Сфенические числа и целочисленные ломаные вписанные в полуокружность Георгий Гуляев

1. Введение

В моей работе о целочисленных циклических многоугольниках ([1], страницы 19-21) был обнаружен пример окружности с радиусом \(r = 1729\), в половину которой можно вписать 33 ломаных, состоящих из семи целочисленных звеньев.

Ближайшие к этому r радиусы окружностей, для которых можно вписать в половину окружности ломаные из семи звеньев с целыми длинами: \(r = 1292\) (одна ломаная) и \(r = 2024\) (четыре ломаных). То есть, такие случаи достаточно редки.

Число 1729 известно как число-такси или число Рамануджана. Это наименьшее натуральное число, которое можно представить двумя способами в виде суммы двух кубов натуральных чисел.

Возник вопрос случайно ли число 1729 появилось в задаче о целочисленных циклических многоугольниках или же здесь существуют какие-то глубинные математические закономерности пока неизвестные нам? В данной работе мы попытаемся дать ответ на этот вопрос.

Число \(1729\) является сфеническим, так как разлагается в произведение трех различных простых множителей: \(1729 = 7 \cdot 16 \cdot 19\). И, как выяснилось в ходе нашего исследования, определяющим фактором для построения ломаных оказался тот факт, что это первое сфеническое число, все три простых делителя которого, имеют вид \(3k+1\).

То есть число 1729 оказалось лишь частным случаем более общей закономерности, для которой свойство "быть числом-такси" не является необходимым.

В работе, во втором разделе, мы обнаруживаем и исследуем новые свойства сфенических чисел-такси, на основе которых формулируем и используем новый алгоритм для их вычисления.

Начиная с третьего раздела, эмпирически и аналитически подтверждается связь между сфеническими числами с простыми делителями вида \(3k+1\) и натуральными радиусами окружностей, в половину которых можно вписывать целочисленные ломаные.

2. Сфенические числа и числа-такси

Сфенические числа - это числа вида \(n = p \cdot q \cdot r, \; p<q<r\), где \(p,q,r\) - простые числа ([2]). Если же говорить о сфенических числах-такси, то первые известные такие числа приведены в следующей таблице ([3]):

table[h] tabular|c|c|c| Число такси \((n)\) & Разложение \((p \cdot q \cdot r)\) & Суммы кубов \((a^3 + b^3 = c^3 + d^3)\) \\ 1729 & \(7 \cdot 13 \cdot 19\) & \(1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3\) \\ 20683 & \(13 \cdot 37 \cdot 43\) & \(10^3 + 27^3 = 19^3 + 24^3\) \\ 149389 & \(31 \cdot 61 \cdot 79\) & \(8^3 + 53^3 = 29^3 + 50^3\) \\ 195841 & \(37 \cdot 67 \cdot 79\) & \(9^3 + 58^3 = 22^3 + 57^3\) \\ 327763 & \(31 \cdot 97 \cdot 109\) & \(30^3 + 67^3 = 51^3 + 58^3\) \\ tabular table

Я заметил одну интересную и легко проверяемую для всех этих чисел закономерность: суммы оснований \(a+b\) и \(c+d\) равны второму (\(q\)) и третьему (\(r\)) простому числу в разложении числа \(n\) на простые множители. И это оказалось не случайно.

Теорема 1. Пусть \(n = pqr \; (p<q<r), p,q,r\) - простые и \[n = a^3+b^3 = c^3+d^3, \text{ где } a,b,c,d - \text{натуральные}.\] Если, при этом, \(a+b<c+d\), то \(q = a+b\) и \(r = c+d\).

Доказательство. Используем разложения для суммы кубов: \[\begin{cases} (a+b)(a^2-ab+b^2) = pqr\\ (c+d)(c^2-cd+d^2) = pqr \end{cases} \eqno (1)\] Обозначим, для краткости записи: \[a+b=x, c+d = y, \; a^2-ab+b^2 = A, \; c^2-cd+d^2 = B.\]

Исходя из легко проверяемого неравенства \(4 \cdot (a^2-ab+b^2) \ge (a+b)^2\) и аналогичного для \(c\) и \(d\), находим соотношения между делителями \(x,A,y,B\) числа n: \[\begin{cases} A = a^2-ab+b^2 \ge \frac{(a+b)^2} 4 = \frac{x^2} 4\\ B = c^2-cd+d^2 \ge \frac{(c+d)^2} 4 = \frac{y^2} 4 \end{cases} \eqno (2)\] Кроме этого, \(A = a^2-ab+b^2 = ((a+b)^2 - 3ab) = x^2 - 3ab\) и, аналогично, \(B = y^2-3ab\), поэтому, \[\begin{cases} 3ab = x^2-A \ge 3\\ 3ab = y^2-B \ge 3 \end{cases} \eqno (3)\] Используя (2) и (3), получаем общие ограничения на \(x\) и \(y \; (x<y)\): \[\begin{cases} 3+A \le x^2\le 4A\\ 3+B \le y^2 \le 4B \end{cases} \eqno (4)\] Число \(n\) имеет только 8 делителей: \(1,p,q,r,pq,pr,qr,pqr\).

Перебирая все эти варианты для делителей \(x\) и \(y\), убеждаемся, что единственный непротиворечивый с условиями (4) вариант: \(x = q, y = r\).

Рассмотрим возможные случаи для \(x=a+b>1\):

1. Пусть \(x = p\), тогда \(A = qr\) и, согласно (4), \(3 + qr \le p^2 \le 4qr.\) Из неравенства \(p<q<r\) следует,что \(qr>p^2\). Противоречие.

2. Пусть \(x = q\), тогда \(A = pr\) и из (4): \[3+pr \le q^2 \le 4pr. \eqno (5)\] Рассмотрим возможные варианты \(y>q: r, pq, pr, qr\).

UL • Если \(y = pq\), то \(B = r\). Из (4): \(3+r \le (pq)^2 \le 4r\). Согласно (5): \((pq)^2 = p^2q^2 \ge p^2(3+pr) = 3p^2+p^3r >4r\). Противоречие.

• Если \(y = pr\), то \(B = q\). Из (4): \(3+q \le (pr)^2 \le 4q\), что невозможно, поскольку \(p \ge 2\), то есть \((pr)^2 \ge 4r^2 > 4q\).

• Если \(y = qr\), то \(B = p\). Из (4): \(3+p \le (qr)^2 \le 4p\), невозможно, поскольку \(q>2\).

• Если \(y = r\), то \(B = pq\). Из (4): \(3+pq \le r^2 \le 4pq\). Этот случай возможен. /UL

3. Пусть \(x = r\), тогда \(A = pq\) и из (4): \[3+pq \le r^2 \le 4pq. \eqno (6)\] Так как теперь \(y>r\), то для него возможные варианты: \(pq,pr,qr\).

UL • Если \(y = pq\), то \(B = r\). Из (4): \(3+r \le (pq)^2 \le 4r\). Согласно (6): \(16r^2 \le 64pq\). С другой стороны, \(16r^2 \ge (pq)^4\). Так как \(pq \ge 6\), то \((pq)^4 > 64pq\). Противоречие.

• Если \(y = pr\), то \(B = q\). Из (4): \(3+q \le (pr)^2 \le 4q\). Сразу противоречие, ибо \(p \ge 2\), следовательно \((pr)^2 \ge 4r > 4q\).

• Если \(y = qr\), то \(B = p\). Из (4): \(3+p \le (qr)^2 \le 4p\), невозможно, поскольку \(q>2\). /UL

4. Пусть \(x = pq\), тогда \(A = r\) и из (4): \(3 + r \le (pq)^2 \le 4r\). Учитывая, что \(y > x = pq\), получаем для \(y\) только два варианта: \(pr\) или \(qr\).

Для \(y = pr, \; B = q\), имеем: \(3 + q \le (pr)^2 \le 4q\). Это неравенство невозможно, оно уже рассматривалось ранее. И то же самое для \(y = qr\).

5. Пусть \(x = pr\), тогда \(A = q, \; y = qr, B = p\). Невозможно.

Итак, единственный возможный случай это \(x = a+b = q\) и \(y = c+d = r\). Что и требовалось доказать.

Теорема 1 дает возможность получить новый эффективный алгоритм, для получения сфенических чисел-такси:

1. Рассматриваем все комбинации из 3 простых чисел \((p,q,r)\) до некоторого натурального числа.

2. Для каждой комбинации вычисляем пару \((\frac {q^2 - pr} 3, \frac {r^2 - pq} 3)\), при этом выбираем только случаи, когда \(q^2 - pr\) и \(r^2 - pq\) делятся на 3 нацело.

