Суммирование кратных функциональных рядов и аналитическое продолжение

Q: О чём работа?

В работе обобщается интегральное представление для суммы степенного ряда, используемое для аналитического продолжения его суммы и для разложения голоморфных функций в ряды полиномов (монография Боаса Р.П. и Бака Р.К). Приводится общая теорема, которая позволяет строить новые полиномы, удобные для разложения в ряды по ним функций, голоморфных в односвязных областях. Результаты распространяются на функции многих переменных.

Q: Ключевые темы?

теорема Адамара, аналитическое продолжение, разложения по полиномам.

Гуляев Георгий Михайлович

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ На правах рукописи Гуляев Георгий Михайлович УДК 517.5 СУММИРОВАНИЕ КРАТНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ И АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 01.01.01 - математический анализ диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор А.И. Янушаускас Новосибирск 1987 1

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 §0.1.История вопроса и краткий обзор литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 §0.2.Изложение основных результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 Глава 1. Аналитическое продолжение степенных рядов . . . . . . . . . . .21 §1.1.Вспомогательные утверждения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 §1.2.Интегральное представление для суммы степенного ряда . . . . . .27 §1.3.Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 §1.4. n- звездные области вC n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 §1.5.Аналитическое продолжение кратных степенных рядов . . . . . . .45 Глава 2. Кратные ряды многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 §2.1.Общий класс многочленов многих комплексных переменных . . .51 §2.2.Разложение функций голоморфных в начале координат в ряды полиномов. Одномерный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 §2.3.Разложение функций голоморфных в начале координат в ряды полиномов. Многомерный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66 §2.4.Представление целых функций многих комплексных переменных рядами полиномов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72 §2.5.Суммирование полиномиальных разложений . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 2

ВВЕДЕНИЕ Вопросы изучения представления аналитических функцийf(z)функци- ональными рядами и связи между коэффициентами таких рядов и самой функциейf(z)относятся к фундаментальным проблемам классического анализа. Среди функциональных рядов наиболее простыми и удобными для при- ложений являются ряды по полиномам. В случае одной комплексной переменной имеется много интересных ре- зультатов о представлении аналитических функций полиномиальными рядами, которые можно найти в монографиях Сеге Г. [21], Боаса Р.П. и Бака Р.К. [35], Суетина П.К. [23]. Иначе дело обстоит с кратными рядами по многочленам. В литерату- ре мы довольно часто встречаем различные многочлены, зависящие от многих переменных, однако лишь эпизодически изучаются вопросы схо- димости, а тем более суммируемости, рядов по ним, а также вопросы представления голоморфных функций такими рядами. Отсутствует набор достаточно простых многочленов многих перемен- ных, по которым могли бы быть разложены функции, голоморфные в определенных областях пространстваC n . 3

§ 0.1. История вопроса и краткий обзор литературы Одной из наиболее важных теорем в теории аналитического продолже- ния рядов Тейлора является хорошо известная классическая теорема Адамара об умножении особенностей [42]. Согласно этой теореме, композиция по Адамару a∗b(z) = ∞ X n=0 anbnz n , сходящихся в окрестности начала координат рядов a(z) = ∞ X n=0 anz n иb(z) = ∞ X n=0 bnz n , голоморфно продолжается в областьA⊙B= (A ′ ·B ′ ) ′ , называемую Бибе- рахом [8] звездой-произведением. ЗдесьAобозначает звезду Миттаг- Леффлера функцииa(z), аB— звезду Миттаг-Леффлера функцииb(z), A ′ =C\A, B ′ =C\B, A ′ ·B ′ ={z·ω:z∈A ′ , ω∈B ′ }. Осуществляется это голоморфное продолжение при помощи деформации контураΓв интегральном представлении a∗b(z) = 1 2πi Z Γ a(ζ)b ̑ z ζ ̏ dζ ζ , (0.1) гдеΓ, соответствующим образом выбранная, замкнутая, спрямляемая, жорданова кривая. Заметим, чтоA⊙B, вообще говоря, меньше звезды Миттаг-Леффлера функцииa∗b(z). В монографии Бибераха [8] приводятся соответствую- щие примеры. Весьма плодотворной для приложений оказалась следующая модифика- ция интегрального представления (0.1), используемая в книге Боаса и Бака [35]. Приводя этот результат, мы, в целях удобства, объединим две теоремы 13.3 и 13.5 монографии [35] и сделаем замену переменныхζ=ω −1 . 4

Теорема Б (Боас, Бак). Допустим, что голоморфная в начале координат функция Ψ(t) = ∞ X n=0 Ψnt n удовлетворяет двум условиям: α)функцияΨ(t)голоморфно продолжается в областьΛ =C\[1,+∞); β)все коэффициенты ее ряда ТейлораΨn, n= 0,1, . . .отличны от нуля и разрешима проблема моментов Хаусдорфа 1 Ψn = 1Z 0 u n dµ(u),Var 1 0µ(u)<∞. Пусть далее f(z) = ∞ X n=0 fnz n любая, голоморфная в начале координат, функция иMf- ее звезда Миттаг-Леффлера. Тогда для любого компактаK⊂Mfнайдется за- мкнутая, спрямляемая, жорданова криваяΓ⊂Mf\K, разделяющая компактKи точку∞, такая, что для всехz∈Kимеет место инте- гральное представление f(z) = 1 2πi Z Γ g(ζ)·Ψ ̑ z ζ ̏ dζ ζ , (0.2) где функцияg(ζ)определяется своим разложением в ряд g(ζ) = ∞ X n=0 fn Ψn ζ n . Таким образом, формула (0.2) позволяет продолжить голоморфно функ- циюf(z)в ее звезду Миттаг-Леффлера. В 1958 году вышло в свет первое издание монографии [35], в которой был продемонстрирован общий подход к разложению в ряды полиномов целых, а также голоморфных в начале координат, функций одной ком- плексной переменной. Следует заметить. что до 1958 года, несмотря на обилие полиномов и 5

имевшейся о них информации, лишь в отдельных случаях существовали не связанные между собой приемы получения разложений голоморфных функций в ряды по ним. Большинство полиномов, введенных тем или иным способом в литера- туру, обладают простыми производящими соотношениями. Именно благодаря использованию производящих соотношений, а также интегрального представления (0.2), Боасом и Баком была создана доста- точно общая теория разложения голоморфных в нуле функций в ряды полиномов ([35], глава 3). Эта теория наряду с ее достоинствами имеет следующие недостатки. Во-первых, она не применима для тех полиномов, естественная область сходимости разложений по которым, не звездная (для полиномов Фабе- ра, например). Во-вторых, даже при условии звездности областей сходимости, некото- рые важные полиномы остались за пределами действия этой теории. Так случилось, например, с полиномами Якоби. И хотя в § 17 монографии [35] Боас и Бак применяют свою теорию к полиномам Якоби и даже получают правильный результат, в их рассуж- дениях имеется ошибка (см. § 2.2 настоящей диссертации). Отметим, что оба названных недостатка связаны с несовершенностью теоремы Б. Боас и Бак наряду со сходящимися рассматривают также и суммируемые некоторыми методами полиномиальные ряды. Суммирование и аналитическое продолжение полиномиальных рядов в одномерном случае исследовали также Коулинг и Кинг [37], Якимовски [44, 45], Яцун В.А. [33], Гариботти и Гринстейн [40], Бойчев [36]. Общий обзор методов суммирования и работ относящихся к суммирова- нию числовых, а также одномерных и кратных функциональных рядов до 1970 года содержится в книге Целлера и Бикмана [49]. 6

Суммированию кратных тригонометрических и ортогональных рядов посвящена обзорная статья Жижиашвили Л.В. [11]. В последнее время в работах Хаустса и Кларнера [43], Одони [47], Дья- ковича [38], Янушаускаса А.И. [30], Лейнартаса Е.К. [15, 16], Айзенбер- га Л.А. и Лейнартаса Е.К. [1] и др. появились различные многомерные обобщения теоремы Адамара об умножении особенностей, в связи с чем возник вопрос об аналогах интегрального представления (0.2) и всей тео- рии разложения по полиномам для пространстваC n . Заметим, что некоторые результаты монографии [35] для целых функций уже обобщались на двумерный случай в работе Деревянченко Г.Д. и Какичева В.А. [11]. Области сходимости некоторых двойных полиномиальных рядов изуча- лись в работах Янушаускаса А.И. [32] и Беляева В.А. [7]. В работах Цвиль М.М. [25, 26] рассматривалось обобщение полиномов Фабера на случай двух переменных, изучались вопросы сходимости ря- дов по ним и представления голоморфных функций такими рядами. В этом же направлении проводятся исследования и в настоящей диссер- тации. В диссертации рассматриваются следующие вопросы: 1. Интегральное представление (0.2) (теорема Б) усиливается и обобща- ется на случай произвольных ядер Ψ(t) = ∞ X n=0 Ψnt n ,Ψn̸= 0, n= 0,1, . . . ,lim n→∞ n p |Ψn|= 1. и на случай многих переменных. 2. Для одной и многих переменных изучается аналитическое продолже- ние степенного ряда при помощи интегрального представления для его суммы, в зависимости от выбора ядраΨ(t). 7

3. Теория разложений голоморфных функций по полиномам монографии [35] усиливается и распространяется на кратные полиномиальные ряды. 4. В качестве примера рассматриваются многомерные аналоги полино- мов Чебышева, Гегенбауэра, Якоби и др. Изучаются области сходимости разложений голоморфных функций по названным полиномам. 5. Определяется одно из возможных обобщений классического метода суммирования Миттаг-Леффлера на кратные ряды. Описываются области суммируемости, введенным методом, разложений голоморфных функций по многомерным полиномам, являющимся обоб- щением полиномов Чебышева второго рода. Для получения результатов диссертации используются методы теории функций одного и многих комплексных переменных. Диссертация состоит из введения и двух глав основного текста, содер- жащих в совокупности 12 параграфов и списка литературы из 53 наиме- нований. Объем работы - 90 страниц. Внутри каждой главы соблюдается единая двузначная нумерация параграфов, формул, теорем, лемм и следствий. § 0.2. Изложение основных результатов Приводя результаты диссертации, мы сохраняем нумерацию теорем, лемм, следствий и формул основного текста. Первая глава диссертации посвящена обобщениям интегральной форму- лы (0.2) и изучению аналитического продолжения степенных рядов при помощи полученных формул. 8

В параграфе 1.1 определяется семейство областейU(Λ)и доказывается ряд вспомогательных утверждений, касающихся этого семейства. ПустьAиBнекоторые подмножества расширенной комплексной плос- костиC. Обозначим z·A={z·ω:ω∈A}, A·B={z·ω:z∈A, ω∈B}, A −1 ={z −1 :z∈A}, A ′ =C\A, A ∗ = (A ′ ) −1 . При этом считаем, что∞ ·a=∞приa̸= 0,0 −1 =∞,∞ −1 = 0,0· ∞- неопределено. Далее пустьIr={z∈C:|z|< r}круг радиусаr >0с центром в начале координат, в частностиI1=I, I∞=C. ЕслиI⊂Λ⊂C, то черезU(Λ)обозначим семейство всех возможных областейΩ⊂C, удовлетворяющих условиюΩ·Λ ∗ ⊂Ω. Подмножество семействаU(Λ), состоящее из всех его односвязных обла- стей, обозначимU0(Λ). Лемма 1.3. Справедливы утверждения: 1)U(I) =U0(I) ={Ir,0< r≤ ∞}; 2) еслиΛ1⊂Λ2, тоU(Λ1)⊂ U(Λ2); 3) пусть(Λ ′ ) k = Λ ′ ·Λ ′ · · ·Λ ′ |{z} k ,Λ1= ˘ ∞S k=1 (Λ ′ ) k – ′ , тогдаU(Λ) =U(Λ1); 4) пустьΛ1= S Ω∈U(Λ) Ω·Ω ∗ , тогдаU(Λ) =U(Λ1). Из утверждений 1 и 2 леммы 1.3 следует, что семействаU(Λ)иU0(Λ) непустые. Определение. МножествоΛ, удовлетворяющее условиюI⊂Λ⊂C, назовем минимальным, если для любого множестваΛ1из соотношений I⊂Λ1⊂C,U(Λ) =U(Λ1)следует включениеΛ⊂Λ1. 9

Лемма 1.4. ПустьI⊂Λ⊂C, тогда 1) существует единственное минимальное множествоΛ1такое, чтоI⊂ Λ1⊂ΛиU(Λ) =U(Λ1), 2) для того чтобы само множествоΛбыло минимальным необходимо и достаточно, чтобыΛ∈ U(Λ)и1∈Λ ′ . В параграфе 1.2 доказывается теорема являющаяся усилением и обоб- щением теоремы Б. ПустьΓзамкнутая, жорданова кривая, разделяющая точки0и∞иD та из двух ограничиваемых ею областей, которая содержит точку0. Для данногоΛ⊂C, рассмотрим всевозможные областиS∈ U(Λ)такие, чтоS⊂Dи обозначим SΓ(Λ) = [ S⊂D S∈U(Λ) S. Очевидно, еслиD∈ U(Λ), тоSΓ(Λ) =D. Далее, пусть функцияΨ(t)задана своим степенным рядом Ψ(t) = ∞ X n=0 Ψnt n . (1.4) При выполнении условия Ψn̸= 0, n= 0,1, . . . (1.7) можно определить еще одну функцию Ψ−1(t) = ∞ X n=0 (Ψn) −1 t n , (1.8) если ряд (1.8) сходится в окрестности точки нуль. ПустьI⊂Λ⊂C,Λ- область. ЧерезG(Λ)обозначим множество всех тех функций (1.4), удовлетворя- ющих условию (1.7), которые вместе с соответствующей им функцией (1.8) голоморфно и однозначно продолжаются в областьΛ. 10

Теперь на множестве функций, голоморфных в начале координат, вве- дем следующее преобразование. Каждой функцииf(z), заданной своим разложением f(z) = ∞ X n=0 fnz n , (1.10) поставим в соответствие функцию g(ω) = ∞ X n=0 fn Ψn ω n , (1.11) гдеΨn, n= 0,1,2, . . .— коэффициенты некоторой фиксированной функ- ции (1.4), удовлетворяющие условиям (1.7) и lim n→∞ n p |Ψn|= 1. Теорема

1.2. ПустьI⊂Λ⊂C,Λ— область и функцияΨ(t)∈G(Λ)

Да- лее пустьΩ∈ U0(Λ),Γ⊂Ωспрямляемая, замкнутая, жорданова кривая, разделяющая точки0и∞. Тогда для любой функцииf(z), заданной рядом (1.10) и голоморфной в областиΩ, имеет место интегральное представление f(z) = 1 2πi Z Γ g(ω)·Ψ “ z ω ” dω ω , (1.12) справедливое для всехz∈SΓ(Λ). Функцияg(ω)в формуле (1.12) опре- деляется своим разложением в ряд (1.11). Следствие 1.2. Интегральное представление (1.12) дает аналитическое продолжение суммы ряда (1.10) в любую область семействаU0(Λ), не пересекающуюся с множеством особых точек этой суммы. Доказательство теоремы 1.2 проводится при помощи следующей теоре- мы, дополняющей теорему Адамара об умножении особенностей. 11

Теорема 1.1. ПустьI⊂Λ⊂C,Λ— область, в которую голоморфно и однозначно продолжается суммаΨ(t)степенного ряда Ψ(t) = ∞ X n=0 Ψnt n . (1.4) Тогда, если областьΩ∈ U0(Λ)и функцияa(z), определенная рядом a(z) = ∞ X n=0 anz n , (1.5) голоморфно продолжается в областьΩ, то и композиция по Адамару рядов (1.4) и (1.5) a∗Ψ(z) = ∞ X n=0 anΨnz n также голоморфно продолжается в областьΩ. В параграфе 1.3 рассматриваются различные примеры, иллюстрирую- щие теорему 1.2. В зависимости от выбора ядраΨ(t)в интегральном представлении (1.12) функцияf(z)голоморфно продолжается при помощи формулы (1.12) в те или иные области плоскостиC. В параграфе 1.4 вводятсяn-звездные области в пространствеC n , изуча- ются их свойства, а также определяется метод суммирования кратных степенных рядов, являющийся обобщением классического метода сум- мирования Миттаг-Леффлера. Пустьz= (z1, . . . , zn),ω= (ω1, . . . , ωn)точки пространстваC n ; положим z·ω= (z1ω1, . . . , znωn),z −1 = (z −1 1, . . . , z −1 n). ЕслиA⊂C n ,B⊂C n , то обозначим z·A={z·ω:ω∈A}, A·B={z·ω:z∈A, ω∈B}, A −1 ={z −1 :z∈A}; 12

пусть далееF= [0,1]отрезок действительной оси. ОбластьΩ⊂C n назовемn-звездной, если для нее выполняется соотношениеΩ·F n ⊂Ω. Очевидно, что любаяn-звездная область является звездной с центром в нуле, но не наоборот. Поликруговую областьD=D1× · · · ×Dn, являю- щуюсяn-звездной, назовем полизвездой. Полизвезду назовем максимальной полизвездой, содержащейся вn-звездной областиΩ, если любая строго большая ее полизвезда уже не содержится вΩ. Лемма 1.7. ЕслиΩ—n-звездная область вC n , то каждая ее точкаζ входит вΩвместе с некоторой максимальной полизвездойDζ, содержа- щейся вΩ. Из леммы 1.7 следует, что любаяn-звездная областьΩможет быть пред- ставлена в виде Ω = [ l∈L Dl, гдеLнекоторое множество индексов и всеDl,l∈L— максимальные полизвезды изΩ. Вообще, еслиF={Dl, l∈L}некоторая система произвольных областей вC n , то будем говорить, что областьΩ⊂C n порождается системойF, если Ω = [ l∈M⊂L Dl. Множество всевозможных областейΩ, порождаемых системойF, обо- значим черезPF. Рассмотрим кратный степенной ряд f(z) = X ∥α∥≥0 fαz α , (1.16) 13

