхтяжелых элементов // Известия РАН. Серия физическая. 2021. Том 85. №5. С.676 -681. 21. К.А. Стопани, Е.В. Владимирова, В.В. Негребецкий, М.В. Симонов, Т.Ю. Третьякова . Мо- дель масс ядер на основе байесовской оценки локальных разностных соотношений энергий связи // Ядерная физика, 2023, том 86, №4, с.476 -484. doi: 10.31857/S0044002723040347. 22. Sharma A., Schunck N. and Wendt K. Bayesian model mixing with multi reference energy density functional // PHYSICAL REVIEW RESERCH 7, 023179 (2025) DOI: 10.1103/PhysRevReserch.7.023179. 23. А.Н. Зарубин . Унифицированная математическая модель сферических атомных ядер // Про- блемы науки №3(96), 2026. С.5 -24; https://arxivorg.ru/a/AX-136203. 24. Р . Хофстадтер , Рассеяние электронов и структура ядер. // УФН LXIII, Декабрь , вып .4, 693- 759 (1957) [Phys. Rev. 28, 214 (1956)]. 25. Proton rms charge radius // The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. CODATA. Internationally recommended 2022 values of the Fundamental Physical Constants. 26. Live Chart of Nuclides Nuclear Data Services [Electronic resource]: http://www- nds.iaea.org/relnsd/vcharthtml/VChartHTML.html (accessed 11.11.2024) 27. Параметры основных и изомерных состояний атомных ядер. База данных ЦДФЭ НИИЯФ МГУ . http://www.cdfe.sinp.msu.ru/services/gsp.ru.html. ( Дата обращения 05.10.2020 )