3. Теперь, поскольку \(a+b = q\) и \(ab = \frac {q^2 - pr} 3 = m_1\), то натуральные числа \(a\) и \(b\) являются корнями квадратного уравнения: \(x^2 - qx + m_1 = 0\). Решаем его в натуральных числах. Проверяем, что \(D = q^2 - 4m_1\) является точным квадратом и так далее.

4. Аналогично, для чисел \(c\) и \(d\) решаем квадратное уравнение \(x^2 - rx + m_2 = 0, \; m_2 = \frac {r^2 - pq} 3\) в натуральных числах.

Приведу программную реализацию этого алгоритма на языке Julia. verbatim using Primes, Combinatorics function find(max_p) res = VectorVectorInt64() for c in combinations(primes(max_p), 3) (p, q, r) = c # Проверка на делимость на 3 if (q^2 - p*r) continue end m1 = div(q^2 - p*r, 3); m2 = div(r^2 - p*q, 3) # Проверка положительности if m1 <= 0 || m2 <= 0 continue end # Проверка дискриминантов d1 = q^2 - 4*m1; d2 = r^2 - 4*m2 if d1 < 0 || d2 < 0 continue end sd1 = isqrt(d1); sd2 = isqrt(d2) if sd1^2!=d1 || sd2^2!=d2 continue end if (q+sd1) continue end if (r+sd2) continue end # Решение уравнений a = div(q-sd1,2); b = div(q+sd1,2) c = div(r-sd2,2); d = div(r+sd2,2) # Проверка равенства сумм кубов n = p * q * r ab = a^3 + b^3; cd = c^3 + d^3 if ab == cd && ab == n push!(res, [n, p, q, r, a, b, c, d]) end end sort!(res) end verbatim Результаты работы программы для простых до \(10000\). verbatim Сфенические числа-такси. Найдено 98 для p < q < r < 10000 ———————————– [ n p q r a b c d ] ———————————– [1729, 7, 13, 19, 1, 12, 9, 10] [20683, 13, 37, 43, 10, 27, 19, 24] [149389, 31, 61, 79, 8, 53, 29, 50] [195841, 37, 67, 79, 9, 58, 22, 57] [327763, 31, 97, 109, 30, 67, 51, 58] [2418271, 73, 157, 211, 23, 134, 95, 116] [6058747, 79, 271, 283, 99, 172, 120, 163] [7620661, 103, 241, 307, 45, 196, 133, 174] [9443761, 103, 277, 331, 68, 209, 146, 185] [10765603, 109, 283, 349, 64, 219, 163, 186] [13623913, 103, 349, 379, 121, 228, 186, 193] [18406603, 193, 283, 337, 19, 264, 75, 262] [32114143, 139, 463, 499, 159, 304, 223, 276] [68007673, 181, 607, 619, 222, 385, 241, 378] [105997327, 211, 691, 727, 239, 452, 296, 431] [106243219, 193, 733, 751, 307, 426, 363, 388] [166560193, 331, 607, 829, 57, 550, 316, 513] [216226981, 373, 661, 877, 61, 600, 304, 573] [446686147, 349, 1093, 1171, 355, 738, 472, 699] [584504191, 421, 1051, 1321, 220, 831, 615, 706] [813357253, 541, 1039, 1447, 106, 933, 610, 837] [959281759, 421, 1471, 1549, 543, 928, 694, 855] [1098597061, 439, 1567, 1597, 613, 954, 669, 928] [1736913439, 601, 1543, 1873, 351, 1192, 807, 1066] [2072769211, 883, 1321, 1777, 46, 1275, 534, 1243] [2460483307, 613, 1873, 2143, 555, 1318, 1068, 1075] [2534342347, 673, 1867, 2017, 531, 1336, 726, 1291] [2696122459, 769, 1609, 2179, 219, 1390, 960, 1219] [2992523203, 883, 1627, 2083, 187, 1440, 699, 1384] [3438513979, 631, 2281, 2389, 878, 1403, 1130, 1259] [3738730483, 1153, 1627, 1993, 75, 1552, 454, 1539] [5080981393, 787, 2467, 2617, 810, 1657, 1032, 1585] [5570040313, 739, 2689, 2803, 1048, 1641, 1314, 1489] [5795759899, 733, 2791, 2833, 1188, 1603, 1302, 1531] [7170123151, 1063, 2221, 3037, 295, 1926, 1383, 1654] [7546425517, 1033, 2557, 2857, 616, 1941, 981, 1876] [7821346633, 1291, 1987, 3049, 2, 1985, 1241, 1808] [8602562953, 1279, 2083, 3229, 34, 2049, 1476, 1753] [9242888779, 853, 3253, 3331, 1371, 1882, 1648, 1683] [10843895539, 1009, 3061, 3511, 898, 2163, 1708, 1803] [11280947113, 1801, 2467, 2539, 225, 2242, 298, 2241] [11932918849, 1231, 2683, 3613, 402, 2281, 1692, 1921] [12747309181, 1951, 2341, 2791, 5, 2336, 461, 2330] [13501730311, 1153, 3307, 3541, 983, 2324, 1295, 2246] [14537287459, 1531, 2659, 3571, 219, 2440, 1243, 2328] [14753560033, 1453, 2677, 3793, 225, 2452, 1584, 2209] [15054607279, 997, 3853, 3919, 1671, 2182, 1935, 1984] [18216779887, 1693, 2797, 3847, 166, 2631, 1336, 2511] [18816356071, 1429, 3121, 4219, 466, 2655, 2052, 2167] [23215399633, 1693, 3499, 3919, 658, 2841, 1126, 2793] [24518353609, 1747, 3049, 4603, 144, 2905, 2202, 2401] [29255160331, 1597, 4027, 4549, 979, 3048, 1627, 2922] [31113708481, 1873, 3331, 4987, 186, 3145, 2409, 2578] [33197363533, 1567, 4243, 4993, 1069, 3174, 2124, 2869] [37841443813, 1999, 4003, 4729, 654, 3349, 1468, 3261] [39100327831, 1399, 5227, 5347, 2148, 3079, 2439, 2908] [41225807107, 1669, 4831, 5113, 1467, 3364, 1843, 3270] [43777429999, 1933, 4591, 4933, 1103, 3488, 1502, 3431] [44883220087, 1531, 5197, 5641, 1806, 3391, 2799, 2842] [44974423969, 1627, 4969, 5563, 1505, 3464, 2441, 3122] [47736505249, 1777, 4903, 5479, 1337, 3566, 2105, 3374] [48238207597, 2203, 3853, 5683, 213, 3640, 2470, 3213] [54359792299, 2557, 4153, 5119, 366, 3787, 1395, 3724] [58682954269, 1993, 4801, 6133, 933, 3868, 2832, 3301] [69409329697, 2311, 4831, 6217, 729, 4102, 2401, 3816] [78313460419, 2851, 4783, 5743, 507, 4276, 1531, 4212] [80839650457, 2383, 5323, 6373, 1018, 4305, 2268, 4105] [84729678973, 2311, 5869, 6247, 1541, 4328, 1997, 4250] [92652490621, 3049, 4591, 6619, 66, 4525, 2302, 4317] [97621905673, 1861, 7177, 7309, 3097, 4080, 3636, 3673] [100359155269, 2137, 6373, 7369, 1821, 4552, 3564, 3805] [101814591187, 2053, 6763, 7333, 2283, 4480, 3283, 4050] [102994980667, 2017, 6907, 7393, 2456, 4451, 3398, 3995] [109176102793, 2731, 5689, 7027, 921, 4768, 2482, 4545] [115787824783, 3109, 4993, 7459, 119, 4874, 2996, 4463] [117761282263, 2083, 7489, 7549, 2991, 4498, 3103, 4446] [127669335499, 2341, 6823, 7993, 1876, 4947, 3982, 4011] [151122317677, 2713, 7027, 7927, 1766, 5261, 2906, 5021] [165812161303, 3001, 6337, 8719, 850, 5487, 4296, 4423] [178660856467, 2917, 6991, 8761, 1387, 5604, 3747, 5014] [201170668987, 3697, 6211, 8761, 352, 5859, 3259, 5502] [203514378013, 3037, 7177, 9337, 1317, 5860, 4645, 4692] [215793111907, 2797, 8263, 9337, 2395, 5868, 4006, 5331] [225744618097, 4297, 6553, 8017, 465, 6088, 2001, 6016] [230114585647, 3079, 7933, 9421, 1863, 6070, 3847, 5574] [237020058973, 3391, 7177, 9739, 997, 6180, 4413, 5326] [238913829163, 3793, 6703, 9397, 499, 6204, 3642, 5755] [251715291319, 2791, 9109, 9901, 3039, 6070, 4398, 5503] [266992291729, 3547, 8269, 9103, 1884, 6385, 2857, 6246] [275331927043, 3697, 8263, 9013, 1804, 6459, 2659, 6354] [278450575201, 3613, 8737, 8821, 2304, 6433, 2401, 6420] [281101735297, 3373, 8863, 9403, 2425, 6438, 3090, 6313] [287541374077, 3967, 7621, 9511, 1029, 6592, 3162, 6349] [328658155009, 3457, 9643, 9859, 2921, 6722, 3194, 6665] [342769769533, 4153, 9043, 9127, 2109, 6934, 2202, 6925] [347519256481, 4357, 8017, 9949, 993, 7024, 3132, 6817] [355826435077, 4519, 8191, 9613, 1114, 7077, 2653, 6960] [571167992761, 6991, 8389, 9739, 92, 8297, 1457, 8282] verbatim Мы видим здесь, что простые числа \(p, q, r\) довольно близки друг к другу. Таким образом, если добавить в программу ограничения, которые следуют из доказательства теоремы 1: \[\sqrt{pr} < q < 2 \sqrt {pr}, \quad \sqrt{pq} < r < 2 \sqrt {pq},\] то программа будет еще более эффективной.

