Последовательность, порождаемая представлениями куба натурального числа суммами кубов

1. Введение и постановка задачи

Классическая задача о представлении чисел суммами кубов восходит к Эйлеру и Рамануджану. Уравнение

$$ x^3 + y^3 + z^3 = t^3 $$

имеет бесконечное множество целочисленных решений; полная параметризация была получена Чоудхри в 1998 году [2].

В настоящей работе мы рассматриваем, введенную в работе [1], последовательность, порождаемую этим уравнением. Начиная с $b_1 = 3$, на каждом шаге выбирается наименьшая пара $(x, y)$, такая что

$$ b_k^3 + x^3 + y^3 = b_{k+1}^3 $$

для некоторого $b_{k+1} > b_k$. Критерий «наименьшая» понимается лексикографически: сначала минимизируется $x^3 + y^3$, при равенстве — $(x + y)$.

Аналогичная задача для квадратов порождает известную последовательность A018930 в OEIS [3].

Последовательность $b_k$ допускает естественную геометрическую интерпретацию, которая проясняет как её структуру, так и отличие кубического случая от квадратного.

Случай квадратов: диагональ $n$-мерного параллелепипеда

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед в $\mathbb{R}^n$ с рёбрами $a_1, a_2, \ldots, a_n$. Его главная диагональ равна

$$ d_n = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}. $$

Начиная с $a_1 = 3, \; a_2 = 4, \; d_2 = 5$, будем добавлять натуральные ребра $a_k$ так, чтобы диагональ оставалась целой, выбирая, при этом, из всех таких $a_k$ наименьшее.

Жадный алгоритм для квадратов строит последовательность

$$ 3,\ 4,\ 12,\ 84,\ 132,\ 12324,\ 1836,\ \ldots $$

(известную как A018930 в OEIS [3]). На $k$-м шаге добавляется одно ребро $x_k$, и одновременно размерность растёт на единицу. Условие шага имеет вид

$$ d_{k-1}^2 + x_k^2 = d_k^2, $$

то есть тройка $(d_{k-1}, x_k, d_k)$ — пифагорова. Геометрически это означает, что мы надстраиваем параллелепипед, добавляя одно ребро так, чтобы новая диагональ снова была целой.

Возможность такой надстройки на каждом шаге опирается на бесконечность множества пифагоровых троек и на их параметризацию Евклида:

$$ (d_{k-1}, x_k, d_k) = \bigl(u^2 - v^2,\ 2uv,\ u^2 + v^2\bigr). $$

Случай кубов: диагональ «кубической коробки»

Рассмотрим теперь «кубическую коробку» с рёбрами $a_1, \ldots, a_n$ и определим её «кубическую диагональ» как

$$ b_n = \sqrt[3]{a_1^3 + a_2^3 + \cdots + a_n^3}. $$

Условие задачи: при каждом $n = 2k-1$ величина $b_n$ должна быть натуральным числом.

Аналог шага для квадратов теперь записывается в виде

$$ b_{k-1}^3 + a_{2k}^3 + a_{2k+1}^3 = b_k^3. $$

Рис. 1. Геометрическая интерпретация.

Естественное желание — надстраивать кубическую коробку, добавляя одно ребро за шаг, как в квадратном случае:

$$ b_{k-1}^3 + x^3 = b_k^3. $$

Однако это уравнение неразрешимо в натуральных числах: это частный случай великой теоремы Ферма для показателя $3$. Следовательно, добавление одного ребра невозможно.

Поэтому на каждом шаге добавляется два ребра, а уравнение шага принимает вид

$$ b_{k-1}^3 + x^3 + y^3 = b_k^3. $$

Это уравнение имеет бесконечно много решений; полная параметризация получена Чоудхри в 1998 году (см. п. 2.1).

Таблица 1. Сравнение случаев квадратов и кубов.

Таким образом, последовательность $b_k$ является кубическим аналогом A018930, но «шаг» в кубическом случае вдвое шире по размерности. Это объясняет, почему в определении 1 пары индексов имеют вид $(a_{2k}, a_{2k+1})$: каждая пара соответствует двум новым рёбрам кубической коробки.

