Унифицированная математическая модель сферических атомных ядер

УДК: 539.142:539.143 УНИФИЦИРОВАННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СФЕРИЧЕСКИХ АТОМНЫХ ЯДЕР А . Н. Зарубин «Научно - производственное объединение ООО «Центротех» г. Новоуральск, Свердловская обл., 624130, Россия e-mail: zarubin44@mail.ru Аннотация —Представлена математическая модель, предназначенная для расчета характеристик атомных ядер и бесконечной ядерной материи. Атомное ядро моделиру- ется в виде сферического объекта, сжатого давлением компактизации и заполненного заряженной несжимаемой ядерной материей из взаимодействующих между собой нук- лонов. Изменение давления ядерной материи в представленной модели происходит по уравнению адиабаты в зависимости от объемной плотности конфигурационной упаковки нуклонов в атомном ядре. В данной работе в рамках представленной математической модели по значениям удельной энергии связи вычисляются значения двух характеристик атомных ядер—“показателя эффективности нуклонов” и “среднего числа эффективных нуклонов” , равного произведению показателя эффективности нуклонов на массовое число атомного ядра. Отличительная особенность вычисленных характеристик от ранее известных характеристик атомного ядра состоит в том, что значения показателя эффек- тивности нуклонов достаточно точно описываются гладкими аналитическими зависимо- стями от произвольного сочетания количества нейтронов и протонов на карте нуклидов . По соответствующим для каждого ядра значениям среднего числа эффективных нукло- нов аналитически вычисляются значения характеристик 3149 ядер нуклидов. Переход к достаточно простой задаче по определению среднего числа эффективных нуклонов устраняет необходимость решения задачи многих тел для системы взаимодействующих нуклонов в объеме атомных ядер. Результаты расчетов значений характеристик атомных ядер , бесконечной ядерной материи и ее уравнения состояния хорошо согласуются со значениями соответствующих экспериментальных или расчетных данных, опубликован- ных в открытых источниках информации. Расчеты проведены с использованием системы аналитических вычислений свободного программного обеспечения Maxima. Ключевые слова : структура ядра, конфигурационная упаковка , давление компак- тизации, уравнение состояния, энергия связи, карта нуклидов, ядерная материя PACS: 21.10.Dr; 21.10.Gv; 21.60.-n; 21.65.Mn UDC: 539.142:539.143 A UNIFIED MATHEMATICAL MODEL FOR SPHERICAL ATOMIC NUCLEI A.N. Zarubin CentroTech Research and Prodaction Association LLC Novouralsk, Sverdlovsk Reg., 624130, Russia e-mail: zarubin44@mail.ru Abstract — A mathematical model is presented for calculating the characteristics of atomic nuclei and infinite nuclear matter. An atomic nucleus is modelled as a spherical object com- pressed by compaction pressure and filled with charged incompressible nuclear matter consist- ing of interacting nucleons. In the proposed model, the pressure change of nuclear matter fol- lows an adiabatic equation depending on the bulk packing density of nucleons within the nu- cleus. Within the framework of this mathematical model, two nuclear characteristics are calculated based on specific binding energy values: the "nucleon efficiency index" and the "av- erage number of effective nucleons" (defined as the product of the nucleon efficiency index and the mass number). A distinctive feature of these calculated characteristics, compared to previ- ously known nuclear properties, is that the nucleon efficiency index values are accurately de- scribed by smooth analytical functions of arbitrary neutron and proton combinations on the nuclide map. Using the corresponding average number of effective nucleons for each nucleus, the characteristics of 3149 nuclides are analytically calculated. Transitioning to the relatively simple task of determining the average number of effective nucleons eliminates the need to solve the many-body problem for a system of interacting nucleons within the nuclear volume. The calculated characteristics of atomic nuclei, infinite nuclear matter, and its equation of state are in good agreement with experimental and theoretical data available in open sources. Calcu- lations were performed using the Maxima open-source computer algebra system. Keywords : nucleus structure, nucleon packing, compaction pressure, equation of state, binding energy, nuclide chart, nuclear matter PACS: 21.10.Dr; 21.10.Gv; 21.60.-n; 21.65.Mn 1. ВВЕДЕНИЕ Унифицированная математическая теория атомного ядра c возможностью рас- чета/прогноза значений характеристик нуклидов на всем известном/предполагаемом диапазоне изменения числа протонов и числа нейтронов в составе их ядер—одна из глав- ных целей развития ядерной физики. Необходимость в такой теории особенно прояви- лась в результате активного изучения так называемых “экзотических” ядер—ядер сверх- тяжелых нуклидов и ядер - изобар с предельным количеством нейтронов или протонов. Кроме того, в связи с ростом объема астрофизических исследований требуется инфор- мация о свойствах почти всех (более 7000) ядер нуклидов, значительная часть которых экспериментально не изучалась вследствие их крайней нестабильности. Атомное ядро представляет собой открытую квантовую систему, внутри которой взаимодействуют друг с другом ограниченное число нуклонов (нейтронов и протонов)— от одного до нескольких сотен. Поэтому расчет значений характеристик атомных ядер осложнен двумя проблемами—необходимостью формализовать причину объединения нуклонов в компактное и устойчивое атомное ядро и решить задачу многих тел для си- стемы взаимодействующих нуклонов в атомном ядре. Основная причина появления этих проблем—взаимодействие нуклонов между со- бой в объеме атомного ядра. Общепринято, что протоны и нейтроны внутри объема атомных ядер взаимодействуют и удерживаются за счет так называемых ядерных сил сильного взаимодействия [ 1 , с. 154 ]. Теоретический подход к моделированию ядерных сил берет свое начало от опубликованной в 1935 году пионерской концепции Х. Юкавы—мезонной теории сильного взаимодействия. Согласно принятому в настоящее время теоретическому подходу, расчет характеристик атомных ядер опирается на урав- нение Шредингера и на выражения для вычисления эффективного гамильтониана си- стемы нуклонов в атомном ядре. Развитие этого подхода идет по двум основным направ- лениям: поиска потенциала нуклон - нуклонного взаимодействия между всеми парами, тройками и т.д. нуклонов в ядре и поиска потенциала взаимодействия независимого нук- лона с эффективным средним полем, которое совместно создают все нуклоны в атомном ядре. Оба направления исследования ядерных сил требуют исключительно больших вы- числительных усилий даже для относительно легких нуклидов [ 2, p . 