Диофантово уравнение $x^2 + d y^2 = 4n^2$ и целочисленные циклические многоугольники

Диофантово уравнение \(x^2 + d y^2 = 4n^2\) и целочисленные циклические многоугольники Георгий Гуляев

1. Введение

В работе [1] была поставлена задача о размещении на окружности с целым радиусом вершин ломаной с целочисленными длинами звеньев \(a_1<a_2< \dots <a_k\) так, чтобы она замкнулась во вписанный k-угольник (последняя вершина совпала бы с первой) или же оказалась вписанной в половину окружности (начало и конец ломаной лежали бы на концах диаметра окружности).

В результате исследования данной задачи, в [1] было доказано несколько утверждений, описывающих требуемые условия ее решения, приведены алгоритмы и программы для компьютера, а также множество примеров найденных ломаных и многоугольников.

В работе [2] исследования поставленной задачи продолжились. Выяснилось, что длины \(x\) подходящих хорд для ломаной, вписанной в половину окружности, определяются решениями уравнения в натуральных числах \[x^2 + d y^2 = 4n^2, \; 0<x<2n, y>0, \eqno (1)\] где \(n\) - радиус окружности, а \(d\) - некоторое бесквадратное натуральное число.

Была найдена удобная формула для точной проверки возможности вписать ломаную в половину окружности, доказана лемма о единственности бесквадратной части \(d\) и теорема о числе решений уравнения (1) при \(d = 3\) для сфенических чисел \(n = pqr\), все простые числа \(p,q,r\) которых имеют вид \(3k + 1\).

В утверждениях и примерах в [1-2] рассматривались, в основном, вписанные в полуокружность ломаные, состоящие из нечетного числа звеньев, поскольку четное их число появляется только при \(d = 1\) и они определяются пифагоровыми тройками.

В настоящей работе результаты работ [1-2] обобщаются на любые натуральные радиусы \(n\) и исследуются ломаные, вписанные в дуги окружности, как с четным, так и с нечетным количеством звеньев.

2. Постановка задачи и основные теоремы

Следуя работе [1], поставим задачу о нахождении вписанных в окружность с целым радиусом \(n\) многоугольников с разными целыми сторонами и вписанных ломаных с разными целыми звеньями в дуги окружности с целым радиусом \(n\).

Рассмотрим общий случай ломаной \[L = \{x_i\}, \; x_i \in \mathbb {N}, \forall \; i \in \{1,2,\dots,k\}, \; x_1 < x_2 < \dots < x_k < 2n, \eqno(2)\] звенья \(x_i\) которой мы последовательно откладываем на окружности радиуса \(n\). По построению, всегда будем подразумевать, что ломаная \(L\) не имеет разрывов и самопересечений, то есть, сумма стягиваемых ею дуг не превосходит \(2 \pi\).

Проведем из центра окружности радиусы в каждую вершину ломаной (2) и обозначим углы, с вершинами в центре окружности, через \(\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_k\), соответственно сторонам \(x_1,x_2,\dots,x_k\) (рисунок 1).

Определение 1. Будем говорить, что ломаная (2) вписана в дугу \(\varphi\) окружности радиуса \(n\), если \[\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_k = \varphi. \eqno(3)\]

Если \(\varphi = \pi\), ломаная вписана в полуокружность. Если \(\varphi = 2\pi\), ломаная является многоугольником, вписанным в окружность.

center

\\ Рисунок 1. Геометрия вписанной ломаной. center

Опустив перпендикуляры из центра окружности на стороны ломаной, из полученных прямоугольных треугольников выводим соотношения (рисунок 1): \[\sin\left(\frac {\alpha_i} {2}\right) = \frac {x_i} {2n}, \quad \forall \; i \in \{1,2,\dots,k\}.\]

Таким образом, равенство \((3)\) оказывается эквивалентно следующему: \[\arcsin\left(\frac {x_1} {2n}\right) + \arcsin\left(\frac {x_2} {2n}\right) + \dots + \arcsin\left(\frac {x_k} {2n}\right) = \frac{\varphi}{2} \eqno(4)\]

Рассмотрим теперь \(k\) комплексных чисел \(z_1, z_2,\dots,z_k\) с рациональными мнимыми частями \(\frac {x_1} {2n}, \frac {x_2} {2n},\dots, \frac {x_k} {2n}\), лежащих на единичной окружности: \[z_1 = \sqrt {1 - \frac {x_1^2} {4n^2}} + \frac {x_1} {2n} i, \; z_2 = \sqrt {1 - \frac {x_2^2} {4n^2}} + \frac {x_2} {2n} i,\dots,z_k = \sqrt {1 - \frac {x_k^2} {4n^2}} + \frac {x_k} {2n} i. \eqno(5)\]

Теорема 1. Ломаная (2) будет вписана в дугу \(\varphi\) тогда и только тогда, когда произведение комплексных чисел (5) равно \(e^{\frac{i\varphi} 2}\): \[\prod_{j=1}^{k} z_j = e^{\frac {i \varphi} {2}}. \eqno(6)\]

Доказательство. Учитывая, что модули \(|z_1| = |z_2| = \dots =|z_k| = 1\), а аргументы равны соответственно \(\arcsin\left(\frac {x_1} {2n}\right), \arcsin\left(\frac {x_2} {2n}\right),\dots, \arcsin\left(\frac {x_k} {2n}\right)\), перепишем наши числа (5) в показательной форме: \[z_1 = e^{i \arcsin\left(\frac {x_1} {2n}\right)}, \; z_2 = e^{i \arcsin\left(\frac {x_2} {2n}\right)}, \dots, \; z_k = e^{i \arcsin\left(\frac {x_k} {2n}\right)}.\] Тогда их произведение равно: \[\prod_{j=1}^{k} z_j = e^{i \sum\limits_{j=1}^{k} \arcsin\left(\frac {x_j} {2n}\right)} = e^{\frac {i \varphi} {2}}.\]

Обратно, пусть выполняется (6), тогда \[\sum_{j=1}^{k} \arcsin\left(\frac {x_j} {2n}\right) = \frac {\varphi} {2} + 2 \pi m, \quad m \in \mathbb {Z}.\] По построению ломаной (2), геометрическая сумма дуг не превышает \(2\pi\), следовательно, \(m = 0\). Теорема доказана.

Следствие 1. Для полуокружности (\(\varphi = \pi\)): \[\prod_{j=1}^{k} z_j = e^{\frac{i\pi} {2}} = i.\]

Следствие 2. Для окружности (\(\varphi = 2\pi\)): \[\prod_{j=1}^{k} z_j = e^{i\pi} = -1.\]

Каждая хорда \(x_j\), вписанная в окружность радиуса \(n\), стягивает центральный угол \(\alpha_j\). Построим прямоугольный треугольник, где гипотенузой является диаметр \(2n\), а одним из катетов — хорда \(x_j\) (рисунок 2). center

\\ Рисунок 2. Построение сопряженного катета. center Длина второго катета по теореме Пифагора равна \(\sqrt{4n^2 - x_j^2}\). Выделим наибольший полный квадрат из подкоренного выражения для каждого индекса \(j\): \[4n^2 - x_j^2 = d_j \cdot y_j^2. \eqno(7)\]

Бесквадратные натуральные числа \(d_j\) в формулах (7) определяются однозначно для каждого \(x_j < 2n\). Комплексные числа (5) для каждой хорды \(x_j\) теперь принимают вид: \[z_j = \frac{y_j \sqrt{d_j} + i x_j}{2n}, \quad j \in \{1,2,\dots,k\}, \eqno(8)\] и, с учетом этого, равенство (6) можно записать так: \[\frac{\prod\limits_{j=1}^{k} (y_j \sqrt{d_j} + i x_j)} {(2n)^k} = e^{\frac{i\varphi} {2}}. \eqno(9)\] Некоторые (или даже все) \(d_j\) здесь могут оказаться равными 1, и соответствующие радикалы исчезнут. А в том случае, когда \(x_j = 2n\) - диаметр (такое может быть только для одной стороны вписанного многоугольника), \(y_j = 0\) и \(d_j\) - неопределено.

