Теорема Байеса: формула, смысл и разбор на примере

• P(H|D) = P(D|H) · P(H) / P(D) — апостериорная вероятность через априорную.
• P(H) — априорная вероятность, то есть распространённость до получения данных.
• P(D|H) и P(H|D) — разные величины; их смешение называют ошибкой прокурора.
• При редком явлении даже точный тест даёт много ложноположительных результатов.
• Формула не создаёт информацию: качество вывода определяется качеством априорной оценки.

В базовом виде: P(H|D) = P(D|H) · P(H) / P(D). Здесь H — гипотеза, D — наблюдённые данные. Знаменатель раскрывается через полную вероятность: P(D) = P(D|H)·P(H) + P(D|¬H)·P(¬H), что и делает формулу пригодной для расчёта.

Смысл каждого множителя: P(H) — что мы думали до наблюдения, P(D|H) — насколько наблюдение ожидаемо при верной гипотезе, P(H|D) — что следует думать после. Теорема описывает именно обновление убеждения, а не вычисление истины.

Люди устойчиво подменяют P(H|D) на P(D|H). Пример: тест на редкое заболевание с чувствительностью и специфичностью 99 % дал положительный результат. Кажется, что вероятность болезни 99 %. На самом деле она зависит от распространённости.

При распространённости 1 на 1000 на 100 000 человек приходится 100 больных (99 из них тест выявит) и 99 900 здоровых, из которых 1 % — то есть 999 человек — получат ложноположительный результат. Итого положительных 1098, из них действительно больны 99: вероятность болезни около 9 %, а не 99 %.

Априорная вероятность — оценка до получения данных. В медицине это распространённость в популяции или в конкретной группе; в технике — известная частота отказов; в судебной аргументации — доля людей, к которым версия применима.

Слабое место метода именно здесь: плохая априорная оценка портит вывод независимо от качества данных. Когда обоснованной оценки нет, разумно показать, как меняется результат при разных допущениях, а не выбирать одно молча.

Диагностика — самый наглядный случай: интерпретация результата теста без учёта распространённости систематически завышает риск. Техническая диагностика и надёжность — оценка вероятности отказа по показаниям датчика. Фильтрация сообщений — классические спам-фильтры построены прямо на этой формуле.

Отдельная область — байесовская статистика, где теорема применяется не к отдельным событиям, а к параметрам моделей: априорное распределение параметра обновляется данными и даёт апостериорное.

Первая и главная — игнорирование базовой частоты. Её последствия показаны выше: при редком явлении вывод меняется на порядок.

Вторая — подмена условных вероятностей местами. «Вероятность такого совпадения, если человек невиновен, мала» и «вероятность невиновности мала» — разные утверждения, и второе из первого не следует.

Третья — повторное использование одних данных как независимых. Два коррелированных признака, применённые как независимые, завышают уверенность: формула для независимых наблюдений здесь неприменима.