21]. Предполагае- мые выражения для вычисления эффективного гамильтониана системы нуклонов в атом- ном ядре содержат несколько подгоночных коэффициентов, значения которых опреде- ляются в результате согласования расчетных и экспериментальных данных. Поэтому ре- зультаты сильно зависят как от использованных процедур и способа проведения расчета, так и от области их применения на протон - нейтронной диаграмме (карте нуклидов ) [3 , с. 35; 4, p . 5]. В настоящее время в области расчета нуклон - нуклонного взаимодействия доминирует подход под названием “киральная теория эффективного поля” ( Chiral Effec- tive Field Theory — ChEFT). Отсутствие адекватного выражения для потенциала сильного взаимодействия между нуклонами способствовало появлению многочисленных моделей структуры атомных ядер, опирающихся на экспериментально выявленные особенности их характе- ристик—энергии связи, геометрических размеров, объемной и численной плотности за- полнения и т.п. [ 5 ]. В ядерной физике получили развитие три основных модели для опи- сания структуры атомных ядер: капельно - жидкостная (Я. И. Френкель, Н. Бор — 1936 год); оболочечная (М. Гепперт - Майер, Х. Йенсен — 1950 год); кластерная (Дж. А. Уилер — 1937 год). В капельно - жидкостной модели предполагается, что нуклоны в объеме атомного ядра подобны молекулам в капле жидкости. Теоретическое обоснование энергии связи атомного ядра на основе капельно - жидкостной модели в 1935 году предложил К. Ф. фон Вайцзеккер. В дальнейшем К. Ф. фон Вайцзеккером и Х. Бете была представлена полу- эмпирическая формула для оценки энергии связи атомного ядра B(N,Z ), которая кроме свойств несжимаемой заряженной ядерной материи учитывала еще и квантовую природу нуклонов: [формула] ([формула] , [формула] ) = [формула] vol ∙ [формула] − [формула] surf ∙ [формула] 2 3 ⁄ − [формула] coul [формула] ([формула] −1) [формула] 1 3 ⁄ − [формула] sym ([формула] −[формула] ) 2 [формула] + [формула] pair 1−[формула] ([формула] ,2)−[формула] ([формула] ,2) [формула] 3 4 ⁄ , где a vol —коэффициент объемной энергии; a surf —коэффициент поверхностной энергии; a coul —коэффициент кулоновской энергии; a sym —коэффициент энергии симметрии со- става ядра; a pair —коэффициент энергии разрыва нуклонной пары; mod(x, 2) —число x по модулю 2; A=Z+N —массовое число ядра; Z —число протонов в ядре; N —число нейтро- нов в ядре. В оболочечной модели предполагается, что нуклоны в объеме атомного ядра обра- зуют газовую фазу и совместно создают среднее поле. Находясь в этом среднем поле нуклоны независимо друг от друга заполняют оболочки, содержащие орбиты нуклонов с близкими значениями энергии и возможными значениями квантовых чисел. Оболочеч- ная модель хорошо объяснила повышенную стабильность атомных ядер с так называе- мыми “магическими” числами протонов и нейтронов в составе ядер. В кластерной модели предполагается, что ядерная материя в объеме атомного ядра представляет собой кластер из α - частиц и отдельных нуклонов. В зависимости от основ- ного или возбужденного состояния кластерной конфигурации в объеме атомного ядра возможно моделирование либо газообразного, либо жидкообразного состояния ядерной материи. Главное достоинство кластерной модели—объяснение α - распада атомных ядер. Созданные до настоящего времени модели атомного ядра позволили провести до- статочно точные вычисления значений различных характеристик атомных ядер, но только на ограниченном диапазоне изменения числа протонов и числа нейтронов в со- ставе атомных ядер. Например, в рамках интегрированной модели атомных ядер расчет удельной энергии связи 92 наиболее известных стабильных нуклидов произведен с от- носительной погрешностью ~1% [ 6 ]. Оптимизированный подбор коэффициентов в фор- муле Бете - Вайцзеккера позволил произвести расчет удельной энергии связи ядер 79 нук- лидов с относительной погрешностью ~0.3% [ 7 ]. Подробный анализ достоинств и недо- статков известных в настоящее время моделей структуры атомных ядер приведен в [ 8]. В данной работе представлена математическая модель атомного ядра, в которой предполагается, что объединение системы нуклонов в компактное и устойчивое атомное ядро обусловлено не ядерными силами сильного взаимодействия, а давлением сжатия (компактизации) объема атомного ядра. Благодаря давлению компактизации нуклоны, независимо от их электрического заряда, удерживаются в объеме ядра нуклида. Под дей- ствием давления компактизации и при условии отсутствия теплообмена атомного ядра с окружающей средой потенциальная энергия давления переходит в кинетическую энер- гию нуклонов, что обеспечивает равновесное состояние атомного ядра. Преодоление ку- лоновской силы отталкивания протонов друг от друга в объеме ядра нуклида требует чрезвычайно большого значения давления компактизации, а это означает, что ядерная материя в объеме атомного ядра должна находиться в несжимаемом состоянии. Экспе- риментально выявленная линейная зависимость объема атомного ядра от его массового числа свидетельствует об одинаковом значении плотности ядерной материи в ядрах всех нуклидов, что подтверждает ее несжимаемость. Предположение о давлении компактизации на внешнюю поверхность объема атом- ного ядра не отличается новизной. Например, с учетом давления компактизации на внешнюю поверхность атомного ядра получены аналитические выражения для расчета значений объемного и поверхностного коэффициентов в формуле Бете - Вайцзеккера [ 9]. В работе [ 10 ] утверждается, что стабильность протона и большинства элементов из Пе- риодической системы Д. И. Менделеева вызвана давлением компактизации, которое дей- ствует на внешнюю поверхность объема протона и на внешнюю поверхность объема ядер нуклидов. Автор [ 10 ] ссылается на экспериментально выявленное в работе [ 11 ] ра- диальное распределение давления в объеме протона. Представленная в данной статье математическая модель сферического атомного ядра включает в себя: 1) аналитическую зависимость удельной энергии связи от объем- ной плотности конфигурационной упаковки нуклонов в объеме атомного ядра; 2) алго- ритм расчета объемной плотности конфигурационной упаковки нуклонов в сферический объем ядра нуклида при условии его послойного заполнения взаимодействующими между собой сферическими нуклонами; 3) алгоритм расчета среднего числа эффектив- ных не взаимодействующих между собой нуклонов, создающих требуемое значение объ- емной плотности заполнения эффективного объема ядра нуклида; 4) аналитические вы- ражения для расчета значений характеристик атомного ядра в зависимости от среднего числа эффективных нуклонов; 5) выбор наиболее подходящего значения степени сво- боды нуклонов в ядерной материи; 6) расчет значений характеристик бесконечной нук- лонной и кварк - глюонной материи; 7) формулировка уравнения состояния ядерной ма- терии. 