В случае квадратов выбор минимального $x$ на каждом шаге приводит к A018930. В случае кубов мы выбираем минимальную пару $(x, y)$ (сначала по $x^3 + y^3$, затем по $x + y$). Эта жадность на паре и порождает ту сложную структуру, которая исследуется в остальных разделах.

2. Определение последовательности

Лемма 1. *Пусть $a,b,c,d$ - разные натуральные числа, такие, что $a \lt b$ и $c \lt d$. Тогда, если выполняется равенство:

$$ a^3+b^3=c^3+d^3, \tag{1} $$

то равенство $a+b=c+d$ невозможно*.

Доказательство. Допустим, что выполняется (1) и $a+b=c+d$. Тогда

$$ (a+b)^3=(c+d)^3 $$

то есть

$$ a^3+b^3+3ab(a+b)=c^3+d^3+3cd(c+d), $$

откуда следует, что $a \cdot b = c \cdot d$. Таким образом, по теореме Виета, пары $(a,b)$ и $(c,d)$ являются корнями одного и того же квадратного уравнения и, по условию леммы, $a \lt b$ и $c \lt d$. Значит, $a = c$ и $b = d$. Противоречие с тем, что они разные. Лемма 1 доказана.

Определение 1. Положим $a_1 = b_1 = 3$. Определим две последовательности $a_k$ и $b_k$ рекуррентным соотношением:

$$ b_{k+1}^3 = b_k^3+a_{2k}^3+a_{2k+1}^3 \tag{2} $$

Здесь $k = 1,2,3,...$ и на каждом шаге $a_{2k}$ и $a_{2k+1}$ выбираются таким образом, чтобы добавляемая сумма $s_k = a_{2k}^3+a_{2k+1}^3$ была наименьшей, а при равных $s_k$ выбираем такие $a_{2k}$ и $a_{2k+1}$, для которой сумма $a_{2k} + a_{2k+1}$ минимальна. Однозначность такого выбора гарантируется леммой 1.

Рассмотрим процесс построения последовательностей. При $k = 1$, $b_2^3 = b_1^3 + a_2^3 + a_3^3 = 3^3 + a_2^3 + a_3^3$. Нужно подобрать $a_2$ и $a_3$ так, чтобы выражение $3^3 + a_2^3 + a_3^3$ было кубом натурального числа. Есть варианты:

3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3
3^3 + 10^3 + 18^3 = 19^3
3^3 + 18^3 + 24^3 = 27^3
3^3 + 36^3 + 37^3 = 46^3
...

Выбираем по наименьшей сумме кубов: $a_2 = 4, a_3 = 5$. Тогда $b_2 = 6$. И так далее. Пары $a_{2k}, a_{2k+1}$ будем добавлять в первую последовательность, располагая их по возрастанию, то есть $a_{2k} \lt a_{2k+1}$.

Первые члены последовательностей:

$$ \begin{cases} a_n: 3, 4, 5, 1, 8, 12, 15, 3, 10, 18, 21, 14, 34, 2, 17, 16, 23, 8, 34, 30, 40, \dots \\ b_k: 3, 6, 9, 18, 19, 28, 40, 41, 44, 50, 60, 72, 76, 112, 126, 133, 178, 216, \dots \end{cases} $$

2.1. Связь с параметризацией Чоудхри

В 1998 году А. Чоудхри получил полную параметризацию решений уравнения

$$ x^3 + y^3 + z^3 = t^3 \tag{3} $$

в целых числах [2]. Для произвольных целых $a, b, c$ и натурального $d$ положим

$$ \begin{aligned} X &= d\cdot c\,(c^3 - a^3 - b^3), \\ Y &= d\cdot \bigl[c^3(a+b) - a^4 - b^4 + ab(2a^2 - 3ab + 2b^2)\bigr], \\ Z &= d\cdot \bigl[c^3(2a-b) + a^4 + b^4 - ab(2a^2 - 3ab + 2b^2)\bigr], \\ T &= d\cdot c\,(a^3 + (a-b)^3 + c^3). \end{aligned} \tag{4} $$

Тогда четверка $(X, Y, Z, T)$ удовлетворяет (3). Чоудхри показал, что всякое решение (3) получается из (4) при подходящих $a,b,c,d$.

