1. Введение

В моей работе о целочисленных циклических многоугольниках ([1], страницы 19-21) был обнаружен пример окружности с радиусом $r = 1729$, в половину которой можно вписать 33 ломаных, состоящих из семи целочисленных звеньев.

Ближайшие к этому r радиусы окружностей, для которых можно вписать в половину окружности ломаные из семи звеньев с целыми длинами: $r = 1292$ (одна ломаная) и $r = 2024$ (четыре ломаных). То есть, такие случаи достаточно редки.

Число 1729 известно как число-такси или число Рамануджана. Это наименьшее натуральное число, которое можно представить двумя способами в виде суммы двух кубов натуральных чисел.

Возник вопрос случайно ли число 1729 появилось в задаче о целочисленных циклических многоугольниках или же здесь существуют какие-то глубинные математические закономерности пока неизвестные нам?

В данной работе мы попытаемся дать ответ на этот вопрос. В работе исследуются новые свойства сфенических чисел-такси, на основе которых формулируется и используется алгоритм их вычисления.

А также эмпирически подтверждается связь между сфеническими числами-такси и натуральными радиусами окружностей, в половину которых можно вписывать целочисленные семизвездные ломаные.

2. Сфенические числа-такси

Сфенические числа - это числа вида $n = p \cdot q \cdot r, \; p \lt q \lt r$, где $p,q,r$ - простые числа ([2]). Если же говорить о сфенических числах-такси, то первые известные такие числа приведены в следующей таблице ([3]):

Число такси ($n$)Разложение ($p \cdot q \cdot r$)Суммы кубов ($a^3+b^3 = c^3+d^3$)
1729$7 \cdot 13 \cdot 19$$1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3$
20683$13 \cdot 37 \cdot 43$$10^3 + 27^3 = 19^3 + 24^3$
149389$31 \cdot 61 \cdot 79$$8^3 + 53^3 = 29^3 + 50^3$
195841$37 \cdot 67 \cdot 79$$9^3 + 58^3 = 22^3 + 57^3$
327763$31 \cdot 97 \cdot 109$$30^3 + 67^3 = 51^3 + 58^3$

Я заметил одну интересную и легко проверяемую для всех этих чисел закономерность: суммы оснований $a+b$ и $c+d$ равны второму ($q$) и третьему ($r$) простому числу в разложении числа $n$ на простые множители. И это оказалось не случайно.

Теорема 1. Пусть $n = pqr \; (p \lt q \lt r), p,q,r$ - простые и

$$ n = a^3+b^3 = c^3+d^3, \text{ где } a,b,c,d - \text{натуральные}. $$

Если, при этом, $a+b \lt c+d$, то $q = a+b$ и $r = c+d$.

Доказательство. Используем разложения для суммы кубов:

$$ \begin{cases} (a+b)(a^2-ab+b^2) = pqr\\ (c+d)(c^2-cd+d^2) = pqr \end{cases} \tag{1} $$

Обозначим, для краткости записи:

$$ a+b=x, c+d = y, \; a^2-ab+b^2 = A, \; c^2-cd+d^2 = B. $$

Исходя из легко проверяемого неравенства $4 \cdot (a^2-ab+b^2) \ge (a+b)^2$ и аналогичного для $c$ и $d$, находим соотношения между делителями $x,A,y,B$ числа n:

$$ \begin{cases} A = a^2-ab+b^2 \ge \frac{(a+b)^2} 4 = \frac{x^2} 4\\ B = c^2-cd+d^2 \ge \frac{(c+d)^2} 4 = \frac{y^2} 4 \end{cases} \tag{2} $$

Кроме этого, $A = a^2-ab+b^2 = ((a+b)^2 - 3ab) = x^2 - 3ab$ и, аналогично, $B = y^2-3ab$, поэтому,

$$ \begin{cases} 3ab = x^2-A \ge 3\\ 3ab = y^2-B \ge 3 \end{cases} \tag{3} $$

Используя (2) и (3), получаем общие ограничения на $x$ и $y \; (x \lt y)$:

$$ \begin{cases} 3+A \le x^2\le 4A\\ 3+B \le y^2 \le 4B \end{cases} \tag{4} $$

Число $n$ имеет только 8 делителей: $1,p,q,r,pq,pr,qr,pqr$.

Перебирая все эти варианты для делителей $x$ и $y$, убеждаемся, что единственный непротиворечивый с условиями (4) вариант: $x = q, y = r$.