2.МОДЕЛЬ АТОМНОГО ЯДРА В ВИДЕ СФЕРИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА При условии равновесного состояния несжимаемого ядра нуклида давление внутри его объема равно давлению компактизации P(N,Z ). Произведение давления внутри атом- ного ядра на его объем равно потенциальной энергии давления атомного ядра. Потенци- альная энергия давления атомного ядра в не возбужденном состоянии и с массовым чис- лом A=Z+N создает его энергию связи B(N,Z): B(N, Z) = P(N, Z) ∙ V , (1) где B(N,Z) —энергия связи атомного ядра, МэВ; V= (4/3)π R 3 —объем сферического атомного ядра, фм 3 ; R=r 0 · A 1/3 —эмпирическая корреляция для радиуса объема атомного ядра, хорошо подтверждённая в результате систематических измерений Р. Хофстадтера [12 ], фм; r 0 —радиус ячейки Вигнера - Зейтца для нуклонов в объеме атомного ядра [ 13, p. 2], фм. Значения B(N,Z ) вычисляются в энергетических единицах по дефекту массы атом- ного ядра, равному разнице между массой ядра нуклида и суммарной массой всех его нуклонов в свободном состоянии. Значение массы ядра нуклида определяют либо в ре- зультате измерений, либо в результате расчетов по формулам подобным формуле Бете - Вайцзеккера. Из (1) получается уравнение состояния ядерной материи для расчета давления в объ- еме атомного ядра: [формула] ([формула] , [формула] ) = [формула] ([формула] ,[формула] ) 4 3 [формула] 0 3 = [формула] ([формула] , [формула] ) ∙ [формула] , (2) где ε( N,Z) = B(N,Z)/A —удельная энергия связи атомного ядра, МэВ/нуклон; ρ = 3/(4π r 0 3 ) —численная плотность конфигурационной упаковки атомного ядра, фм -3 . Расчет давления в объеме бесконечной ядерной материи P max производится по урав- нению состояния ядерной материи (2) после подстановки соответствующих параметров: [формула] max = [формула] max 4 3 [формула] 0max 3 = [формула] max ∙ [формула] max , (3) где ε max —удельная энергия связи бесконечной ядерной материи, МэВ/нуклон; r 0max — радиус ячейки Вигнера - Зейтца для бесконечной ядерной материи, фм; ρ max = 3/(4π r 0max 3 ) —численная плотность конфигурационной упаковки бесконечной ядерной материи, фм -3 . Параметр ε max —аналог объемного коэффициента в формуле Бете - Вайцзеккера для капельно - жидкостной математической модели атомного ядра. Расчетное значение объ- емного коэффициента в формуле Бете - Вайцзеккера может находиться в диапазоне от 10.5 МэВ/нуклон до 20 МэВ/нуклон в зависимости от процедуры его расчета или способа обработки экспериментальных данных [ 3 , с. 38]. Атомное ядро представляет собой открытую квантовую систему без теплообмена с окружающей средой. Поэтому, для описания зависимости давления внутри объема атом- ного ядра от его объемной плотности конфигурационной упаковки нуклонами, исполь- зуется уравнение адиабаты: [формула] ([формула] ,[формула] ) [формула] max = ( [формула] max ) [формула] = ( [формула] max ) [формула] , (4) где σ = ( r p /r 0 ) 3 —объемная плотность конфигурационной упаковки нуклонов в атом- ном ядре; σ max = (r p /r 0max ) 3 —объемная плотность конфигурационной упаковки нуклонов в бесконечной ядерной материи; r p = 0.84075±0.00064—радиус объема ядра водорода, равный среднеквадратичному зарядовому радиусу протона [ 14 ], фм; γ = 1+2/  —показа- тель адиабаты; 1 ≤  ≤ 3—число степени свободы одного сферического нуклона. Число степени свободы нуклона—это число независимых координат, в направлении которых нуклон может отклоняться от своего равновесного положения в объеме атом- ного ядра. После подстановки (2) и (3) в (4), учета зависимости между радиусом ячейки Вигнера - Зейтца и объемной плотностью конфигурационной упаковки нуклонов в объ- еме атомного ядра, получается зависимость удельной энергии связи от плотности запол- нения нуклонами ядра нуклида [формула] ([формула] ,[формула] ) [формула] max = ( [формула] max ) 2  ⁄ = ( [формула] 0max [формула] 0 ) 6  ⁄ . (5) Соотношение для оценки объемной плотности заполнения сферического атомного ядра идентичными сферическими нуклонами получается далее с помощью Z - алгоритма послойной конфигурационной упаковки нуклонов в объеме ядра. Результат работы Z - алгоритма будет называться Z - упаковкой. 2.1 Z- алгоритм послойной конфигурационной упаковки идентичных сферических нукло- нов в сферический объём атомного ядра Z- алгоритм определяет процесс конфигурационной упаковки нуклонов в ядро нук- лида. Основной принцип Z - алгоритма—заполнение объема ядра нуклида нуклонами происходит от внешней границы ядра к его центру. Процесс заполнения производится послойно, слой за слоем. Результат процесса послойной Z - упаковки нуклонов в атомное ядро определяется двумя характерными размерами: радиусом объема атомного ядра R и радиусом нуклона r p . Отношение этих характерных размеров будет называться индексом размеров атомного ядра [формула] = [формула] p = [формула] 0 ∙[формула] 1 3 ⁄ [формула] p . Каждый слой нуклонов условно создаёт новую границу на расстоянии двух радиу- сов нуклона от положения предыдущей границы. Радиус срединной поверхности R j , про- ходящей через центры нуклонов в j- ом слое атомного ядра, равен: [формула] j = [формула] − [формула] p − 2[формула] p ∙ [формула] , (6) где j = 0, … j max —номер слоя нуклонов в объеме атомного ядра. Заполнение нуклонами ядра нуклида завершается при достижении центра объема ядра, когда образуется слой нуклонов с максимальным значением его номера: [формула] max = ⌊([формула] − 1)/2⌋ , где ⌊х⌋ —целочисленная часть числа х. 2.2 Математическая модель послойной Z - упаковки нуклонов в сферическое атомное ядро С учетом понятия индекса размеров соотношение (6) преобразуется: [формула] j = [формула] − 1 − 2[формула] , [формула] = 0, … [формула] max , где  j = R j /r p —индекс размера в j- ом слое Z - упаковки. Каждый нуклон в j- ом слое дает из центра ядра раствор лучей с углом θ j [формула] ( [формула] j 2 ) = [формула] p [формула] j = [формула] j −1 . (7) Соответствующее значение телесного угла раствора лучей с углом θ j вычисляется следующим образом: [формула] j = [формула] ∙ [формула] 2 ( [формула] j 4 ) , (8) где Ω = 4π—полный телесный угол трехмерной сферы. После преобразований (8) с учетом (7) получается [формула] j = 2[формула] (1 − √1 − [формула] j −2 ) . Тогда максимальное число нуклонов в j- ом слое ядра, без учета потери части сре- динной поверхности между соседними нуклонами, равно [формула] j ([формула] ) = ⌊ [формула] j ⌋ = ⌊2/ (1 − √1 − [формула] j −2 )⌋ . Полученное выражение трудно вычислить при больших значениях индекса размера ядра, т.