Обобщение законов Кеплера Владимир Браун 01.06.2023, 4.11.2026 Законы Кеплера могут быть аналитически получены исходя из закона всемирного тяготения с помощью законов сохранения момента импульса и энергии [1]. Однако, ни законы Кеплера, ни закон всемирного тяготения, не допускают вращающихся кеплеровых орбит. Чтобы изначально такие орбиты не исключать, при выводе кинематических уравнений движения в центральном поле тяготения, следует отказаться от использования закона всемирного тяготения. В настоящей работе такие уравнения, более общие, чем законы Кеплера, получены. Вывод обобщённых уравнений 1. Универсальное уравнение траектории Используя две формы записи производной, по Ньютону и по Лейбницу, запишем в полярной системе координат ( r , φ ) тождества t r r d d   и t d d     . Исключив из них время: t d d     , r r t  d d   r r d d      , и проинтегрировав почленно последнее уравнение, получим интеграл   r r d     , который и представляет собой универсальное уравнение траектории, одно из двух возможных в полярной системе координат. Конечно, для тех случаев, когда угловая и радиальная скорости,   и r  , представимы функциями от r и интеграл может быть взят. 2. Выражение скорости через радиальную и угловую скорости Векторы радиальной и поперечной (трансверсальной) составляющих скорости ортогональны, поэтому квадрат скорости равен сумме квадратов этих составляющих: 2 2 2    v v v r . Поскольку радиальная составляющая скорости есть просто скорость изменения координаты r (радиальная скорость), а поперечная составляющая скорости есть скорость изменения угловой координаты (угловая скорость) умноженная на радиус r , r v r   ,   r v   , то имеем следующее выражение скорости через радиальную и угловую скорости: 2 2 2 2    r r v   . 3. Представление угловой скорости как функции расстояния Момент скорости тела в центральном поле постоянен: L r v r      2 . Отсюда получаем искомое представление угловой скорости как функции от r : 2 r L    . 4. Уравнение скорости как функции расстояния Заменив угловую скорость в выражении скорости через составляющие, 2 2 2 2    r r v   , её выражением через момент скорости и расстояние, получим уравнение, не содержащее угловой координаты: 2 2 2 2 r L r v    . Движение планет происходит в ограниченной кольцевой области, между минимальным и максимальным расстоянием от центра тяготения, которые называются перигелием и афелием орбиты, и перицентром и апоцентром в общем случае. Обозначим их как p и a . При достижении границ указанной области радиальная составляющая скорости, 2 2 2 r L v r    , становится равной нулю. Приравняв радиальную скорость к нулю, получим уравнение относительно r , корнями которого являются a и p – апоцентр и перицентр траектории: 0 2 2 2   L r v . Предположим, что функция 2 2 2 L r v  является многочленом от r . Наличие корней a и p означает, что многочлен делится на ( a – r ) и ( r – p ), и имеет представление:     p r r a w L r v     2 2 2 , где w – некоторый многочлен. Из этого равенства получаем для скорости уравнение:     2 2 2 2 r L r p r r a w v     , или, после раскрытия скобок и объединения членов по степеням r :   2 2 2 r wap L r p a w w v       . Взяв значение квадрата скорости на бесконечно большом расстоянии от центра тяготения, предполагая, что значение w в  r остаётся конечным, получим: w v    2 . То есть, многочлен - w есть константа, квадрат остаточной скорости. 5. Представление радиальной скорости как функции расстояния Имея уравнение скорости как функции расстояния, имеем вместе с тем и искомое представление радиальной скорости:     r p r r a w r L v r      2 2 2  . 6. Уравнение траектории Получив представления угловой и радиальной скорости как функций расстояния, 2 r L    и     r p r r a w r     , подставим их теперь в наше универсальное уравнение траектории:          r p r r a w r L r r d d     . Интеграл табличный. В случае эллиптической или гиперболической скорости, когда wap > 0 и a – p ≠ 0, подходит решение: [2], № 380.111, случай 5; которое может быть записано в четырёх вариантах, с ±arccos и с ±arcsin. Записав решение в варианте с arccos, получим уравнение траектории как функцию φ ( r ):     0 2 arccos        r p a r p a ap wap L . Чтобы получить уравнение траектории как функцию r ( φ ), решим данное уравнение относительно r , и в результате, полагая 0  = 0, получим следующее уравнение:    i e f r cos 1   , где e – эксцентриситет орбиты, f – фокальный параметр орбиты, i – параметр смещения перицентра орбиты, и p a p a e    , p a ap f   2 , L wap i  . Полученное уравнение есть уравнение движения по вращающемуся коническому сечению, эллипсу ( a > 0, w > 0) или гиперболе ( a < 0, w < 0). (В случае же, когда a = ∞ и w = 0, требующем отдельного исследования, уравнение скорости и форма траектории остаются здесь неопределёнными.) Заметим, что уравнение может быть записано в четырёх вариантах, с ±cos и с ±sin, что дает четыре варианта ориентации траектории, в частности, начального положения перицентра траектории: справа, слева, и выше, ниже центра, соответственно. 