сходящийся в некоторой окрестности начала координат. ЧерезMfобо- значим звезду Миттаг-Леффлера функцииf(z). Определим область Nf=int(C n \∆f· 1 F n ), где∆fмножество всех особых точек суммы ряда (1.16). ОбластьNfприn= 2встречалась в работах Гурьяновой К.Н. [10] и Мураева Э.Б. [18]. Лемма

1.8. ОбластьNfявляется максимальнойn- звездной областью вC n , в которой голоморфна функцияf(z)

ОбластьNfестественно называтьn-звездной звездой Миттаг-Леффлера функцииf(z). Следующая теорема показывает, чтоn-звездная звезда Миттаг-Леффлера является областью суммирования ряда (1.16), если сумму этого ряда определять по формуле S(z) = lim λ→0 X ∥α∥≥0 fαz α Γ(α1λ+ 1). . .Γ(αnλ+ 1) (1.18) Теорема 1.3. Равенство lim λ→0 X ∥α∥≥0 fαz α Γ(α1λ+ 1). . .Γ(αnλ+ 1) =f(z) справедливо для всехz∈Nf. При этом на компактных подмножествах областиNfпредел достигается равномерно поz. В параграфе 1.5 теоремы 1.1 и 1.2 обобщаются на случай многих пере- менных. Пустьz= (z1, . . . , zn)∈C n ,A⊂C n ,|z|= (|z1|, . . . ,|zn|),|A|={|z|:z∈ A},R n +={x= (x1, . . . , xn)∈R n :xj>0, j= 1, . . . , n},|A|+=|A| ∩R n +. 14

Еслиr∈R n +, то черезI n rобозначим поликругIr1× · · · ×Irn, в частности, I n - единичный поликруг⊂C n . Пусть теперьΛ = Λ1× · · · ×Λnнекоторое множество удовлетворяющее условиюI n ⊂Λ⊂C n . ЧерезU(Λ)обозначим, как и приn= 1, семейство областейΩ⊂C n для которыхΩ·Λ ∗ ⊂Ω, а черезU0(Λ)обозначим подмножествоU(Λ), состоящее из поликруговых областейΩ = Ω1×· · ·×Ωnтаких, что каждая из плоских областейΩj, j= 1, . . . , n- односвязна. Аналогично одномерному случаю определим функции Ψ(t) = X ||α||≥0 Ψαt α ,Ψα̸= 0 и Ψ−1(t) = X ||α||≥0 (Ψα) −1 t α и каждой, голоморфной в нуле функции (1.16), поставим в соответствие ряд g(ω) = X ||α||≥0 fα Ψα ω α . В том случае, когдаΛ- поликруговая область иI n ⊂Λ⊂C n соотно- шениеΨ(t)∈G(Λ), также как и в одномерном случае, будет означать, что обе функцииΨ(t)иΨ−1(t)голоморфно и однозначно продолжаются в областьΛ. Теорема

1.4. Пусть областьΩ∈ U0(Λ),Λ- поликруговая область, I n ⊂Λ⊂C n иΨ(t)∈G(Λ)

Тогда, для любой функцииf(z), задан- ной рядом (1.16) и голоморфной в областиΩ, имеет место интегральное представление 15

f(z) = 1 (2πi) n Z · · · Z Γ1×···×Γn g(ω)Ψ θ z1 ω1 , . . . , zn ωn ι dω1∧ · · · ∧dωn ω1. . . ωn ,(1.19) справедливое для всехz∈SΓ(Λ) def =SΓ1(Λ1)× · · · ×SΓn(Λn). Здесь каждая криваяΓjциклаΓ = Γ1× · · · ×Γn⊂Ωудовлетворяет тем же условиям, что и в плоском случае. Во второй главе диссертации результаты первой главы применяются для получения утверждений о разложении голоморфных функций по поли- номам, заданным довольно общим производящим соотношением. В параграфе 2.1 определяются полиномы многих комплексных перемен- ных и изучаются области сходимости рядов по ним. Обобщая семейство полиномов из монографии [35] на случай многих пе- ременных, приходим к следующему производящему соотношению a(ω)·Ψ(z·b(ω)) = X ||α||≥0 pα(z)ω α , (2.2) где a(ω) = X ||α||≥0 aαω α , a 0. . .0 |{z} n ̸= 0, z·b(ω) = (z1·b1(ω), . . . , zn·bn(ω)), bj(ω) = X ||α||≥0 bα,jω α , b 0. . .0 |{z} n ,j = 0, b 0. . .01 |{z} j 0...0,j ̸= 0, j= 1,2, . . . , n, Ψ(t) = X ∥α∥≥0 Ψα·t α ,Ψα̸= 0для всехα. Подобное обобщение многочленов монографии [35] рассматривалось в работах Какичева В.А., Деревянченко Г.Д. [14] и Сторчевой Г.Д. [22]. 16

Мы предполагаем, что в некоторой полной области РейнхартаRс цен- тром в нуле отображениеζ=b(ω)биголоморфно, а функцияa(ω)голо- морфна иa(ω)̸= 0для всехω∈ R. ПустьΛ⊂C n область, в которую голоморфно и однозначно продолжа- ется функцияΨ(t). ЧерезDrобозначим образ поликругаI n r⋐R, при отображенииζ=b(ω) и рассмотрим областьΩr={z∈C n :z·Dr⊂Λ}. В параграфе 2.2 интегральное представление (1.12) применяется к про- изводящему соотношению (2.2) приn= 1. Теорема

2.3. ПустьI⊂Λ⊂C,Λобласть иΨ(t)∈G(Λ)

Если для данногоr∈(0, ρ)существуетε∈(0, ρ−r)такое, чтоDτ∈ U(Λ) для всехτ∈[r, r+ε), то любая функцияf(z), голоморфная в областиΩr разлагается в ряд полиномов, заданных соотношением (2.2) приn= 1 f(z) = ∞ X n=0 cnpn(z). (2.10) При этом ряд (2.10) сходится к функцииf(z)в каждой точкеz∈Ωrи равномерно сходится на компактных подмножествах областиΩr. Отметим, что в [35] рассматривался лишь частный случайΛ =C\[1,+∞) этой теоремы, причем при более сильных предположениях относительно функцииΨ(t). Условия применения теоремы 2.3 к полиномам (2.2) приn= 1состоят из сопряженных требований, предъявляемых к функцииΨ(t)и отобра- жениюζ=b(ω). Пользуясь этой теоремой, можно конструировать новые полиномы удоб- ные для разложения по ним функций, голоморфных в односвязных об- ластях. 17

В параграфе 2.3 теорема 2.3 обобщается на многомерный случай. Теорема

2.5. ПустьΛполикруговая область,I n ⊂Λ⊂C n ,Ψ(t)∈G(Λ)

ЕслиDr∈ U0(Λ)для всехrиз некоторого множестваM⊂ |R|+, явля- ющегося областью в пространствеR n иΩ∈ PF, гдеF={Ωr:r∈M}, то любая, голоморфная в областиΩ, функцияf(z)разлагается в ряд по полиномам (2.2) f(z) = X |α|≥0 cαpα(z), (2.17) сходящийся кf(z)в каждой точкеz∈Ωи равномерно сходящийся на компактных подмножествах областиΩ. Полиэллипсом с фокусамиa, b(a≤0, b≥0) назовем декартово произ- ведениеnэллипсов с фокусами в точкахaиb, а области, порождаемые семейством всех возможных полиэллипсов с фокусамиa, bмы называем n-эллиптическими областями с фокусамиa, b. Для иллюстрации теоремы 2.5 определяются многомерные аналоги мно- гочленов Гегенбауэра, Якоби и др. При этом, в соответствующих частных случаях, теорема 2.5 гласит: если функцияf(z)голоморфна в некоторойn-эллиптической области с фо- кусами−1,1, то она разлагается в ряд, сходящийся в этой области, по многомерным полиномам, являющимися аналогами многочленов Геген- бауэра или Якоби. В параграфе 2.4 определяется функция сравнения многих переменных Ψ(t)и семейство целых функций конечногоΨ-типа. При Ψ(t) = exp( n X k=1 tk) это семейство совпадает с классом целых функций экспоненциального типа [20]. 18

Устанавливается условие в виде ограничения наΨ- тип целой функ- ции, при котором она может быть представлена всюду сходящимся в пространствеC n рядом по полиномам (2.2). В параграфе 2.5 рассматривается обобщение многочленов Чебышева вто- рого рода на случай многих переменных и изучается вопрос о суммирова- нии разложений голоморфных функций по этим многочленам методом, введенным в § 1.4 для степенных рядов. Зададим многочленыpα(z)с помощью производящей функции A(ω) n Y j=1 (1−2ωjzj+ω 2 j) −1 = X |α|≥0 pα(z)ω α , (2.32) где функцияA(ω)голоморфна в поликругеI n иA(ω)̸= 0для всехω∈ I n . Приn= 1иA(ω)≡1они превращаются в многочлены Чебышева второго рода. Гиперболическим лучом на плоскостиCназовем любую часть гиперболы с фокусами -1, 1, лежащую в одной четверти плоскости, а также четыре луча: {x+iy∈C:x= 0, y≥0},{x+iy∈C:x= 0, y≤0}, {x+iy∈C:x≥1, y= 0},{x+iy∈C:x≤ −1, y= 0}. Пустьω1∈C; черезT(ω1)обозначим кусок гиперболического луча, со- единяющего точкиω1и∞. Дляω= (ω1, ..., ωn)∈C n обозначимT(ω) =T(ω1)×...×T(ωn). Пусть∆fмножество особых точек функцииf(z), которую предположим голоморфной в некоторойn- эллиптической области с фокусами -1, 1. Область Hf=int(C n \ [ ω∈∆f T(ω)) 19

назовем гиперболической звездой Миттаг-Леффлера функцииf(z). В качестве суммы Миттаг-Леффлера ряда (2.17) возьмем выражение S(z) = lim λ→0 X ∥α∥≥0 cαpα(z) Γ(α1λ+ 1). . .Γ(αnλ+ 1) (2.34) Теорема 2.8. Пусть функцияf(z)голоморфна в некоторойn-эллиптической области с фокусами−1,1, тогда она разлагается в ряд (2.17) по много- членам (2.32), суммируемый методом (2.34) в гиперболической звезде Миттаг-ЛеффлераHf, иначе говоря, для всехz∈Hfимеет место равен- ство lim λ→0 X ∥α∥≥0 cαpα(z) Γ(α1λ+ 1). . .Γ(αnλ+ 1) =f(z) (2 .35) Результаты диссертации докладывались на IX Донецком коллоквиуме по квазиконформным отображениям и обсуждались на семинаре по теории аналитических функций в Московском государственном университете, на семинаре по дифференциальным уравнениям с частными производ- ными в математическом институте АН СССР им. В.А. Стеклова, на се- минаре отдела теории функций в институте математики СО АН СССР, а также на семинаре по методам математической физики и обобщенным функциям в Уральском государственном университете. По теме диссертации автором опубликовано 3 статьи [51-53] 20

ГЛАВА 1 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ § 1.1. Вспомогательные утверждения Пусть A и B некоторые подмножества расширенной комплексной плос- костиC. Обозначим z·A={z·w:w∈A}, A·B={z·w:z∈A, w∈B}, A −1 = 1 A ={z −1 :z∈A}, A ′ =C\A, A ∗ = (A ′ ) −1 . При этом, естественно, предполагаем, что∞·a=∞приa̸= 0,0 −1 =∞, ∞ −1 = 0,0· ∞- неопределено и в дальнейшем не появляется. Далее пусть Ir={z∈C:|z|< r}круг радиусаr >0с центром в начале координат, в частности полагаемI1=I,I∞=C. ЧерезAбудем обозначать замыкание в пространствеCмножестваA⊂ C. ЕслиD⊂Cобласть, то через∂Dобозначается ее граница; условиеA⊂ DзаписываетсяA⋐D, если множество A ограничено. Лемма 1.1. Имеют место равенства: 1)A ∗ = (A −1 ) ′ для любого множестваA⊂C; 2)A·B=A·Bдля множествA⋐CиB⋐C; 21

3)(A ′ ·B ′ ) ′ ={z∈C:z·A ∗ ⊂B}, еслиA⊂C,B⊂C,0∈A∩B. Доказательство. 1. Легко видеть, что A −1 ∪(A ′ ) −1 = (A∪A ′ ) −1 = (C) −1 =C, A −1 ∩(A ′ ) −1 =∅. Поэтому (A −1 ) ′ =C\A −1 = (A ′ ) −1 =A ∗ . 2. Заметим, что множествоA·Bзамкнуто в пространствеC. Действи- тельно, если, например,z0∈Cего предельная точка, то найдется по- следовательность точек этого множестваzn=wn·tn,wn∈A,tn∈B, n= 1,2, . . ., сходящаяся кz0. Последовательностиwnиtnограничены, т.к. ограничены сами множе- стваAиB, поэтому, переходя к подпоследовательностям, считаем их сходящимися к некоторым точкамw0∈Aиt0∈Bсоответственно. Отсюдаz0=w0·t0∈A·B. Таким образом, множествоA·Bзамкнуто и содержит множествоA·B, следовательно,A·B⊂A·B. Обратно, еслиz0∈A·B, тоz0=w0·t0,w0∈A,t0∈B. Тогда су- ществуют последовательностиwn∈Aиtn∈B, сходящиеся кw0иt0 соответственно. Полагаяzn=wn·tn,n= 1,2, . . ., находимzn∈A·Bиlim n→∞ zn=z0, т.е. z0∈A·B. Это означает, чтоA·B⊂A·B. 3. Это утверждение встречается в работах [41, 46]. Имеем (A ′ ·B ′ ) ′ ={z∈C:z /∈A ′ ·B ′ }={z∈C:z·A ∗ ∩B ′ =∅}={z∈C:z·A ∗ ⊂B}. Лемма 1.1 доказана. 22

Рассмотрим теперь некоторое множествоΛ⊂C, содержащее единичный кругI. ЧерезU(Λ)обозначим семейство всех возможных областейΩ⊂ C, удовлетворяющих условию Ω·Λ ∗ ⊂Ω. (1.1) Из этого определения следует, что всякая областьΩсемействаU(Λ)со- держит точку нуль. Заметим также, что если множествоΛне содержит точкуz= 1, т.е. 1∈Λ ′ , то условие (1.1) равносильно равенствуΩ·Λ ∗ = Ω. Подмножество семействаU(Λ), состоящее из всех его односвязных обла- стей, обозначимU0(Λ). Лемма 1.2. Условие (1.1) эквивалентно каждому из двух следующих соотношений: 1) Ω ′ ·Λ ′ ⊂Ω ′ , (1.2) 2) Ω·Ω ∗ ⊂Λ. (1.3) Доказательство. Применяя утверждение 3 леммы 1.1, находим: Ω·Λ ∗ ⊂Ω⇐⇒Ω⊂ {z∈C:z·Λ ∗ ⊂Ω}={z∈C:z·Ω ∗ ⊂Λ}= (Ω ′ ·Λ ′ ) ′ . Отсюда следует равносильность всех трех включений (1.1), (1.2) и (1.3). Лемма 1.2 доказана. Теперь докажем лемму, в которой приводятся некоторые свойства семей- стваU(Λ). Лемма 1.3. Справедливы утверждения: 1)U(I) =U0(I) ={Ir,0< r≤ ∞}; 23

2) еслиΛ1⊂Λ2, тоU(Λ1)⊂ U(Λ2); 3) пусть(Λ ′ ) k = Λ ′ ·Λ ′ . . .Λ ′ |{z} k ,Λ1= [ ∞S k=1 (Λ ′ ) k ] ′ , тогдаU(Λ) =U(Λ1); 4) пустьΛ1= S Ω∈U(Λ) Ω·Ω ∗ , тогдаU(Λ) =U(Λ1). Доказательство. 1. В данном случаеΛ =I,Λ ∗ =I, поэтому условие (1.1) имеет вид Ω·I⊂Ω. Таким образом, областьΩтогда и только тогда принадлежит семейству U(Λ), когда она обладает свойством:z∈Ω⇒z·I=I|z|⊂Ω. ОтсюдаΩ =Irдля некоторогоr, удовлетворяющего неравенству0< r≤ ∞. 2. По условиюΛ ′ 2⊂Λ ′ 1, следовательно,Λ ∗ 2⊂Λ ∗ 1, откудаΩ·Λ ∗ 2⊂Ω·Λ ∗ 1 для любой областиΩ. Сопоставляя это с условием (1.1), находим:Ω∈ U(Λ1)⇒Ω∈ U(Λ2), что означаетU(Λ1)⊂ U(Λ2). 3. Прежде всего, очевидно,Λ1⊂Λ. Отсюда, по уже доказанному, U(Λ1)⊂ U(Λ). Покажем обратное. ПустьΩ∈ U(Λ), тогда, по лемме 1.2,Ω ′ ·Λ ′ ⊂Ω ′ . Теперь для любого натуральногоk≥2имеем:Ω ′ ·(Λ ′ ) k = Ω ′ ·Λ ′ (Λ ′ ) k−1 ⊂ Ω ′ (Λ ′ ) k−1 ⊂ · · · ⊂Ω ′ , откудаΩ ′ ·Λ ′ 1⊂Ω ′ . По лемме 1.2 это означает, чтоΩ∈ U(Λ1), т.е.U(Λ)⊂ U(Λ1). 4. Применяя лемму 1.2, имеемΛ1⊂Λ, поэтомуU(Λ1)⊂ U(Λ). Обратное, из определения множестваΛ1, замечаем, чтоΩ∈ U(Λ)⇒ Ω·Ω ∗ ⊂Λ1. В соответствии с леммой 1.2 последнее означает, чтоΩ∈ U(Λ1), следо- вательно,U(Λ)⊂ U(Λ1). 24