к. в его знаменателе получается разность очень близких к единице чисел. Можно заметить, что указанное выражение для Ψ j (λ) является одним из корней квадратного уравнения [x /(2λ j )] 2 - x +1 = 0. Существует и другое выражение для этого корня, в котором разность заменяется сложением и которое не теряет точность при произвольно большом значении индекса размера ядра [формула] j ([формула] ) = ⌊2/ (1 − √1 − [формула] j −2 )⌋ = ⌊2[формула] j 2 (1 + √1 − [формула] j −2 )⌋ . Суммарное число нуклонов в сферическом атомном ядре с индексом размера λ равно [формула] ([формула] ) = { 0, если [формула] < 1 1, если 1 ≤ [формула] < 2 1+∑ [формула] j ([формула] ), если [формула] −1−2[формула] max <1 [формула] −1 [формула] =0 ∑ [формула] j ([формула] ), если [формула] −1−2[формула] max ≥1 [формула] =0 . Объемная плотность Z - упаковки нуклонов в атомном ядре с индексом размера  оценивается следующим образом [формула] ([формула] ) = { 0, если [формула] = 0 [формула] ([формула] ) 4 3 [формула] p 3 [формула] = [формула] ([формула] ) [формула] 3 , если [формула] > 0 . (9) Максимальное значение объемной плотности Z - упаковки нуклонов в бесконечной ядерной материи определяется из условия бесконечного увеличения ее индекса размера [формула] max = [формула] λ→∞ [формула] ([формула] ) = [формула] λ→∞ ∑ [формула] j ([формула] ) [формула] =0 [формула] 3 = [формула] λ→∞ ∑ [2[формула] j 2 (1+√1−[формула] j −2 )] [формула] =0 [формула] 3 = 2 3 [формула] λ→∞ (1 − 1 [формула] 2 ) = 2 3 . Найденное максимальное значение объемной плотности Z - упаковки нуклонов в бес- конечной ядерной материи оказалось равным граничному значению под названием “плотность Kauzmann ”, которая соответствует критической точке, когда происходит фа- зовый переход от разупорядоченной, случайной упаковки к регулярной, кристалличе- ской упаковке [ 15]. Соответствующие значения радиуса ячейки Вигнера - Зейтца и численной плотности конфигурационной упаковки для бесконечной ядерной материи вычисляются следую- щим образом: [формула] 0max = [формула] p [формула] max 1 3 ⁄ = 0.84075±0.00064 ( 2 3 ) 1 3 ⁄ = 0.96242 ± 0.00073 фм ; [формула] max = [формула] max 4 3 [формула] p 3 = 2 3 ⁄ 4 3 [формула] (0.84075±0.00064) 3 = 0.26780 ∓ 0.00061 фм −3 . Значение r 0max получилось больше значения радиуса нуклона, что соответствует бес- конечной нуклонной материи, когда все нуклоны отделены друг от друга. При условии задания значений параметров ε max и  соотношение (5) позволяет вы- числить значения радиуса ячейки Вигнера - Зейтца для атомных ядер по известным из эксперимента или расчета значениям их удельной энергии связи [формула] 0 = [формула] 0max ( [формула] ([формула] ,[формула] ) [формула] max ) −[формула] 6 ⁄ . После определения значений r 0 появляется возможность расчета объемной плотно- сти конфигурационной упаковки взаимодействующих между собой нуклонов в атомных ядрах по соотношению аналогичному для объемной плотности Z - упаковки (9) [формула] A ([формула] ) = [формула] 3 . Экспериментальные и расчетные значения удельной энергии связи 3149 атомных ядер были взяты из базы данных ЦДФЭ НИИЯФ МГУ [ 16 ] с минимальным и максималь- ным значениями массового числа A min = 2, A max = 292; минимальным и максимальным значениями числа протонов Z min = 1, Z max = 117 и числа нейтронов N min = 1, N max = 176. Результаты расчёта объемной плотности конфигурационной упаковки 3149 атомных ядер, Z - упаковки и случайной упаковки идентичных 3 D сфер в объем 3 D сферы для раз- личных значений их индекса размера приведены на рис. 1. Из рис. 1 следует, что расчетные значения объемной плотности Z - упаковки доста- точно хорошо соответствуют значениям объемной плотности случайной упаковки иден- тичных 3 D сфер в объем 3 D сферы, которые получены экспериментально G. D. Scott в 1960- 1969 годах [ 17; 18 ]. Согласно экспериментальным данным G. D. Scott максималь- ное значение объемной плотности случайной упаковки идентичных 3 D сфер в объем со- суда в виде 3 D сферы равно 0.6366 ≈ 2/π, что на 4.5% меньше найденного выше значения σ max = 2/3 из - за не устраняемого воздействия стенок сосуда, трения и защемления между соседними 3 D сферами. Рис. 1 Объемная плотность упаковки идентичных 3 D сфер в объем 3 D сферы при раз- личных значениях индекса их размера (1—расчетная кривая σ(  ) для Z - упаковки; 2— эмпирическая корреляция σ exp (  ) = 0.6366 – 0.33/Ψ(  ) 1/3 из экспериментов G. D. Scott; 3 — расчетные значения σ A (  ) для 3149 атомных ядер, когда ε max = 19.6643 МэВ/нуклон и  = 1; 4 —расчетные значения σ A (  ) для 3149 атомных ядер, когда ε max = 11.7942 МэВ/нук- лон и  = 2; 5 —расчетные значения σ A (  ) для 3149 атомных ядер, когда ε max = 9.9464 МэВ/нуклон и  = 3) 2.3 Показатель эффективности нуклонов в сферических атомных ядрах Объемная плотность Z - упаковки получена для не взаимодействующих между собой трехмерных сфер. Поэтому на рис. 1 расчетные значения σ A (  ) для объемной плотности конфигурационной упаковки нуклонов, взаимодействующих друг с другом в объеме атомных ядер, плохо согласуются с кривой σ(  ) для Z- упаковок, за исключением ядра гелия 4 2 He 2+ у которого значение объемной плотности конфигурационной упаковки нук- лонов в объеме α - частицы σ α (  α ) = max (σ(  α )), где  α =2.1547 при любом значении числа степени свободы нуклона 1 ≤  ≤ 3 согласно рис.1. Взаимодействие нуклонов в ядре нуклида далее будет учитываться показателем эф- фективности нуклонов в объеме атомного ядра 0 < ξ ≤ 1. Предполагается, что только эффективные нуклоны создают требуемые значения характеристик атомного ядра не вза- имодействуя друг с другом. Введенное понятие эффективности нуклонов отчасти напо- минает понятие валентности нуклонов, когда за характеристики атомного ядра отвечают в основном только валентные нуклоны ядра (создающие так называемое “ гало” ядра), а остальные нуклоны в объеме атомного ядра (образующие так называемый “кор” ядра) себя мало проявляют [ 4, p. 11; 19, p. 42]. В ядре нуклида с массовым числом А имеется в среднем ξ· A эффективных нуклонов, для которых условие Z - упаковки выглядит следующим образом: [формула] ([формула] eff ) = [формула] ∙ [формула] , (10) где  eff = r 0 ( ξ· A) 1/3 /r p —индекс эффективного размера атомного ядра с массовым числом А. Среднее число эффективных нуклонов ξ· A —это число не взаимодействующих ква- зичастиц, которые в эффективном объеме атомного ядра создают объемную плотность, значение которой равно объемной плотности взаимодействующих нуклонов в реальном атомном ядре. Кроме объемной плотности нуклонов в ядре нуклида, среднее число эф- фективных нуклонов однозначно определяет значения и других характеристик атомного ядра. В данной статье при заданных значениях параметров ε max и  поиск в (10) значений показателя эффективности нуклонов ξ производится методом дихотомии с помощью функции find-root из системы аналитических вычислений СПО Maxima с постоянным начальным интервалом поиска [10 -5 ; 2]. Выбор метода дихотомии для поиска ξ, значение которого минимизирует невязку уравнения (10), объясняется тем, что ступенчатую функцию Ψ(  ) невозможно продифференцировать. Значения объемной плотности конфигурационной упаковки нуклонов в атомном ядре (с учетом найденных значений ξ ) вычисляются следующим образом [формула] A ([формула] eff ) = [формула] ∙[формула] eff 3 . (11) Для заданного числа степени свободы нуклона в атомном ядре  значение параметра ε max определяется из условия, что максимальное значение показателя эффективности од- ного нуклона в объеме атомного ядра не может превышать единицы max(ξ) = 1, т.