В любом случае, \(d_j = 1\) или \(x_j = 2n\) для некоторого \(j\) приводят к исчезновению радикала в формулах (9). Поэтому, говоря о радикалах \(\sqrt d_j\), далее мы будем подразумевать \(d_j>1\), то есть полагать, что все радикалы существуют явно.

Лемма 1. Если \(d>1\) - бесквадратное натуральное число, то при последовательном умножении k комплексных чисел вида \(A_j \sqrt d + i B_j, \; A_j, B_j \in \mathbb {Q}\), радикал \(\sqrt d\) в произведении будет перемещаться из действительной части во мнимую и обратно при каждом умножении. Конечный результат умножения будет иметь вид \(A + i B \sqrt d\) при четном \(k\) и \(A \sqrt d + i B\) при нечетном, где \(A\) и \(B\) - некоторые рациональные числа.

Доказательство. Следует из равенств для \(A,B,C,D \in \mathbb {Q}\): \[(A \sqrt d + i B)(C \sqrt d + i D) = ACd - BD + i (AD + BC)\sqrt d\] \[(A \sqrt d + i B)(C + i D \sqrt d) = (AC - BD) \sqrt d + i (ADd + BC).\] Из этих равенств, очевидно, что радикал \(\sqrt d\) может исчезнуть только при нечетном числе сомножителей.

Лемма 2. Произведение двух комплексных чисел \(a+bi\) и \(c+di, \; a,b,c,d \in \mathbb R\), лежащих на единичной окружности, тогда и только тогда равно \(i\), когда \(c = b\) и \(d = a\), то есть когда \(c+di = b+ai\).

Доказательство. Так как оба числа находятся на единичной окружности, то \(a^2+b^2=1\) и \(c^2+d^2=1\). Очевидно, \((a+bi) \cdot (b+ai) = (a^2+b^2) \cdot i = i\). Обратно, из условия \((a+bi) \cdot (c+di) = i\) следует \[\begin{cases} ac-bd=0\\ ad+bc=1\\ \end{cases}\] Умножив второе равенство на \(c\) и воспользовавшись тем, что \(ac=bd\) из первого равенства, получим \(acd + bc^2 = bd^2 + bc^2 = b(d^2+c^2) = b = c\).

Теперь, подставив \(c\) вместо \(b\) в первой равенство, находим \(a = d\). Что и требовалось доказать.

Согласно лемме 1, если число \(z\) лежит на единичной окружности, то для того чтобы получить \(i\) в произведении его с другим числом, достаточно его умножить на \(w = \operatorname{Im}(z) + \operatorname{Re}(z) i\).

Следствие 3. Для любого числа \(k>1\) комплексных чисел \(z_j\), лежащих на единичной окружности: \[\prod_{j=1}^{k} z_j = i \; \Leftrightarrow \; z_k = \operatorname{Im}(\prod_{j=1}^{k-1} z_j)+\operatorname{Re}(\prod_{j=1}^{k-1} z_j) i.\] Доказательство. Непосредственно вытекает из леммы 2.

Следствие 4. Пусть \(z_1, \dots, z_k\) — комплексные числа на единичной окружности, и \(\prod\limits_{j=1}^k z_j = i\). Тогда для любого разбиения множества \(\{1, \dots, k\}\) на два непустых подмножества \(S\) и \(T\) комплексные числа \(P_S = \prod\limits_{j \in S} z_j\) и \(P_T = \prod\limits_{j \in T} z_j\) лежат на единичной окружности и имеют вид: \[P_S = a + bi, \qquad P_T = b + ai.\]

Доказательство. Очевидно, \(P_S\) и \(P_T\) лежат на единичной окружности и \(P_S P_T = i\). По лемме 2, если \(P_S = a + b i\), то \(P_T = b + a i\).

Теорема 2. Пусть ломаная (2) вписана в дугу \(\varphi\) окружности радиуса \(n\), и \(d_j\) — бесквадратные части, определённые равенством (7). Тогда:

1. Если \(\varphi = \pi\) (полуокружность), то все \(d_j\) равны между собой: \[d_1 = d_2 = \dots = d_k = d.\]
2. Если \(\varphi = 2\pi\) (полная окружность), то среди \(d_j\) найдётся не более двух различных чисел.
3. Если \(0 < \varphi < 2\pi\) и \(\varphi \neq \pi\), то число различных \(d_j\) ограничено только количеством звеньев ломаной \(k\).

Доказательство.

Случай 1: \(\varphi = \pi\) (полуокружность).

Формула (9) и следствие 1 в этом случае дают нам равенство:

\[\prod_{j=1}^{k} (\frac{y_j \sqrt{d_j}} {2n} + i \frac{x_j} {2n}) = i. \eqno (10)\]

Пусть \(d_1, \dots, d_m \; (1< m \le k)\) — все попарно различные, мультипликативно независимые значения среди исходных \(d_j\). То есть, если есть мультипликативная зависимость, например \(d_\alpha = d_{\alpha,1}d_{\alpha,2}\dots d_{\alpha,s}\), то, выделяем мультипликативный базис в линейном пространстве всех \(d_j\) с операцией \(a \oplus b = \operatorname{sf}(ab)\) (бесквадратная часть произведения) и выражаем все зависимые \(d_j\), через элементы базиса.

Заменим в формуле (10) все произведения с одинаковыми \(d_j\) одним числом, перемножая их. По лемме 1, формула (10) примет вид: \[\prod_{j=1}^{s} (A_j \sqrt{d_j} + i B_j) \prod_{j=s+1}^{m} (C_j + i D_j \sqrt{d_j}) = i,\] где \(A_j, B_j, C_j, D_j \in \mathbb{Q}\).

Тогда, по следствию 4, \[\prod_{j=1}^{s} (A_j \sqrt{d_j} + i B_j) = a + bi, \quad \prod_{j=s+1}^{m} (C_j + i D_j \sqrt{d_j}) = b+ai.\] Предположим, что \(m = 2\). Тогда, возможны варианты: \(s = 0,1\) или \(2\). Если \(s = 0\), то первого равенства нет, есть только второе: \[(C_1 + i D_1 \sqrt d_1)(C_2 + i D_2 \sqrt d_2 ) = i \text { или}\] \[C_1C_2 - D_1D_2\sqrt {d_1d_2} + i (C_1D_2\sqrt d_2 + D_1C_2\sqrt d_1) = i \text { или }\] \[\begin{cases} C_1C_2 - D_1D_2\sqrt {d_1d_2} = 0\\ C_1D_2\sqrt d_2 + D_1C_2\sqrt d_1 = 1. \end{cases}\] Первое равенство возможно при \(d_1 = d_2\), но второе не может быть выполнено. Если \(s = 1\), то \[A_1 \sqrt{d_1} + i B_1 = a + bi, \quad C_2 + i D_2 \sqrt{d_2} = b+ai \text { или }\] \[\begin{cases} A_1 \sqrt{d_1} = D_2 \sqrt{d_2}\\ B_1 = C_2. \end{cases}\] Первое равенство возможно только при \(d_1 = d_2\), второе при этом выполняется автоматически. Если s = 2, то \[(A_1 \sqrt{d_1} + i B_1)(A_2 \sqrt{d_2} + i B_2) = i \text { или }\] \[A_1A_2\sqrt {d_1d_2} - B_1B_2 + i (A_1B_2\sqrt d_1 + B_1A_2\sqrt d_2) \text { или}\] \[\begin{cases} A_1A_2\sqrt {d_1d_2} - B_1B_2 = 0\\ A_1B_2\sqrt d_1 + B_1A_2\sqrt d_2 = 1. \end{cases}\]

Первое равенство возможно при \(d_1 = d_2\), но второе не может быть выполнено.

Итак, если \(m = 2\), то \(d_1 = d_2\).