Лемма 1.3 доказана. Из утверждений 1 и 2 леммы 1.3 следует, что семействаU(Λ)иU0(Λ) непустые. Например, они содержат все кругиJr,0< r≤ ∞. Положим теперьΛ =C\ {2}в утверждении 3 леммы 1.3, тогда Λ ′ ={2,∞},(Λ ′ ) 2 ={4,∞}, . . . ,(Λ ′ ) k ={2 k ,∞}, . . . . Поэтому Λ1= " ∞ [ k=1 (Λ ′ ) k # ′ =C\ {2, . . . ,2 k , . . .}, т.е.Λ1⊂Λ,Λ1̸= Λи, в то же время, по лемме 1.3,U(Λ) =U(Λ1). Этот пример оправдывает следующее определение. Определение. МножествоΛ, удовлетворяющее условиюI⊂Λ⊂C, назовем минимальным, если для любого множестваΛ1из соотношений I⊂Λ1⊂C,U(Λ) =U(Λ1)следует включениеΛ⊂Λ1. Лемма 1.4. ПустьI⊂Λ⊂C, тогда 1) существует единственное минимальное множествоΛ1такое, чтоI⊂ Λ1⊂ΛиU(Λ) =U(Λ1), 2) для того чтобы само множествоΛбыло минимальным необходимо и достаточно, чтобыΛ∈ U(Λ)и1∈Λ ′ . Доказательство. 1. Для доказательства существования мы используем утверждение 4 лем- мы 1.3, а именно покажем, что определенное в нем множествоΛ1явля- ется искомым минимальным множеством. Действительно, взяв в качествеΩнекоторый кругIr,0< r <∞, убеж- даемся, чтоI⊂Λ1. Далее, применяя лемму 1.2, находим, чтоΛ1⊂Λ. Любое же множествоΛ2такое, чтоI⊂Λ2⊂CиU(Λ2) =U(Λ1) =U(Λ) содержит все множестваΩ·Ω ∗ ,Ω∈ U(Λ), т.е. содержитΛ1. 25

Поэтому множествоΛ1минимально. Его единственность следует из са- мого определения минимального множества. 2. Необходимость. ПустьΛминимально, тогда, по уже доказанному, Λ = Λ1= [ Ω∈U(Λ) Ω·Ω ∗ . Теперь, если1∈Λ, то найдется областьΩ∈ U(Λ)такая, что1∈Ω·Ω ∗ , т.е.1 =z·ω −1 при некоторыхz∈Ωиω∈Ω ′ . Противоречие. Итак1∈Λ ′ . Далее, пустьΩ̸=C, тогдаΩ·Ω ∗ = S t∈Ω ∗ \{0} Ω·t, откуда следует, чтоΩ·Ω ∗ область, еслиΩ̸=C. Но тогда и само множествоΛявляется областью. Наконец, Λ·Λ ∗ = ( [ Ω∈U(Λ) Ω·Ω ∗ )Λ ∗ = [ Ω∈U(Λ) Ω·(Ω ∗ Λ ∗ ) = [ Ω∈U(Λ) Ω·Ω ∗ = Λ, таким образом,Λ∈ U(Λ). Достаточность. Пусть1∈Λ ′ иΛ∈ U(Λ), тогда, по уже доказанному утверждению 1 настоящей леммы, существует минимальное множество Λ1= [ Ω∈U(Λ) Ω·Ω ∗ ⊂Λ, для которогоU(Λ) =U(Λ1). Так какΛ∈ U(Λ), то приΩ = ΛнаходимΛ = Λ·Λ ∗ ⊂Λ1. ОтсюдаΛ1= Λ. Лемма 1.4 доказана. Сделаем теперь некоторые замечания. 1. Из леммы 1.4 следует, что минимальными множествами могут быть только области. 26

2. УсловиеΛ∈ U(Λ)равносильно следующим:I⊂Λ⊂C,Λ- область иΛ ′ ·Λ ′ ⊂Λ ′ . Если же1∈Λ ′ , то последнее включение превращается в равенствоΛ ′ ·Λ ′ = Λ ′ . 3. Приведенный выше примерΛ =C\ {2}показывает, что множество Λ1, определенное в утверждении 3 леммы 1.3, вообще говоря, не является минимальным. Однако нетрудно доказать, что оно будет минимальным в том случае, ко- гда1∈Λ ′ и, в силу единственности минимального множества, совпадает с множествомΛ1из утверждения 4 леммы 1.3. 4. Заметим, что конструкции видаΩ·Ω ∗ использовались в работе [3] для описания областей эффективной суммируемости степенных рядов. Лемма

1.5. ПустьΛ∈ U(Λ),Λ̸=CиD⊂Cнекоторая область, содер- жащая точку нуль

Тогда множествоS=D·Λ ∗ также является областью, причемS∈ U(Λ). Доказательство. Тот факт, чтоS- область доказывается так же, как это было сделано в лемме 1.4 для множестваΩ·Ω ∗ . ДалееS·Λ ∗ =DΛ ∗ ·Λ ∗ ⊂D·Λ ∗ =S. ЗначитS∈ U(Λ). Лемма 1.5 доказана. § 1.2. Интегральное представление для суммы степен- ного ряда Прежде всего докажем следующую теорему, которая описывает голо- морфное продолжение композиции по Адамару двух степенных рядов. 27

Теорема 1.1. Пусть I⊂Λ⊂C, Λ- область, в которую голоморфно и однозначно продолжается сумма Ψ(t)степенного ряда Ψ(t) = ∞ X n=0 Ψnt n (1.4) Тогда, если областьΩ∈ U0(Λ)и функцияa(z), определенная рядом a(z) = ∞ X n=0 anz n (1.5) голоморфно продолжается в областьΩ, то и композиция по Адамару рядов (1.4) и (1.5) a∗Ψ(z) = ∞ X n=0 anΨnz n также голоморфно продолжается в областьΩ. Доказательство. Мы действуем аналогично доказательству теоремы Адамара об умноже- нии особенностей [8]. Сначала заметим, что вследствие утверждения 1 леммы 1.4 областьΛ можно считать минимальным множеством. Пустьωпроизвольная точка областиΩ. Возьмем ограниченную область B⋐Ω, содержащую точки0иω. По лемме 1.5 множествоS=B·Λ ∗ является областью иS∈ U(Λ). Кроме того1∈Λ ′ (условие минимальностиΛ), поэтомуB⊂Sиω∈S. Используя утверждение 2 леммы 1.1, находим S=B·Λ ∗ =B·Λ ∗ ⊂Ω·Λ ∗ = Ω, следовательноS⋐Ω. В силу односвязности областиΩ, найдется такая односвязная областьDс жордановой спрямляемой (даже кусочно- 28

гладкой) границейΓ, чтоS⋐D⋐Ω(см. [28], стр. 127). Мы докажем справедливость интегрального представления a∗Ψ(z) = 1 2πi Z Γ a(ζ)Ψ ̑ z ζ ̏ dζ ζ (1.6) для любой точкиzиз областиS. Когдаz∈Sиζ∈Γимеемζ∈Ωиz·ζ −1 ∈S·S ∗ ⊂Λ(по лемме 1.2). Поэтому функцияb(z), определенная интегралом (1.6) b(z) = 1 2πi Z Γ a(ζ)Ψ ̑ z ζ ̏ dζ ζ , голоморфна и однозначна в областиS. Так как0∈S, то найдетсяρ >0такое, что кругIρ⊂S. Очевидно, ряд (1.5) сходится вIρ. Пусть теперьz∈Iρ. Выберемr >0так, что|z|< r < ρ. ОбластьΩодносвязна, поэтому криваяΓгомотопна в этой области окруж- ности∂Ir={z∈C:|z|=r}. Еслиζ∈∂Ir, тоζ∈Iρиz·ζ −1 ∈Iпри выбранномz. По интегральной теореме Коши, имеем b(z) = 1 2πi Z ∂Ir a(ζ)Ψ ̑ z ζ ̏ dζ ζ = 1 2πi Z ∂Ir ∞ X m,n=0 anΨmz m ζ n−m−1 dζ= = ∞ X n=0 anΨnz n =a∗Ψ(z), z∈Iρ, Почленное интегрирование законно, т.к. ряды для функцийa(ζ)иΨ( z ζ ) сходятся равномерно поζ∈∂Ir. По теореме единственности, теперьb(z) =a∗Ψ(z)в областиS. Формула (1.6) доказана. Учитывая, чтоωпроизвольная точка областиΩ, мы тем 29

самым доказали возможность аналитического продолжения композиции по Адамару рядов (1.4) и (1.5) в областьΩ. По теореме о монодромии, определенная таким образом функцияa∗Ψ(z), однозначна вΩ. Теорема 1.1 доказана. Вопрос об аналитическом продолжении композиции по Адамару иссле- дован очень мало [8]. Теорема 1.1 дает определенную информацию по этому вопросу при до- полнительных ограничениях на один из рядов и, таким образом, допол- няет теорему Адамара об умножении особенностей. Отметим еще работу [17], в которой затрагивается эта проблема. Пусть теперьΓлюбая замкнутая жорданова кривая, разделяющая точки 0и∞иDта из двух ограничиваемых ей областей, которая содержит точку0. Для данного множестваΛ,I⊂Λ⊂Cрассмотрим всевозможные области S∈ U(Λ)такие, чтоS⊂D. Наибольшую из всех этих областей, равную их объединению, мы обозна- чим черезSΓ(Λ). ЕслиD∈ U(Λ), то, очевидно,SΓ(Λ) =D. Следствие 1.1. В условиях теоремы 1.1 интегральное представление (1.6) при фиксированной замкнутой, спрямляемой, жордановой кривой Γсправедливо для всехz∈SΓ(Λ). Доказательство. Пусть криваяΓфиксирована иω- любая точка областиSΓ(Λ). По определению областиSΓ(Λ)найдется такая областьS1∈ U(Λ), что ω∈S1⊂ D. Возьмем ограниченную областьB⋐S1, содержащую точки0иω, и сконструируем областьS=B·Λ ∗ . ТогдаS⋐S1,S∈ U(Λ),ω∈S. 30

Рассуждая далее как в доказательстве теоремы 1.1, доказываем инте- гральное представление (1.6) для всехz∈S, а следовательно и для любой точкиω∈Sn(Λ). Следствие 1.1 доказано. В качестве ядра будущего интегрального представления для суммы сте- пенного ряда рассмотрим функциюΨ(t), заданную сходящимся рядом (1.4). Предположим, что Ψn̸= 0, n= 0,1,2, . . . (1.7) и вместе с рядом (1.4) в окрестности начала координат сходится ряд Ψ−1(t) = ∞ X n=0 (Ψn) −1 t n . (1.8) ПустьI⊂Λ⊂C,Λ- некоторая область. ЧерезG(Λ)обозначим множество всех тех функций (1.4), удовлетворяю- щих условию (I.7), которые вместе с соответствующей им функцией (1.8) голоморфно и однозначно продолжаются в областьΛ. Из теоремы 1.1 следует, что в случаеΛ∈ U0(Λ)множествоG(Λ)относи- тельно операции * является коммутативной группой с единицей(1−t) −1 . Для того, чтобы функция (1.4) принадлежала множествуG(I)достаточ- но выполнения двух условий: (1.7) и lim n→∞ n p |Ψn|= 1. (1.9) Если жеΛ =C\[1,+∞), то важным представителем множестваG(Λ) является гипергеометрическая функция 2F1(a, b, c;t) = ∞ X n=0 (a)n(b)n (c)nn! t n , 31

где параметрыa,bиcне равны нулю или целому отрицательному числу, (a)n=a(a+ 1)...(a+n−1),(a)0= 1. Действительно, известно [4], что гипергеометрическая функция2F1го- ломорфно продолжается в областьΛ =C\[1,+∞). Поэтому функции Ψ(t) = ∞ X n=0 (a)n (c)n t n иΨ−1(t) = ∞ X n=0 (c)n (a)n t n также голоморфно продолжаются в областьΛ, как частные случаи ги- пергеометрической функции. Таким образом,Ψ(t)∈G(Λ). По той же причине группеG(Λ)принадле- жит и функция φ(t) = ∞ X n=0 (b)n n! t n . Но тогда, по теореме 1.1 (или по теореме Адамара об умножении особен- ностей), и сама функция2F1(a, b, c;t)принадлежит группеG(Λ). Отметим, что вопросы аналитического продолжения функции (1.8) при действительных коэффициентахΨnи условии (1.9) рассматривал Сул [48, 49], а в общем случае комплексных коэффициентовΨn, при до- полнительном предположении, что функция (1.4) голоморфна в области Λ =C\[1,+∞)- Эгмон [34]. Теперь на множестве функций, голоморфных в начале координат, вве- дем следующее преобразование. Каждой функцииf(z), заданной своим разложением в ряд f(z) = ∞ X n=0 fnz n , (1.10) поставим в соответствие функцию g(w) = ∞ X n=0 fn Ψn z n , (1.11) 32

гдеΨn, n= 0,1, . . .коэффициенты некоторой фиксированной функции (1.4), удовлетворяющие условиям (1.7) и (1.9). Теорема

1.2. ПустьI⊂Λ⊂C,Λ- область и функцияΨ(t)∈G(Λ)

Да- лее пустьΩ∈ U0(Λ),Γ⊂Ωспрямляемая, замкнутая, жорданова кривая, разделяющая точки0и∞. Тогда для любой функцииf(z), заданной рядом (1.10) и голоморфной в областиΩ, имеет место интегральное представление f(z) = 1 2πi Z Γ g(ω)Ψ “ z ω ” dω ω , (1.12) справедливое для всехz∈SΓ(Λ). Функцияg(ω)в формуле (1.12) опре- деляется своим разложением в ряд (1.11). Доказательство. Так какg(ω) =f∗Ψ−1(ω)то, по теореме 1.1, функцияg(ω)голоморфно продолжается в областьΩ. Кроме того,f(z) =g∗Ψ(z), поэтому, по следствию 1.1, для функцииf(z) мы имеем интегральное представление (1.12). Теорема 1.2 доказана. Следствие 1.2. Интегральное представление (1.12) дает аналитическое продолжение суммы ряда (1.10) в любую область семействаU0(Λ), не пересекающуюся с множеством особых точек этой суммы. Для функцииg(ω)мы также можем указать интегральное представление g(ω) = 1 2πi Z C f(ζ)Ψ−1 ̑ ω ζ ̏ dζ ζ , (1.13) 33

которое продолжает ее голоморфно в областьΩ. Здесь криваяC⊂Ωобладает теми же свойствами, что иΓв формуле (1.12),ω∈SC(Λ). Пустьz∈SΓ(Λ),Γвместе со своей внутренностьюDсодержится в обла- стиSC(Λ), тогда, подставляя найденное выражение дляg(ω)в формулу (1.12), получаем f(z) =− 1 4π 2 ZZ ΓC f(ζ)Ψ “ z ω ” ·Ψ−1 ̑ ω ζ ̏ dζ ζ · dω ω . (1.14) Заметим, что формула (1.14) сводится к интегральной формуле Коши. В этом можно убедиться меняя порядок интегрирования (что при ука- занных условиях допустимо) и используя равенство 1 2πi Z Γ Ψ “ z ω ” ·Ψ−1 ̑ ω ζ ̏ dω ω = 1 1− z ζ . (1.15) Формула (1.15) может быть доказана тем же методом каким была дока- зана формула (1.6) в теореме 1.1. Мы можем рассматривать формулу (1.13) как интегральное преобразо- вание функцииf(z). Тогда формула (1.12) является его формулой обращения. Ее доказательство можно было бы получить рассуждая в обратном по- рядке: установить равенство (1.15), подставить его в интегральную фор- мулу Коши и, изменив порядок интегрирования, прийти к формуле (1.14), наконец воспользоваться преобразованием (1.13). 34

§ 1.3. Примеры В этом параграфе мы приведем некоторые примеры, иллюстрирующие материал предыдущих параграфов. Пример 1. ПустьΛ =I. Поскольку1∈Λ ′ иΛ ′ ·Λ ′ = Λ ′ , то, по лемме 1.4,Λ- минимальное множество. В качестве ядра интегрального представления (1.12) здесь, очевидно, можно брать любую сумму ряда (1.4), коэффициенты которого удовле- творяют условиям (1.7) и (1.9). Однако, согласно утверждению 1 леммы 1.3, семейство областейU(Λ) состоит в этом случае из одних круговIr, следовательно никакого про- должения ряда (1.10) за пределы его круга сходимости формула (1.12) не дает. Пример 2. Возьмем теперь областьΛ, для которой Λ ′ ={z∈C:|arg(z−1)| ≤α < π 2 } есть множество точек расположенных внутри и на границах угла вели- чины2αс вершиной в точке 1 и биссектрисой Imz= 0. В данном случае семействоU(Λ)состоит из областейΩ, удовлетворяю- щих условиюΩ ′ ·Λ ′ = Ω ′ , которое, очевидно, равносильно следующему: ω·Λ ′ ⊂Ω ′ для всехω∈∂Ω. Таким образом, семействоU(Λ)здесь состоит из областейΩ, содержащих точку нуль и непересекающихся со всеми угламиωΛ ′ ,ω∈∂Ω. Заметим, однако, чтоΛне является минимальным множеством. Лемма 1.4 гарантирует нам существование минимального множестваΛα⊂Λ такого, чтоU(Λα) =U(Λ). Так как1∈Λ ′ , то это множество можно сконструировать в виде Λα= " ∞ [ k=1 (Λ ′ ) k #′ (см. замечание 3 после леммы 1.4). 35

