Последовательность, порождаемая представлениями куба натурального числа суммами кубов

Последовательность, порождаемая представлениями куба натурального числа суммами кубов Георгий Гуляев

1. Введение и постановка задачи

Классическая задача о представлении чисел суммами кубов восходит к Эйлеру и Рамануджану. Уравнение \[x^3 + y^3 + z^3 = t^3\] имеет бесконечное множество целочисленных решений; полная параметризация была получена Чоудхри в 1998 году [2].

В настоящей работе мы рассматриваем, введенную в работе [1], последовательность, порождаемую этим уравнением. Начиная с \(b_1 = 3\), на каждом шаге выбирается наименьшая пара \((x, y)\), такая что \[b_k^3 + x^3 + y^3 = b_{k+1}^3\] для некоторого \(b_{k+1} > b_k\). Критерий «наименьшая» понимается лексикографически: сначала минимизируется \(x^3 + y^3\), при равенстве — \((x + y)\).

Аналогичная задача для квадратов порождает известную последовательность A018930 в OEIS [3].

Последовательность \(b_k\) допускает естественную геометрическую интерпретацию, которая проясняет как её структуру, так и отличие кубического случая от квадратного.

Случай квадратов: диагональ \(n\)-мерного параллелепипеда

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед в \(\mathbb{R}^n\) с рёбрами \(a_1, a_2, \ldots, a_n\). Его главная диагональ равна \[d_n = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}.\] Начиная с \(a_1 = 3, \; a_2 = 4, \; d_2 = 5\), будем добавлять натуральные ребра \(a_k\) так, чтобы диагональ оставалась целой, выбирая, при этом, из всех таких \(a_k\) наименьшее.

Жадный алгоритм для квадратов строит последовательность \[3,\ 4,\ 12,\ 84,\ 132,\ 12324,\ 1836,\ \ldots\] (известную как A018930 в OEIS [3]). На \(k\)-м шаге добавляется одно ребро \(x_k\), и одновременно размерность растёт на единицу. Условие шага имеет вид \[d_{k-1}^2 + x_k^2 = d_k^2,\] то есть тройка \((d_{k-1}, x_k, d_k)\) — пифагорова. Геометрически это означает, что мы надстраиваем параллелепипед, добавляя одно ребро так, чтобы новая диагональ снова была целой.

Возможность такой надстройки на каждом шаге опирается на бесконечность множества пифагоровых троек и на их параметризацию Евклида: \[(d_{k-1}, x_k, d_k) = \bigl(u^2 - v^2,\ 2uv,\ u^2 + v^2\bigr).\]

Случай кубов: диагональ <<кубической коробки>>

Рассмотрим теперь <<кубическую коробку>> с рёбрами \(a_1, \ldots, a_n\) и определим её <<кубическую диагональ>> как \[b_n = \sqrt[3]{a_1^3 + a_2^3 + \cdots + a_n^3}.\] Условие задачи: при каждом \(n = 2k-1\) величина \(b_n\) должна быть натуральным числом.

Аналог шага для квадратов теперь записывается в виде \[b_{k-1}^3 + a_{2k}^3 + a_{2k+1}^3 = b_k^3.\]

figure[h] tikzpicture[scale=0.9, >=stealth, thick]

scope[shift=(0,0)] at (2.5, 5.2) Случай квадратов;

(0,0) – (2.5,0) – (2.5,1.5) – (0,1.5) – cycle; (0,1.5) – (0.7,2.1) – (3.2,2.1) – (2.5,1.5) – cycle; (2.5,0) – (3.2,0.6) – (3.2,2.1) – (2.5,1.5) – cycle;

at (1.2, 0.25) \(a_1\); at (2.9, 0.9) \(a_2\); at (0.7, 1.8) \(a_3\);

(0,0) – (3.2,2.1); at (1.3, 1.2) 33\(d_{k-1}\);

(1.6, -0.3) – (1.6, -1.0); at (1.7, -0.65) \(+\,x_k^2\);

(0,-2.5) – (2.5,-2.5) – (2.5,-1.0) – (0,-1.0) – cycle; (0,-1.0) – (0.7,-0.4) – (3.2,-0.4) – (2.5,-1.0) – cycle; (2.5,-2.5) – (3.2,-1.9) – (3.2,-0.4) – (2.5,-1.0) – cycle;

(3.2,-1.9) – (3.2,-0.4) – (4.2,-0.9) – (4.2,-2.4) – cycle; at (3.9, -1.4) \(x_k\);

(0,-2.5) – (4.2,-0.9); at (2.0, -1.3) 23\(d_k\);