Более того, можно доказать, что простые множители \(p, q, r\) сфенического числа-такси обязаны иметь вид \(3k+1\), и этот факт еще вдвое уменьшает их перебор.

Теорема 2. Все простые множители \(p, q, r\) сфенического числа-такси \(n = pqr\) имеют вид \(3k+1\).

Доказательство. Из теоремы 1 мы знаем, что \(a+b = q\), \(c+d = r\). Кроме того, из разложения суммы кубов: \[a^2 - ab + b^2 = pr, \quad c^2 - cd + d^2 = pq.\] Рассмотрим простое число \(p\). Так как \(p \mid n\), то \(p \mid a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\). Но \(p \neq q = a+b\) (так как \(p < q\)), значит \(p \nmid a+b\). Следовательно, \(p \mid a^2 - ab + b^2\).

Отсюда получаем: \(a^2 \equiv ab - b^2 \pmod{p}\). Если \(b \equiv 0 \pmod{p}\), то \(a \equiv 0 \pmod{p}\), и тогда \(p \mid a+b\), что невозможно. Значит, \(b \not\equiv 0 \pmod{p}\), и можно разделить на \(b^2\): \[\left(\frac{a}{b}\right)^2 - \left(\frac{a}{b}\right) + 1 \equiv 0 \pmod{p}.\] Обозначим \(t \equiv a \cdot b^{-1} \pmod{p}\). Тогда \(t^2 - t + 1 \equiv 0 \pmod{p}\). Умножив на \(t+1\), получаем \(t^3 + 1 \equiv 0 \pmod{p}\), то есть \(t^3 \equiv -1 \pmod{p}\). Отсюда \(t^6 \equiv 1 \pmod{p}\), но \(t^3 \not\equiv 1 \pmod{p}\). Значит, порядок элемента \(t\) в мультипликативной группе \(\mathbb{F}_p^\times\) равен ровно 6.

По теореме Лагранжа, порядок элемента делит порядок группы \(p-1\). Следовательно, \(6 \mid (p-1)\), то есть \(p \equiv 1 \pmod{6}\). Так как \(p\) — простое, то \(p\) имеет вид \(6m+1\), а значит и \(3k+1, \text{ где } k = 2m\).

Для чисел \(q\) и \(r\) доказательство аналогично: \(q = a+b\), значит \(q \mid a^3+b^3\) и \(q \mid a+b\), следовательно \(q \mid a^2-ab+b^2\), откуда по той же схеме получаем \(q \equiv 1 \pmod{6}\). Аналогично для \(r = c+d\).

Замечание. Теорема 2 показывает, что все простые множители сфенических чисел-такси имеют вид \(3k+1\). Как будет показано в разделе 4, это условие является достаточным для существования ломаных и не требует, чтобы сфеническое число было числом-такси.

3. Ломаные вписанные в полуокружность

В работе [1] (формула (3)) для получения циклических целочисленных многоугольников мы рассматривали комплексные числа на единичной окружности (лучевые проекции на нее вершин реального многоугольника или ломаной): \[z(x) = \frac{\sqrt{4n^2 - x^2}}{2n} + \frac{x}{2n}i , \qquad 0 < x < 2r,\] предполагая, что, если корень в действительной части не извлекается, то для всех вершин он один и тот же. Если, при этом, произведение комплексных чисел \[\prod_{k=1}^m \; z(x_k) (m \; \text{- число сторон или звеньев})\] сворачивалось к \(-1\) для вписанных многоугольников или к \(i\) для ломаных вписанных в половину окружности, то мы обнаруживали новое решение задачи.

Если \(4r^2 - x^2\) не является полным квадратом, то: \[4r^2 - x^2 = d \cdot y^2,\] где \(d\) — бесквадратное число. Тогда: \[z(x) = \frac{y \sqrt{d}}{2r} + i \frac{x}{2r}.\] 3.1. Лемма о единственности бесквадратной части

Лемма 1. Пусть \(n\) нечётно, и для каждого \(k = 1, \dots, n\) выполняется равенство: \[4r^2 - x_k^2 = d_k y_k^2,\] где \(d_k\) — бесквадратные числа. Если: \[\prod_{k=1}^{n} \left( \frac{\sqrt{d_k}\, y_k}{2r} + i \frac{x_k}{2r} \right) = i,\] то все \(d_k\) равны.

Доказательство. Прeдположим, что все \(d_k\) различны. Умножим обе части равенства на \((2r)^n\): \[\prod_{k=1}^{n} (y_k \sqrt{d_k} + i x_k) = i (2r)^n. \tag{7}\] Раскроем произведение в левой части (7). Вещественная часть его равна нулю и содержит линейную комбинацию (с целыми коэффициентами) чисел вида: \[\sqrt{d_{i_1} d_{i_2} \cdots d_{i_m}}.\]

Рассмотрим член, который под корнем содержит все \(d_k\): \[\left( \prod_{k=1}^{n} y_k \right) \sqrt{d_1 d_2 \cdots d_n}.\] Он единственный, остальные слагаемые содержат под корнем не все \(d_k\).

По теореме Безиковича квадратные корни из различных бесквадратных чисел линейно независимы над полем рациональных чисел [5].

Радикал \(\sqrt{d_1 d_2 \cdots d_n}\) не равен никакому другому, то есть линейно независим от всех остальных радикалов суммы.

Следовательно, для того чтобы чтобы вещественная часть равнялась нулю, необходимо, чтобы коэффициент при нём был равен нулю: \[\prod_{k=1}^{n} y_k = 0,\] что невозможно, так как все \(y_k > 0\). Противоречие. Значит, все \(d_k\) равны.

3.2. Основная теорема

Теорема 3. Пусть \(n\) нечётно. Ломаная из \(n\) целочисленных звеньев с длинами \(x_1, \dots, x_n\) может быть вписана в полуокружность радиуса \(r\) тогда и только тогда, когда существует бесквадратное \(d\) и целые \(y_k > 0\) такие, что: \[x_k^2 + d\, y_k^2 = 4r^2, \qquad k = 1, \dots, n, \tag{8}\] и выполняется равенство: \[\boxed{\prod_{k=1}^{n} (y_k \sqrt{d} + i x_k) = i (2r)^n.} \tag{9}\] Доказательство. Необходимость следует из леммы 1 и определения \(z(x)\). Достаточность: если (2) и (3) выполнены, то: \[\prod_{k=1}^{n} \frac{y_k \sqrt{d} + i x_k}{2r} = i.\] Каждое число в левой части имеет модуль 1 (в силу (8)), значит, оно равно \(e^{i\alpha_k/2}\), где \(\alpha_k\) — центральный угол, соответствующий звену \(x_k\). Тогда: \[\sum_{k=1}^{n} \alpha_k = \pi,\] что и означает вписанность в полуокружность.

3.3. Следствия для небольших n

Следствие 1 (n = 1). Для одного звена длины \(x\) формула (9) даёт: \[y \sqrt{d} + i x = i (2r)^1 = i 2r.\] Приравнивая вещественные и мнимые части: \[\begin{cases} y \sqrt{d} = 0, \\ x = 2r. \end{cases}\] Так как \(\sqrt{d} \neq 0\), получаем \(y = 0, x = 2r\).

Это вырожденный случай: ломаная из одного звена, вписанная в полуокружность, является диаметром.