Построив соответствующий чертеж, нетрудно убедиться, что Λ ′ = ȷ z=ρ(φ)e iφ :ρ(φ)≥ sinα sin(α− |φ|) ,|φ| ≤α ff . Далее находим (Λ ′ ) 2 = ȷ z=ρ(φ)·e iφ :ρ(φ)≥min φ1+φ2=φ ˘ sin 2 α sin(α− |φ1|) sin(α− |φ2|) – ,|φ1| ≤α,|φ2| ≤α ff = = ( z=ρ(φ)·e iφ :ρ(φ)≥ sin 2 α sin 2 (α− |φ| 2 ) ,|φ| ≤2α ) . Действуя аналогично, определяем(Λ ′ ) k приk >2 (Λ ′ ) k = ( z=ρ(φ)·e iφ :ρ(φ)≥ sin k α sin k (α− |φ| k ) ,|φ| ≤min[kα, π] ) . В пределе приk→ ∞получаем Λ ′ α= ˘ z=ρ(φ)·e iφ :ρ(φ)≥e |φ|ctgα ,|φ| ≤π . Заметим, чтоρ(φ) =e φctgα — уравнение в полярных координатах лога- рифмическойα-спирали, пересекающей под угломαлюбой луч, прове- денный из начала координат. ПоэтомуΛαпредставляет собой симметричную относительно осиOX область, ограничиваемую частями двух логарифмических спиралей ρ(φ) =e φctgα ,0≤φ≤πиρ(φ) =e −φctgα ,−π≤φ≤0. 36

Рис. 1. Теперь мы сможем точнее описать процесс аналитического продолжения ряда (1.10), осуществляемого формулой (1.12) в случае, когда функция Ψ(t)∈G(Λα). Построим спиральные углыω·Λ ′ αс вершиной в каждой особой точкеω суммы ряда (1.10), возьмем объединение S ω ωΛ ′ αпо всем особым точкам функцииf(z)и рассмотрим дополнение ˘ S ω ωΛ ′ α – ′ . Открытое ядро этого дополнения Ωα=int " [ ω ωΛ ′ α # ′ и будет той областью, в которую формула (1.12) голоморфно продолжает сумму ряда (1.10). Можно проверить, чтоΩα∈ U(Λα). В частном случае приα= 0мы получаем голоморфное продолжение в звезду Миттаг-Леффлера функции f(z). 37

Пример 3. ПустьΛесть плоскостьCс разрезом вдоль логарифмическойα-спирали ρ(φ) =e φ ctg(α) от 1 до∞(т.e.φ≥0,0< α < π 2 , т.e. Λ ={z∈C:z̸=e φ(i+ctg(α)) , φ∈[0.+∞]}. Легко убедиться, чтоΛминимальное множество. СемействоU(Λ)здесь состоит из спиральных звезд, т.е. областей содер- жащих вместе с любой своей точкойω, дугу логарифмической спирали ωΛ ∗ , соединяющую точкуωс началом координат (см. также [3]). Таким образом, при условииΨ(t)∈G(Λ)формула (1.12) дает анали- тическое продолжение суммы ряда (1.10) в максимальную спиральную звезду, не содержащую особых точек этой суммы, так сказать, в спираль- ную звезду Миттаг-Леффлера. Пример 4. ВозьмемΛ =C\N, гдеN- множество натуральных чисел. Тогда, Λ ′ =N∪ {∞},Λ ′ ·Λ ′ = Λ ′ , следовательно,Λ- минимально. Здесь области семействаU(Λ)) это областиΩ, удовлетворяющие условию Ω· 1 n ⊂Ω,для всехn∈N∪ {∞}. Аналитическое продолжение, осуществляемое формулой (1.12) можно описать так: пусть∆f- множество особых точек суммы ряда (1.10), то- гда, при условии, чтоΨ(t)∈G(Λ)формула (1.12) аналитически продол- жает функциюf(z)в любую односвязную областьΩтакую, что 0∈ΩиΩ⊂C\(∆f·N). Пример 5. Обозначим через E множество корней степени n из единицы, т.е. E={exp( 2kπ n i), k= 0,1, ..., n−1} 38

и пустьΛ =C\E. ТогдаΛ ′ =E∪ {∞}и легко видеть, чтоΛ- мини- мальное множество. Условие (1.1) в данном случае означает, что областьΩпереходит в себя при поворотах на угол 2π n . Таким образом, здесь формула (1.12) дает голоморфное продолжение ряда (1.10) в любую односвязную областьΩ, инвариантную относительно поворота на угол 2π n , при условииΨ(t)∈G(Λ). В частности, приn= 1получаем аналитическое продолжение суммы ряда (1.10) в любую односвязную область, содержащую точку нуль и не пересекающуюся с множеством особых точек этой суммы. § 1.4.n- звездные области вC n Пустьz= (z1, . . . , zn),ω= (ω1, . . . , ωn)точки пространстваC n ; положим zω= (z1ω1, . . . , znωn),z −1 = (z −1 1, . . . , z −1 n). При этом считаем действующими соглашения принятые в начале пара- графа

1.1. ЕслиA⊂C n ,B⊂C n , то обозначим zA={zω:ω∈A}, A·B={zω:z∈A, ω∈B}, A −1 ={z −1 :z∈A}

Также как и в одномерном случае используем обозначениеAдля за- мыкания вC n множестваA⊂C n ,∂Dдля границы областиD⊂C n , записываемA⋐Dв том случае когдаA⊂DиAограничено. Без труда на случай многих переменных переносится утверждение 2 лем- мы 1.1. Лемма

1.6. ПустьA⋐C n ,B⋐C n , тогдаA·B=A·B

Доказательство практически дословно совпадает с уже разобранным слу- чаемn= 1. 39

Пусть далееF= [0,1]отрезок действительной оси иE⊂F n . ОбластьΩ⊂C n назовемE-звездной, если для нее выполняется соотно- шениеΩ·E⊂Ω. Например, если E=Ed={z∈F n :z1=z2=· · ·=zn} - диагональ кубаF n , тоE-звездная областьΩесть просто звездная об- ласть вC n с центром в нуле в обычном общепринятом смысле. В случаеE=F n будем называтьE-звездные областиn-звездными. Очевидно, что любаяn-звездная область является звездной с центром в нуле, но не наоборот. Например, областьC n \E −1 d является звездной с центром в начале коор- динат, но неn-звездной, ибо(C n \E −1 d )F n =C n . Ясно также, что областьΩ⊂C n тогда и только тогдаn-звездна, когда она вместе с каждой своей точкойz= (z1, . . . , zn)содержит декартово произведение отрезков z·F n =z1F× · · · ×znF. Поликруговую областьD=D1× · · · ×Dn, являющуюсяn-звездной, на- зовем полизвездой. В этом случаеDk⊂C, k= 1, . . . , nплоские, звездные с центром в нуле, области. ПолизвездуDназовем максимальной полизвездой содержащейся вn- звездной областиΩ, еслиD⊂Ωи не существует полизвездыD1̸=D такой, чтоD⊂D1⊂Ω. Лемма 1.7. ЕслиΩ-n-звездная область вC n , то каждая ее точкаζ входит вΩвместе с некоторой максимальной полизвездойDζ, содержа- щейся вΩ. 40

Доказательство. Пустьζ= (ζ1, ..., ζn)∈Ω. Рассмотрим2 n точекω= (ω1, ..., ωn), гдеωk∈ {0, ζk}, k= 1, ..., n; некоторые из них могут совпадать. Все эти точки лежат в областиΩи, следовательно, их достаточно малые поликруговые окрестности Vω=Vω1×...×Vωn={|zk−ωk|< εω, k= 1, ..., n} также лежат вΩ. Пустьεнаименьшее из всехεω. Рассмотрим теперь два поликруга Vζ=Vζ1×...×Vζn, Vζk ={|zk−ζk|< ε}иV0=V1×...×Vn, Vk={|zk|< ε}, k= 1, ..., n. Легко проверить, что полизвездаBζ= (Vζ·F n )∪V0лежит вΩи содержит точкуζ. Осталось доказать, что существует максимальная вΩполизвезда Dζ⊃Bζ. Рассмотрим множествоXвсевозможных полизвездDтаких, что Bζ⊂D⊂Ω. ТогдаXчастично упорядочено по включению, а любое линейно упоря- доченное подмножествоYизXимеет вXверхнюю грань (такой гранью будет, например, объединение всех элементовY). По лемме Цорна существует максимальный элементDζвX, который и является искомой полизвездой, максимальной вΩи содержащейBζ. Лемма 1.7 доказана. Из леммы 1.7 следует, что любаяn-звездная областьΩ⊂C n может быть представлена в виде Ω = [ ℓ∈L Dℓ, гдеL- некоторое множество индексов и всеDl, l∈L- максимальные полизвезды изΩ. Такое представление, вообще говоря, не единственно. 41

Пусть вообщеF={Dℓ, ℓ∈L}некоторая система произвольных обла- стей вC n . Будем говорить, что областьΩ⊂C n порождается системойF, если Ω = [ ℓ∈M⊂L Dℓ. Множество всех возможных областейΩ, порождаемых системойF, обо- значим черезPF. Например, еслиFсистема всевозможных поликругов вC n с центром в нуле, тоPFмножество полных областей Рейнхардта илиn-круговых областей. Пустьaиbдействительные числа, причемa≤0, аb≥0. Полиэллипсом с фокусамиa, bназовем декартово произведениеnэллип- сов с фокусами в точкахaиb. n-звездные области, которые порождает система всех возможных поли- эллипсов с фокусамиa, bбудем называтьn-эллиптическими областями с фокусамиa, b. Пусть далее,α= (α1, . . . , αn)мультииндекс, αj≥0, j= 1, . . . , n,∥α∥=α1+· · ·+αn, z α =z α1 1. . . z αn n. Рассмотрим степенной ряд f(z) = X ∥α∥≥0 fαz α , (1.16) сходящийся в некоторой окрестности начала координат. ЧерезMfобозначим звезду Миттаг-Леффлера функцииf(z), т.е. мак- симальную, звездную с центром в нуле, область пространстваC n , в ко- торую голоморфно продолжается сумма ряда (1.17). Тогда всюду вMfимеет место равенство (см. [31]) 42

f(z) = lim λ→0 X |α|≥0 fαz α Γ(||α||λ+ 1) , (1.17) гдеλ >0, аΓ(t)- гамма-функция Эйлера. Выберем теперь в качестве суммы Миттаг-Леффлера ряда (1.16) другое выражение S(z) = lim λ→0 X |α|≥0 fαz α Γ(α1λ+ 1). . .Γ(αnλ+ 1) (1.18) и определим его область суммируемости этим методом. Пусть∆fмножество всех особых точек суммы ряда (1.16); черезNf обозначим внутренность дополнения вC n до множества∆f· 1 F n, т.е. Nf= int θ C n \∆f· 1 F n ι . ОбластьNfприn= 2встречалась в работах Гурьяновой К.Н. [10] и Мураева Э.Б. [18]. Она сконструирована аналогично, введенной Ивановым В.К. [13], звезде Бореля - области суммируемости методом Бореля двойного степенного ряда. Может показаться, что областьNfсовпадает с звездой Миттаг-Леффлера Mfфункцииf(z), однако это не так. Докажем, чтоNf⊂Mfи, вообще говоря,Nf̸=Mf. Лемма

1.8. ОбластьNfявляется максимальнойn- звездной областью вC n , в которой голоморфна функцияf(z)

Доказательство. Из определения областиNfлегко следует, что (C n \Nf) −1 =∆ −1 f ·F n . Обозначим∆ −1 f =Af, тогда, применяя лемму 1.6, находим 43

Nf=C n \( ¯ Af·F n ) −1 . Теперь, еслиz∈Nf, тоz /∈( ¯ Af·F n ) −1 , откудаz·F n ∩( ¯ Af·F n ) −1 =∅, ибо иначеz∈( ¯ Af·F n ) −1 ·(F n ) −1 = ( ¯ Af·F n ·F n ) −1 =C n \Nf. Таким образом,z·F n ⊂C n \( ¯ Af·F n ) −1 =Nf. Последнее соотношение выполняется для любой точкиz∈Nf, следова- тельно,Nf·F n ⊂Nf. Мы показали, что областьNfявляетсяn-звездной. Чтобы доказать, что она максимальная из всехn-звездных областей, в которые голоморфно продолжается функцияf(z), предположим против- ное, т.е., что существует такаяn-звездная областьD, в которой функция f(z)голоморфна иD\Nf̸=∅. Пустьω∈D\Nf, тогдаω∈( ¯ Af·F n ) −1 , откудаωF n ∩( ¯ Af) −1 ̸=∅. Посколькуω·F n ⊂D, тоD∩( ¯ Af) −1 ̸=∅. Теперь нетрудно убедиться, чтоD∩(Af) −1 =∅, ибоDобласть. Но(Af) −1 = ∆f, следовательно,D∩∆f̸=∅. Противоречие. Лемма 1.8 доказана. Теперь мы видим, чтоNfестественно называтьn-звездной звездой Миттаг- Леффлера функцииf(z). Следующая теорема показывает, чтоn-звездная звезда Миттаг-Леффлера Nfявляется областью суммирования ряда (1.16) при выбранном нами способе суммирования (1.18). Теорема 1.3. Равенство lim λ→∞ X |α|≥0 fαz α Γ(α1λ+ 1). . .Γ(αnλ+ 1) =f(z) справедливо для всехz∈Nf. При этом на компактных подмножествах 44

областиNfпредел достигается равномерно поz. Доказательство. ЕслиNfполизвезда, то доказательство проводится с использованием ин- тегральной формулы Коши вC n аналогично одномерному случаю в [24]. В общем случае, по лемме 1.7,Nfпредставляет собой объединение по- лизвезд, поэтому доказательство здесь сводится к рассмотренному част- ному случаю. Теорема 1.3 доказана. § 1.5. Аналитическое продолжение кратных степен- ных рядов В этом параграфе речь пойдет об обобщении интегрального представле- ния (1.12). Прежде всего оно легко обобщается на случай многих переменных в духе интегральной формулы Коши вC n . Пустьz= (z1, . . . , zn),ω= (ω1, . . . , ωn),t= (t1, . . . , tn)точки простран- стваC n ,A⊂C n ,B⊂C,λ∈C. К обозначениям параграфа 1.4 добавим следующие: zλ= (z1λ, . . . , znλ),|z|= (|z1|, . . . ,|zn|),A·λ={zλ:z∈A}, A·B={zλ:z∈A, λ∈B},|A|={|z|:z∈A},R n +={x∈R n :xj>0, j= 1, . . . , n},|A|+=|A| ∩R n +. Еслиr∈R n +, то черезI n rобозначим поликругIr1× · · · ×Irn, в частности I n =I× · · · ×I |{z} n — единичный поликруг вC n . Для любого множества видаA=A1× · · · ×An,Aj⊂C, j= 1, . . . , n, полагаем A ′ = (C\A1)× · · · ×(C\An)иA ∗ = (A ′ ) −1 . 45

Возьмем теперь некоторое множествоΛ = Λ1×· · ·×Λn, удовлетворяющее условиюI n ⊂Λ⊂C n . ЧерезU(Λ)обозначим, как и приn= 1, семейство областейΩ⊂C n , для которыхΩ·Λ ∗ ⊂Ω. В том случае когдаΩ = Ω1× · · · ×Ωnполикруговая область,Ω∈ U(Λ)и каждая из плоских областейΩj,j= 1, . . . , nодносвязна будем обозначать Ω∈ U0(Λ).Если жеI⊂Λ⊂C, то множество областейΩ⊂C n , для которыхΩ·Λ ∗ ⊂Ω, обозначимU n (Λ). Например, семействоU n (I)состоит из всех возможных полных круговых областей с центром в начале координат. Возьмем некоторую точкуz∈C n отличную от начала координат и для любой областиΩ⊂C n , содержащей точку нуль, обозначим Ωz={λ∈C:zλ∈Ω}. Ясно, чтоΩzявляется областью на плоскостиCи, еслиΩ∈ U n (Λ), то Ωz∈ U(Λ). Отметим, чтоz·Ωz- множество точек лежащих в пересечении области Ωс комплексной прямойω=λz. Тот факт, чтоΩ∈ U n (Λ)и для всехz̸= 0областьΩzодносвязна, будем обозначатьΩ∈ U n 0(Λ). Аналогично одномерному случаю определим функции Ψ(t) = X |α|≥0 Ψαt α ,Ψα̸= 0иΨ−1(t) = X |α|≥0 (Ψα) −1 t α и каждой голоморфной в нуле функции (1.16) поставим в соответствие функцию g(ω) = X |α|≥0 fα Ψα ω α . В том случае, когдаΛполикруговая область иI n ⊂Λ⊂C n соотношение Ψ(t)∈G(Λ), также как и в одномерном 46