Рассмотрим возможные случаи для $x=a+b>1$:

  1. Пусть $x = p$, тогда $A = qr$ и, согласно (4), $3 + qr \le p^2 \le 4qr.$ Из неравенства $p \lt q \lt r$ следует,что $qr>p^2$. Противоречие.
  2. Пусть $x = q$, тогда $A = pr$ и из (4):

$$ 3+pr \le q^2 \le 4pr. \tag{5} $$

Рассмотрим возможные варианты $y>q: r, pq, pr, qr$.

  • Если $y = pq$, то $B = r$. Из (4): $3+r \le (pq)^2 \le 4r$. Согласно (5): $(pq)^2 = p^2q^2 \ge p^2(3+pr) = 3p^2+p^3r >4r$. Противоречие.
  • Если $y = pr$, то $B = q$. Из (4): $3+q \le (pr)^2 \le 4q$, что невозможно, поскольку $p \ge 2$, то есть $(pr)^2 \ge 4r^2 > 4q$.
  • Если $y = qr$, то $B = p$. Из (4): $3+p \le (qr)^2 \le 4p$, невозможно, поскольку $q>2$.
  • Если $y = r$, то $B = pq$. Из (4): $3+pq \le r^2 \le 4pq$. Этот случай возможен.
  1. Пусть $x = r$, тогда $A = pq$ и из (4):

$$ 3+pq \le r^2 \le 4pq. \tag{6} $$

Так как теперь $y>r$, то для него возможные варианты: $pq,pr,qr$.

  • Если $y = pq$, то $B = r$. Из (4): $3+r \le (pq)^2 \le 4r$. Согласно (6): $16r^2 \le 64pq$. С другой стороны, $16r^2 \ge (pq)^4$. Так как $pq \ge 6$, то $(pq)^4 > 64pq$. Противоречие.
  • Если $y = pr$, то $B = q$. Из (4): $3+q \le (pr)^2 \le 4q$. Сразу противоречие, ибо $p \ge 2$, следовательно $(pr)^2 \ge 4r > 4q$.
  • Если $y = qr$, то $B = p$. Из (4): $3+p \le (qr)^2 \le 4p$, невозможно, поскольку $q>2$.
  1. Пусть $x = pq$, тогда $A = r$ и из (4): $3 + r \le (pq)^2 \le 4r$. Учитывая, что $y > x = pq$, получаем для $y$ только два варианта: $pr$ или $qr$.

Для $y = pr, \; B = q$, имеем: $3 + q \le (pr)^2 \le 4q$. Это неравенство невозможно, оно уже рассматривалось ранее. И то же самое для $y = qr$.

  1. Пусть $x = pr$, тогда $A = q, \; y = qr, B = p$. Невозможно.

Итак, единственный возможный случай это $x = a+b = q$ и $y = c+d = r$. Что и требовалось доказать.

Теорема 1 дает возможность получить новый эффективный алгоритм, для получения сфенических чисел-такси:

  1. Рассматриваем все комбинации из 3 простых чисел $(p,q,r)$ до некоторого натурального числа.
  2. Для каждой комбинации вычисляем пару $(\frac {q^2 - pr} 3, \frac {r^2 - pq} 3)$, при этом выбираем только случаи, когда $q^2 - pr$ и $r^2 - pq$ делятся на 3 нацело.
  3. Теперь, поскольку $a+b = q$ и $ab = \frac {q^2 - pr} 3 = m_1$, то натуральные числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения: $x^2 - qx + m_1 = 0$. Решаем его в натуральных числах. Проверяем, что $D = q^2 - 4m_1$ является точным квадратом и так далее.
  4. Аналогично, для чисел $c$ и $d$ решаем квадратное уравнение $x^2 - rx + m_2 = 0, \; m_2 = \frac {r^2 - pq} 3$ в натуральных числах.