к. сред- нее число эффективных нуклонов в объеме атомного ядра ξ· A не может быть больше значения его массового числа. Например, при значении параметра  = 1 условие max(ξ) = 1 выполняется в случае ε max = 19.6643 МэВ/нуклон, при значении параметра  = 2 получается ε max = 11.7942 МэВ/нуклон, а при  = 3 получается ε max = 9.9464 МэВ/нуклон. Среди всех ис- ходных 3149 нуклидов равенство ξ = 1 достигается только для ядра гелия 4 2 He 2+ (α - ча- стицы) при всех значениях числа степени свободы нуклонов в атомном ядре. Такое вы- деленное положение α - частиц подтверждается как экспериментально [ 20 ], так и резуль- татами расчетов квантового фазового перехода α - подобных атомных ядер [ 21]. В результате определения показателя эффективности нуклонов в объеме атомных ядер в случае значений параметров ε max = 19.6643 МэВ/нуклон и  = 1 произошло разде- ление исходного массива из 3149 атомных ядер на восемь классов нуклидов, согласно численным значениям их индекса эффективного размера  eff , рис. 2. Рис. 2 Распределение 3149 нуклидов по расчетной кривой σ(  ) в зависимости от их ин- декса эффективного размера, когда значения параметров ε max = 19.6643 МэВ/нуклон и  = 1 (1 —расчетная кривая σ(  ) для Z - упаковки; 2—объемная плотность конфигурацион- ной упаковки 3149 ядер нуклидов σ A (  eff )) Выделенное среди всех ядер нуклидов положение α - частицы позволяет сделать сле- дующие выводы:  все четыре нуклона в составе α - частицы эффективны ( A α = 4; ξ α = 1);  индекс эффективного размера α - частицы, попавшей в четвертый класс нуклидов, согласно рис. 2 равен  α = 2.1547;  нуклоны в объеме α - частицы упакованы наиболее плотно среди всех ядер нукли- дов четвертого класса. После подстановки значений характеристик α - частицы в соотношения (5) и (11) по- лучается выражение для расчета значений ε max в зависимости от числа степени свободы нуклонов в объеме атомного ядра: [формула] max = [формула] α ( [формула] max ∙  α 3 [формула] α ∙[формула] α ) 2 [формула] ⁄ , (12) где ε α = 7.073916 МэВ/нуклон — удельная энергия связи нуклонов в α - частице, измерен- ная с погрешностью <0.5 эВ [ 22]. Результаты поиска значений параметра ε max и значений показателя эффективности нуклонов в 3149 атомных ядрах приводятся на рис. 3 и в табл. 1 . Рис. 3 Показатель эффективности нуклонов в ядрах 3149 нуклидов, когда число степени свободы нуклона φ = 1 Таблица 1. Результаты обработки экспериментальных значений удельной энергии связи 3149 атомных ядер, взятых из [22] Параметр Значения параметра Число степени свободы нуклона, φ 1 2 3 ε max , МэВ/нуклон 19.6643 11.7942 9.9464 Число классов нуклидов 8 11 17 На рис. 3 расчетные значения показателя эффективности нуклонов в атомных ядрах представлены в виде трехмерного изображения в зависимости от двух факторов: класса нуклида (κ) и параметра r A = (Z 2 +N 2 ) 1/2 для нуклида с массовым числом A = Z+N . Необ- ходимо отметить, что гладкая зависимость трехмерной поверхности показателя эффек- тивности нуклонов от числа нейтронов и числа протонов в атомном ядре получилась в результате устранения скачков в значениях удельной энергии связи благодаря разделе- нию исходного массива из 3149 нуклидов на восемь классов с использованием ступен- чатой функции Ψ(λ). Трехмерные поверхности показателя эффективности нуклонов в атомных ядрах, для трех вариантов значения числа степени свободы нуклонов, аппроксимировались наибо- лее адекватными математическими моделями с помощью программы TableCurve3d . Со- ответствующие значения критериев качества отображения расчетных данных наиболее адекватными математическими моделями представлены в табл. 2, 3 и 4. Таблица 2. Критерии качества отображения трехмерной поверхности показателя эффек- тивности нуклонов в случае φ = 1 наиболее адекватной математической моделью №151232740 по каталогу программы TableCurve3d: ln( ξ ) = a+b/ κ 1/2 +c · ln(r A ) Коэффициент детерминации Скорректирован- ный коэффициент детерминации Стандартная ошибка Критерий Фишера 0.9965390327 0.9965357313 0.0044896241 452924.22136 Параметры модели Параметр Значение пара- метра Ошибка t- критерий Доверитель- ные пределы 95% a 2.954285927 0.011335984 260.6113463 2.932059256 2.976512598 b -4.16639895 0.018670895 -223.149398 -4.20300732 -4.12979059 c -0.96519273 0.001327660 -726.987656 -0.96779590 -0.96258956 Дисперсионный анализ Источник из- менчивости Сумма квадратов Число степени свободы Средний квадрат Критерий Фи- шера Фактор 18.258938 2 9.1294688 452924 Ошибка 0.063413056 3146 2.01567·10 -5 Сумма 18.322351 3148 Таблица 3. Критерии качества отображения трехмерной поверхности показателя эффек- тивности нуклонов в случае φ = 2 наиболее адекватной математической моделью №151239776 по каталогу программы TableCurve3d: ln( ξ ) = a+b ·κ /ln( κ )+c/ κ +d · ln(r A ) Коэффициент детерминации Скорректирован- ный коэффициент детерминации Стандартная ошибка Критерий Фишера 0.9960521669 0.9960471443 0.0045827237 264498.18744 Параметры модели Параметр Значение пара- метра Ошибка t- критерий Доверитель- ные пределы 95% a 0.711307549 0.015581899 45.64960557 0.680755830 0.741859267 b 0.317927641 0.003598286 88.35530783 0.310872415 0.324982867 c -2.90269494 0.023790641 -122.009951 -2.94934169 -2.85604819 d -0.97405808 0.001322449 -736.556165 -0.97665103 -0.97146513 Дисперсионный анализ Источник из- менчивости Сумма квадратов Число степени свободы Средний квадрат Критерий Фи- шера Фактор 16.664462 3 5.5548208 264498 Ошибка 0.066049267 3145 2.10014 ·10 -5 Сумма 16.730512 3148 Таблица 4. Критерии качества отображения трехмерной поверхности показателя эффек- тивности нуклонов в случае φ = 3 наиболее адекватной математической моделью №151360429 по каталогу программы TableCurve3d: ln( ξ ) = a+b ·κ + c ·κ· ln( κ )+d ·κ 1/2 · ln( κ )+e(ln( κ )) 2 +f · ln(r A ) Коэффициент детерминации Скорректирован- ный коэффициент детерминации Стандартная ошибка Критерий Фишера 0.9941958716 0.9941847880 0.0072797175 107673.62225 Параметры модели Параметр Значение пара- метра Ошибка t- критерий Доверитель- ные пределы 95% a 279.3602973 2.608224956 107.1074397 274.2463009 284.4742936 b -281.717008 2.624115045 -107.356958 -286.862160 -276.571855 c 37.74269163 0.352910734 106.9468507 37.05073284 38.43465043 d 251.5354886 2.326735366 108.1066168 246.9734143 256.0975630 e -30.3517875 0.285408696 -106.344999 -30.9113938 -29.7921813 f -0.98439523 0.001830309 -537.830121 -0.98798395 -0.98080650 Дисперсионный анализ Источник из- менчивости Сумма квадратов Число степени свободы Средний квадрат Критерий Фи- шера Фактор 28.530434 5 5.7060868 107674 Ошибка 0.16656104 3143 5.29943 ·10 -5 Сумма 28.696995 3148 Согласно значениям критерия Фишера, указанным в табл. 2, 3 и 4, наиболее адек- ватное математическое отображения значений показателя эффективности нуклонов в яд- рах 3149 нуклидов получилось в случае, когда значение параметра φ = 1. При проведении дальнейших расчетов будет использоваться только это значение числа степени свободы нуклонов в объеме атомных ядер. 3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ Сводные данные по результатам расчета показателя эффективности нуклонов в яд- рах 3149 нуклидов для значений параметров σ max = 2/3, ε max = 19.6643 МэВ/нуклон и φ = 1 приводятся в табл. 5. Таблица 5. Сводные данные по результатам расчетов показателя эффективности нукло- нов Номер класса нуклидов, κ Мощность класса нукли- дов , |A κ | Нижняя граница ξ·A Верхняя граница ξ·A Индекс эффектив- ного размера, λ eff 1 1701 0 1 1 2 4 1 2 2 3 14 2 3 2.060660… 4 44 3 4 2.154700… 5 139 4 5 2.2499948 … 6 747 5 6 2.341640… 7 492 6 7 2. 428869… 8 8 7 8 2.51185789… Значения индекса эффективного размера нуклидов из восьми классов в табл. 5 соот- ветствуют восьми точкам на оси индекса размера в интервале [0.5; 3.0], где наблюдается скачкообразное изменение объемной плотности Z- упаковки, рис. 2. Согласно рис. 2 объемная плотность Z- упаковки нуклонов в ядрах нуклидов из пер- вого класса (λ eff = 1) имеет предельное значение σ lim = 1. Такое предельное значение со- ответствует либо объемной плотности конфигурационной упаковки протона в ядре атома водорода, либо второму возможному варианту объемной плотности конфигураци- онной упаковки бесконечной ядерной материи. Для предельного значения σ lim = 1 из (2) и (5) получаются следующие предельные значения удельной энергии связи, численной плотности конфигурационной упаковки, радиуса ячейки Вигнера - Зейтца и предельного давления: [формула] lim = [формула] max ( [формула] lim [формула] max ) 2 [формула] ⁄ = 19.6643 ( 1 2 3 ⁄ ) 2 1 ⁄ = 44.244675 МэВ нуклон ; [формула] lim = [формула] lim 4 3 [формула] p 3 = 1 4 3 [формула] (0.84075±0.00064) 3 = 0.401708 ∓ 0.00092 фм −3 ; [формула] 0lim = [формула] lim 1 3 ⁄ = 0.84075±0.00064 1 1 3 ⁄ = 0.84075 ± 0.00064 фм ; [формула] lim = [формула] lim ∙ [формула] lim = 44.244675 ∙ (0.40171 ∓ 0.00092) = (17.77353 ∓ 0.040705) МэВ/нуклон фм 3 . Второй вариант бесконечной ядерной материи, согласно значению r 0lim , соответ- ствует полному слиянию нуклонов друг с другом, что возможно либо в ядре атома водо- рода, либо в бесконечной кварк - глюонной материи. В случае бесконечной нуклонной материи значение давления вычисляется следую- щим образом (3) [формула] max = [формула] max ∙ [формула] max = 19.6643 ∙ (0.26780 ∓ 0.00061) = (5.2661 ∓ 0.011995) МэВ/нуклон фм 3 . В работе [ 11 ] экспериментально определено радиальное распределение давления по объему протона P(r ). Эксперимент проведен с использованием глубокого виртуального комптоновского рассеивания высоко энергетических (6 ГэВ) электронов протонами в жидком водороде. Последующая обработка результатов эксперимента разделила объем протона на две области: область с положительными значениями давления расширения и область с отрицательными значениями давления сжатия (компактизации). Найденное в [11 ] радиальное распределение давления взаимодействующих между собой кварков в объеме протона подчиняется выполнению условия фон Лауэ ∫ [формула] 2 ∙ [формула] ([формула] ) ∙ [формула] ∞ 0 = 0 . Область с давлением расширения расположена около центра объема протона и на расстоянии r + ≈ 0.254 фм от центра имеет экстремум r + 2 · P(r + ) ≈ 0.074892 ГэВ/фм. Область с давлением компактизации расположена на периферии объема протона и на расстоянии r _ ≈ 0.84075 фм от центра объема протона имеет значение r_ 2 · P(r _) ≈ 0.030797 ГэВ/фм. Из приведенных выше данных, полученных после оцифровки результатов [ 11, Fig. 1], следует: [формула] ([формула] + ) ≅ 0.074892∙10 3 0.254 2 = 1160.8283 МэВ/нуклон фм 3 ; [формула] ([формула] − ) ≅ 0.030797∙10 3 0.84075 2 = 43.568706 МэВ/нуклон фм 3 . Давление компактизации на границе объема протона P(r _), учитывая указанную ав- тором погрешность (~100%) полученных в [ 11 ] результатов, удовлетворительно согла- суется с расчетным предельным значением давления кварк - глюонной материи P lim = 17.77353 ( МэВ/нуклон)/фм 3 . Результат разделения 3149 нуклидов на восемь классов фиксируется в виде двух- мерной матрицы классов атомных ядер ℳ [ Z max , N max ]. Значение элемента матрицы клас- сов ℳ [ Z, N ] равно номеру того класса атомных ядер, к которому принадлежит ядро нуклида с числом протонов Z и числом нейтронов N. График распределения нуклидов из каждого класса на карте нуклидов приводится на рис. 4. Область расположения нуклидов из первого класса на карте нуклидов свиде- тельствует о том, что только в первом классе нуклидов возможно появление сверхтяже- лых нуклидов. В рамках одного класса нуклидов, характеризующихся постоянным значением ин- декса эффективного размера их ядер λ eff , справедлива линейная зависимость (11) объем- ной плотности Z - упаковки нуклида от среднего числа эффективных нуклонов в объеме его ядра (рис. 5) [формула] A ([формула] eff ) = [формула] ∙[формула] eff 3 = [формула] α [формула] ∙[формула] α ∙[формула] α ( [формула] α [формула] eff ) 3 , (13) где σ α = ξ α · A α /λ α 3 = 1·4/2.1547 3 = 0.39985196 —объемная плотность конфигурационной упаковки нуклонов в α - частице. Рис. 4 Распределение восьми классов нуклидов на карте нуклидов Рис. 5 Объемная плотность конфигурационной упаковки ядер нуклидов из всех классов в зависимости от среднего числа эффективных нуклонов в их ядре Согласно рис. 5 и вычисленному значению σ α конфигурационная упаковка нуклонов в объеме α - частицы не самая плотная среди всех ядер нуклидов, хотя объемная плотность конфигурационной упаковки нуклонов в α - частице