Сфенические числа-такси и целочисленные ломаные вписанные в полуокружность

Q: О чём работа?

В настоящей работе впервые исследуется глубокая взаимосвязь между мультипликативной структурой сфенических чисел-такси (чисел Рамануджана) и дискретной геометрией целочисленных многоугольников, вписанных в полуокружность. Разработанный подход закладывает фундамент для изучения нового типа задач диофантовой геометрии, связывающих мультипликативные структуры круговых полей с аддитивными свойствами кубов.

Q: Ключевые темы?

сфенические числа-такси, число Рамануджана, диофантова геометрия, кольцо Эйзенштейна, вписанные ломаные, тригонометрические инварианты, квантование спектра решений.

Гуляев Георгий Михайлович

Сфенические числа-такси и целочисленные ломаные вписанные в полуокружность Георгий Гуляев

1. Введение

В моей работе о целочисленных циклических многоугольниках ([1], страницы 19-21) был обнаружен пример окружности с радиусом \(r = 1729\), в половину которой можно вписать 33 ломаных, состоящих из семи целочисленных звеньев.

Ближайшие к этому r радиусы окружностей, для которых можно вписать в половину окружности ломаные из семи звеньев с целыми длинами: \(r = 1292\) (одна ломаная) и \(r = 2024\) (четыре ломаных). То есть, такие случаи достаточно редки.

Число 1729 известно как число-такси или число Рамануджана. Это наименьшее натуральное число, которое можно представить двумя способами в виде суммы двух кубов натуральных чисел.

Возник вопрос случайно ли число 1729 появилось в задаче о целочисленных циклических многоугольниках или же здесь существуют какие-то глубинные математические закономерности пока неизвестные нам?

В данной работе мы попытаемся дать ответ на этот вопрос. В работе исследуются новые свойства сфенических чисел-такси, на основе которых формулируется и используется алгоритм их вычисления.

А также эмпирически подтверждается связь между сфеническими числами-такси и натуральными радиусами окружностей, в половину которых можно вписывать целочисленные семизвездные ломаные.

2. Сфенические числа-такси

Сфенические числа - это числа вида \(n = p \cdot q \cdot r, \; p<q<r\), где \(p,q,r\) - простые числа ([2]). Если же говорить о сфенических числах-такси, то первые известные такие числа приведены в следующей таблице ([3]): table[htbp] tabularccc Число такси (\(n\)) & Разложение (\(p \cdot q \cdot r\)) & Суммы кубов (\(a^3+b^3 = c^3+d^3\)) \\ 1729 & \(7 \cdot 13 \cdot 19\) & \(1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3\) \\ 20683 & \(13 \cdot 37 \cdot 43\) & \(10^3 + 27^3 = 19^3 + 24^3\) \\ 149389 & \(31 \cdot 61 \cdot 79\) & \(8^3 + 53^3 = 29^3 + 50^3\) \\ 195841 & \(37 \cdot 67 \cdot 79\) & \(9^3 + 58^3 = 22^3 + 57^3\) \\ 327763 & \(31 \cdot 97 \cdot 109\) & \(30^3 + 67^3 = 51^3 + 58^3\) \\ tabular table

Я заметил одну интересную и легко проверяемую для всех этих чисел закономерность: суммы оснований \(a+b\) и \(c+d\) равны второму (\(q\)) и третьему (\(r\)) простому числу в разложении числа \(n\) на простые множители. И это оказалось не случайно.

Теорема 1. Пусть \(n = pqr \; (p<q<r), p,q,r\) - простые и \[n = a^3+b^3 = c^3+d^3, \text{ где } a,b,c,d - \text{натуральные}.\] Если, при этом, \(a+b<c+d\), то \(q = a+b\) и \(r = c+d\).