Предложение 1. Всякая пара $(a_{2k}, a_{2k+1})$ из последовательности, определённой в п. 2, входит вместе с числами $b_k, b_{k+1}$ в одно из решений (4).

Доказательство. Следует из сравнения уравнений (2) и (3).

Замечание 1. Параметризация Чоудхри описывает все решения (3), но она не указывает, какое из них минимально в смысле определения 1. Поэтому она, к сожалению, не помогает построить нашу последовательность $a_n$.

Замечание 2. Аналогичная параметризация Эйлера–Бине для равенства $x^3 + y^3 = z^3 + w^3$ также применима к нашей задаче, но содержит два параметра вместо трёх. Обратная задача (по заданному $z$ найти параметры) для неё не решается быстрее, чем прямой перебор.

Теорема 1. Последовательности $a_n$ и $b_k$, порождаемые формулой (2), — бесконечны и в последовательности $a_n$ не может быть циклов или бесконечного числа совпадающих добавляемых пар элементов.

Доказательство. $b_k$ — бесконечно возрастает, бесконечность решений уравнения (2) гарантируется частным случаем параметризации Чоудхри

$$ x = 9u^3-1,\qquad y = 9u^4 - 3u,\qquad t = 9u^4 $$

для уравнения $1^3 + x^3 + y^3 = t^3$. То есть, какой бы элемент $b_k$ мы ни взяли, найдутся решения уравнения $b_k^3 + (x b_k)^3 + (y b_k)^3 = (t b_k)^3$ и среди них есть наименьшее в смысле определения 1.

Что касается $a_n$, то если бы произошло совпадение пар $(a_{2k},a_{2k+1})$ бесконечное число раз для разных $k$, то это противоречило бы формуле (2):

$$ a_{2k}^3+a_{2k+1}^3 = b_{k+1}^3 - b_k^3 \ge (b_k+1)^3 - b_k^3 = 3b_k^2+3b_k+1. $$

Левая часть неравенства, по условию теоремы, для некоторых $k$ константа (повторяется), а правая не ограничена и стремится к бесконечности. Теорема доказана.

3. Наблюдаемые свойства последовательностей

Вычисленные нами при помощи компьютерной программы эмпирические данные для анализа, содержат 1500 добавляемых пар $(a_{2k}, a_{2k+1})$, то есть 3001 элемент последовательности $a_n$ и 1501 элемент последовательности $b_k$.

$$ (a_{3000}, a_{3001}) = (585200, 742140), \quad b_{1501} = 23116160. $$

При умножении обеих частей уравнения (2) на $r^3, \; r \in \mathbb{N}$, получаем:

$$ (r b_{k+1})^3 = (r b_{k})^3 + (r a_{2k})^3 + (r a_{2k+1})^3. $$

Оказалось, что только в 30 случаях последнее уравнение удовлетворяет условиям определения 1, то есть добавляемая сумма $(r a_{2k})^3 + (r a_{2k+1})^3$ — минимальна.

Ниже, в таблице 2, приведены все найденные случаи таких умножений. Приведем все найденные коэффициенты умножения:

$r = 3, 4 \; (2 \text{ раза}), 6, 7 \; (9 \text{ раз}), 10, 14, 30, 39, 67, 121, 229, 237, 373, 431, 469, 721, \\ 793, 854, 1817, 2197 \; (2 \text{ раза})$.

Если же рассматривать последовательность $a_n$ отдельно, найденные умножения образуют в ней два фрагмента из 8 пар, получаемые один из другого умножением на натуральный коэффициент 7, а именно каждая из пар

$$ (a_{118}, a_{119}),\ (a_{120}, a_{121}),\ \ldots,\ (a_{132}, a_{133}) $$

умножается на $7$ и переходит в соответствующую пару со сдвигом $144$:

$$ (a_{262}, a_{263}),\ (a_{264}, a_{265}),\ \ldots,\ (a_{276}, a_{277}). $$

Однако, после $n > 330 \; (\text{в таблице } i > 165)$ в последовательности $a_n$ не найдено ни одного умножения, то есть это свойство, скорее всего, характерно только для начала последовательности $a_n$.

Таблица 2. Найденные умножения четверок.

