Барицентрические координаты: определение, расчёт, применение

• Точка P = αA + βB + γC при условии α + β + γ = 1.
• Все три веса положительны — точка внутри; один равен нулю — на стороне.
• Отрицательный вес означает, что точка вне треугольника.
• Веса равны отношениям площадей подтреугольников к площади всего треугольника.
• Центр масс имеет координаты (1/3, 1/3, 1/3).

Точка записывается комбинацией вершин: P = αA + βB + γC, где α + β + γ = 1. Условие нормировки существенно: без него та же тройка задавала бы направление, а не точку.

Механический смысл прямой: если в вершины поместить массы α, β и γ, центр масс окажется в P. Отсюда и название — «барицентр» означает центр тяжести. Координаты являются относительными: масштаб треугольника на них не влияет.

Геометрическая формула самая наглядная: каждый вес равен отношению площади подтреугольника, противолежащего соответствующей вершине, к площади всего треугольника. Для точки P: α = S(PBC)/S(ABC), и аналогично для остальных.

Площади удобно считать через векторное произведение, причём со знаком: тогда формула автоматически даёт отрицательные значения для точек вне треугольника, и отдельная проверка не нужна.

Компьютерная графика — основное поле. Растеризация треугольника: координаты сразу дают и признак попадания пикселя внутрь, и веса для интерполяции цвета, нормали и текстурных координат между вершинами. Одна конструкция решает две задачи.

Метод конечных элементов: линейные базисные функции на треугольном элементе — это в точности барицентрические координаты. Геометрия треугольника: многие классические точки записываются в них компактно, что упрощает доказательства.

Три причины. Первая: инвариантность — при переносе, повороте и масштабировании треугольника координаты точки не меняются. Вторая: интерполяция получается бесплатно, веса и есть коэффициенты. Третья: проверка попадания внутрь сводится к сравнению знаков, без вычисления углов и уравнений прямых.

Плата за удобство — избыточность: три числа задают точку на плоскости, где достаточно двух. Связь между ними даёт условие нормировки, поэтому независимых координат по-прежнему две.

Первая — забыть нормировку. Тройка, не суммирующаяся к единице, задаёт точку неоднозначно, и результаты интерполяции получаются неверными.

Вторая — вычислять площади без знака. Тогда точки вне треугольника дают положительные веса, и проверка попадания внутрь перестаёт работать.

Третья — применять к вырожденному треугольнику. Если вершины лежат на прямой, площадь равна нулю, и деление на неё разрушает расчёт; вырожденный случай надо отсекать заранее.