Доказательство. Используем разложения для суммы кубов: \[\begin{cases} (a+b)(a^2-ab+b^2) = pqr\\ (c+d)(c^2-cd+d^2) = pqr \end{cases} \eqno (1)\] Обозначим, для краткости записи: \[a+b=x, c+d = y, \; a^2-ab+b^2 = A, \; c^2-cd+d^2 = B.\]

Исходя из легко проверяемого неравенства \(4 \cdot (a^2-ab+b^2) \ge (a+b)^2\) и аналогичного для \(c\) и \(d\), находим соотношения между делителями \(x,A,y,B\) числа n: \[\begin{cases} A = a^2-ab+b^2 \ge \frac{(a+b)^2} 4 = \frac{x^2} 4\\ B = c^2-cd+d^2 \ge \frac{(c+d)^2} 4 = \frac{y^2} 4 \end{cases} \eqno (2)\] Кроме этого, \(A = a^2-ab+b^2 = ((a+b)^2 - 3ab) = x^2 - 3ab\) и, аналогично, \(B = y^2-3ab\), поэтому, \[\begin{cases} 3ab = x^2-A \ge 3\\ 3ab = y^2-B \ge 3 \end{cases} \eqno (3)\] Используя (2) и (3), получаем общие ограничения на \(x\) и \(y \; (x<y)\): \[\begin{cases} 3+A \le x^2\le 4A\\ 3+B \le y^2 \le 4B \end{cases} \eqno (4)\] Число \(n\) имеет только 8 делителей: \(1,p,q,r,pq,pr,qr,pqr\).

Перебирая все эти варианты для делителей \(x\) и \(y\), убеждаемся, что единственный непротиворечивый с условиями (4) вариант: \(x = q, y = r\).

Рассмотрим возможные случаи для \(x=a+b>1\):

1. Пусть \(x = p\), тогда \(A = qr\) и, согласно (4), \(3 + qr \le p^2 \le 4qr.\) Из неравенства \(p<q<r\) следует,что \(qr>p^2\). Противоречие.

2. Пусть \(x = q\), тогда \(A = pr\) и из (4): \[3+pr \le q^2 \le 4pr. \eqno (5)\] Рассмотрим возможные варианты \(y>q: r, pq, pr, qr\).

UL • Если \(y = pq\), то \(B = r\). Из (4): \(3+r \le (pq)^2 \le 4r\). Согласно (5): \((pq)^2 = p^2q^2 \ge p^2(3+pr) = 3p^2+p^3r >4r\). Противоречие.

• Если \(y = pr\), то \(B = q\). Из (4): \(3+q \le (pr)^2 \le 4q\), что невозможно, поскольку \(p \ge 2\), то есть \((pr)^2 \ge 4r^2 > 4q\).

• Если \(y = qr\), то \(B = p\). Из (4): \(3+p \le (qr)^2 \le 4p\), невозможно, поскольку \(q>2\).

• Если \(y = r\), то \(B = pq\). Из (4): \(3+pq \le r^2 \le 4pq\). Этот случай возможен. /UL

3. Пусть \(x = r\), тогда \(A = pq\) и из (4): \[3+pq \le r^2 \le 4pq. \eqno (6)\] Так как теперь \(y>r\), то для него возможные варианты: \(pq,pr,qr\).

UL • Если \(y = pq\), то \(B = r\). Из (4): \(3+r \le (pq)^2 \le 4r\). Согласно (6): \(16r^2 \le 64pq\). С другой стороны, \(16r^2 \ge (pq)^4\). Так как \(pq \ge 6\), то \((pq)^4 > 64pq\). Противоречие.

• Если \(y = pr\), то \(B = q\). Из (4): \(3+q \le (pr)^2 \le 4q\). Сразу противоречие, ибо \(p \ge 2\), следовательно \((pr)^2 \ge 4r > 4q\).

• Если \(y = qr\), то \(B = p\). Из (4): \(3+p \le (qr)^2 \le 4p\), невозможно, поскольку \(q>2\). /UL

4. Пусть \(x = pq\), тогда \(A = r\) и из (4): \(3 + r \le (pq)^2 \le 4r\). Учитывая, что \(y > x = pq\), получаем для \(y\) только два варианта: \(pr\) или \(qr\).

Для \(y = pr, \; B = q\), имеем: \(3 + q \le (pr)^2 \le 4q\). Это неравенство невозможно, оно уже рассматривалось ранее. И то же самое для \(y = qr\).

5. Пусть \(x = pr\), тогда \(A = q, \; y = qr, B = p\). Невозможно.

Итак, единственный возможный случай это \(x = a+b = q\) и \(y = c+d = r\). Что и требовалось доказать.

Теорема 1 дает возможность получить новый эффективный алгоритм, для получения сфенических чисел-такси:

1. Рассматриваем все комбинации из 3 простых чисел \((p,q,r)\) до некоторого натурального числа.