Следствие 2 (n = 3). Для трёх звеньев формула (9) эквивалентна формуле (5) из работы [1]: \[r(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) + x_1 x_2 x_3 = 4r^3. \tag{10}\]

Доказательство. По формуле (9): \[(\sqrt{d}\, y_1 + i x_1)(\sqrt{d}\, y_2 + i x_2)(\sqrt{d}\, y_3 + i x_3) = i (2r)^3.\] Раскроем произведение. Обозначим \(S_2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2\), \(P = x_1 x_2 x_3\).

Вещественная часть: \[\sqrt{d} \bigl( d\, y_1 y_2 y_3 - x_1 x_2 y_3 - x_1 y_2 x_3 - y_1 x_2 x_3 \bigr) = 0.\] Так как \(\sqrt{d} \neq 0\), получаем: \[d\, y_1 y_2 y_3 = x_1 x_2 y_3 + x_1 y_2 x_3 + y_1 x_2 x_3. \tag{11}\] Мнимая часть: \[x_1 x_2 x_3 - d\bigl( y_1 y_2 x_3 + y_1 x_2 y_3 + x_1 y_2 y_3 \bigr) = 8r^3. \tag{12}\] Теперь используем условие \(x_k^2 + d\, y_k^2 = 4r^2\). Нам нужно исключить \(y_k\) и получить формулу (10). Для этого умножим (11) на \(\sqrt{d}\) и воспользуемся тождеством: \[(x_1^2 + d y_1^2)(x_2^2 + d y_2^2)(x_3^2 + d y_3^2) = (4r^2)^3 = 64r^6.\] После раскрытия и приведения с использованием (11) и (12) получается: \[4r^2 (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) + 8r x_1 x_2 x_3 = 16r^4.\] Поделив на \(4r\) (при \(r > 0\)): \[r(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) + x_1 x_2 x_3 = 4r^3.\]

Это в точности формула (5) из моей работы [1].

Следствие 3 (n = 5). Для пяти звеньев формула (9) принимает вид: \[\prod_{k=1}^{5} (y_k \sqrt{d} + i x_k) = i (2r)^5, \tag{13}\] где \(d\) — бесквадратное число, единое для всех звеньев (по лемме 1).

В отличие от предыдущего случая, здесь не удается прийти к компактной полиномиальной формуле, аналогичной (10).

Однако формула (13) сама по себе является полным и точным критерием для нечетных \(n\) и проверку можно осуществить в натуральных числах, не прибегая к приближенным вычислениям. Это точно также справедливо и для общего случая формулы (9).

С точки зрения программирования, можно использовать следующую идею умножения без вычисления иррациональности любого нечетного количества комплексных чисел вида \(A \sqrt d + Bi\).

При умножении двух таких чисел \(\sqrt d\) перемещается во мнимую часть, а при умножении произведения двух на третье \(\sqrt d\) вновь возвращается в вещественную часть, а мнимая становится целой. Поэтому функцией verbatim function mult3(d,z1,z2,z3) A = real(z1); B = imag(z1) C = real(z2); D = imag(z2) E = real(z2); F = imag(z1) G = d*A*C-B*D; H = C*B+A*D G*E - H*F + im*(G*F+d*H*E) end verbatim можно вычислять произведение любого нечетного количества комплексных чисел вида \(A \sqrt d + Bi\), применяя ее последовательно столько раз сколько нужно.

Замечание. Лемма 1, теорема 3 и её следствия не накладывают никаких ограничений на \(r\). Они справедливы для любого натурального \(r\), для которого существуют целые \(x_k, y_k\), удовлетворяющие уравнению \(x_k^2 + d y_k^2 = 4r^2\).

Далее мы применим эту общую теорию к частному случаю, когда r - сфеническое число, все простые делители которого имееют вид \(3k+1\). Именно этот случай имеет ряд интересных закономерностей, которые проявились в первом таком числе \(r = 1729\) и привлекли наше внимание.

3.4. Количество звеньев для ломаной при \(d = 3\)

На практике выяснилось, что неизвлекаемая часть \(d = 3\) играет особую роль в количестве вписанных в половину окружности ломаных. Именно при \(d = 3\) для окружности с радиусом равным сфеническому числу \(n\) c простыми делителями \(3k+1\) наблюдается больше всего таких ломаных.

Если \(\sqrt{4n^2 - x^2} = y\sqrt{3}\), то комплексные числа принимают вид: \[z(x) = \frac{y\sqrt{3}}{2n} + \frac{x}{2n}i\] и мы получаем основное уравнение (8) в этом случае: \[x^2 +3y^2 = 4n^2, \quad 0 < x < 2n, \quad y > 0 \eqno (14)\]

Оказалось, что причина популярности \(d = 3\) в том, что для сфенических чисел c простыми делителями \(3k+1\) уравнение (14) всегда имеет ровно 40 решений. Это больше, чем число решений уравнения (8) для любого \(d \neq 3\).

То есть, для любого сфенического числа \(n\) c простыми делителями \(3k+1\) уравнение (14) всегда гарантирует 40 целочисленных звеньев для построения ломаной.

Теорема 4. Для \(n = p_1 p_2 \ldots p_m\), где все \(p_i \equiv 1 \pmod{3}\), уравнение (14) имеет ровно \[R(n) = \frac{6 \cdot 3^m - 2}{4} \eqno (15)\] решений. В частности, для \(m = 3\) (сфенические числа) \(R(n) = 40\).

Доказательство. Согласно классической теории квадратичных форм (Cox [4], Theorem 2.2), число представлений \(r_3(N)\) числа \(N\) формой \(x^2 + 3y^2\) (с учётом знаков и порядка) задаётся формулой: \[r_3(N) = 6 \sum_{d|N, \, 3 \nmid d} \left(\frac{-3}{d}\right), \tag{16}\] где \(\left(\frac{-3}{d}\right)\) — символ Кронекера. Применим эту формулу к \(N = 4n^2\), где \(n = p_1 p_2 \dots p_m\) и все \(p_i \equiv 1 \pmod{3}\). Делители числа \(4n^2\) имеют вид \[d = 2^\alpha \cdot p_1^{\beta_1} \cdots p_m^{\beta_m}, \quad \alpha \in \{0,1,2\}, \quad 0 \le \beta_i \le 2.\] Для \(p_i \equiv 1 \pmod{3}\) символ Кронекера равен \[\left(\frac{-3}{p_i}\right) = 1,\] и для степеней \(p_i^{\beta}\): \[\left(\frac{-3}{p_i^{\beta}}\right) = \left(\frac{-3}{p_i}\right)^\beta = 1.\] Для делителей вида \(2^\alpha\): \[\left(\frac{-3}{2^0}\right) = 1, \quad \left(\frac{-3}{2^1}\right) = -1, \quad \left(\frac{-3}{2^2}\right) = 1.\] Сумма по \(\alpha\): \(1 + (-1) + 1 = 1\).

Сумма по \(\beta_i\) для каждого \(p_i\): \[\sum_{\beta=0}^2 \left(\frac{-3}{p_i^\beta}\right) = 1 + 1 + 1 = 3.\] Таким образом, \[\sum_{d|4n^2, \, 3 \nmid d} \left(\frac{-3}{d}\right) = \underbrace{\sum_{\alpha=0}^2 \left(\frac{-3}{2^\alpha}\right)}_{=1} \cdot \prod_{i=1}^m \underbrace{\sum_{\beta_i=0}^2 \left(\frac{-3}{p_i^{\beta_i}}\right)}_{=3} = 3^m.\] Подставляя в (16), получаем: \[r_3(4n^2) = 6 \cdot 3^m.\] Это число всех представлений с учётом знаков \((\pm x, \pm y)\) и порядка. Чтобы получить решения с \(0 < x < 2n\) и \(y > 0\), нужно:

1. Исключить два тривиальных решения \(x = \pm 2n, \, y = 0\). 2. Поделить на 4 (учёт четырёх комбинаций знаков \((\pm x, \pm y)\)).

Получаем: \[R(n) = \frac{r_3(4n^2) - 2}{4} = \frac{6 \cdot 3^m - 2}{4}.\] Теорема доказана.

Следствие 4 (о числе решений для \(d=3\)). Для любого сфенического числа \(n = pqr\), где \(p, q, r \equiv 1 \pmod{3}\), уравнение (14) имеет ровно \(40\) решений. Это обеспечивает достаточное количество хорд для построения ломаных из \(3\), \(5\) и \(7\) звеньев.

3.5 Алгоритм и программа для вычисления ломаных

Поиск \(k\)-звенных ломаных для сфенических чисел \(n\) может быть организован при помощи следующего алгоритма.

