center Теория связанных множеств 0.5cm В. П. Воеводов center

0.5cm

abstract В работе описан метод динамических сит. С помощью данного метода и теории связанных множеств доказывается бесконечность множества простых близнецов.

0.2cm Ключевые слова: простые близнецы, связанные множества, метод динамических сит.

0.2cm Keywords: twin primes, connected sets, dynamic sieve method. abstract

Концепция связанных множеств

definition (Связанные множества). Два бесконечных подмножества натуральных чисел называются связанными, если их асимптотические плотности на любом инвариантном интервале числовой прямой соотносятся через постоянный конечный коэффициент \(k > 0\): \[\mu(A_1) = k \cdot \mu(A_2), \quad \text{где } k \in \mathbb{R}^+, \, k \neq \infty.\] definition Такие множества работают как шестерни единого механизма: они не могут существовать или исчезнуть поодиночке. Например, числа, делящиеся на 5, и числа, делящиеся на 101, связаны конечным коэффициентом \(k = 101/5\). В рамках регулярных кортежей простых чисел:

  • Пары близнецов с шагом две единицы \((a, a+2)\) и пары с шагом восемь \((a, a+8)\) имеют одинаковую структуру запретов по малым модулям, обладают равной мощностью (\(k=1\)) и являются связанными.
  • Пары с шагом два \((a, a+2)\) и пары с шагом шесть \((a, a+6)\) имеют разную плотность. Модуль 3 блокирует одну фазу для шага 2: \\доля выживания \((3-2)/3=1/3\), но для шага 6 элементы одновременно делятся на 3, оставляя свободными \((3-1)/3=2/3\) вариантов.

Метод динамических сит

Рассмотрим регулярное множество пар \(A_k = \{k, k + 2\}\). Представим две числовые прямые, расположенные вертикально и со смещением по вертикали на две единицы друг относительно друга. При этом каждая пара из множества \(A_k\) примет строго горизонтальное положение. Представим, что эти прямые жестко связаны в единый блок и синхронно движутся вниз мимо горизонтального и неподвижного луча-детектора(рис.1). Луч мгновенно проверяет пробегающие кортежи чисел на делимость по последовательному базису простых чисел \(2, 3, 5, 7, \dots\)

При делении на число 7: левое число из 7 случаев делится только в одном, в 6 других — не делится. Правое число также в 6 случаях из 7 не делится. Но так как из-за взаимно простого сдвига они не могут делиться на 7 одновременно, запрет правого числа попадает на один из благоприятных случаев левого. Из 6 вариантов правое число не делится в 5 случаях. То есть в 5 случаях из 7 оба числа одновременно не делятся на 7.

Для пары доля «выживания» сквозь фильтры луча составляет: \[\Pi_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{9}{11} \dots = \frac{1}{6} \prod_{i=3}^{\infty} \frac{p_i - 2}{p_i}\] Нас не интересуют сложные вычисления для пар простых чисел с различными интервалами. Нас интересует коэффициент перед знаком произведения. Он будет отличаться для разных интервалов. Для всех различных интервалов найдётся такой общий нижний предел \(i=k\), что бесконечный <<хвост>> произведений для различных интервалов будет равный. Это как шестерни в редукторе: нам не надо считать количество зубьев в шестернях—достаточно знать отношения их диаметров.

center tabular|c|c|c| 7&&9\\ 6&&8\\ 5&&7\\ 4&&6\\ 3&&5\\ tabular center center Рис.1 \\Демонстрация метода динамических сит center

Теорема о простых близнецах

theorem[В. П. Воеводов] Множество простых близнецов бесконечно. theorem

proof Допустим, что множество простых близнецов конечно:

  1. Поскольку за любой наперед заданной границей множество простых чисел бесконечно, то в этом бесконечном множестве имеется бесконечное число пар, принадлежащих к связанным множествам по отношению к простым близнецам.
  2. Так как мощности связанных множеств отличаются друг от друга в конечное количество раз, рождающиеся простые пары неизбежно будут заполнять свободные фазы связанных шаблонов, формируя точные геометрические копии исходной пары.

proof