Пусть теперь \(m \geq 3\). Рассмотрим сомножитель с \(d_1\). Он имеет вид \(A_1\sqrt{d_1} + iB_1\) или \(C_1 + iD_1\sqrt{d_1}\). Обозначим его через \(T_1\), а произведение всех остальных сомножителей — через \(R: T_1 \cdot R = i.\)

По следствию 4 (лемма 2), если оба числа \(T_1\) и \(R\) лежат на единичной окружности, то \(R = \operatorname{Im}(T_1) + \operatorname{Re}(T_1)\, i.\)

По этой формуле, если \(T_1 = A_1\sqrt{d_1} + iB_1\), то \(R = B_1 + iA_1\sqrt{d_1}\), а если \(T_1 = C_1 + iD_1\sqrt{d_1}\), то \(R = D_1\sqrt{d_1} + iC_1.\)

С другой стороны, \(R\) есть произведение сомножителей с \(d_j \neq d_1\). По лемме 1, раскрывая \(R\), мы получаем выражение, содержащее только радикалы \(\sqrt{d_j}\) при \(j \geq 2\) и их произведения. Радикал \(\sqrt{d_1}\) в нём не появляется (в силу независимости \(d_j\)).

Таким образом, радикала \(\sqrt{d_1}\) в \(R\) быть не может и, при первом выборе \(T_1\), должно выполняться: \(A_1\sqrt{d_1} = 0\), откуда \(A_1 = 0\), а при втором: \(D_1\sqrt{d_1} = 0\), откуда \(D_1 = 0\).

В обоих случаях \(T_1\) не содержит радикала. Так как \(|T_1| = 1\), имеем \(T_1 \in \{\pm 1, \pm i\}.\) С другой стороны, \(T_1\), в общем случае, есть произведение сомножителей \(z_j\) с \(d_j = d_1\), соответствующих некоторым звеньям ломаной с положительными центральными углами.

Значит, \(0 < \arg T_1 < \pi/2\). Противоречие с тем, что \(T_1 \in \{\pm 1, \pm i\}\).

Следовательно, \(m \geq 3\) невозможно. Вместе с разобранным случаем \(m = 2\) это даёт \(m = 1\), то есть все \(d_j\) равны.

Случай 2: \(\varphi = 2\pi\) (полная окружность).

Доказательство проводится аналогично случаю 1, с тремя отличиями.

Отличие 1. Формула (9) и следствие 2 дают \[\prod_{j=1}^{k} (\frac{y_j \sqrt{d_j}} {2n} + i \frac{x_j} {2n}) = -1.\] вместо \(i\).

Отличие 2. Аналог следствия 4 для произведения \(-1\): если \(P_S P_T = -1\) и оба числа лежат на единичной окружности, то \[P_T = -\frac{1}{P_S} = -\overline{P_S}.\] То есть, если \(P_S = a + bi\), то \(P_T = -a + bi\).

Отличие 3. При разборе \(m \geq 3\) выбираем сомножитель \(T_1\) с \(d_1\) и обозначаем \(R = T_2 \cdots T_m\). Тогда \(T_1 R = -1\), откуда \[R = -\overline{T_1}.\] Если \(T_1 = A_1\sqrt{d_1} + iB_1\), то \(R = -A_1\sqrt{d_1} + iB_1\); если \(T_1 = C_1 + iD_1\sqrt{d_1}\), то \(R = -C_1 + iD_1\sqrt{d_1}\). В обоих случаях \(R\) содержит \(\sqrt{d_1}\), если \(T_1\) его содержит. Но \(R\) есть произведение сомножителей с \(d_j \neq d_1\), значит, \(\sqrt{d_1}\) в нём не появляется. Следовательно, \(T_1\) не содержит радикала, и \(T_1 \in \{\pm 1, \pm i\}\).

Далее, \(\arg T_1\) лежит в \((0, \pi)\), так как сумма аргументов всех \(T_j\) равна \(\pi\), а аргументы остальных положительны. Из \(\{\pm 1, \pm i\}\) в этот интервал попадает только \(i\). Значит, \(T_1 = i\).