Приведу программную реализацию этого алгоритма на языке Julia.

using Primes, Combinatorics

function find(max_p)
  res = Vector{Vector{Int64}}()
  for c in combinations(primes(max_p), 3)
    (p, q, r) = c
    # Проверка на делимость на 3
    if (q^2 - p*r) % 3 != 0 || (r^2 - p*q) % 3 != 0
      continue
    end
    m1 = div(q^2 - p*r, 3); m2 = div(r^2 - p*q, 3)
    # Проверка положительности
    if m1 <= 0 || m2 <= 0 continue end
    # Проверка дискриминантов
    d1 = q^2 - 4*m1; d2 = r^2 - 4*m2 
    if d1 < 0 || d2 < 0 continue end
    sd1 = isqrt(d1); sd2 = isqrt(d2)    
    if sd1^2!=d1 || sd2^2!=d2 continue end
    if (q+sd1)%2 > 0 || q-sd1 <= 0 || (q-sd1)%2 > 0
      continue
    end    
    if (r+sd2)%2 > 0 || r-sd2 <= 0 || (r-sd2)%2 > 0
      continue
    end
    # Решение уравнений
    a = div(q-sd1,2); b = div(q+sd1,2)
    c = div(r-sd2,2); d = div(r+sd2,2)  
    # Проверка равенства сумм кубов
    n = p * q * r
    ab = a^3 + b^3; cd = c^3 + d^3
    if ab == cd && ab == n
      push!(res, [n, p, q, r, a, b, c, d])
    end
  end
  sort!(res)
end

Результаты работы программы для простых до $10000$.