at (2.0, -3.3) \(\Delta\) размерности: \(+1\)\\[2pt] $(d_{k-1},x_k,d_k)$ - пифагорова тройка}; \end{scope} \begin{scope}[shift={(7.5,0)}] \node[font=\bfseries] at (2.5, 5.2) {Случай кубов}; \draw[fill=blue!8] (0,0) -- (2.5,0) -- (2.5,1.5) -- (0,1.5) -- cycle; \draw[fill=blue!15] (0,1.5) -- (0.7,2.1) -- (3.2,2.1) -- (2.5,1.5) -- cycle; \draw[fill=blue!15] (2.5,0) -- (3.2,0.6) -- (3.2,2.1) -- (2.5,1.5) -- cycle; \node at (1.2, 0.25) {$a_1$}; \node at (2.9, 0.9) {$a_2$}; \node at (0.7, 1.8) {$a_3$}; \draw[dashed, red, very thick] (0,0) -- (3.2,2.1); \node[red] at (1.3, 1.2) {\rotatebox{33}{$b_{k-1}$}}; \draw[->, very thick, green!60!black] (1.6, -0.3) -- (1.6, -1.0); \node[right, green!60!black] at (1.7, -0.65) {\small $+\,x_k^3+y_k^3$}; \draw[fill=blue!8] (0,-2.5) -- (2.5,-2.5) -- (2.5,-1.0) -- (0,-1.0) -- cycle; \draw[fill=blue!15] (0,-1.0) -- (0.7,-0.4) -- (3.2,-0.4) -- (2.5,-1.0) -- cycle; \draw[fill=blue!15] (2.5,-2.5) -- (3.2,-1.9) -- (3.2,-0.4) -- (2.5,-1.0) -- cycle; \draw[fill=red!25] (3.2,-1.9) -- (3.2,-0.4) -- (4.2,-0.9) -- (4.2,-2.4) -- cycle; \node[red] at (3.9, -1.4) {\small $x_k$}; \draw[fill=red!25] (2.5,-2.5) -- (2.5,-1.0) -- (3.5,-1.5) -- (3.5,-3.0) -- cycle; \node[red] at (3.0, -3.0) {\small $y_k$}; \draw[dashed, red, very thick] (0,-2.5) -- (4.2,-0.9); \node[red] at (2.0, -1.3) {\rotatebox{23}{$b_k$}}; \node[align=left, font=\small] at (2.0, -3.6) {$\Delta$ размерности: $+2$\\[2pt] $x^3 + y^3 + z^3 = t^3$ (Чоудхри)\\[2pt] \emph{(одно ребро невозможно --- Ферма)}}; \end{scope} \draw[gray, dashed] (5.5, -4.2) -- (5.5, 5.4); \end{tikzpicture} \caption{Геометрическая интерпретация.} \label{fig:geometry} \end{figure} Естественное желание --- надстраивать кубическую коробку, добавляя \emph{одно} ребро за шаг, как в квадратном случае: $$ b_{k-1}^3 + x^3 = b_k^3. $$ Однако это уравнение неразрешимо в натуральных числах: это частный случай \emph{великой теоремы Ферма} для показателя $3$. Следовательно, добавление одного ребра невозможно. Поэтому на каждом шаге добавляется \emph{два} ребра, а уравнение шага принимает вид $$ b_{k-1}^3 + x^3 + y^3 = b_k^3. $$ Это уравнение имеет бесконечно много решений; полная параметризация получена Чоудхри в 1998 году (см.~п.~2.1). \begin{table}[h] \centering \begin{tabular}{|l|c|c|} \hline Свойство & Случай квадратов & Случай кубов\\ \hline Метрика & $\sum a_i^2$ & $\sum a_i^3$ \\ Уравнение шага & $x^2 + y^2 = d^2$ & $x^3 + y^3 + z^3 = t^3$ \\ Добавляется за шаг & одно ребро & два ребра \\ Причина & пифагоровы тройки & теорема Ферма \\ Параметризация решений & Евклид & Чоудхри \\ Жадное правило & минимальное $x$ & минимальная пара $(x, y)$ \\ Последовательность & A018930 & настоящая работа \\ \hline \end{tabular} \caption{Сравнение случаев квадратов и кубов.} \end{table} Таким образом, последовательность $b_k$ является кубическим аналогом A018930, но <<шаг>> в кубическом случае вдвое шире по размерности. Это объясняет, почему в определении 1 пары индексов имеют вид $(a_{2k}, a_{2k+1})$: каждая пара соответствует \emph{двум} новым рёбрам кубической коробки. В случае квадратов выбор минимального $x$ на каждом шаге приводит к A018930. В случае кубов мы выбираем минимальную \emph{пару} $(x, y)$ (сначала по $x^3 + y^3$, затем по $x + y$). Эта жадность на паре и порождает ту сложную структуру, которая исследуется в остальных разделах. \subsection*{2. Определение последовательности} \textbf {Лемма 1}. \textit{Пусть $a,b,c,d$ - разные натуральные числа, такие, что $a<b$ и $c<d$. Тогда, если выполняется равенство: $$a^3+b^3=c^3+d^3, \eqno (1)$$ то равенство $a+b=c+d$ невозможно}. \textbf {Доказательство}. Допустим, что выполняется (1) и $a+b=c+d$. Тогда $$(a+b)^3=(c+d)^3$$ то есть $$a^3+b^3+3ab(a+b)=c^3+d^3+3cd(c+d),$$ откуда следует, что $a \cdot b = c \cdot d$. Таким образом, по теореме Виета, пары $(a,b)$ и $(c,d)$ являются корнями одного и того же квадратного уравнения и, по условию леммы, $a<b$ и $c<d$. Значит, $a = c$ и $b = d$. Противоречие с тем, что они разные. Лемма 1 доказана. \textbf{Определение 1}. \textit{Положим $a_1 = b_1 = 3$. Определим две последовательности $a_k$ и $b_k$ рекуррентным соотношением: $$b_{k+1}^3 = b_k^3+a_{2k}^3+a_{2k+1}^3 \eqno(2)$$ Здесь $k = 1,2,3,...$ и на каждом шаге $a_{2k}$ и $a_{2k+1}$ выбираются таким образом, чтобы добавляемая сумма $s_k = a_{2k}^3+a_{2k+1}^3$ была наименьшей, а при равных $s_k$ выбираем такие $a_{2k}$ и $a_{2k+1}$, для которой сумма $a_{2k} + a_{2k+1}$ минимальна. Однозначность такого выбора гарантируется леммой 1}. Рассмотрим процесс построения последовательностей. При $k = 1$, $b_2^3 = b_1^3 + a_2^3 + a_3^3 = 3^3 + a_2^3 + a_3^3$. Нужно подобрать $a_2$ и $a_3$ так, чтобы выражение $3^3 + a_2^3 + a_3^3$ было кубом натурального числа. Есть варианты: \begin{verbatim} 3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3 3^3 + 10^3 + 18^3 = 19^3 3^3 + 18^3 + 24^3 = 27^3 3^3 + 36^3 + 37^3 = 46^3 ... \end{verbatim} Выбираем по наименьшей сумме кубов: $a_2 = 4, a_3 = 5$. Тогда $b_2 = 6$. И так далее. Пары $a_{2k}, a_{2k+1}$ будем добавлять в первую последовательность, располагая их по возрастанию, то есть $a_{2k} < a_{2k+1}$. Первые члены последовательностей: $$ \begin{cases} a_n: 3, 4, 5, 1, 8, 12, 15, 3, 10, 18, 21, 14, 34, 2, 17, 16, 23, 8, 34, 30, 40, \dots \\ b_k: 3, 6, 9, 18, 19, 28, 40, 41, 44, 50, 60, 72, 76, 112, 126, 133, 178, 216, \dots \end{cases} $$ \subsubsection*{2.1. Связь с параметризацией Чоудхри} В 1998 году А. Чоудхри получил полную параметризацию решений уравнения $$x^3 + y^3 + z^3 = t^3 \eqno(3)$$ в целых числах [2]. Для произвольных целых $a, b, c$ и натурального $d$ положим $$ \begin{aligned} X &= d\cdot c\,(c^3 - a^3 - b^3), \\ Y &= d\cdot \bigl[c^3(a+b) - a^4 - b^4 + ab(2a^2 - 3ab + 2b^2)\bigr], \\ Z &= d\cdot \bigl[c^3(2a-b) + a^4 + b^4 - ab(2a^2 - 3ab + 2b^2)\bigr], \\ T &= d\cdot c\,(a^3 + (a-b)^3 + c^3). \end{aligned} \eqno(4) $$ Тогда четверка $(X, Y, Z, T)$ удовлетворяет (3). Чоудхри показал, что всякое решение (3) получается из (4) при подходящих $a,b,c,d$. \textbf{Предложение 1.