Тогда \(R = -\overline{i} = i\). Применяя те же рассуждения к \(R\), получаем, что каждый сомножитель в \(R\) тоже равен \(i\) (или \(R\) состоит из одного сомножителя). Но сумма аргументов \(R\) равна \(\pi/2\), а каждый сомножитель имеет аргумент \(\pi/2\) (если он равен \(i\)) или \(\pi\) (если он равен \(-1\)). Два сомножителя дали бы сумму \(\geq \pi > \pi/2\). Значит, \(R\) содержит не более одного сомножителя, то есть \(m - 1 \leq 1\), откуда
M60
— натуральное, бесквадратное,\)n\(разлагается на простые множители:
M48
где все простые больше двух и удовлетворяют условию
M49
Тогда число решений\)R_d(n)\(уравнения (1) задаётся формулами:
M0
где\)m = _i = 1^k (2 _i + 1)\(. \textbf{Доказательство}. Уравнение (1) можно рассматривать как представление числа\)4n^2\(в виде квадратичной формы\)x^2 + d y^2\(. Вопросы представления натуральных чисел квадратичными формами исследованы достаточно хорошо. Для доказательства теоремы мы воспользуемся результатами изложенными в книге Дирихле "Лекции по теории чисел" ([4], § 85–86). Количество представлений числа квадратичными формами зависит от дискриминанта формы, который в нашем случае равен -4d. Согласно [4], для исследуемых значений\)d\(общее число представлений\)N_ Z\(числа\)4n^2\(формой в целых числах\)(x, y) Z^2\(выражается через сумму символов Кронекера-Якоби по всем делителям числа: \begin{enumerate} \item Для\)d 3\((дискриминант\)-4d\() число целых решений исходного уравнения задаётся формулой:
M1
\item Для\)d = 3\((дискриминант\)-12\() число целых решений исходного уравнения задаётся формулой:
M2
\end{enumerate} По условию теоремы, все нечётные простые делители числа\)n = p_1^ _1 p_k^ _k\(удовлетворяют условию\) ( -dp_i ) = 1\(. Поскольку суммирование ведётся по делителям квадрата\)n^2 = p_1^2 _1 p_k^2 _k\(, для любого делителя\)m \(под знаком суммы символ Якоби равен единице:\) ( -4dm ) = 1 \) (или \( ( -3m ) = 1\(). Следовательно, сумма сводится к подсчёту общего количества делителей числа\)n^2\(, которое равно:
M3
Таким образом, количество решений в целых числах составляет:
M4
Для перехода к решениям\)R_d(n)\(в натуральных числах (\)x > 0, y > 0\() необходимо исключить решения, лежащие на осях координат, и учесть симметрию знаков: \begin{enumerate} \item Подстановка\)y = 0\(в уравнение (1) даёт\)x^2 = 4n^2 \(, откуда\)x = 2n\(, что даёт ровно 2 целых решения. Подстановка\)x = 0\(не даёт решений, так как\)d\(бесквадратное и\)d > 1\(. Вычитаем эти две осевые точки:\)N_ Z - 2\(. \item Каждому решению в натуральных числах соответствует ровно 4 комбинации знаков (\) x, y\() в целых числах. \end{enumerate} Разделив оставшееся количество целых решений на 4, получаем искомый результат: При\)d = 3\(:
M5
При\)d 3\(:
M6
Теорема доказана. Попробуем экспериментально исследовать, как в зависимости от\)d\(изменяется с ростом\)n\(число решений уравнения (1), то есть число хорд. На языке Julia напишем функцию max\_chords(d), в которой будем выводить число хорд для\)n\(, когда это число превосходит предыдущее максимальное значение. \begin{verbatim} function chords(n,d) m = div(2*n, isqrt(d)) res = Int64[] for y in 1:m rem2 = 4*Int128(n)^2 - d*y^2 if rem2 > 0 x = isqrt(rem2) if x^2 == rem2 push!(res, x) end end end sort!(res) end function max_chords(d) m = 0 for n in 2:100000 k = length(chords(n,d)) if k > m println(string(n,", ",factor(Vector,n),", хорд: ",k)) m = k end end end \end{verbatim} Функция chords(n,d) по\)n\(и\)d\(перебором вычисляет все длины хорд - решения уравнения (1). Почему мы не использовали готовые формулы из теоремы 4? Дело в том, что теорема 4 требует выполнения условий, налагаемых на простые множители\)n\(, которые, в общем случае, не всегда выполняются. Функция max\_chords(d) выводит по данному\)d\(число\)n\(, его разложение на простые множители и число решений уравнения (1) - число хорд для построения ломаной или многоугольника, вписанных в полуокружность или окружность радиуса\)n\(. \begin{verbatim} julia> max_chords(1) 5, [5], хорд: 2 25, [5, 5], хорд: 4 65, [5, 13], хорд: 8 325, [5, 5, 13], хорд: 14 1105, [5, 13, 17], хорд: 26 5525, [5, 5, 13, 17], хорд: 44 27625, [5, 5, 5, 13, 17], хорд: 62 32045, [5, 13, 17, 29], хорд: 80 \end{verbatim} Если\)d = 1\(, то решениями уравнения (1) являются пифагоровы тройки. Как будет показано в следующем разделе, этот случай подходит для построения, вписанных в полуокружность радиуса\)n\(ломаных, состоящих из четного числа звеньев. Отмечаем простые делители радиусов, дающих максимум хорд в этом случае:\)5,13,17,29,...\(. \newpage \begin{verbatim} julia> max_chords(2) 3, [3], хорд: 1 9, [3, 3], хорд: 2 27, [3, 3, 3], хорд: 3 33, [3, 11], хорд: 4 99, [3, 3, 11], хорд: 7 297, [3, 3, 3, 11], хорд: 10 561, [3, 11, 17], хорд: 13 1683, [3, 3, 11, 17], хорд: 22 5049, [3, 3, 3, 11, 17], хорд: 31 10659, [3, 11, 17, 19], хорд: 40 31977, [3, 3, 11, 17, 19], хорд: 67 95931, [3, 3, 3, 11, 17, 19], хорд: 94 julia> max_chords(3) 2, [2], хорд: 1 7, [7], хорд: 4 49, [7, 7], хорд: 7 91, [7, 13], хорд: 13 637, [7, 7, 13], хорд: 22 1729, [7, 13, 19], хорд: 40 12103, [7, 7, 13, 19], хорд: 67 53599, [7, 13, 19, 31], хорд: 121 julia> max_chords(5) 3, [3], хорд: 1 9, [3, 3], хорд: 2 21, [3, 7], хорд: 4 63, [3, 3, 7], хорд: 7 189, [3, 3, 3, 7], хорд: 10 441, [3, 3, 7, 7], хорд: 12 483, [3, 7, 23], хорд: 13 1323, [3, 3, 3, 7, 7], хорд: 17 1449, [3, 3, 7, 23], хорд: 22 4347, [3, 3, 3, 7, 23], хорд: 31 10143, [3, 3, 7, 7, 23], хорд: 37 13041, [3, 3, 3, 3, 7, 23], хорд: 40 30429, [3, 3, 3, 7, 7, 23], хорд: 52 42021, [3, 3, 7, 23, 29], хорд: 67 \end{verbatim} Для\)d = 2\(число хорд растет на радиусах, содержащих в разложении простые\)3,11,17,19,...\(. Особый случай\)d = 3\(. Тут число хорд растет быстрее, чем для других\)d\(и это отражено и в том числе в формулах теоремы 4. Простые делители\)2,7,13,19,31,...\(. Для\)d = 5\(простые делители\)3,7,23,29,...