Глобальная теорема о n-кортежах(откорректирован в стиле журнала

СЕРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ Том 0, № 0, 1937 УДК 511.12+511.337+511.21 В. П. Воеводов Глобальная теорема о n-кортежах В работе демонстрируется новый подход к исследованию простых чисел через концепцию связанных множеств. Описан метод динамических сит. С помощью предложенной кинематической модели и концепции связанных множеств доказывается бесконечность множества простых чисел-близнецов, а также теорема о регулярных кортежах простых чисел произвольной дли- ны и конфигурации. Концепция альтернативных множеств расширяет теорему до глобального уровня. Ключевые слова: простые близнецы, простые кортежи, связанные множества, метод динамических сит. § 1. Введение Знакомство с классическими гипотезами распределения простых чисел ча- сто оставляет ощущение избыточной и искусственной сложности. Стремле- ние анализировать бесконечные последовательности напрямую и вычислять их асимптотические плотности на всей протяженности числового ряда зачастую скрывает от исследователей простые, фундаментальные структурные связи. Настоящая работа предлагает принципиально иной путь – конечные интер- валы, конкретные комбинаторные методы и конкретные связи между множе- ствами. Вместо абстрактных и исчезающих на бесконечности вероятностных оценок, предложенный метод динамических сит оперирует наглядными ком- бинаторными соотношениями на конечных интервалах. Но, используя факт бесконечности простых чисел, работа в ограниченных пределах получает без- граничное расширение на весь натуральный ряд. Результатом проделанной работы стала данная теорема: Теорема: для любого упорядоченного конечного кортежа из n произвольно выбранных простых чисел, удовлетворяющего условию n < P 1 < P 2 < · · · < P n , задаваемый им фиксированный шаблон расстояний повторяется в множестве простых чисел бесконечное число раз.

1.1. Содержание статьи

В разделе 2 подробно излагается главная идея концепции связанных множеств. Её суть заключается в том, что данные мно- жества не могут существовать или исчезать поодиночке, поскольку они связаны инвариантными конечными отношениями локальных плотностей распределе- ния. Предложенная концепция выступает в качестве универсального инстру- мента, позволяющего полностью обойти многостраничный численный анализ. В разделе 3 с помощью метода динамических сит мы проводим комбина- торный анализ плотности распределения кортежей с фиксированным числом c ○ В. П. Воеводов, 2026 2 В. П. ВОЕВОДОВ элементов, но с различной конфигурацией. Используется достаточно большой конечный интервал, который полностью удовлетворяет выбранный метод до- казательства теоремы. В конце этого раздела( 3 . 1 ) делается заключение, что исследуемые кортежи принадлежат к связанным множествам, плотности распределения которых со- относятся фиксированным конечным коэффициентом. Доказательство теоремы(раздел 4 ) ведётся от противного: допускается, что множество кортежей с фиксированным числом n и заданной конфигурацией конечно. Следовательно, конечны и все связанные с ним множества (множе- ства кортежей с заданным числом n , но с различной локальной конфигура- цией) (определение 1). Но, согласно классической теореме Евклида, за лю- бой наперед заданной границей последовательность простых чисел бесконеч- на. Это утверждение позволяет нам выбрать первые n простых чисел, кото- рые гарантированно принадлежат определённому связанному множеству кор- тежей(лемма 3.1). Признав, что наше допущение о конечности связанных мно- жеств оказалось ложным, мы приходим к выводу, что множество кортежей с заданными начальными параметрами также бесконечно(определение 1). § 2. Концепция связанных множеств Определение 1. (Связанные