Сфенические числа-такси. Найдено 98 для p < q < r < 10000
-----------------------------------
[  n   p   q   r   a   b   c   d  ]
-----------------------------------  
[1729, 7, 13, 19, 1, 12, 9, 10]
[20683, 13, 37, 43, 10, 27, 19, 24]
[149389, 31, 61, 79, 8, 53, 29, 50]
[195841, 37, 67, 79, 9, 58, 22, 57]
[327763, 31, 97, 109, 30, 67, 51, 58]
[2418271, 73, 157, 211, 23, 134, 95, 116]
[6058747, 79, 271, 283, 99, 172, 120, 163]
[7620661, 103, 241, 307, 45, 196, 133, 174]
[9443761, 103, 277, 331, 68, 209, 146, 185]
[10765603, 109, 283, 349, 64, 219, 163, 186]
[13623913, 103, 349, 379, 121, 228, 186, 193]
[18406603, 193, 283, 337, 19, 264, 75, 262]
[32114143, 139, 463, 499, 159, 304, 223, 276]
[68007673, 181, 607, 619, 222, 385, 241, 378]
[105997327, 211, 691, 727, 239, 452, 296, 431]
[106243219, 193, 733, 751, 307, 426, 363, 388]
[166560193, 331, 607, 829, 57, 550, 316, 513]
[216226981, 373, 661, 877, 61, 600, 304, 573]
[446686147, 349, 1093, 1171, 355, 738, 472, 699]
[584504191, 421, 1051, 1321, 220, 831, 615, 706]
[813357253, 541, 1039, 1447, 106, 933, 610, 837]
[959281759, 421, 1471, 1549, 543, 928, 694, 855]
[1098597061, 439, 1567, 1597, 613, 954, 669, 928]
[1736913439, 601, 1543, 1873, 351, 1192, 807, 1066]
[2072769211, 883, 1321, 1777, 46, 1275, 534, 1243]
[2460483307, 613, 1873, 2143, 555, 1318, 1068, 1075]
[2534342347, 673, 1867, 2017, 531, 1336, 726, 1291]
[2696122459, 769, 1609, 2179, 219, 1390, 960, 1219]
[2992523203, 883, 1627, 2083, 187, 1440, 699, 1384]
[3438513979, 631, 2281, 2389, 878, 1403, 1130, 1259]
[3738730483, 1153, 1627, 1993, 75, 1552, 454, 1539]
[5080981393, 787, 2467, 2617, 810, 1657, 1032, 1585]
[5570040313, 739, 2689, 2803, 1048, 1641, 1314, 1489]
[5795759899, 733, 2791, 2833, 1188, 1603, 1302, 1531]
[7170123151, 1063, 2221, 3037, 295, 1926, 1383, 1654]
[7546425517, 1033, 2557, 2857, 616, 1941, 981, 1876]
[7821346633, 1291, 1987, 3049, 2, 1985, 1241, 1808]
[8602562953, 1279, 2083, 3229, 34, 2049, 1476, 1753]
[9242888779, 853, 3253, 3331, 1371, 1882, 1648, 1683]
[10843895539, 1009, 3061, 3511, 898, 2163, 1708, 1803]
[11280947113, 1801, 2467, 2539, 225, 2242, 298, 2241]
[11932918849, 1231, 2683, 3613, 402, 2281, 1692, 1921]
[12747309181, 1951, 2341, 2791, 5, 2336, 461, 2330]
[13501730311, 1153, 3307, 3541, 983, 2324, 1295, 2246]
[14537287459, 1531, 2659, 3571, 219, 2440, 1243, 2328]
[14753560033, 1453, 2677, 3793, 225, 2452, 1584, 2209]
[15054607279, 997, 3853, 3919, 1671, 2182, 1935, 1984]
[18216779887, 1693, 2797, 3847, 166, 2631, 1336, 2511]
[18816356071, 1429, 3121, 4219, 466, 2655, 2052, 2167]
[23215399633, 1693, 3499, 3919, 658, 2841, 1126, 2793]
[24518353609, 1747, 3049, 4603, 144, 2905, 2202, 2401]
[29255160331, 1597, 4027, 4549, 979, 3048, 1627, 2922]
[31113708481, 1873, 3331, 4987, 186, 3145, 2409, 2578]
[33197363533, 1567, 4243, 4993, 1069, 3174, 2124, 2869]
[37841443813, 1999, 4003, 4729, 654, 3349, 1468, 3261]
[39100327831, 1399, 5227, 5347, 2148, 3079, 2439, 2908]
[41225807107, 1669, 4831, 5113, 1467, 3364, 1843, 3270]
[43777429999, 1933, 4591, 4933, 1103, 3488, 1502, 3431]
[44883220087, 1531, 5197, 5641, 1806, 3391, 2799, 2842]
[44974423969, 1627, 4969, 5563, 1505, 3464, 2441, 3122]
[47736505249, 1777, 4903, 5479, 1337, 3566, 2105, 3374]
[48238207597, 2203, 3853, 5683, 213, 3640, 2470, 3213]
[54359792299, 2557, 4153, 5119, 366, 3787, 1395, 3724]
[58682954269, 1993, 4801, 6133, 933, 3868, 2832, 3301]
[69409329697, 2311, 4831, 6217, 729, 4102, 2401, 3816]
[78313460419, 2851, 4783, 5743, 507, 4276, 1531, 4212]
[80839650457, 2383, 5323, 6373, 1018, 4305, 2268, 4105]
[84729678973, 2311, 5869, 6247, 1541, 4328, 1997, 4250]
[92652490621, 3049, 4591, 6619, 66, 4525, 2302, 4317]
[97621905673, 1861, 7177, 7309, 3097, 4080, 3636, 3673]
[100359155269, 2137, 6373, 7369, 1821, 4552, 3564, 3805]
[101814591187, 2053, 6763, 7333, 2283, 4480, 3283, 4050]
[102994980667, 2017, 6907, 7393, 2456, 4451, 3398, 3995]
[109176102793, 2731, 5689, 7027, 921, 4768, 2482, 4545]
[115787824783, 3109, 4993, 7459, 119, 4874, 2996, 4463]
[117761282263, 2083, 7489, 7549, 2991, 4498, 3103, 4446]
[127669335499, 2341, 6823, 7993, 1876, 4947, 3982, 4011]
[151122317677, 2713, 7027, 7927, 1766, 5261, 2906, 5021]
[165812161303, 3001, 6337, 8719, 850, 5487, 4296, 4423]
[178660856467, 2917, 6991, 8761, 1387, 5604, 3747, 5014]
[201170668987, 3697, 6211, 8761, 352, 5859, 3259, 5502]
[203514378013, 3037, 7177, 9337, 1317, 5860, 4645, 4692]
[215793111907, 2797, 8263, 9337, 2395, 5868, 4006, 5331]
[225744618097, 4297, 6553, 8017, 465, 6088, 2001, 6016]
[230114585647, 3079, 7933, 9421, 1863, 6070, 3847, 5574]
[237020058973, 3391, 7177, 9739, 997, 6180, 4413, 5326]
[238913829163, 3793, 6703, 9397, 499, 6204, 3642, 5755]
[251715291319, 2791, 9109, 9901, 3039, 6070, 4398, 5503]
[266992291729, 3547, 8269, 9103, 1884, 6385, 2857, 6246]
[275331927043, 3697, 8263, 9013, 1804, 6459, 2659, 6354]
[278450575201, 3613, 8737, 8821, 2304, 6433, 2401, 6420]
[281101735297, 3373, 8863, 9403, 2425, 6438, 3090, 6313]
[287541374077, 3967, 7621, 9511, 1029, 6592, 3162, 6349]
[328658155009, 3457, 9643, 9859, 2921, 6722, 3194, 6665]
[342769769533, 4153, 9043, 9127, 2109, 6934, 2202, 6925]
[347519256481, 4357, 8017, 9949, 993, 7024, 3132, 6817]
[355826435077, 4519, 8191, 9613, 1114, 7077, 2653, 6960]
[571167992761, 6991, 8389, 9739, 92, 8297, 1457, 8282]