} \textit{Всякая пара $(a_{2k}, a_{2k+1})$ из последовательности, определённой в п.} 2, \textit{входит вместе с числами $b_k, b_{k+1}$ в одно из решений} (4). \textbf{Доказательство}. Следует из сравнения уравнений (2) и (3). \textbf{Замечание 1.} Параметризация Чоудхри описывает все решения (3), но она не указывает, какое из них минимально в смысле определения 1. Поэтому она, к сожалению, не помогает построить нашу последовательность $a_n$. \textbf{Замечание 2.} Аналогичная параметризация Эйлера–Бине для равенства $x^3 + y^3 = z^3 + w^3$ также применима к нашей задаче, но содержит два параметра вместо трёх. Обратная задача (по заданному $z$ найти параметры) для неё не решается быстрее, чем прямой перебор. \textbf {Теорема 1}. \textit{Последовательности $a_n$ и $b_k$, порождаемые формулой (2), --- бесконечны и в последовательности $a_n$ не может быть циклов или бесконечного числа совпадающих добавляемых пар элементов}. \textbf {Доказательство}. $b_k$ --- бесконечно возрастает, бесконечность решений уравнения (2) гарантируется частным случаем параметризации Чоудхри $$ x = 9u^3-1,\qquad y = 9u^4 - 3u,\qquad t = 9u^4 $$ для уравнения $1^3 + x^3 + y^3 = t^3$. То есть, какой бы элемент $b_k$ мы ни взяли, найдутся решения уравнения $b_k^3 + (x b_k)^3 + (y b_k)^3 = (t b_k)^3$ и среди них есть наименьшее в смысле определения 1. Что касается $a_n$, то если бы произошло совпадение пар $(a_{2k},a_{2k+1})$ бесконечное число раз для разных $k$, то это противоречило бы формуле (2): $$a_{2k}^3+a_{2k+1}^3 = b_{k+1}^3 - b_k^3 \ge (b_k+1)^3 - b_k^3 = 3b_k^2+3b_k+1.$$ Левая часть неравенства, по условию теоремы, для некоторых $k$ константа (повторяется), а правая не ограничена и стремится к бесконечности. Теорема доказана. \newpage \subsection*{3. Наблюдаемые свойства последовательностей} Вычисленные нами при помощи компьютерной программы эмпирические данные для анализа, содержат 1500 добавляемых пар $(a_{2k}, a_{2k+1})$, то есть 3001 элемент последовательности $a_n$ и 1501 элемент последовательности $b_k$. $$(a_{3000}, a_{3001}) = (585200, 742140), \quad b_{1501} = 23116160.$$ При умножении обеих частей уравнения (2) на $r^3, \; r \in \mathbb{N}$, получаем: $$(r b_{k+1})^3 = (r b_{k})^3 + (r a_{2k})^3 + (r a_{2k+1})^3.$$ Оказалось, что только в 30 случаях последнее уравнение удовлетворяет условиям определения 1, то есть добавляемая сумма $(r a_{2k})^3 + (r a_{2k+1})^3$ --- минимальна. Ниже, в таблице 2, приведены все найденные случаи таких умножений. Приведем все найденные коэффициенты умножения: $r = 3, 4 \; (2 \text{ раза}), 6, 7 \; (9 \text{ раз}), 10, 14, 30, 39, 67, 121, 229, 237, 373, 431, 469, 721, \\ 793, 854, 1817, 2197 \; (2 \text { раза})$. Если же рассматривать последовательность $a_n$ отдельно, найденные умножения образуют в ней два фрагмента из 8 пар, получаемые один из другого умножением на натуральный коэффициент 7, а именно каждая из пар $$(a_{118}, a_{119}),\ (a_{120}, a_{121}),\ \ldots,\ (a_{132}, a_{133})$$ умножается на \(7\) и переходит в соответствующую пару со сдвигом $144$: $$(a_{262}, a_{263}),\ (a_{264}, a_{265}),\ \ldots,\ (a_{276}, a_{277}).$$ Однако, после $n > 330 \; (\text {в таблице } i > 165)$ в последовательности $a_n$ не найдено ни одного умножения, то есть это свойство, скорее всего, характерно только для начала последовательности $a_n$. \begin{table}[h!] \centering \small \begin{tabular}{|r|c|r|c|r|} \hline $i$ & $(a_{2i},a_{2i+1},b_i,b_{i+1})$ & $j$ & $(a_{2j},a_{2j+1},b_j,b_{j+1})$ & $r$ \\ \hline $1$ & $(4,5,3,6)$ & $3$ & $(12,15,9,18)$ & $3$ \\ $4$ & $(3,10,18,19)$ & $12$ & $(12,40,72,76)$ & $4$ \\ $4$ & $(3,10,18,19)$ & $15$ & $(21,70,126,133)$ & $7$ \\ $4$ & $(3,10,18,19)$ & $95$ & $(1407,4690,8442,8911)$ & $469$ \\ $5$ & $(18,21,19,28)$ & $13$ & $(72,84,76,112)$ & $4$ \\ $7$ & $(2,17,40,41)$ & $70$ & $(242,2057,4840,4961)$ & $121$ \\ $7$ & $(2,17,40,41)$ & $202$ & $(4394,37349,87880,90077)$ & $2197$ \\ $8$ & $(16,23,41,44)$ & $143$ & $(13664,19642,35014,37576)$ & $854$ \\ $8$ & $(16,23,41,44)$ & $196$ & $(29072,41791,74497,79948)$ & $1817$ \\ $8$ & $(16,23,41,44)$ & $203$ & $(35152,50531,90077,96668)$ & $2197$ \\ $15$ & $(21,70,126,133)$ & $95$ & $(1407,4690,8442,8911)$ & $67$ \\ $19$ & $(31,95,219,225)$ & $36$ & $(186,570,1314,1350)$ & $6$ \\ $25$ & $(94,150,590,594)$ & $413$ & $(74542,118950,467870,471042)$ & $793$ \\ $26$ & $(30,128,594,596)$ & $236$ & $(6870,29312,136026,136484)$ & $229$ \\ $26$ & $(30,128,594,596)$ & $397$ & $(21630,92288,428274,429716)$ & $721$ \\ $33$ & $(116,150,906,908)$ & $347$ & $(43268,55950,337938,338684)$ & $373$ \\ $49$ & $(9,262,2448,2449)$ & $194$ & $(270,7860,73440,73470)$ & $30$ \\ $54$ & $(769,800,2855,2894)$ & $128$ & $(7690,8000,28550,28940)$ & $10$ \\ $59$ & $(322,1134,4200,4228)$ & $131$ & $(2254,7938,29400,29596)$ & $7$ \\ $60$ & $(591,2153,4228,4410)$ & $132$ & $(4137,15071,29596,30870)$ & $7$ \\ $61$ & $(882,1449,4410,4473)$ & $133$ & $(6174,10143,30870,31311)$ & $7$ \\ $62$ & $(270,343,4473,4474)$ & $134$ & $(1890,2401,31311,31318)$ & $7$ \\ $62$ & $(270,343,4473,4474)$ & $626$ & $(116370,147833,1927863,1928294)$ & $431$ \\ $63$ & $(944,1335,4474,4527)$ & $135$ & $(6608,9345,31318,31689)$ & $7$ \\ $64$ & $(129,1054,4527,4546)$ & $136$ & $(903,7378,31689,31822)$ & $7$ \\ $65$ & $(953,2007,4546,4686)$ & $137$ & $(6671,14049,31822,32802)$ & $7$ \\ $66$ & $(352,1122,4686,4708)$ & $138$ & $(2464,7854,32802,32956)$ & $7$ \\ $73$ & $(50,1252,5209,5233)$ & $508$ & $(11850,296724,1234533,1240221)$ & $237$ \\ $120$& $(1512,2786,24430,24444)$& $350$ & $(21168,39004,342020,342216)$ & $14$ \\ $165$& $(3024,12264,44568,44880)$& $589$& $(117936,478296,1738152,1750320)$ & $39$ \\ \hline \end{tabular} \label{tab:mult} \caption{Найденные умножения четверок.} \end{table} Часть найденных соотношений является композицией других: например, \(4\to 15\) с \(r=7\) и \(15\to 95\) с \(r=67\) дают \(4\to 95\) с \(r=469=7\cdot 67\). Это следствие однородности уравнения шага: если четвёрка \(Q\) переходит в \(rQ\), а \(rQ\) — в \(s(rQ)\), то \(Q\) переходит в \((rs)Q\). \subsubsection*{3.1. Двойная факторизация} Для каждой пары \((x,y)=(a_{2k},a_{2k+1})\) введём величины $$ S_1=x+y,\qquad M_2=x^2-xy+y^2,\qquad d_k=b_{k+1}-b_k,\qquad Q_k=b_k^2+b_kb_{k+1}+b_{k+1}^2. $$ \textbf{Предложение 2.} \textit{Для всякого $k$ выполнено} $$ b_{k+1}^3-b_k^3=a_{2k}^3+a_{2k+1}^3=d_k\cdot Q_k=S_1\cdot M_2.\eqno(5) $$ \textbf{Доказательство.} Первое равенство — по определению последовательности. Второе — формула разности кубов, третье — формула суммы кубов. Величина $M_2$ есть норма в кольце Эйзенштейна $\mathbb{Z}[\omega]$, где $\omega=e^{2\pi i/3}$: $M_2=N(x+y\omega)$. \textbf{Теорема 2.} \textit{Пусть $x,y\ge1$ взаимно просты. Тогда всякий простой делитель $p$ числа $M_2=x^2-xy+y^2$ таков, что либо $p=3$, либо он удовлетворяет сравнению $p\equiv1\pmod6$.} \textbf{Доказательство.} При $\gcd(x,y)=1$ число $M_2$ нечётно. Пусть $p\ne2,3$ — простой делитель. Из тождества $4M_2=(2x-y)^2+3y^2$ следует $(2x-y)^2\equiv-3y^2\pmod p$. Если $p\mid y$, то $p\mid(2x-y)$, значит $p\mid2x$ и $p\mid x$, что противоречит $\gcd(x,y)=1$. Делим на $y^2$: $$ \left(\frac{2x-y}{y}\right)^2\equiv-3\pmod p. $$ Значит, $-3$ — квадратичный вычет по модулю $p$, что равносильно $p\equiv1\pmod3$. Так как $p$ нечётно, получаем $p\equiv1\pmod6$. \textbf{Следствие.} \textit{Если $p\equiv5\pmod6$ — простой делитель $M_2$, то $p\mid\gcd(x,y)$.} Теорема 2 объясняет, почему в норме $M_2$ примитивной пары нет простых $5\bmod6$. Для пар с $\gcd>1$ такие простые могут появляться, но лишь как общие делители $x$ и $y$. \subsubsection*{3.2. Примитивные и производные пары} \textbf{Определение 2.} \textit{Пару $(a_{2k},a_{2k+1})$ назовём \emph{примитивной}, если она не является кратной копией никакой более ранней пары:} $$\nexists\,i<k,\ r\ge2:\ (a_{2k},a_{2k+1})=r\cdot(a_{2i},a_{2i+1}).$$ \textit{В противном случае пара называется \emph{производной}.} \textbf{Наблюдение 1.} \textit{На 1500 шагах примитивна $1471$ пара ($98.1\%$), производны $29$ ($1.9\%$). Доля взаимно простых пар равна} $$ \frac{287}{1500}\approx 19.1\%, $$ \textit{тогда как для случайных пар ожидается $6/\pi^2\approx60.8\%$.} Различие между 30 умножениями в таблице 2 и 29 производными парами объясняется тем, что пара с индексом $95$ получается двумя способами: $4 \to 95$ с $r=469$ и $15 \to 95$ с $r=67$, причём $469=7 \cdot 67$ (см. предложение 3). Таким образом, последовательность не является каскадом масштабированных копий: почти все пары — новые решения, а не произведения более ранних. Это отличает её от чисто алгебраических конструкций вроде геометрических модификаций из п.~5. \textbf{Наблюдение 2.} \textit{Из 1213 пар с $\gcd>1$ ровно 825 ($68.0\%$) удовлетворяют условию $\gcd(a_{2k},a_{2k+1})\mid b_k$.} Это означает, что общий делитель пары часто «согласован» с текущим состоянием $b_k$, что естественно для однородной структуры уравнения. \textbf{Наблюдение 3 (блок $r=7$).} \textit{Среди всех умножений из таблицы~2 выделяется блок из восьми подряд идущих шагов:} $$ (a_{118},a_{119}),\ldots,(a_{132},a_{133})\ \xrightarrow{\ \times7\ }\ (a_{262},a_{263}),\ldots,(a_{276},a_{277}). $$ \textit{Это означает, что на восьми последовательных шагах орбита точки $7b_k$ повторяет орбиту $b_k$, умноженную на $7$.} \textbf{Предложение 3 (композиция умножений).} \textit{Если четвёрка $Q$ переходит в $rQ$, а $rQ$ переходит в $s(rQ)$, то $Q$ переходит в $(rs)Q$.} \textbf{Доказательство.} Следует из однородности уравнения шага: масштабирование на $r$, затем на $s$ эквивалентно масштабированию на $rs$. \textbf{Пример.} В таблице~2 соотношения $4\to15$ с $r=7$ и $15\to95$ с $r=67$ дают $4\to95$ с $r=469=7\cdot67$. Аналогично $7\to202$ и $8\to203$ с $r=2197=13^3$ связаны через общее значение $b=90077=41\cdot2197$. \newpage \subsection*{4. Динамика отображения \(\varphi\)} Последовательность \(b_k\) удобно рассматривать как одну орбиту отображения на натуральных числах. \textbf{Определение 3.} \textit{Для \(b\in\mathbb{N}\) положим} $$ \varphi(b)=\min\{t>b:\ t^3-b^3=x^3+y^3\text{ для некоторых }x,y\ge1\}. $$ \textit{Если такого \(t\) нет, \(\varphi(b)\) не определено.