2. Для каждой комбинации вычисляем пару \((\frac {q^2 - pr} 3, \frac {r^2 - pq} 3)\), при этом выбираем только случаи, когда \(q^2 - pr\) и \(r^2 - pq\) делятся на 3 нацело.

3. Теперь, поскольку \(a+b = q\) и \(ab = \frac {q^2 - pr} 3 = m_1\), то натуральные числа \(a\) и \(b\) являются корнями квадратного уравнения: \(x^2 - qx + m_1 = 0\). Решаем его в натуральных числах. Проверяем, что \(D = q^2 - 4m_1\) является точным квадратом и так далее.

4. Аналогично, для чисел \(c\) и \(d\) решаем квадратное уравнение \(x^2 - rx + m_2 = 0, \; m_2 = \frac {r^2 - pq} 3\) в натуральных числах.

Приведу программную реализацию этого алгоритма на языке Julia. verbatim using Primes, Combinatorics

Более того можно доказать, что простые множители \(p, q, r\) сфенического числа-такси обязаны иметь вид \(6k+1\), и этот факт еще вдвое уменьшает их перебор.

Связь с задачей о циклических многоугольниках

Теперь, используя результаты теоремы 1, мы сможем продвинуться в исследовании связи между любым сфеническим числом-такси \(n\) и целочисленными ломаными из семи звеньев, вписанными в полуокружность с радиусом равным этому числу \(n\).

В работе [1] (формула (3)) для получения циклических целочисленных многоугольников мы рассматривали комплексные числа на единичной окружности (лучевые проекции на нее вершин реального многоугольника или ломаной): \[z(x) = \frac{\sqrt{4n^2 - x^2}}{2n} + \frac{x}{2n}i. ,\] предполагая, что, если корень в действительной части не извлекается, то для всех вершин он один и тот же. Если, при этом, произведение комплексных чисел \[\prod_{k=1}^m \; z(x_k) (m \; \text{- число сторон или звеньев})\] сворачивалось к \(-1\) для вписанных многоугольников или к \(i\) для ломаных вписанных в половину окружности, то мы обнаруживали возможное новое решение задачи.

На практике выяснилось, что неизвлекаемая часть в найденных решениях практически всегда равна 3. Если \(\sqrt{4n^2 - x^2} = y\sqrt{3}\), то комплексные числа принимают вид: \[z(x) = \frac{y\sqrt{3}}{2n} + \frac{x}{2n}i\] и мы получаем основное уравнения для решения задачи: \[x^2 +3y^2 = 4n^2, \quad 0 < x < 2n, \quad y > 0 \eqno (7)\]

Теорема 2. Для \(n = p_1 p_2 \ldots p_m\), где все \(p_i \equiv 1 \pmod{3}\), уравнение (7) имеет ровно \[R(n) = \frac{6 \cdot 3^m - 2}{4} \eqno (8)\] решений. В частности, для \(m = 3\) (сфенические числа) \(R(n) = 40\).

Доказательство. Согласно классической теории квадратичных форм (Cox [4], Chapter 2, Theorem 2.2), число представлений \(R(N)\) целого числа \(N\) формой \(x^2 + 3y^2\) в целых числах задаётся формулой: \[r_3(N) = 6 \sum_{d|N, \, 3 \nmid d} \left(\frac{-3}{d}\right)\] где \(\left(\frac{-3}{d}\right)\) — символ Кронекера.

Применяя эту формулу к \(N = 4n^2\), где \(n = pqr\) и \(p, q, r \equiv 1 \pmod{3}\), вычисляя сумму и учитывая симметрии (\(x \to -x\), \(y \to -y\), \(x \to 2n - x\)), получаем (8).

Теорема 2 гарантирует нам, что для любого сфенического числа-такси будет ровно 40 решений уравнения (7) в натуральных числах.

Поиск ломаных для сфенических чисел теперь может быть организован при помощи следующего алгоритма:

1. Для данного сфенического числа-такси \(n\) находим все 40 решений уравнения (7). Получаем список хорд (x - длина звена ломаной).

2. Перебираем все комбинации по k (k - число звеньев ломаной)

3. Для каждой комбинации с большой точностью приближенно вычисляем соответствующее произведение комплексных чисел и проверяем его на равенство числу \(i\) (с точностью до \(10^{-70}\)).