\(. Для сравнения перепишем программу max\_chords(d), теперь основываясь на формулах из теоремы 4. В ней перебираются только такие\)n\(, для всех простых делителей которых, соответствующий символ Лежандра равен 1:\) ( -dp ) = 1\(. \begin{verbatim} function max_chords(d) m = 0 for n in 2:100000 r = 1; a = Vector{Int64}() for (p,k) in factor(n) if legendresymbol(-d,p) != 1 r = 1 break end r*=(2*k+1) for i in 1:k push!(a,p) end end c = div(r-1,2) if d == 3 c = div(3*r-1,2) end if c > m println(string(n," = ",a,", хорд: ",c)) m = c end end end julia> max_chords(2) 3 = [3], хорд: 1 9 = [3, 3], хорд: 2 27 = [3, 3, 3], хорд: 3 33 = [3, 11], хорд: 4 99 = [3, 3, 11], хорд: 7 297 = [3, 3, 3, 11], хорд: 10 561 = [3, 11, 17], хорд: 13 1683 = [3, 3, 11, 17], хорд: 22 5049 = [3, 3, 3, 11, 17], хорд: 31 10659 = [3, 11, 17, 19], хорд: 40 31977 = [3, 3, 11, 17, 19], хорд: 67 95931 = [3, 3, 3, 11, 17, 19], хорд: 94 julia> max_chords(3) 2 = Int64[], хорд: 1 7 = [7], хорд: 4 49 = [7, 7], хорд: 7 91 = [7, 13], хорд: 13 637 = [7, 7, 13], хорд: 22 1729 = [7, 13, 19], хорд: 40 12103 = [7, 7, 13, 19], хорд: 67 53599 = [7, 13, 19, 31], хорд: 121 julia> max_chords(5) 3 = [3], хорд: 1 9 = [3, 3], хорд: 2 21 = [3, 7], хорд: 4 63 = [3, 3, 7], хорд: 7 189 = [3, 3, 3, 7], хорд: 10 441 = [3, 3, 7, 7], хорд: 12 483 = [3, 7, 23], хорд: 13 1323 = [3, 3, 3, 7, 7], хорд: 17 1449 = [3, 3, 7, 23], хорд: 22 4347 = [3, 3, 3, 7, 23], хорд: 31 10143 = [3, 3, 7, 7, 23], хорд: 37 13041 = [3, 3, 3, 3, 7, 23], хорд: 40 30429 = [3, 3, 3, 7, 7, 23], хорд: 52 42021 = [3, 3, 7, 23, 29], хорд: 67 \end{verbatim} Получили полное совпадение. Это говорит о том, что максимумы числа хорд достигаются как раз на числах\)n\(, удовлетворяющих теореме 4. Добавим аналогичные данные еще для нескольких d: \begin{verbatim} julia> max_chords(7) 2, [2], хорд: 1 4, [2, 2], хорд: 2 8, [2, 2, 2], хорд: 3 16, [2, 2, 2, 2], хорд: 4 32, [2, 2, 2, 2, 2], хорд: 5 44, [2, 2, 11], хорд: 7 88, [2, 2, 2, 11], хорд: 10 176, [2, 2, 2, 2, 11], хорд: 13 352, [2, 2, 2, 2, 2, 11], хорд: 16 704, [2, 2, 2, 2, 2, 2, 11], хорд: 19 1012, [2, 2, 11, 23], хорд: 22 2024, [2, 2, 2, 11, 23], хорд: 31 4048, [2, 2, 2, 2, 11, 23], хорд: 40 8096, [2, 2, 2, 2, 2, 11, 23], хорд: 49 16192, [2, 2, 2, 2, 2, 2, 11, 23], хорд: 58 29348, [2, 2, 11, 23, 29], хорд: 67 58696, [2, 2, 2, 11, 23, 29], хорд: 94 julia> max_chords(11) 3, [3], хорд: 1 9, [3, 3], хорд: 2 15, [3, 5], хорд: 4 45, [3, 3, 5], хорд: 7 135, [3, 3, 3, 5], хорд: 10 225, [3, 3, 5, 5], хорд: 12 345, [3, 5, 23], хорд: 13 675, [3, 3, 3, 5, 5], хорд: 17 1035, [3, 3, 5, 23], хорд: 22 3105, [3, 3, 3, 5, 23], хорд: 31 5175, [3, 3, 5, 5, 23], хорд: 37 9315, [3, 3, 3, 3, 5, 23], хорд: 40 15525, [3, 3, 3, 5, 5, 23], хорд: 52 32085, [3, 3, 5, 23, 31], хорд: 67 77625, [3, 3, 3, 5, 5, 5, 23], хорд: 73 96255, [3, 3, 3, 5, 23, 31], хорд: 94 julia> max_chords(13) 7, [7], хорд: 1 49, [7, 7], хорд: 2 77, [7, 11], хорд: 4 539, [7, 7, 11], хорд: 7 1309, [7, 11, 17], хорд: 13 9163, [7, 7, 11, 17], хорд: 22 24871, [7, 11, 17, 19], хорд: 40 \end{verbatim} Приведенные данные однозначно указывает на то, что для любого\)d\(количество решений уравнения (1) с ростом\)n\(неограниченно растет. \textbf{Теорема 5}. Количество хорд для ломаной радиуса\)n\((решений уравнения (1)) с ростом\)n\(неограниченно растет, то есть, для любого бесквадратного\)d\(и для любого натурального\)N\(существует такое натуральное\)n\(, для которого число решений уравнения (1) в натуральных числах строго больше\)N\(. \textbf{Доказательство}. Для доказательства воспользуемся полученными в теореме 4 формулами для числа решений уравнения (1). В условиях теоремы 4 символ Лежандра\) ( -dp )\(зависит только от остатка\)p\(по модулю\)4d\(. Это следует из свойств символа Лежандра и квадратичного закона взаимности. Иными словами, если два простых числа\)p\(и\)q\(сравнимы по модулю\)4d\(, то\) ( -dp )= ( -dq )\(. Поскольку\) ( -dp )\(принимает значение 1 для некоторого класса вычетов\)a\(по модулю\)4d\((взаимно простого с\)4d\(), то, по известной теореме Дирихле о бесконечности простых чисел в арифметических прогрессиях , в этом классе существует бесконечно много простых чисел. Следовательно, условие\) ( -dp )=1\(выполняется для бесконечного множества простых чисел. Выберем из этого бесконечного множества\)s\(различных нечётных простых чисел:\)p_1, p_2, , p_s\(. Сконструируем натуральное число\)n\(как их произведение:
M50
Поскольку все\)p_i\(различны, в каноническом разложении числа\)n\(все показатели степеней\) _i = 1\(. По теореме 4, количество решений\)R_d(n)\(уравнения (1) в натуральных числах для данного\)n\(при\)d 3\(составляет:
M51
Таким образом, число решений строго равно\)R_d(n) = 3^s - 12\(. Для случая\)d=3\(решений будет\) 3 3^s - 12\(, то есть ещё больше. Чтобы преодолеть любую наперёд заданную границу\)N\(, достаточно выбрать количество простых множителей\)s\(таким, чтобы выполнялось неравенство:
M52
Поскольку запас таких простых чисел бесконечен, мы всегда можем выбрать число\)s\(, удовлетворяющее этому условию, что гарантирует\)R_d(n) > N\(. Теорема доказана. \subsection*{4. Ломаные, вписанные в половину окружности} В работах [1-2] было найдено много ломаных с разными целочисленными звеньями, вписанных в половину окружности с натуральными радиусами. В [1] эмпирически был обнаружен факт о едином бесквадратном\)d\(для таких ломаных, который здесь строго доказан в теореме 2, а также впервые была доказана формула для ломаных из трех звеньев ([1], формула (5)). Мы сформулируем и докажем этот результат в наиболее общей виде. \textbf{Теорема 6}. Для любого натурального радиуса окружности\)n\(и числа\)k\(звеньев ломаной\)x_j, \; j 1,2, ,k\(существует такой однородный многочлен степени\)k\(, с целыми коэффициентами\)M(x_1,x_2,...,x_k,n)\(, что множество решений уравнения
M53
описывает все возможные ломаные\)x_j\(, вписанные в половину окружности. В частных случаях\)k =1,2,3\(уравнение (11) имеет вид:
M54
\prod_{j=1}^{k} z_j = -1, \qquad z_j = \frac{y_j\sqrt{d} + ix_j}{2n}.
M55
\prod_{j=1}^{k} (y_j\sqrt{d} + ix_j) = A\sqrt{d} + iB, \qquad A, B \in \mathbb{Q}.
M56
|A\sqrt{d} + iB|^2 = A^2 d + B^2 = A^2 d.
M57
A^2 d = (2n)^{2k} \quad\Longrightarrow\quad A^2 = \frac{(2n)^{2k}}{d}.
M58
A_1 A_2 - B_1 B_2\sqrt{d_1} = -1, \qquad A_1 B_2 + B_1 A_2\sqrt{d_1} = 0.\)\(Из второго равенства\)A_1 B_2 = 0\(и\)B_1 A_2 = 0\(. Из первого, поскольку\)B_1 B_2 d_1\(иррационально при\)B_1 B_2 0\(, получаем\)B_1 B_2 = 0\(и\)A_1 A_2 = -1\(. Тогда\)A_1, A_2 1\(, поскольку\)|T_1| = |T_2| = 1\(и\)B_1 B_2 = 0\(, один из коэффициентов\)B\(равен нулю, и из\)A_i^2 + B_i^2( ) = 1\(следует\)A_i = 1\(для соответствующего\)i\(, а тогда и для другого.\)T_1, T_2\(- оба вещественны. Значит, один из аргументов равен 0 — противоречие с положительностью аргументов. Следовательно,\)d_2 1\(, то есть\)d_1 = 1\(. Тогда\)T_1 = A_1 + iB_1\(,\)T_2 = A_2 d_2 + iB_2\(. Из\)T_1 T_2 = -1\(получаем\)A_1 A_2 = 0\(,\)A_1 B_2 = 0\(,\)B_1 A_2 = 0\(. Единственное решение с\)|T_1| = |T_2| = 1\(:\)A_1 = A_2 = 0\(,\)B_1 B_2 = 1\(. Поскольку аргументы положительны и в сумме дают\) \(, получаем\)T_1 = T_2 = i\(. Итак, произведение сомножителей с\)d = 1\(равно\)i\(, то есть сумма центральных углов этих сторон равна\) \(. Их концы — вершины многоугольника, отстоящие на дугу\) \(, то есть диаметрально противоположные. Следовательно, диаметр\)2n\(является хордой. \subsection*{6. Таблица многоугольников\)(n 100)\(} Приведены все многоугольники, вписанные в окружности радиусов\)n 100\(. Если\)d = 0\(, то одна из сторон - диаметр, если\)d = 1$, то радикалов нет (пифагоровы тройки). verbatim n = 5: [6, 8, 10], d = [0, 1] n = 7: [2, 7, 11, 14], d = [0, 3] n = 8: [2, 9, 12, 16], d = [0, 7] n = 10: [12, 16, 20], d = [0, 1] n = 13: [10, 24, 26], d = [0, 1] [1, 13, 22, 26], d = [0, 3] [1, 10, 13, 22, 24], d = [1, 3] n = 14: [4, 14, 22, 28], d = [0, 3] n = 15: [18, 24, 30], d = [0, 1] [3, 14, 25, 30], d = [0, 11] [3, 14, 18, 24, 25], d = [1, 11] n = 16: [4, 18, 24, 32], d = [0, 7] [8, 17, 22, 32], d = [0, 15] [4, 8, 17, 18, 22, 24], d = [7, 15] n = 17: [16, 30, 34], d = [0, 1] n = 19: [11, 19, 26, 38], d = [0, 3] n = 20: [24, 32, 40], d = [0, 1] n = 21: [6, 21, 33, 42], d = [0, 3] [12, 22, 28, 42], d = [0, 5] [6, 12, 21, 22, 28, 33], d = [3, 5] n = 22: [12, 19, 33, 44], d = [0, 7] n = 24: [6, 27, 36, 48], d = [0, 7] n = 25: [14, 48, 50], d = [0, 1] [30, 40, 50], d = [0, 1] n = 26: [20, 48, 52], d = [0, 1] [2, 26, 44, 52], d = [0, 3] [2, 20, 26, 44, 48], d = [1, 3] n = 27: [10, 21, 45, 54], d = [0, 11] n = 28: [8, 28, 44, 56], d = [0, 3] n = 29: [40, 42, 58], d = [0, 1] n = 30: [36, 48, 60], d = [0, 1] [6, 28, 50, 60], d = [0, 11] [6, 28, 36, 48, 50], d = [1, 11] n = 31: [13, 31, 46, 62], d = [0, 3] n = 32: [8, 36, 48, 64], d = [0, 7] [16, 34, 44, 64], d = [0, 15] [8, 16, 34, 36, 44, 48], d = [7, 15] n = 33: [11, 39, 46, 66], d = [0, 35] [22, 34, 42, 66], d = [0, 2] [11, 22, 34, 39, 42, 46], d = [2, 35] n = 34: [32, 60, 68], d = [0, 1] [17, 28, 53, 68], d = [0, 15] [17, 28, 32, 53, 60], d = [1, 15] n = 35: [42, 56, 70], d = [0, 1] [6, 25, 63, 70], d = [0, 19] [10, 35, 55, 70], d = [0, 3] [14, 38, 50, 70], d = [0, 6] [6, 25, 42, 56, 63], d = [1, 19] [10, 35, 42, 55, 56], d = [1, 3] [14, 38, 42, 50, 56], d = [1, 6] [6, 10, 25, 35, 55, 63], d = [3, 19] [10, 14, 35, 38, 50, 55], d = [3, 6] [6, 14, 25, 38, 50, 63], d = [6, 19] n = 36: [3, 26, 66, 72], d = [0, 23] n = 37: [24, 70, 74], d = [0, 1] [26, 37, 47, 74], d = [0, 3] [24, 26, 37, 47, 70], d = [1, 3] n = 38: [19, 44, 49, 76], d = [0, 15] [22, 38, 52, 76], d = [0, 3] [19, 22, 38, 44, 49, 52], d = [3, 15] n = 39: [30, 72, 78], d = [0, 1] [3, 39, 66, 78], d = [0, 3] [13, 43, 57, 78], d = [0, 35] [3, 30, 39, 66, 72], d = [1, 3] [13, 30, 43, 57, 72], d = [1, 35] [3, 13, 39, 43, 57, 66], d = [3, 35] n = 40: [48, 64, 80], d = [0, 1] [28, 41, 50, 80], d = [0, 39] [10, 45, 60, 80], d = [0, 7] [28, 41, 48, 50, 64], d = [1, 39] [10, 45, 48, 60, 64], d = [1, 7] [10, 28, 41, 45, 50, 60], d = [7, 39] n = 41: [18, 80, 82], d = [0, 1] n = 42: [12, 42, 66, 84], d = [0, 3] [24, 44, 56, 84], d = [0, 5] [12, 24, 42, 44, 56, 66], d = [3, 5] n = 43: [22, 43, 61, 86], d = [0, 3] n = 44: [10, 55, 62, 88], d = [0, 39] [11, 24, 81, 88], d = [0, 7] [11, 38, 74, 88], d = [0, 7] [24, 38, 66, 88], d = [0, 7] [10, 11, 24, 55, 62, 81], d = [7, 39] [10, 11, 38, 55, 62, 74], d = [7, 39] [10, 24, 38, 55, 62, 66], d = [7, 39] n = 45: [54, 72, 90], d = [0, 1] [9, 35, 79, 90], d = [0, 11] [9, 42, 75, 90], d = [0, 11] [35, 42, 57, 90], d = [0, 11] [9, 35, 54, 72, 79], d = [1, 11] [9, 42, 54, 72, 75], d = [1, 11] [35, 42, 54, 57, 72], d = [1, 11] n = 46: [23, 43, 68, 92], d = [0, 15] [29, 36, 69, 92], d = [0, 7] [23, 29, 36, 43, 68, 69], d = [7, 15] n = 48: [12, 54, 72, 96], d = [0, 7] [24, 51, 66, 96], d = [0, 15] [12, 24, 51, 54, 66, 72], d = [7, 15] n = 49: [14, 23, 91, 98], d = [0, 3] [14, 49, 77, 98], d = [0, 3] [23, 49, 71, 98], d = [0, 3] n = 50: [28, 96, 100], d = [0, 1] [60, 80, 100], d = [0, 1] n = 51: [48, 90, 102], d = [0, 1] [17, 38, 87, 102], d = [0, 35] [6, 34, 94, 102], d = [0, 2] [17, 38, 48, 87, 90], d = [1, 35] [6, 34, 48, 90, 94], d = [1, 2] [6, 17, 34, 38, 87, 94], d = [2, 35] n = 52: [40, 96, 104], d = [0, 1] [4, 52, 88, 104], d = [0, 3] [6, 39, 94, 104], d = [0, 55] [4, 40, 52, 88, 96], d = [1, 3] [6, 39, 40, 94, 96], d = [1, 55] [4, 6, 39, 52, 88, 94], d = [3, 55] n = 53: [56, 90, 106], d = [0, 1] n = 54: [20, 42, 90, 108], d = [0, 11] n = 55: [66, 88, 110], d = [0, 1] [2, 44, 100, 110], d = [0, 21] [25, 59, 77, 110], d = [0, 51] [15, 34, 99, 110], d = [0, 19] [22, 50, 86, 110], d = [0, 6] [2, 44, 66, 88, 100], d = [1, 21] [25, 59, 66, 77, 88], d = [1, 51] [15, 34, 66, 88, 99], d = [1, 19] [22, 50, 66, 86, 88], d = [1, 6] [2, 25, 44, 59, 77, 100], d = [21, 51] [2, 15, 34, 44, 99, 100], d = [19, 21] [15, 25, 34, 59, 77, 99], d = [19, 51] [2, 22, 44, 50, 86, 100], d = [6, 21] [15, 22, 34, 50, 86, 99], d = [6, 19] [22, 25, 50, 59, 77, 86], d = [6, 51] n = 56: [4, 62, 91, 112], d = [0, 87] [7, 58, 92, 112], d = [0, 255] [42, 57, 68, 112], d = [0, 55] [14, 63, 84, 112], d = [0, 7] [16, 56, 88, 112], d = [0, 3] [4, 7, 58, 62, 91, 92], d = [87, 