7. Интеграл времени как функции расстояния Начнём с тождества t r r d d   . Из него получаем: r r t d 1 d   ,   r r t d 1  . Подставив сюда выражение радиальной скорости как функции расстояния от центра тяготения, получаем следующий интеграл времени движения:        r p r r a w r t d . 8. Период обращения В общем случае период обращения – это не время совершения полного оборота, равного 2π, но время, за которое проходится повторяющийся участок траектории, например, участок от перигелия до афелия и обратно до перигелия. Воспользовавшись интегралом времени, получаем для периода обращения определённый интеграл        a p r p r r a w r T d 2 . Интеграл табличный. Для эллиптической скорости, когда w > 0 и a – p ≠ 0, подходит решение: [2], № 380.011, со ссылкой на № 380.001, случай 5. Записывая решение в варианте с арккосинусом, получаем:    a p p r r a p a r p a p a w T                 2 arccos 2 2 , то есть,   w p a T   π . 9. Смещение перицентра траектории Смещение перицентра определяется периодом функции       i e f r cos 1   , задающей траекторию. Её период, совпадающий с периодом функции cos( iφ ), в отличие от периода функции cos( φ ), не равен полному обороту, 2π, но равен 2π/ i . Отличие периода функции r ( φ ) от полного оборота и есть искомое смещение:          1 1 π 2 i  . 10. Гравитационное ускорение Имея уравнение скорости как функции расстояния:   2 2 2 r wap L r p a w w v       , нетрудно получить и аналогичное уравнение гравитационного ускорения:                           2 2 2 d d 2 1 2 d d d d r wap L r p a w w r v r t v g , то есть,                3 2 2 2 r wap L r p a w g , в согласии с теоремой Ньютона о движении тел по подвижным орбитам [3]. Заключение В заключение перечислим полученные здесь новые уравнения. 1. Уравнение (орбитальной) скорости   2 2 2 r wap L r p a w w v       , где w – квадрат остаточной скорости со знаком минус: 2    v w . 2. Уравнение радиальной скорости:     r p r r a w r     . 3.Уравнение траектории движения (по вращающимся эллипсу или гиперболе):    i e f r cos 1   , где e и f – эксцентриситет и фокальный параметр эллипса или гиперболы, i – параметр смещения перицентра траектории, равный: L wap i  . 4. Интеграл времени движения как функции расстояния (от центра тяготения):        r p r r a w r t d . 5. Период обращения по (вращающемуся) эллипсу:   w p a T   π . 6. Смещение перицентра орбиты (смещение вращающегося эллипса):          1 1 π 2 i  . 7. Уравнение гравитационного ускорения:                3 2 2 2 r wap L r p a w g . И сравним данные уравнения с законами Кеплера. 1-ый закон. Каждая планета Солнечной системы движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Соответствующее уравнение (невращающегося) эллипса является частным случаем уравнения вращающегося эллипса при i = 1. 2-ой закон. Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за любые равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает собой равные площади (секториальная скорость постоянна). В центральном поле, момент скорости равен удвоенной секториальной скорости, S L  2  , и постоянен. Следовательно, и секториальная скорость постоянна [4]. Обобщение и закон Кеплера совпадают. (Постоянство момента скорости – один из исходных пунктов обобщённой теории.) 3-ий закон. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей орбит планет. Из обобщённой теории следует, что в классической теории тяготения для квадрата остаточной скорости выполняется: p a M w   G 2 , и, следовательно:     M p a w p a T G 2 π π 3     , и   M p a T G 2 π 3 2 2   . Ссылки 1. Бутиков Е. И. Закономерности кеплеровых движений. 2006. 2. Г. Б. Двайт. Таблицы интегралов. Издание второе, исправленное. М.: Наука, 1966. 3. Исаак Ньютон. Математические начала натуральной философии. М.: Наука, 1989. О движении тел по подвижным орбитам и о перемещении апсид. Предложение XLIV Теорема XIV. 4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том 1. Механика. М.: Наука, 1988.