Вот программа на языке Julia, реализующая этот алгоритм: verbatim function chords(n) #40 хорд из уравнения x^2 + 3y^2 = 4n^2 m = div(2*n, isqrt(3)) res = Int64[]; sizehint!(res, 40) for y in 1:m rem2 = 4*n^2 - 3*y^2 if rem2 > 0 x = isqrt(rem2) if x^2 == rem2 push!(res, x) end end end sort!(res) end

function isline(r, l) sum(l) < pi*r || return false eps = big(10)^(-70) # Перевод в комплексные координаты единичной окружности z_prod = prod(map(x -> begin sin_val = big(x)/(2*r) cos_val = sqrt(1 - sin_val^2) cos_val + sin_val*im end, l)) # Ломаная замыкается в полуокружность, если произведение равно i (0 + 1im) abs(real(z_prod)) < eps && abs(imag(z_prod) - 1) < eps end

function find_all_lines(r, k) pool = chords(r) # Фильтруем комбинации ленивым итератором solutions = [ comb for comb in combinations(pool, k) if isline(r, comb) ] solutions end verbatim

Программа повторила уже известные нам результаты для первых двух сфенических чисел-такси, полученных ранее другим способом. verbatim n = 1729, найдено: 33 [133, 299, 386, 494, 649, 1261, 2033] [133, 299, 386, 494, 658, 1001, 2242] [133, 299, 386, 494, 658, 1583, 1729] [133, 299, 386, 494, 917, 1001, 2033] [133, 299, 386, 494, 917, 1342, 1729] [133, 299, 386, 494, 1001, 1261, 1729] [133, 299, 386, 494, 1159, 1261, 1583] [133, 299, 386, 494, 1261, 1342, 1406] [133, 299, 386, 658, 917, 1342, 1583] [133, 299, 386, 658, 1001, 1261, 1583] [133, 299, 386, 917, 1001, 1261, 1342] [133, 299, 494, 649, 658, 1001, 2033] [133, 299, 494, 649, 658, 1342, 1729] [133, 299, 494, 649, 1159, 1261, 1342] [133, 299, 494, 658, 1001, 1159, 1583] [133, 299, 494, 658, 1001, 1342, 1406] [133, 299, 494, 917, 1001, 1159, 1342] [133, 299, 649, 658, 1001, 1261, 1342] [133, 386, 494, 649, 658, 917, 2033] [133, 386, 494, 649, 658, 1261, 1729] [133, 386, 494, 658, 917, 1001, 1729] [133, 386, 494, 658, 917, 1159, 1583] [133, 386, 494, 658, 917, 1342, 1406] [133, 386, 494, 658, 1001, 1261, 1406] [133, 386, 494, 917, 1001, 1159, 1261] [133, 386, 649, 658, 917, 1261, 1342] [133, 494, 649, 658, 917, 1159, 1342] [133, 494, 649, 658, 1001, 1159, 1261] [299, 386, 494, 649, 658, 1261, 1583] [299, 386, 494, 649, 917, 1261, 1342] [299, 386, 494, 658, 917, 1001, 1583] [299, 494, 649, 658, 917, 1001, 1342] [386, 494, 649, 658, 917, 1001, 1261]