255] [4, 42, 57, 62, 68, 91], d = [55, 87] [7, 42, 57, 58, 68, 92], d = [55, 255] [4, 14, 62, 63, 84, 91], d = [7, 87] [7, 14, 58, 63, 84, 92], d = [7, 255] [14, 42, 57, 63, 68, 84], d = [7, 55] [4, 16, 56, 62, 88, 91], d = [3, 87] [7, 16, 56, 58, 88, 92], d = [3, 255] [16, 42, 56, 57, 68, 88], d = [3, 55] [14, 16, 56, 63, 84, 88], d = [3, 7] n = 57: [14, 38, 102, 114], d = [0, 2] [33, 57, 78, 114], d = [0, 3] [14, 33, 38, 57, 78, 102], d = [2, 3] n = 58: [80, 84, 116], d = [0, 1] n = 60: [72, 96, 120], d = [0, 1] [12, 56, 100, 120], d = [0, 11] [12, 56, 72, 96, 100], d = [1, 11] n = 61: [22, 120, 122], d = [0, 1] [47, 61, 74, 122], d = [0, 3] [22, 47, 61, 74, 120], d = [1, 3] n = 62: [4, 31, 119, 124], d = [0, 15] [26, 62, 92, 124], d = [0, 3] [4, 26, 31, 62, 92, 119], d = [3, 15] n = 63: [14, 36, 116, 126], d = [0, 5] [36, 66, 84, 126], d = [0, 5] [18, 63, 99, 126], d = [0, 3] [14, 18, 36, 63, 99, 116], d = [3, 5] [18, 36, 63, 66, 84, 99], d = [3, 5] n = 64: [7, 32, 122, 128], d = [0, 15] [32, 68, 88, 128], d = [0, 15] [16, 72, 96, 128], d = [0, 7] [7, 16, 32, 72, 96, 122], d = [7, 15] [16, 32, 68, 72, 88, 96], d = [7, 15] n = 65: [32, 126, 130], d = [0, 1] [50, 120, 130], d = [0, 1] [66, 112, 130], d = [0, 1] [78, 104, 130], d = [0, 1] [32, 50, 104, 130], d = [0, 1] [50, 66, 78, 130], d = [0, 1] [5, 65, 110, 130], d = [0, 3] [5, 32, 65, 110, 126], d = [1, 3] [5, 50, 65, 110, 120], d = [1, 3] [5, 65, 66, 110, 112], d = [1, 3] [5, 65, 78, 104, 110], d = [1, 3] [5, 32, 50, 65, 104, 110], d = [1, 3] [5, 50, 65, 66, 78, 110], d = [1, 3] n = 66: [22, 78, 92, 132], d = [0, 35] [36, 57, 99, 132], d = [0, 7] [44, 68, 84, 132], d = [0, 2] [22, 36, 57, 78, 92, 99], d = [7, 35] [22, 44, 68, 78, 84, 92], d = [2, 35] [36, 44, 57, 68, 84, 99], d = [2, 7] n = 67: [13, 67, 109, 134], d = [0, 3] n = 68: [64, 120, 136], d = [0, 1] [11, 56, 119, 136], d = [0, 15] [34, 56, 106, 136], d = [0, 15] [26, 51, 114, 136], d = [0, 55] [11, 56, 64, 119, 120], d = [1, 15] [34, 56, 64, 106, 120], d = [1, 15] [26, 51, 64, 114, 120], d = [1, 55] [11, 26, 51, 56, 114, 119], d = [15, 55] [26, 34, 51, 56, 106, 114], d = [15, 55] n = 70: [84, 112, 140], d = [0, 1] [12, 50, 126, 140], d = [0, 19] [15, 77, 108, 140], d = [0, 31] [20, 70, 110, 140], d = [0, 3] [28, 76, 100, 140], d = [0, 6] [12, 50, 84, 112, 126], d = [1, 19] [15, 77, 84, 108, 112], d = [1, 31] [20, 70, 84, 110, 112], d = [1, 3] [28, 76, 84, 100, 112], d = [1, 6] [12, 15, 50, 77, 108, 126], d = [19, 31] [12, 20, 50, 70, 110, 126], d = [3, 19] [15, 20, 70, 77, 108, 110], d = [3, 31] [20, 28, 70, 76, 100, 110], d = [3, 6] [12, 28, 50, 76, 100, 126], d = [6, 19] [15, 28, 76, 77, 100, 108], d = [6, 31] n = 72: [6, 52, 132, 144], d = [0, 23] [52, 63, 98, 144], d = [0, 23] [18, 81, 108, 144], d = [0, 7] [6, 18, 52, 81, 108, 132], d = [7, 23] [18, 52, 63, 81, 98, 108], d = [7, 23] n = 73: [96, 110, 146], d = [0, 1] [46, 73, 97, 146], d = [0, 3] [46, 73, 96, 97, 110], d = [1, 3] n = 74: [48, 140, 148], d = [0, 1] [27, 76, 111, 148], d = [0, 7] [52, 74, 94, 148], d = [0, 3] [27, 48, 76, 111, 140], d = [1, 7] [48, 52, 74, 94, 140], d = [1, 3] [27, 52, 74, 76, 94, 111], d = [3, 7] n = 75: [42, 144, 150], d = [0, 1] [90, 120, 150], d = [0, 1] [10, 66, 130, 150], d = [0, 14] [15, 70, 125, 150], d = [0, 11] [15, 95, 106, 150], d = [0, 11] [10, 42, 66, 130, 144], d = [1, 14] [10, 66, 90, 120, 130], d = [1, 14] [15, 42, 70, 125, 144], d = [1, 11] [15, 42, 95, 106, 144], d = [1, 11] [15, 70, 90, 120, 125], d = [1, 11] [15, 90, 95, 106, 120], d = [1, 11] [10, 15, 66, 70, 125, 130], d = [11, 14] [10, 15, 66, 95, 106, 130], d = [11, 14] n = 76: [17, 38, 142, 152], d = [0, 15] [38, 88, 98, 152], d = [0, 15] [44, 76, 104, 152], d = [0, 3] [17, 38, 44, 76, 104, 142], d = [3, 15] [38, 44, 76, 88, 98, 104], d = [3, 15] n = 77: [11, 89, 119, 154], d = [0, 195] [21, 55, 135, 154], d = [0, 19] [22, 77, 121, 154], d = [0, 3] [26, 66, 126, 154], d = [0, 10] [28, 54, 132, 154], d = [0, 13] [46, 70, 110, 154], d = [0, 6] [11, 21, 55, 89, 119, 135], d = [19, 195] [11, 22, 77, 89, 119, 121], d = [3, 195] [21, 22, 55, 77, 121, 135], d = [3, 19] [22, 26, 66, 77, 121, 126], d = [3, 10] [22, 28, 54, 77, 121, 132], d = [3, 13] [22, 46, 70, 77, 110, 121], d = [3, 6] [11, 26, 66, 89, 119, 126], d = [10, 195] [21, 26, 55, 66, 126, 135], d = [10, 19] [26, 28, 54, 66, 126, 132], d = [10, 13] [11, 28, 54, 89, 119, 132], d = [13, 195] [21, 28, 54, 55, 132, 135], d = [13, 19] [11, 46, 70, 89, 110, 119], d = [6, 195] [21, 46, 55, 70, 110, 135], d = [6, 19] [26, 46, 66, 70, 110, 126], d = [6, 10] [28, 46, 54, 70, 110, 132], d = [6, 13] n = 78: [60, 144, 156], d = [0, 1] [6, 78, 132, 156], d = [0, 3] [26, 86, 114, 156], d = [0, 35] [6, 60, 78, 132, 144], d = [1, 3] [26, 60, 86, 114, 144], d = [1, 35] [6, 26, 78, 86, 114, 132], d = [3, 35] n = 79: [11, 79, 131, 158], d = [0, 3] n = 80: [96, 128, 160], d = [0, 1] [25, 62, 136, 160], d = [0, 111] [50, 83, 104, 160], d = [0, 231] [35, 56, 134, 160], d = [0, 39] [56, 82, 100, 160], d = [0, 39] [40, 85, 110, 160], d = [0, 15] [20, 90, 120, 160], d = [0, 7] [25, 62, 96, 128, 136], d = [1, 111] [50, 83, 96, 104, 128], d = [1, 231] [35, 56, 96, 128, 134], d = [1, 39] [56, 82, 96, 100, 128], d = [1, 39] [40, 85, 96, 110, 128], d = [1, 15] [20, 90, 96, 120, 128], d = [1, 7] [20, 25, 62, 90, 120, 136], d = [7, 111] [20, 35, 56, 90, 120, 134], d = [7, 39] [20, 56, 82, 90, 100, 120], d = [7, 39] [20, 40, 85, 90, 110, 120], d = [7, 15] [20, 50, 83, 90, 104, 120], d = [7, 231] [25, 50, 62, 83, 104, 136], d = [111, 231] [25, 35, 56, 62, 134, 136], d = [39, 111] [25, 56, 62, 82, 100, 136], d = [39, 111] [35, 50, 56, 83, 104, 134], d = [39, 231] [50, 56, 82, 83, 100, 104], d = [39, 231] [25, 40, 62, 85, 110, 136], d = [15, 111] [35, 40, 56, 85, 110, 134], d = [15, 39] [40, 56, 82, 85, 100, 110], d = [15, 39] [40, 50, 83, 85, 104, 110], d = [15, 231] n = 81: [27, 78, 127, 162], d = [0, 35] [30, 63, 135, 162], d = [0, 11] [34, 54, 138, 162], d = [0, 2] [27, 30, 63, 