Часть найденных соотношений является композицией других: например, $4\to 15$ с $r=7$ и $15\to 95$ с $r=67$ дают $4\to 95$ с $r=469=7\cdot 67$. Это следствие однородности уравнения шага: если четвёрка $Q$ переходит в $rQ$, а $rQ$ — в $s(rQ)$, то $Q$ переходит в $(rs)Q$.

3.1. Двойная факторизация

Для каждой пары $(x,y)=(a_{2k},a_{2k+1})$ введём величины

$$ S_1=x+y,\qquad M_2=x^2-xy+y^2,\qquad d_k=b_{k+1}-b_k,\qquad Q_k=b_k^2+b_kb_{k+1}+b_{k+1}^2. $$

Предложение 2. Для всякого $k$ выполнено

$$ b_{k+1}^3-b_k^3=a_{2k}^3+a_{2k+1}^3=d_k\cdot Q_k=S_1\cdot M_2.\tag{5} $$

Доказательство. Первое равенство — по определению последовательности. Второе — формула разности кубов, третье — формула суммы кубов.

Величина $M_2$ есть норма в кольце Эйзенштейна $\mathbb{Z}[\omega]$, где $\omega=e^{2\pi i/3}$: $M_2=N(x+y\omega)$.

Теорема 2. Пусть $x,y\ge1$ взаимно просты. Тогда всякий простой делитель $p$ числа $M_2=x^2-xy+y^2$ таков, что либо $p=3$, либо он удовлетворяет сравнению $p\equiv1\pmod6$.

Доказательство. При $\gcd(x,y)=1$ число $M_2$ нечётно. Пусть $p\ne2,3$ — простой делитель. Из тождества $4M_2=(2x-y)^2+3y^2$ следует $(2x-y)^2\equiv-3y^2\pmod p$. Если $p\mid y$, то $p\mid(2x-y)$, значит $p\mid2x$ и $p\mid x$, что противоречит $\gcd(x,y)=1$. Делим на $y^2$:

$$ \left(\frac{2x-y}{y}\right)^2\equiv-3\pmod p. $$

Значит, $-3$ — квадратичный вычет по модулю $p$, что равносильно $p\equiv1\pmod3$. Так как $p$ нечётно, получаем $p\equiv1\pmod6$.

Следствие. Если $p\equiv5\pmod6$ — простой делитель $M_2$, то $p\mid\gcd(x,y)$.

Теорема 2 объясняет, почему в норме $M_2$ примитивной пары нет простых $5\bmod6$. Для пар с $\gcd>1$ такие простые могут появляться, но лишь как общие делители $x$ и $y$.

3.2. Примитивные и производные пары

Определение 2. Пару $(a_{2k},a_{2k+1})$ назовём *примитивной, если она не является кратной копией никакой более ранней пары*:

$$ \nexists\,i \lt k,\ r\ge2:\ (a_{2k},a_{2k+1})=r\cdot(a_{2i},a_{2i+1}). $$

*В противном случае пара называется *производной**.

Наблюдение 1. На 1500 шагах примитивна $1471$ пара ($98.1\%$), производны $29$ ($1.9\%$). Доля взаимно простых пар равна

$$ \frac{287}{1500}\approx 19.1\%, $$

тогда как для случайных пар ожидается $6/\pi^2\approx60.8\%$.

Различие между 30 умножениями в таблице 2 и 29 производными парами объясняется тем, что пара с индексом $95$ получается двумя способами: $4 \to 95$ с $r=469$ и $15 \to 95$ с $r=67$, причём $469=7 \cdot 67$ (см. предложение 3).

Таким образом, последовательность не является каскадом масштабированных копий: почти все пары — новые решения, а не произведения более ранних. Это отличает её от чисто алгебраических конструкций вроде геометрических модификаций из п. 5.

Наблюдение 2. Из 1213 пар с $\gcd>1$ ровно 825 ($68.0\%$) удовлетворяют условию $\gcd(a_{2k},a_{2k+1})\mid b_k$.

Это означает, что общий делитель пары часто «согласован» с текущим состоянием $b_k$, что естественно для однородной структуры уравнения.