имеет наибольшее возможное значе- ние среди нуклидов 4 - го класса (рис. 2). После подстановки (11) в (5) и в (4), с учетом (12) получаются зависимости значений удельной энергии связи (рис. 6) и радиуса ячейки Вигнера - Зейтца (рис. 7) от среднего числа эффективных нуклонов в ядре нуклида с массовым числом А: [формула] ([формула] , [формула] ) = [формула] max ( [формула] ∙[формула] max ∙[формула] eff 3 ) 2 = [формула] α ( [формула] ∙[формула] α ∙[формула] α ( [формула] α [формула] eff ) 3 ) 2 ; (14) [формула] 0 = [формула] 0max ( [формула] max [формула] ) 1 6 ⁄ = [формула] p ∙[формула] eff ([формула] ∙[формула] ) 1 3 ⁄ = [формула] 0α [формула] eff [формула] α ( [формула] α ∙[формула] α [формула] ∙[формула] ) 1 3 ⁄ , (15) где r 0 α = r p ·λ α /( ξ α · A α ) 1/3 = (0.8407 5 ± 0.00064) 2.1547/ (1·4) 1/3 = 1.1412138 ± 0.0008687— радиус ячейки Вигнера - Зейтца для α - частицы, фм . Рис. 6 Удельная энергия связи нуклидов из всех классов в зависимости от среднего числа эффективных нуклонов в их ядре Уравнение состояния ядерной материи (рис. 8): [формула] ([формула] , [формула] ) = [формула] ([формула] , [формула] ) ∙ [формула] = [формула] α ( [формула] ∙[формула] α ∙[формула] ( [формула] α [формула] eff ) 3 ) 3 = [формула] α [формула] α 3 [формула] 3 , (16) где ρ = ρ α ·ξ· A ·(λ α /λ eff ) 3 /( ξ α · A α ); ρ α = 3/(4 π· r 0 α 3 ) = 3/(4 π(1.1412138 ± 0.0008687) 3 ) = 0.160624 ± 0.000366—численная плотность конфигурационной упаковки α - частицы, фм -3 ; P α = ε α ·ρ α = 7.073916·(0.160624 ± 0.000366) = 1.136241 ± 0.002589—давление ком- пактизации α - частицы, (МэВ/нуклон)/фм 3 . Уровень давления в бесконечной нуклонной материи создает условия стабильного присутствия в объеме этой материи α - частиц, т.к. уровень давления компактизации α - частицы значительно меньше уровня давления в объеме бесконечной нуклонной мате- рии P α < P max . Рис. 7 Радиус ячейки Вигнера - Зейтца для нуклидов всех классов в зависимости от сред- него числа эффективных нуклонов в их ядре Рис. 8 свидетельствует о том, что результаты расчета состояния ядерной материи по соотношению (16) очень хорошо согласуются с результатами аналогичных расчетов, ра- нее проведенных другими авторами. Данный вывод подтверждает правильность выбора значения степени свободы нуклонов φ = 1 как в ядрах нуклидов, так и в бесконечной нуклонной и кварк - глюонной материи. Соотношения (13), … (16) подчеркивают особенное положение α - частицы среди ядер всех нуклидов, т.к. значения характеристик α - частицы служат масштабными фак- торами при расчете значений аналогичных характеристик ядер других нуклидов. Рис. 8 Давление в ядерной материи в зависимости от ее численной плотности конфигу- рационной упаковки, когда степень свободы нуклонов φ = 1 (1—уравнение состояния P(N,Z) = P α ·ρ 3 /ρ α 3 ; 2 —расчетные значения давления компактизации по эксперименталь- ным и расчетным данным 3149 нуклидов; 3—давление в бесконечной нуклонной мате- рии; 4—давление в бесконечной кварк - глюонной материи; 5—верхняя граница давления согласно оцифрованным данным из [ 24, Fig. 7(a)]; 6 —нижняя граница давления согласно оцифрованным данным из [ 24, Fig. 7(a)]) Подстановка (15) в эмпирическую корреляцию для расчета значения радиуса объема атомного ядра дает следующее соотношение, отображенное графически на рис. 9 [формула] = [формула] 0 ∙ [формула] 1 3 ⁄ = [формула] p ∙[формула] eff [формула] 1 3 ⁄ . (17) На рис. 9 наглядно видно выделенное положение α - частицы—если число нуклонов в атомном ядре больше одного, то α - частица имеет наименьшее значение радиуса объ- ема. Рис. 9 Радиус объема ядер для нуклидов из всех классов в зависимости от показателя эффективности нуклонов в их объеме В случае α - частицы из (17) получается следующее значение радиуса ее объема [формула] α = [формула] p ∙[формула] α [формула] α 1 3 ⁄ = (0.84075±0.00064)∙2.1547 1 1 3 ⁄ = 1.811564 ± 0.001379 фм . Согласно [ 25 ] экспериментально измеренное значение зарядового радиуса α - ча- стицы R αexp = 1.67824 фм получилось меньше расчетного значения R α на ~7.36%. Срав- нение экспериментально измеренных значений зарядового радиуса объема ядер 909 изо- топов 92 элементов [ 26 ] с результатами расчетов по (17) выявило, что при увеличении числа нуклонов в атомных ядрах с 4 до 250 превышение расчетных данных над экспери- ментально измеренными постепенно увеличивается с ~5% до ~17%, рис. 10. Рис. 10 Относительное отклонение результатов экспериментального измерения зарядо- вого радиуса объема атомных ядер R exp от аналогичных расчетных результатов R calc Значения характеристики r 0 , использованные в (17) для расчета значений радиуса объема атомных ядер, вычислены в (15) по экспериментально измеренным значениям удельной энергии связи ядер нуклидов. Поэтому относительная погрешность расчета по соотношению (17) значений радиуса объема атомных ядер определяется относительной погрешностью измерения удельной энергии связи, значения которой меньше одного про- цента и не увеличиваются с ростом числа нуклонов в атомных ядрах. Следовательно, наблюдаемое выше систематическое отличие результатов расчетов от результатов экс- периментального измерения зарядового радиуса объема атомных ядер объясняется, по всей вероятности, систематической погрешностью методик измерения и последующих процедур обработки результатов измерений. Вычисленные значения давления компактизации ядер α - подобных нуклидов свиде- тельствуют о возможной причине крайней нестабильности ядра атома 4 8 Be . Оказалось, что это единственный α - подобный нуклид, у которого значение давления компактизации меньше значения давления компактизации α - частицы, табл. 6. Крайняя нестабильность ядра атома 4 8 Be вызвана, по всей вероятности, тем, что низкий уровень давления компак- тизации ядра атома 4 8 Be не может создать условия для стабильного присутствия двух кластеров в виде α - частиц, обладающих более высоким уровнем давления компактиза- ции . Соотношения (13), … (17), двухмерная матрица классов атомных ядер ℳ [ N, Z ] и эмпирическая корреляция показателя эффективности нуклонов от числа протонов и числа нейтронов в объеме атомных ядер позволяют провести достаточно точные расчеты характеристик атомных ядер—радиуса объема атомного ядра, объемной и численной плотности конфигурационной упаковки нуклонов, удельной энергии связи, радиуса ячейки Вигнера - Зейтца и давления компактизации атомных ядер. В следующем сообщении будут приведены более точные эмпирические корреляции для вычисления значений показателя эффективности нуклонов в зависимости от числа протонов и числа нейтронов в атомных ядрах отдельно для каждого класса нуклидов. Найденные эмпирические корреляции позволили вычислить значения удельной энергии связи 3149 атомных ядер со следующими значениями их погрешности:  средним значением абсолютной погрешности 19. 