Квазипифагоровы тройки Владимир Браун 22.07.2022, 2026 Пифагоровы тройки – это тройки натуральных чисел a , b , c , таких, что a ² + b ² = c ². Тройка называется примитивной если числа a , b и c взаимно просты, то есть, не имеют общих делителей отличных от 1. Все другие тройки получаются из примитивных троек умножением на какой-либо натуральный множитель. В 1934 году шведский математик Берггрен открыл троичное дерево, граф, корнем которого служит тройка (3, 4, 5), содержащее все примитивные пифагоровы тройки:                                                                                                                   65 16 63 205 156 133 157 132 85 305 136 273 565 396 403 277 252 115 241 120 209 373 252 275 149 140 51 173 52 165 481 360 319 337 288 175 509 220 459 985 696 697 505 456 217 349 180 299 505 336 377 185 176 57 125 44 117 305 224 207 193 168 95 205 84 187 425 304 297 233 208 105 109 60 91 137 88 105 41 40 9 37 12 35 97 72 65 65 56 33 85 36 77 169 120 119 89 80 39 53 28 45 73 48 55 25 24 7 17 8 15 29 20 21 13 12 5 5 4 3 В 1963 году датский математик Барнинг показал, что указанное дерево примитивных пифагоровых троек может быть получено умножением трех матриц:               3 2 2 2 1 2 2 2 1 1 M ,            3 2 2 2 1 2 2 2 1 2 M ,               3 2 2 2 1 2 2 2 1 3 M , на вектор-столбец примитивной тройки, получая для каждой тройки, начиная с корневой тройки (3, 4, 5), три её потомка:                                    13 12 5 5 4 3 3 2 2 2 1 2 2 2 1 ,                                 29 20 21 5 4 3 3 2 2 2 1 2 2 2 1 ,                                    17 8 15 5 4 3 3 2 2 2 1 2 2 2 1 , ... Существование такого троичного дерева примитивных пифагоровых троек являет собой интересный феномен. Все пифагоровы тройки оказываются потомками одной- единственной корневой пифагоровой тройки (3, 4, 5). Не будь её – не было бы и никаких других пифагоровых троек. Здесь, вероятно, каждому на ум приходит (большая) теорема Ферма, утверждающая, что троек натуральных чисел a , b , c , для которых верно равенство n n n c b a   , где n больше двух, не существует. Причину этого можно видеть как раз в том, что для степеней выше двух соответствующей корневой тройки "нет на месте". А что же есть? Давайте посмотрим. Посмотрим сначала, что такого особенного в "квадратной" корневой тройке (3, 4, 5). Кроме главного свойства: "сумма квадратов равна квадрату", 2 2 2 5 4 3   , другим очевидным ей свойством является то, что числа 3, 4, 5 – это последовательные натуральные числа. Других таких пифагоровых троек нет. Обратимся теперь к рядам последовательных кубов, биквадратов, и других степеней. И здесь мы делаем интересное открытие. Оказывается, последовательные числа 5, 6, 7 образуют почти точную "кубическую пифагорову тройку": 986 , 6 6 5 3 3 3   . То же верно и для других степеней: 978 , 8 8 7 4 4 4   , 973 , 10 10 9 5 5 5   , 967 , 12 12 11 6 6 6   , · · · 949 , 200 200 199 100 100 100   , · · ·     1 2 2 1 2     n n n n n n . Разность       n n n n n n 2 1 2 1 2     хотя и растёт с ростом n , но никогда не превышает значения 0,052:         051846 , 0 1 ln 2 2 2 1 2 1 2 lim                 e n n n n n n n . Таким образом, при n > 2 существуют приближённые аналоги первой пифагоровой тройки. Но если такие тройки есть, то, может быть, они тоже являются корневыми и образуют троичные деревья таких, квазипифагоровых , троек? Приглядимся к размножающим матрицам:               3 2 2 2 1 2 2 2 1 1 M ,            3 2 2 2 1 2 2 2 1 2 M ,               3 2 2 2 1 2 2 2 1 3 M . Бросается в глаза, что в них много 2-ек. Не связаны ли они со степенью 2? Если это так, то для 3-ей степени, размножающие матрицы должны быть следующими:               4 3 3 3 2 3 3 3 2 31 M ,            4 3 3 3 2 3 3 3 2 32 M ,               4 3 3 3 2 3 3 3 2 33 M . Проверим это предположение:                                    25 24 13 7 6 5 4 3 3 3 2 3 3 3 2 ,                                 61 48 49 7 6 5 4 3 3 3 2 3 3 3 2 ,                                    31 18 29 7 6 5 4 3 3 3 2 3 3 3 2 . 25 209 , 25 24 13 3 3 3    , 61 113 , 61 48 49 3 3 3    , 31 148 , 31 18 29 3 3 3    . Как ни удивительно, но это действительно работает. Для 4-той степени, размножающие матрицы будут тогда такими:               5 4 4 4 3 4 4 4 3 41 M ,            5 4 4 4 3 4 4 4 3 42 M ,               5 4 4 4 3 4 4 4 3 43 M . И так далее. В общем, мы можем сделать следующее обобщение на произвольную натуральную степень. Для любого натурального показателя степени n , корневая (квази)пифагорова тройка равна   1 2 , 2 , 1 2   n n n , а размножающие матрицы равны:                 1 1 1 1 n n n n n n n n n M n ,               1 1 1 2 n n n n n n n n n M n ,                 1 1 1 3 n n n n n n n n n M n . С их помощью, начиная с корневой тройки, для любой натуральной степени n можно построить соответствующее дерево (квази)пифагоровых троек. В частности, дерево кубических квазипифагоровых