Наблюдение 3 (блок $r=7$). Среди всех умножений из таблицы 2 выделяется блок из восьми подряд идущих шагов:

$$ (a_{118},a_{119}),\ldots,(a_{132},a_{133})\ \xrightarrow{\ \times7\ }\ (a_{262},a_{263}),\ldots,(a_{276},a_{277}). $$

Это означает, что на восьми последовательных шагах орбита точки $7b_k$ повторяет орбиту $b_k$, умноженную на $7$.

Предложение 3 (композиция умножений). Если четвёрка $Q$ переходит в $rQ$, а $rQ$ переходит в $s(rQ)$, то $Q$ переходит в $(rs)Q$.

Доказательство. Следует из однородности уравнения шага: масштабирование на $r$, затем на $s$ эквивалентно масштабированию на $rs$.

Пример. В таблице 2 соотношения $4\to15$ с $r=7$ и $15\to95$ с $r=67$ дают $4\to95$ с $r=469=7\cdot67$. Аналогично $7\to202$ и $8\to203$ с $r=2197=13^3$ связаны через общее значение $b=90077=41\cdot2197$.

4. Динамика отображения $\varphi$

Последовательность $b_k$ удобно рассматривать как одну орбиту отображения на натуральных числах.

Определение 3. Для $b\in\mathbb{N}$ положим

$$ \varphi(b)=\min\{t>b:\ t^3-b^3=x^3+y^3\text{ для некоторых }x,y\ge1\}. $$

Если такого $t$ нет, $\varphi(b)$ не определено.

Тогда $b_{k+1}=\varphi(b_k)$ при $b_1=3$. Более того, $\varphi(1)=9=b_3$, так что последовательность $b_k$ совпадает с орбитой точки $1$ начиная с третьего шага.

Лемма 2. Для всех $b$ из области определения $\varphi(b)>b$.

Следствие. Отображение $\varphi$ не имеет циклов: все орбиты — бесконечные в одном направлении пути, которые либо продолжаются бесконечно, либо обрываются.

Определение 4. Орбитой числа $b$ назовём последовательность

$$ b,\ \varphi(b),\ \varphi(\varphi(b)),\ \ldots $$

Две орбиты *сливаются, если их множества пересекаются. Орбита называется примитивной в диапазоне $(B_{\text{init}},B_{\max})$, если её минимальный элемент не превосходит $B_{\text{init}}$ и ни одно $b'\le B_{\max}$, $b' \lt b$, не ведёт в неё. Минимальный элемент примитивной орбиты будем называть её *семенем**.

Поскольку $\varphi$ — функция, две различные орбиты либо совпадают, либо не пересекаются; третьего не дано.

Наблюдение 4. Число примитивных орбит и множество их семян зависят от границ диапазона. При $B_{\max}=20000$ и различных $B_{\text{init}}$ получены следующие результаты:

Таблица 3. Рост числа примитивных орбит с $B_{\text{init}}$ при $B_{\max}=20000$.

Ядро $\{1,73,83,143\}$ присутствует при всех $B_{\text{init}}$. Остальные семена появляются по мере роста $B_{\text{init}}$, причём прирост не обнаруживает признаков насыщения.

Наблюдение 5. Рост $B_{\max}$ может приводить к слиянию орбит. Орбита с семенем $121$, примитивная при $B_{\max}=5000$, поглощается орбитой $83$ при $B_{\max}=20000$: путь $\varphi(83)$ удлиняется и входит в орбиту $121$. Таким образом, часть семян, наблюдаемых при малом $B_{\max}$, является артефактом обрыва орбит.

Наблюдение 6. Все найденные примитивные семена нечётны:

$$ 1,\ 73,\ 83,\ 143,\ 579,\ 1097,\ 1651,\ 2093,\ 2207,\ 2633. $$

Проверка всех $1500$ чётных чисел $b\le3000$ показала, что каждое из них вливается в одну из этих орбит. Ни одно чётное число не является началом собственной примитивной орбиты.

Наблюдение 7. Бассейны притяжения орбит неравномерны. Из $1500$ чётных чисел $b\le3000$ орбиты с семенами $1, 73, 83$ притягивают $1409$ ($94\%$); семя $143$ — $67$; семена $579, 1097, 1651$ — $24$ суммарно; семена $2093, 2207, 2633$ — ни одного.

Таблица 4. Бассейны притяжения примитивных орбит.

Наблюдение 8. Глубина вливания — число шагов до попадания в известную орбиту — распределена неравномерно: $182$ числа вливаются за один шаг, но есть длинный хвост до $53$ шагов. Наибольшая глубина — у $b=266$, вливающегося в орбиту $83$:

$$ 266\to356\to383\to509\to526\to\cdots\to7544\to8096. $$

Это показывает, что граф $\varphi$ содержит длинные «свободные» пути, прежде чем они вливаются в одну из магистральных орбит.

Гипотеза 1. Число примитивных орбит отображения $\varphi$ бесконечно.

Эмпирическое обоснование: при росте $B_{\text{init}}$ от $500$ до $3000$ число орбит выросло с $4$ до $10$, причём прирост не показывает признаков насыщения. Если бы число орбит было конечно, при достаточно большом $B_{\text{init}}$ новые семена перестали бы появляться.

Гипотеза 2. Всякое примитивное семя отображения $\varphi$ нечётно. Иными словами, для всякого чётного $b$ найдётся $b' \lt b$ с $\varphi^k(b')=b$ при некотором $k\ge1$.

Эмпирическое обоснование: все 10 найденных семян нечётны, а проверка $1500$ чётных чисел $b\le3000$ показала, что каждое вливается в одну из этих орбит.

5. Геометрические модификации

Условие минимальности — источник сложности последовательности $b_k$. Естественно спросить, что произойдёт, если заменить его алгебраическим правилом.

Определение 5. Геометрической модификацией назовём последовательность вида

$$ u_k=Z\cdot w^{k-1},\qquad w\in\mathbb{N},\ w\ge2,\ Z\in\mathbb{N}, $$

для которой существует примитивное решение $(X,Y,Z,T)$ уравнения $X^3+Y^3+Z^3=T^3$ такое, что $w=T/Z$ целое и на каждом шаге добавляется пара $w^{k-1}\cdot(X,Y)$.

Теорема 3. Для каждого $c\ge2$ тройка Чоудхри $(1,1,c)$ порождает геометрическую модификацию с множителем $w=c$ и параметрами

$$ X_c=c^4-2c,\qquad Y_c=2c^3-1,\qquad Z_c=c^3+1,\qquad T_c=c(c^3+1).\tag{6} $$

Доказательство. Подставляя $a=b=1$ в формулы (4), получаем приведённые выражения. Тождество $X_c^3+Y_c^3+Z_c^3=T_c^3$ проверяется прямой подстановкой выражений (6). Отношение $T_c/Z_c=c$ целое. Следовательно, $u_k=Z_p\cdot c^{k-1}$.

При $c\equiv2\pmod3$ четвёрка (6) имеет общий делитель $3$; примитивная версия получается делением на $\gcd(X_c,Y_c,Z_c,T_c)$, что даёт стартовое значение $Z_p$ из следствия к теореме 4.

Теорема 4. Наибольший общий делитель четырёх величин (6) равен

$$ g=\gcd(X_c,Y_c,Z_c,T_c)= \begin{cases} 3, & c\equiv2\pmod3,\\ 1, & c\not\equiv2\pmod3. \end{cases}\tag{7} $$

Доказательство. Пусть $p$ — простой делитель $g$. Из $p\mid Z_c=c^3+1$ и $p\mid Y_c=2c^3-1$ получаем $3\equiv0\pmod p$, значит $p=3$. Далее, $3\mid Y_c$ тогда и только тогда, когда $c\equiv2\pmod3$. При этом $X_c\equiv6c\equiv3\pmod9$, то есть $v_3(X_c)=1$, значит $v_3(g)=1$.

Следствие. Стартовое значение геометрической модификации равно

$$ Z_p=\frac{Z_c}{g}= \begin{cases} \dfrac{c^3+1}{3}, & c\equiv2\pmod3,\\ c^3+1, & c\not\equiv2\pmod3. \end{cases}\tag{8} $$

Пример. При $c=2$: $Z_p=3$, $w=2$, последовательность $3,6,12,24,48,\ldots$ При $c=3$: $Z_p=28$, $w=3$, последовательность $28,84,252,756,\ldots$ При $c=12$: $Z_p=1729$ — знаменитое число Рамануджана.

