Логарифмическая функция для натуральных чисел Георгий Гуляев 4 июля 2026 г. Определение и теоремы Введем функцию l ( n ) , n ∈ N при помощи следующих трех равенств: 1. l (1) = 0 , 2. l ( p ) = p , если p - простое число, 3. l ( m · n ) = l ( m ) + l ( n ) для любых m, n ∈ N . Теорема 1 . l ( n m ) = m · l ( n ) для любых m, n ∈ N . Доказательство . При m = 1 утверждение теоремы очевидно. Если m > 1 , то, согласно третьему равенству определения, l ( n m ) = l ( n · n m − 1 ) = l ( n ) + l ( n m − 1 ) . Если m > 2 , то продолжим l ( n m − 1 ) = l ( n ) + l ( n m − 2 ) , и так далее. В результате получим ровно m слагаемых l ( n ) . Что и требовалось доказать. Полагая n = p , где p - простое и, используя равенство 2 определения, получаем следствие теоремы 1. Следствие 1 . l ( p m ) = m · p для простого p и m ∈ N . В том случае, когда оба n и m - простые, то есть n = p, m = q , согласно следствию 1 имеем l ( p q ) = p · q и l ( q p ) = p · q , поэтому верно второе следствие. 1 Следствие 2 . l ( p q ) = l ( q p ) для любых простых p и q . Пусть n > 1 натуральное число, тогда его можно представить единствен- ным способом в виде канонического разложения на простые множители: n = p α 1 1 · p α 2 2 · ... · p α k k (1) где p 1 , ..., p k - различные простые, α 1 , ..., α k - натуральные числа. Теорема 2 . l ( p α 1 1 · p α 2 2 · ... · p α k k ) = p 1 · α 1 + p 2 · α 2 + ... + p k · α k . Доказательство . Используя третье свойство определения, произведе- ние преобразуем в сумму и, далее, применяем следствие 1. l ( p α 1 1 · p α 2 2 · ... · p α k k ) = l ( p α 1 1 ) + l ( p α 2 2 ) + ... + l ( p α k k ) = p 1 · α 1 + p 2 · α 2 + ... + p k · α k Таким образом, определенная нами функция l ( n ) преобразует степени в произведения, а произведения в суммы. В этом смысле она похожа на обычную логарифмическую функцию. Однако есть и существенное различие. Для нее не существует аналога основного свойства обычного логарифма, вытекающего из его определения: a log a b = b. Теорема 3 . Не существует таких натуральных a и b , чтобы выполнялось равенство: a l ( b ) = b. (2) Доказательство . Предположим, что равенство (2) выполняется для некоторых натуральных a и b , Тогда, применяя функцию l ( n ) к обеим частям, получим l ( a l ( b ) ) = l ( b ) ⇒ l ( a ) · l ( b )) = l ( b ) ⇒ l ( a ) = 1 Последнее равенство невозможно, так как l (1) = 0 а, из теоремы 2, l ( n ) > 1 при n > 1 . Что и требовалось доказать. Функция l ( n ) - не взаимно однозначная. Как правило, для заданного числа m > 1 , m ∈ N , существует много значений n ∈ N , для которых l ( n ) = m . Например, 2 m = 2, n = 2 m = 3, n = 3 m = 4, n = 4 m = 5, n = 5, 6 m = 6, n = 8, 9 m = 7, n = 7, 10, 12 m = 8, n = 15, 16, 18 m = 9, n = 14, 20, 24, 27 m = 10, n = 21, 25, 30, 32, 36 m = 11, n = 11, 28, 40, 45, 48, 54 m = 12, n = 35, 42, 50, 60, 64, 72, 81 m = 13, n = 13, 22, 56, 63, 75, 80, 90, 96, 108 m = 14, n = 33, 49, 70, 84, 100, 120, 128, 135, 144, 162 m = 15, n = 26,44,105,112,125,126,150,160,180,192,216,243 m = 16, n = 39,55,66,98,140,168,189,200,225,240,256,270,288,324 Теорема 4 . Множество { n } решений уравнения l ( n ) = m для любого заданного числа m > 1 , m ∈ N - конечно. Доказательство . Пусть n представлено разложением (1). Тогда, по тео- реме 2, уравнение l ( n ) = m сводится к уравнению p 1 · α 1 + p 2 · α 2 + ... + p k · α k = m (3) То есть, перебирая все решения уравнения (3) , мы получим все решения n вида (1) для уравнения l ( n ) = m . Очевидно, простые числа p 1 , p 2 , ..., p k в (3) не могут быть больше m, поэтому мы имеем конечное число про- стых чисел и, следовательно, конечное число решений уравнения (3) для любого фиксированного натурального m > 1. Для удобства обозначим через L m - множество решений { n } уравнения l ( n ) = m для m > 1 , m ∈ N . Теорема 5 . Множества L m для различных m не пересекаются между собой. Доказательство . Предположим противное,что существуют два различ- ных значения m = r и m = s , для которых L r и L s имеют общий элемент n .Тогда l ( n ) = r и l ( n ) = s , то есть r = s . Что и требовалось доказать. Теорема 6 . Множества L m содержат все натуральные числа n > 1 , то есть для любого n > 1 , n ∈ N существует m (единственное по теореме 5) такое, что l ( n ) = m . 