множества). Два подмножества натуральных чисел называются связанными, если для любого достаточно большого интерва- ла их плотности соотносятся через постоянный конечный коэффициент k > 0 : μ ( A ) = k · μ ( B ) , где k ∈ R + . (2.1) В рамках регулярных кортежей простых чисел свойства связанных мно- жеств раскрываются следующим образом: • Стабильность при степенных сдвигах ( k = 1 ): Пары близнецов с интервалом в две единицы ( a, a +2) и пары с интервалом восемь ( a, a +8) имеют идентичную структуру вычетов по малым простым модулям. Они обладают равной плотностью ( k = 1 ) и являются связанными. • Линейное масштабирование плотности ( k = 2 ): Пары с интервалом два ( a, a + 2) и пары с интервалом шесть ( a, a + 6) обладают различной плотностью. Модуль p = 3 блокирует два класса вычетов для интервала 2 (коэффициент выживания составляет (3 − 2) / 3 = 1 / 3 ). Однако для интервала 6 , поскольку его длина делится на 3 , элементы кортежа по- падают в один класс вычетов по модулю 3 , освобождая дополнительную фазу. Коэффициент выживания возрастает до (3 − 1) / 3 = 2 / 3 . Таким образом, их локальные плотности отличаются ровно в конечное число раз ( k = 2 ). • Обобщение на n -элементные кортежи произвольной конфигу- рации: Произвольные n -элементные кортежи произвольной конфигу- рации могут иметь различные масштабирующие коэффициенты k . Од- нако коэффициент k всегда остаётся строго конечным. Поскольку любой ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА О N-КОРТЕЖАХ 3 внутренний интервал кортежа раскладывается на конечное число про- стых множителей, а общее число элементов в n -элементном кортеже ко- нечно, результирующий коэффициент комбинаторного совмещения ря- дов всегда выражается конечным числом. Следовательно, все подобные множества связаны через конечные коэффициенты. § 3. Метод динамических сит Рассмотрим регулярное множество пар чисел A k = { k, k + 2 } . Для матема- тической формализации метода динамических сит построим геометрическую модель. Сформируем систему из n вертикальных числовых прямых, имеющих фик- сированные дискретные смещения друг относительно друга. При таком по- строении каждый исследуемый регулярный кортеж из множества A k занимает строго горизонтальное положение, образуя поперечное сечение всей этой систе- мы. Вертикальные прямые синхронно движутся вниз, а луч детектора осуществ- ляет мгновенную проверку пересекающих его элементов кортежа на делимость по последовательному базису простых чисел 2 , 3 , 5 , 7 , . . . . Рассмотрим действие динамического сита (таб.1) на примере простого моду- ля p = 7 для пары ( x, x +2) . Левый элемент кортежа не делится на 7 в 6 случаях из 7 . В силу взаимно простого вертикального сдвига, элементы x и x + 2 не могут быть кратны 7 одновременно. Следовательно, класс вычетов, запрещен- ный для правого элемента, накладывается на один из разрешенных (благопри- ятных) классов вычетов левого элемента. Таким образом, из 6 благоприятных для левого элемента вариантов правый элемент сохраняет регулярность ровно в 5 случаях. В итоге, точный локальный коэффициент выживания пары чисел сквозь фильтры луча детектора по простому модулю p = 7 составляет величину 5 / 7 . Для пары коэффициент «выживания» сквозь фильтры луча составляет: Π 2 = 1 2 · 1 3 · 3 5 · 5 7 · 9 11 · · · = 1 2 i = m Y i =2 p i − 2 p i (3.1) m –условное достаточно большое, но конечное число, удовлетворяю- щее длине интервала, который будет использоваться в будущем до- казательстве теоремы. Метод доказательства теоремы не требует анализа плотности на всём протяжении натурального ряда. Для квадруплетов (таб.2): при прохождении через фильтры простых чисел одна из 5 четвёрок просеивается через модуль 5, 3 из 7 четвёрок просеива- ются через модуль 