Наблюдение 9. Множество $\{Z_p:2\le c\le100\}$, задаваемое формулой (8), пересекается с исходной последовательностью $\{b_k\}$ ровно в двух точках:

$$ c=2:\ Z_p=3=b_1,\qquad c=3:\ Z_p=28=b_6. $$

Для всех $4\le c\le100$ число $Z_p$ не совпадает ни с одним $b_k\le 23\,116\,160$.

Таким образом, геометрические модификации образуют бесконечное семейство полностью предсказуемых последовательностей, но не являются подпоследовательностями исходной $\{b_k\}$.

Это иллюстрирует общий принцип: жадный алгоритм на диофантовом уравнении порождает хаотическую, «универсальную» последовательность, тогда как алгебраическая фиксация даёт предсказуемость, но ценой потери связи с исходной задачей.

6. Рост последовательностей

Оценка роста $b_k$ — естественный вопрос, но строгие результаты здесь минимальны.

Предложение 4. Выполнены неравенства

$$ k+2\le b_k\le3\cdot9^{\,k-1}. $$

Доказательство. Нижняя граница: $b_{k+1}\ge b_k+1$, так как $\varphi(b)>b$. Верхняя: при $b=1$ есть решение $1^3+8^3+6^3=9^3$. Масштабируя на $b_k$, получаем $b_{k+1}\le9b_k$.

Промежуток между границами велик, и всё, что можно сказать точнее, — эмпирика.

Наблюдение 10. По выборке из 1500 шагов ($b_{1501}=23\,116\,160$) мгновенный локальный показатель

$$ p(k)=\frac{\log(b_{k+1}/b_k)}{\log((k+1)/k)} $$

колеблется в чрезвычайно широком диапазоне — от $0.0017$ до $63.3$. Столь широкий разброс означает, что мгновенный показатель не является устойчивой характеристикой роста и требует сглаживания.

Наблюдение 11. Сглаживание по окну $250$ даёт значения около $2.48$ в начале выборки, медленно убывающие до $2.29$ в конце. На доступном диапазоне сглаженный показатель не выходит на плато; его предельное значение, по-видимому, лежит между $2$ и $2.5$.

Подгонка трёх моделей в логарифмическом масштабе:

Таблица 5. Подгонка моделей роста.

Третья модель значимо лучше по AIC и BIC. Её коэффициенты

$$ p=4.38\pm0.03,\qquad\beta=-7.65\pm0.12, $$

а формальный локальный показатель

$$ \frac{d\log b_k}{d\log k}=p+\frac{\beta}{2\sqrt{\log k}} $$

при $k\approx1400$ даёт $\approx2.96$.

Наблюдение 12. Три метода дают разные оценки показателя роста:

• сглаженный мгновенный показатель: $\approx2.3$, медленно убывает;
• хвостовая регрессия по последним $500$ точкам: $p\approx2.9$;
• формальный показатель лучшей модели: $\approx2.96$ на хвосте.

Расхождение объясняется тем, что хвостовая регрессия и третья модель опираются на редкие крупные скачки $b_k$, тогда как сглаженный показатель усредняет все шаги, включая множество мелких.

Вывод. В исследованном диапазоне $k\le1501$ величина $b_k$ растёт промежуточно между $k^2$ и $k^3$. Все три оценки показателя лежат в интервале $2.3$–$3.0$, но не сходятся между собой. Точная асимптотическая форма роста — чистая степень, степень с логарифмической поправкой или иной закон — на текущих данных не установлена.

7. Заключение

Мы описали последовательность $b_k$, порождаемую жадным алгоритмом на уравнении $x^3+y^3+z^3=t^3$. Установлены следующие результаты.

• Последовательности $a_n$ и $b_k$ бесконечны; в последовательности $a_n$ не может быть циклов или бесконечного числа совпадающих пар (теорема 1).
• Для всякого шага выполнена двойная факторизация

$$ b_{k+1}^3-b_k^3=d_kQ_k=S_1M_2, $$

и при $\gcd(a_{2k},a_{2k+1})=1$ все простые делители нормы $M_2$ равны $3$ или $\equiv1\pmod6$ (теорема 2). - Отображение $\varphi$ не имеет циклов; все его орбиты — бесконечные в одном направлении пути (лемма 2 и следствие). - Для каждого $c\ge2$ тройка Чоудхри $(1,1,c)$ порождает геометрическую модификацию с множителем $w=c$, стартовым значением $Z_p$ по формуле (8) и параметрами (6); общий делитель четвёрки равен $3$ при $c\equiv2\pmod3$ и $1$ в остальных случаях (теоремы 3, 4).