1. Ищем все возможные \(d\) для данного \(n\). Для упрощения вычислений используем следующие соображения: \(y^2 d = 4n^2 - x^2 = (2n-x)(2n+x) = uv < 4n^2\), где \(u = 2n-x \; (u<2n), v = 2n+x => u+v = 4n, uv = y^2 d\).

Перебираем \(u\) от \(1\) до \(2n-1\), вычисляем \(y^2 d = u(4n-u)\) для каждого \(u\), откуда находим \(d\).

2. Для каждого найденного \(d\), решаем уравнение \(x^2 + d y^2 = 4n^2\), получая все возможные длины звеньев для ломаных. Для \(d = 3\) всегда получаем 40 решений, для других \(d\) меньше.

3. Для каждого списка ломаных, полученных на предыдущем шаге, перебираем все их сочетания по \(k\) штук.

4. Для каждого сочетания (это возможная ломаная) осуществляем проверку при помощи равенства \((9)\), выполняя только точные целочисленные вычисления, без извлечения корней и других приближенных вычислений.

Приведем программу на языке Julia, реализующая этот алгоритм: verbatim function mult(d, a) n = length(a) n b = copy(a) while length(b) > 1 z1, z2, z3 = b[1], b[2], b[3] A, B = real(z1), imag(z1) C, D = real(z2), imag(z2) E, F = real(z3), imag(z3) G = d*A*C - B*D H = C*B + A*D real_part = G*E - H*F imag_part = G*F + d*H*E z123 = real_part + im*imag_part b = [z123; b[4:end]] end return b[1] end

function rem(n) # n = 4r^2 - x^2 d = n while d p = 3 while p * p <= d if d while d d ÷= (p * p) end end p += 2 end return (d,isqrt(div(n,d))) end

function chords(n,d) m = div(2*n, isqrt(d)) res = Int64[] for y in 1:m rem2 = 4*Int128(n)^2 - d*y^2 if rem2 > 0 x = isqrt(rem2) if x^2 == rem2 push!(res, x) end end end sort!(res) end

function isline_odd(r,l) m = length(l) m sum(l) < pi*r || return false (d, y) = rem(4*r^2-l[1]^2) ly = [y] for x in l[2:end] (dx, y) = rem(4*r^2-x^2) if dx!=d return false end push!(ly,y) end lz = VectorComplexInt64() for k in 1:m push!(lz, ly[k]+im*l[k]) end prod_left = mult(d,lz) prod_right = im*(2*r)^m prod_left == prod_right end

function has_enough_solutions(n,d,k) count = 0 max_y = div(2n, isqrt(d)) for y in 1:max_y rem2 = 4n^2 - d*y^2 if rem2 > 0 x = isqrt(rem2) if x^2 == rem2 count += 1 if count >= k return true end end end end return false end

function find_all_lines(n,k) res = VectorVectorInt64() dd = VectorInt64() count = 0 for u in Int128(1):2*n-1 dy = u*(4*n - u) if dy >= 4*n^2 continue end d = rem(dy)[1]

if d > 1&&!(d in dd) push!(dd,d) if !has_enough_solutions(n,d,k) continue end pool = chords(n,d) sol = [ comb for comb in combinations(pool, k) if isline_odd(n,comb) ] if length(sol) > 0 count+=length(sol) println("-"^50) println(count,". Просмотрено разных d: ",string(length(dd),". Для d = ",d,", ломаных найдено: ", length(sol))) for x in sort!(sol) push!(res,x) println(x) end end end end println(string("Всего: ",count)) sort!(res) end verbatim

4. Результаты численных экспериментов и классификация

Вычислим начальную последовательность сфенических чисел \(n = pqr, \; p<q<r\), все простые числа которых имеют вид \(3k+1\).

verbatim julia> l = sort!(filter(x -> x[1]<7*13*5000, map(x -> (prod(x),x), collect(combinations( filter(x -> x 3 )) ) )) 2632-element VectorTupleInt64, VectorInt64: (1729, [7, 13, 19]) (2821, [7, 13, 31]) (3367, [7, 13, 37]) (3913, [7, 13, 43]) (4123, [7, 19, 31]) (4921, [7, 19, 37]) (5551, [7, 13, 61]) (5719, [7, 19, 43]) (6097, [7, 13, 67]) (6643, [7, 13, 73]) ... (453901, [7, 61, 1063]) (454027, [7, 37, 1753]) (454057, [31, 97, 151]) (454129, [13, 181, 193]) (454363, [7, 13, 4993]) (454639, [43, 97, 109]) (454909, [7, 13, 4999]) (454951, [7, 103, 631]) (454987, [13, 31, 1129]) verbatim Как видим, \(1729\) - первое из них. Продемонстрируем работу программы на примере \(n = 1729\). verbatim julia> find_all_lines(1729,3) ————————————————– 64. Просмотрено разных d: 4. Для d = 3, ломаных найдено: 64 [133, 299, 3431] [133, 386, 3419] [133, 494, 3401] [133, 658, 3367] [133, 1001, 3269] [133, 1159, 3211] [133, 1261, 3169] [133, 1342, 3133] [133, 1729, 2926] [133, 1871, 2834] [133, 2033, 2717] [133, 2158, 2617] [133, 2366, 2429] [299, 494, 3367] [299, 1001, 3211] [299, 1342, 3059] [299, 1583, 2926] [299, 1729, 2834] [299, 2033, 2611] [299, 2242, 2429] [386, 494, 3346] [386, 917, 3211] [386, 1261, 3059] [386, 1729, 2783] [386, 2242, 2366] [494, 649, 3269] [494, 658, 3266] [494, 917, 3169] [494, 1001, 3133] [494, 1159, 3059] [494, 1406, 2926] [494, 1729, 2717] [494, 1871, 2611] [494, 2089, 2429] [494, 2158, 2366] [649, 658, 3211] [649, 1261, 2926] [649, 1729, 2617] [649, 2033, 2366] [658, 1001, 3059] [658, 1406, 2834] [658, 1583, 2717] [658, 1729, 2611] [658, 2158, 2242] [917, 1001, 2926] [917, 1159, 2834] [917, 1342, 2717] [917, 1729, 2429] [917, 2033, 2158] [1001, 1159, 2783] [1001, 1261, 2717] [1001, 1406, 2617] [1001, 1729, 2366] [1001, 1871, 2242] [1001, 2033, 2089] [1159, 1261, 2611] [1159, 1583, 2366] [1159, 1729, 2242] [1261, 1406, 2429] [1261, 1729, 2158] [1342, 1406, 2366] [1342, 1729, 2089] [1406, 1729, 2033] [1583, 1729, 1871] ————————————————– 65. Просмотрено разных d: 16. Для d = 69, ломаных найдено: 1 [130, 2108, 2660] ————————————————– 66. Просмотрено разных d: 38. Для d = 451, ломаных найдено: 1 [642, 1995, 2405] ————————————————– 67. Просмотрено разных d: 49. Для d = 33, ломаных найдено: 1 [1456, 1742, 1976] ————————————————– 74. Просмотрено разных d: 53. Для d = 10, ломаных найдено: 7 [182, 542, 3382] [182, 798, 3318] [182, 1482, 3042] [182, 2018, 2698] [542, 798, 3198] [798, 898, 3042] [798, 1482, 2698] ————————————————– 75. Просмотрено разных d: 412. Для d = 7843, ломаных найдено: 1 [169, 1533, 3021] ————————————————– 76. Просмотрено разных d: 467. Для d = 13, ломаных найдено: 1 [754, 1092, 2964] ————————————————– 77. Просмотрено разных d: 574. Для d = 166, ломаных найдено: 1 [858, 1190, 2850] ————————————————– 78. Просмотрено разных d: 582. Для d = 22, ломаных найдено: 1 [546, 2086, 2394] ————————————————– 79. Просмотрено разных d: 660. Для d = 222, ломаных найдено: 1 [646, 1534, 2758] ————————————————– 80. Просмотрено разных d: 675. Для d = 2915, ломаных найдено: 1 [623, 1577, 2743] ————————————————– 81. Просмотрено разных d: 714. Для d = 165, ломаных найдено: 1 [532, 1918, 2548] ————————————————– 82. Просмотрено разных d: 884. Для d = 230, ломаных найдено: 1 [38, 2338, 2522] Всего: 82