7, 7 из 11 – через модуль 11. Общий поток вычисляется произведением: Π 4 = 1 2 · 1 3 · 1 5 · 3 7 · 7 11 · 9 13 · · · · = 1 6 i = m Y i =3 p i − 4 p i (3.2) 4 В. П. ВОЕВОДОВ Подобный алгоритм применим и для кортежей с большим n . Нас не интересуют сами вычисления. Нас интересует коэффициент перед оператором произведе- ния. Он будет отличаться для разных конфигураций и n = const (таб.3-4), но правая часть останется равной для всех конфигураций: Π n = i = k − 1 Y i =1 p i − a ( p i ) p i · i = m Y i = k p i − n p i (3.3) где a ( p i ) – число вычетов, удаляемых на малых простых числах, k – общий для всех конфигураций индекс, который разделяет индивидуальный начальный сегмент произведения от инвариантной остаточной части. 13 15 12 14 11 13 10 12 9 11 8 10 7 9 6 8 5 7 4 6 3 5 Таблица 1 . Близнецы 104 106 110 112 103 105 109 111 102 104 108 110 101 103 107 109 15 17 21 23 14 16 20 22 13 15 19 21 12 14 18 20 11 13 17 19 10 12 16 18 Таблица 2 . Квадруплеты

3.1. Инвариантность остаточных произведений

Рассмотрим подроб- нее механизм сопоставления на примере простых кортежей из двух простых чисел (пар близнецов). Произведения локальных плотностей для различных конфигураций отличаются исключительно своим начальным сегментом, струк- тура числителей в котором детерминирована геометрией интервала. Длина этого начального сегмента находится в строгой функциональной зависимости только от простых делителей, на которые раскладывается данная величина сдвига. Для математической формализации этого свойства применим метод матричной редукции: 1. Сформируем систему, содержащую все возможные конечные конфигу- рации пар простых чисел. 2. Сопоставим каждой конфигурации её характеристическое произведение локальной плотности распределения. Упорядочим эти алгебраические цепочки в виде структурированной матрицы, где строки соответствуют различным конфигурациям. 3. Заметим, что имеется общая часть произведений, которая полностью совпадает для всех строк данной матрицы, независимо от внутренней ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА О N-КОРТЕЖАХ 5 конфигурации кортежа. То есть существует единый для всех конфигу- раций нижний индекс i = k в операторе произведения, который отделя- ет индивидуальный коэффициент начального сегмента от инвариантной остаточной части. Даже при грубой оценке при p k > L , где L – мак- симальная длина внутреннего интервала из всех возможных конфигу- раций, остаточная часть произведений обретает стабильность (так как величина внутреннего интервала уже не может быть кратной p i ). Даже при допущении какой-нибудь неопределённости – эта неопределённость будет отражаться инвариантно для всех конфигураций. Выполним операцию нормирование, то есть сократим сопоставляемые произве- дения на их общую, неизменную остаточную компоненту. В результате редук- ции задача сводится к анализу конечной матрицы индивидуальных локальных коэффициентов. Для кортежей старших порядков ( n -элементных кортежей) длина индивидуального начального сегмента также строго ограничена инвари- антной структурой общего остаточного произведения. Ввиду конечной длины самого кортежа и конечного числа внутренних интервалов, общее число раз- личных локальных конфигураций также является конечным. Лемма 3.1. Множества регулярных кортежей с фиксированным конеч- ным числом простых чисел являются связанными независимо от локальной конфигурации самих кортежей Доказательство. Так как начальные сегменты в конечной матрице про- изведений плотностей для различных конфигураций конечны, то конечны и их отношения между собой. А это влечёт конечность отношений плотностей рас- пределения кортежей с различной локальной конфигурацией. То есть, множе- ства кортежей с заданным числом n , но с различной конфигурацией являются связанными(определение 1). 59 67 71 79 19 27 31 37 17 25 29 35 15 23 27 33 13 21 25 31 11 19 23 29 Таблица 3 . интервал 8-4-8 41 47 53 59 17 23 29 35 11 17 23 29 9 15 21 27 7 13 19 25 5 11 17 23 Таблица 4 . интервал 6 § 4. Теорема о простых n-кортежах Теорема 1. (В. П. Воеводов). Для любого упорядоченного конечного кор- тежа из n произвольно выбранных простых чисел, удовлетворяющего усло- вию n < P 1 < P 2 < · · · < P n , задаваемый им фиксированный шаблон расстоя- ний повторяется в множестве простых чисел бесконечное число раз. 6 В. П. ВОЕВОДОВ Доказательство. Допустим, что для некоторого фиксированного числа элементов n заданный регулярный кортеж имеет лишь конечное число точ- ных реализаций (сдвигов) в натуральном ряду. Следовательно, мощности всех связанных с ним множеств (множеств кортежей с различной локальной кон- фигурацией) также конечны (определение 1). Конечность множеств указывает на их общую границу, за которой их эле- менты полностью отсутствуют. Однако, согласно классической теореме Евклида, за любой наперед задан- ной границей последовательность простых чисел бесконечна. Следовательно, за пределами любой конечной области всегда существует возможность выбора начальных n простых чисел, которые согласно лемме 3.1 принадлежат кон- кретному связанному множеству. Таким образом, предположение о конечности связанных множеств является ложным, а это значит, что и предположение о конечности множества кортежей с заданными изначально параметрами также является ложным(определение 1). Следовательно, любой n -элементный кортеж произвольной конфигурации, удовлетворяющий условию n < P 1 < P 2 < · · · < P n , повторяется в множестве простых чисел бесконечное число раз. § 5. Концепция альтернативных множеств Каждое натуральное число при своем вхождении в числовой ряд однозначно проецируется на бесконечную систему вычетов по всем натуральным модулям. Определение 2. Связующим кодом (CK) натурального числа x назы- вается бесконечная последовательность его вычетов по модулю всех натураль- ных чисел, взятых в порядке их возрастания: CK ( x ) = ( r 1 , r 2 , r 3 , . . . ) , (5.1) где r n ≡ x (mod n ) для каждого натурального модуля n = 1 , 2 , 3 , . . . . При этом вычет r 1 ≡ 0 (mod 1) задает начальную координату, а вычет r x ≡ 0 (mod x ) определяет пространственную координату самого числа x . Выбор CK в пользу натуральных чисел позволяет дать равные условия про- стым и составным числам при делении на самих себя. Определение 3. Пересечение двух связующих кодов CK ( A ) = ( a n ) и CK ( B ) = ( b n ) не является пустым тогда и только тогда, когда существует хотя бы один общий индекс n ∈ N , для которого значения координат совпадают: CK ( A ) ∩ CK ( B ) ̸ = ∅ ⇐⇒ ∃ n ∈ N : ( a n = b n ) (5.2) Простые числа отличаются лишь тем, что их СК пересекается с CK (0) , со- стоящего из одних нулей, только в двух базовых координатах. Однако такому множеству противостоит бесконечный класс множеств, чьи CK пересекаются с любым (произвольно выбранным) СК только в двух координатах (включая начальную). ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА О N-КОРТЕЖАХ 7 Назовём связующй код CK(0) – альтернативой (CK–ограничителем) мно- жества простых чисел, а 0 – основанием (числом) альтернативы множе- ства простых чисел. Определение 4. Связующий код множества A (обозначается как CK ( A ) ) представляет собой множество, состоящее из связующих кодов отдельных эле- ментов этого множества: CK ( A ) = { CK ( x ) | x ∈ A } (5.3) Определение 5. ( Условие пересечения СК множества и СК числа ). Связующий код множества A пересекается со связующим кодом конкретного числа ω , если в множестве A существует по крайней мере один элемент a n , индивидуальный связующий