n = 20683, найдено: 58 [1591, 2557, 3887, 5203, 5723, 8342, 32618] [1591, 2557, 3887, 5203, 5723, 16991, 26273] [1591, 2557, 3887, 5203, 8342, 9287, 30266] [1591, 2557, 3887, 5203, 8342, 10582, 29341] [1591, 2557, 3887, 5203, 8342, 12358, 28009] [1591, 2557, 3887, 5203, 8342, 14534, 26273] [1591, 2557, 3887, 5203, 8342, 15766, 25237] [1591, 2557, 3887, 5203, 8342, 16991, 24167] [1591, 2557, 3887, 5203, 8342, 18659, 22643] [1591, 2557, 3887, 5203, 10582, 12358, 26273] [1591, 2557, 3887, 5203, 10582, 18659, 20683] [1591, 2557, 3887, 5203, 12358, 16991, 20683] [1591, 2557, 3887, 5203, 14534, 16991, 18659] [1591, 2557, 3887, 8342, 9287, 10582, 26273] [1591, 2557, 3887, 8342, 9287, 16991, 20683] [1591, 2557, 3887, 8342, 10582, 15766, 20683] [1591, 2557, 3887, 8342, 14534, 15766, 16991] [1591, 2557, 3887, 9287, 10582, 16991, 18659] [1591, 2557, 3887, 10582, 12358, 15766, 16991] [1591, 2557, 5203, 5723, 8342, 10582, 28009] [1591, 2557, 5203, 5723, 8342, 16991, 22643] [1591, 2557, 5203, 5723, 10582, 16991, 20683] [1591, 2557, 5203, 8342, 9287, 10582, 25237] [1591, 2557, 5203, 8342, 10582, 12358, 22643] [1591, 2557, 5203, 8342, 10582, 14534, 20683] [1591, 2557, 5203, 10582, 12358, 14534, 16991] [1591, 2557, 8342, 9287, 10582, 14534, 16991] [1591, 3887, 5203, 5723, 8342, 9287, 28009] [1591, 3887, 5203, 5723, 8342, 15766, 22643] [1591, 3887, 5203, 5723, 9287, 10582, 26273] [1591, 3887, 5203, 5723, 9287, 16991, 20683] [1591, 3887, 5203, 5723, 10582, 15766, 20683] [1591, 3887, 5203, 5723, 14534, 15766, 16991] [1591, 3887, 5203, 8342, 9287, 10582, 24167] [1591, 3887, 5203, 8342, 9287, 12358, 22643] [1591, 3887, 5203, 8342, 9287, 14534, 20683] [1591, 3887, 5203, 9287, 10582, 12358, 20683] [1591, 3887, 5203, 9287, 10582, 14534, 18659] [1591, 3887, 5203, 9287, 12358, 14534, 16991] [1591, 3887, 5203, 10582, 12358, 14534, 15766] [1591, 3887, 5723, 9287, 10582, 15766, 16991] [1591, 3887, 8342, 9287, 10582, 14534, 15766] [1591, 5203, 5723, 8342, 9287, 10582, 22643] [1591, 5203, 5723, 9287, 10582, 14534, 16991] [2557, 3887, 5203, 5723, 8342, 10582, 26273] [2557, 3887, 5203, 5723, 8342, 16991, 20683] [2557, 3887, 5203, 5723, 10582, 16991, 18659] [2557, 3887, 5203, 8342, 10582, 12358, 20683] [2557, 3887, 5203, 8342, 10582, 14534, 18659] [2557, 3887, 5203, 8342, 12358, 14534, 16991] [2557, 3887, 5723, 8342, 10582, 15766, 16991] [2557, 3887, 8342, 9287, 10582, 12358, 16991] [2557, 5203, 5723, 8342, 10582, 14534, 16991] [3887, 5203, 5723, 8342, 9287, 10582, 20683] [3887, 5203, 5723, 8342, 9287, 14534, 16991] [3887, 5203, 5723, 8342, 10582, 14534, 15766] [3887, 5203, 5723, 9287, 10582, 12358, 16991] [3887, 5203, 8342, 9287, 10582, 12358, 14534] verbatim Приведем статистику количества семизвенных и трехзвенных ломаных для первых 25 сфенических чисел-такси. verbatim Число семизвенных ломаных m7, трехзвенных m3 для 25 первых сфенических чисел: ———————————————- ([ n p q r a b c d ], m7, m3) ———————————————- ([1729, 7, 13, 19, 1, 12, 9, 10], 33, 64 (реально 82)) ([20683, 13, 37, 43, 10, 27, 19, 24], 58, 65) ([149389, 31, 61, 79, 8, 53, 29, 50], 58, 65) ([195841, 37, 67, 79, 9, 58, 22, 57], 33, 64) ([327763, 31, 97, 109, 30, 67, 51, 58], 58, 65) ([2418271, 73, 157, 211, 23, 134, 95, 116], 0, 57) ([6058747, 79, 271, 283, 99, 172, 120, 163], 33, 64) ([7620661, 103, 241, 307, 45, 196, 133, 174], 0, 60) ([9443761, 103, 277, 331, 68, 209, 146, 185], 33, 64) (([10765603, 109, 283, 349, 64, 219, 163, 186], 59, 64) ([13623913, 103, 349, 379, 121, 228, 186, 193], 35, 63) ([18406603, 193, 283, 337, 19, 264, 75, 262], 58, 65) ([32114143, 139, 463, 499, 159, 304, 223, 276], 33, 64) ([68007673, 181, 607, 619, 222, 385, 241, 378], 33, 64) ([105997327, 211, 691, 727, 239, 452, 296, 431], 0, 60) ([106243219, 193, 733, 751, 307, 426, 363, 388], 59, 64) ([166560193, 331, 607, 829, 57, 550, 316, 513], 0, 57) ([216226981, 373, 661, 877, 61, 600, 304, 573], 33, 64) ([446686147, 349, 1093, 1171, 355, 738, 472, 699], 35, 63) ([584504191, 421, 1051, 1321, 220, 831, 615, 706], 33, 64) ([813357253, 541, 1039, 1447, 106, 933, 610, 837], 0, 60) ([959281759, 421, 1471, 1549, 543, 928, 694, 855], 35, 63) ([1098597061, 439, 1567, 1597, 613, 954, 669, 928], 58, 65) ([1736913439, 601, 1543, 1873, 351, 1192, 807, 1066], 33, 43) ([2072769211, 883, 1321, 1777, 46, 1275, 534, 1243], 35, 19) verbatim