} Тогда \(b_{k+1}=\varphi(b_k)\) при \(b_1=3\). Более того, \(\varphi(1)=9=b_3\), так что последовательность \(b_k\) совпадает с орбитой точки \(1\) начиная с третьего шага. \textbf{Лемма 2.} \textit{Для всех \(b\) из области определения \(\varphi(b)>b\).} \textbf{Следствие.} \textit{Отображение \(\varphi\) не имеет циклов: все орбиты — бесконечные в одном направлении пути, которые либо продолжаются бесконечно, либо обрываются.} \textbf{Определение 4.} \textit{Орбитой числа \(b\) назовём последовательность} $$ b,\ \varphi(b),\ \varphi(\varphi(b)),\ \ldots $$ \textit{Две орбиты \emph{сливаются}, если их множества пересекаются. Орбита называется \emph{примитивной} в диапазоне \((B_{\text{init}},B_{\max})\), если её минимальный элемент не превосходит \(B_{\text{init}}\) и ни одно \(b'\le B_{\max}\), \(b'<b\), не ведёт в неё. Минимальный элемент примитивной орбиты будем называть её \emph{семенем}.} Поскольку \(\varphi\) — функция, две различные орбиты либо совпадают, либо не пересекаются; третьего не дано. \textbf{Наблюдение 4.} \textit{Число примитивных орбит и множество их семян зависят от границ диапазона. При \(B_{\max}=20000\) и различных \(B_{\text{init}}\) получены следующие результаты:} \begin{table}[h] \centering \begin{tabular}{|c|c|l|} \hline $B_{\text{init}}$ & Число орбит & Семена \\ \hline $500$ & $4$ & $1, 73, 83, 143$ \\ $1000$ & $5$ & $+\,579$ \\ $1500$ & $6$ & $+\,1097$ \\ $2000$ & $7$ & $+\,1651$ \\ $2500$ & $9$ & $+\,2093,\ 2207$ \\ $3000$ & $10$ & $+\,2633$ \\ \hline \end{tabular} \caption{Рост числа примитивных орбит с \(B_{\text{init}}\) при \(B_{\max}=20000\).} \end{table} Ядро \(\{1,73,83,143\}\) присутствует при всех \(B_{\text{init}}\). Остальные семена появляются по мере роста \(B_{\text{init}}\), причём прирост не обнаруживает признаков насыщения. \textbf{Наблюдение 5.} \textit{Рост \(B_{\max}\) может приводить к слиянию орбит. Орбита с семенем \(121\), примитивная при \(B_{\max}=5000\), поглощается орбитой \(83\) при \(B_{\max}=20000\): путь \(\varphi(83)\) удлиняется и входит в орбиту \(121\). Таким образом, часть семян, наблюдаемых при малом \(B_{\max}\), является артефактом обрыва орбит.} \textbf{Наблюдение 6.} \textit{Все найденные примитивные семена нечётны:} $$ 1,\ 73,\ 83,\ 143,\ 579,\ 1097,\ 1651,\ 2093,\ 2207,\ 2633. $$ \textit{Проверка всех \(1500\) чётных чисел \(b\le3000\) показала, что каждое из них вливается в одну из этих орбит. Ни одно чётное число не является началом собственной примитивной орбиты.} \textbf{Наблюдение 7.} \textit{Бассейны притяжения орбит неравномерны. Из \(1500\) чётных чисел \(b\le3000\) орбиты с семенами \(1, 73, 83\) притягивают \(1409\) (\(94\%\)); семя \(143\) — \(67\); семена \(579, 1097, 1651\) — \(24\) суммарно; семена \(2093, 2207, 2633\) — ни одного.} \begin{table}[h] \centering \begin{tabular}{|c|c|} \hline Семя & Чётных чисел \(b\le3000\) \\ \hline $1$ & $525$ \\ $83$ & $476$ \\ $73$ & $408$ \\ $143$ & $67$ \\ $1651$ & $15$ \\ $579$ & $5$ \\ $1097$ & $4$ \\ $2093$, $2207$, $2633$ & $0$ \\ \hline \end{tabular} \caption{Бассейны притяжения примитивных орбит.} \end{table} \textbf{Наблюдение 8.} \textit{Глубина вливания — число шагов до попадания в известную орбиту — распределена неравномерно: \(182\) числа вливаются за один шаг, но есть длинный хвост до \(53\) шагов. Наибольшая глубина — у \(b=266\), вливающегося в орбиту \(83\):} $$ 266\to356\to383\to509\to526\to\cdots\to7544\to8096. $$ \textit{Это показывает, что граф \(\varphi\) содержит длинные «свободные» пути, прежде чем они вливаются в одну из магистральных орбит.} \textbf{Гипотеза 1.} \textit{Число примитивных орбит отображения \(\varphi\) бесконечно.} Эмпирическое обоснование: при росте \(B_{\text{init}}\) от \(500\) до \(3000\) число орбит выросло с \(4\) до \(10\), причём прирост не показывает признаков насыщения. Если бы число орбит было конечно, при достаточно большом \(B_{\text{init}}\) новые семена перестали бы появляться. \textbf{Гипотеза 2.} \textit{Всякое примитивное семя отображения \(\varphi\) нечётно. Иными словами, для всякого чётного \(b\) найдётся \(b'<b\) с \(\varphi^k(b')=b\) при некотором \(k\ge1\).} Эмпирическое обоснование: все 10 найденных семян нечётны, а проверка \(1500\) чётных чисел \(b\le3000\) показала, что каждое вливается в одну из этих орбит. \subsection*{5. Геометрические модификации} Условие минимальности — источник сложности последовательности $b_k$. Естественно спросить, что произойдёт, если заменить его алгебраическим правилом. \textbf{Определение 5.} \textit{Геометрической модификацией назовём последовательность вида} $$ u_k=Z\cdot w^{k-1},\qquad w\in\mathbb{N},\ w\ge2,\ Z\in\mathbb{N}, $$ \textit{для которой существует примитивное решение $(X,Y,Z,T)$ уравнения $X^3+Y^3+Z^3=T^3$ такое, что $w=T/Z$ целое и на каждом шаге добавляется пара $w^{k-1}\cdot(X,Y)$.} \textbf{Теорема 3.} \textit{Для каждого $c\ge2$ тройка Чоудхри $(1,1,c)$ порождает геометрическую модификацию с множителем $w=c$ и параметрами} $$ X_c=c^4-2c,\qquad Y_c=2c^3-1,\qquad Z_c=c^3+1,\qquad T_c=c(c^3+1).\eqno(6) $$ \textbf{Доказательство.} Подставляя $a=b=1$ в формулы (4), получаем приведённые выражения. Тождество $X_c^3+Y_c^3+Z_c^3=T_c^3$ проверяется прямой подстановкой выражений (6). Отношение $T_c/Z_c=c$ целое. Следовательно, $u_k=Z_p\cdot c^{k-1}$. При $c\equiv2\pmod3$ четвёрка (6) имеет общий делитель $3$; примитивная версия получается делением на $\gcd(X_c,Y_c,Z_c,T_c)$, что даёт стартовое значение $Z_p$ из следствия к теореме 4. \textbf{Теорема 4.