троек будет следующим:                                                                                                                   223 90 221 757 624 577 505 456 325 1093 612 1033 2323 1842 1853 1027 978 557 769 468 709 1351 1050 1097 487 474 233 673 300 661 2047 1674 1577 1255 1146 785 2143 1182 2033 4693 3732 3733 2137 2028 1177 1279 798 1169 2101 1620 1717 697 684 313 421 204 409 1147 930 893 643 594 389 811 438 773 1849 1476 1465 877 828 493 379 246 341 553 420 457 157 156 61 91 42 89 265 216 205 157 144 97 241 132 229 535 426 425 247 234 137 133 84 121 211 162 173 67 66 29 31 18 29 61 48 49 25 24 13 7 6 5 В пользу сделанного обобщения есть ещё один аргумент. Как показал H. Andres Lönnemo, прародителем всех пифагоровых троек является тривиальная тройка (1, 0, 1). C помощью размножающих матриц можно получать не только потомков пифагоровых троек, но и определять их предков. Действительно, если некоторая тройка получена умножением (слева) предка на какую-то из матриц, то определить этого предка можно разделив (опять слева) тройку на эту матрицу. Проблемой кажется то, что этих матриц три, и для произвольной тройки (взятой не с дерева), мы не знаем, с помощью какой из матриц данная тройка была получена. Удастся ли это определить? Давайте просто посмотрим на примере, что получится. Возьмём первых потомков корневой пифагоровой тройки (3, 4, 5), т.е. тройки (5, 12, 13), (21, 20, 29), (15, 8, 17), и посмотрим, каким образом в каждом случае найдётся их общий предок. В матричной арифметике деление производится умножением на обратную матрицу. Обратными для матриц 1 M , 2 M , 3 M будут матрицы:                  3 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 M ,                 3 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 M ,                  3 2 2 2 1 2 2 2 1 1 3 M . Умножим теперь (слева) каждую из троек на каждую из матриц:                        5 4 3 13 12 5 1 1 M ,                         5 4 3 13 12 5 1 2 M ,                          5 4 3 13 12 5 1 3 M ;                         5 4 3 29 20 21 1 1 M ,                        5 4 3 29 20 21 1 2 M ,                        5 4 3 29 20 21 1 3 M ;                          5 4 3 17 8 15 1 1 M ,                        5 4 3 17 8 15 1 2 M ,                        5 4 3 17 8 15 1 3 M . Как видим, настоящего предка даёт только правильная матрица – обратная той, с помощью которой данная тройка была получена. Но и другие матрицы дают почти правильный результат – стоит отбросить знаки, и мы получим настоящего предка. То есть, для определения предка можно использовать любую из обратных матриц, следует лишь отбросить в результате возможные знаки минус. Давайте определим теперь прародителя кубической корневой тройки (5, 6, 7). Обратными для матриц 31 M , 32 M , 33 M будут матрицы:                  5 3 3 3 1 3 3 3 1 2 1 1 31 M ,                 5 3 3 3 1 3 3 3 1 2 1 1 32 M ,                  5 3 3 3 1 3 3 3 1 2 1 1 33 M . Умножим тройку (5, 6, 7) на любую из них:                        1 0 1 7 6 5 1 31 M ,                        1 0 1 7 6 5 1 32 M ,                        1 0 1 7 6 5 1 33 M . Как видим, это та же тривиальная тройка (1, 0, 1), что и для квадратной корневой тройки. Тот же результат получим и для любой другой степени. То есть, тривиальная тройка (1, 0, 1) является прародителем, "LUCA", вообще всех (квази)пифагоровых троек. Поэтому, для построения троичного дерева (квази)- пифагоровых троек нам не нужно знать корневую тройку. Всегда можно начать с тройки (1, 0, 1). Первым её потомком будет только одна новая тройка – корневая. Примеры для степеней 1, 2, 3, 4: 1.                                   3 2 1 1 0 1 2 1 1 1 0 1 1 1 0 ,                                 3 2 1 1 0 1 2 1 1 1 0 1 1 1 0 ,                                   1 0 1 1 0 1 2 1 1 1 0 1 1 1 0 , 2.                                    5 4 3 1 0 1 3 2 2 2 1 2 2 2 1 ,                                 5 4 3 1 0 1 3 2 2 2 1 2 2 2 1 ,                                    1 0 1 1 0 1 3 2 2 2 1 2 2 2 1 , 3.                                    7 6 5 1 0 1 4 3 3 3 2 3 3 3 2 ,                                 7 6 5 1 0 1 4 3 3 3 2 3 3 3 2 ,                                    1 0 1 1 0 1 4 3 3 3 2 3 3 3 2 , 4.                                    9 8 7 1 0 1 5 4 4 4 3 4 4 4 3 ,                                 9 8 7 1 0 1 5 4 4 4 3 4 4 4 3 ,                                    1 0 1 1 0 1 5 4 4 4 3 4 4 4 3 . В заключение, простейшее троичное дерево квазипифагоровых троек, для первой степени, или попросту натуральных чисел:                                  11 2 9 21 12 9 17 12 5 17 4 13 27 14 13 19 14 5 13 4 9 15 6 9 7 6 1 7 2 5 9 4 5 5 4 1 3 2 1 Эти тройки, сохраняя свойство "сумма первых степеней (точно) равна первой степени", потеряли свойство примитивности – тройки (9, 6, 15) и (9, 12, 21) сократимы. Ссылка: H. Andres Lönnemo. The Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples