Матрица Якоби и якобиан: определение и применение

• Элемент матрицы — частная производная i-й компоненты по j-й переменной.
• Матрица Якоби — таблица производных, якобиан — её определитель (только для квадратной).
• Якобиан по модулю равен коэффициенту изменения объёма при отображении.
• Знак якобиана показывает, сохраняется ли ориентация.
• При замене переменных в интеграле появляется модуль якобиана.

Для отображения из n-мерного пространства в m-мерное матрица имеет m строк и n столбцов: в i-й строке и j-м столбце стоит ∂fᵢ/∂xⱼ. Строки — градиенты компонент, столбцы — реакции всех компонент на изменение одной переменной.

Смысл конструкции: приращение отображения в первом порядке равно произведению матрицы на приращение аргумента. Это прямое обобщение производной: там умножали на число, здесь — на матрицу.

Матрица Якоби существует для любого гладкого отображения. Якобиан — её определитель — определён только когда матрица квадратная, то есть размерности области и образа совпадают. Путаница возникает из-за того, что оба объекта называют «якобианом» в разговорной речи.

Модуль якобиана — коэффициент изменения объёма: малый кубик объёма V вблизи точки перейдёт в область объёма примерно |J|·V. Если якобиан равен двум, отображение локально удваивает объём.

Нулевой якобиан означает, что отображение сжимает окрестность в множество меньшей размерности: обратное отображение около такой точки не существует, и теорема об обратной функции неприменима. Это самый практически важный признак.

При переходе к новым переменным в кратном интеграле элемент объёма преобразуется с множителем — модулем якобиана: dx dy = |J| du dv. Без него результат будет неверным на этот коэффициент.

Классический пример — полярные координаты, где якобиан равен r, и потому появляется знакомое dx dy = r dr dφ. Множитель r здесь не «поправка от руки», а именно якобиан перехода, и в других системах координат он свой.

Первая — забыть модуль. Определитель может быть отрицательным, а объём — нет; интеграл без модуля меняет знак.

Вторая — перепутать направление замены. Якобиан прямого и обратного перехода взаимно обратны, и подстановка одного вместо другого даёт ошибку в квадрате коэффициента.

Третья — применять теорему об обратной функции в точке с нулевым якобианом. Там она не работает, и вблизи такой точки поведение отображения нужно исследовать отдельно.