} \textit{Наибольший общий делитель четырёх величин (6) равен} $$ g=\gcd(X_c,Y_c,Z_c,T_c)= \begin{cases} 3, & c\equiv2\pmod3,\\ 1, & c\not\equiv2\pmod3. \end{cases}\eqno(7) $$ \textbf{Доказательство.} Пусть $p$ — простой делитель $g$. Из $p\mid Z_c=c^3+1$ и $p\mid Y_c=2c^3-1$ получаем $3\equiv0\pmod p$, значит $p=3$. Далее, $3\mid Y_c$ тогда и только тогда, когда $c\equiv2\pmod3$. При этом $X_c\equiv6c\equiv3\pmod9$, то есть $v_3(X_c)=1$, значит $v_3(g)=1$. \textbf{Следствие.} \textit{Стартовое значение геометрической модификации равно} $$ Z_p=\frac{Z_c}{g}= \begin{cases} \dfrac{c^3+1}{3}, & c\equiv2\pmod3,\\[4pt] c^3+1, & c\not\equiv2\pmod3. \end{cases}\eqno(8) $$ \textbf{Пример.} При $c=2$: $Z_p=3$, $w=2$, последовательность $3,6,12,24,48,\ldots$ При $c=3$: $Z_p=28$, $w=3$, последовательность $28,84,252,756,\ldots$ При $c=12$: $Z_p=1729$ — знаменитое число Рамануджана. \textbf{Наблюдение 9.} \textit{Множество $\{Z_p:2\le c\le100\}$, задаваемое формулой (8), пересекается с исходной последовательностью $\{b_k\}$ ровно в двух точках:} $$ c=2:\ Z_p=3=b_1,\qquad c=3:\ Z_p=28=b_6. $$ \textit{Для всех $4\le c\le100$ число $Z_p$ не совпадает ни с одним $b_k\le 23\,116\,160$.} Таким образом, геометрические модификации образуют бесконечное семейство полностью предсказуемых последовательностей, но не являются подпоследовательностями исходной $\{b_k\}$. Это иллюстрирует общий принцип: жадный алгоритм на диофантовом уравнении порождает хаотическую, «универсальную» последовательность, тогда как алгебраическая фиксация даёт предсказуемость, но ценой потери связи с исходной задачей. \subsection*{6. Рост последовательностей} Оценка роста \(b_k\) — естественный вопрос, но строгие результаты здесь минимальны. \textbf{Предложение 4.} \textit{Выполнены неравенства} $$ k+2\le b_k\le3\cdot9^{\,k-1}. $$ \textbf{Доказательство.} Нижняя граница: \(b_{k+1}\ge b_k+1\), так как \(\varphi(b)>b\). Верхняя: при \(b=1\) есть решение \(1^3+8^3+6^3=9^3\). Масштабируя на \(b_k\), получаем \(b_{k+1}\le9b_k\). Промежуток между границами велик, и всё, что можно сказать точнее, — эмпирика. \textbf{Наблюдение 10.} \textit{По выборке из 1500 шагов ($b_{1501}=23\,116\,160$) мгновенный локальный показатель} $$ p(k)=\frac{\log(b_{k+1}/b_k)}{\log((k+1)/k)} $$ \textit{колеблется в чрезвычайно широком диапазоне — от $0.0017$ до $63.3$. Столь широкий разброс означает, что мгновенный показатель не является устойчивой характеристикой роста и требует сглаживания.} \textbf{Наблюдение 11.} \textit{Сглаживание по окну $250$ даёт значения около $2.48$ в начале выборки, медленно убывающие до $2.29$ в конце. На доступном диапазоне сглаженный показатель не выходит на плато; его предельное значение, по-видимому, лежит между $2$ и $2.5$.} Подгонка трёх моделей в логарифмическом масштабе: \begin{table}[h] \centering \begin{tabular}{|l|c|c|c|} \hline Модель & std остатков & AIC & BIC \\ \hline $c\,k^p$ & $0.201$ & $-4812$ & $-4801$ \\ $c\,k^p(\log k)^\alpha$ & $0.111$ & $-6582$ & $-6567$ \\ $c\,k^p e^{\beta\sqrt{\log k}}$ & $0.104$ & $-6789$ & $-6773$ \\ \hline \end{tabular} \caption{Подгонка моделей роста.} \end{table} Третья модель значимо лучше по AIC и BIC. Её коэффициенты $$ p=4.38\pm0.03,\qquad\beta=-7.65\pm0.12, $$ а формальный локальный показатель $$ \frac{d\log b_k}{d\log k}=p+\frac{\beta}{2\sqrt{\log k}} $$ при $k\approx1400$ даёт $\approx2.96$. \textbf{Наблюдение 12.} \textit{Три метода дают разные оценки показателя роста:} \begin{itemize} \item \textit{сглаженный мгновенный показатель: $\approx2.3$, медленно убывает;} \item \textit{хвостовая регрессия по последним $500$ точкам: $p\approx2.9$;} \item \textit{формальный показатель лучшей модели: $\approx2.96$ на хвосте.} \end{itemize} \textit{Расхождение объясняется тем, что хвостовая регрессия и третья модель опираются на редкие крупные скачки $b_k$, тогда как сглаженный показатель усредняет все шаги, включая множество мелких.} \textbf{Вывод.} В исследованном диапазоне $k\le1501$ величина $b_k$ растёт промежуточно между $k^2$ и $k^3$. Все три оценки показателя лежат в интервале $2.3$–$3.0$, но не сходятся между собой. Точная асимптотическая форма роста — чистая степень, степень с логарифмической поправкой или иной закон — на текущих данных не установлена. \subsection*{7. Заключение} Мы описали последовательность \(b_k\), порождаемую жадным алгоритмом на уравнении \(x^3+y^3+z^3=t^3\). Установлены следующие результаты. \begin{itemize} \item Последовательности \(a_n\) и \(b_k\) бесконечны; в последовательности \(a_n\) не может быть циклов или бесконечного числа совпадающих пар (теорема~1). \item Для всякого шага выполнена двойная факторизация \[ b_{k+1}^3-b_k^3=d_kQ_k=S_1M_2,\] и при \(\gcd(a_{2k},a_{2k+1})=1\) все простые делители нормы \(M_2\) равны \(3\) или \(\equiv1\pmod6\) (теорема 2). • Отображение \(\varphi\) не имеет циклов; все его орбиты — бесконечные в одном направлении пути (лемма 2 и следствие). • Для каждого \(c\ge2\) тройка Чоудхри \((1,1,c)\) порождает геометрическую модификацию с множителем \(w=c\), стартовым значением \(Z_p\) по формуле (8) и параметрами (6); общий делитель четвёрки равен \(3\) при \(c\equiv2\pmod3\) и \(1\) в остальных случаях (теоремы 3, 4). /UL