Мы видим здесь определенную закономерность, разбавленную комбинаторными флуктуациями. (33, 64) повторяется довольно часто. В принципе, m7 либо 33 или около, либо 58 или около, либо 0, соответственно, m3 почти всегда в районе 60, за исключением последнего наблюдения.

Таким образом, эмпирически подтверждается связь между сфеническими числами такси \(n\) и целочисленными ломаными вписанными в половину окружности радиуса \(n\).

Справедливости ради должен заявить, что программа приведенная выше находит основную часть существующих ломаных, но не все. Какую-то их часть она может пропускать.

Для доказательства этого факта найдем все трехзвенные ломаные для n = 1729 нашей программой (их будет 64) и выполним ту же операцию при помощи программы, использующей формулу (5) работы [1]: \[r \; (a^2+b^2+c^2) + abc = 4r^2\] verbatim #r - радиус окружности, точные вычисления function listline3(r) # список всех ломаных из 3 звеньев для радиуса r res = VectorVectorInt64() for x in combinations(1:2*r-1, 3) a = x[1]; b =x[2]; c = x[3] if r*(a^2+b^2+c^2)+a*b*c==4*r^3 push!(res,x) end end res end verbatim Эта программа находит для n = 1729 все 82 существующие трехзвенные ломаные. Приведем 18 ломаных, которые наша программа find_all_lines упустила: verbatim [38, 2338, 2522] [130, 2108, 2660] [169, 1533, 3021] [182, 542, 3382] [182, 798, 3318] [182, 1482, 3042] [182, 2018, 2698] [532, 1918, 2548] [542, 798, 3198] [546, 2086, 2394] [623, 1577, 2743] [642, 1995, 2405] [646, 1534, 2758] [754, 1092, 2964] [798, 898, 3042] [798, 1482, 2698] [858, 1190, 2850] [1456, 1742, 1976] verbatim

Отмечу еще одно интересное наблюдение для окружности с радиусом 1729. Множество хорд используемых в 82-х трехзвенных ломаных, вписанных в половину окружности, содержит все хорды всех известных на данный момент 33-х семизвенных ломаных.

Повторится ли подобное и для других радиусов - вопрост открытый.

На данный момент вопрос о том, для всех ли сфенических чисел-такси \(n\) существуют целочисленные ломаные из 7 звеньев, вписанные в полуокружность радиуса \(n\), остаётся открытым.

Численные эксперименты показывают, что для некоторых чисел ломаные не найдены, но это может быть связано с несовершенством алгоритма, а не с отсутствием самих ломаных.

Автор надеется, что дальнейшие исследования, возможно, с использованием более точных методов, прольют свет на эту загадку.

Ссылки

[1] Гуляев Георгий Михайлович Целочисленные циклические многоугольники, вписанные в окружность с целым радиусом // ArxivOrg.Ru. — 2026. — URL: .

[2] Сфеническое число. Википедия.

[4] David A. Cox, Primes of the Form \(x^2 + n y^2\): Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication, Second edition: AMS, 2013.

Идентификатор работы
Автор	Гуляев Георгий Михайлович
Организация	нет
Опубликовано	23.08.2026
Раздел	Математика
Язык	Русский
Лицензия	CC BY 4.0

Сфенические числа-такси и целочисленные ломаные вписанные в полуокружность

1. Введение

2. Сфенические числа-такси

Связь с задачей о циклических многоугольниках

Ссылки

Другие работы автора

Цитировать работу

Обсуждение