Мы видим здесь, что простые числа $p, q, r$ довольно близки друг к другу. Таким образом, если добавить в программу ограничения, которые следуют из доказательства теоремы 1:

$$ \sqrt{pr} \lt q \lt 2 \sqrt {pr}, \quad \sqrt{pq} \lt r \lt 2 \sqrt {pq}, $$

то программа будет еще более эффективной.

Более того можно доказать, что простые множители $p, q, r$ сфенического числа-такси обязаны иметь вид $6k+1$, и этот факт еще вдвое уменьшает их перебор.

Связь с задачей о циклических многоугольниках

Теперь, используя результаты теоремы 1, мы сможем продвинуться в исследовании связи между любым сфеническим числом-такси $n$ и целочисленными ломаными из семи звеньев, вписанными в полуокружность с радиусом равным этому числу $n$.

В работе [1] (формула (3)) для получения циклических целочисленных многоугольников мы рассматривали комплексные числа на единичной окружности (лучевые проекции на нее вершин реального многоугольника или ломаной):

$$ z(x) = \frac{\sqrt{4n^2 - x^2}}{2n} + \frac{x}{2n}i. , $$

предполагая, что, если корень в действительной части не извлекается, то для всех вершин он один и тот же. Если, при этом, произведение комплексных чисел

$$ \prod_{k=1}^m \; z(x_k) (m \; \text{- число сторон или звеньев}) $$

сворачивалось к $-1$ для вписанных многоугольников или к $i$ для ломаных вписанных в половину окружности, то мы обнаруживали возможное новое решение задачи.

На практике выяснилось, что неизвлекаемая часть в найденных решениях практически всегда равна 3. Если $\sqrt{4n^2 - x^2} = y\sqrt{3}$, то комплексные числа принимают вид:

$$ z(x) = \frac{y\sqrt{3}}{2n} + \frac{x}{2n}i $$

и мы получаем основное уравнения для решения задачи:

$$ x^2 +3y^2 = 4n^2, \quad 0 \lt x \lt 2n, \quad y > 0 \tag{7} $$

Теорема 2. Для $n = p_1 p_2 \ldots p_m$, где все $p_i \equiv 1 \pmod{3}$, уравнение (7) имеет ровно

$$ R(n) = \frac{6 \cdot 3^m - 2}{4} \tag{8} $$

решений. В частности, для $m = 3$ (сфенические числа) $R(n) = 40$.

Доказательство. Согласно классической теории квадратичных форм (Cox [4], Chapter 2, Theorem 2.2), число представлений $R(N)$ целого числа $N$ формой $x^2 + 3y^2$ в целых числах задаётся формулой:

$$ r_3(N) = 6 \sum_{d|N, \, 3 \nmid d} \left(\frac{-3}{d}\right) $$

где $\left(\frac{-3}{d}\right)$ — символ Кронекера.

Применяя эту формулу к $N = 4n^2$, где $n = pqr$ и $p, q, r \equiv 1 \pmod{3}$, вычисляя сумму и учитывая симметрии ($x \to -x$, $y \to -y$, $x \to 2n - x$), получаем (8).

Теорема 2 гарантирует нам, что для любого сфенического числа-такси будет ровно 40 решений уравнения (7) в натуральных числах.

Поиск ломаных для сфенических чисел теперь может быть организован при помощи следующего алгоритма:

  1. Для данного сфенического числа-такси $n$ находим все 40 решений уравнения (7). Получаем список хорд (x - длина звена ломаной).
  2. Перебираем все комбинации по k (k - число звеньев ломаной)
  3. Для каждой комбинации с большой точностью приближенно вычисляем соответствующее произведение комплексных чисел и проверяем его на равенство числу $i$ (с точностью до $10^{-70}$).