julia> find_all_lines(1729,5) ————————————————– 165. Просмотрено разных d: 4. Для d = 3, ломаных найдено: 165 [133, 299, 386, 494, 3211] [133, 299, 386, 1261, 2834] [133, 299, 386, 1342, 2783] [133, 299, 386, 1583, 2617] [133, 299, 386, 2033, 2242] [133, 299, 494, 1001, 2926] [133, 299, 494, 1159, 2834] [133, 299, 494, 1342, 2717] [133, 299, 494, 1729, 2429] [133, 299, 494, 2033, 2158] [133, 299, 649, 1342, 2617] [133, 299, 658, 1001, 2834] [133, 299, 658, 1342, 2611] [133, 299, 658, 1583, 2429] [133, 299, 917, 1342, 2429] [133, 299, 1001, 1261, 2429] [133, 299, 1001, 1342, 2366] [133, 299, 1001, 1729, 2033] [133, 299, 1159, 1342, 2242] [133, 299, 1159, 1583, 2033] [133, 299, 1261, 1342, 2158] [133, 299, 1342, 1406, 2033] [133, 299, 1342, 1583, 1871] [133, 386, 494, 658, 3059] [133, 386, 494, 917, 2926] [133, 386, 494, 1159, 2783] [133, 386, 494, 1261, 2717] [133, 386, 494, 1406, 2617] [133, 386, 494, 1729, 2366] [133, 386, 494, 1871, 2242] [133, 386, 494, 2033, 2089] [133, 386, 649, 1261, 2617] [133, 386, 658, 917, 2834] [133, 386, 658, 1001, 2783] [133, 386, 658, 1261, 2611] [133, 386, 658, 1583, 2366] [133, 386, 658, 1729, 2242] [133, 386, 917, 1001, 2617] [133, 386, 917, 1261, 2429] [133, 386, 917, 1342, 2366] [133, 386, 917, 1729, 2033] [133, 386, 1001, 1261, 2366] [133, 386, 1159, 1261, 2242] [133, 386, 1261, 1342, 2089] [133, 386, 1261, 1406, 2033] [133, 386, 1261, 1583, 1871] [133, 494, 649, 658, 2926] [133, 494, 649, 1159, 2617] [133, 494, 649, 1871, 2033] [133, 494, 658, 1001, 2717] [133, 494, 658, 1159, 2611] [133, 494, 658, 1406, 2429] [133, 494, 658, 1729, 2158] [133, 494, 917, 1159, 2429] [133, 494, 1001, 1159, 2366] [133, 494, 1001, 1729, 1871] [133, 494, 1159, 1261, 2158] [133, 494, 1159, 1342, 2089] [133, 494, 1159, 1406, 2033] [133, 494, 1159, 1583, 1871] [133, 494, 1342, 1406, 1871] [133, 649, 658, 1001, 2617] [133, 649, 658, 1261, 2429] [133, 649, 658, 1342, 2366] [133, 649, 658, 1729, 2033] [133, 649, 1159, 1261, 2033] [133, 649, 1261, 1342, 1871] [133, 658, 917, 1001, 2429] [133, 658, 917, 1342, 2158] [133, 658, 1001, 1159, 2242] [133, 658, 1001, 1261, 2158] [133, 658, 1001, 1342, 2089] [133, 658, 1001, 1406, 2033] [133, 658, 1001, 1583, 1871] [133, 658, 1159, 1583, 1729] [133, 658, 1342, 1406, 1729] [133, 917, 1001, 1159, 2033] [133, 917, 1001, 1342, 1871] [133, 917, 1159, 1342, 1729] [133, 1001, 1159, 1261, 1729] [133, 1159, 1261, 1342, 1406] [299, 386, 494, 917, 2834] [299, 386, 494, 1001, 2783] [299, 386, 494, 1261, 2611] [299, 386, 494, 1583, 2366] [299, 386, 494, 1729, 2242] [299, 386, 658, 1583, 2242] [299, 386, 917, 1342, 2242] [299, 386, 917, 1583, 2033] [299, 386, 1001, 1261, 2242] [299, 386, 1261, 1583, 1729] [299, 494, 649, 658, 2834] [299, 494, 649, 1001, 2617] [299, 494, 649, 1261, 2429] [299, 494, 649, 1342, 2366] [299, 494, 649, 1729, 2033] [299, 494, 658, 1001, 2611] [299, 494, 658, 1583, 2158] [299, 494, 917, 1001, 2429] [299, 494, 917, 1342, 2158] [299, 494, 1001, 1159, 2242] [299, 494, 1001, 1261, 2158] [299, 494, 1001, 1342, 2089] [299, 494, 1001, 1406, 2033] [299, 494, 1001, 1583, 1871] [299, 494, 1159, 1583, 1729] [299, 494, 1342, 1406, 1729] [299, 649, 658, 1342, 2242] [299, 649, 658, 1583, 2033] [299, 649, 917, 1342, 2033] [299, 649, 1001, 1261, 2033] [299, 649, 1261, 1342, 1729] [299, 658, 1001, 1583, 1729] [299, 658, 1342, 1406, 1583] [299, 917, 1001, 1342, 1729] [299, 917, 1159, 1342, 1583] [299, 1001, 1159, 1261, 1583] [299, 1001, 1261, 1342, 1406] [386, 494, 649, 658, 2783] [386, 494, 649, 917, 2617] [386, 494, 649, 1261, 2366] [386, 494, 658, 917, 2611] [386, 494, 658, 1406, 2242] [386, 494, 658, 1583, 2089] [386, 494, 917, 1001, 2366] [386, 494, 917, 1159, 2242] [386, 494, 917, 1261, 2158] [386, 494, 917, 1342, 2089] [386, 494, 917, 1406, 2033] [386, 494, 917, 1583, 1871] [386, 494, 1001, 1261, 2089] [386, 494, 1261, 1406, 1729] [386, 649, 658, 1261, 2242] [386, 649, 917, 1261, 2033] [386, 658, 917, 1001, 2242] [386, 658, 917, 1583, 1729] [386, 658, 1261, 1406, 1583] [386, 917, 1001, 1261, 1729] [386, 917, 1159, 1261, 1583] [386, 917, 1261, 1342, 1406] [494, 649, 658, 917, 2429] [494, 649, 658, 1001, 2366] [494, 649, 658, 1159, 2242] [494, 649, 658, 1261, 2158] [494, 649, 658, 1342, 2089] [494, 649, 658, 1406, 2033] [494, 649, 658, 1583, 1871] [494, 649, 917, 1159, 2033] [494, 649, 917, 1342, 1871] [494, 649, 1001, 1261, 1871] [494, 649, 1159, 1261, 1729] [494, 658, 917, 1001, 2158] [494, 658, 1001, 1406, 1729] [494, 658, 1159, 1406, 1583] [494, 917, 1001, 1159, 1729] [494, 917, 1159, 1342, 1406] [494, 1001, 1159, 1261, 1406] [649, 658, 917, 1001, 2033] [649, 658, 917, 1342, 1729] [649, 658, 1001, 1261, 1729] [649, 658, 1159, 1261, 1583] [649, 658, 1261, 1342, 1406] [649, 917, 1159, 1261, 1342] [658, 917, 1001, 1159, 1583] [658, 917, 1001, 1342, 1406] Всего: 165

julia> find_all_lines(1729,7) ————————————————– 33. Просмотрено разных d: 4. Для d = 3, ломаных найдено: 33 [133, 299, 386, 494, 649, 1261, 2033] [133, 299, 386, 494, 658, 1001, 2242] [133, 299, 386, 494, 658, 1583, 1729] [133, 299, 386, 494, 917, 1001, 2033] [133, 299, 386, 494, 917, 1342, 1729] [133, 299, 386, 494, 1001, 1261, 1729] [133, 299, 386, 494, 1159, 1261, 1583] [133, 299, 386, 494, 1261, 1342, 1406] [133, 299, 386, 658, 917, 1342, 1583] [133, 299, 386, 658, 1001, 1261, 1583] [133, 299, 386, 917, 1001, 1261, 1342] [133, 299, 494, 649, 658, 1001, 2033] [133, 299, 494, 649, 658, 1342, 1729] [133, 299, 494, 649, 1159, 1261, 1342] [133, 299, 494, 658, 1001, 1159, 1583] [133, 299, 494, 658, 1001, 1342, 1406] [133, 299, 494, 917, 1001, 1159, 1342] [133, 299, 649, 658, 1001, 1261, 1342] [133, 386, 494, 649, 658, 917, 2033] [133, 386, 494, 649, 658, 1261, 1729] [133, 386, 494, 658, 917, 1001, 1729] [133, 386, 494, 658, 917, 1159, 1583] [133, 386, 494, 658, 917, 1342, 1406] [133, 386, 494, 658, 1001, 1261, 1406] [133, 386, 494, 917, 1001, 1159, 1261] [133, 386, 649, 658, 917, 1261, 1342] [133, 494, 649, 658, 917, 1159, 1342] [133, 494, 649, 658, 1001, 1159, 1261] [299, 386, 494, 649, 658, 1261, 1583] [299, 386, 494, 649, 917, 1261, 1342] [299, 386, 494, 658, 917, 1001, 1583] [299, 494, 649, 658, 917, 1001, 1342] [386, 494, 649, 658, 917, 1001, 1261] Всего: 33

julia> find_all_lines(1729,9) Всего: 0 VectorInt64[] verbatim Программа нашла \(64\) трехзвенных ломаных, длины звеньев которых \(x\) удовлетворяют уравнению (14), то есть для них \(d = 3\). Она нашла всего \(82\) трехзвенных ломаных, то есть дополнительно еще \(18\), для которых \(d \neq 3\).

