Нормальное распределение: плотность и правило сигм

• Плотность пропорциональна exp(−(x − μ)² / 2σ²); параметры μ и σ.
• Правило сигм: около 68 %, 95 % и 99,7 % значений в пределах одной, двух и трёх σ.
• Возникает как предел сумм независимых величин — следствие центральной предельной теоремы.
• Симметрично, эксцесс нулевой, хвосты убывают быстро — крупные выбросы маловероятны.
• Проверять нормальность нужно до применения критериев, которые её предполагают.

Плотность имеет вид f(x) = 1/(σ√(2π)) · exp(−(x − μ)² / (2σ²)). Параметр μ совпадает со средним, медианой и модой; σ — стандартное отклонение, а σ² — дисперсия. Стандартной называют версию с μ = 0 и σ = 1: к ней приводят линейной заменой z = (x − μ)/σ.

Замена важна практически: все табличные значения и критические точки считаются для стандартной формы, а переход к ней — единственное преобразование, которое нужно уметь делать.

В пределах одного стандартного отклонения от центра лежит примерно 68 % значений, двух — около 95 %, трёх — около 99,7 %. Это следствие вида плотности, а не эмпирическое наблюдение, и работает только для нормальной модели.

Практическое применение — быстрая оценка правдоподобности значения. Отклонение на четыре σ при нормальной модели означает вероятность порядка одной десятитысячной доли процента: обычно это признак не редкого события, а ошибки в данных или неверной модели.

Причина в центральной предельной теореме: если величина складывается из множества независимых вкладов сопоставимого масштаба, её распределение стремится к нормальному, каким бы ни было распределение отдельных вкладов. Ошибка измерения, рост, суммарный эффект многих факторов — типичные примеры.

Отсюда же следует, когда ожидать другого. Если результат определяется одним доминирующим фактором или произведением величин, нормальной формы не будет: во втором случае к нормальному стремится логарифм, что даёт логнормальное распределение.

Три типичных случая. Величина ограничена снизу и мала по сравнению с разбросом — например, время ожидания или концентрация: симметричная модель предскажет отрицательные значения. Данные явно скошены. В данных ожидаются тяжёлые хвосты, как в финансовых доходностях, — тогда нормальная модель систематически занижает риск крупных отклонений.

В последнем случае разумная альтернатива — распределение Лапласа или распределение Стьюдента с малым числом степеней свободы.

Начинать стоит с графика: квантильный график (Q-Q plot) показывает отклонения нагляднее любого критерия, и по нему видно, где именно модель не работает — в хвостах или в центре. Формальные критерии применяют после, а не вместо.

Важная тонкость: на больших выборках формальные критерии отвергают нормальность почти всегда, потому что реальные данные никогда не нормальны в точности. Вопрос не «нормальны ли данные», а достаточно ли отклонение мало для целей анализа, и на него критерий не отвечает.