Вот программа на языке Julia, реализующая этот алгоритм:

function chords(n) #40 хорд из уравнения x^2 + 3y^2 = 4n^2 
  m = div(2*n, isqrt(3))
  res = Int64[]; sizehint!(res, 40)
  for y in 1:m
    rem2 = 4*n^2 - 3*y^2
    if rem2 > 0
      x = isqrt(rem2)
      if x^2 == rem2 push!(res, x) end
    end
  end
  sort!(res)
end

function isline(r, l)
  sum(l) < pi*r || return false
  eps = big(10)^(-70)
  # Перевод в комплексные координаты единичной окружности
  z_prod = prod(map(x -> 
    begin
      sin_val = big(x)/(2*r)
      cos_val = sqrt(1 - sin_val^2)
      cos_val + sin_val*im
    end, l))
    # Ломаная замыкается в полуокружность, если произведение равно i (0 + 1im)
    abs(real(z_prod)) < eps && abs(imag(z_prod) - 1) < eps
end

function find_all_lines(r, k)
  pool = chords(r)    
  # Фильтруем комбинации ленивым итератором
  solutions = [
    comb for comb in combinations(pool, k) 
    if isline(r, comb)
  ]    
  solutions
end

Программа повторила уже известные нам результаты для первых двух сфенических чисел-такси, полученных ранее другим способом.

n = 1729, найдено: 33
[133, 299, 386, 494, 649, 1261, 2033]
[133, 299, 386, 494, 658, 1001, 2242]
[133, 299, 386, 494, 658, 1583, 1729]
[133, 299, 386, 494, 917, 1001, 2033]
[133, 299, 386, 494, 917, 1342, 1729]
[133, 299, 386, 494, 1001, 1261, 1729]
[133, 299, 386, 494, 1159, 1261, 1583]
[133, 299, 386, 494, 1261, 1342, 1406]
[133, 299, 386, 658, 917, 1342, 1583]
[133, 299, 386, 658, 1001, 1261, 1583]
[133, 299, 386, 917, 1001, 1261, 1342]
[133, 299, 494, 649, 658, 1001, 2033]
[133, 299, 494, 649, 658, 1342, 1729]
[133, 299, 494, 649, 1159, 1261, 1342]
[133, 299, 494, 658, 1001, 1159, 1583]
[133, 299, 494, 658, 1001, 1342, 1406]
[133, 299, 494, 917, 1001, 1159, 1342]
[133, 299, 649, 658, 1001, 1261, 1342]
[133, 386, 494, 649, 658, 917, 2033]
[133, 386, 494, 649, 658, 1261, 1729]
[133, 386, 494, 658, 917, 1001, 1729]
[133, 386, 494, 658, 917, 1159, 1583]
[133, 386, 494, 658, 917, 1342, 1406]
[133, 386, 494, 658, 1001, 1261, 1406]
[133, 386, 494, 917, 1001, 1159, 1261]
[133, 386, 649, 658, 917, 1261, 1342]
[133, 494, 649, 658, 917, 1159, 1342]
[133, 494, 649, 658, 1001, 1159, 1261]
[299, 386, 494, 649, 658, 1261, 1583]
[299, 386, 494, 649, 917, 1261, 1342]
[299, 386, 494, 658, 917, 1001, 1583]
[299, 494, 649, 658, 917, 1001, 1342]
[386, 494, 649, 658, 917, 1001, 1261]