случае, будет означать, что обе функцииΨ(t)иΨ1(t)голоморфно и од- нозначно продолжаются в областьΛ. Теорема

1.4. Пусть областьΩ∈ U0(Λ),Λ- поликруговая область, I n ⊂Λ⊂C n иΨ(t)∈G(Λ)

Тогда для любой функцииf(z), задан- ной рядом (1.16) и голоморфной в областиΩ, имеет место интегральное представление f(z) = 1 (2πi) n Z · · · Z Γ1×···×Γn g(ω)Ψ ̑ z1 ω1 , . . . , zn ωn ̏ dω1∧ · · · ∧dωn ω1. . . ωn ,(1.19) справедливое для всехz∈SΓ(Λ) def =SΓ1(Λ1)× · · · ×SΓn(Λn). Здесь каждая криваяΓjциклаΓ = Γ1× · · · ×Γn⊂Ωудовлетворяет тем же условиям, что и в плоском случае. Доказательство теоремы 1.4 проводится в точности так же, как и в слу- чае одной переменной. Формула (1.19) при Ψ(t) = 1 (1−t1). . .(1−tn) совпадает с интегральной формулой Коши вC n . В общем случае, при условииΨ(t)∈G(Λ)она осуществляет аналитиче- ское продолжение ряда (1.16) в любую областьΩ∈ PF, гдеF=U0(Λ). В частности приΛ = [C\[1,+∞)] n получаем голоморфное и однозначное продолжение функцииf(z)вn-звездную звезду Миттаг-ЛеффлераNf. Сформулируем еще многомерный аналог теоремы 1.1. Теорема

1.5. ПустьΛ- поликруговая область вC n ,I n ⊂Λ⊂C n и областьΩ∈ PF, гдеF=U0(Λ)

Тогда, если степенные ряды 47

Ψ(t) = X ||α||≥0 Ψαt α иa(z) = X ||α||≥0 aαz α голоморфно продолжаются в областиΛиΩ, соответственно, то их ком- позиция по Адамару a∗Ψ(z) = X ||α||≥0 aαΨαz α голоморфно продолжается в областьΩ. В том случае, когдаΛ∈ U0(Λ), множествоG(Λ)вновь является комму- тативной группой относительно операции∗. В качестве примера покажем теперь, что гипергеометрическая функция Лауричелла [39] F (n) D (a;b1, ..., bn;c;t1, ..., tn) = X ||α||≥0 (a)||α||(b1)α1...(bn)αn (c)||α||α1!...αn! t α , где параметрыa, c, bk, k= 1, ..., nне равны нулю или целому отрицатель- ному числу, принадлежит группеG(Λ),Λ = [C\[1,+∞)] n . Очевидно, что функция P(t) = X ||α||≥0 (b1)α1...(bn)αn α1!...αn! t α принадлежитG(Λ). Осталось показать, что функция Qn(t) = X ||α||≥0 (a)||α|| (c)||α|| t α также принадлежит группеG(Λ), ибо тогда по теореме 1.5 то же утвер- ждение будет иметь место и для функцииF (n) D . 48

Заметим также, что вместоQn∈G(Λ)достаточно доказать лишь, что Qn(t)голоморфна вΛ. Применим метод математической индукции поn. Случайn= 1разобран в параграфе 1.2. Далее имеем легко проверяемое тождество:Qn(t1, . . . , tn) =Qn−1(t1, . . . , tn−1) +        tn Qn−1(t1, . . . , tn−1)−Qn−1(t1, . . . , tn−2, tn) tn−1−tn приtn−1̸=tn tn ∂Qn−1(t1, . . . , tn−1) ∂tn−1 приtn−1=tn по предположению индукцииQn−1голоморфна в области[C\[1,+∞)] n−1 . Из тождества видим, что функцияQn(t1, . . . , tn)голоморфна вC\[1,+∞) по каждому переменному при фиксированных остальных лежащих так- же вC\[1,+∞). По теореме Гартогса функцияQn(t1, . . . , tn)голоморфна в областиΛ, что и требовалось доказать. Применяя формулу (1.12) мы можем получить аналитическое продол- жение ряда (1.16) в области существенно более общего вида, если вос- пользуемся основным принципом аналитического продолжения кратных степенных рядов [31]. Пусть теперьΛплоское множество,I⊂Λ⊂Cи Bρ={z∈C n :|z1| 2 +· · ·+|zn| 2 < ρ 2 } некоторый шар радиусаρ >0. Предположим, что сумма ряда (1.16) голоморфна в областиΩ∈ U n 0(Λ). Зафиксируем точкуz∈∂Bρи рассмотрим сужениеfz(λ) =f(z·λ) функцииf(z)на комплексную прямуюω=λz,λ∈C. Известно [27, стр. 214], что функцияfz(λ)голоморфна в областиΩzи имеет в окрестностиλ= 0разложение в ряд Тейлора 49

fz(λ) = ∞ X k=0 pk(z)λ k , pk(z) = X ||α||=k fαz α . (1.20) Применяя формулу (1.12) к степенному ряду (1.20), приходим к инте- гральному представлению f(zλ) = 1 2πi Z Γz g(zσ)Ψ θ λ σ ι dσ σ , (1.21) гдеΨ(t)∈G(Λ)- задана рядом (1.4),Γz⊂Ωzплоская кривая, удовлетво- ряющая тем же условиям, что и криваяΓв формуле (1.12),λ∈SΓz(Λ)и, наконец, функцияg(ω),ω∈C n определяется своим разложением в ряд g(ω) = X ∥α∥≥0 fα Ψ∥α∥ ω α . Для любогоz∈∂Bρформула (1.21) голоморфно продолжает функцию fz(λ) =f(zλ)в областьΩz. Отсюда, согласно основному принципу аналитического продолжения крат- ных степенных рядов [31], формула (1.21) продолжает голоморфно сум- му ряда (1.16) в область [ z∈∂Bρ z·Ωz= Ω. Так какΩпроизвольная область семействаU n 0(Λ), то тем самым показа- но, что формула (1.21) позволяет осуществить голоморфное и однознач- ное продолжение суммы ряда (1.16) в любую область семействаU n 0(Λ), не содержащую особых точек этой суммы. В частности, приΛ =C\[1,+∞)получаем аналитическое продолжение функцииf(z)в ее звезду Миттаг-ЛеффлераMf. 50

ГЛАВА 2 КРАТНЫЕ РЯДЫ МНОГОЧЛЕНОВ § 2.1. Общий класс многочленов многих комплексных переменных Боас и Бак в своей монографии [35] вводят общее семейство многочленов Pn(z)одной комплексной переменной при помощи следующего формаль- ного производящего соотношения a(ω)·Ψ(z·b(ω)) = ∞ X n=0 pn(z)ω n ,(2.1) где a(ω) = ∞ X n=0 anω n , a0̸= 0, Ψ(t) = ∞ X n=0 Ψnt n ,Ψn̸= 0, n= 0,1, . . . b(ω) = ∞ X n=1 bnω n , b1̸= 0. Оно оказалось очень удобным для построения теории разложения голо- морфных функций по многочленамPn(z). С другой стороны, оно оказалось настолько широким, что охватило по- чти все известные многочлены, введенные тем или иным способом в ли- тературу. Отметим, например, такие частные случаи: 51

1.a(ω) = (1−ω) 1−λ ,Ψ(t) =e t , b(ω) = ω ω−1 , pn(z) =L (λ) n(z)- полиномы Лагерра. 2.a(ω) =e − ω 2 4,Ψ(t) =e t ,b(ω) =ω,pn(z) = Hn(z) 2 n n! , гдеHn(z)- полиномы Эрмита. 3.a(ω) = (1 +ω 2 ) −λ ,Ψ(t) = (1−t) −λ ,b(ω) = 2ω 1+ω 2,pn(z) =C λ n(z)- поли- номы Гегенбауэра, в частности приλ= 1 2 это многочлены Лежандра, а приλ= 1многочлены Чебышева второго рода. 4.a(ω) = (1−ω) −1−α−β ,Ψ(t) =2F1 ` 1+α+β 2 , 2+α+β 2 ,1 +α;t ´ b(ω) = −4ω (1−ω) 2, pn(z) = (α+β+1)n (α+1)n p (α,β) n(1−2z), гдеp (α,β) n(z)- полиномы Якоби. Большое количество других частных случаев, а также общие свойства многочленовpn(z), определенных соотношением (2.1), можно найти в [35]. Обобщая производящее соотношение (2.1) на случай многих переменных, приходим к следующему семейству полиномовpα(z) =pα1,...,αn(z1, . . . , zn) a(ω)·ψ(z·b(ω)) = X ||α||≥0 pα(z)ω α , (2.2) где a(ω) = X ||α||≥0 aαω α , a 0. . .0 |{z} n ̸= 0, z·b(ω) = (z1·b1(ω), . . . , zn·bn(ω)), bj(ω) = X ||α||≥0 bα,jω α , b 0. . .0 |{z} n ,j = 0, b 0. . .01 |{z} j 0...0,j ̸= 0, j= 1,2, . . . , n, 52

Ψ(t) = X ∥α∥≥0 Ψα·t α ,Ψα̸= 0для всехα. Подобное обобщение многочленов (2.1) рассматривалось в работах Ка- кичева В.А., Деревянченко Г.Д. [14] и Сторчевой Г.Д. [22]. Из формулы (2.2) легко следует, чтоpα(z)действительно полином степе- ни∥α∥, причем содержит членcαz α с отличным от нуля коэффициентом cα. Более того, аналогично одномерному случаю [35] можно определить об- щий вид многочленов (2.2). Теорема 2.1. Полиномы, заданные соотношением (2.2), имеют следую- щий явный вид: pα(z) = X ∥β∥≤∥α∥ Ψβz β X γ0+···+γ ∥β∥=α aγ0·bγ1,1. . . bγβ 1 ,1· ·bγβ 1 +1,2. . . bγβ 1 +β 2 ,2·bγβ 1 +β 2 +1,3. . . bγ ∥α∥,n (2.3) Здесьγ0, . . . , γ∥β∥- мультииндексы и внутренняя сумма распространяется на всевозможные решения системы линейных уравнений: γ0+γ1+· · ·+γ∥β∥=α. Доказательство. Положим K(z, ω) =a(ω)·Ψ(z·b(ω)), pα(z) = X ∥β∥≤∥α∥ pα,βz β , 53

тогда равенство (2.2) с учетом этого примет вид K(z, ω) = X ||α||≥0 ω α X ||β||≤||α|| pα,βz β = X ||β||≥0 z β X ||α||≥||β|| pα,βω α , откуда ∂ ||β|| K ∂z β z=0 =β! X ||α||≥||β|| pα,βω α , (2.4) где обозначено ∂ ||β|| K ∂z β = ∂ β1+...+βn ∂z β1 1...∂z βn n , β! =β1!... βn!. Подставив вместоK(z, ω)его выражение в производную ∂ ||β|| K ∂z β, найдем ∂ ||β|| K ∂z β =a(ω) ∂ ||β|| Ψ ∂t β t=z·b(ω) .[b(ω)] β Следовательно (2.4) перепишется так a(ω) ∂ ||β|| Ψ ∂t β t=0 [b(ω)] β =β! X ||α||≥||β|| pα,βω α , или X ||α||≥||β|| pα,βω α =a(ω)Ψβ[b(ω)] β (2.5) Разложив теперь правую часть (2.5) в ряд (перемножив||β||+ 1рядов стоящих в правой части (2.5)) и, приравнивая коэффициенты приω α , 54

мы находим дляPα,βследующее выражение Pα,β= Ψβ· X γ0+...+γ ||β||=α aγ0·bγ1,1... bγβ 1 ,1·bγβ 1 +1,2... bγ ||β||,n, что и доказывает формулу (2.3). Теорема 2.1 доказана. Если взятьb(ω) =ω, т.е.bj(ω) =ωj, j= 1, ..., n, то формула (2.3) прини- мает особенно простой вид: Pα(z) = X ||β||≤||α|| Ψβ·aα−βz β . (2.6) Во всех дальнейших рассуждениях мы не ограничиваемся формальным соотношением (2.2), а предполагаем, что участвующие в нем функции a(ω)иΨ(t)голоморфны, а отображениеζ=b(ω)биголоморфно, в неко- торой окрестности начала координат. Предположим более конкретно, что в некоторой полной области Рейн- хартаRс центром в нуле отображениеζ=b(ω)) биголоморфно, а функ- цияa(ω)голоморфна иa(ω)̸= 0для всехω∈ R. ПустьΛ⊂C n область, в которую голоморфно и однозначно продолжа- ется функцияΨ(t). ЧерезDrобозначим образ поликругаI n r∈ Rпри отображенииζ=b(ω) и рассмотрим область Ωr={z∈C n :zDr⊂Λ} При каждом фиксированном значенииz∈C n ряд (2.2) является степен- ным относительноω∈C n . В тех случаях, когда область его сходимости непуста, он является рядом Тейлора для функции a(ω)·Ψ(z·b(ω)). Отсюда следует, что ряд (2.2) абсолютно сходится при(z, ω)∈Ωr×I n r. Это замечание позволяет исследовать область сходимости ряда по поли- номам (2.2) 55

X ∥α∥⩾0 cαpα(z), cα∈C, (2.7) при некоторых ограничениях на коэффициентыcα. Теорема 2.2. ПустьW⊂C n область сходимости ряда X ∥α∥⩾0 cαz α , (2.8) причемV=R ∩(∂W) −1 ̸=∅. Тогда ряд (2.7) абсолютно сходится в области Ω = [ r∈|V|+ Ωr. Доказательство. Пустьρ∈ |V|+. Выберемz∈ |R|+так, чтобыρ∈ |Ir|+. ТогдаI n ρ⋐I n r⊂ R. Из определения областиVследует, что(I n r) ′ ⊂W −1 . Последнее означает, что I n r − 1= 1 (I n r) ′ ⊂WилиI n r −1⋐W. Отсюда имеем неравенство lim ∥α∥→∞ ∥α∥ s |cα| · ⊆ 1 r ⊇ α <1, из которого при достаточно больших значениях∥α∥и некоторомε >0 находим|cα|<(1−ε) ∥α∥ ·r α = [(1−ε)r] α . Теперь, применяя это неравенство, получаем X ∥α∥⩾0 cαpα(z) ⩽ X ∥α∥⩾0 |cα| · |pα(z)|< X ∥α∥⩾0 |pα(z)|[(1−ε)r] α . (2.9) Так как(1−ε)r= ((1−ε)r1, . . . ,(1−ε)rn)∈I n r, то ряд в правой части неравенства (2.9) сходится для всехz∈Ωr. Из определения областиΩrочевидно следует, чтоΩr⊂Ωρ. Поскольку областямиΩr, r∈ |Iρ|+можно исчерпать всю областьΩρ, то тем самым доказано, что ряд (2.7) абсолютно сходится для всехz∈Ωρ. Теорема 2.2 доказана. 56

Следствие 2.1. В обозначениях теоремы 2.2 положим V1={z∈V:z·I n ∩V=∅}. Тогда область сходимости ряда (2.7) можно определить так: Ω = [ r∈|V1|+ Ωz. Доказательство. Мы уже видели, что еслиρ∈ |I n r|+, тоΩr⊂Ωρ. По определениюV1для любогоr∈ |V|+существуетρ∈ |V1|+такое, чтоI n ρ⊂I n r. Поэтому [ r∈|V|+ Ωr= [ z∈|V1|+ Ωr. . Следствие 2.1. доказано. Допустим, чтоr= (r1, ..., rn)сопряженные радиусы сходимости сте- пенного ряда (2.8) иQ(r)- поверхность сопряженных радиусов, тогда [Q(r)] −1 =|V1|+и область сходимости ряда (2.8), при условии, чтоQ(r)∩ R̸=∅может быть описана следующим образом Ω = [ r −1 ∈Q(r) Ωr. §

2.2. Разложение функций, голоморфных в начале координат, в ряды полиномов

Одномерный случай Для полиномов (2.1) обозначения, используемые в предыдущем парагра- фе, претерпевают несущественные изменения. Предполагаем, чтоR=Iρ, ρ >0и функцияa(ω)голоморфна,b(ω)од- нолистна в кругеIρ, функцияΨ(t)голоморфна и однозначна в области Λ, содержащей начало координат. Если0< r < ρ, тоDr=b(Ir)иΩr={z∈C:z·Dr⊂Λ}. В следующей лемме приведены некоторые утверждения, касающиеся об- ластейΩr. 57

Лемма

2.1. ПустьI⊂Λ⊂C,1∈Λ ′ иDr∈ U(Λ), тогда Ωr= (Dr) ∗ ,Ωr=D ∗ rиΩr∈ U(Λ)

Доказательство. ПустьDr∈ U(Λ). По определению это означает, чтоDr·Λ ∗ ⊂Dr. Применяя утверждение 2 леммы 1.1, находим, чтоDr·Λ ∗ =Dr·Λ ∗ ⊂Dr, т.е.Dr∈ U(Λ). Согласно лемме 1.2, тогдаD ∗ r∈ U(Λ), т.е.[(D ∗ r) ′ ·Λ ′ ] ′ = (Dr) ∗ . По лемме 1.1 (утверждение 3), находим (Dr) ∗ ={z∈C:z·Dr⊂Λ}= Ωr. Для доказательства второго равенства достаточно заметить, что при го- меоморфном преобразованииω=z −1 граница∂Drпереходит в границу ∂Ωr. Наконец, уже доказанное соотношениеDr·Λ ∗ ⊂Drперепишем в виде (Dr) −1 ·Λ ′ ⊂(Dr) −1 , что с учетом утверждения 1 леммы 1.1 примет вид Ω ′ r·Λ ′ ⊂Ω ′ r. По лемме 1.2 это означает, чтоΩr∈ U(Λ). Лемма 2.1 доказана. Теорема