Для пятизвенных нашлись \(165\) и все только для \(d = 3\), а для семизвенных \(33\) и тоже только для \(d = 3\). Девятизвенной не нашлось ни одной.

Приведем статистику количества ломаных для первых 100 сфенических чисел, все простые числа которых имеют вид \(3k+1\).

Сокращенные обозначения в таблице: \\ \(m3\) - число трехзвенных \((d = 3), \; mf3\) - число всех трехзвенных (любое \(d\)),\; \(m5\) - число пятизвенных \((d = 3), \; mf5\) - число всех пятизвенных (любое \(d\)), \(m7 \; (d = 3), \; mf7 \; (\text{любое } d), \; m9 \; (d = 3), \; mf9 \; (\text{любое } d)\). verbatim ———————————————————– n, [p, q, r], (m3, mf3), (m5, mf5), (m7, mf7),(m9,mf9) ———————————————————– 1729, [7, 13, 19], (64, 82), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 2821, [7, 13, 31], (64, 84), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 3367, [7, 13, 37], (64, 84), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 3913, [7, 13, 43], (64, 87), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 4123, [7, 19, 31], (63, 96), (158, 159), (35, 35), (1, 1) 4921, [7, 19, 37], (64, 94), (183, 183), (59, 59), (1, 1) 5551, [7, 13, 61], (65, 92), (188, 188), (58, 58), (1, 1) 5719, [7, 19, 43], (64, 102), (183, 183), (59, 59), (1, 1) 6097, [7, 13, 67], (64, 87), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 6643, [7, 13, 73], (64, 87), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 7189, [7, 13, 79], (64, 92), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 7657, [13, 19, 31], (64, 110), (165, 166), (33, 33), (0, 0) 8029, [7, 31, 37], (65, 101), (188, 189), (58, 58), (1, 1) 8113, [7, 19, 61], (63, 100), (163, 164), (35, 35), (0, 0) 8827, [7, 13, 97], (64, 84), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 8911, [7, 19, 67], (64, 100), (165, 166), (33, 33), (0, 0) 9139, [13, 19, 37], (65, 111), (188, 188), (58, 58), (1, 1) 9331, [7, 31, 43], (63, 104), (158, 159), (35, 35), (1, 1) 9373, [7, 13, 103], (63, 89), (158, 158), (35, 35), (1, 1) 9709, [7, 19, 73], (64, 96), (183, 183), (59, 59), (1, 1) 9919, [7, 13, 109], (64, 89), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 10507, [7, 19, 79], (64, 101), (165, 166), (33, 33), (0, 0) 10621, [13, 19, 43], (64, 121), (183, 184), (59, 59), (1, 1) 11137, [7, 37, 43], (64, 107), (183, 184), (59, 59), (1, 1) 11557, [7, 13, 127], (65, 94), (188, 189), (58, 58), (1, 1) 12649, [7, 13, 139], (64, 104), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 12901, [7, 19, 97], (64, 100), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 13237, [7, 31, 61], (64, 107), (165, 166), (33, 33), (1, 1) 13699, [7, 19, 103], (63, 104), (158, 158), (35, 35), (1, 1) 13741, [7, 13, 151], (64, 95), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 14287, [7, 13, 157], (65, 97), (188, 188), (58, 58), (1, 1) 14497, [7, 19, 109], (64, 99), (183, 183), (59, 59), (1, 1) 14539, [7, 31, 67], (63, 116), (158, 159), (35, 35), (1, 1) 14833, [7, 13, 163], (63, 96), (158, 158), (35, 35), (1, 1) 14911, [13, 31, 37], (65, 115), (188, 188), (58, 58), (1, 1) 15067, [13, 19, 61], (65, 113), (188, 188), (58, 58), (1, 1) 15799, [7, 37, 61], (63, 108), (163, 164), (35, 35), (0, 0) 15841, [7, 31, 73], (64, 106), (183, 183), (59, 59), (1, 1) 16471, [7, 13, 181], (64, 88), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 16549, [13, 19, 67], (64, 115), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 16891, [7, 19, 127], (63, 109), (163, 164), (35, 35), (0, 0) 17143, [7, 31, 79], (63, 97), (158, 158), (35, 35), (1, 1) 17329, [13, 31, 43], (64, 122), (165, 166), (33, 33), (0, 0) 17353, [7, 37, 67], (64, 119), (165, 166), (33, 33), (0, 0) 17563, [7, 13, 193], (64, 93), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 18031, [13, 19, 73], (64, 114), (183, 185), (59, 59), (1, 1) 18109, [7, 13, 199], (64, 95), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 18361, [7, 43, 61], (63, 117), (163, 164), (35, 35), (0, 0) 18487, [7, 19, 139], (64, 106), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 18907, [7, 37, 73], (64, 112), (183, 184), (59, 59), (1, 1) 19201, [7, 13, 211], (65, 104), (188, 188), (58, 58), (1, 1) 19513, [13, 19, 79], (64, 121), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 20083, [7, 19, 151], (63, 104), (158, 160), (35, 35), (1, 1) 20167, [7, 43, 67], (64, 117), (165, 167), (33, 33), (0, 0) 20293, [7, 13, 223], (64, 94), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 20461, [7, 37, 79], (64, 123), (165, 166), (33, 33), (0, 0) 20683, [13, 37, 43], (65, 128), (188, 189), (58, 58), (1, 1) 20839, [7, 13, 229], (64, 92), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 20881, [7, 19, 157], (63, 107), (163, 164), (35, 35), (0, 0) 21049, [7, 31, 97], (64, 116), (165, 166), (33, 33), (0, 0) 21679, [7, 19, 163], (64, 102), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 21793, [19, 31, 37], (63, 134), (163, 163), (35, 35), (0, 0) 21931, [7, 13, 241], (65, 93), (188, 188), (58, 58), (1, 1) 21973, [7, 43, 73], (64, 117), (183, 183), (59, 59), (1, 1) 22351, [7, 31, 103], (63, 110), (158, 159), (35, 35), (1, 1) 23653, [7, 31, 109], (64, 101), (183, 183), (59, 59), (1, 1) 23779, [7, 43, 79], (64, 113), (165, 166), (33, 33), (0, 0) 23959, [13, 19, 97], (64, 121), (165, 166), (33, 33), (0, 0) 24073, [7, 19, 181], (64, 103), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 24583, [13, 31, 61], (65, 126), (188, 188), (58, 58), (1, 1) 24661, [7, 13, 271], (65, 97), (188, 188), (58, 58), (1, 1) 25123, [7, 37, 97], (64, 123), (165, 167), (33, 33), (0, 0) 25207, [7, 13, 277], (64, 98), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 25327, [19, 31, 43], (64, 128), (183, 184), (59, 59), (1, 1) 25441, [13, 19, 103], (64, 136), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 25669, [7, 19, 193], (64, 108), (183, 183), (59, 59), (1, 1) 25753, [7, 13, 283], (64, 96), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 26467, [7, 19, 199], (64, 95), (183, 183), (59, 59), (1, 1) 26677, [7, 37, 103], (65, 122), (188, 189), (58, 58), (1, 1) 26923, [13, 19, 109], (64, 121), (183, 184), (59, 59), (1, 1) 27001, [13, 31, 67], (64, 134), (165, 167), (33, 33), (0, 0) 27559, [7, 31, 127], (64, 109), (165, 166), (33, 33), (1, 1) 27937, [7, 13, 307], (65, 92), (188, 188), (58, 58), (1, 1) 28063, [7, 19, 211], (63, 111), (163, 163), (35, 35), (0, 0) 28231, [7, 37, 109], (64, 115), (183, 183), (59, 59), (1, 1) 28483, [7, 13, 313], (64, 87), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 28609, [7, 61, 67], (65, 123), (188, 188), (58, 58), (1, 1) 29197, [7, 43, 97], (64, 120), (165, 166), (33, 33), (0, 0) 29341, [13, 37, 61], (64, 120), (183, 183), (59, 59), (1, 1) 29419, [13, 31, 73], (65, 123), (188, 188), (58, 58), (1, 1) 29659, [7, 19, 223], (63, 118), (158, 158), (35, 35), (1, 1) 30121, [7, 13, 331], (65, 92), (188, 188), (58, 58), (1, 1) 30163, [7, 31, 139], (63, 115), (158, 159), (35, 35), (1, 1) 30229, [19, 37, 43], (60, 142), (102, 105), (0, 0), (0, 0) 30457, [7, 19, 229], (64, 106), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 30667, [7, 13, 337], (64, 97), (165, 165), (33, 33), (0, 0) 31003, [7, 43, 103], (63, 121), (158, 158), (35, 35), (1, 1) 31171, [7, 61, 73], (63, 120), (163, 163), (35, 35), (0, 0) 31369, [13, 19, 127], (65, 132), (188, 189), (58, 58), (1, 1) 31759, [7, 13, 349], (64, 93), (165, 165), (33, 33), (0, 0) verbatim Мы видим здесь определенные закономерности, разбавленные комбинаторными флуктуациями. \(m3\) держится стабильно в районе \(64\), \(m5\) имеет две точки притяжения \(165\) и \(188\), \(m7\) также держится или около \(33\)-х или около \(88\)-ми. Это указывает на то, что комбинаторная структура решений уравнения (14) является высокоустойчивой.