код которого имеет непустое пересечение с кодом числа ω : CK ( A ) ∩ CK ( ω ) ̸ = ∅ ⇐⇒ ∃ a n ∈ A : ( CK ( a n ) ∩ CK ( ω ) ̸ = ∅ ) (5.4) Определение 6. ( Альтернативные множества ). Числовые множества называются альтернативными, если их связующие коды определены в общей области СК, обладают равными пространствами вариантов, но ограничены ин- дивидуальными для каждого множества CK-альтернативами: CK ( A ) ∩ CK ( ω ) = ∅ , где CK ( ω ) — альтернатива множества A. (5.5) Так как каждое число натурального ряда имеет свой индивидуальный СК, который задаёт своё альтернативное множество, то весь натуральный ряд со- стоит из этих равноправных множеств, плотности которых равны между собой на всей их протяжённости. Концепция альтернативных множеств в этой работе полностью не раскрывает- ся, так как это отдельная большая тема. § 6. Глобальная теорема о простых близнецах Теорема 2. (В. П. Воеводов). Для любого упорядоченного конечного кор- тежа из n произвольно выбранных чисел из альтернативного множества, определённого альтернативой CK ( a ) , удовлетворяющего условию n + a < P 1 < P 2 < · · · < P n (6.1) задаваемый им фиксированный шаблон расстояний повторяется в заданном альтернативном множестве бесконечное число раз. Доказательство. Каждый сдвиг альтернативы на единицу CK ( t ) → CK ( t + 1) синхронно прибавляет эту единицу по каждому модулю как для самой аль- тернативы, так и для каждого элемента альтернативного множества. Сдвиг 8 В. П. ВОЕВОДОВ (или трансформация) альтернативы вызывает синхронный сдвиг (или транс- формацию) элементов альтернативного множества. В силу детерминированно- сти арифметики вычетов и инвариантности мощностей, данный сдвиг влечет за собой синхронное отображение всего множества простых чисел в изоморфное ему альтернативное множество. При сдвиге CK (0) → CK (30) : 2 7 → 32 , 3 7 → 33 , 5 7 → 35 , 7 7 → 37 . . . − 29 7 → 1 , − 23 7 → 7 , − 19 7 → 11 , − 17 7 → 13 , − 13 7 → 17 , . . . − 3 7 → 27 , − 2 7 → 28 Следует отметить, что CK (2) , CK (3) и CK (5) пересекают CK (30) по три раза (например, CK (3) пересекает по модулям 1 , 3 , 27 ). Поэтому числа 2 , 3 , 5 не принадлежат альтернативному множеству с альтернативой CK (30) . А CK (25) , CK (27) , CK (28) пересекают CK (30) только по два раза ( CK (25) – по модулям 1 и 5 ), поэтому числа 25 , 27 , 28 являются альтернативными. Поскольку операция сдвига CK (0) → CK (1) (и её обобщение на произ- вольный шаг CK ( a ) ) представляет собой взаимно однозначное отображение, вся бесконечная структура распределения простых n -кортежей инвариантно проецируется на целевое альтернативное пространство. При этом полностью сохраняются как геометрическая конфигурация шаблона расстояний, так и асимптотическая плотность элементов. В силу того, что множество простых кортежей бесконечно, их синхронный перенос (копирование) оператором сдвига гарантирует бесконечное число по- вторений заданного шаблона внутри любого альтернативного множества. Та- ким образом, свойство бесконечности исходной структуры транслируется на всю систему альтернативных пространств. Список литературы [1] Виноградов И. М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1981. – 176 с. [2] Воеводов В. П. Глобальная теорема о n –мерных близнецах // Препринт. URL: https://arxivorg.ru [3] Евклид. Начала. Книги VII–IX / Перевод с древнегреческого Д. Д. Мордухай-Болтовского. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. — С. 88–104. [4] Яковлев В. И., Скачкова Е. А. Введение в комбинаторику и теорию множеств: Учебное пособие. — Пермь: Пермский государственный национальный исследова- тельский университет (ПГНИУ), 2012. — 114 с. В. П. Воеводов (V. P. Voevodov) Кировский завод E-mail : ***@*** Поступило в редакцию 16 октября 2026 г.