2.3. ПустьI⊂Λ⊂C,Λ- область иΨ(t)∈G(Λ)

Если для данногоr∈(0, ρ)существует такоеε∈(0, ρ−r), чтоDτ∈ U(Λ)для всехτ∈[r, r+ε), то любая функцияf(z), голоморфная в областиΩr, разлагается в ряд полиномов, заданных соотношением (2.1) f(z) = ∞ X n=0 cnpn(z). (2.10) При этом ряд (2.10) сходится к функцииf(z)в каждой точкеz∈Ωrи равномерно сходится на компактных подмножествах областиΩr. 58

Доказательство. Обозначим черезω=b −1 (ξ)обратное отображение дляξ=b(ω). По- ложимζ −1 =b(ω),ω=b −1 (ζ −1 ). Тогда соотношение (2.I) запишется в виде Ψ ̑ z ζ ̏ = ∞ X n=0 pn(z)· [b −1 (ζ −1 )] n a[b −1 (ζ −1 )] (2.11) Мы будем считать областьΛминимальным множеством (лемма 1.4), поэтому1∈Λ ′ . Так как, по лемме 2.1,Ωτ∈ U(Λ)приτ∈[r, r+ε), тоΩτ·Λ ∗ = Ωτ, для указанных,τ, откудаΩτ·Λ ∗ =Ωτ. По лемме 1.2 это равносильно равенствуΩ ′ τ·Λ ′ =Ω ′ τ. Теперь, используя лемму 1.1, имеем Ωτ= (Ω ′ τ·Λ ′ ) ′ ={z∈C:z·(Ωτ) ∗ ⊂Λ}={z∈C:z·Dτ⊂Λ}, т.к.Ωτ=D ∗ τ(лемма 2.1) и, следовательно,Ω ′ τ= (Dτ) −1 (лемма 1.1). Итак пустьτ∈(r, r+ε). Рассматривая ряд (2.1) как степенной ряд относительноω, заключаем, что он сходится при(z, ω)∈ {z∈C:zDτ⊂ Λ} ×Iτ=Ωτ×Iτ. Тогда ряд (2.11) сходится при(z, ζ)∈Ωτ×D −1 τ=Ωτ×Ω ′ τ. Пусть теперьr < τ1< τ, тогдаΩτ⋐Ωτ1⋐Ωr. По теореме 1.2 мы имеем интегральное представление (1.12), сΓ =∂Ωτ1, для всякой функцииf(z)голоморфной вΩτи для всехz∈Ωτ. Но ряд (2.11) сходится равномерно при(z, ζ)∈Ωτ×∂Ωτ1, поэтому, под- ставляя его в формулу (1.12) и почленно интегрируя, приходим к разло- жению (2.10) с коэффициентами cn= 1 2πi Z ∂Ωτ 1 g(ζ) [b −1 (ζ −1 )] n a[b −1 (ζ −1 )] · dζ ζ 59

Мы доказали, что ряд (2.10) сходится равномерно кf(z)в любом ком- пактеΩτ⊂Ωr. Осталось заметить, что компактамиΩτможно исчерпать всю областьΩr. Теорема 2.3 доказана. В монографии [35] рассматривался частный случайΛ =C\[1,+∞)тео- ремы 2.3. При этом предполагалось, что функцияΨ(t), вместо нашего условияΨ(t)∈G(Λ)удовлетворяет двум следующим: α) Ψ(t)голоморфно продолжается в областьΛ =C\[1,+∞), β)разрешима проблема моментов Хаусдорфа 1 Ψn = 1Z 0 u n dµ(u), n= 0,1, . . . , гдеµ(u)функция, имеющая ограниченную вариацию на отрезке[0,1]. Требованияαиβсильнее нашего. Действительно, если имеет местоβ, то Ψ−1(t) = ∞ X n=0 1 Ψn t n = ∞ X n=0 t n 1Z 0 u n dµ(u) = 1Z 0 dµ(u) 1−tu , откуда следует, что функцияΨ−1(t)голоморфна и однозначна в области Λ =C\[1,+∞). А это вместе с условиемαвлечет соотношениеΨ(t)∈ G(Λ). С другой стороны рассмотрим простой контрпример Ψ(t) = 1 t ln 1 1−t = ∞ X n=0 t n n+ 1 . В данном случаеΨ −1 n=n+ 1. Как известно ([19], стр. 439-441), 60

для разрешимости проблемы моментовβнеобходимо и достаточно, что- бы была равномерно поnограничена сумма σ= n X k=0 C k n|∆ n−k Ψ −1 n|, где ∆ 0 Ψ −1 n= Ψ −1 n,∆ k+1 Ψ −1 n= ∆ k Ψ −1 n−∆ k Ψ −1 n+1. Здесь, очевидно,σ > 1 Ψn =n+ 1→ ∞, что показывает, что проблема моментовβнеразрешима для данной функцииΨ(t). Однако Ψ−1(t) = ∞ X n=0 (n+ 1)t n = (1−t) −2 голоморфно продолжается вΛ, следовательноΨ(t)∈G(Λ). В монографии [35] (§ 17, глава 3) теория разложения ошибочно при- меняется к полиномам Якобиp (α,β) k (z), которые задаются производящей функцией: (1−ω) −1−α−β 2F1 ˘ 1 +α+β 2 , 2 +α+β 2 ,1 +α; −4ωz (1−ω) 2 – = = ∞ X k=0 (α+β+ 1)n (α+ 1)n p (α,β) n(1−2z)ω n , α >1, β >0 (2 .12) Вычисления показывают, что и здесь проблема моментов, 1 Ψk = (1 +α)k·k! ( 1+α+β 2 )k( 2+α+β 2 )k = 1Z 0 u k dµ(u), вообще говоря, не разрешима и, следовательно, функция Ψ(t) =2F1 ˘ 1 +α+β 2 , 2 +α+β 2 ,1 +α;t – не удовлетворяет условиям теоремы 13.5 монографии [35]. Но в § 1.2 мы доказали, что такая функцияΨ(t)∈G(Λ), поэтому теорема 2.3 применима к производящему соотношению (2.12) и для полиномов 61

(α+β+ 1)n (α+ 1)n p (α,β) n(z)(а значит и дляp (α,β) n(z)) мы имеем известный результат о том, что любая функция, голоморфная в эллипсе с фокусами в точках -1, 1, разлагается в ряд по этим полино- мам. Отметим теперь, что условия применения теоремы 2.3 к производящему соотношению (2.1) состоят из сопряженных требований, налагаемых на функциюΨ(t)и отображениеζ=b(ω), поэтому при построении произво- дящей функции (2.1) можно исходить либо из фиксированной функции Ψ(t)и подбирать для нее соответствующие отображенияζ=b(ω), либо, наоборот, фиксировать отображениеζ=b(ω), а вместе с ним и области Ωr, и подбирать соответствующую функциюΨ(t)так, чтобы получить простые многочлены, удобные для разложения по ним функций, голо- морфных в областяхΩr. Возьмем, например,Λ =C\E, гдеE— множество корней степениnиз единицы иΨ(t)∈G(Λ). УсловиеDτ∈ U(Λ)равносильно тому, что областьDτинвариантна от- носительно поворота на угол 2π n (пример 5 из параграфа 1.3). Как известно (например, [2, стр. 155]) для этого при любомτ∈(0, ρ) необходимо и достаточно, чтобы функцияb(ω)имела в окрестности нуля лакунарное разложение b(ω) = ∞ X k=0 bkn+1ω kn+1 . Приведем конкретный пример: (1 + zω 1+ω n) n−1 1−( zω 1+ω n) n = ∞ X k=0 pk(z)ω k (2.13) Здесь Ψ(t) = (1 +t) n−1 1−t n и легко проверить, что 62

Ψ(t)∈G(Λ),Λ =C\E. Далее,b(ω) = ω 1+ω nимеет нужное разложение в окрестности нуля. Отображениеζ= ω 1+ω nоднозначно вIρ,ρ= 1 n √ n−1 . При 0< r < ρобластьюΩrявляется внутренность гипотрохоиды (рис. 2) ( x=r −1 cosφ+r n−1 cos(n−1)φ y=−r −1 sinφ+r n−1 sin(n−1)φ 0≤φ≤2π (2.14) Рис. 2. Таким образом, любая функция голоморфная внутри кривой (2.14) (при 0< r < ρ) может быть представлена сходящимся внутри этой кривой рядом по полиномам (2.13). Многочлены (2.13) очень просты. Например, приn= 4 p0(z) = 1, p1(z) = 3z, p2(z) = 3z 2 , p3(z) =z 3 , p4(z) =z 4 , 63

p5(z) =z 5 −3z,p6(z) =z 6 −6z 2 ,p7(z) =z 7 −3z 3 ,p8(z) =z 8 −4z 4 , p9(z) =z 9 −5z 5 + 3z,p10(z) =z 10 −6z 6 + 9z, и т.д. Используя производящее соотношение (2.13), о многочленахpk(z)можно получить различную информацию: рекуррентные соотношения, форму- лу дающую явный вид и т.п. Поступим теперь наоборот. Возьмем отображение ζ= 2ω 1 +ω 2 , используемое в производящей функции классических многочленов (Че- бышева, Гегенбауэра, Якоби). Оно биголоморфно в кругеIи при0< r <1дает областьD ∗ r, ограниченную эллипсом с фокусами в точках -1, 1: x 2 [ 1 2 (r+r −1 )] 2 + y 2 [ 1 2 (r−r −1 )] 2 = 1. Рассмотрим теперь полиномы (2.1) с выбранным отображением a(ω)·Ψ θ 2zω 1 +ω 2 ι = ∞ X n=0 pn(z)ω n (2.15) и выясним при каких условиях, налагаемых на функциюΨ(t), многочле- ны (2.15) годятся для разложения в ряды по ним функций, голоморфных в эллиптической областиD ∗ r. По теореме 2.3 для этого достаточно требованияΨ(t)∈G(Λ), Λ = [ r≤τ <r+ε Dτ·D ∗ τ,0< ε <1−r. Мы воспользуемся следующей формулой sup λ>0 {λ:λe iφ · D ∗ r⊂ D ∗ r}=   2r 2 sinφ 1−r 4 + s 4r 4 sin 2 φ (1−r 4 ) 2 + 1   −1 ,(2.16) 64

справедливой при0≤φ≤ π 2 . Применяя формулу (2.16), нетрудно убе- диться, чтоΛτ=Dτ·D ∗ τ= = ( ρ(φ)e iφ :ρ(φ)< ( 2τ 2 |sinφ| 1−τ 4+ q 4τ 4 sin 2 φ (1−τ 4 ) 2+ 1, φ∈[− π 2 , π 2 ] 1+τ 2 1−τ 2, φ ∈(−π,− π 2 )∪( π 2 , π] ) ОтсюдаI⊂Λτ⊂Iγ,γ= 1+τ 2 1−τ 2иΛτ1⊂Λτ2приτ1< τ2(см. рис. 3). ПоэтомуΩτ∈ U(Λr), еслиτ≤r. Теперь имеем, S r≤τ <r+ε Λτ= Λr+ε,0< ε < 1−rи условиеΨ(t)∈G(Λr+ε)является достаточным для представления, голоморфных в областяхΩτ,τ≤r, функций сходящимися рядами по многочленам (2.15). Рис. 3. Так как S 0<τ <1 Λτ=C\[1,+∞), то для того, чтобы полиномы (2.15) го- дились для любых эллиптических областейΩτ,0< τ <1достаточно положитьΨ(t)∈G(C\[1,+∞)). 65

§

2.3. Разложение функций, голоморфных в начале координат, в ряды полиномов

Многомерный случай Здесь результаты предыдущего параграфа будут обобщены на случай многих комплексных переменных. Рассмотрим полиномы, заданные со- отношением (2.2), и предположим, что все соглашения и обозначения параграфа 2.1 имеют место. Прежде всего приведем непосредственное обобщение теоремы 2.3. Теорема

2.4. ПустьΛ = Λ1× · · · ×Λnполикруговая область вC n ,I n ⊂ Λ⊂C n и функцияΨ(t)∈G(Λ)

Если для данногоr∈ |R|+найдется ε >0и точкаx∈ |I ′ r|+такие, что для любогоλ∈[0, ε)выполняются два условия:xλ+r∈ |R|+иDxλ+r∈ U0(Λ), то любая функцияf(z), голоморфная в областиΩr, разлагается в ряд по полиномам (2.2) f(z) = X ||α||≥0 cαpα(z), (2.17) который сходится кf(z)в любой точкеz∈Ωrи равномерно сходится на компактных подмножествах областиΩr. Доказательство. Условия теоремы позволяют построить компактное исчерпание области ΩrобластямиΩxλ+r,λ∈(0, ε): Ωxλ1+r⊂Ωxλ2+r⊂Ωr при0< λ2< λ1< ε. Дальнейшее доказательство связано с применением интегрального пред- ставления (1.19) и практически дословно совпадает с доказательством теоремы 2.3. 66

Мы получаем разложение (2.17) с коэффициентами cα= 1 (2πi) n Z Γ g(ζ) [b −1 (ζ −1 )] α a[b −1 (ζ −1 )] dζ ζ , (2.18) где обозначено Γ = Γ1× · · · ×Γn, dζ ζ = dζ1∧ · · · ∧dζn ζ1. . . ζn , ω=b −1 (t)отображение обратное кt=b(ω). Теорема 2.4 доказана. УсловиеDr∈ U0(Λ), в частности, означает что областьDrявляется по- ликруговой областью (см. § 1.5). Чтобы обеспечить это условие достаточно предположить, что отображе- ниеζ=b(ω)в производящем соотношении (2.2) имеет видζ=h(F(ω)), гдеF:C n →C n невырожденное линейное преобразование и h(t) = (h1(t1), . . . , hn(tn)) отображение биголоморфное в некотором поликруге, содержащем об- ластьF(R), причем h(0) = 0, h ′ k(0)̸= 0, k= 1, . . . , n. Заметим еще, что также как и в одномерном случае (лемма 2.1), если Dr∈ U0(Λ), тоΩr= (Dr) ∗ иΩz∈ U0(Λ). Многомерную специфику лучше отражает следующее обобщение теоре- мы 2.3. Теорема

2.5. ПустьΛполикруговая область,C n ⊂Λ⊂C n ,Ψ(t)∈G(Λ)

ЕслиDr∈ U0(Λ)для всехrиз некоторого множестваM⊂R n +, являюще- гося областью в пространствеR n иΩ∈ PF, гдеF={Ωr:r∈M}, то любая голоморфная в областиΩфункцияf(z)разлагается в ряд (2.17) по полиномам (2.2), 67

сходящийся кf(z)в каждой точкеz∈Ωи равномерно сходящийся на компактных подмножествах областиΩ. Доказательство. Выберем любоеr∈M. ПосколькуMобласть в пространствеR n , то для данногоrвыполняются условия теоремы 2.4. Поэтому для областиΩrмы имеем разложение (2.17) с коэффициентами (2.18). Из формулы (2.18) видим, что коэффициентыcαзависят лишь от выбора циклаΓ. Для точек лежащих в общей части любых двух или более областейΩr этот цикл можно выбрать одним и тем же сразу для всех этих областей, поэтому коэффициентыcαне зависят от выбора областиΩr, r∈M. Таким образом, для данной функцииf(z)разложение (2.17) справедливо во всей областиΩ. Доказательство равномерной сходимости на компакт- ных подмножествах проводится стандартным для анализа образом. Теорема 2.5 доказана. Проиллюстрируем теперь доказанные теоремы, применяя их к некото- рым конкретным полиномам (2.2). Пример 1. Рассмотрим полиномыpα(z)многих переменных, определен- ные следующим образом: A(ω) n Y j=1 (1−zj·ωj) −λj = X ||α||≥0 pα(z)ω α (2.19) гдеλk>0, k= 1, ..., n, ряд A(ω) = X ||α||≥0 aαω α , a 0...0 |{z} n ̸= 0 сходится в единичном поликругеI n иA(ω)̸= 0для всехω∈I n . 68

Легко найти явный видpα(z): pα(z) = X β+γ=α aβ ̑ λ1+γ1−1 λ1−1 ̏ ... ̑ λn+γn−1 λn−1 ̏ z γ . Сравнивая (2.19) с (2.2), находимbk(ω) =ωk, k= 1, ..., n, т.е. отображение ζ=b(ω)является тождественным. Далее Ψ(t) = n Y j=1 (1−tj) −λj =F (n D (1;λ1, ..., λn; 1;t1, ..., tn), т.е.Ψ(t)∈G(Λ),Λ = [C\[1,+∞)] n (см. § 1.5). В условии теоремы 2.5, в данном случае,R=I n , Dr=I n r∈ U0(Λ)для всехr∈ |I n |+,Ωr= (Dr) ∗ =I n r −1⊃I n . ЗначитFпредставляет собой множество всевозможных поликруговI n ρ⊃ I n . Таким образом, по теореме 2.5, мы имеем следующее утверждение. ЕслиΩполная область Рейнхардта, всякий максимальный поликруг ко- торой содержитI n , то любая голоморфная вΩфункцияf(z)разлагается в областиΩв ряд по полиномамpα(z), заданным соотношением (2.19). Заметим, что меняя область сходимости функцииA(ω)мы можем ме- нять ограничения на область РейнхардтаΩ, например, еслиA(ω)целая функция, тоΩлюбая область Рейнхардта вC n . Так как отображениеζ=b(ω)тождественно, то в производящем соотно- шении (2.19) в качествеΨ(t)можем мы выбрать любую функцию, для которой Ψα̸= 0и lim ||α||→∞ ||α|| p |Ψα|= 1. 69

