Уравнение неразрывности: формы записи и физический смысл

• Общий вид: ∂ρ/∂t + div(ρv) = 0.
• Для несжимаемой среды упрощается до div v = 0.
• Интегральная форма: изменение массы в объёме равно потоку через его границу.
• Уравнение — не приближение, а прямое следствие сохранения массы.
• Стационарный поток в трубе: произведение плотности, скорости и сечения постоянно.

Дифференциальная форма: ∂ρ/∂t + div(ρv) = 0, где ρ — плотность, v — поле скорости. Первое слагаемое описывает локальное изменение плотности, второе — расхождение потока массы.

Смысл читается прямо: если из окрестности точки вещества вытекает больше, чем втекает, дивергенция положительна, и плотность там убывает. Никакого дополнительного физического предположения здесь нет — это переформулировка сохранения массы.

Интегральная запись утверждает: скорость изменения массы в фиксированном объёме равна потоку массы через его поверхность со знаком минус. Дифференциальная форма получается из неё стягиванием объёма в точку.

Практическая разница в применимости. Интегральная форма работает и там, где есть разрывы — скачки плотности, ударные волны, — а дифференциальная требует гладкости полей. При расчёте разрывных течений опираются на интегральную.

Если плотность постоянна, первое слагаемое обращается в нуль, и остаётся div v = 0. Геометрически это означает, что поле скорости не имеет источников: сколько втекает в любой объём, столько и вытекает.

Важная оговорка: несжимаемость — свойство течения, а не только вещества. Газ ведёт себя как несжимаемая среда при скоростях, малых по сравнению со скоростью звука; вода при очень высоких давлениях сжимаема заметно.

Для стационарного одномерного течения в трубе интегральная форма даёт ρvS = const вдоль потока. Для несжимаемой жидкости плотность сокращается, и произведение скорости на площадь сечения постоянно: сужение трубы вдвое удваивает скорость.

Это соотношение — основа большинства инженерных оценок расхода и первая половина объяснения эффекта Вентури; вторая половина, связь скорости с давлением, следует уже из уравнения Бернулли.

Первая — применять условие несжимаемости к течению газа с большими скоростями. При числах Маха порядка единицы плотность меняется существенно, и упрощённая форма даёт неверный результат.

Вторая — путать сохранение массы с сохранением объёма. Они совпадают только при постоянной плотности; в сжимаемой среде объём не сохраняется.

Третья — применять дифференциальную форму на скачке. Через ударную волну поля разрывны, производные не определены, и баланс нужно записывать интегрально.