Эмпирически, по выборке из 1500 шагов до \(b_{1501}=23\,116\,160\), установлено:

• последовательность почти целиком состоит из примитивных пар: \(1471\) примитивных против \(29\) производных; доля взаимно простых пар \(\approx19.1\%\), что существенно ниже ожидаемых \(60.8\%\);
• среди пар с \(\gcd>1\) около \(68\%\) удовлетворяют условию \(\gcd(a_{2k},a_{2k+1})\mid b_k\);
• найдено ровно 30 случаев, когда масштабированная четвёрка снова удовлетворяет условию минимальности; наибольший блок — восемь подряд идущих шагов с \(r=7\); часть умножений является композицией других;
• число примитивных орбит отображения \(\varphi\) растёт с \(B_{\text{init}}\): от \(4\) при \(B_{\text{init}}=500\) до \(10\) при \(B_{\text{init}}=3000\); рост \(B_{\max}\) может приводить к слиянию орбит (орбита \(121\) поглощается орбитой \(83\) при переходе от \(B_{\max}=5000\) к \(B_{\max}=20000\));
• все найденные примитивные семена нечётны; проверка \(1500\) чётных чисел \(b\le3000\) показала, что каждое из них вливается в одну из нечётных орбит;
• бассейны притяжения орбит неравномерны: орбиты с семенами \(1, 73, 83\) притягивают \(94\%\) чётных чисел \(b\le3000\), тогда как семена \(2093, 2207, 2633\) не притягивают ни одного;
• среди геометрических модификаций с \(2\le c\le100\) только две точки — \(c=2\) и \(c=3\) — совпадают с членами исходной последовательности.