Для полученных таким образом полиномов, результат будет таким же как и для полиномов (2.19). Пример 2. Теперь возьмем производящую функцию A(ω)· n Y j=1 (1−zjbj(ωj)) −1 = X ∥α∥≥0 pα(z)ω α , (2.20) гдеA(ω)удовлетворяет тем же требованиям, что и в предыдущем при- мере, а каждая функцияbj(ωj), j= 1, . . . , nбиголоморфна в единичном кругеI. Здесь какова бы ни была областьDr=b(I n r), r∈ |I n |+условиеDr∈ U0(Λ) автоматически выполняется, ибоΨ(t) = (1−t1) −1 . . .(1−tn) −1 ∈G(Λ), Λ = [C\ {1}] n . Поэтому, по теореме 2.5, функцияf(z), голоморфная в любой области Ω, порожденной семействомF={Ωr= (Dr) ∗ ;r∈ |I n |+}, разлагается в этой области в ряд по полиномам (2.20). Пример 3. Пусть теперь имеет место соотношение A(ω)· n Y j=1 (1−2ωjzj+ω 2 j) −λj = X ∥α∥≥0 pα(z)ω α , (2.21) гдеλj>0, j= 1, . . . , n, функцияA(ω)та же, что и в примере 1. В данном случае pα(z) = X β+γ=α aαC λ1 γ1 (z1). . . C λn γn (zn), гдеC λk γk (zk), k= 1, . . . , n- полиномы Гегенбауэра [5]. Полиномыpα(z), заданные соотношением (2.21), являются многомерным аналогом ультраcферических полиномов или полиномов Гегенбауэра. Перепишем (2.21) в виде 70

A(ω)· n Y j=1 (1 +ω 2 j) −λj n Y j=1 (1− 2ωjzj 1 +ω 2 j ) −λj = X ||α||≥0 pα(z)ω α . Сравнивая с (2.2), найдем: aω=A(ω)· n Y j=1 (1 +ω 2 j) −λj ,Ψ(t) = (1−t1) −λ1 ...(1−tn) −λn , bk(ω) = 2ωk 1 +ω 2 k , k= 1, ..., n,R=I n . Из примера 1 мы знаем, чтоΨ(t)∈G(Λ),Λ = [1,+∞)] n . Далее,(Dr) ∗ , r∈ |I n |+- полиэллипс с фокусами -1, 1. (см. примеры из § 2.2). Он являетсяn- звездной областью, т.е.(Dr) ∗ ∈ U0(Λ),Λ = [1,+∞)] n . ОтсюдаDr∈ U0(Λ)иΩr= (Dr) ∗ . Таким образом,F={Ωr:r∈ |I n |+}система всех возможных полиэл- липсов с фокусами -1, 1 и теорема 2.5 в данном случае утверждает, что, если функцияf(z)голоморфна в любойn-эллиптической с фокусами -1, 1 областиΩизC n , то она разлагается, в сходящийся в этой области ряд, по полиномамpα(z), заданным соотношением (2.21). Пример 4. Следующие полиномыpα(z)являются многомерным анало- гом гипергеометрических полиномов или полиномов Якоби: A(ω)F (n) D (a;b1, ..., bn;c; −4ω1z1 (1−ω1) 2 , ..., −4ωnzn (1−ωn) 2 ) = = X ||α||≥0 pα(1−2z1, ...,1−2zn)ω n , (2.22) 71

гдеa >0,c >0,bk>0,k= 1, . . . , n, функцияA(ω)удовлетворяет тем же условиям, что и в предыдущих примерах. Здесь отображение ζk= 1 bk(ω) = (1−ωk) 2 −4ωk = 1 2 ˘ 1− 1 2 ̑ ωk+ 1 ωk ̏– , k= 1, . . . , n. ПоэтомуF- семейство всевозможных полиэллипсов с фокусами0,1. Однако, учтя сдвиг переменных в формуле (2.22), мы приходим к тому же самому утверждению для полиномовpα(z), что и в примере 3. § 2.4. Представление целых функций многих комплекс- ных переменных рядами полиномов Глава 2 монографии [35] посвящена разложению целых функций одной переменной в ряды полиномов (2.1). При этом предполагается, что функ- цияΨ(t) = ∞P n=0 Ψnt n , участвующая в производящем соотношении (2.1), является так называемой функцией сравнения, т.е. удовлетворяет усло- виям Ψn>0, Ψn Ψn+1 ≤ Ψn+1 Ψn+2 , n= 1,2, . . . ,lim n→∞ Ψn Ψn+1 =∞. Такая функция, очевидно, является целой. Она бралась в качестве этало- на при оценке роста целых функций, вместо обычной для теории целых функций функцииe t . Мы начнем с определения функции сравнения многих переменных. Функ- цию 72

Ψ(t) = X ∥α∥≥0 Ψαt α (2.23) назовем функцией сравнения, если существует такая выпуклая вниз функ- цияµ:R n +→R, чтоlim ∥α∥→∞ ∥α∥ µ(α) = 0иΨα=e −µ(α) для всехα. Известно, что функция в том и только в том случае будет выпуклой вниз, когда ее надграфик Epiµ={(x1, . . . , xn+1)∈R n +×R:xn+1≥µ(x1, . . . , xn)} является выпуклым множеством. Из определения сразу следует, что функция сравнения (2.23) всегда це- лая иΨα>0для всехα. Кроме того она обладает следующим свойством. Лемма 2.2. Каждый член степенного рядаΨαt α функции сравнения (2.23) при некотором значенииt=rα= (r1,α, . . . , rn,α)∈R n +становится максимальным, т.е. для каждогоαсуществует такоеzα, что неравенство Ψβz β α≤Ψαz α α (2.24) имеет место для всех мультииндексовβ. Доказательство. Пусть ряд (2.23) задает функцию сравненияΨ(t). По определению, существует выпуклая вниз функцияµ(x)такая, что Ψα=e −µ(α) для всехα. Зафиксируем некоторый мультииндексα. Так как точка(α1, . . . , αn, µ(α))∈ ∂(Epiµ)и множество Epiµвыпукло, то существует опорная гиперплос- кость к Epiµ, проходящая через точку(α1, . . . , αn, µ(α)). Ее уравнение можно записать в виде 73

y−µ(α) =a1(x−α1) +· · ·+an(xn−αn), гдеa= (a1, . . . , an)∈R n . Поскольку все точки лежат не ниже этой гиперплоскости, то в частности, для точек(β1, . . . , βn, µ(β))∈Epiµимеем неравенство µ(β)−µ(α)≥a1(β1−α1) +· · ·+an(βn−αn). Из него следует, что e −µ(β)+a1β1+···+anβn ≤e −µ(α)+a1α1+···+anαn , т.е. Ψβ(e a1 ) β1 . . .(e an ) βn ≤Ψα(e a1 ) α1 . . .(e an ) αn . Теперь, полагаяe ak=rk,α, k= 1, . . . , n, доказываем формулу (2.24). Лемма 2.2 доказана. Лемма 2.3. Пусть функцияΨ(t), заданная рядом (2.23), является функ- цией сравнения, тогда для любого мультииндексаαнайдетсяxα∈R n + такое, что Ψ(xα) Ψαx α α ≤e·(∥α∥+ 1) n . Доказательство. Зафиксируемαи, по лемме 2.2, найдем значениеt=rα, при котором членΨαt α становится максимальным. Положим xα=rα ∥α∥ ∥α∥+ 1 . Тогда, используя неравенство (2.24), имеем 74

Ψ(xα) = X ∥β∥≥0 Ψβx β α= X ∥β∥≥0 Ψβr β α ` ∥α∥ ∥α∥+ 1 ´ ∥β∥ ≤ ≤ X ∥β∥≥0 Ψαr α α ` ∥α∥ ∥α∥+ 1 ´ ∥β∥ = Ψαx α α· ı ∥α∥ ∥α∥+1 ȷ −∥α∥ ı 1− ∥α∥ ∥α∥+1 ȷ n= = Ψαx α α(1 +∥α∥) n · ` 1 + 1 ∥α∥ ´ ∥α∥ ≤Ψαx α α(1 +∥α∥) n ·e. Лемма 2.3 доказана. Рассмотрим теперь целую функциюf(z), заданную всюду сходящимся в C n разложением f(z) = X ∥α∥≥0 fαz α . (2.25) Будем говорить, что целая функцияf(z)принадлежит классуEΨфунк- ций конечногоΨ-типа, если существует векторный параметрτ∈R n + такой, что для всехz∈C n |f(z)| ≤M·Ψ(|z| ·τ), (2.26) гдеM >0постоянная. Числаτ1, . . . , τnназовем сопряженнымиΨ-типами функцииf∈ EΨ, если для них неравенство (2.26) выполняется с некоторой постояннойM >0, однако для чиселrj≤τj, j= 1, . . . , n, где хотя бы одно неравенство строгое, (2.26) уже не выполняется ни при какой постояннойM >0. Для фиксированной функцииf∈ EΨобозначим черезAτмножество все- возможныхτ∈R n +, для которых неравенство (2.26) имеет место. Часть границыAτ, лежащую вR n +назовем поверхностью сопряженных 75

Ψ-типов целой функцииf(z). Функцию F(z) = X ||α||≥0 fα Ψα ` 1 z ´ α+1 , α+ 1 = (α1+ 1, . . . , αn+ 1) (2.27) будем называтьΨ- ассоциируемой сf(z). Теорема 2.6. Поверхность сопряженныхΨ- типов целой функцииf(z)∈ EΨсовпадает с поверхностью сопряженных радиусов сходимости ряда (2.27). Доказательство. ПустьBобласть абсолютной сходимости ряда (2.27), тогда нам нужно доказать, что∂Aτ=∂|B|+. Для этого, очевидно, достаточно показать, чтоAτ=|B|+. Пусть сначалаτ∈ |B|+, тогда, как известно, lim ||α||→∞ ||α|| s |fα| Ψα ` 1 τ ´ α ≤1, (2.28) откуда |fα| ≤MΨα(τ1+ε) α1 . . .(τn+ε) αn для любогоε >0и некоторой постояннойM >0. Далее |f(z)| ≤ X ||α||≥0 |fα||z| α ≤M X ||α||≥0 Ψα|z| α (τ1+ε) α1 . . .(τn+ε) αn = =MΨ[(τ1+ε)|z1|, . . . ,(τn+ε)|zn|]. Приε→0получаемτ∈Aτ, т.е.|B|+⊂Aτ. Для доказательства обрат- ного утверждения пустьτ∈Aτ, тогда|f(z)| ≤MΨ(τ|z|). Пустьα- фиксировано. Найдя в соответствии с леммой 2.3xα, положим xα=τyαи рассмотрим поликругIyα. Применяя неравенство Коши 76

для функции f(z) в этом поликруге, найдем |fα| Ψα ≤ MΨ(τyα) Ψαy α α =Mτ α Ψ(xα) Ψαx α α ≤Mτ α (||α||+ 1) n ·e. Отсюда следует неравенство (2.28), т.е.τ∈ |B|+. Теорема 2.6 доказана. В частном случаеΨ(t) =exp( nP k=1 tk)классEΨсовпадает с множеством целых функций экспоненциального типа и теорема 2.6 в этом случае хорошо известна [20]. Пустьτ= (τ1, ..., τn)сопряженныеΨ-типы функции (2.25), тогда, по теореме 2.6, они являются сопряженными радиусами сходимости ряда (2.27), т.е.F(z)голоморфна в областиI ′ τ. Заметим теперь, что f(z) = 1 2πi Z Γ Ψ(zω)F(ω)dω, (2.29) где Γ = Γ1×...×Γn,Γj:|ωj|=τj+ε, ε >0, j= 1, ..., n, dω=dω1∧...∧dωn. Т.к. циклΓлежит в области равномерной сходимости рядовF(ω)и Ψ(zω), то, подставляя эти ряды и почленно интегрируя, легко докажем (2.29). Вместо циклаΓв (2.29) мы можем взять любой, гомотопный ему в об- ласти голоморфности функцииF(z), цикл. Таким образом, рост целой функцииf(z)определяется особенностямиΨ - ассоциируемой с ней функцииF(z). Рассмотрим опять семейство полиномов, заданных производящим соот- ношением (2.2), однако теперь дополнительно предположим, что функ- цияΨ(t)является функцией сравнения. 77

ПустьD=b(R)- образ областиRпри отображенииζ=b(ω). По областиDсконструируем класс функций, которые будут разлагаться в ряд полиномовpα(z). Будем говорить, что целая функцияf(z)∈ EΨ(D), если существует поли- круговой компактK=K1×· · ·×Kn, содержащийся в областиD, такой, чтоΨ- ассоциируемая с ней функцияF(z)голоморфно продолжается в областьK ′ . Теорема 2.7. Если функцияf(z)∈ EΨ(D), то она может быть представ- лена всюду сходящимся вC n рядом полиномов (2.2) f(z) = X ∥α∥≥0 cαpα(z) Доказательство. Пустьω=b −1 (ζ)обратное отображение дляζ=b(ω). Перепишем (2.2) в виде Ψ(z·ζ) = X ∥α∥≥0 pα(z) [b −1 (ζ)] α a[b −1 (ζ)] (2.30) Последний ряд сходится при(z, ζ)∈C n ×D. Т.к.f(z)∈ EΨ(D), то, по определению, найдется компактK=K1× · · · × Kn⊂D, такой, что соответствующая ей функцияF(z)голоморфна вK ′ . Без ограничения общности можно считать, что0∈K. ПосколькуK⋐D, то существует поликруговая областьU=U1×· · ·×Un, удовлетворяющая условиюK⋐U⊂D. Теперь легко понять, что найдется циклΓ = Γ1×...×Γn⊂U, каждая криваяΓjкоторого разделяет соответствующий компактKjи точку∞, j= 1, . . . , n. Тогда для данной функцииf(z)имеет место интегральное представление (2.29). 78

Подставив в нее ряд (2.30) и почленно интегрируя, доказываем теорему 2.7. Теорема 2.7 доказана. В частном случае тождественного отображенияb(ω)имеемD=R- область сходимости рядаa(ω) = P |α|≥0 aαω α ,EΨ(D)- множество всех тех целых функцийf(z), для которыхR∩BF̸=∅, гдеBFобласть сходимости ряда (2.27) дляΨ-ассоциируемой с функциейf(z)функцииF(z). Сформулируем утверждение теоремы 2.7 в этом частном случае. Следствие 2.2. Любая целая функцияf(z), удовлетворяющая условию R ∩BF̸=∅, разлагается в ряд по полиномам (2.6), сходящийся всюду к ней вC n . Замечание. Теорема 2.6 здесь является ключевой, ибо интегральное пред- ставление (2.29) и все последующие рассуждения стали возможны имен- но благодаря ей. Более того, функция сравнения намеренно определялась таким образом, чтобы теорема 2.6 имела место. Разумеется условия, налагаемые нами на функцию сравненияΨ(t), не являются необходимыми для справедливости теоремы 2.6 - они могут быть ослаблены. В одномерном случае необходимые и достаточные условия установлены Винницким Б.В. [9]. В качестве примера рассмотрим двойной ряд Ньютона [31] f(z, ω) = ∞ X m,n=0 cmn m!n! z(z−1)...(z−m+ 1)ω(ω−1)...(ω−n+ 1).(2.31) Полиномы Ньютона pmn(z, ω) = z(z−1)...(z−m+ 1)ω(ω−1)...(ω−n+ 1) m!n! 79

могут быть заданы производящим соотношением: e zζ1+ωζ2 = ∞ X m,n=0 pmn(z, ω)(e ζ1 −1) m (e ζ2 −1) n . Здесьb −1 1(ζ) =e ζ1 −1,b −1 2(ζ) =e ζ2 −1. ОбозначимDj={ζj∈C:|e ζj −1|<1}, j= 1,2. Отображение биголо- морфно в областиD1×D2. Функция сравнения здесьΨ(t1, t2) =e t1+t2 . По теореме 2.7 имеем: любая целая функцияf(z, ω)∈ EΨ(D1×D2)раз- лагается в двойной ряд Ньютона (2.31) с коэффициентами cmn= (−1) m+n m X k=0 n X ℓ=0 (−1) k+ℓ ̑ m k ̏ ̑ n ℓ ̏ f(k, ℓ). В частности, любая целая функцияf(z, ω), у которой найдется пара сопряженных экспоненциальных типов(τ1, τ2), таких чтоτ1<ln 2и τ2<ln 2, разлагается в ряд (2.31). Заметим, что если в теореме 2.7D=C n , тоEΨ(D) =EΨ, т.е. любая целая функция конечныхΨ- типов представляется рядом по полиномам (2.2). Так, например, любая функция экспоненциального типа представляется рядом полиномов ЭрмитаHmn(z, ω)илиGmn(z, ω)[6, стр. 270]. § 2.5. Суммирование кратных полиномиальных разло- жений Рассмотрим полиномыpα(z), заданные с помощью производящей функ- ции A(ω) n Y j=1 (1−2ωjzj+ω 2 j) −1 = X ∥α∥≥0 pα(z)ω α , (2.32) 80