6408 КэВ;  средним значением относительной погрешности 0.2 474%. Таблица 6 . Значения характеристик атомных ядер α - подобных нуклидов с массовым числом от А=4 до А=40 Число нукло- нов Класс нук- лида, κ Показатель эффек- тивности нуклона, ξ P(N,Z)/P α Период полурас- пада T 1/2 , с Радиус объема ядра R , фм N Z Статья [26] Расчет (17) 2 2 4 1.0 1.0 ∞ 1.6755 1.81156 4 4 6 0.6412392770 0.997585 82·10 -18 — 2.28304 6 6 6 0.4457971040 1.131293 ∞ 2.4702 2.57716 8 8 7 0.3802447045 1.197332 ∞ 2.6991 2.81870 10 10 6 0.2735406193 1.209971 ∞ 3.0055 3.03281 12 12 7 0.2579774270 1.261956 ∞ 3.057 3.20782 14 14 7 0.2236131638 1.305063 ∞ 3.1224 3.36438 16 16 7 0.1961861310 1.315589 ∞ 3.2611 3.51437 18 18 7 0.1746624023 1.321816 ∞ 3.3905 3.65318 20 20 7 0.1574856127 1.329131 ∞ 3.4776 3.78144 4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Представлена математическая модель атомного ядра в виде сферического объекта, сжатого давлением компактизации и наполненного заряженной несжимаемой ядерной материей из взаимодействующих между собой нуклонов. Модель дополнена алгоритмом расчета объемной плотности конфигурационной упаковки сферических нуклонов в объ- еме сферического атомного ядра. Введено понятие эффективности нуклонов в объеме сферического ядра нуклидов, что позволило исключить влияние взаимодействия между нуклонами и получить аналитические выражения для расчета и прогноза значений ха- рактеристик атомных ядер с произвольным сочетанием числа протонов и числа нейтро- нов. Обнаружено, что наиболее хорошее соответствие расчетных и экспериментальных значений характеристик ядерной материи получается в том случае, когда значение сте- пени свободы ее нуклонов равно единице. Найдено выражение для уравнения состояния ядерной материи справедливое как для атомных ядер, так и для бесконечной нуклонной и бесконечной кварк - глюонной материи. Найденное уравнение дает результаты расчета состояния ядерной материи, которые хорошо согласуются с результатами аналогичных расчетов, проведенных ранее другими авторами. Представленная в статье математиче- ская модель сферических атомных ядер позволила провести расчеты значений характе- ристик ядер 3149 нуклидов с относительной погрешностью определяемой только отно- сительной погрешностью измерения их удельной энергии связи. Предложено объясне- ние аномального поведения α - подобного ядра атома бериллия. Показано, что характеристики α - частицы служат масштабными факторами для расчета значений ана- логичных характеристик ядер других нуклидов вплоть до бесконечной ядерной материи. КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ У автора нет конфликтов интересов в отношении содержания этой статьи. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Ю. М. Широков, Н. П. Юдин Ядерная физика . ( Наука, Москва, 1972). 2. Hammer H.- W., König Sebastian, van Kolck U., Reviews of modern physics. 92 , April- June, 1-66 (2020). doi.org/10.1103/RevModPhys.92.025004 3. В. А. Даниленко , Спектральные функции для изучения равновесных и кинетиче- ских свойств ядерных систем. Дисс. на соискание ученой ст. к.ф - м.н. ( Санкт - Пе- тербургский гос. Университет. С. - Пб , 2015). 4. Hergert Heiko A, Frontiers in Physics 8 , October, Article 379, 1-33 (2020). doi.org/10.3389/fphy.2020.00379 5. Cook Norman D., Model of the Atomic Nucleus. Unification through a Lattice of Nu- cleous. Second Edition . (Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010). 6. Ghahramany N., Gharaat Sh., and Ghanaatian M., Physics of Particles and Nuclei Let- ters 8 , No2 (165), 169-181 (2011). 7. П. Б. Кац, С. М. Удовенко , Весн i к Брэсцкага ун i верс i тэта. Серыя 4: Ф i з i ка . Матэматыка , №2 , 26-45 (2021) [Brest University Bulletin, Series 4: Physics and Math- ematics, No2, 26-45 (2021)]. 8. Р . В . Джолос , Е . А . Колганова , Физика элементарных частиц и атомного ядра 55 , вып .5, 1399-1424 (2024) [Physics of particles and nuclei 55 , No.5, 1399-1424 (2024)]. 9. Mahboub K., Annals of Nuclear Energy 35 , 1381-1385 (2008). doi/org/ 10.1016/j.an- nucene.2008.01.005 10. Avelino P. P., Physics Letters, B 795, 627-631 (2019). doi.org/10.1016/j.phys- letb.2019.05.056 11. Burkert V. D., Elouadrhiri L. & Girod X., Nature 557 , 396-399 (2018). doi.org/10.1038/s41586-018-0060-z 12. Р. Хофстадтер , УФН LXIII , Декабрь, вып.4, 693 -759 (1957) [Phys. Rev. 28 , 214 (1956)]. 13. Reinhard P.-G., Bender M., Nazarewicz W. and Vertse T . Psysical Review C73 , 014309, 1-11 (2006). doi.org/10.1103/physrevc.73.014309 14. Proton rms charge radius (The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. CODATA. Internationally recommended 2022 values of the Fundamental Physical Constants). 15. Anikeenko A. V., and Medvedev N. N., Aste T., Physical Review. E77 (3), 031101(9) (2008). doi.org/10.1103/PhysRevE.77.031101 16. Параметры основных и изомерных состояний атомных ядер . База данных ЦДФЭ НИИЯФ МГУ. http://www.cdfe.sinp.msu.ru/services/gsp.ru.html. Дата обращения 05.10.2020. 17. Scott G. D., NATURE 188 , December 10, 908-909 (1960). 18. Scott G. D. and Kilgour D. M., Brit. J. Appl. Phys. (J. Phys. D). 2 , Ser.2, 863-866 (1969). 19. Epelbaum E., Hammer H.-W., Ulf-G. Meiβ ner, arXiv: 0811.1338v1 [nucl-th] 9 Nov (2008). 20. Ю . А . Бережной , В . П . Михайлюк , Физика элементарных частиц и атомного ядра 39 , вып . 2, 437-500 (2008) [Physics of particles and nuclei 39, No. 2, 437-500 (2008)]. 21. Elhatisari Serdar, Li Ning, Rokash Alexander, Jose Manuel Alarcon, Dechuan Du, Nico Klein, Bing-nan Lu, Ulf-G. Meiβner, Evgeny Epelbaum, Herman Krebs, Timo A. Lähde, Dean Lee, and Gautam Rupak, Physical Review Letters. 117, 132501, 19 September (2016); arXiv:1602.04539v2 [nucl-th] 23 Jul (2016). doi.org/10.1103/PhysRevLett.117.132501 22. Live Chart of Nuclides Nuclear Data Services International Atomic Energy. http://www-nds.iaea.org/relnsd/vcharthtml/VChartHTML.html. Accessed 11.11.2024. 23. Özel Feryal and Freire Paolo, Annu. Rev. Astron. Astrophys. 54 , 401-440 (2016). doi.org/10.1146/annurev-astro-081915-023322 24. Krauth Julian J., Schuhmann Karsten, Marwan Abdou Ahmed, Fernando D. Amaro, Pedro Amaro, François Biraben, Tzu-Ling Chen, Daniel S. Covita, Andreas J. Dax, Marc Diepold, Luis M. P. Fernandes, Beatrice Franke, Sandrine Galtier, Andrea L. Gouvea, Johannes Götzf ried, Thomas Graf Jan Vogelsang, et al., Nature 589 , 527-531 (2021). doi.org/10.1038/s41586-021-03183-1 25. Angeli I., Marinova K. P., Atomic Data and Nuclear Data Tables 99 , 69-95 (2013). doi.org/10.1016/j.adt.2011.12.006