n = 20683, найдено: 58
[1591, 2557, 3887, 5203, 5723, 8342, 32618]
[1591, 2557, 3887, 5203, 5723, 16991, 26273]
[1591, 2557, 3887, 5203, 8342, 9287, 30266]
[1591, 2557, 3887, 5203, 8342, 10582, 29341]
[1591, 2557, 3887, 5203, 8342, 12358, 28009]
[1591, 2557, 3887, 5203, 8342, 14534, 26273]
[1591, 2557, 3887, 5203, 8342, 15766, 25237]
[1591, 2557, 3887, 5203, 8342, 16991, 24167]
[1591, 2557, 3887, 5203, 8342, 18659, 22643]
[1591, 2557, 3887, 5203, 10582, 12358, 26273]
[1591, 2557, 3887, 5203, 10582, 18659, 20683]
[1591, 2557, 3887, 5203, 12358, 16991, 20683]
[1591, 2557, 3887, 5203, 14534, 16991, 18659]
[1591, 2557, 3887, 8342, 9287, 10582, 26273]
[1591, 2557, 3887, 8342, 9287, 16991, 20683]
[1591, 2557, 3887, 8342, 10582, 15766, 20683]
[1591, 2557, 3887, 8342, 14534, 15766, 16991]
[1591, 2557, 3887, 9287, 10582, 16991, 18659]
[1591, 2557, 3887, 10582, 12358, 15766, 16991]
[1591, 2557, 5203, 5723, 8342, 10582, 28009]
[1591, 2557, 5203, 5723, 8342, 16991, 22643]
[1591, 2557, 5203, 5723, 10582, 16991, 20683]
[1591, 2557, 5203, 8342, 9287, 10582, 25237]
[1591, 2557, 5203, 8342, 10582, 12358, 22643]
[1591, 2557, 5203, 8342, 10582, 14534, 20683]
[1591, 2557, 5203, 10582, 12358, 14534, 16991]
[1591, 2557, 8342, 9287, 10582, 14534, 16991]
[1591, 3887, 5203, 5723, 8342, 9287, 28009]
[1591, 3887, 5203, 5723, 8342, 15766, 22643]
[1591, 3887, 5203, 5723, 9287, 10582, 26273]
[1591, 3887, 5203, 5723, 9287, 16991, 20683]
[1591, 3887, 5203, 5723, 10582, 15766, 20683]
[1591, 3887, 5203, 5723, 14534, 15766, 16991]
[1591, 3887, 5203, 8342, 9287, 10582, 24167]
[1591, 3887, 5203, 8342, 9287, 12358, 22643]
[1591, 3887, 5203, 8342, 9287, 14534, 20683]
[1591, 3887, 5203, 9287, 10582, 12358, 20683]
[1591, 3887, 5203, 9287, 10582, 14534, 18659]
[1591, 3887, 5203, 9287, 12358, 14534, 16991]
[1591, 3887, 5203, 10582, 12358, 14534, 15766]
[1591, 3887, 5723, 9287, 10582, 15766, 16991]
[1591, 3887, 8342, 9287, 10582, 14534, 15766]
[1591, 5203, 5723, 8342, 9287, 10582, 22643]
[1591, 5203, 5723, 9287, 10582, 14534, 16991]
[2557, 3887, 5203, 5723, 8342, 10582, 26273]
[2557, 3887, 5203, 5723, 8342, 16991, 20683]
[2557, 3887, 5203, 5723, 10582, 16991, 18659]
[2557, 3887, 5203, 8342, 10582, 12358, 20683]
[2557, 3887, 5203, 8342, 10582, 14534, 18659]
[2557, 3887, 5203, 8342, 12358, 14534, 16991]
[2557, 3887, 5723, 8342, 10582, 15766, 16991]
[2557, 3887, 8342, 9287, 10582, 12358, 16991]
[2557, 5203, 5723, 8342, 10582, 14534, 16991]
[3887, 5203, 5723, 8342, 9287, 10582, 20683]
[3887, 5203, 5723, 8342, 9287, 14534, 16991]
[3887, 5203, 5723, 8342, 10582, 14534, 15766]
[3887, 5203, 5723, 9287, 10582, 12358, 16991]
[3887, 5203, 8342, 9287, 10582, 12358, 14534]

Приведем статистику количества семизвенных и трехзвенных ломаных для первых 25 сфенических чисел-такси.

Число семизвенных ломаных m7, трехзвенных m3 
для 25 первых сфенических чисел:
----------------------------------------------
([  n   p   q   r   a   b   c   d ],   m7,  m3)
---------------------------------------------- 
([1729, 7, 13, 19, 1, 12, 9, 10], 33,  64 (реально 82))
([20683, 13, 37, 43, 10, 27, 19, 24], 58, 65)
([149389, 31, 61, 79, 8, 53, 29, 50], 58, 65)
([195841, 37, 67, 79, 9, 58, 22, 57], 33, 64)
([327763, 31, 97, 109, 30, 67, 51, 58], 58, 65)
([2418271, 73, 157, 211, 23, 134, 95, 116], 0, 57)
([6058747, 79, 271, 283, 99, 172, 120, 163], 33, 64)
([7620661, 103, 241, 307, 45, 196, 133, 174], 0, 60)
([9443761, 103, 277, 331, 68, 209, 146, 185], 33, 64)
(([10765603, 109, 283, 349, 64, 219, 163, 186], 59, 64)
([13623913, 103, 349, 379, 121, 228, 186, 193], 35, 63)
([18406603, 193, 283, 337, 19, 264, 75, 262], 58, 65)
([32114143, 139, 463, 499, 159, 304, 223, 276], 33, 64)
([68007673, 181, 607, 619, 222, 385, 241, 378], 33, 64)
([105997327, 211, 691, 727, 239, 452, 296, 431], 0, 60)
([106243219, 193, 733, 751, 307, 426, 363, 388], 59, 64)
([166560193, 331, 607, 829, 57, 550, 316, 513], 0, 57)
([216226981, 373, 661, 877, 61, 600, 304, 573], 33, 64)
([446686147, 349, 1093, 1171, 355, 738, 472, 699], 35, 63)
([584504191, 421, 1051, 1321, 220, 831, 615, 706], 33, 64)
([813357253, 541, 1039, 1447, 106, 933, 610, 837], 0, 60)
([959281759, 421, 1471, 1549, 543, 928, 694, 855], 35, 63)
([1098597061, 439, 1567, 1597, 613, 954, 669, 928], 58, 65)
([1736913439, 601, 1543, 1873, 351, 1192, 807, 1066], 33, 43)
([2072769211, 883, 1321, 1777, 46, 1275, 534, 1243], 35, 19)