Эмпирически, по выборке из 1500 шагов до $b_{1501}=23\,116\,160$, установлено:

• последовательность почти целиком состоит из примитивных пар: $1471$ примитивных против $29$ производных; доля взаимно простых пар $\approx19.1\%$, что существенно ниже ожидаемых $60.8\%$;
• среди пар с $\gcd>1$ около $68\%$ удовлетворяют условию $\gcd(a_{2k},a_{2k+1})\mid b_k$;
• найдено ровно 30 случаев, когда масштабированная четвёрка снова удовлетворяет условию минимальности; наибольший блок — восемь подряд идущих шагов с $r=7$; часть умножений является композицией других;
• число примитивных орбит отображения $\varphi$ растёт с $B_{\text{init}}$: от $4$ при $B_{\text{init}}=500$ до $10$ при $B_{\text{init}}=3000$; рост $B_{\max}$ может приводить к слиянию орбит (орбита $121$ поглощается орбитой $83$ при переходе от $B_{\max}=5000$ к $B_{\max}=20000$);
• все найденные примитивные семена нечётны; проверка $1500$ чётных чисел $b\le3000$ показала, что каждое из них вливается в одну из нечётных орбит;
• бассейны притяжения орбит неравномерны: орбиты с семенами $1, 73, 83$ притягивают $94\%$ чётных чисел $b\le3000$, тогда как семена $2093, 2207, 2633$ не притягивают ни одного;
• среди геометрических модификаций с $2\le c\le100$ только две точки — $c=2$ и $c=3$ — совпадают с членами исходной последовательности.

Рост $b_k$ в исследованном диапазоне $k\le1501$ промежуточен между $k^2$ и $k^3$. Три метода оценки показателя дают разные значения: сглаженный мгновенный показатель убывает от $\approx2.48$ до $\approx2.29$ вдоль выборки, хвостовая регрессия по последним $500$ точкам даёт $\approx2.9$, а формальный показатель лучшей из трёх рассмотренных моделей — $\approx2.96$ на хвосте.

Расхождение объясняется тем, что эти методы измеряют разные характеристики: сглаженный — типичный шаг, хвостовая регрессия — накопленный рост на последних точках, формальная модель — предельный показатель при данной параметризации.

На доступном диапазоне ни один из методов не даёт устойчивого плато, и точная асимптотическая форма роста — чистая степень, степень с логарифмической поправкой или иной закон — не установлена.

Открытые вопросы:

1. Достаточное условие «родительства»: когда пара $(a_{2k},a_{2k+1})$ порождает масштабированную копию в последовательности. Необходимые условия (малость $d_k$, примитивность, кратность) найдены эмпирически, но не являются достаточными.
2. Истинная асимптотика роста $b_k$. Существующие оценки лежат между линейной и экспоненциальной; эмпирически рост полиномиален с показателем в интервале $2.3$–$3.0$, но точное значение требует существенно больших $k$.
3. Какова асимптотика числа примитивных орбит отображения $\varphi$ при $B_{\text{init}}\to\infty$? Растёт ли оно линейно, как $\sqrt{B_{\text{init}}}$, или иначе?
4. Верно ли, что все примитивные семена $\varphi$ нечётны?
5. Существует ли в последовательности $b_k$ нетривиальная бесконечная подпоследовательность с явным аналитическим законом, или все предсказуемые фрагменты — короткие геометрические ветви, обрывающиеся через один-два шага?

Список литературы

1. Гуляев Г. Компьютер в помощь математике. Исследование и поиск. // ArxivOrg.Ru. — 2026. — URL: https://arxivorg.ru/a/AX-134231.
2. Choudhry A. On Equal Sums of Cubes. Mathematics of Computation, 1998.
3. Sloane N. J. A. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A018930.
4. Ireland K., Rosen M. A Classical Introduction to Modern Number Theory. Springer, 1990.
5. Hardy G. H., Wright E. M. An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford, 1938.