где функцияA(ω)голоморфна в поликругеI n иA(ω)̸= 0для всехω∈ I n . Они являются частным случаем многочленов примера 3 из § 2.3. При n=1 иA(ω)≡1они превращаются в многочлены Чебышева вто- рого рода [5], поэтому их можно считать многомерным аналогом этих многочленов. Теорема 2.5 в случае многочленов (2.32) дает нам следующее утвержде- ние: если функция f(z) голоморфна в какой-либоn-эллиптической обла- стиω, то она разлагается в этой области в ряд по полиномам (2.32) f(z) = X ||α||≥0 cαpα(z), (2.33) который сходится к ней в каждой точке областиΩи равномерно сходится на компактных подмножествахΩ. Здесь мы исследуем область суммируемости разложения (2.33), введен- ным в § 1.4 методом. Точнее говоря, в качестве суммы Миттаг-Леффлера ряда (2.33) возьмем выражение S(z) = lim λ→0 X ||α||≥0 cαpα(z) Γ(α1λ+ 1)...Γ(αnλ+ 1) (2.34) и опишем область, в которой имеет место равенствоf(z) =S(z). Для этого распространим данное в работе [44] понятие гиперболической звезды Миттаг-Леффлера функции одной переменной, подобно тому как была определена в § 1.4 областьNf. Гиперболическим лучом на плоскостиCназовем любую из четырех ча- стей гиперболы {x+iy∈C: x 2 a 2 − y 2 1−a 2 = 1,0< a <1}, x≥0иy≥0,x≥0иy≤0,x≤0иy≥0,x≤0иy≤0, а также четыре луча: 81

{x+iy∈C:x= 0, y≥0},{x+iy∈C:x= 0, y≤0}, {x+iy∈C:x≥1, y= 0},{x+iy∈C:x≤ −1, y= 0}. Из каждой точки интервала(−1,1)выходят по два гиперболических луча, а из точек−1и1по одному. Они заполняют всю плоскостьC, не пересекаясь друг с другом. Гиперболически звездной областью на плоскостиCназовем область, со- держащую отрезок[−1,1]и имеющую в пересечении с любым гипер- болическим лучом связное множество. Пустьω1∈C; черезT(ω1)обозначим кусок гиперболического луча, со- единяющего точкиω1и∞. Дляω= (ω1, . . . , ωn)∈C n обозначим T(ω) =T(ω1)× · · · ×T(ωn). Пусть, как и ранее,∆fобозначает множество особых точек функции f(z), которую предположим голоморфной в некотором полиэллипсе. Тогда область Hf=int(C n \ [ ω∈∆f T(ω)) назовем гиперболической звездой Миттаг-Леффлера функцииf(z). Теорема 2.8. Пусть функцияf(z)голоморфна в некоторойn-эллиптической области, тогда она разлагается в ряд (2.33), суммируемый методом (2.34) в гиперболической звезде Миттаг-ЛеффлераHf, иначе говоря, для всех z∈Hfимеет место равенство lim λ→0 X ∥α∥≥0 cαpα(z) Γ(α1λ+ 1). . .Γ(αnλ+ 1) =f(z). (2.35) 82

Доказательство. Аналогично тому как это было сделано для областиNf(леммы 1.7 и 1.8) можно показать, чтоHfпредставляет собой объединение гиперболиче- ских полизвезд, т.е. областей вида H1× · · · ×Hn, где каждая изHk,k= 1, . . . , nявляется гиперболически звездной обла- стью в плоскостиC. Тем самым доказательство сводится к случаю когда Hfимеет вид (2.36). Итак пустьHf=H1×· · ·×HnиK⊂Hf- любой компакт. Тогда найдется поликруговая область D=D1× · · · ×Dn такая, чтоK⊂ D⋐Hfи каждая изDk,k= 1, . . . , n, является гипербо- лически звездной областью на плоскостиC. Перепишем (2.32) в виде A(ω)· n Y j=1 (1 +ω 2 j) −1 ̑ 1− 2ωjzj 1 +ω 2 j ̏ −1 = X |α|≥0 pα(z)ω α . (2.37) Делая замену переменныхζj= 1 2 (ωj+ 1 ωj ),j= 1, . . . , n, приходим к ряду n Y j=1 ̑ 1− zj ζj ̏ −1 = X |α|≥0 pα(z)Qα(ζ), (2.38) где Qα(ζ) = nQ j=1 ζj “ ζj− q ζ 2 j −1 ” αj+1 A(ζ1− p ζ 2 1−1, . . . , ζn− p ζ 2 n−1) . и всюду в выраженииQα(ξ)подразумевается главное значение корня. 83

Образ областиD ′ при отображении (ζ1− q ζ 2 1−1, . . . , ζn− p ζ 2 n−1), обозначим черезG(здесь, как и ранее, под корнем понимаем его главное значение). Из свойств функции Жуковского следует, чтоGявляется полизвездой. Теперь, рассматривая ряд (2.37) как степенной относительноω, убежда- емся, что он суммируем методом (2.34) к своей сумме в полизвездеG, если z∈ {z∈C n :zj̸= 1 2 (ωj+ 1 ωj ), j= 1, . . . , n,∀ω∈G}=D. Но тогда разложение (2.38) суммируемо приz∈D, ζ∈D ′ , т.е. lim λ→0 X ||α||≥0 pα(z)·Qα(ζ) Γ(α1λ+ 1). . .Γ(αnλ+ 1) = n Y j=1 (1− zj ζj ) −1 при(z, ζ)∈D×D ′ . Выберем циклΓ = Γ1× · · · ×Γnтак, чтобыΓ⊂Hf\Dи каждая из Γk, k= 1, . . . , nбыла кусочно-гладкой жордановой замкнутой кривой в плоскостиC, разделяющей точки0и∞. По интегральной формуле Коши для всехz∈D f(z) = 1 (2πi) n Z Γ f(ζ)· n Y j=1 ̑ 1− zj ζj ̏ −1 dζ1∧ · · · ∧dζn ζ1. . . ζn = 1 (2πi) n Z Γ f(ζ) lim λ→0 X ||α||≥0 pα(z)·Qα(ζ) Γ(α1λ+ 1). . .Γ(αnλ+ 1) dζ1∧ · · · ∧dζn ζ1. . . ζn = lim λ→0 X ||α||≥0   pα(z) Γ(α1λ+ 1). . .Γ(αnλ+ 1) 1 (2πi) n Z Γ f(ζ)Qα(ζ) dζ1∧ · · · ∧dζn ζ1. . . ζn  . 84

стягиваяΓв область сходимости ряда (2.38), убеждаемся, что cα= 1 (2πi) n Z Γ f(ζ)·Qα(ζ) dζ1∧ · · · ∧dζn ζ1. . . ζn , ибо, по теореме 2.5, именно таковы коэффициенты разложения (2.33). В силу произвольности компактаK⊂Hfтеорема доказана. 85

ЛИТЕРАТУРА 1. Айзенберг Л.А., Лейнартас Е.К. Многомерная композиция Адамара и ядра Сеге//Сиб.мат.журн.-1983.- Т.24, №3.- С.3-10. 2. Александров И.А., Соболев В.В. Аналитические функции комплекс- ного переменного: Учеб.пособие для вузов. - М.: Высш.шк., 1984. - 192 с. 3. Аракелян Н.У. Об эффективном аналитическом продолжении степен- ных рядов//Мат.сборн.-1984.- Т.124, №5. - С.24-44. 4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.1: Пер. с англ. - 2-е изд. - М.: Наука, 1973. - 294с. 5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.2: Пер. с англ. - 2-е изд. - М.: Наука, 1974. - 295с. 6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.3: Пер. с англ. - М.: Наука, 1967. - 300с. 7. Беляев В.А. О сходимости и абсолютной сходимости двойных рядов по полиномам//Сиб.мат.журн. - 1972. - Т.13, №3. - С.510-530. 8. Бибербах Л. Аналитическое продолжение: Пер. с нем. - М.: Наука, 1967. - 240с. 9. Винницкий Б.В. Об условиях сходимости последовательностей в неко- торых пространствах аналитических функций// Укр.мат.журн. - 1982. Т.34, №6. - С.741-744. 10. Гурьянова К.Н. Об одном методе аналитического продолжения функ- ции двух комплексных переменных//Мат.зап.Уральск. ун-т. - 1965. - Т.5, №2. - С.21-26. 11. Деревянченко Г.Д., Какичев В.А. О разложении целых функций двух переменных по аппелеподобным полиномам//Сб. трудов/ Моск.обл.пед.ин- т. - 1974. - Вып.4. - С.161-173. 86

12. Жижиашвили Л.В. О некоторых вопросах из теории простых и крат- ных тригонометрических и ортогональных рядов// Успехи мат.наук. - 1973. - Т.28, №3. - С.65-119. 13. Иванов В.К. Характеристика роста целой функции двух переменных и ее приложение к суммированию двойных степенных рядов //Мат.сборн. - 1959. - Т.47 (89), №1. С.3-16. 14. Какичев В.А., Деревянченко Г.Д. Определение и некоторые формаль- ные свойства аппелеподобных полиномов двух переменных//Мат.анализ и теория функций. - М., 1973. - Вып. 2. - С.146-158. 15. Лейнартас Е.К. Об одном обобщении композиции Адамара на функ- ции многих комплексных переменных//Сиб.мат.журн. - 1981. - Т.22, №4. С.218-221. 16. Лейнартас Е.К. Об одном обобщении произведения Адамара вC n //Мат.заметки. - 1982. - Т.32, №4. С.477-482. 17. Мавроди Н.Н. Аналитическое продолжение степенных рядов// До- кл.АН УССР. - 1986. - Сер.А, №4. С.17-19. 18. Мураев Э.Б. О приближении аналитических функций двух перемен- ных полиномами в звезде Миттаг-Леффлера//Сиб.мат. журн. - 1984. - Т.25, №1. С.101-105. 19. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.-Л.: Гостехиздат, 1949. - 688с. 20. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. - М.: Наука, 1971. - 430с. 21. Сеге Г. Ортогональные многочлены: М.: Физматгиз, 1962. - 500 с. 22. Сторчевая Г.Д. Отображение аппелеподобных полиномов с помощью дифференциальных операторов бесконечного порядка с постоянными ко- эффициентами // Изв. вузов. Математика. - 1982. - Т.241, №6. - С.57-59. 87

23. Суетин П.К. Ряды по многочленам Фабера. - М.: Наука, 1964. - 336 с. 24. Харди Г.Х. Расходящиеся ряды: Пер. с англ. - М.: ИЛ, 1951. - 504 с. 25. Цвиль М.М. Разложение голоморфных функций по R-полиномам Фабера двух переменных // Теория функций. Диф. уравне- ния и их приложения. - Элиста, 1976. - С.14-22. 26. Цвиль М.М. Двойные ряды Фабера // Укр. мат. журн. - 1981. - Т.33, №1. - С.128-132. 27. Чирка Е.М. Комплексные аналитические множества. - М.: Наука, 1985. - 272 с. 28. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. I: Учеб. для ун-тов. - 3 изд. - М.: Наука, 1985. - 336 с. 29. Янушаускас А.И. Суммирование кратных степенных рядов // Докл. АН СССР. - 1978. - Т.243, №2. - С.287-290. 30. Янушаускас А.И. Композиция особенностей функции двух комплекс- ных переменных // Диф. и интегр. уравнения. Краевые задачи. - Тби- лиси, 1979. - С.293-303. 31. Янушаускас А.И. Двойные ряды. - Новосибирск: Наука, 1980. - 224 с. 32. Янушаускас А.И. Двойные ряды ортогональных многочленов // Лит. мат. сб. - 1983. - Т.23, №2. - С.213-216. 33. Яцун В.А. Аналитическое продолжение разложений по многочленам Якоби // Укр. мат. журн. - 1969. - Т.21, №4, С.511-521. 34. Agmon S. On the singularities of Taylor series with reciprocal coefficients // Pacif. J. Math. - 1952. - №2. - P. 431-453. 88

35. Boas R. P., Buck R. C. Polynomial expansions of analytic functions. - Berlin, G¨ottingen, Heidelberg: Springer Verlag, 1964. - 47 p. 36. Boychev G. S. B¹-summability of series in Gegenbauer polynomials on boundaries of their regions of convergence // Doki. Bolg. AH. - 1986. - Vol 39, N2 - P. 17-18. 37. Cowling V. P., King J. P. On the Taylor and Lototski summability of series of Legendre polynomials // J. Analyze Math. - 1962. - N10. - P. 139- 152. 38. Djokovi´c D. ˇ Z. A property of the Taylor expansions of a class of rational functions in several variables // J. Math. Analisis and appl. - 1978. - Vol. 66. - P. 679-685. 39. Exton H. Multiple hypergeometric functions and applications. - Chichester (Sussex): Horwood, 1976. - 312 p. 40. Garibotti C. R., Grinstein F. F. A summation procedure for expansions in orthogonal polynomials // Math. notae. - 1976. - Vol. 25. - P. 55-63. 41. Gawronski W., Trautner R. Versch¨arfung eines Satzes von Borel-Okada ¨uber Summierbarkeit von Potenzreihen // Period. math. hungar. - 1976. - Vol. 7, N3-4. - S. 201-211. 42. Hadamard J. Theoreme sur les series entieres // Acta math. - 1899. - Vol. 22. - P. 55-63. 43. Haustas M. L. J., Klarner D. A. The diagonal of double power series // Duke Math. J. - 1971. - Vol. 38, N2. - P. 229-235. 44. Yakimovski A. Analytic continuation and summability of series of Legendre polynomials // Quart. - 1964. - Vol 15. - P. 289-302. 89

45. Yakimovski A. Summability of Heine and Neuman series of Legendre polynomials // Canad. J. math. 1966. - Vol. 18. - P. 1261-1263. 46. Lorentz G. G. Bernstein polynomials. Toronto. - 1953. - 130 p. 47. Odoni R. W. K. On the norms of algebraic integers // Mathematica. - 1975. - Vol. 22. - P. 71-80. 48. Suola Y. Sur la comparaison des deux fonctionsΣanz n etΣa −1 nz n // C. R. Acad. Sci. (Paris). - 1927. - Vol. 185. - P. 100-101. 49. Suola Y. Sur les points singuliers des deux fonctionsΣanz n etΣa −1 nz n // Bull. Soc. Math. Fr. - 1928. - Vol. 56. - P. 39-49. 50. Zeller K., Beekmann V. Theorie der Limitierungsverfahren. - 2 Aufl. - Berlin u. a.: Springer Verlag. - 1970. - 314 S. 51. Гуляев Г. М. Разложение голоморфных функций многих комплекс- ных переменных в ряды полиномов. - Новосибирск, 1984. - 23 с. - (Пре- принт/АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; №86). 52. Гуляев Г. М. Представление целых функций многих комплексных переменных рядами полиномов // Моделирование и оптимизация струк- турных систем/Межвузовский сб. - Барнаул: изд. Алтайск. ун-та, 1984. - С. 39-44. 53. Гуляев Г. М. Суммирование по Миттаг-Леффлеру некоторых крат- ных полиномиальных рядов/Алтайск. с.-х. ин-т. - Барнаул, 1987. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 05.02.87, № 823-В87. 90

Суммирование кратных функциональных рядов и аналитическое продолжение

1.2. ПустьI⊂Λ⊂C,Λ— область и функцияΨ(t)∈G(Λ)

1.8. ОбластьNfявляется максимальнойn- звездной областью вC n , в которой голоморфна функцияf(z)

1.4. Пусть областьΩ∈ U0(Λ),Λ- поликруговая область, I n ⊂Λ⊂C n иΨ(t)∈G(Λ)

2.3. ПустьI⊂Λ⊂C,Λобласть иΨ(t)∈G(Λ)

2.5. ПустьΛполикруговая область,I n ⊂Λ⊂C n ,Ψ(t)∈G(Λ)

1.5. ПустьΛ∈ U(Λ),Λ̸=CиD⊂Cнекоторая область, содер- жащая точку нуль

1.2. ПустьI⊂Λ⊂C,Λ- область и функцияΨ(t)∈G(Λ)

1.1. ЕслиA⊂C n ,B⊂C n , то обозначим zA={zω:ω∈A}, A·B={zω:z∈A, ω∈B}, A −1 ={z −1 :z∈A}

1.6. ПустьA⋐C n ,B⋐C n , тогдаA·B=A·B

1.8. ОбластьNfявляется максимальнойn- звездной областью вC n , в которой голоморфна функцияf(z)

1.4. Пусть областьΩ∈ U0(Λ),Λ- поликруговая область, I n ⊂Λ⊂C n иΨ(t)∈G(Λ)

1.5. ПустьΛ- поликруговая область вC n ,I n ⊂Λ⊂C n и областьΩ∈ PF, гдеF=U0(Λ)

2.2. Разложение функций, голоморфных в начале координат, в ряды полиномов

2.1. ПустьI⊂Λ⊂C,1∈Λ ′ иDr∈ U(Λ), тогда Ωr= (Dr) ∗ ,Ωr=D ∗ rиΩr∈ U(Λ)

2.3. ПустьI⊂Λ⊂C,Λ- область иΨ(t)∈G(Λ)

2.3. Разложение функций, голоморфных в начале координат, в ряды полиномов

2.4. ПустьΛ = Λ1× · · · ×Λnполикруговая область вC n ,I n ⊂ Λ⊂C n и функцияΨ(t)∈G(Λ)

2.5. ПустьΛполикруговая область,C n ⊂Λ⊂C n ,Ψ(t)∈G(Λ)

Цитировать работу

Обсуждение