Мы видим здесь определенную закономерность, разбавленную комбинаторными флуктуациями. (33, 64) повторяется довольно часто. В принципе, m7 либо 33 или около, либо 58 или около, либо 0, соответственно, m3 почти всегда в районе 60, за исключением последнего наблюдения.

Таким образом, эмпирически подтверждается связь между сфеническими числами такси $n$ и целочисленными ломаными вписанными в половину окружности радиуса $n$.

Справедливости ради должен заявить, что программа приведенная выше находит основную часть существующих ломаных, но не все. Какую-то их часть она может пропускать.

Для доказательства этого факта найдем все трехзвенные ломаные для n = 1729 нашей программой (их будет 64) и выполним ту же операцию при помощи программы, использующей формулу (5) работы [1]:

$$ r \; (a^2+b^2+c^2) + abc = 4r^2 $$

#r - радиус окружности, точные вычисления
function listline3(r) # список всех ломаных из 3 звеньев для радиуса r
  res = Vector{Vector{Int64}}()
  for x in combinations(1:2*r-1, 3)
    a = x[1]; b =x[2]; c = x[3]
    if r*(a^2+b^2+c^2)+a*b*c==4*r^3
      push!(res,x)
    end
  end
  res
end

Эта программа находит для n = 1729 все 82 существующие трехзвенные ломаные. Приведем 18 ломаных, которые наша программа find_all_lines упустила:

[38, 2338, 2522]
[130, 2108, 2660]
[169, 1533, 3021]
[182, 542, 3382]
[182, 798, 3318]
[182, 1482, 3042]
[182, 2018, 2698]
[532, 1918, 2548]
[542, 798, 3198]
[546, 2086, 2394]
[623, 1577, 2743]
[642, 1995, 2405]
[646, 1534, 2758]
[754, 1092, 2964]
[798, 898, 3042]
[798, 1482, 2698]
[858, 1190, 2850]
[1456, 1742, 1976]

Отмечу еще одно интересное наблюдение для окружности с радиусом 1729. Множество хорд используемых в 82-х трехзвенных ломаных, вписанных в половину окружности, содержит все хорды всех известных на данный момент 33-х семизвенных ломаных.

Повторится ли подобное и для других радиусов - вопрост открытый.

На данный момент вопрос о том, для всех ли сфенических чисел-такси $n$ существуют целочисленные ломаные из 7 звеньев, вписанные в полуокружность радиуса $n$, остаётся открытым.

Численные эксперименты показывают, что для некоторых чисел ломаные не найдены, но это может быть связано с несовершенством алгоритма, а не с отсутствием самих ломаных.

Автор надеется, что дальнейшие исследования, возможно, с использованием более точных методов, прольют свет на эту загадку.

Список литературы

  1. Гуляев Георгий Михайлович Целочисленные циклические многоугольники, вписанные в окружность с целым радиусом // ArxivOrg.Ru. — 2026. — URL: https://arxivorg.ru/a/AX-134224.
  2. Сфеническое число. Википедия. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE
  3. OEIS Foundation Inc. (2026). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Sequence A001235. URL: https://oeis.org/A001235
  4. David A. Cox, Primes of the Form $x^2 + n y^2$: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication, Second edition: AMS, 2013.