78, 127, 135], d = [11, 35] [27, 34, 54, 78, 127, 138], d = [2, 35] [30, 34, 54, 63, 135, 138], d = [2, 11] n = 82: [36, 160, 164], d = [0, 1] n = 84: [24, 84, 132, 168], d = [0, 3] [48, 88, 112, 168], d = [0, 5] [24, 48, 84, 88, 112, 132], d = [3, 5] n = 85: [26, 168, 170], d = [0, 1] [72, 154, 170], d = [0, 1] [80, 150, 170], d = [0, 1] [102, 136, 170], d = [0, 1] [26, 80, 136, 170], d = [0, 1] [72, 80, 102, 170], d = [0, 1] [68, 86, 100, 170], d = [0, 21] [26, 68, 86, 100, 168], d = [1, 21] [68, 72, 86, 100, 154], d = [1, 21] [68, 80, 86, 100, 150], d = [1, 21] [68, 86, 100, 102, 136], d = [1, 21] [26, 68, 80, 86, 100, 136], d = [1, 21] [68, 72, 80, 86, 100, 102], d = [1, 21] n = 86: [44, 86, 122, 172], d = [0, 3] n = 87: [120, 126, 174], d = [0, 1] [29, 69, 146, 174], d = [0, 35] [66, 76, 116, 174], d = [0, 5] [29, 69, 120, 126, 146], d = [1, 35] [66, 76, 116, 120, 126], d = [1, 5] [29, 66, 69, 76, 116, 146], d = [5, 35] n = 88: [20, 110, 124, 176], d = [0, 39] [22, 48, 162, 176], d = [0, 7] [22, 76, 148, 176], d = [0, 7] [22, 99, 132, 176], d = [0, 7] [48, 76, 132, 176], d = [0, 7] [48, 99, 113, 176], d = [0, 7] [20, 22, 48, 110, 124, 162], d = [7, 39] [20, 22, 76, 110, 124, 148], d = [7, 39] [20, 22, 99, 110, 124, 132], d = [7, 39] [20, 48, 76, 110, 124, 132], d = [7, 39] [20, 48, 99, 110, 113, 124], d = [7, 39] n = 89: [78, 160, 178], d = [0, 1] n = 90: [108, 144, 180], d = [0, 1] [18, 70, 158, 180], d = [0, 11] [18, 84, 150, 180], d = [0, 11] [70, 84, 114, 180], d = [0, 11] [18, 70, 108, 144, 158], d = [1, 11] [18, 84, 108, 144, 150], d = [1, 11] [70, 84, 108, 114, 144], d = [1, 11] n = 91: [70, 168, 182], d = [0, 1] [7, 26, 179, 182], d = [0, 3] [7, 61, 169, 182], d = [0, 3] [7, 91, 154, 182], d = [0, 3] [7, 107, 143, 182], d = [0, 3] [26, 61, 161, 182], d = [0, 3] [26, 74, 154, 182], d = [0, 3] [26, 91, 143, 182], d = [0, 3] [61, 91, 118, 182], d = [0, 3] [74, 91, 107, 182], d = [0, 3] [42, 78, 142, 182], d = [0, 10] [7, 26, 70, 168, 179], d = [1, 3] [7, 61, 70, 168, 169], d = [1, 3] [7, 70, 91, 154, 168], d = [1, 3] [7, 70, 107, 143, 168], d = [1, 3] [26, 61, 70, 161, 168], d = [1, 3] [26, 70, 74, 154, 168], d = [1, 3] [26, 70, 91, 143, 168], d = [1, 3] [61, 70, 91, 118, 168], d = [1, 3] [70, 74, 91, 107, 168], d = [1, 3] [42, 70, 78, 142, 168], d = [1, 10] [7, 26, 61, 74, 107, 182], d = [0, 3] [7, 26, 42, 78, 142, 179], d = [3, 10] [7, 42, 61, 78, 142, 169], d = [3, 10] [7, 42, 78, 91, 142, 154], d = [3, 10] [7, 42, 78, 107, 142, 143], d = [3, 10] [26, 42, 61, 78, 142, 161], d = [3, 10] [26, 42, 74, 78, 142, 154], d = [3, 10] [26, 42, 78, 91, 142, 143], d = [3, 10] [42, 61, 78, 91, 118, 142], d = [3, 10] [42, 74, 78, 91, 107, 142], d = [3, 10] [7, 26, 61, 70, 74, 107, 168], d = [1, 3] [7, 26, 42, 61, 74, 78, 107, 142], d = [3, 10] n = 92: [23, 58, 166, 184], d = [0, 7] [23, 72, 159, 184], d = [0, 7] [58, 72, 138, 184], d = [0, 7] [46, 59, 154, 184], d = [0, 15] [46, 86, 136, 184], d = [0, 15] [23, 46, 58, 59, 154, 166], d = [7, 15] [23, 46, 58, 86, 136, 166], d = [7, 15] [23, 46, 59, 72, 154, 159], d = [7, 15] [23, 46, 72, 86, 136, 159], d = [7, 15] [46, 58, 59, 72, 138, 154], d = [7, 15] [46, 58, 72, 86, 136, 138], d = [7, 15] n = 93: [39, 93, 138, 186], d = [0, 3] n = 94: [28, 47, 173, 188], d = [0, 15] n = 95: [114, 152, 190], d = [0, 1] [57, 99, 125, 190], d = [0, 91] [65, 82, 133, 190], d = [0, 51] [50, 76, 148, 190], d = [0, 21] [55, 95, 130, 190], d = [0, 3] [57, 99, 114, 125, 152], d = [1, 91] [65, 82, 114, 133, 152], d = [1, 51] [50, 76, 114, 148, 152], d = [1, 21] [55, 95, 114, 130, 152], d = [1, 3] [50, 57, 76, 99, 125, 148], d = [21, 91] [50, 65, 76, 82, 133, 148], d = [21, 51] [50, 55, 76, 95, 130, 148], d = [3, 21] [55, 57, 95, 99, 125, 130], d = [3, 91] [55, 65, 82, 95, 130, 133], d = [3, 51] [57, 65, 82, 99, 125, 133], d = [51, 91] n = 96: [4, 51, 184, 192], d = [0, 47] [16, 94, 159, 192], d = [0, 143] [78, 97, 112, 192], d = [0, 95] [8, 84, 169, 192], d = [0, 23] [24, 108, 144, 192], d = [0, 7] [48, 102, 132, 192], d = [0, 15] [4, 16, 51, 94, 159, 184], d = [47, 143] [4, 51, 78, 97, 112, 184], d = [47, 95] [4, 8, 51, 84, 169, 184], d = [23, 47] [8, 16, 84, 94, 159, 169], d = [23, 143] [8, 78, 84, 97, 112, 169], d = [23, 95] [4, 24, 51, 108, 144, 184], d = [7, 47] [8, 24, 84, 108, 144, 169], d = [7, 23] [16, 24, 94, 108, 144, 159], d = [7, 143] [24, 48, 102, 108, 132, 144], d = [7, 15] [24, 78, 97, 108, 112, 144], d = [7, 95] [4, 48, 51, 102, 132, 184], d = [15, 47] [8, 48, 84, 102, 132, 169], d = [15, 23] [16, 48, 94, 102, 132, 159], d = [15, 143] [48, 78, 97, 102, 112, 132], d = [15, 95] [16, 78, 94, 97, 112, 159], d = [95, 143] n = 97: [130, 144, 194], d = [0, 1] [2, 97, 167, 194], d = [0, 3] [2, 97, 130, 144, 167], d = [1, 3] n = 98: [28, 46, 182, 196], d = [0, 3] [28, 98, 154, 196], d = [0, 3] [46, 98, 142, 196], d = [0, 3] n = 99: [2, 66, 186, 198], d = [0, 2] [66, 102, 126, 198], d = [0, 2] [33, 58, 177, 198], d = [0, 35] [33, 117, 138, 198], d = [0, 35] [2, 33, 58, 66, 177, 186], d = [2, 35] [2, 33, 66, 117, 138, 186], d = [2, 35] [33, 58, 66, 102, 126, 177], d = [2, 35] [33, 66, 102, 117, 126, 138], d = [2, 35] n = 100: [56, 192, 200], d = [0, 1] [120, 160, 200], d = [0, 1] [8, 125, 151, 200], d = [0, 39] [45, 110, 138, 200], d = [0, 31] [8, 56, 125, 151, 192], d = [1, 39] [8, 120, 125, 151, 160], d = [1, 39] [45, 56, 110, 138, 192], d = [1, 31] [45, 110, 120, 138, 160], d = [1, 31] [8, 45, 110, 125, 138, 151], d = [31, 39] verbatim

Ссылки

[1] Гуляев Г. М. Целочисленные циклические многоугольники, вписанные в окружность с целым радиусом // ArxivOrg.Ru. — 2026. — URL: .

[2] Гуляев Г. М., Сфенические числа и целочисленные ломаные вписанные в полуокружность // ArxivOrg.Ru. — 2026. — URL: .

[3] Besicovitch, A. S. On the linear independence of fractional powers of integers // Journal of the London Mathematical Society. — 1940. — Vol. 15. — P. 3–6.

[4] Лежен Дирихле, П. Г. Лекции по теории чисел. // Под ред. Р. Дедекинда. — М.: ОНТИ, 1936.