Что касается, ломаных с \(d \neq 3\), то они имеют немного больше свободы, их количество меняются, в зависимости от того сколько будет разных \(d\) и сколько будет решений общего уравнения (8) для каждого \(d\).

Но это наблюдается только на трехзвенных ломаных, в пятизвенных \(d \neq 3\) появляется крайне редко, а в семизвенных и более такого случая не встретилось ни одного.

Число \(n = 30229\) показывет, что семизвенных ломаных может не оказаться вообще. И также видно, что для пятизвенных ломаных значения для \(n = 30229\) отличаются от обычных.

Продолжение вычислений позволило обнаружить следующие аномалии: verbatim ———————————————————– n, [p, q, r], (m3, mf3), (m5, mf5), (m7, mf7),(m9,mf9) ———————————————————– 30229, [19, 37, 43], (60, 142), (102, 105), (0, 0), (0, 0) 42883, [19, 37, 61], (57, 131), (0, 2), (0, 0), (0, 0) 49837, [19, 43, 61], (60, 143), (102, 103), (0, 0), (0, 0) 51319, [19, 37, 73], (60, 134), (102, 103), (0, 0), (0, 0) 54229, [7, 61, 127], (60, 122), (102, 103), (0, 0), (0, 0) 59641, [19, 43, 73], (60, 164), (102, 104), (0, 0), (0, 0) 67039, [7, 61, 157], (60, 131), (102, 102), (0, 0), (0, 0) 76627, [19, 37, 109], (60, 149), (102, 104), (0, 0), (0, 0) 83731, [31, 37, 73], (60, 153), (102, 104), (0, 0), (0, 0) 84607, [19, 61, 73], (60, 161), (102, 104), (0, 0), (0, 0) 89053, [19, 43, 109], (60, 150), (102, 103), (0, 0), (0, 0) 89281, [19, 37, 127], (57, 158), (0, 4), (0, 0), (0, 0) 90097, [7, 61, 211], (60, 129), (102, 104), (0, 0), (0, 0) verbatim Наблюдаемые флуктуации не являются случайными. Как будет показано далее, они определяются арифметическими свойствами простых множителей \(p, q, r\), в частности, их поведением как квадратичных вычетов по модулю друг друга.

Таким образом, эмпирически подтверждается связь между сфеническими числами \(n\), все простые числа которых имеют вид \(3k+1\), и целочисленными ломаными вписанными в половину окружности радиуса \(n\).

5. Классификация по символам Лежандра и гипотезы

Анализ полученных данных показывает, что отклонения от стандартных значений \(m_3, m_5, m_7\) связаны с арифметическими свойствами простых множителей \(p, q, r\). В частности, ключевую роль играют символы Лежандра \(\left(\frac{p}{q}\right), \left(\frac{p}{r}\right), \left(\frac{q}{r}\right)\). Для всех проверенных чисел (2632 комбинации) наблюдается следующая закономерность: verbatim ————————————————————- | m5 | m7 | Символы Лежандра | Примеры | |——|——|——————-|————————-| | 165 | 33 | (-1, 1, -1) | 1729, 2821, 3367, 3913 | | 188 | 58 | (-1, -1, 1) | 5551, 11557, 14287 | | 183 | 59 | (1, -1, -1) | 4921, 5719, 9709 | | 158 | 35 | (-1, -1, -1) | 9373, 14833, 34489 | | 102 | 0 | (-1, -1, -1) | 30229 | | 102 | 0 | (1, 1, 1) | 84607 | | 102 | 0 | (-1, 1, 1) | 51319 | | 102 | 0 | (-1, -1, 1) | 54229, 83731 | | 0 | 0 | (-1, 1, -1) | 42883 | ————————————————————- verbatim Гипотеза 1 (эмпирическая классификация). Для большинства сфенических чисел \(n = pqr\) с \(p, q, r \equiv 1 \pmod{3}\) количество ломаных из 5 и 7 звеньев определяется символами Лежандра между простыми множителями.

Однако существуют редкие исключения (например, \(n = 42883\)), для которых эта классификация нарушается. Анализ семейства \(19 \cdot 37 \cdot p\) показывает, что такие исключения связаны с представлением \(p = a^2 + 3b^2\): если \(b\) чётное и хотя бы один из символов \((19/p)\) или \((37/p)\) равен \(+1\), то \(m_5 = 0\).

Это указывает на то, что полная классификация требует учёта дополнительных арифметических инвариантов, таких как представление простых чисел в виде \(a^2 + 3b^2\).

Появление ломаных обусловлено количеством звеньев для их построения. Для \(d = 3\) (уравнение (14)) их всегда \(40\) (теорема 4). Это обеспечивает большую стабильность в отношении количества ломаных в случае \(d = 3\).

Для разных \(d \neq 3\), количество решений уравнения (8) нестабильно. На практике мы часто встречаем 3, 4, 7 и 13 решений но больше этого никогда. Из такого количества решений маловероятно составить вписанную в полуокружность ломаную из семи звеньев. Поэтому мы и не встретили ни одной такой.

Таким образом, можно сформулировать следующую гипотезу:

Гипотеза 2. Для любого сфенического числа \(n = pqr\), \(p < q < r\), все простые числа которого имеют вид \(3k+1\), семизвенные ломаные, вписанные в полуокружность радиуса \(n\), могут существовать только при \(d=3\).

Количество таких ломаных принимает значения \(0, 33, 58\) или близко к этим числам и зависит от арифметических свойств простых множителей \(p, q, r\) в кольце \(\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]\).

6. Основные результаты

1. Доказана теорема 1 о связи между представлением сфенического числа-такси в виде суммы двух кубов и его простыми множителями.

2. Доказана теорема 2 о том, что все простые множители сфенических чисел-такси имеют вид \(3k+1\).

3. Доказана теорема 3, в которой найдена удобная формула для точной проверки возможности вписать ломаную в половину окружности.

4. Доказана теорема 4 о числе решений уравнения \(x^2 + 3y^2 = 4n^2\) для сфенических чисел, все простые числа которых имеют вид \(3k+1\).

5. Обнаружена эмпирическая классификация сфенических чисел по символам Лежандра, определяющая количество ломаных из 5 и 7 звеньев.

6. Сформулирована гипотеза об эмпирической классификации сфенических чисел по символам Лежандра, определяющей количество ломаных из 5 и 7 звеньев, а также выявлены редкие аномалии, требующие учёта дополнительных арифметических инвариантов (представление \(p = a^2 + 3b^2\)).

7. Сформулирована гипотеза о том, что семизвенные ломаные существуют только при \(d=3\).

8. Приведены численные данные для первых 100 сфенических чисел, все простые числа которых имеют вид \(3k+1\).

Ссылки

[1] Гуляев Георгий Михайлович Целочисленные циклические многоугольники, вписанные в окружность с целым радиусом // ArxivOrg.Ru. — 2026. — URL: .

[2] Сфеническое число. Википедия.

[4] David A. Cox, Primes of the Form \(x^2 + n y^2\): Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication, Second edition: AMS, 2013.

[5] A. S. Besicovitch, "On the linear independence of fractional powers of integers", Journal of the London Mathematical Society, Volume s1-15, Issue 1, January 1940, Pages 3–6.