Отсутствие примарных нечётных рёбер в примитивных кубоидах Эйлера
В настоящей работе исследуется классическая диофантова задача о существовании примитивных кубоидов Эйлера — прямоугольных параллелепипедов с взаимно простыми целочисленными рёбрами и целочисленными лицевыми диагоналями. Непосредственно из системы уравнений кубоида Эйлера выведено характеристическое уравнение для случая нечётного примарного ребра вида p^n, где p > 2 — нечётное простое число и n >= 2 — целое число. Получена каноническая параметризация левой части характеристического уравнения, строго доказаны границы изменения индексных параметров для уникальных пар делителей и приведено исчерпывающее теоретико-числовое доказательство того, что примитивного кубоида Эйлера с нечётным ребром вида p^n (n >= 2) не существует. В совокупности с ранее известным результатом для n = 1 это полностью исключает класс примарных нечётных рёбер
This paper investigates the classical Diophantine problem of the existence of primitive Euler bricks — rectangular parallelepipeds with coprime integer edges and integer face diagonals. Directly fr om the system of Euler brick equations, a characteristic Diophantine equation is derived for the case of an odd primary edge of the form p^n, wh ere p > 2 is an odd prime and n >= 2 is an integer. A canonical parameterization of the left-hand side of the characteristic equation is obtained, the index bounds for unique pairs of divisors are rigorously established, and a complete number-theoretic proof is given showing that no primitive Euler brick with an odd edge of the form p^n (n >= 2) exists. Combined with the previously known result for n = 1, this completely rules out the class of primary odd edges.
- Версия 1 (PDF) — от 2026-11-13 12:02, 0.3 МБ
О чём эта работа
В настоящей работе исследуется классическая диофантова задача о существовании примитивных кубоидов Эйлера — прямоугольных параллелепипедов с взаимно простыми целочисленными рёбрами и целочисленными лицевыми диагоналями. Непосредственно из системы уравнений кубоида Эйлера выведено характеристическое уравнение для случая нечётного примарного ребра вида p^n, где p > 2 — нечётное простое число и n >= 2 — целое число. Получена каноническая параметризация левой части характеристического уравнения, строго доказаны границы изменения индексных параметров для уникальных пар делителей и приведено исчерпывающее теоретико-числовое доказательство того, что примитивного кубоида Эйлера с нечётным ребром вида p^n (n >= 2) не существует. В совокупности с ранее известным результатом для n = 1 это полностью исключает класс примарных нечётных рёбер
Ключевые темы: кубоид Эйлера, диофантовы уравнения, примарные числа, пифагоровы тройки, сравнения по модулю, основная теорема арифметики.