Рост \(b_k\) в исследованном диапазоне \(k\le1501\) промежуточен между \(k^2\) и \(k^3\). Три метода оценки показателя дают разные значения: сглаженный мгновенный показатель убывает от \(\approx2.48\) до \(\approx2.29\) вдоль выборки, хвостовая регрессия по последним \(500\) точкам даёт \(\approx2.9\), а формальный показатель лучшей из трёх рассмотренных моделей — \(\approx2.96\) на хвосте.

Расхождение объясняется тем, что эти методы измеряют разные характеристики: сглаженный — типичный шаг, хвостовая регрессия — накопленный рост на последних точках, формальная модель — предельный показатель при данной параметризации.

На доступном диапазоне ни один из методов не даёт устойчивого плато, и точная асимптотическая форма роста — чистая степень, степень с логарифмической поправкой или иной закон — не установлена.

Открытые вопросы:

1. Достаточное условие «родительства»: когда пара \((a_{2k},a_{2k+1})\) порождает масштабированную копию в последовательности. Необходимые условия (малость \(d_k\), примитивность, кратность) найдены эмпирически, но не являются достаточными.
2. Истинная асимптотика роста \(b_k\). Существующие оценки лежат между линейной и экспоненциальной; эмпирически рост полиномиален с показателем в интервале \(2.3\)–\(3.0\), но точное значение требует существенно больших \(k\).
3. Какова асимптотика числа примитивных орбит отображения \(\varphi\) при \(B_{\text{init}}\to\infty\)? Растёт ли оно линейно, как \(\sqrt{B_{\text{init}}}\), или иначе?
4. Верно ли, что все примитивные семена \(\varphi\) нечётны?
5. Существует ли в последовательности \(b_k\) нетривиальная бесконечная подпоследовательность с явным аналитическим законом, или все предсказуемые фрагменты — короткие геометрические ветви, обрывающиеся через один-два шага?

Литература

1. Гуляев Г. Компьютер в помощь математике. Исследование и поиск. // ArxivOrg.Ru. — 2026. — URL: .
2. Choudhry A. On Equal Sums of Cubes. Mathematics of Computation, 1998.
3. Sloane N. J. A. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A018930.
4. Ireland K., Rosen M. A Classical Introduction to Modern Number Theory. Springer, 1990.
5. Hardy G. H., Wright E. M. An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford, 1938.