3 Доказательство . Пусть n > 1 - произвольное натуральное число. Его можно предствить в виде (1) и по формуле (3) вычислить m ∈ N . Что и требовалось доказать. Теоремы 5 и 6 говорят о том, что условие l ( x ) = l ( y ) задает отношение эквивалентности на множестве N \ { 1 } и, следовательно, разбивает это множество на непересекающиеся классы эквивалентности L m . В полученном фактормножестве { L m } казалось бы естественным обра- зом можно определить операцию умножения: L r · L s = L r + s поскольку все произведения вида a · b, a ∈ L r , b ∈ L s находятся в L r + s . Однако, вообще говоря, они не исчерпывают L r + s , там могут быть и другие элементы. Это хорошо видно на примере. Пусть r = 7 , s = 8 , r + s = 15 , L 7 = { 7 , 10 , 12 } , L 8 = { 15 , 16 , 18 } . Тогда L 7 · L 8 = { 105 , 112 , 125 , 126 , 150 , 160 , 180 , 192 , 216 } Однако L 7+8 = L 15 = { 26 , 44 , 105 , 112 , 125 , 126 , 150 , 160 , 180 , 192 , 216 , 243 } содержит три дополнительных элемента 26 , 44 , 243 , которые получаются из других классов, представляющих число 15 в виде суммы L 2+13 , L 3+12 , ... . Согласно формуле (3) из теоремы 4 , уравнение l ( n ) = m решает задачу представления натурального числа m в виде суммы простых слагаемых (с повторениями). Задача . Для заданного n > 1 , n ∈ N пусть l ( n ) = m . Найти минимальное и максимальное значения во множестве L m . Здесь, к сожалению, кроме общих соображений ничего не найдено. По- нятно, что величина показателей степеней в разложении числа на про- стые множители значительно больше влияет на величину самого числа, чем сами простые множители. Исходя из этого, можно предположить, что в разложении на множители наименьшего значения L m показатели степеней, вероятно, будут равны 1 или чуть больше, а в разложении на множители наибольшего значения они будут максимально возможными. В качестве иллюстрации приведем таблицу с максимальными и мини- мальными значениями во множестве L m для n ∈ [2 , 43] : 4 n min max 2 2 = 2 2 = 2 3, 3 = 3 3 = 3 4 4 = 2^2 4 = 2^2 5 5 = 5 6 = 2 * 3 6 8 = 2^3 9 = 3^2 7 7 = 7 12 = 2^2 * 3^1 8 15 = 3 * 5 18 = 2 * 3^2 9 14 = 2 * 7 27 = 3^3 10 21 = 3 * 7 36 = 2^2 * 3^2 11 11 = 11 54 = 2 * 3^3 12 35 = 5 * 7 81 = 3^4 13 13 = 13 108 = 2^2 * 3^3 14 33 = 3 * 11 162 = 2 * 3^4 15 26 = 2 * 13 243 = 3^5 16 39 = 3 * 13 324 = 2^2 * 3^4 17 17 = 17 486 = 2 * 3^5 18 65 = 5 * 13 729 = 3^6 19 19 = 19 972 = 2^2 * 3^5 20 51 = 3 * 17 1458 = 2 * 3^6 21 38 = 2 * 19 2187 = 3^7 22 57 = 3 * 19 2916 = 2^2 * 3^6 23 23 = 23 4374 = 2 * 3^7 24 95 = 5 * 19 6561 = 3^8 25 46 = 2 * 23 8748 = 2^2 * 3^7 26 69 = 3 * 23 13122 = 2 * 3^8 27 92 = 2^2 * 23 19683 = 3^9 28 115 = 5 * 23 26244 = 2^2 * 3^8 29 29 = 29 39366 = 2 * 3^9 30 161 = 7 * 23 59049 = 3^10 31 31 = 31 78732 = 2^2 * 3^9 32 87 = 3 * 29 118098 = 2 * 3^10 33 62 = 2 * 31 177147 = 3^11 34 93 = 3 * 31 236196 = 2^2 * 3^10 35 124 = 2^2 * 31 354294 = 2 * 3^11 36 155 = 5 * 31 531441 = 3^12 37 37 = 37 708588 = 2^2 * 3^11 38 217 = 7 * 31 1062882 = 2 * 3^12 5 39 74 = 2 * 37 1594323 = 3^13 40 111 = 3 * 37 2125764 = 2^2 * 3^12 41 41 = 41 3188646 = 2 * 3^13 42 185 = 5 * 37 4782969 = 3^14 43 43 = 43 6377292 = 2^2 * 3^13 Если n - простое число, то оно само и является минимальным элементом в L m . Известные результаты Функция l ( n ) в теории чисел широко известна. Она называется в разной литературе по-разному: sopfr(n) - sum of prime factors with repetition [2] integer logarithm - целочисленный логарифм [1] potency of n [3]. В энциклопедии цифровых последовательностей OEIS она зарегистри- рована под номером A 001414 . Первые значения: l (1) = 0 , l (2) = 2 , l (3) = 3 , l (4) = 4 , l (5) = 5 , l (6) = 5 , l (7) = 7 , l (8) = 6 , ... . Кроме этого, функция l ( n ) используется для определения так называе- мых Ruth–Aaron пар [4] - пар последовательных чисел ( n, n + 1) с рав- ными значениями l ( n ) = l ( n + 1) . Классический пример: (714 , 715) , так как 714 = 2 · 3 · 7 · 17 ⇒ l (714) = 2 + 3 + 7 + 17 = 29 , 715 = 5 · 11 · 13 ⇒ l (715) = 5 + 11 + 13 = 29 . Здесь исследуется распределение таких пар, их связь с гипотезами о простых числах и так далее. Литература [1] N. J. A. Sloane, Sequence A001414: Integer log of n: sum of primes dividing n (with repetition), OEIS Foundation. [2] R. Sharipov, A note on the Sopfr(n) function, arXiv:1104.5235, 2011. [3] https://oeis.org/A001414 [4] C. Pomerance, Ruth–Aaron pairs revisited, 2000. 6